ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಸೂಚನೆಗಳು

ಮೂಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಆಯತಾಕಾರದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಲಂಬತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ. ಅಂತಹ ಜೋಡಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 90 ° ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂತಹ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅನುಕೂಲಕರ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಲಂಬ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ ನಿಯೋಜಿಸಿ. ಪ್ರೋಟ್ರಾಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ರೂಲರ್ ಬಳಸಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ.

ಮೂಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ā = (X₁;Y₁) ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು ಜೋಡಿ ಲಂಬ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಬಯಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ō = (X₂,Y₂) ಅಂತಹ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನತೆ (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಮಾಡಬಹುದು: ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ X₂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯ, ಮತ್ತು Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು Y₂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ā = (15;5) ಗಾಗಿ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ō ಇರುತ್ತದೆ, abscissa ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ -(15*1)/5 = -3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ō = (1;-3).

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಇತರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಲಂಬತೆಗೆ ಅದೇ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ - ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆರಂಭಿಕ ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗವನ್ನು ā = (X₁,Y₁,Z₁) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ō = (X₂,Y₂,Z₂) ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಅಂತಹ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಆರ್ಡರ್ ಜೋಡಿ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. X₂ ಮತ್ತು Y₂ ಗೆ ಏಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು Z₂ ಅನ್ನು ಸರಳೀಕೃತ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁ 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ā = (3,5,4) ಇದು ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. ನಂತರ abscissa ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಲಂಬವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದಾಗಿ, ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು -(3+5)/4 = -2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂಲಗಳು:

• ವೆಕ್ಟರ್ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಅವುಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್, ಇದರ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 90º ಆಗಿದೆ. ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಉಪಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲಂಬ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಲಂಬತೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ

• - ಪ್ರೊಟ್ರಾಕ್ಟರ್;
• - ದಿಕ್ಸೂಚಿ;
• - ಆಡಳಿತಗಾರ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಾರಂಭದ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಿ. 90º ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಪ್ರೊಟ್ರಾಕ್ಟರ್ ಬಳಸಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ನೀವು ಪ್ರೊಟ್ರಾಕ್ಟರ್ ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಮಾಡಲು ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಬಳಸಿ.

ಅದನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಿ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಇರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ವೃತ್ತವು ಛೇದಿಸಿದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಈ ವಲಯಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಮೊದಲ ವೃತ್ತಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬೇಕು. ವೃತ್ತಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಅದರ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.

ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್: , ಅಲ್ಲಿ - ವೆಕ್ಟರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್.

ಉತ್ತರ:
.

ಸೂಚನೆ.ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬಾರದು.

6.3. ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ . ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ. ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬನ್ನಿ.

ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವು ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಗಿದೆ:

ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಇದರಿಂದ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:
,
,
,
.

6.4 ಹುಡುಕಿ
.

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು, ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮಾಡುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಪದಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪದದಿಂದ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಉತ್ತರ:

6.5 ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ
, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಕೊಲಿನಿಯರ್ , ಅದು ಗೊತ್ತಿದ್ದರೂ
ಮತ್ತು ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ .

ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಕೊಲಿನಿಯರ್ , ಅಂದರೆ ಅದರ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ನೀವು ಅದನ್ನು 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಉದ್ದವು ಐದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಉತ್ತರ:

6.6. ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ
ಮತ್ತು
. ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿವೆಯೇ? ಮತ್ತು ,ಮತ್ತು ತಮ್ಮ ನಡುವೆ?

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿರುವ.

ಉತ್ತರ:
,
, ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸೂಚನೆ.ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಇನ್ನೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

6.7. ಬಲವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ವಸ್ತು ಬಿಂದುದಿಂದ ಮಾಡಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
, ಬಿಂದುವಿನಿಂದ C ಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ.

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಕೆಲಸ. ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಇಲ್ಲಿದೆ , ಸ್ಥಳಾಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ
. ಮತ್ತು ಈ ವಾಹಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಕೆಲಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಲಸ ಹುಡುಕುವುದು

6.8 ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಶೃಂಗದ ಕೋನ ಸಿ ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ .

ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

IN
ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದಂತೆ ನಾವು ಆಂತರಿಕ ಕೋನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಬಾಹ್ಯ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು ಇದರಿಂದ ಅವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಬರುತ್ತವೆ. ಚಿತ್ರವು ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಎಂಬುದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ
, ಕೇವಲ ವಿಭಿನ್ನ ಆರಂಭಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ.

ಅಗತ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಉತ್ತರ: ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಕೋನ A = , ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನ B = .

6.9 ವಾಹಕಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಮತ್ತು

ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:
,
,
.

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದಲೂ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ

- ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಬಿಮೇಲೆ ಎ.

ಹಿಂದೆ ಪಡೆದ ವಾಹಕಗಳು

,
,

ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಎರಡನೇ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಉತ್ತರ:
,

ಸೂಚನೆ.ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಎಂದರೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೇಲೆ ಇಳಿಯುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಇರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ.

6.10. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ
.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮಾಡೋಣ

ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಉತ್ತರ:
,
,
.

6.11. ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಬಿಸಿ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಉದ್ದವು C ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಇಳಿದಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಅದು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಎತ್ತರದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿಯೂ ಕಾಣಬಹುದು ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಎರಡರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಉತ್ತರ:
,
.

6.12. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು .

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಎರಡು ಮೂಲಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅದರ ಉದ್ದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ಹಿಂದೆ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

,

ಉತ್ತರ:
.

6.13. ಬಲದ ಕ್ಷಣದ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ
, ಬಿಂದು C ಗೆ ಸಂಬಂಧಿತ A ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವು ಬಲದ ಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಬಲದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಉತ್ತರ:
.

6.14. ವಾಹಕಗಳು ಸುಳ್ಳು ಹೇಳುತ್ತವೆ ,ಮತ್ತು ಅದೇ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ? ಈ ವಾಹಕಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದೇ? ಏಕೆ? ಅವರು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿ
.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಹಕಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ (ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಆಧಾರವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಕೊಳೆಯೋಣ ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಆಧಾರದಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ

ಉತ್ತರ: ವಾಹಕಗಳು ,ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಬೇಡಿ.
.

6.15. ಹುಡುಕಿ
. A, B, C, D ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣ ಎಷ್ಟು ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರವನ್ನು A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬೇಸ್ BCD ಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಜಿ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಅದು ಈ ವಾಹಕಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸಮಾನಾಂತರದ ಪರಿಮಾಣವಾಗಿದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಸಮಾನಾಂತರದ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕಿಂತ ಆರು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಬಹುದು:

ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಉತ್ತರ: ಪರಿಮಾಣ = 2.5, ಎತ್ತರ = .

6.16. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ
ಮತ್ತು
.

- ಈ ಕಾರ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ನೀವೇ ಯೋಚಿಸಲು ನಾವು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

- ಕೆಲಸವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸೋಣ.

ಹಿಂದೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ

ಉತ್ತರ:
.

6.17. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಹಂತಗಳನ್ನು ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡೋಣ

3)

ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸೋಣ

ಉತ್ತರ:
.

6.18. ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ
, ಇದು ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಮತ್ತು , ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ 5 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಉಪಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ

1) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಉದ್ದ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಲಂಬವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಹಿಂದೆ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಉದ್ದದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

2) ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ

6.19. ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ
, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು
,
,
.

ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಇದು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

ಉತ್ತರ:

6.20. ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ
, ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೊಪ್ಲಾನಾರ್ ಮತ್ತು , ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ
.

ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳಿವೆ: ವಾಹಕಗಳ ಕೋಪ್ಲಾನರಿಟಿ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿರುವಿಕೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪೂರೈಸೋಣ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಎರಡನೆಯದು.

1) ವಾಹಕಗಳು ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಕೆಲವು ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ .

2) ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ನಾವು ಬಯಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಎರಡನೇ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ

ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ
.

ಉತ್ತರ:
.

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ

ಪ್ರಶ್ನೆಯ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಲೇಖಕರು ನೀಡಿದ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಅನ್ನಾ ಅಫನಸ್ಯೆವಾಉತ್ತಮ ಉತ್ತರವೆಂದರೆ: ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ xb ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ I, j, k, ದಿ ವೆಕ್ಟರ್ a ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಎರಡನೆಯದು, ವೆಕ್ಟರ್ b ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮೂರನೆಯದು. ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು akhv=20i-10k, ಅಥವಾ ahv=(20,0,-10) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ನಿಂದ ಉತ್ತರ 22 ಉತ್ತರಗಳು[ಗುರು]

ನಮಸ್ಕಾರ! ನಿಮ್ಮ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಷಯಗಳ ಆಯ್ಕೆ ಇಲ್ಲಿದೆ: ಎರಡು ನೀಡಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನಿಂದ ಉತ್ತರ ಚಾಚಿ[ಹೊಸಬ]
ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅವುಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ xb ಆಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ I, j, k, ಎರಡನೆಯದು - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ a, ಮೂರನೆಯದು - ವೆಕ್ಟರ್ b ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ. ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು akhv=20i-10k, ಅಥವಾ ahv=(20,0,-10) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ನಿಂದ ಉತ್ತರ ಹಯ್ಕಾ[ಗುರು]
ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಈ ರೀತಿ ಪರಿಹರಿಸಿ; ಆದರೆ ಮೊದಲು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನೀವೇ ಓದಿ!! !
d=-c+a+2b ಆಗಿದ್ದರೆ d ಮತ್ತು r ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ; r=-b+2a.
ವೆಕ್ಟರ್ a ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ 4, ವೆಕ್ಟರ್ b ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ 6. ವೆಕ್ಟರ್ a ಮತ್ತು b ನಡುವಿನ ಕೋನವು 60 ಡಿಗ್ರಿ, ವೆಕ್ಟರ್ c ವೆಕ್ಟರ್ a ಮತ್ತು b ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
AE = ED, BF: FC = 4: 3. a) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು m = ವೆಕ್ಟರ್ AB ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ n = ವೆಕ್ಟರ್ AD ಯೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ EF ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ ABCD ಯ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ AD ಮತ್ತು BC ಯ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ E ಮತ್ತು F ಇರುತ್ತದೆ. b) ಸಮಾನತೆ ವೆಕ್ಟರ್ EF = x ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ CD ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬಹುದೇ? .

ಈ ಲೇಖನವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜೋಡಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಷಯವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಲಂಬತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತೇವೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಲಂಬತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾದ ವಾಹಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 90 ° (π 2 ರೇಡಿಯನ್ಸ್) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ.

ಇದರ ಅರ್ಥವೇನು, ಮತ್ತು ಯಾವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅವರ ಲಂಬತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ?

ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ಲಂಬತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಯೋಜಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಅಳೆಯಬಹುದು. ವಾಹಕಗಳ ಲಂಬತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೂ, ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರೊಟ್ರಾಕ್ಟರ್ ಬಳಸಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬೇರೆ ಏನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಈ ವಿಧಾನವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳ ಲಂಬತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಲಂಬತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 1

ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ a → ಮತ್ತು b → ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ a → , b → = 0 ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಅವುಗಳ ಲಂಬತೆಗೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ 1

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a → ಮತ್ತು b → ಲಂಬವಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು a ⇀ , b → = 0 ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಅದು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ನೀಡಿರುವ ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, a → ಮತ್ತು b → ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 90 ° ಆಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

ಪುರಾವೆಯ ಎರಡನೇ ಭಾಗ

a ⇀, b → = 0, a → ಮತ್ತು b → ನ ಲಂಬತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪುರಾವೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. a → ಮತ್ತು b → ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ ನಾವು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೊಸೈನ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, a →, b → ^ ವಾಹಕಗಳ a → ಮತ್ತು b → ಕೋನವು 90 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತೆ, ಇದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾದ ಸ್ಥಿತಿ

ಅಧ್ಯಾಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ a → = (a x , a y) ಮತ್ತು b → = (b x , b y), ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y ವಾಹಕಗಳಿಗೆ a → = (a x , a y , a z) ಮತ್ತು b → = (b x , b y , b z) ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಲಂಬತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯು ಒಂದು x · b x + a y · b y = 0, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.

