ಸೇವೆಯ ಉದ್ದೇಶ. ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಎಫ್(x) ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೇವೆಯನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ F(x) ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ, ಮುಂದೆ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು Word ಫೈಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಉಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಕ್ಸೆಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್ ಅನ್ನು ಸಹ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗೆ ವೀಡಿಯೊ ಸೂಚನೆಯಾಗಿದೆ.

F(x) =

ನಿಂದ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಿ ಮೊದಲು
ನಿಖರತೆ ξ =
ವಿಭಜಿತ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, n =
ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನದ್ವಂದ್ವ ವಿಧಾನ ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ವಿಧಾನ (ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಿಧಾನ) ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ವಿಧಾನ ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಧಾನ ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಧಾನ ಗೋಲ್ಡನ್ ವಿಭಾಗದ ವಿಧಾನ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ವಿಧಾನ ಸೆಕೆಂಟ್ ವಿಧಾನ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು

ಉದಾಹರಣೆಗಳು
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)

f(a)f(b) ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವೇಗವಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ<0.
f’’(x)>0 f’’(x)<0
f(b)f''(b)>0 f(a)f''(a)>0


Fig.1a ಚಿತ್ರ. 1b

ಚಿತ್ರ 1a ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಸ್ವರಮೇಳ ಸಮೀಕರಣ
.
ಬಿಂದು x=x 1 , y=0, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಮೂಲದ ಮೊದಲ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
. (3.8)
ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ
(a) f(x 1)f(b)<0,
(b) f(x 1)f(a)<0.
ಷರತ್ತು (a) ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡರೆ, ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (3.8) ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ a ಅನ್ನು x 1 ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸುತ್ತಾ, ನಾವು n ನೇ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
. (3.9)
ಇಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯವು ಚಲಿಸಬಲ್ಲದು, ಅದು f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
ಎ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
f''(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f''(b)<0 f(a)f’’(a)<0


Fig.2a Fig.2b

ಚಿತ್ರ 1b ನಲ್ಲಿ, 2b f(x i)f(a) ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.

ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ, ನಾವು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ
. (3.10)
ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುವುದು

|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n

ಅಕ್ಕಿ. 3
ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ f’’(x) ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ತುದಿಗಳು ಚಲಿಸಬಲ್ಲವು.
ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಧಾನದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ತೆರಳುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಪೀನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ x 1 ,x 2 ತೃಪ್ತಿಕರ a≤x 1 ಕ್ಕೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ (ಕಾನ್ಕೇವ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - ಪೀನ.
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - ಕಾನ್ಕೇವ್
ಒಂದು ಪೀನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f''(x)≥0.
ಒಂದು ಕಾನ್ಕೇವ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f''(x)≤0

ಪ್ರಮೇಯ 3.ಎಫ್(x) ಕಾರ್ಯವು ಪೀನವಾಗಿದ್ದರೆ (ಕಾನ್ಕೇವ್) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ , ನಂತರ ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ x 1 ಮತ್ತು x 2 ನೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸ್ವರಮೇಳಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ (ಕಡಿಮೆ ಅಲ್ಲ)

ಪುರಾವೆ:

ಪೀನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಸ್ವರಮೇಳದ ಸಮೀಕರಣ: x 1 ಮತ್ತು x 2 ರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
.
ಪಾಯಿಂಟ್ c= αx 1 + (1-α)x 2 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ aО

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಪೀನ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; ಆದ್ದರಿಂದ f(c) ≤ g(c) ಇತ್ಯಾದಿ.

