\(\ಕಪ್ಪುತ್ರಿಕೋನ ಬಲ\) ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು ಈ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ ಇದು ಕೋನವಾಗಿದೆ \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).
\(\ಬ್ಲಾಕ್ಟ್ರಿಯಾಂಗಲ್ರೈಟ್\) ರೇಖೆಯ \(a\) ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\)) ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
ಹಂತ 1: ಕೆಲವು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ \(A\ in a\) ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾದ \(AO\) ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ \(\phi\) (\(O\) ಎಂಬುದು ಲಂಬದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ);
ಹಂತ 2: ನಂತರ \(BO\) ಎಂಬುದು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಇಳಿಜಾರಾದ \(AB\) ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ \(\phi\) ;
ಹಂತ 3: ನಂತರ ಸರಳ ರೇಖೆಯ \(a\) ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ \(\phi\) ನಡುವಿನ ಕೋನವು \(\ಆಂಗಲ್ ABO\) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯ 1 #2850
ಕಾರ್ಯ ಮಟ್ಟ: ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ
ಸರಳ ರೇಖೆ \(l\) ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ \(\alpha\) . ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ \(l\) ವಿಭಾಗ \(AB=25\) ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಈ ವಿಭಾಗದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ \(\alpha\) \(24\) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಸರಳ ರೇಖೆ \(l\) ಮತ್ತು ಸಮತಲ \(\alpha\) ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ:
\(A_1B_1=24\) ಪ್ಲೇನ್ \(\alpha\) ಮೇಲೆ \(AB\) ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರಲಿ, ಇದರರ್ಥ \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) . ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ \(A_1ABB_1\) – ಆಯತಾಕಾರದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್. ಮಾಡೋಣ \(AH\perp BB_1\) . ನಂತರ \(AH=A_1B_1=24\) . ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ \ ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಯಸಿದ ಕೋನವು \(AB\) ಮತ್ತು \(A_1B_1 ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ. \) . \(AH\ ಸಮಾನಾಂತರ A_1B_1\) , ನಂತರ \(AB\) ಮತ್ತು \(A_1B_1\) ನಡುವಿನ ಕೋನವು \(AB\) ಮತ್ತು \(AH\) ನಡುವಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ನಂತರ \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0.28.\]
ಉತ್ತರ: 0.28
ಕಾರ್ಯ 2 #2851
ಕಾರ್ಯ ಮಟ್ಟ: ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ
\(ABC\) - ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನಬದಿಯೊಂದಿಗೆ \(3\) , \(O\) ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದ ಹೊರಗೆ ಇರುವ ಒಂದು ಬಿಂದು, ಮತ್ತು \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ \(OA, OB, OC\) ರೇಖೆಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಿ.
ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ \(OH\) ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ.
ಪರಿಗಣಿಸೋಣ \(\ತ್ರಿಕೋನ OAH, \ತ್ರಿಕೋನ OBH, \ತ್ರಿಕೋನ OCH\). ಅವರು ಆಯತಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಲೆಗ್ ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, \(AH=BH=CH\) . ಇದರರ್ಥ \(H\) ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಅದೇ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ \(ABC\) . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, \(H\) ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. \(\ತ್ರಿಕೋನ ABC\) ಸರಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, \(H\) ಎಂಬುದು ಮಧ್ಯವರ್ತಿಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (ಅವುಗಳು ಸಹ ಎತ್ತರಗಳು ಮತ್ತು ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳಾಗಿವೆ).
ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು ಈ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು \(AH\) ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ \(AO\) ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ, ನಂತರ \( ನಡುವಿನ ಕೋನ AO\) ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲವು \( \angle OAH\) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
\(AA_1\) \(\ತ್ರಿಕೋನ ABC\) ನಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, \
ಮಧ್ಯವರ್ತಿಗಳನ್ನು \(2:1\) ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಶೃಂಗದಿಂದ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಿ, ನಂತರ \ ನಂತರ ಆಯತಾಕಾರದ \(\ತ್ರಿಕೋನ OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]
ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ \(OAH, OBH, OCH\) ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ \(\angle OAH=\angle OBH=\angle OCH=60^\circ\).
