ಭಾಗಶಃ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಈಗ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ.

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದರೇನು? ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳುಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಅವುಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಕೇತಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ: , ಅಲ್ಲಿ - ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು.

ಹಿಂದೆ, ರೇಖೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: .

ಪರಿಹಾರ:

ಒಂದು ಭಾಗವು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಶವು 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಛೇದವು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: .

2 ಎಂದಿಗೂ 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು: . ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳುಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಅವು ಎರಡೂ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ:.

ಆದ್ದರಿಂದ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ:

1. ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸಿ ಎಡಬದಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬಲಭಾಗವು 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ.

3. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಾಗವನ್ನು 0 ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ: .

4. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: .

ಪರಿಹಾರ

ಅತ್ಯಂತ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸರಿಸೋಣ ಎಡಬದಿ, ಆದ್ದರಿಂದ 0 ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರೋಣ:

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು: . ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: .

ಈಗ ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ: ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು: . ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ - 3.

ಉತ್ತರ:.

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಏನೆಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ, ಅದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೈಜ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

ಬಾಷ್ಮಾಕೋವ್ M.I. ಬೀಜಗಣಿತ, 8 ನೇ ತರಗತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2004.
ಡೊರೊಫೀವ್ ಜಿ.ವಿ., ಸುವೊರೊವಾ ಎಸ್.ಬಿ., ಬುನಿಮೊವಿಚ್ ಇ.ಎ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಬೀಜಗಣಿತ, 8. 5ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2010.
ನಿಕೋಲ್ಸ್ಕಿ S.M., ಪೊಟಾಪೋವ್ M.A., ರೆಶೆಟ್ನಿಕೋವ್ N.N., ಶೆವ್ಕಿನ್ A.V. ಬೀಜಗಣಿತ, 8 ನೇ ತರಗತಿ. ಗಾಗಿ ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2006.

ಹಬ್ಬ ಶಿಕ್ಷಣ ವಿಚಾರಗಳು "ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಪಾಠ" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

ಮನೆಕೆಲಸ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: .

ಪರಿಹಾರ:

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: .

2 ಎಂದಿಗೂ 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು: . ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಪಡೆದ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಅಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಅವೆರಡೂ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ.

ಉತ್ತರ:.

ಆದ್ದರಿಂದ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ:

1. ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಬಲಭಾಗವು 0 ನೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

2. ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರಲು.

3. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಾಗವನ್ನು 0 ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ: .

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: .

ಪರಿಹಾರ

ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ ಇದರಿಂದ 0 ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರೋಣ:

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು: . ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: .

ಉತ್ತರ:.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

ಬಾಷ್ಮಾಕೋವ್ M.I. ಬೀಜಗಣಿತ, 8 ನೇ ತರಗತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2004.
ಡೊರೊಫೀವ್ ಜಿ.ವಿ., ಸುವೊರೊವಾ ಎಸ್.ಬಿ., ಬುನಿಮೊವಿಚ್ ಇ.ಎ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಬೀಜಗಣಿತ, 8. 5ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2010.
ನಿಕೋಲ್ಸ್ಕಿ S.M., ಪೊಟಾಪೋವ್ M.A., ರೆಶೆಟ್ನಿಕೋವ್ N.N., ಶೆವ್ಕಿನ್ A.V. ಬೀಜಗಣಿತ, 8 ನೇ ತರಗತಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2006.

ಶಿಕ್ಷಣ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಉತ್ಸವ "ಓಪನ್ ಲೆಸನ್" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

ಮನೆಕೆಲಸ

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ನೀವು ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದಾಗ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕ್ರಿಸ್‌ಕ್ರಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ). ನಿಮಗೆ 3 ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಿಸ್-ಕ್ರಾಸ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮ).

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆ). NOZ ಆಗಿದೆ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಛೇದದಿಂದ ಸಮವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ NPD ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, ನಂತರ 3, 2 ಮತ್ತು 6 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವು 6 ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
NCD ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ದೊಡ್ಡ ಛೇದದ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಇತರ ಛೇದಗಳ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಛೇದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ NOD ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ NOS = 8*9 = 72.
ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಛೇದಗಳು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗುತ್ತದೆ (ಆದರೆ ಅಸಾಧ್ಯವಲ್ಲ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, NOC ಪ್ರತಿ ಛೇದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಛೇದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

ಪ್ರತಿ ಭಾಗದ ಅನುಗುಣವಾದ ಛೇದದಿಂದ NOC ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡನ್ನೂ ಗುಣಿಸಿ. ನೀವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡನ್ನೂ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ನೀವು ಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ 1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೀರಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2/2 = 1 ಅಥವಾ 3/3 = 1).

ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, 2x/6 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು x/3 ಅನ್ನು 2/2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಮತ್ತು 3/6 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು 1/2 ಅನ್ನು 3/3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ (3x +1/6 ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಛೇದವು 6).
ವೇರಿಯಬಲ್ ಛೇದದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಇದೇ ರೀತಿ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, NOZ = 3x(x-1), ಆದ್ದರಿಂದ 5(3x)/(3x)(x-1) ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು 5/(x-1) ಅನ್ನು (3x)/(3x) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ; 1/x ಅನ್ನು 3(x-1)/3(x-1) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ನೀವು 3(x-1)/3x(x-1) ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ; 2/(3x) ಗುಣಿಸಿದರೆ (x-1)/(x-1) ಮತ್ತು ನೀವು 2(x-1)/3x(x-1) ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.ಈಗ ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿದ್ದೀರಿ, ನೀವು ಛೇದವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ಅಂದರೆ, "x" ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ.

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. ನೀವು 2 ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಅದೇ ಛೇದ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಿರಿ: (2x+3)/6=(3x+1)/6. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಿ: 2x+3 = 3x +1. ಪರಿಹರಿಸಿ ಮತ್ತು x = 2 ಪಡೆಯಿರಿ.
ನಮ್ಮ ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ (ಛೇದದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ), ಸಮೀಕರಣವು (ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿತದ ನಂತರ): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು N3 ಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಛೇದವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), ಅಥವಾ 15x = 3x - 3 + 2x -2, ಅಥವಾ 15x = x - 5 ಪರಿಹರಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿ: x = -5/14.

ವಿಷಯದ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಮತ್ತು ಪಾಠ: "ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು"

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಸ್ತುಗಳು
ಆತ್ಮೀಯ ಬಳಕೆದಾರರೇ, ನಿಮ್ಮ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು, ವಿಮರ್ಶೆಗಳು, ಶುಭಾಶಯಗಳನ್ನು ಬಿಡಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ! ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಂಟಿ-ವೈರಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗ್ರೇಡ್ 8 ಗಾಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸ್ಟೋರ್‌ನಲ್ಲಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಹಾಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳು
ಮಕರಿಚೆವ್ ಯು.ಎನ್ ಅವರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಕ್ಕಾಗಿ ಕೈಪಿಡಿ. ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ ಅವರಿಂದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಕ್ಕಾಗಿ ಕೈಪಿಡಿ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಚಯ

ಗೆಳೆಯರೇ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಗಣಿತವು ಅವರಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಇಂದು ನಾವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಈಗ ನಾವು ಕೆಲವು ವೇರಿಯಬಲ್ $x$ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ನಾವು ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಾಕಾರ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ.

$r(x)$ ಆಗಿರಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ವೇರಿಯಬಲ್ $x$ ಅಥವಾ ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಸರಳ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿರಬಹುದು (ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ ವಿಭಾಗ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ).
$r(x)=0$ ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣ.
$p(x)=q(x)$ ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $p(x)$ ಮತ್ತು $q(x)$ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣ.

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

ಪರಿಹಾರ.
ಎಲ್ಲಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಂತರ ನಾವು ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ.
ಇದನ್ನು ಮಾಡೋಣ: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac(2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

ಒಂದು ಭಾಗವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಅಂಶವನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.
$3(x^2+2x-3)=0$ ಅಥವಾ $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
ಈಗ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ: $(x-3)*x≠0$.
ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ: $x≠0$ ಅಥವಾ $x-3≠0$.
$x≠0$ ಅಥವಾ $x≠3$.
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಬೇರುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಅಂಶದ ಎರಡೂ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಉತ್ತರ: $x=1$ ಅಥವಾ $x=-3$.

ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಅಂಶದ ಒಂದು ಮೂಲವು ಛೇದದ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ಅದನ್ನು ಹೊರಗಿಡಬೇಕು. ಅಂತಹ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ!

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

1. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ.
2. ಸಮೀಕರಣದ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಗ: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಶವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ, ಅಂದರೆ $p(x)=0$ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
4. ಛೇದವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಛೇದದ ಬೇರುಗಳು ಅಂಶದ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಉತ್ತರದಿಂದ ಹೊರಗಿಡಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 2.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

ಪರಿಹಾರ.
ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಪರಿಹರಿಸೋಣ.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. ಅಂಶವನ್ನು ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. ಛೇದವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ ಮತ್ತು $x=-1$.
ಒಂದು ಮೂಲ $x=1$ ಅಂಶದ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ.
ಉತ್ತರ: $x=-1$.

ಅಸ್ಥಿರ ವಿಧಾನದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: $x^4+12x^2-64=0$.

ಪರಿಹಾರ.
ಬದಲಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: $t=x^2$.
ನಂತರ ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
$t^2+12t-64=0$ - ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
ರಿವರ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: $x^2=4$ ಅಥವಾ $x^2=-16$.
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು $x=±2$ ಎಂಬ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡನೆಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.
ಉತ್ತರ: $x=±2$.

ಉದಾಹರಣೆ 4.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
ಪರಿಹಾರ.
ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: $t=x^2+x+1$.
ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: $t=\frac(15)(t+2)$.
ಮುಂದೆ ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - ಬೇರುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ರಿವರ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸೋಣ:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ಇಲ್ಲ ಬೇರುಗಳು.
ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣ: $x^2+x-2=0$.
ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು $x=-2$ ಮತ್ತು $x=1$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉತ್ತರ: $x=-2$ ಮತ್ತು $x=1$.

ಉದಾಹರಣೆ 5.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

ಪರಿಹಾರ.
ಬದಲಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: $t=x+\frac(1)(x)$.
ನಂತರ:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ಅಥವಾ $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಜೋಡಿ:
$t=-3$ ಮತ್ತು $t=2$.
ರಿವರ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ಸಂಖ್ಯೆ $x=1$ ಆಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

« ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳುಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ" ಎಂಬುದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಾಗುವ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳುಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಅವರು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ ವಿಶೇಷ ಗಮನ. ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರುತ್ತಾರೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳುತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ತಯಾರಿಯಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸಲು ಮತ್ತು ಹಾರುವ ಬಣ್ಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ರವಾನಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಏಕೀಕೃತ ಗಣಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ತಯಾರಾಗಲು Shkolkovo ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪೋರ್ಟಲ್ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ!

ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಲು, ನಮ್ಮ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸೇವೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ. Shkolkovo ಪೋರ್ಟಲ್ ಒಂದು ರೀತಿಯ ವೇದಿಕೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು. ನಮ್ಮ ಶಿಕ್ಷಕರು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಕೈಯನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲು ನಾವು ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಆಧಾರವನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ನವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ತಯಾರಿಗಾಗಿ, ನಮ್ಮ ವಿಶೇಷ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಕ್ರಮೇಣ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪದವೀಧರರು ಸ್ವತಃ ಹೆಚ್ಚು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಕಷ್ಟಕರ ವಿಷಯಗಳುಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವತ್ತ ಗಮನಹರಿಸಿ.

ತಯಾರಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಅಂತಿಮ ಪರೀಕ್ಷೆಇಂದು ಶ್ಕೋಲ್ಕೊವೊ ಅವರೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಬರಲು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ಇರುವುದಿಲ್ಲ! ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಸುಲಭ ಉದಾಹರಣೆಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದವರಿಂದ. ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನದಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ ಕಷ್ಟದ ಕೆಲಸ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ವಿಶೇಷ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ USE ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಹಂತದವರೆಗೆ ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು.

ಮಾಸ್ಕೋದಿಂದ ಪದವೀಧರರಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಇತರ ನಗರಗಳ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ತರಬೇತಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ. ನಮ್ಮ ಪೋರ್ಟಲ್‌ನಲ್ಲಿ ದಿನಕ್ಕೆ ಒಂದೆರಡು ಗಂಟೆಗಳ ಕಾಲ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ!