ಈ ಸೂತ್ರಸಮಾನಾಂತರ ವಿಭಾಗಗಳ ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ದೇಹದ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ x 2 + y 2 + z 2 = 1. a 2b 2c 2

ಎಲಿಪ್ಸಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ಸಮತಲದಿಂದ ಕತ್ತರಿಸುವುದು, ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ Oyz ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ (-а ≤х ≤а), ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 15 ನೋಡಿ):

ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

S(x) = π bc1

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (16), ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು

AB ವಕ್ರರೇಖೆಯು y = f (x) ≥ 0 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರಲಿ, ಇಲ್ಲಿ x [a,b], y = f (x) ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ y" = f" (x) ಇದರ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ವಿಭಾಗ.

ನಂತರ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರದೇಶ S, ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಕರ್ವ್ AB ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

		2π			1 +(y ′) 2 dx .

AB ಕರ್ವ್ ನೀಡಿದರೆ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು x = x (t), y = y (t), t 1 ≤t ≤t 2, ನಂತರ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

S x = 2 π ∫ y (t)(x ′ (t))2 + (y ′ (t))2 dt.

ಉದಾಹರಣೆ R. ತ್ರಿಜ್ಯದ ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ y = R 2 - x 2, - R ≤x ≤R, ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (19) ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

			− x
S = 2π		R 2− x 21 +						dx =
					− x
	- ಆರ್

2 π ∫ R2 - x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

−R

ಉದಾಹರಣೆ. ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ x = a (t - sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π ನೀಡಲಾಗಿದೆ. y = a (1− ವೆಚ್ಚ) ,

ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಪರಿಹಾರ:

ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ ಆರ್ಕ್ನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗಿದಾಗ, ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

1 ಎಸ್ x

2π π ∫ a (1− ವೆಚ್ಚ)

(a(1 - cos t)) 2 + (asin t) 2 dt=

2π ∫ π a 2

2 ಸಿನ್2 ಟಿ

2 ವೆಚ್ಚ + ವೆಚ್ಚ 2

t + sin 2 tdt=

4 π a 2

π ∫ ಪಾಪ2

2 2sin2 t dt = 8π a 2

π ∫ sin2 ಟಿ

ಸಿಂಟ್

dt =

= -8 π a 2 ∫

−cos

dcos

= - 16 π a

32πa

= -16 π a

0 −

1− 0+

= -16 π a

1 S x = 32 π a 2 ಆದ್ದರಿಂದ,

64 π a 2

ಪ್ಲೇನ್ ಕರ್ವ್ನ ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ಮುರಿದ ರೇಖೆಯ ಲಿಂಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ ಆರ್ಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಿಡಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಫ್ಲಾಟ್ ಕರ್ವ್ AB ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಸಮೀಕರಣವು y = f(x), ಇಲ್ಲಿ a ≤ x≤ b.

ಆರ್ಕ್ AB ಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಈ ಲಿಂಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಮುರಿದ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಮಿತಿ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. y = f(x) ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ y′ = f′ (x) ಕಾರ್ಯವು [a ,b ] ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, AB ರೇಖೆಯು ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ.

AB ಕರ್ವ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t) ,

ಅಲ್ಲಿ x (t) ಮತ್ತು y (t) - ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳುನಿರಂತರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು x (α) =a, x (β) =b, ನಂತರ ಕರ್ವ್ AB ನ ಉದ್ದ l ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ

(x ′ (t ))2 + (y ′ (t))2 dt = ಆರ್ ಆರ್ಕ್ಸಿನ್

π .

− x

ಇದರರ್ಥ l = 2π R. ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದ್ದರೆ = R ವೆಚ್ಚ, y = R ಸಿಂಟ್ (0 ≤t ≤ 2π ), ನಂತರ

	(- ಆರ್ಸಿನ್ t) 2 + (Rcos t) 2 dt= Rt0 2 π = 2 π ಆರ್.
l = ∫

ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು r =r (ϕ),α ≤ ϕ ≤ β ನಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ AB ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ. r (ϕ ) ಮತ್ತು r" (ϕ ) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [α , β ] ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ.

ಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ x = r cosϕ, y = r sinϕ, ಧ್ರುವ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದರೆ,

ಕೋನ ϕ ಅನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಕರ್ವ್ AB ಅನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿಸಬಹುದುx = r (ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) sinϕ.

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ (15), ನಾವು l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಕಾರ್ಡಿಯಾಯ್ಡ್ r =a (1 + cosϕ) ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಪರಿಹಾರ:

ಕಾರ್ಡಿಯಾಯ್ಡ್ r =a (1 + cosϕ) ಚಿತ್ರ 14 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಧ್ರುವೀಯ ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಡಿಯಾಯ್ಡ್ನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

1 ಲೀ =	π∫	(a (1 + cos ϕ ))2 + (a (- sin ϕ ))2 d ϕ =
ಎ π ∫	2 + 2cosϕ d ϕ =a π ∫		2 2cos2 ϕ d ϕ =
2a π ∫ cosϕ d ϕ = 4a sinϕ

ಹೀಗಾಗಿ, 1 2 l = 4 a. ಇದರರ್ಥ l = 8a.

ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಪ್ರತಿಗಳು ಮುರಿದುಹೋಗಿರುವ ರೇಖೆಯ "ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ನಿರ್ದೇಶನ" ಅಸಡ್ಡೆಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯು ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಹೆಚ್ಚಿನ x-ಆಕ್ಸಿಸ್ - in ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ"ಆಟಗಳಿಗೆ ಜವಾಬ್ದಾರಿ" ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳುಮತ್ತು ನೀವು ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಮುಂದೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ವೃತ್ತವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಗೋಳದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಲೇಖನದಿಂದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೇಖೆಗಾಗಿ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣದ ಮೇಲೆಸಮೀಕರಣಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯ 3 ರ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮತ್ತು ಗೋಳ , ಮರೆತುಹೋದವರಿಗೆ, ಇದು ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ ಚೆಂಡು(ಅಥವಾ ಗೋಳಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ).

ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿತ ಪರಿಹಾರ ಯೋಜನೆಗೆ ಬದ್ಧರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

"ಸೂತ್ರ" ಮೂಲವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ:

ಹೇಳಲು ಅನಾವಶ್ಯಕವಾದ, ಇದು ಕ್ಯಾಂಡಿ ಎಂದು ಬದಲಾಯಿತು. ಫಿಚ್‌ಟೆನ್‌ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ ತಲೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೊಡೆದರು ಎಂಬುದನ್ನು ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಕ್ರಾಂತಿಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ.

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧವೃತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯವು ಮಿತಿಯೊಳಗೆ ಬದಲಾದಾಗ ಅದನ್ನು "ಡ್ರಾ" ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ), ಹೀಗೆ:

ಉತ್ತರ:

ನೀವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ, ನಂತರ ಅದು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಶಾಲೆಯ ಸೂತ್ರಗೋಳದ ಪ್ರದೇಶ, ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಇದು ತುಂಬಾ ನೋವಿನಿಂದ ಕೂಡಿದ ಸರಳ ಕೆಲಸವಾಗಿತ್ತು, ನಾನು ನಾಚಿಕೆಪಡುತ್ತೇನೆ ... ಈ ದೋಷವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು ನಾನು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ =)

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ನ ಮೊದಲ ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಕಾರ್ಯವು ಸೃಜನಶೀಲವಾಗಿದೆ. ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅಥವಾ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಊಹಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಗಮನಿಸಬೇಕು - ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಇತರ ಏಕೀಕರಣ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರೊಂದಿಗೆ ತಲೆಕೆಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣ, ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ... ಅದನ್ನು ಯಾವುದರೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬೇಕೆಂದು ನನಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ... ಅಲೌಕಿಕ - ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಮೊನಚಾದ ಖಿನ್ನತೆಯೊಂದಿಗೆ ದುಂಡಗಿನ ಆಕಾರ. ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ ತಿರುಗುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಂಘವು ತಕ್ಷಣವೇ ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಬಂದಿತು - ಉದ್ದವಾದ ರಗ್ಬಿ ಬಾಲ್.

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವಿದೆ.