ಉತ್ತರ: 60
ಕಾರ್ಯ 3 #2852
ಕಾರ್ಯ ಮಟ್ಟ: ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ
ಸರಳ ರೇಖೆ \(l\) ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ \(\pi\) . \(p\) ರೇಖೆಯು \(\pi\) ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲ ಅಥವಾ \(l\) ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲ. \(p\) ಮತ್ತು \(l\) ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮತ್ತು \(p\) ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವೆ \(\pi\) . ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಿ.
ಇದು ಸರಳ ರೇಖೆ \(p\) ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ \(\pi\) . \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .
ನಂತರ \(\angle POL\) ಎಂಬುದು \(p\) ಮತ್ತು \(l\) ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.
ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು ಈ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, \(\ಆಂಗಲ್ OPL\) \(p\) ಮತ್ತು \(\pi\) ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ. \(\ತ್ರಿಕೋನ OPL\) \(\angle L=90^\circ\) ಜೊತೆಗೆ ಆಯತಾಕಾರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ\(90^\circ\) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ \(\ಆಂಗಲ್ POL+\angle OPL=90^\circ\).
ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.
\(p\) ರೇಖೆಯು \(l\) ರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ, ನಾವು \(p"\ ಸಮಾನಾಂತರ p\) ಛೇದಿಸುವ \(l\) ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಕೋನ \(p\) ) ಮತ್ತು \(l\ ) \(p"\) ಮತ್ತು \(l\) ನಡುವಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, \(p\) ಮತ್ತು \(\pi\) ನಡುವಿನ ಕೋನವು \(p"\) ಮತ್ತು \(\pi\) ನಡುವಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ \(p"\) ಹಿಂದಿನ ಪರಿಹಾರವು ಈಗಾಗಲೇ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ: 90
ಕಾರ್ಯ 4 #2905
ಕಾರ್ಯ ಮಟ್ಟ: ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – ಘನ. ಪಾಯಿಂಟ್ \(N\) ಅಂಚಿನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ \(BB_1\) , ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ \(M\) ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ \(BD\) . \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಇಲ್ಲಿ \(\alpha\) ಎಂಬುದು \(MN\) ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ \((A_1B_1C_1D_1)\) ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಿ.
\(NM\) - ಮಧ್ಯಮ ಸಾಲುತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ \(DBB_1\) , ನಂತರ \(NM \ ಸಮಾನಾಂತರ B_1D\) ಮತ್ತು \(\alpha\) \(B_1D\) ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ \((A_1B_1C_1D_1)\) ನಡುವಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
\(DD_1\) ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಕಾರಣ \(A_1B_1C_1D_1\) , ನಂತರ \(B_1D_1\) ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ \(B_1D\) ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ \((A_1B_1C_1D_1)\) ಮತ್ತು \(B_1D\) ನಡುವಿನ ಕೋನ ) ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ \( (A_1B_1C_1D_1)\) \(B_1D\) ಮತ್ತು \(B_1D_1\) ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.
ಘನದ ಅಂಚು \(x\) ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ \ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ \(B_1D_1D\), \(B_1D\) ಮತ್ತು \(B_1D_1\) ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\), ಎಲ್ಲಿ \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).
ಉತ್ತರ: 0.5
ಕಾರ್ಯ 5 #2906
ಕಾರ್ಯ ಮಟ್ಟ: ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – ಘನ. ಪಾಯಿಂಟ್ \(N\) ಅಂಚಿನ ಮಧ್ಯಭಾಗವಾಗಿದೆ \(BB_1\) , ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ \(M\) ವಿಭಾಗವನ್ನು \(BD\) ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ \(1:2\) , ಶೃಂಗದಿಂದ ಎಣಿಕೆ \(B\) . \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಇಲ್ಲಿ \(\alpha\) ಎಂಬುದು \(MN\) ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ \((ABC)\) ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಿ.