ಒಂದು ಕಾನ್ಕೇವ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಪುರಾವೆಯು ಹೋಲುತ್ತದೆ.
ಪೀನ (ಕಾನ್ಕೇವ್) ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 4.ನಿರಂತರ, ಎರಡು ಬಾರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಅನ್ನು ನೀಡಲಿ ಮತ್ತು f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
ಪುರಾವೆ:ಉದಾಹರಣೆಗೆ f(a)f''(a) ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1 ರಿಂದ (b-x n -1)>0, ಮತ್ತು f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0 ಈಗ ಎಲ್ಲಾ ಅಂದಾಜುಗಳು x n ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ< ξ, где ξ - корень. Пусть x n -1 < ξ. Покажем, что x n тоже меньше ξ. Введем
. (3.11)
ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
(3.12)
(ಅಂದರೆ, ಸ್ವರಮೇಳದ x n ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ y(x) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು f(ξ) ನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ).
ರಿಂದ, ನಂತರ (3.12) ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
ಅಥವಾ
. (3.13)
ಅಂಜೂರಕ್ಕಾಗಿ. 1a, ಆದ್ದರಿಂದ
ಅಥವಾ
ಅಂದರೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. (ನೋಡಿ (3.11)).
ಚಿತ್ರ 2a ಗಾಗಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, (3.12) ನಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಅರ್ಥ
ಏಕೆಂದರೆ ಇತ್ಯಾದಿ
Fig. 1b ಮತ್ತು Fig. 2b ಗೆ ಇದೇ ಪುರಾವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.
a≤x 0 a≤ξ ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ε ಗೆ ಒಬ್ಬರು n ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು ಅಂದರೆ |x n - ξ |<ε. Теорема доказана.
ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಧಾನದ ಒಮ್ಮುಖವು ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ .
, (3.14)
ಅಲ್ಲಿ m 1 =min|f’(x)|, M 1 =max|f’(x)|.
ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸ್ಥಿರ ಅಂತ್ಯದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ b ಮತ್ತು f(b)>0.
ನಾವು (3.9) ನಿಂದ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ . ಇಲ್ಲಿಂದ
. ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು ಅಥವಾ
.
ಬಲಭಾಗದ ಛೇದದಲ್ಲಿ (ξ-x n -1) ಅನ್ನು (b-x n -1) ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим , ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು (ಅಸಮಾನತೆ (3.14) ನೋಡಿ).
ಚಿತ್ರ 3 (f’’(x) ಬದಲಾವಣೆಯ ಚಿಹ್ನೆ; ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, f’ ಮತ್ತು f’’ ಎರಡೂ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು) ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖದ ಪುರಾವೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಎಫ್ (x) = 0 ಸಮೀಕರಣದ ನೈಜ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಈ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ ಮತ್ತು ಸ್ವರಮೇಳಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅವುಗಳ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು 0.001 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ f "(x)ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಜೋಡಣೆಯ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ (ಚಿತ್ರ 1).

ಅಕ್ಕಿ. 1.

ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ರೂಟ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.

ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ: f(x)-ಕಾರ್ಯ ; ಇ- ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿಖರತೆ; X 0 - ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜು.

ಫಲಿತಾಂಶ: xpr- ಸಮೀಕರಣದ ಅಂದಾಜು ಮೂಲ f(x)= 0.

ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನ:

ಅಕ್ಕಿ. 2. f "(x) f ""(x)>0.

ಯಾವಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ f "(x)ಮತ್ತು f ""(x)ಅದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (ಚಿತ್ರ 2).

ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎ 0 (a,f(a))ಮತ್ತು ಬಿ 0 (b,f(b)). ಸಮೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೂಲ (ಪಾಯಿಂಟ್ X*) ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಡಾಟ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ X 1 ಸ್ವರಮೇಳ ಛೇದಕಗಳು ಎ 0 IN 0 ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ. ಇದು ರೂಟ್‌ನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. (x1; y1)ಮತ್ತು (x2; y2): .

ನಂತರ ಸ್ವರಮೇಳದ ಸಮೀಕರಣ ಎ 0 IN 0 ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದು: .

ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ x = x 1 , ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ y = 0: . ಈಗ ಮೂಲವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ . ಈ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಎ 1 (X 1 ,ಎಫ್(x 1 )) ಮತ್ತು ಬಿ 0 (b,f(b)), ಮತ್ತು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ X 2 - ಸ್ವರಮೇಳದ ಛೇದನದ ಬಿಂದು ಎ 1 IN 0 ಅಚ್ಚು ಜೊತೆ ಓಹ್: X 2 =x 1 .

ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸುತ್ತಾ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

X 3 =x 2 .

ರೂಟ್‌ಗೆ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

X n+1 =x ಎನ್ .

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯ ಬಿವಿಭಾಗ ಚಲನರಹಿತವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯ ಎಚಲಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಧಾನಕ್ಕಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

X n+1 =x ಎನ್ ; X 0 =ಎ. (4)

ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ತಲುಪುವವರೆಗೆ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಖರವಾದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುಕ್ರಮ ಅಂದಾಜುಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು: |x n+1 -X ಎನ್ |< , ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಖರತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಈಗ ನಾವು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. f "(x) f ""(x)<0 . (ಚಿತ್ರ 3).

ಅಕ್ಕಿ. 3. ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಧಾನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ f "(x) f ""(x)<0 .

ಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ ಎ 0 (a,f(a))ಮತ್ತು ಬಿ 0 (b,f(b))ಸ್ವರಮೇಳ ಎ 0 IN 0 . ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವರಮೇಳದ ಛೇದನದ ಬಿಂದು ಓಹ್ನಾವು ಮೂಲದ ಮೊದಲ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಭಾಗದ ಸ್ಥಿರ ಅಂತ್ಯವು ಅಂತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ.

ಸ್ವರಮೇಳ ಸಮೀಕರಣ ಎ 0 IN 0 :. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ X 1 , ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು y = 0: X 1 =b. ಈಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ X. ಈ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ X 2 =x 1 . ಮುಂದುವರೆಯುವುದು, ಇತ್ಯಾದಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ X n+1 =x ಎನ್ .

ವಿಧಾನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸೂತ್ರಗಳು:

X n+1 =x ಎನ್ , X 0 =0 . (5)

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಷರತ್ತು: |x n+1 -X ಎನ್ |< . ನಂತರ xpr = xn+1ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ವೇಳೆ f "(x) f ""(x)>0ರೂಟ್‌ನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು (4) ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ f "(x) f ""(x)<0 , ನಂತರ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (5).

ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ: ವಿಭಾಗದ ಸ್ಥಿರ ಅಂತ್ಯವು ಕಾರ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ನಿಯಮದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ

(x-1)ln(x)-1=0, ಮೂಲ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ .

ಪರಿಹಾರ. ಇಲ್ಲಿ f(x)=(x-1)ln(x)-1.

f "(x)=ln(x)+;

f ""(x)=.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೂಲ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ : f ""(x)>0, f(3)>0, ಅಂದರೆ. f(b) f""(x)>0. ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಮೂಲವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (4) ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

var e,c,a,b,y,ya,yb,yn,x,x1,x2,xn,f1,f2:real;

ಆರಂಭ ಇ:=0.0001;

ರೈಟ್ಲ್ನ್ ("ವ್ವೇದಿ ನಾಚಲೋ ಒಟ್ರೆಜ್ಕಾ");

ರೈಟ್ಲ್ನ್("ವ್ವೆಡಿ ಕೊನೆಕ್ ಒಟ್ರೆಜ್ಕಾ");

y:=((x-1)*ln(x))-1;

y:=((x-1)*ln(x))-1;

yb:=y; c:=(a+b)/2; x:=c;

y:=((x-1)*ln(x))-1;

f1:=ln(x) + (x-1)/x ;

f2:= 1/x + 1/(x*x);

ಒಂದು ವೇಳೆ (ಯಾ*yb< 0) and (f1*f2 > 0)

ನಂತರ x1:=a ಅನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ; ಆದರೆ abs(x2 - x) > e do

x2:=x1 - (yn*(b-x1))/(yb - yn);

ರೈಟ್ಲ್ಎನ್("ಕೋರೆನ್ ಉರವ್ನೆನಿಯಾ xn = ", x2)

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ elsebegin x1:=b;

ಆದರೆ abs(x2 - x) > e do

ಆರಂಭ x:=x1; y:=((x-1)*ln(x))-1; yn:=y;

x2:=x1 - (yn*(x1- a))/(yn - ya);

ರೈಟ್ಲ್ನ್ ("ಕೋರೆನ್ ಉರವ್ನೆನಿಯಾ xn = ", x2);

ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನ

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ f(x)=0(1) ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಬೇರಿನೊಂದಿಗೆ X. ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (1) ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಮಾನ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುತ್ತೇವೆ: x=ts(x). (2)

ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಹಲವು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

x=g(x) f(x) + x ? ಸಿ(x), ಎಲ್ಲಿ g(x) - ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ .

ಅವಕಾಶ X (0) - ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಅಂದಾಜು X(ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ X (0) =(a+b)/2).ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ:

X (k+1) =ts(x (ಕೆ) ), ಕೆ=0, 1, 2, ... (3)

ಸಮೀಪಿಸುವುದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ X (0) .

ಹೇಳಿಕೆ: 1 ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನದ ಅನುಕ್ರಮ (x (k) ) ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು q ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು x = q (x) ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಕ್ಷಿ: ಅದು ಇರಲಿ. (4)

ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯತ್ತ ಸಾಗೋಣ X (k+1) =ts(x (ಕೆ) ) ಒಂದೆಡೆ, ನಾವು (4) ನಿಂದ ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದಾಗಿ ಟಿಎಸ್ಮತ್ತು (4) .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ X * =ts(x * ). ಆದ್ದರಿಂದ, X * - ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ (2), ಅಂದರೆ. X=x * .

ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು, ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬೇಕು (X (ಕೆ) }. ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ನೀಡುತ್ತದೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 1: (ಒಮ್ಮುಖದ ಮೇಲೆ) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿ x=ts(x)ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ:

• 1) ಸಿ(x) ಸಿ 1 ;
• 2) ಸಿ(x) "X;
• 3) ಸ್ಥಿರವಿದೆ q > 0: | q "(x) | ? q . ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅನುಕ್ರಮ (X (ಕೆ) }, ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ X (k+1) = q(x (ಕೆ) ), k=0, 1,...ಯಾವುದೇ ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ X (0) .

ಪುರಾವೆ: ಅನುಕ್ರಮದ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (X (ಕೆ) ):X (ಕೆ) = q(x (ಕೆ-1) ) ಮತ್ತು X (k+1) = q(x (ಕೆ) ) ಷರತ್ತು 2 ರ ಪ್ರಕಾರ) X (ಕೆ)ಮತ್ತು X (k+1)ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ ಮಲಗು , ನಂತರ Lagrange ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

X (k+1) -X (ಕೆ) = q(x (ಕೆ) ) - ಸಿ(x (ಕೆ-1) ) = ಸಿ "(ಸಿ ಕೆ )(X (ಕೆ) -X (ಕೆ-1) ), ಅಲ್ಲಿ ಸಿ ಕೆ (X (ಕೆ-1) , X (ಕೆ) ).

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

| X (k+1) -X (ಕೆ) | = | ts "(ಸಿ ಕೆ ) | · | X (ಕೆ) -X (ಕೆ-1) | ? q | X (ಕೆ) -X (ಕೆ-1) | ?

? q(q|x (ಕೆ-1) -X (ಕೆ-2) |) = q 2 | X (ಕೆ-1) -X (ಕೆ-2) | ? ...? q ಕೆ | X (1) -X (0) |. (5)

ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಎಸ್ ? = x (0) + (x (1) -X (0) ) + ... + (x (k+1) -X (ಕೆ) ) + ... . (6)

ಈ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವೂ ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ

ಎಸ್ ಕೆ = x (0) + (x (1) -X (0) ) + ... + (x (ಕೆ) -X (ಕೆ-1) ).

ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ

ಎಸ್ ಕೆ = x (ಕೆ)) . (7)

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ (X (ಕೆ) }.

ಸರಣಿಯ (6) ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪದದಿಂದ ಪದವನ್ನು ಹೋಲಿಸೋಣ (ಮೊದಲ ಪದವಿಲ್ಲದೆ X (0) ) ಹತ್ತಿರದ ಜೊತೆ

q 0 | X (1) -X (0) | +q 1 |x (1) -X (0) | + ... + |x (1) -X (0) | + ..., (8)

ಇದು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ (ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ q< 1 ) ಅಸಮಾನತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ (5), ಸರಣಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು (6) ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ (8) ಅನುಗುಣವಾದ ಪದಗಳನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ, ಸರಣಿ (8) ಸರಣಿಯನ್ನು ಪ್ರಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ (6). ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿ (6) ) ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.ಹೀಗೆ, ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ (X (0) }.

ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ |X - x (k+1) |

ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನ.

X-x (k+1) = ಎಕ್ಸ್ - ಎಸ್ k+1 = ಎಸ್ ? -ಎಸ್ k+1 = (x (k+2) - (k+1) ) + (x (k+3) -X (k+2) ) + ... .

ಆದ್ದರಿಂದ

|X - x (k+1) | ? |x (k+2) - (k+1) | + |x (k+3) -X (k+2) | + ... ? q k+1 |x (1) -X (0) | +q k+2 |x (1) -X (0) | + ... = q k+1 |x (1) -X (0) | /(1-q).

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

|X - x (k+1) | ? q k+1 |x (1) -X (0) | /(1-q).(9)

ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದೆ X (0) ಅರ್ಥ X (ಕೆ) , ಹಿಂದೆ X (1) - ಅರ್ಥ X (k+1)(ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಅಂತಹ ಆಯ್ಕೆಯು ಸಾಧ್ಯವಾದ್ದರಿಂದ) ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು q k+1 ? qನಾವು ಔಟ್ಪುಟ್:

|X - x (k+1) | ? q k+1 |x (k+1) -X (ಕೆ) | / (1-q) ? q|x (k+1) -X (ಕೆ) | /(1-q).