ಪ್ರಕರಣದೊಂದಿಗೆ ನಮ್ಮ ಆಕರ್ಷಕ ವಿಮರ್ಶೆಯನ್ನು ನಾವು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ಹೌದು, ನೀವು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ನೋಡಿದರೆ ನಿಖರವಾಗಿ ವಿಮರ್ಶೆ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ(ಫಿಚ್ಟೆಂಗೊಲ್ಟ್ಸ್, ಬೊಖಾನ್, ಪಿಸ್ಕುನೋವ್, ಇತರ ಲೇಖಕರು), ನೀವು ಉತ್ತಮ ಡಜನ್ ಪಡೆಯಬಹುದು (ಅಥವಾ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು) ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಅದರಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೆಲಸವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ.

ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು,
ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ?

ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಸಮೀಕರಣ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಧ್ರುವೀಯ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ , ವಕ್ರರೇಖೆಯ ತುದಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ.

ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಸಮಗ್ರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು , ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ). ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಿಂದ ಕೋನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ , ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯು ನೆಲೆಗೊಂಡಿರಬೇಕು ಹೆಚ್ಚಿನಧ್ರುವೀಯ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಂದುವರಿಕೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಪ್ಯಾರಾಗಳಲ್ಲಿ ಅದೇ ಕಥೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಧ್ರುವೀಯ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಕಾರ್ಡಿಯಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪಾಠದ ಉದಾಹರಣೆ 6 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಕಾರ್ಡಿಯೋಯ್ಡ್ ಧ್ರುವೀಯ ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ).

ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಬುಲ್ಸೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ ತಂತ್ರವು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ. "ಫೈ" ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಮೂಲವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ:

ನಾನು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಯಾರಿಗೂ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆ ಇರಲಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಮಧ್ಯೇ, ಇದರ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ , ಆದ್ದರಿಂದ: (ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಹೇಗೆ ನಾನು ವಿವರವಾಗಿ ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇನೆ ಕರ್ವ್ ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದ).

ಉತ್ತರ:

ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಕಾರ್ಯಫಾರ್ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ:

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಗೋಳಾಕಾರದ ಪಟ್ಟಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ,

ಬಾಲ್ ಬೆಲ್ಟ್ ಎಂದರೇನು? ಒಂದು ಸುತ್ತಿನ, ಸಿಪ್ಪೆ ತೆಗೆದ ಕಿತ್ತಳೆಯನ್ನು ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಚಾಕುವನ್ನು ಎತ್ತಿಕೊಳ್ಳಿ. ಎರಡು ಮಾಡಿ ಸಮಾನಾಂತರಕತ್ತರಿಸಿ, ಆ ಮೂಲಕ ಹಣ್ಣನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗಾತ್ರದ 3 ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ರಸಭರಿತವಾದ ಮಾಂಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಈ ದೇಹಎಂದು ಕರೆದರು ಗೋಳಾಕಾರದ ಪದರ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸುತ್ತುವ ಮೇಲ್ಮೈ (ಕಿತ್ತಳೆ ಸಿಪ್ಪೆ) - ಬಾಲ್ ಬೆಲ್ಟ್.

ಪರಿಚಿತ ಓದುಗರು ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು , ಸಮಸ್ಯೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಸಮೀಕರಣವು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಧ್ರುವದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಕಿರಣಗಳು ಕತ್ತರಿಸಿದ ಕಡಿಮೆಚಾಪ ಈ ಚಾಪವು ಧ್ರುವೀಯ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನೀವು ಇದರೊಂದಿಗೆ ಮಾಡಬಹುದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಆತ್ಮಸಾಕ್ಷಿಯಮತ್ತು ಲಘು ಹೃದಯದಿಂದ ಕಿತ್ತಳೆ ತಿನ್ನಿರಿ, ಈ ರುಚಿಕರವಾದ ಟಿಪ್ಪಣಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಾಠವನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಮ್ಮ ಹಸಿವನ್ನು ಹಾಳು ಮಾಡಬೇಡಿ =)

ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 2:ಪರಿಹಾರ : ಮೇಲಿನ ಶಾಖೆಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ. ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ .
ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ: ;

ಹೀಗೆ:


ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 4:ಪರಿಹಾರ : ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ . ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ನ ಮೊದಲ ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ .
ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಮೂಲವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ:

ಈ ಮಧ್ಯೇ, ಇದರ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ , ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ

ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸಿ :

ಎರಡನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರ .


ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 6:ಪರಿಹಾರ : ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:


ಉತ್ತರ:

ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉನ್ನತ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ >>>

(ಮುಖ್ಯ ಪುಟಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ)

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು
ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಸನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದೇ?

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು - ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ವಿಭಾಗ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಮತ್ತು ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಗಂಭೀರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ನೂರಾರು ಪುಟಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ರಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳುಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವಾಗಿದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾನು ಖಚಿತವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇನೆ - ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ವಿಧಾನಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಸನ್ ವಿಧಾನ.

ಈ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನೀವು ಏನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು? ಇದು ತಮಾಷೆಯಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿರಬಹುದು. ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಏನೆಂದು ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇಂದ ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಧಾನಗಳುನಿಮಗೆ ಮೈಕ್ರೋ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಹೌದು, ಹೌದು, ವಾಡಿಕೆಯ ಶಾಲೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ನಮಗೆ ಕಾಯುತ್ತಿವೆ. ಇನ್ನೂ ಉತ್ತಮ, ನನ್ನದನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಸನ್ ವಿಧಾನಕ್ಕಾಗಿ ಅರೆ-ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್. ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮಯವನ್ನು ಹತ್ತಾರು ಬಾರಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಎಕ್ಸೆಲ್ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ, ವೀಡಿಯೊ ಕೈಪಿಡಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ! ಅಂದಹಾಗೆ, ನನ್ನ ಧ್ವನಿಯೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ವೀಡಿಯೊ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್.

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಮ್ಮನ್ನು ನಾವು ಕೇಳಿಕೊಳ್ಳೋಣ: ನಮಗೆ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಏಕೆ ಬೇಕು? ನೀವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತಿದೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿರೋಧಿಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಸರಿಯಾದ ಬೆಲೆನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಡೆಮೊ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತಕ್ಷಣ ನೋಡೋಣ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಎಲ್ಲವೂ ಚೆನ್ನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ನಿಮ್ಮ ಮುಂದೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್. ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ? ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ:

ಎಲ್ಲವು ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ. ಸಮಗ್ರ ನಿರಂತರವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮಬ್ಬಾದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೇವಲ ಒಂದು ಕ್ಯಾಚ್ ಇದೆ: ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅವರು ರಕ್ಷಣೆಗೆ ಬರುತ್ತಾರೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮಸ್ಯೆ ಎರಡು ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

1) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ , ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪೂರ್ತಿಗೊಳಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ, ಮೂರು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಂದಾಜು ಉತ್ತರ 5.347 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು (ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ, ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಉತ್ತರ 5.343 ಆಗಿದೆ). ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯ ಅದು ಮಾತ್ರಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೂರು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು.

2) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0.001 ರ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ. ಅದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಇದರರ್ಥ ಅಂದಾಜು ಉತ್ತರವು 5.347 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಎಲ್ಲಾಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬಲವರ್ಧಿತ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಆಗಿರಬೇಕು ಸರಿಯಾದ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಉತ್ತರ 5.347 ಸತ್ಯದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ (ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ) 0.001 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಹಲವಾರು ಮೂಲಭೂತ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ:

ಆಯತ ವಿಧಾನ. ಏಕೀಕರಣ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹಲವಾರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಹಂತದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ( ಬಾರ್ ಚಾರ್ಟ್), ಇದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿದೆ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಬೇಡಿ, ನಿಖರತೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ - ಅವರು ವಿಧಾನಗಳ ಸಾರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮಾತ್ರ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಏಕೀಕರಣ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮೂರು ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಆಗಾಗ್ಗೆ ವಿಭಜನೆ (ಹೆಚ್ಚು ಸಣ್ಣ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಭಾಗಗಳು), ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆ. ಆಯತ ವಿಧಾನವು ಪ್ರದೇಶದ ಸ್ಥೂಲವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಇದು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ವಿರಳವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ (ನನಗೆ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೆನಪಿದೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆ) ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ನಾನು ಆಯತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸಹ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ ಸರಳ ಸೂತ್ರ. ನಾನು ಸೋಮಾರಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ನನ್ನ ಪರಿಹಾರಕನ ತತ್ವದಿಂದಾಗಿ: ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಅಪರೂಪ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ನಂತರ - ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ವಿಧಾನ. ಕಲ್ಪನೆಯು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಏಕೀಕರಣ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹಲವಾರು ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಮುರಿದ ರೇಖೆಸಾಲು:

ಹೀಗಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಪ್ರದೇಶ (ನೀಲಿ ಛಾಯೆ) ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ಗಳ (ಕೆಂಪು) ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಧಾನದ ಹೆಸರು. ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ವಿಧಾನವು ಆಯತ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ (ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಜನಾ ವಿಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ) ಉತ್ತಮವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಮತ್ತು, ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ವಿಧಾನವು ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಮತ್ತು ಈ ಲೇಖನವು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತದೆ.

ಸಿಂಪ್ಸನ್ ವಿಧಾನ (ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ವಿಧಾನ). ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸುಧಾರಿತ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ - ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮುರಿದ ರೇಖೆಯಿಂದ ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಣ್ಣ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳಿಂದ. ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಭಾಗಗಳಿರುವಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳಿವೆ. ನಾವು ಅದೇ ಮೂರು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಸಿಂಪ್ಸನ್ ವಿಧಾನವು ಆಯತ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ನನಗೆ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಅತಿಕ್ರಮಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ( ಮುರಿದ ರೇಖೆ ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್- ಮತ್ತು ಅದು ಬಹುತೇಕ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಯಿತು).

ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಗಣನೀಯ ಗಮನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುವುದು.

ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ- ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೇಲ್ಮೈ (ಮೇಲ್ಮೈ ಅಕ್ಷ) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೇಖೆ(ನೇರ, ಫ್ಲಾಟ್ ಅಥವಾ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಕರ್ವ್). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅದು ತಿರುಗಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಇರುತ್ತದೆ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ, ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ - ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ, ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ದಾಟಿದರೆ - ಕ್ರಾಂತಿಯ ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದೇ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಆದರೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸದೆ ಇರುವ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಸೀಮಿತ ಉದ್ದದ ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರದೇಶವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತ ದೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಅಕ್ಷದಿಂದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಗಿಲ್ಡೆನ್‌ನ ಎರಡನೇ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಪಪ್ಪಸ್‌ನ ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು

ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದಾಗ, ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಯಾಂತ್ರಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ(ಪಡೆಗಳ ಕೆಲಸ, ಸ್ಥಿರ ಕ್ಷಣಗಳು, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರ).

ಪಡೆಗಳ ಕೆಲಸದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ವಸ್ತು ಬಿಂದುವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಚಲನೆಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಪಥಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ಬಲದಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣ ಕೆಲಸ, ಫೋರ್ಸ್ ಎಫ್(ಗಳು):

ಚಲನೆಯ ಪಥದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ನಿಯತಾಂಕದಿಂದ ವಿವರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಸ್ಥಿರ ಕ್ಷಣಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರ
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಕ್ಸಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ M ಅನ್ನು ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ p = p (y) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ S (ಇದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆರ್ಕ್ ಅಥವಾ ಬೌಂಡೆಡ್ ಫ್ಲಾಟ್ ಫಿಗರ್ ಆಗಿರಬಹುದು). ನಾವು s(y) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ - ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸೆಟ್ನ ಅಳತೆ (ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದ ಅಥವಾ ಪ್ರದೇಶ).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆದರು kth ಕ್ಷಣಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ M ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ.
k = 0 M 0 = M - ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಲ್ಲಿ,
k = 1 M 1 - ಸ್ಥಿರ ಕ್ಷಣ,
k = 2 M 2 - ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣ.

Oy ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕ್ಷಣಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಸಮನ್ವಯ ವಿಮಾನಗಳು.
p = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (p - const) ಫ್ಲಾಟ್ ಫಿಗರ್ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ M 1 y, M 1 x ಗಳು Oy ಮತ್ತು Ox ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆಕೃತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಿರ ಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ; S ಎಂಬುದು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ.

