- Ова повеќеслојна фигура, во чија основа лежи многуаголник, а останатите лица се претставени со триаголници со заедничко теме.

Ако основата е квадрат, тогаш пирамидата се нарекува четириаголна, ако триаголник – тогаш триаголен. Висината на пирамидата е извлечена од нејзиниот врв нормално на основата. Се користи и за пресметување на површина апотема– висината на страничното лице, спуштено од нејзиниот врв.
Формулата за плоштината на страничната површина на пирамидата е збирот на површините на нејзините странични лица, кои се еднакви една со друга. Сепак, овој метод на пресметка се користи многу ретко. Во основа, површината на пирамидата се пресметува преку периметарот на основата и апотемата:

Да разгледаме пример за пресметување на површината на страничната површина на пирамидата.

Нека е дадена пирамида со основа ABCDE и врвот F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Апотема a = 5 cm Најдете ја плоштината на страничната површина на пирамидата.
Ајде да го најдеме периметарот. Бидејќи сите рабови на основата се еднакви, периметарот на пентагонот ќе биде еднаков на:
Сега можете да најдете странична областпирамиди:

Областа на правилна триаголна пирамида

Точно тре јагленова пирамидасе состои од основа во која лежи правилен триаголник и три странични страни кои се еднакви по површина.
Правилна формула за странична површина триаголна пирамидаможе да се пресмета различни начини. Можете да ја примените вообичаената формула за пресметка користејќи го периметарот и апотемата, или можете да ја пронајдете плоштината на едно лице и да ја помножите со три. Бидејќи лицето на пирамидата е триаголник, ја применуваме формулата за плоштина на триаголник. Ќе бара апотема и должина на основата. Ајде да разгледаме пример за пресметување на страничната површина на правилна триаголна пирамида.

Дадена е пирамида со апотема a = 4 cm и основа на лицето b = 2 cm. Најдете ја плоштината на страничната површина на пирамидата.
Прво, пронајдете ја областа на едно од страничните лица. ВО во овој случајТаа ќе биде:
Заменете ги вредностите во формулата:
Бидејќи во правилната пирамида сè странисе исти, тогаш површината на страничната површина на пирамидата ќе биде еднаква на збирот на површините на трите лица. Соодветно:

Областа на скратена пирамида

СкратенПирамида е полиедар кој е формиран од пирамида и нејзиниот пресек паралелен со основата.
Формулата за страничната површина на скратена пирамида е многу едноставна. Плоштината е еднаква на производот од половина од збирот на периметрите на основите и апотемата:

Концепт на пирамида

Дефиниција 1

Геометриска фигура, формирана од многуаголник и точка која не лежи во рамнината што го содржи овој многуаголник, поврзана со сите темиња на многуаголникот се вика пирамида(сл. 1).

Слика 1. Пирамида

Се вика многуаголникот од кој е направена пирамидата основата на пирамидата, добиен со поврзување на триаголници со точка - странични лица на пирамидата, страни на триаголници - страни на пирамидата, а заедничката точка за сите триаголници е врвот на пирамидата.

Во зависност од бројот на агли на основата на пирамидата, таа може да се нарече триаголна, четириаголна и така натаму (сл. 2).

Слика 2.

Забелешка 1

Забележете дека тетраедарот е посебен случај на триаголна пирамида.

Дефиниција 2

Пирамидата чија основа е правилен многуаголник и висината на пирамидата паѓа во нејзиниот центар се вика редовна пирамида(сл. 3).

Слика 3. Правилна пирамида

Дозволете ни да го претставиме и докажеме имотот редовна пирамида.

Теорема 1

Сите странични лицаод правилна пирамида се рамнокраки триаголници кои се еднакви еден на друг.

Доказ.

Размислете за редовна $n-$gonal пирамида со теме $S$ на висина $h=SO$. Дозволете ни да нацртаме круг околу основата (слика 4).

Слика 4.

Размислете за триаголникот $SOA$. Според Питагоровата теорема, добиваме

Очигледно, секој страничен раб ќе биде дефиниран на овој начин. Затоа, сè странични ребрасе еднакви едни на други, односно сите странични лица -- рамнокрак триаголници. Да докажеме дека се еднакви едни на други. Бидејќи основата е правилен многуаголник, основите на сите странични лица се еднакви една со друга. Следствено, сите странични лица се еднакви според III критериум за еднаквост на триаголниците.

Теоремата е докажана.

Сега да воведеме следнава дефиниција, поврзан со концептот на редовна пирамида.

Дефиниција 3

Апотема на редовната пирамидависината на неговото странично лице се нарекува.

Очигледно, според теорема 1, сите апотеми се еднакви една со друга.

Теорема 2

Страничната површина на правилната пирамида се одредува како производ на полупериметарот на основата и апотемата.

Доказ.

Да ја означиме страната на основата на $n-$gonal пирамидата со $a$, а апотемата со $d$. Затоа, површината на страничното лице е еднаква на

Бидејќи, според теорема 1, сите страни се еднакви, тогаш

Теоремата е докажана.

Дефиниција 4

Ако рамнина паралелна на нејзината основа се повлече низ обична пирамида, тогаш фигурата формирана помеѓу оваа рамнина и рамнината на основата се вика скратена пирамида(сл. 5).

Слика 5. Скратена пирамида

Решение.

Според теоремата за средната линијаоткриваме дека горната основа на скратената пирамида е еднаква на $6\cdot \frac(1)(2)=3$, а апотемата е еднаква на $4\cdot \frac(1)(2)=2$.

Потоа, по теорема 3, добиваме

Прво ниво

Пирамида. Визуелен водич (2019)

Што е пирамида?

Како изгледа таа?

Гледате: на дното на пирамидата (тие велат „ во основата") некој многуаголник, и сите темиња на овој многуаголник се поврзани со некоја точка во просторот (оваа точка се нарекува " теме»).

Целата оваа структура сè уште има странични лица, странични ребраИ основни ребра. Уште еднаш, ајде да нацртаме пирамида заедно со сите овие имиња:

Некои пирамиди можеби изгледаат многу чудно, но сепак се пирамиди.

Еве, на пример, е целосно „косо“ пирамида.

И малку повеќе за имињата: ако има триаголник во основата на пирамидата, тогаш пирамидата се нарекува триаголна, ако е четириаголник, тогаш четириаголна, а ако е стоаголник, тогаш... погодете сами .

Во исто време, точката каде што падна висина, повикан висинска основа. Забележете дека во „кривите“ пирамиди висинаможе дури и да заврши надвор од пирамидата. Како ова:

И нема ништо лошо во тоа. Изгледа како тап триаголник.

Правилна пирамида.

Многу сложени зборови? Ајде да дешифрираме: „Во основата - точно“ - ова е разбирливо. Сега да се потсетиме на тоа правилен многуаголникима центар - точка која е центар на и , и .

Па, зборовите „врвот е проектиран во центарот на основата“ значат дека основата на висината паѓа точно во центарот на основата. Погледнете колку мазно и слатко изгледа редовна пирамида.

Шестоаголна: во основата - правилен шестоаголник, врвот е проектиран до центарот на основата.

Четириаголна: основата е квадрат, врвот е проектиран до точката на пресек на дијагоналите на овој квадрат.

Триаголен: во основата има правилен триаголник, темето е проектирано до точката на пресек на висините (тие се и медијани и симетрали) на овој триаголник.

Многу важни својстваправилна пирамида:

Во десната пирамида

• сите странични рабови се еднакви.
• сите странични лица се рамнокраки триаголници и сите овие триаголници се еднакви.

Волумен на пирамидата

Главната формула за волуменот на пирамидата:

Од каде точно дојде? Ова не е толку едноставно, и прво треба само да запомните дека пирамидата и конусот имаат волумен во формулата, но цилиндарот нема.

Сега да го пресметаме обемот на најпопуларните пирамиди.

Нека страната на основата е еднаква, а страничниот раб еднаков. Треба да најдеме и.

Ова е областа правилен триаголник.

Ајде да се потсетиме како да ја бараме оваа област. Ја користиме формулата за површина:

За нас „“ е ова, а „“ е и ова, а.

Сега да го најдеме.

Според Питагоровата теорема за

Која е разликата? Ова е обиколницата во бидејќи пирамидаточнои, според тоа, центарот.

Бидејќи - точката на пресек на медијаните исто така.

(Питагорова теорема за)

Ајде да го замениме во формулата за.

И ајде да замениме сè во формулата за волумен:

Внимание:Ако ти редовен тетраедар(т.е.), тогаш формулата е:

Нека страната на основата е еднаква, а страничниот раб еднаков.