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

|X - x (k+1) | ? q|x (k+1) -X (ಕೆ) | /(1-q). (10)

ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸುವ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿ x=ts(x)ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಇ,ಅದು

|X - x (k+1) | ? ಇ.

(10) ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಇಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

|x (k+1) -X (ಕೆ) | ? (1-q)/q.(11)

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು x=ts(x)ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕೊನೆಯ ನೆರೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವವರೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ e(1-q)/q.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 1: ಸ್ಥಿರ q ಆಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂದಾಜು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ:

ಚಿತ್ರ 1.

ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ನೇರ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲವಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 2.

ಚಿತ್ರವು ಒಮ್ಮುಖದ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನವು 0 ಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ವೇಗವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರದ ಬಳಿ ಇರುವ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಅಂದಾಜನ್ನು ಮೂಲದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಚಿತ್ರ 3.

ತೀರ್ಮಾನ

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಮಾಹಿತಿ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಿಂದ ಇದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮಾಹಿತಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಘಟಿಸಲು ಸುಧಾರಿತ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಕರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ - ಪರಿಸರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳು.

ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ, ನ್ಯೂಟನ್, ಸ್ವರಮೇಳಗಳು ಮತ್ತು ಅರ್ಧ ವಿಭಜನೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಲಸದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ರಚಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಮಾದರಿಯು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ದೋಷವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ರಚಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾವಯವ ಭಾಗವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸದ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಶೋಧನೆ ನಡೆಸಿದ ನಂತರ "ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಧಾನಗಳು. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು", ನಾನು ಪರಿಚಯದಲ್ಲಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಗುರಿಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದೆ. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ವಿವಿಧ ಮೂಲಗಳ ಬಳಕೆಯು ವಿಷಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು.

ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಧಾನ (ವಿಧಾನವನ್ನು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸೆಕೆಂಟ್ ವಿಧಾನ ) ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೈಕ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರದ ಅನುಕ್ರಮ ಕಿರಿದಾಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವವರೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅರ್ಧ ವಿಭಜನಾ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಧಾನವು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಅದರ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ (X ಅಕ್ಷ) ಸ್ವರಮೇಳದ ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ. ಪರಿಗಣನೆಯಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ವಿಭಾಗವಾಗಿ ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಿಧಾನವು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಮೂಲವನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಪರಿಗಣನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದೇ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಧಾನವು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಬಾಗಿದ ಸ್ವರಮೇಳದೊಂದಿಗೆ ಅದನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (ಚಿತ್ರ 1 ನೋಡಿ.).

Fig.1. ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ (ಸ್ವರಪದ) ನಿರ್ಮಾಣ.

A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ (ಸ್ವರಮೇಳ) ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಮತ್ತು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು .

ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಮೇಲೆ ಬರೆಯಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ಹೋಗಲು ಹೊಸ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿ, ನಾವು ಎರಡರಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ , ಅದರ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹಲವು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಭಾಗದ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು:

ಅಥವಾ .

ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಅಂದಾಜುಗಳ ಸಾಮೀಪ್ಯದ ಸ್ಥಿತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಖರತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಮೂಲವನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸುವ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಚಿತ್ರ.2. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ದೋಷದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವಿವರಣೆ.

ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಧಾನದ ಒಮ್ಮುಖವು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಭಜನಾ ವಿಧಾನದ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

1. ಮೂಲ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆರಂಭಿಕ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. Zಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ದೋಷವನ್ನು ನೀಡಿ (ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ) ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಹಂತ () .

2. ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವರಮೇಳದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

3. ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ , ಮತ್ತು . ಮುಂದೆ, ನೀವು ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು:

ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸಿದರೆ , ನಂತರ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೂಲವು ಎಡ ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ ಇದೆ ಪುಟ್, ;

ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸಿದರೆ , ನಂತರ ಬಯಸಿದ ಮೂಲವು ಬಲ ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ ಇದೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಿ , .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹೊಸ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಸಮೀಕರಣದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೂಲವು ಇದೆ:

4. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಖರತೆಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಅಂದಾಜುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಖರತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ರೂಟ್ನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಅಂದಾಜುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಗತ್ಯವಾದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ತಲುಪದಿದ್ದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಹಂತ 2 ಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಮೂಲವನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್‌ನಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಆಯ್ಕೆMathCAD.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ರೂಟ್ನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್, ಹಾಗೆಯೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಹಂತವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ದೋಷಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1 ನೋಡಿ).