5. ಕ್ರಾಂತಿಯ ದೇಹಗಳ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

AB ಕರ್ವ್ y = f(x) ≥ 0 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ x [a; b], ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್ y = f(x) ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ y" = f"(x) ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ AB ಕರ್ವ್ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೇಲ್ಮೈಯ S ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ (ಚಿತ್ರ 8).

ಸ್ಕೀಮ್ II ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ವಿಧಾನ).

ಮೂಲಕ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು x [ಎ; ಬಿ] ಡ್ರಾ ಪ್ಲೇನ್ ಪಿ, ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿಓಹ್. ಪ್ಲೇನ್ П ತ್ರಿಜ್ಯ y - f(x) ನೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಆಕೃತಿಯ ಭಾಗದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಗಾತ್ರ S x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. s = s (x) (s (a) = 0 ಮತ್ತು s (b) = S).

ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ಅನ್ನು ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ Δx = dx ನೀಡೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ x + dx ಮೂಲಕ [a; ಬಿ] ನಾವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲವನ್ನು ಸಹ ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. s = s(x) ಕಾರ್ಯವು Δs ನ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ "ಬೆಲ್ಟ್" ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿಭಾಗಗಳ ನಡುವೆ ರೂಪುಗೊಂಡ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಕೋನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಏರಿಯಾ ds ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಅದರ ಜೆನೆರಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ dl ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇಸ್‌ಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು y ಮತ್ತು y + dу ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: = 2ydl + dydl.

ಉತ್ಪನ್ನ dу d1 ಅನ್ನು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶ ds ಗಿಂತ, ನಾವು ds = 2уdl, ಅಥವಾ, d1 = dx ರಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

x = a ನಿಂದ x = b ವರೆಗಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

AB ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು x = x (t), y = y (t), t≤ t ≤ t ಎಂಬ ನಿಯತಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.

S=2 ಡಿಟಿ

ಉದಾಹರಣೆ: R ತ್ರಿಜ್ಯದ ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

S=2 =

6. ಕೆಲಸ ಹುಡುಕುವುದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಬಲ

ವೇರಿಯಬಲ್ ಫೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸ

ಅವಕಾಶ ವಸ್ತು ಬಿಂದುಈ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಫೋರ್ಸ್ F = F(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ M ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಬಿಂದು M ಅನ್ನು x = a ಸ್ಥಾನದಿಂದ x = b ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಿದ ಕೆಲಸ (a

100 N ಬಲವು 0.01 ಮೀ ವರೆಗೆ ವಸಂತವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ 0.05 ಮೀ ವರೆಗೆ ವಸಂತವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕು?

ಹುಕ್‌ನ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ, ವಸಂತವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಬಲವು ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯ x ಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. F = kх, ಇಲ್ಲಿ k ಎಂಬುದು ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, F = 100 N ಬಲವು x = 0.01 m ಮೂಲಕ ವಸಂತವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, 100 = ಕೆ 0.01, ಎಲ್ಲಿಂದ ಕೆ = 10000; ಆದ್ದರಿಂದ, F = 10000x.

ಸೂತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೆಲಸ

A=

N m ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ R m (Fig. 13) ಎತ್ತರದ ಲಂಬ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ತೊಟ್ಟಿಯಿಂದ ಅಂಚಿನ ಮೇಲೆ ದ್ರವವನ್ನು ಪಂಪ್ ಮಾಡಲು ಖರ್ಚು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

p ತೂಕದ ದೇಹವನ್ನು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಎತ್ತಲು ವ್ಯಯಿಸಲಾದ ಕೆಲಸವು p N ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ತೊಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿನ ದ್ರವದ ವಿವಿಧ ಪದರಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಆಳಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಎತ್ತರ (ಟ್ಯಾಂಕ್‌ನ ಅಂಚಿಗೆ) ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪದರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಸ್ಕೀಮ್ II (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ವಿಧಾನ) ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