\(NB\) \(BB_1\) , ಮತ್ತು \(BB_1\perp (ABC)\) ಯ ಭಾಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, \(NB\perp (ABC)\) . ಆದ್ದರಿಂದ, \(BM\) ಎಂಬುದು \(NM\) ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ \((ABC)\) . ಇದರರ್ಥ ಕೋನವು \(\ಆಲ್ಫಾ\) \(\ ಕೋನ NMB\) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಘನದ ಅಂಚು \(x\) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ \(NB=0.5x\) . ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ \(BM:MD=1:2\) , ನಂತರ \(BM=\frac13BD\) , ಆದ್ದರಿಂದ, \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .
ನಂತರ ಆಯತಾಕಾರದ \(\ತ್ರಿಕೋನ NBM\) : \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\alpha=8.\]
ಉತ್ತರ: 8
ಕಾರ್ಯ 6 #2907
ಕಾರ್ಯ ಮಟ್ಟ: ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ
\(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\) ಎಂದರೆ \(\alpha\) ಘನದ ಕರ್ಣವು ಅದರ ಒಂದು ಮುಖಕ್ಕೆ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ?
ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕೋನವು ಘನದ ಕರ್ಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಮುಖದ ಕರ್ಣೀಯ ನಡುವಿನ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಘನದ ಕರ್ಣವು ಒಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮುಖದ ಕರ್ಣವು ಈ ಇಳಿಜಾರಾದ ಮುಖವನ್ನು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಬಯಸಿದ ಕೋನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \(C_1AC\) ಕೋನಕ್ಕೆ . ನಾವು ಘನದ ಅಂಚನ್ನು \(x\) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಆಗ \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\), ನಂತರ ಬಯಸಿದ ಕೋನದ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವರ್ಗ: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]
ಉತ್ತರ: 2
ಕಾರ್ಯ 7 #2849
ಕಾರ್ಯ ಮಟ್ಟ: ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ
\(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\) .
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ \
ಆದ್ದರಿಂದ, \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\]\(OH\perp (ABC)\), ನಂತರ \(OH\) ಈ ಸಮತಲದಿಂದ ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ \(\ತ್ರಿಕೋನ OAH\) ಆಯತಾಕಾರದದ್ದಾಗಿದೆ. ನಂತರ \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0.4.\]
ಉತ್ತರ: 0.4
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ ನಡೆಸುತ್ತಿರುವ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ "ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಇನ್ ಸ್ಪೇಸ್" ವಿಭಾಗದಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿಭಾಯಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅವರು ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಹಿಂದಿನ ಅನುಭವವು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳುಪದವೀಧರರಿಗೆ ಕೆಲವು ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ತಿಳಿಯಿರಿ ಮೂಲ ಸಿದ್ಧಾಂತಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಹಂತದ ತರಬೇತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅವರು ಯೋಗ್ಯವಾದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ನಂಬಬಹುದು.
ಮುಖ್ಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು
ಇತರ ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್‌ನಂತೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ನೀವು ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು: ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಕಾರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನ, ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಸೂಕ್ತವಾದ ಬಿಂದು, ಅದರಿಂದ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಇದರ ನಂತರ, ಪದವೀಧರರು ಮೂಲವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಜ್ಞಾನಮತ್ತು ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಧಾನಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
Shkolkovo ಜೊತೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ತಯಾರಿ
ತರಗತಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಸಮನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳುಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಲಿಲ್ಲ, ನಮ್ಮ ಆಯ್ಕೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪೋರ್ಟಲ್. ಅದಕ್ಕೆ ಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ ಯಶಸ್ವಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಪ್ರಮಾಣೀಕರಣ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಸರಿಯಾದ ಮೂಲ ಮಾಹಿತಿನೀವು "ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮಾಹಿತಿ" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು, ನಮ್ಮ ಗಣಿತದ ಪೋರ್ಟಲ್‌ನಲ್ಲಿ "ಕ್ಯಾಟಲಾಗ್" ಗೆ ಹೋಗಿ. ಈ ವಿಭಾಗವು ವ್ಯಾಯಾಮಗಳ ದೊಡ್ಡ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳುತೊಂದರೆಗಳು. ಕ್ಯಾಟಲಾಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ, ರಷ್ಯಾದ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳುಮಾಸ್ಕೋ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ನಗರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಬಯಸಿದರೆ, ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಯಾಮವನ್ನು "ಮೆಚ್ಚಿನವುಗಳು" ಗೆ ಉಳಿಸಬಹುದು. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರೊಂದಿಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
ಸರಳ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಲೇಖನವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಈ ಲೇಖನವು ನಿಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.