ಅದನ್ನು ಆಚರಣೆಗೆ ತರೋಣ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ನೀಡಲಾದ ವಾಹಕಗಳು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉತ್ತರ:ಹೌದು, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a → ಮತ್ತು b → ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು i → , j → , k → ನೀಡಲಾಗಿದೆ. i → - j → ಮತ್ತು i → + 2 · j → + 2 · k → ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರಬಹುದೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಬೇಕು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.ಹೀಗಾಗಿ, ನೀಡಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು i → - j → ಮತ್ತು i → + 2 · j → + 2 · k → ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (1, - 1, 0) ಮತ್ತು (1, 2, 2) ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, ಅಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು i → - j → ಮತ್ತು i → + 2 j → + 2 k → ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸದ ಕಾರಣ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:ಇಲ್ಲ, i → - j → ಮತ್ತು i → + 2 · j → + 2 · k → ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ a → = (1, 0, - 2) ಮತ್ತು b → = (λ, 5, 1). ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುವ λ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಚದರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

ಉತ್ತರ:ವಾಹಕಗಳು λ = 2 ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಅಸಾಧ್ಯವಾದಾಗ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಡೇಟಾವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನ A B C ಅನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು A B → ಮತ್ತು A C →.

ಪರಿಹಾರ

A B → ಮತ್ತು A C → ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, A B C ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಆಯತಾಕಾರದಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬಿ ಸಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಆಗಿದೆ. ಸಮಾನತೆ B C 2 = A B 2 + A C 2 ನಿಜವಾಗಿರಬೇಕು. ಇದು 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ A B ಮತ್ತು A C ಗಳು A B C ತ್ರಿಕೋನದ ಕಾಲುಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ A B → ಮತ್ತು A C → ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು ಮುಖ್ಯ. ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಿದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಧ್ಯ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ a → ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಂಬ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ಇದನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸೋಣ.

ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ a → ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ a. ನಂತರ ಕೊಟ್ಟಿರುವ b →, ಸಾಲಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇದೆ, a → ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ i → ವೆಕ್ಟರ್ j → ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ λ · j → λ ಜೊತೆಗೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ b → ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು a → = (a x , a y ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ) ಪರಿಹಾರಗಳ ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು a → = (a x , a y) ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ವಾಹಕಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: a x · b x + a y · b y = 0. ನಾವು b x ಮತ್ತು b y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅವು ಲಂಬವಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವಾಗ a x ≠ 0, b y ನ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಮತ್ತು b x ಅನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. x = 0 ಮತ್ತು a y ≠ 0 ಗಾಗಿ, ನಾವು b x ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು b y = - a x · b x a y ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ b y ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ a → = (- 2 , 2) . ಇದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಬಯಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು b → (b x , b y) ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ವಾಹಕಗಳು a → ಮತ್ತು b → ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಇದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . ನಾವು b y = 1 ಅನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಾವು b x = - 2 - 2 = 1 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದರರ್ಥ ವೆಕ್ಟರ್ b → = (1 2 , 1) ಒಂದು → ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: b → = (1 2 , 1) .

ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದೇ ತತ್ತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ a → = (a x , a y , a z) ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಂಬ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ → ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ a. ನೇರ a ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲವನ್ನು α ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮತಲ α ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ b → a → ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ a → = (a x , a y , a z) ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ b → ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

b → ಅನ್ನು b x, b y ಮತ್ತು b z ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡೋಣ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಸಮಾನತೆ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕು. ಷರತ್ತಿನಿಂದ a → ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು x ≠ 0, (a y ≠ 0 ಅಥವಾ a z ≠ 0) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ಎಂದು ವಿಭಜಿಸುವ ಹಕ್ಕನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ನಾವು b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . ನಾವು b y ಮತ್ತು b x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ, b x = - a y · b y + a z · b z a x ಸೂತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ b x ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ. ಬಯಸಿದ ಲಂಬವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ a → = (a x, a y, a z).

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಒಂದು → = (1, 2, 3)  ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಬಯಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು b → = (b x , b y , b z) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಷರತ್ತಿನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

b y = 1, b z = 1 ರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ b → (- 5 , 1 , 1) ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿ → ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: b → = (- 5 , 1 , 1) .

ನೀಡಿದ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ನಾವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಇದು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ a → (a x , a y , a z) ಮತ್ತು b → = (b x , b y , b z) . a → ಮತ್ತು b → ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ a → ಅಥವಾ b → ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ a → ಮತ್ತು b → ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು a → ಮತ್ತು b → ಎರಡಕ್ಕೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ a → × b → ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಇದು a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ವಾಹಕಗಳು b → = (0, 2, 3) ಮತ್ತು a → = (2, 1, 0) ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಡೇಟಾಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. (ದಯವಿಟ್ಟು ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದುವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು). ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i = 20 → i → + (- 6) j → + 4 k →

ಉತ್ತರ: (3 , - 6 , 4) - ನೀಡಿರುವ a → ಮತ್ತು b → ಗೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಓಮ್ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ವಿಭಾಗದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ನಾವು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ರೇಖೆಯ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳು ಅದನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು, ನಾವು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ (ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗ) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಗಡಿ ಬಿಂದುವು ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂತ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಸೂಚನೆ: \overline(AB) ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ AB ಆಗಿದ್ದು ಅದು A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು B ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರದಲ್ಲಿ: \overline(a) (Fig. 1).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

ನಾವು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸೂಚನೆ: \overline(0) .

ಈಗ ನಾವು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ನಾವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಹ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ನಮಗೆ ನಂತರ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6

ನೀಡಿದ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ (ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆ) ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಈ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

ಅನುಪಾತದ ಮೂಲಕ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಚಿಹ್ನೆ

ಪ್ರಮೇಯ 1

ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಲಂಬವಾಗಿರಲು, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ಅಗತ್ಯತೆ: ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (α_1,α_2,α_3) ಮತ್ತು (β_1,β_2,β_3) ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ

ವಾಹಕಗಳು \overline(α) ಮತ್ತು \overline(β) ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಕಾರಣ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 90^0 ಆಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6 ರಿಂದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

ಸಾರ್ಥಕತೆ: ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಲಿ \overline(α)\cdot \overline(β)=0. \overline(α) ಮತ್ತು \overline(β) ವಾಹಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಹಕಗಳು \overline(α) ಮತ್ತು \overline(β) ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (1,-5,2) ಮತ್ತು (2,1,3/2) ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪುರಾವೆ.

ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

ಇದರರ್ಥ, ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀಡಿದ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ನಾವು ಮೊದಲು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಎರಡೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉದ್ದವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಎರಡು ಆರಂಭಿಕವು ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಹುದ್ದೆ: \overline(α)х\overline(β) x.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ವೆಕ್ಟರ್ ಈ ಎರಡೂ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಅವುಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ \overline(α)=(1,2,3) ಮತ್ತು \overline(β)=(-1,0,3)

ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\ಓವರ್‌ಲೈನ್ (ಐ)-(3+3)\ಓವರ್‌ಲೈನ್(ಜೆ)+(0+2)\ಓವರ್‌ಲೈನ್(ಕೆ)=6\ಓವರ್‌ಲೈನ್(ಐ)-6\ಓವರ್‌ಲೈನ್(ಜೆ)+2\ಓವರ್‌ಲೈನ್(ಕೆ) =(6,6,2) x