1) ಜಲಾಶಯದಿಂದ x (0 ≤ x ≤ H) ದಪ್ಪದ ದ್ರವದ ಪದರವನ್ನು ಪಂಪ್ ಮಾಡಲು ಖರ್ಚು ಮಾಡುವ ಕೆಲಸವು x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. A = A(x), ಅಲ್ಲಿ (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) Δx = dx ಮೊತ್ತದಿಂದ x ಬದಲಾದಾಗ ΔA ಹೆಚ್ಚಳದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅಂದರೆ. A(x) ಕಾರ್ಯದ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ dA ಅನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

dx ನ ಸಣ್ಣತನದಿಂದಾಗಿ, ದ್ರವದ "ಪ್ರಾಥಮಿಕ" ಪದರವು ಅದೇ ಆಳದಲ್ಲಿ x (ಜಲಾಶಯದ ಅಂಚಿನಿಂದ) ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ dA = dрх, ಇಲ್ಲಿ dр ಈ ಪದರದ ತೂಕ; ಇದು g АV ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ g ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆ, ದ್ರವದ ಸಾಂದ್ರತೆ, dv ಎಂಬುದು ದ್ರವದ "ಪ್ರಾಥಮಿಕ" ಪದರದ ಪರಿಮಾಣವಾಗಿದೆ (ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ), ಅಂದರೆ. ಡಿಆರ್ = ಜಿ. ಸೂಚಿಸಲಾದ ದ್ರವ ಪದರದ ಪರಿಮಾಣವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ dx ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಎತ್ತರ (ಪದರ), ಅದರ ಬೇಸ್ನ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಡಿವಿ = .

ಹೀಗಾಗಿ, dr = . ಮತ್ತು

3) ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು x = 0 ರಿಂದ x = H ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಎ

8. ಮ್ಯಾಥ್‌ಸಿಎಡಿ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಸಾಂಕೇತಿಕ ಏಕೀಕರಣದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಥ್‌ಕ್ಯಾಡ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಉತ್ತರವನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಥವಾ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲದಿಂದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪರಿಹಾರ).

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಮ್ಯಾಥ್‌ಕ್ಯಾಡ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕೆಲವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ, ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪಡೆದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ.

ಮ್ಯಾಥ್‌ಕ್ಯಾಡ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:

ಎ) ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪರಿಚಿತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡುತ್ತದೆ;

ಬಿ) ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಿದ್ದರೂ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲು "ನಿರಾಕರಿಸುತ್ತದೆ";

ಸಿ) ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅದರ ತೊಡಕಿನಿಂದಾಗಿ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ;

ಡಿ) ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ದೌರ್ಬಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲೇ ತಯಾರಿಸಿ. ಈ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಮೂಲ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳ ಕಾಕತಾಳೀಯತೆಗಾಗಿ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಸಹ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪಡೆದ ಕೆಲವು ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಮ್ಯಾಥ್‌ಕ್ಯಾಡ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಅಥವಾ ಸಂಶೋಧಕರನ್ನು ದಿನನಿತ್ಯದ ಕೆಲಸದಿಂದ ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವಾಗ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಅವನನ್ನು ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಈ ಲೇಖನವು ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅನ್ವಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮುಖ್ಯ ನಿಬಂಧನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದೆ.

- ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಧಾರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು;

- ವಸ್ತುವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡುತ್ತವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಗ್ರ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸದ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೆಸರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವಾಗ ಸ್ಥಾಪಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸಮಗ್ರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಸಮಗ್ರ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ದೂರವಿದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಗಣಿತವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಭರಿಸಲಾಗದ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ.

ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲದರಿಂದ, ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವು ಏಕೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅದರ ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನೂ ಸಹ ಕಲಿಯುತ್ತಾರೆ.

ಸಾಹಿತ್ಯ

1. ವೋಲ್ಕೊವ್ ಇ.ಎ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು. ಎಂ., ನೌಕಾ, 1988.

2. ಪಿಸ್ಕುನೋವ್ ಎನ್.ಎಸ್. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ. M., ಇಂಟಿಗ್ರಲ್-ಪ್ರೆಸ್, 2004. T. 1.