Yandex.RTB R-A-339285-1
ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಹಲವಾರು ಸಹಾಯಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1
ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲವು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆಅವರು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು, ಅಂದರೆ, ಇದು ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರಬಹುದು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2
ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಗೆ ಅದು ಲಂಬವಾಗಿರುವಾಗ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3
ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣγ ಅದು ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಹಿಂದೆ ನೀಡಿದ ವಿಮಾನ, ಅಥವಾ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿγ ಪಾಯಿಂಟ್ M ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ γ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4
ಒಂದು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ರೇಖೆಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣγ ಎಂಬುದು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ನೀಡಿದ ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.
ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಛೇದಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಇದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಲೈನ್ a ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಸಮತಲ γ ಗೆ ಸೇರಿದ ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು a ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡೋಣ.
ಆನ್ ಈ ಕ್ಷಣನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಅಗತ್ಯ ಮಾಹಿತಿಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಡೇಟಾ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5
ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನಈ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಕೋನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆ. ಇದರರ್ಥ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಯಾವಾಗಲೂ ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಕೋನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ.
ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಹಲವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಪರಿಹಾರದ ಕೋರ್ಸ್ ಸ್ವತಃ ಸ್ಥಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಡೇಟಾವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಹಚರರು ಅಂಕಿಗಳ ಹೋಲಿಕೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ಕೊಸೈನ್ಗಳು, ಸೈನ್ಸ್, ಕೋನಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ. ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.
ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ O x y z ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ M ನಲ್ಲಿ ಸಮತಲ γ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವೆ ಇರುವ ಕೋನ α ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
ಮೊದಲು ನೀವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ O x y z, ಒಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲ γ ಗೆ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ವಿಮಾನದ ವೆಕ್ಟರ್. ನಂತರ a → = (a x , a y , a z) ನೀಡಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು n → (n x , n y , n z) ಸಮತಲ γ ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನದ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸಮತಲ γ ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ a → ಮತ್ತು n → ಸಮೀಕರಣದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ.
ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ರೂಪಾಂತರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
ಸಮತಲ γ ನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ a → ಮತ್ತು n → ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಯೋಜಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಥಳಕ್ಕಾಗಿ 4 ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ 4 ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು a → , n → ^ ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವೆ ಇರುವ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕೋನ α ಪೂರಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ರೂಪ a → , n → ^ = 90 ° - α. ಯಾವಾಗ, ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, a →, n → ^ > 90 °, ಆಗ ನಾವು →, n → ^ = 90 ° + α ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.
ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳುಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ನೀವು ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ನಂತರ ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ cos ಟೈಪ್ ಮಾಡಿ a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°.
ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದ ನಂತರ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ರೀತಿಯ ಪಾಪα = cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^
ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆನೇರ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್.
ಎರಡು ವಾಹಕಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಭಾಗವು ಈ ಕೋನವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ. ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಛೇದನದಿಂದ ಪಡೆದ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n z 2 + 2
ಇದರರ್ಥ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವಾಗಿದೆ
α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n
ತಿಳಿದಿರುವ ಸೈನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮೂಲಭೂತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತು. ನೇರ ರೇಖೆಯ ಛೇದಕ ಮತ್ತು ಸಮತಲವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಚೂಪಾದ ಮೂಲೆ. ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ cos ಸೂತ್ರಗಳುα = 1 - ಪಾಪ α.
ಹಲವಾರು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಇದೇ ಉದಾಹರಣೆಗಳುವಸ್ತುವನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತಗೊಳಿಸಲು.
ಉದಾಹರಣೆ 1
x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ 2 x + z - 1 = 0 ನೇರ ರೇಖೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನದ ಕೋನ, ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ
ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳುನೇರವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ. ನಂತರ ನಾವು a → = (3, - 2, 6) x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 ನೇರ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವಿಮಾನಗಳು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಮುಂದೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಸಮೀಕರಣದ ಅಸ್ಥಿರ. ನಂತರ ನಾವು ಪ್ಲೇನ್ 2 x + z - 1 = 0 ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ n → = (2, 0, 1) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮುಂದುವರಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು a → ಮತ್ತು b → ಗೆ ಬದಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 = n x 2 + 2 (n + 3 2 + 2 ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5
ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5
ಉತ್ತರ: sin α = 12 7 5, cos α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.
ಉದಾಹರಣೆ 2
A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1 ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಪಿರಮಿಡ್ ಇದೆ. ಎ ಡಿ ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ ಎ ಬಿ ಸಿ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ
ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನೇರ ರೇಖೆ A D ಗಾಗಿ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ A D → = 4, 1, 1 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ n → , ವಿಮಾನಎ ಬಿ ಸಿ ಆಗಿದೆ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿಎ ಬಿ → ಮತ್ತು ಎ ಸಿ → . A B C ವಿಮಾನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಹಕಗಳು A B → ಮತ್ತು A C → . ನಾವು ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6, 3, - )
ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಛೇದಕದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆನೇರ ಮತ್ತು ವಿಮಾನ. ನಾವು ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
α = a r c ಪಾಪ A D → , n → ^ A D → · n → = a r c ಪಾಪ 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a rc sin 23 21 2
ಉತ್ತರ:ಎ ಆರ್ ಸಿ ಪಾಪ 23 21 2
ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ
ನೇರ ರೇಖೆಯ l ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ 6 ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕೋನ p ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೇರ ರೇಖೆಯ l ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿರುವ n ಅನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 144). ಕೋನ P ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕೋನವನ್ನು a ಗೆ 90 ° ಗೆ ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ನೇರ ರೇಖೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನದ ಸಮತಲ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ P ಕೋನದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ ಲಂಬವಾಗಿ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ಅದು ಪೂರಕವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ ಲಂಬ ಕೋನ. ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕೋನವು ನೇರ ರೇಖೆಯ l ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ 0 ನಡುವಿನ ಕೋನದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.
27. ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು.
ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯ ದ್ವಿಮುಖ ಕೋನ- ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು Q ಮತ್ತು l ನಡುವೆ. - ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನದ ಅಂಚನ್ನು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿಂಗ್ ರೇಖೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು (ಸಮಸ್ಯೆಗಳು 1 ಮತ್ತು 2), ಅಥವಾ ಅಂಚನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಲಂಬವಾಗಿರುವ n1 ಮತ್ತು n2 ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಸಮತಲಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ M ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ B ಸಮತಲದಿಂದ ಈ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಸಮತಲ ಕೋನಗಳನ್ನು a ಮತ್ತು P ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಕ್ಕದ ಮೂಲೆಗಳು(ಡೈಹೆಡ್ರಲ್) ಕ್ಯೂ ಮತ್ತು ಎಲ್ ವಿಮಾನಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ. ಮಟ್ಟದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗುವ ಮೂಲಕ ಲಂಬವಾದ n1 ಮತ್ತು n2 ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ ರೇಖೀಯ ಕೋನ q ಮತ್ತು l ವಿಮಾನಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನ.
