ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೂರು ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಅಪವರ್ತನದ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮೊದಲ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.
ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳೋಣ: 99, 30 ಮತ್ತು 28. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯು 99, 30 ಮತ್ತು 28 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು, ಈ ಭಾಜಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು:
2 2 3 2 5 7 11 = 13,860
ಹೀಗಾಗಿ, LCM (99, 30, 28) = 13,860 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 99, 30, ಅಥವಾ 28 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ನೀಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಅದು ಕಂಡುಬರುವ ದೊಡ್ಡ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಆ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುಣಿಸಿ.
ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಕಾರಣ, ಅವುಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: 20, 49 ಮತ್ತು 33 ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಅದಕ್ಕೇ
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.
ವಿವಿಧ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: 60, 30, 10 ಮತ್ತು 6. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 60 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
- ನೀಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
- ಮುಂದೆ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2. ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 24, 3 ಮತ್ತು 18 ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ - ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ 24. ಮುಂದೆ, ನಾವು 24 ರ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 18 ಮತ್ತು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ:
24 · 1 = 24 - 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ 18 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
24 · 2 = 48 - 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ 18 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
24 · 3 = 72 - 3 ಮತ್ತು 18 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.
ಹೀಗಾಗಿ, LCM (24, 3, 18) = 72.
LCM ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
LCM ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮೂರನೇ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.
ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಅವುಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ: 12 ಮತ್ತು 8. ಅವುಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: GCD (12, 8) = 4. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ:
ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅವುಗಳ ಜಿಸಿಡಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಹೀಗಾಗಿ, LCM (12, 8) = 24.
ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ:
- ಮೊದಲಿಗೆ, ಈ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
- ನಂತರ, ಕಂಡುಬರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ LCM ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆ.
- ನಂತರ, ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಂಕದ LCM ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.
- ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರುವವರೆಗೂ LCM ಗಾಗಿ ಹುಡುಕಾಟ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: 12, 8 ಮತ್ತು 9. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 12 ಮತ್ತು 8 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ (ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ 24 ಆಗಿದೆ). ಸಂಖ್ಯೆ 24 ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ - 9. ಅವುಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: GCD (24, 9) = 3. LCM ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ 9 ನೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿ:
ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅವುಗಳ ಜಿಸಿಡಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಹೀಗಾಗಿ, LCM (12, 8, 9) = 72.
"ಬಹು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" ಎಂಬ ವಿಷಯವನ್ನು ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆಯ 5 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಿಖಿತ ಮತ್ತು ಮೌಖಿಕ ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವುದು ಇದರ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ, ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ - “ಬಹು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು” ಮತ್ತು “ಭಾಜಕಗಳು”, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಜಕಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ತಂತ್ರ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಈ ವಿಷಯವು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಅದರ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಕನಿಷ್ಟ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ (LCM) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
A ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ A ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ವತಃ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವಂತಿಲ್ಲ.
ಸಂಖ್ಯೆ 125 ಸಂಖ್ಯೆ 5 ರ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನೀವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು. 125 ಅನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಆಗ ಉತ್ತರ ಹೌದು.
ಈ ವಿಧಾನವು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.
LOC ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ.
1. ನೀವು 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 80 ಮತ್ತು 20), ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು (80) ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ (20) ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಆಗ ಈ ಸಂಖ್ಯೆ (80) ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.
LCM(80, 20) = 80.
2. ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವರ LCM ಈ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.
LCM(6, 7) = 42.
ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. 42 ಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ 6 ಮತ್ತು 7 ಭಾಜಕಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ಭಾಗಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, 6 ಮತ್ತು 7 ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬಹು ಸಂಖ್ಯೆಯ (42) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಸ್ವತಃ ಅಥವಾ 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರೆ (3:1=3; 3:3=1). ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯು 9 42 ರ ಭಾಜಕವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.
42:9=4 (ಉಳಿದ 6)
ಉತ್ತರ: 9 42 ರ ಭಾಜಕವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಉತ್ತರವು ಶೇಷವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಭಾಜಕವು ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಭಾಜಕವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ ಎಮತ್ತು ಬಿ, ಅವುಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಗುಣಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸ್ವತಃ ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ.
ಅವುಗಳೆಂದರೆ: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 168, 180, 3024 ಗಾಗಿ LCM ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
LCM(168, 180, 3024) = 15120.
ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ GCD ಮತ್ತು NOC ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ.
ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವು a ಮತ್ತು b ಯ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ a ಮತ್ತು b ಯ ದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಅಂದರೆ, LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).
ಪುರಾವೆ.
ಅವಕಾಶ M ಎಂಬುದು a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, M ಅನ್ನು a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಭಾಜ್ಯತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ k ಇರುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ M=a·k ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ M ಅನ್ನು b ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ನಂತರ a·k ಅನ್ನು b ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.
gcd(a, b) ಅನ್ನು d ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ನಾವು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು a=a 1 ·d ಮತ್ತು b=b 1 ·d, ಮತ್ತು a 1 =a:d ಮತ್ತು b 1 =b:d ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು a · k ಅನ್ನು b ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮರುರೂಪಿಸಬಹುದು: a 1 · d · k ಅನ್ನು b 1 · d ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಭಾಜಕತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದಾಗಿ ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ a 1 · k ಅನ್ನು b 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಷರತ್ತು.
ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೀವು ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಅನುಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಹ ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ.
ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಅವುಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಾಕಾರಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ.
ಇದು ನಿಜವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ A ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳ M ನ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯ t ಗಾಗಿ M=LMK(a, b)·t ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪರಸ್ಪರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಂಕ a ಮತ್ತು b ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ಸತ್ಯದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. a ಮತ್ತು b ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ gcd(a, b)=1, ಆದ್ದರಿಂದ, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರ
ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ a 1 , a 2 , ..., a k ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರಗಳು m k-1 ಮತ್ತು a k , ಆದ್ದರಿಂದ, m k ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು m k ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕವು m k ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, a 1, a 2, ..., a k ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಕ್ಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಂಕವು m k ಆಗಿದೆ.
ಉಲ್ಲೇಖಗಳು.
- ವಿಲೆಂಕಿನ್ ಎನ್.ಯಾ. ಮತ್ತು ಇತರರು. 6 ನೇ ತರಗತಿ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ.
- ವಿನೋಗ್ರಾಡೋವ್ I.M. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು.
- ಮಿಖೆಲೋವಿಚ್ Sh.H. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ.
- ಕುಲಿಕೋವ್ ಎಲ್.ಯಾ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ: ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿಶೇಷತೆಗಳು.
ಆದರೆ ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಇತರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
ಸಂಖ್ಯೆ 12 ಅನ್ನು 1 ರಿಂದ 2 ರಿಂದ 3 ರಿಂದ 4 ರಿಂದ 6 ರಿಂದ 12 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು;
ಸಂಖ್ಯೆ 36 ಅನ್ನು 1 ರಿಂದ 2 ರಿಂದ 3 ರಿಂದ 4 ರಿಂದ 6 ರವರೆಗೆ 12 ರಿಂದ 18 ರಿಂದ 36 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.
ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (12 ಕ್ಕೆ ಇವು 1, 2, 3, 4, 6 ಮತ್ತು 12) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಾಜಕಗಳು. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಜಕ ಎ- ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಒಂದು ಕುರುಹು ಇಲ್ಲದೆ. ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಯೋಜಿತ .
12 ಮತ್ತು 36 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದರೆ: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದೊಡ್ಡ ಭಾಜಕ 12. ಈ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ ಎಮತ್ತು ಬಿ- ಇದು ಎರಡೂ ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕಗಳುಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 9, 18 ಮತ್ತು 45 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 180 ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಆದರೆ 90 ಮತ್ತು 360 ಸಹ ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕಗಳಾಗಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು 90. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚಿಕ್ಕದುಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹು (CMM).
LCM ಯಾವಾಗಲೂ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬೇಕು.
ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆ (LCM). ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ಪರಿವರ್ತನೆ:
ಸಹಭಾಗಿತ್ವ:
ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕಾಪ್ರೈಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆಗಿದ್ದರೆ:
ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರ ಮೀಮತ್ತು ಎನ್ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ ಮೀಮತ್ತು ಎನ್. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಮೀ, ಎನ್ LCM ಗಾಗಿ ಮಲ್ಟಿಪಲ್‌ಗಳ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ( ಮೀ, ಎನ್).
ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಚೆಬಿಶೇವ್ ಕಾರ್ಯ. ಮತ್ತು ಸಹ:
ಲ್ಯಾಂಡೌ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ g(n).
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮದಿಂದ ಏನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (LCM).
NOC( a, b) ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು:
1. ದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅದರ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು LCM ನೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು:
2. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ:
ಎಲ್ಲಿ ಪು 1,..., ಪು ಕೆ- ವಿವಿಧ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು d 1 ,...,d kಮತ್ತು ಇ 1 ,..., ಇ ಕೆ— ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು (ಅನುಗುಣವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅವು ಸೊನ್ನೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು).
ನಂತರ NOC ( ಎ,ಬಿ) ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, LCM ವಿಘಟನೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. a, b, ಮತ್ತು ಈ ಗುಣಕದ ಎರಡು ಘಾತಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ:
ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ನ ಹಲವಾರು ಅನುಕ್ರಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು:
ನಿಯಮ.ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯ LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
- ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ;
- ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅತಿದೊಡ್ಡ ವಿಘಟನೆಯನ್ನು (ನೀಡಿರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ) ವರ್ಗಾಯಿಸಿ, ತದನಂತರ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರದ ಅಥವಾ ಅದರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ;
— ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವು ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ LCM ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಗುಣಕಗಳಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ LCM ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಂಖ್ಯೆ 28 (2, 2, 7) ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳು 3 (ಸಂಖ್ಯೆ 21) ನೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನ (84) 21 ಮತ್ತು 28 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ 30 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 25 ರ ಅಂಶ 5 ರಿಂದ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನ 150 ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ 30 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದಿಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲಾ ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಭವನೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ (150, 250, 300...) ಇದು ಎಲ್ಲಾ ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
2,3,11,37 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ LCM ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ನಿಯಮ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ಮತ್ತೊಂದು ಆಯ್ಕೆ:
ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (LCM) ಹುಡುಕಲು:
1) ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು (ಗುಣಕಗಳು) ಬರೆಯಿರಿ;
4) ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಪದವಿಯನ್ನು ಆರಿಸಿ;
5) ಈ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.
ಉದಾಹರಣೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ: 168, 180 ಮತ್ತು 3024.
ಪರಿಹಾರ. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕಗಳ ಮಹಾನ್ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
ಕೆಳಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ವಸ್ತುವು LCM ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಲೇಖನದಿಂದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ತಾರ್ಕಿಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ - ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಲ್ಟಿಪಲ್, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು, LCM ಮತ್ತು GCD ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (LCM), ಮತ್ತು ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿಶೇಷ ಗಮನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ GCD ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ನಂತರ, ನಾವು ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಹ ಗಮನ ಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.
GCD ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (LCM) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ
LCM ಮತ್ತು GCD ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. LCM ಮತ್ತು GCD ನಡುವಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಪರ್ಕವು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕದ ಮೂಲಕ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರವು LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ.
126 ಮತ್ತು 70 ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ a=126 , b=70 . ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ LCM ಮತ್ತು GCD ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನಾವು ಬಳಸೋಣ LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). ಅಂದರೆ, ಮೊದಲು ನಾವು 70 ಮತ್ತು 126 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಲಿಖಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.
ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು GCD(126, 70) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, ಆದ್ದರಿಂದ, GCD(126, 70)=14.
ಈಗ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
ಉತ್ತರ:
LCM(126, 70)=630 .
ಉದಾಹರಣೆ.
LCM(68, 34) ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ?
ಪರಿಹಾರ.
ಏಕೆಂದರೆ 68 ಅನ್ನು 34 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ನಂತರ GCD(68, 34)=34. ಈಗ ನಾವು ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
ಉತ್ತರ:
LCM(68, 34)=68 .
ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು a ಮತ್ತು b ಗಾಗಿ LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು b ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಂಕವು a ಆಗಿದೆ.
ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅಪವರ್ತನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಆಧರಿಸಿದೆ. ನೀಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಂದ ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರಚಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಈ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ .
LCM ಅನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಹೇಳಲಾದ ನಿಯಮವು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, A ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ GCD(a, b) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು GCD ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ).
ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಕೊಡೋಣ. 75=3·5·5 ಮತ್ತು 210=2·3·5·7 ಎಂದು ತಿಳಿಯೋಣ. ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ: 2·3·3·5·5·5·7 . ಈಗ ಈ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ 75 ರ ವಿಸ್ತರಣೆ ಮತ್ತು 210 ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ (ಅಂತಹ ಅಂಶಗಳು 3 ಮತ್ತು 5), ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವು 2·3·5·5·7 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. . ಈ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವು 75 ಮತ್ತು 210 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
ಉದಾಹರಣೆ.
441 ಮತ್ತು 700 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ.
441 ಮತ್ತು 700 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ನಾವು 441=3·3·7·7 ಮತ್ತು 700=2·2·5·5·7 ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಈಗ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮಾಡೋಣ: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. ಎರಡೂ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಾವು ಈ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಹೊರಗಿಡೋಣ (ಅಂತಹ ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ - ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ 7): 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 . ಹೀಗಾಗಿ, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
ಉತ್ತರ:
NOC(441, 700)= 44 100 .
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಸಂಖ್ಯೆ b ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು a ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವು a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ..
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 75 ಮತ್ತು 210 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅವುಗಳ ವಿಘಟನೆಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ: 75=3·5·5 ಮತ್ತು 210=2·3·5·7. ಸಂಖ್ಯೆ 75 ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ 3, 5 ಮತ್ತು 5 ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು 210 ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶಗಳು 2 ಮತ್ತು 7 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನ 2·3·5·5·7 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯ LCM(75, 210) ಗೆ ಸಮ.
ಉದಾಹರಣೆ.
84 ಮತ್ತು 648 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ನಾವು ಮೊದಲು 84 ಮತ್ತು 648 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಘಟನೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅವರು 84=2·2·3·7 ಮತ್ತು 648=2·2·2·3·3·3·3ರಂತೆ ಕಾಣುತ್ತಾರೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 84 ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ 2, 2, 3 ಮತ್ತು 7 ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು 648 ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶಗಳಾದ 2, 3, 3 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನ 2 2 2 3 3 3 3 7 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು 4 536 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, 84 ಮತ್ತು 648 ರ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವು 4,536 ಆಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ:
LCM(84, 648)=4,536 .
ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೀಡುವ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಪ್ರಮೇಯ.
ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a 1 , a 2 , ..., a k ಅನ್ನು ನೀಡಲಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹು m k ಅನ್ನು m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ.
140, 9, 54 ಮತ್ತು 250 ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
ಮೊದಲು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಳಸಿ, ನಾವು GCD(140, 9) ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, ಆದ್ದರಿಂದ, GCD(140, 9)=1 , ಎಲ್ಲಿಂದ GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. ಅಂದರೆ, ಮೀ 2 =1 260.
ಈಗ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). GCD (1 260, 54) ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ: 1 260=54·23+18, 54=18·3. ನಂತರ gcd(1,260, 54)=18, ಇದರಿಂದ gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. ಅಂದರೆ, m 3 =3 780.
ಹುಡುಕುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು GCD(3,780, 250) ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. ಆದ್ದರಿಂದ, GCM(3,780, 250)=10, ಎಲ್ಲಿಂದ GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. ಅಂದರೆ, ಮೀ 4 =94,500.
ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವು 94,500 ಆಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಬದ್ಧರಾಗಿರಬೇಕು. ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ: ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶಗಳು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶಗಳು ಮೂರನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ.
84, 6, 48, 7, 143 ಐದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಘಟನೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅದು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅದರ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ) ಮತ್ತು 143=11·13.
ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ 84 ರ ಅಂಶಗಳಿಗೆ (ಅವು 2, 2, 3 ಮತ್ತು 7), ನೀವು ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆ 6 ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ 84 ರ ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ 2 ಮತ್ತು 3 ಎರಡೂ ಈಗಾಗಲೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ 6 ರ ವಿಭಜನೆಯು ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ. ಮುಂದೆ, 2, 2, 3 ಮತ್ತು 7 ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶಗಳು 2 ಮತ್ತು 2 ಅನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಂಖ್ಯೆ 48 ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು 2, 2, 2, 2, 3 ಮತ್ತು 7 ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ 7 ಈಗಾಗಲೇ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, 2, 2, 2, 2, 3 ಮತ್ತು 7 ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು 143 ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶಗಳು 11 ಮತ್ತು 13 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು 48,048 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.