Fig.1. ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು

ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹುಡುಕುವಾಗ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, 6 ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಕೊನೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: .

ಸೂಚನೆ:

ಈ ವಿಧಾನದ ಮಾರ್ಪಾಡು ತಪ್ಪು ಸ್ಥಾನ ವಿಧಾನ(ಫಾಲ್ಸ್ ಪೊಸಿಷನ್ ಮೆಥಡ್), ಇದು ಸೆಕೆಂಟ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಕೊನೆಯ 2 ಅಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮೂಲ ಸುತ್ತಲೂ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳು.

ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದರೆ, ಹುಡುಕಾಟ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಿರಂತರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ:

ಪ್ರಕರಣ #1:

ಮೊದಲ ಷರತ್ತಿನಿಂದ ಇದು ವಿಭಾಗದ ಸ್ಥಿರ ಭಾಗವು ಬದಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆಎ.

ಪ್ರಕರಣ #2:

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು 1

ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು 1

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆ 1

ಮೂಲ ಸ್ಥಳೀಕರಣ 2

ಮೂಲ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ 4

ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು 4

ಅರ್ಧ ವಿಭಾಗ ವಿಧಾನ 4

ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಧಾನ 5

ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನ (ಸ್ಪರ್ಶ ವಿಧಾನ) 6

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ 7

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆ 7

ಆಯತ ವಿಧಾನ 8

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ವಿಧಾನ 9

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ವಿಧಾನ (ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಸೂತ್ರ) 10

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಬಯಸಿದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಥವಾ ಇತರ ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸದ ಕಾರಣ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿವೆ.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ಎಂದರೆ ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಕಾರ್ಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಖರತೆ ಮತ್ತು ಬಳಸಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಮಗಳು ಬೇಕಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೆಚ್ಚಿನ ವೇಗದ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆದ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂದಾಜು, ಅಂದರೆ, ಇದು ಕೆಲವು ದೋಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ದೋಷದ ಮೂಲಗಳು:

ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನದ ದೋಷ;

ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ದೋಷಗಳು.

ವಿಧಾನ ದೋಷವು ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆಏಕೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸರಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ (ಹತ್ತಿರಕ್ಕೆ ತರುತ್ತದೆ). ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಇದು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿಬಯಸಿದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕ ದೋಷಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಡೆಸಿದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ದೋಷಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆ

ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತದೊಂದಿಗೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:

f(X) = 0 ,

ಎಲ್ಲಿ f(X) - ವಾದದ ಕೆಲವು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ X.

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ X 0 , ಇದರಲ್ಲಿ f(X 0 ) ≡ 0 ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ f(X) = 0.

ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ನೇರ(ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ, ನಿಖರ) ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ. ನೇರ ವಿಧಾನಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಬಂಧದ (ಸೂತ್ರ) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್, ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಎದುರಾಗುವ ಬಹುಪಾಲು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೇರ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾಲ್ಕನೇ ಪದವಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಹ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬೇರುಗಳ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ತಿರುಗುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಸ್ಥಳೀಕರಣಬೇರುಗಳ (ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆ), ಅಂದರೆ. ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅಂತಹ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು X, ಅದರೊಳಗೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಮೂಲವಿದೆ, ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣ, ಅಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬೇರುಗಳ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.

ಬೇರುಗಳ ಸ್ಥಳೀಕರಣ

ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು f(X) = 0 ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುವ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [ ಎ,ಬಿ] ಒಂದು ಮೂಲವಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಸೂಚಿಸಿದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಈ ಮೂಲವು ಒಂದೇ ಆಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ ಎ,ಬಿ], ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಂದರೆ.

f(ಎ)  f(ಬಿ) < 0 ,

ನಂತರ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮೂಲವಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 1. ಬೇರುಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆ. ಕಾರ್ಯ f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆಯಲ್ಲ [ ಎ,ಬಿ].

ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು, ಚಿತ್ರ (1) ನಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಬೇರಿನ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬೇರಿನ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುವ ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸ್ಥಿತಿ [ ಎ,ಬಿ] ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯ ಅಗತ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಏಕತಾನತೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿ, ನಾವು ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು f′( X) .

ಹೀಗಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ [ ಎ,ಬಿ] ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ನಂತರ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಮೂಲವಿದೆ.

ಈ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ರೂಟ್ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ವೈ=f(X) ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿತ್ರ (1) ರಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೂರು ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದು ಮೂರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ರೂಟ್ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆ ಕೂಡ ಮಾಡಬಹುದು ಕೋಷ್ಟಕದಾರಿ. ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ (2.1) ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎ, ಬಿ]. ಈ ವಿಭಾಗದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು (ಮೂಲ ಹುಡುಕಾಟ ಮಧ್ಯಂತರ) ಮಾಡಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭೌತಿಕ ಅಥವಾ ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 2. ರೂಟ್ ಸ್ಥಳೀಕರಣದ ಕೋಷ್ಟಕ ವಿಧಾನ.

ನಾವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ f(X) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ X=ಎ, ಕೆಲವು ಹಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಗಂ(ಚಿತ್ರ 2). ಪಕ್ಕದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಜೋಡಿ ಪತ್ತೆಯಾದ ತಕ್ಷಣ f(X) ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾದದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು Xಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಭಾಗದ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋಷ್ಟಕ ವಿಧಾನದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ f(X) ಮತ್ತು ಆಯ್ದ ಹಂತದ ಗಾತ್ರದ ಮೇಲೆ ಗಂ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಗಂ(ಗಂ<<|ಬಿ−ಎ|) ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿಭಾಗದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ [ x, x+ಗಂ] ಕಾರ್ಯ f(X) ಅದೇ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಸಹಜ f(X) = 0 ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ: ಕಾರ್ಯದ ಏಕತಾನತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ f(X) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [ x, x+ಗಂ] ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಬಹುದು (Fig. 3a).

ಚಿತ್ರ 3a ಚಿತ್ರ 3b

ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಬೇರುಗಳಿವೆ [ x, x+ಗಂ] ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಸಹ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು f(X)  f(X+ ಗಂ) < 0 (ಚಿತ್ರ 3b). ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾ, ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಗಂ.

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಆಯ್ದ ಹಂತದವರೆಗೆ ನಾವು ಅವುಗಳ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಸ್ಥಳೀಕರಣ ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯವನ್ನು ರೂಟ್‌ನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷವು ಹುಡುಕಾಟದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಹಂತವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ( ಗಂ/2). ಪ್ರತಿ ಮೂಲದ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಹಂತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಮೂಲ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆಯ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವಾಗ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಹುಡುಕಲು ಅಗತ್ಯವಾದಾಗ, ಅಂತಹ ವಿಧಾನವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲು (ಸ್ಥಳೀಕರಣ) ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅವರಿಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಮೂಲ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯನ್ನು ಇತರ, ಹೆಚ್ಚು ಆರ್ಥಿಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನ

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ವಿಧಾನ f(X) = 0 ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ:

1) ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಕೂಲಕರ ರೂಪವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗಿದೆ:

X = φ (X). (2.2)

2) ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ X 0 ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಂತರದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ
x ಕೆ = φ (x ಕೆ -1), ಕೆ =1,2, ... (2.3)

ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ, ಅದು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ f(X) = 0, ಅಂದರೆ. f(ξ ) =0.

ವೈ = φ (X)

ಒಂದು x 0 X 1 X 2 ξ ಬಿ

ಅಕ್ಕಿ. 2. ಒಮ್ಮುಖ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಂದಿನ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರ 2 ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ξ .

ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಧಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2.3. ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಿ:

1) ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ X= φ(x)ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ [ ಎ, ಬಿ];

2) ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು φ (X) ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ [ ಎ, ಬಿ],ಟಿ. ಇ. ಎ ≤ φ (X)≤ಬಿ;

3) ಅಂತಹ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ q< 1, ಉತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದು φ "(X) ವಿಭಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ [ ಎ, ಬಿ] ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ | φ "(X) | ≤ q.

1) ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅನುಕ್ರಮ x n= φ (x p- 1)(n = 1, 2, 3, ...) ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ X 0 Î [ ಎ, ಬಿ];

2) ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ

x = φ(X), ಅಂದರೆ x ಕೆ= ξ, ನಂತರ ξ= φ (ξ);

3) ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖದ ದರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ

| ξ -x ಕೆ | ≤ (ಬಿ-ಎ)× q ಕೆ.(2.4)

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಕಷ್ಟು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೊದಲು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ φ (X) ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (Fig. 3).