Нема потреба да гледате овде; На крајот на краиштата, основата е квадрат, и затоа.

Ќе го најдеме. Според Питагоровата теорема за

Дали знаеме? За малку. Погледнете:

(го видовме ова гледајќи го).

Заменете во формулата за:

И сега ја заменуваме формулата за волумен.

Нека страната на основата е еднаква, а страничниот раб.

Како да се најде? Види, шестоаголник се состои од точно шест идентични правилни триаголници. Веќе ја баравме плоштината на правилен триаголник при пресметување на волуменот на правилна триаголна пирамида; овде ја користиме формулата што ја најдовме.

Сега ајде да го најдеме (тоа).

Според Питагоровата теорема за

Но, што е важно? Едноставно е затоа што (и сите други исто така) се точни.

Ајде да замениме:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)(a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

ПИРАМИДА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Пирамида е полиедар кој се состои од кој било рамен многуаголник (), точка што не лежи во рамнината на основата (врвот на пирамидата) и сите сегменти што го поврзуваат врвот на пирамидата со точките на основата (странични рабови).

Нормално падна од врвот на пирамидата до рамнината на основата.

Правилна пирамида- пирамида во која во основата лежи правилен многуаголник, а врвот на пирамидата е проектиран во центарот на основата.

Својство на обична пирамида:

• Во правилна пирамида, сите странични рабови се еднакви.
• Сите странични лица се рамнокрак триаголници и сите овие триаголници се еднакви.

• апотема- висина на страничниот раб редовна пирамида, што е извлечено од неговото теме (покрај тоа, апотема е должината на нормалната, која се спушта од средината на правилен многуаголник на една од неговите страни);
• странични лица (ASB, BSC, CSD, DSA) - триаголници кои се среќаваат на темето;
• странични ребра ( AS , Б.С. , Ц.С. , Д.С. ) — заеднички аспектистранични рабови;
• врвот на пирамидата (т. С) - точка што ги поврзува страничните ребра и која не лежи во рамнината на основата;
• висина ( ПА ) - нормална отсечка извлечена низ врвот на пирамидата до рамнината на нејзината основа (краевите на таков сегмент ќе бидат врвот на пирамидата и основата на нормалната);
• дијагонален пресекпирамиди- дел од пирамидата што минува низ врвот и дијагоналата на основата;
• база (А БЕ ЦЕ ДЕ) - многуаголник што не припаѓа на темето на пирамидата.

Својства на пирамидата.

1. Кога сите странични ребра имаат со иста големина, Потоа:

• во близина на основата на пирамидата е лесно да се опише круг, додека врвот на пирамидата ќе биде проектиран во центарот на овој круг;
• страничните ребра се формираат идентични агли ;
• Згора на тоа, важи и спротивното, т.е. кога страничните ребра се формираат со рамнината на основата еднакви агли, или кога може да се опише круг во близина на основата на пирамидата и врвот на пирамидата ќе биде проектиран во центарот на овој круг, што значи дека сите странични рабови на пирамидата се со иста големина.

2. Кога страничните лица имаат агол на наклон кон рамнината на основата со иста вредност, тогаш:

• лесно е да се опише круг во близина на основата на пирамидата, а врвот на пирамидата ќе биде проектиран во центарот на овој круг;
• висините на страничните лица се еднаква должина;
• површината на страничната површина е еднаква на ½ производ од периметарот на основата и висината на страничното лице.

3. За пирамидата може да се опише сфераво случај во основата на пирамидата да лежи многуаголник околу кој може да се опише круг (потребните и доволна состојба). Центарот на сферата ќе биде точката на пресек на рамнините што минуваат низ средината на рабовите на пирамидата нормално на нив. Од оваа теорема заклучуваме дека сферата може да се опише и околу која било триаголна и околу која било правилна пирамида.

4. Сфера може да се впише во пирамида ако симетралните рамнини на внатрешната диедрални аглипирамидите се сечат на 1-ва точка (неопходен и доволен услов). Оваа точка ќе стане центар на сферата.

Наједноставната пирамида.

Врз основа на бројот на агли, основата на пирамидата е поделена на триаголни, четириаголни и така натаму.

Ќе има пирамида триаголен, четириаголна, и така натаму, кога основата на пирамидата е триаголник, четириаголник итн. Триаголна пирамида е тетраедар - тетраедар. Четириаголна - пентагонална и така натаму.