3. ಶಿಪಾಚೆವ್ ವಿ.ಎಸ್. ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಎಂ., ಹೈಯರ್ ಸ್ಕೂಲ್, 1990.

ಶುಭಾಶಯಗಳು, ಅರ್ಗೆಮೋನಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಆತ್ಮೀಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು!

ಇಂದು ನಾವು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ವಸ್ತುವಾಗಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ಕಲಿಯುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕಳೆದ ಬಾರಿ ನಾವು ಫ್ಲಾಟ್ ಫಿಗರ್‌ಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ವಾಲ್ಯೂಮೆಟ್ರಿಕ್ ದೇಹಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಬಹಳ ಆಕರ್ಷಕ ಮತ್ತು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಜಾದೂಗಾರನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಇಂದು ನಾವು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನಾವು ತುಂಬಾ ತೆಳುವಾದ ಅಂಚುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ವಸ್ತುವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು (ಮದ್ದುಗಳಿಗೆ ಕೋನ್ ಅಥವಾ ಬಾಟಲ್, ಹೂವಿನ ಹೂದಾನಿ, ಪಾನೀಯಗಳಿಗೆ ಗಾಜು, ಇತ್ಯಾದಿ), ಏಕೆಂದರೆ ತಿರುಗುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು - ಎಲ್ಲಾ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ. ಸರ್ ಷರ್ಫ್ ಲೋನ್ಲಿ-ಲೋಕ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಕುಡಿಯುತ್ತಿದ್ದ ಸೋರುವ ಕಪ್ ನನಗೆ ಈಗ ಏಕೆ ನೆನಪಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ರಂಧ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೌಲ್ ಮತ್ತು ರಂಧ್ರಗಳಿಲ್ಲದ ಬೌಲ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ರಚಿಸಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಇದು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) ಏನಾದರೂ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ - ಅಲ್ಲದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ವಿಶೇಷ ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಪೇಂಟ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಮಾಂತ್ರಿಕ ಕಲಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಅವರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಮಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಬೇರೆ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಬಹುದು. ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ತುಂಡು ನಮಗೆ ಬೌಲ್ನ ಆಕಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ y=x 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನೀವು ಅದನ್ನು OY ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ, ನೀವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಬೌಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಕೆಳಭಾಗವಿಲ್ಲ.

ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಕಾಗುಣಿತವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ |y| ತಿರುಗುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ತಿರುಗುವ ಅಕ್ಷದಿಂದ ದೂರವಾಗಿದೆ. ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ದೂರವು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಕಾಗುಣಿತದ ಎರಡನೇ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ: ds ಆರ್ಕ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಪದಗಳು ನಮಗೆ ಏನನ್ನೂ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ತಲೆಕೆಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಡಿ, ಆದರೆ ಸೂತ್ರಗಳ ಭಾಷೆಗೆ ಹೋಗೋಣ, ಅಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
- ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ;
- ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್;
- ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷದಿಂದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು x ಆಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರಂಧ್ರದ ಬೌಲ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಕೆಳಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಬೌಲ್ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ತುಂಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಆದರೆ ಬೇರೆ ಕರ್ವ್ನೊಂದಿಗೆ: ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇದು y = 1 ಸಾಲು.

ಇದು OY ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗಿದಾಗ, ಬೌಲ್ನ ಕೆಳಭಾಗವು ಯುನಿಟ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ (ಪೈ * ಆರ್ ^ 2 ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶವು ಪೈಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಆದರೆ ಹೊಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ - ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷದಿಂದ ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು x ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸರಿ, ನಮ್ಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸರಿಯಾಗಿವೆ, ಇದು ಒಳ್ಳೆಯ ಸುದ್ದಿ.

ಮತ್ತು ಈಗ ಮನೆಕೆಲಸ.

1. ಒಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), ಮುರಿದ ರೇಖೆ ABC ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಸಲಹೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
ಮೂಲಕ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಐಟಂ ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ?

2. ಸರಿ, ಈಗ ನೀವೇ ಏನಾದರೂ ವಿಷಯದೊಂದಿಗೆ ಬನ್ನಿ. ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳು ಸಾಕು ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.