ಬಾಗಿದ ರೇಖೆಗಳು. ಬಾಗಿದ ರೇಖೆಗಳ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳು.
ಆನ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಕ್ರರೇಖೆಯ, ಅದರ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳು, ಇನ್ಫ್ಲೆಕ್ಷನ್, ರಿಟರ್ನ್, ಬ್ರೇಕ್ ಮತ್ತು ನೋಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಏಕ ಅಂಕಗಳುವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ.
ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮತಲವು ಯೋಜಿತ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡರೆ (ಚಿತ್ರ. ಎ),ನಂತರ ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಕ್ರರೇಖೆಗಾಗಿ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳು ಬಾಗಿದ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 2). ಬಿ)
ಯಾವ ಕರ್ವ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲು (ಪ್ಲೇನ್ ಅಥವಾ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ), ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಿಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಪ್ರಾದೇಶಿಕವಾಗಿದೆ ಡಿವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೂರು ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಇಈ ವಕ್ರರೇಖೆ.
ವೃತ್ತ - ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆ, ಅದರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿರಬಹುದು
ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ರೇಖೆ (ಹೆಲಿಕ್ಸ್) ಒಂದು ಸುರುಳಿಯ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ಪಥವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. 
29. ಫ್ಲಾಟ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಬಾಗಿದ ರೇಖೆಗಳು.
ಪ್ರಶ್ನೆ 28 ನೋಡಿ
30. ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈ ರೇಖಾಚಿತ್ರ. ಮೂಲ ನಿಬಂಧನೆಗಳು.
ಮೇಲ್ಮೈ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಸ್ಥಾನಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ರೇಖೆಯು ನೇರ ಅಥವಾ ವಕ್ರವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜೆನೆರಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಮೇಲ್ಮೈಗಳು. ಜೆನೆರಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ವೇರಿಯಬಲ್ ನೋಟ. ಜೆನೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಗಳು,ಜನರೇಟರ್‌ಗಳಿಗಿಂತ ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕಿನ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ಸಾಲುಗಳು ಜನರೇಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಜೆನೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಚಲಿಸುವಾಗ, ಎ ಚೌಕಟ್ಟುಮೇಲ್ಮೈ (ಅಂಜೂರ. 84), ಇದು genertrices ಮತ್ತು ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಗಳ ಹಲವಾರು ಸತತ ಸ್ಥಾನಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ, ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಎಂದು ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಲ್ಮತ್ತು ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಗಳು ಟಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಮೇಲ್ಮೈ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಯಾವುದೇ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.
ಜೆನೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಆಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಆಳ್ವಿಕೆಇದು ಉತ್ಪಾದಕ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆಳ್ವಿಕೆಗೆ ಒಳಪಡದ,ಇದು ಬಾಗಿದ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.
ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ, ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ, ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಮುಂಡದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಯಮಿತವಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸ್ಥಿರ ಆಕಾರದ (ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಳವೆಯಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು) ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಕಾರದ (ಚಾನಲ್ ಮತ್ತು ಫ್ರೇಮ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು) ಜೆನೆರಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು.
ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಭಾಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಹಿಮ್ಮುಖತೆಯನ್ನು ಖಾತ್ರಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಅವರು ಸಾಕಷ್ಟು ದಟ್ಟವಾದ ಜೆನೆರೆಟ್ರಿಸ್ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಆಶ್ರಯಿಸುತ್ತಾರೆ (ಚಿತ್ರ 86). ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಾ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಮೇಲ್ಮೈ Q ಅನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವಾಗ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವ ಕಿರಣಗಳು ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ. ಎಲ್, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಸಾಲು. ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ರೇಖೆಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಬಂಧಮೇಲ್ಮೈಗಳು. ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಮೇಲ್ಮೈ ಹೊಂದಿದೆ: ಪ 1 - ಸಮತಲ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆ, P 2 ನಲ್ಲಿ - ಮುಂಭಾಗದ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆ, P 3 ನಲ್ಲಿ - ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆ. ಸ್ಕೆಚ್ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ರೇಖೆಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಕಟ್ ಲೈನ್ಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.
ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ
ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದಂತಹ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1
ನಮಗೆ $A$ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ $A_1$ ಅನ್ನು ಪ್ಲೇನ್ $\alpha $ ಮೇಲೆ ಪಾಯಿಂಟ್ $A$ ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು $A$ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ $\alpha $ (Fig. 1) ಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಲಂಬವಾದ ಆಧಾರವಾಗಿದ್ದರೆ.
ಚಿತ್ರ 1. ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2
ನಮಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಕಿ $F$ ನೀಡೋಣ. $F_1$ ಆಕೃತಿಯನ್ನು $F$ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ $F$ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ $\alpha $ನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ $\alpha $ (ಚಿತ್ರ 2).
ಚಿತ್ರ 2. ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ
ಪ್ರಮೇಯ 1
ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.
ಪುರಾವೆ.
ನಮಗೆ $\alpha $ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆ $d$ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸೋಣ, ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿಲ್ಲ. $d$ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ $M$ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು $\alpha $ ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ $H$ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ $(MH)$ ನಾವು $\beta $ ವಿಮಾನವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಪ್ಲೇನ್ $\ ಆಲ್ಫಾ $ ಪ್ಲೇನ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು $m$ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು$M_1$ ಸಾಲಿನ $d$ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ $(M_1H_1$) ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ $(MH)$ (ಚಿತ್ರ 3) ಎಳೆಯಿರಿ.
ಚಿತ್ರ 3.
$\beta $ ಸಮತಲವು $\alpha $ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಕಾರಣ, $M_1H_1$ ನೇರ ರೇಖೆ $m$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, $H_1$ ಬಿಂದುವು $M_1$ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ ವಿಮಾನ $\ ಆಲ್ಫಾ $. ಪಾಯಿಂಟ್ $M_1$ ನ ಆಯ್ಕೆಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, $d$ ಸಾಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು $m$ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತರ್ಕಿಸುವುದು. IN ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮ, $m$ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು $d$ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಇದರರ್ಥ $d$ ರೇಖೆಯನ್ನು $m$ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3
ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು ಈ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 4).
ಚಿತ್ರ 4. ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನ
ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ.
ಗಮನಿಸಿ 1
ರೇಖೆಯು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ. ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ವಿಮಾನದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು $90^\circ$ ಆಗಿದೆ.
ಗಮನಿಸಿ 2
ರೇಖೆಯು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು $0^\circ$ ಆಗಿದೆ.
ಮಾದರಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು
ಉದಾಹರಣೆ 1
ನಮಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ $ABCD$ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ $M$ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡೋಣ. $B$ ಬಿಂದುವು $M$ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಿದರೆ $AMB$ ಮತ್ತು $MBC$ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಲಂಬಕೋನಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಪುರಾವೆ.
ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 5).
ಚಿತ್ರ 5.
ಪಾಯಿಂಟ್ $B$ ಪ್ಲೇನ್ $(ABC)$ ಮೇಲೆ ಪಾಯಿಂಟ್ $M$ ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, $(MB)$ ನೇರ ರೇಖೆಯು $(ABC)$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರಿಮಾರ್ಕ್ 1 ರ ಮೂಲಕ, $(MB)$ ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ $(ABC)$ ನಡುವಿನ ಕೋನವು $90^\circ$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ
\[\angle MBC=MBA=(90)^0\]
ಇದರರ್ಥ $AMB$ ಮತ್ತು $MBC$ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2
$\alpha $ ವಿಮಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮತಲಕ್ಕೆ $\varphi $ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭವು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ವಿಭಾಗದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. $\varphi$ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ಚಿತ್ರ 6 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
ಚಿತ್ರ 6.
ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
$BCD$ ತ್ರಿಕೋನವು ಬಲ-ಕೋನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕೊಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ
\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]