ವೈ = φ (X) ವೈ = X

ಅಕ್ಕಿ. 3. ವಿಭಿನ್ನ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ

ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳ ಒಮ್ಮುಖದ ಸ್ಥಿತಿಯಂತೆ, ಅಸಮಾನತೆ

|x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)

ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಧಾನಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ನಲ್ಲಿ = f(Xಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಒಂದು ಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗ ( ಎ, f(ಎ)) ಮತ್ತು ( ಬಿ, f(ಬಿ)) ಅಕ್ಕಿ. 4) ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಓಹ್ಮುಂದಿನ ವಿಧಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಧಾನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ( ಎ, f(ಎ)) ಮತ್ತು ( ಬಿ, f(ಬಿ)) ಮತ್ತು, ಸಮೀಕರಣ ನಲ್ಲಿಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ X:

Þ

ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಧಾನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ :

1) ಅವಕಾಶ ಕೆ = 0;

2) ಮುಂದಿನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: ಕೆ = ಕೆ + 1.

ಮುಂದಿನದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಕೆ-ಇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು:

x ಕೆ= ಎ- f(ಎ)(ಬಿ - ಎ)/(f(ಬಿ) - f(ಎ)).

ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ f(x ಕೆ);

3) ವೇಳೆ f(x ಕೆ)= 0 (ಮೂಲವು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ), ನಂತರ ಹಂತ 5 ಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ.

ಒಂದು ವೇಳೆ f(x ಕೆ) × f(ಬಿ)>0, ನಂತರ ಬಿ= x ಕೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಎ = x ಕೆ;

4) ವೇಳೆ |x k – x k -1 | > ε , ನಂತರ ಹಂತ 2 ಗೆ ಹೋಗಿ;

5) ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿ x k;

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಮೂರನೇ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಕ್ರಮಗಳು ಅರ್ಧ ಭಾಗಗಳ ವಿಭಜನಾ ವಿಧಾನದ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಮೂಲದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಪೀನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ವಿಭಾಗದ ಅದೇ ಅಂತ್ಯವನ್ನು (ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡ) ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 4, ಎ) ಅಥವಾ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಡೌನ್ (ಚಿತ್ರ 4, ಬಿ).ಆದ್ದರಿಂದ, ನೆರೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಒಮ್ಮುಖ ಮಾನದಂಡದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 4. ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಧಾನ

4. ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನ(ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು)

ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ f(X)= 0, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ x n.ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಸೂತ್ರ ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನಮುಂದಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು x n+1 ಅನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಮೊದಲ ವಿಧಾನವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಬದಲಾಗಿ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ನಲ್ಲಿ= f(X) ಆಕ್ಸಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಓಹ್ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದೆ ಓಹ್ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ( x n,f(x n)), ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ. 5. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ y - f(x n)= f"(x n)(X- x n).

ಅಕ್ಕಿ. 5. ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನ (ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು)

ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಓಹ್ವೇರಿಯಬಲ್ ನಲ್ಲಿ= 0. ಸಮೀಕರಣ ನಲ್ಲಿಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ, ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ Xಮತ್ತು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಸ್ಪರ್ಶ ವಿಧಾನ :

(2.6)

ಎರಡನೇ ವಿಧಾನ: ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ f(X) ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ x = x n:

ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯ ಪದಗಳಿಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಬಂಧಿಸೋಣ ( X- x n), ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ f(X) ಮತ್ತು, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು X, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ x n+1 ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (2.6).

ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನದ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ 2.4. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅವಕಾಶ [ ಎ, ಬಿ]ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ:

1) ಕಾರ್ಯ f(X) ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು f"(X)ಮತ್ತು f ""(X) ನಿರಂತರ;

2) ಉತ್ಪನ್ನಗಳು f"(x)ಮತ್ತು f""(X) ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ;

3) f(ಎ)× f(ಬಿ) < 0 (ಕಾರ್ಯ f(X) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆ).
ನಂತರ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಿದೆ [ α , β ], ಸಮೀಕರಣದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ f(X) = 0, ಇದರಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅನುಕ್ರಮ (2.6) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಅಂದಾಜಿನಂತೆ ಇದ್ದರೆ X 0 ಆ ಗಡಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ [ α , β ], ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ,

ಆ. f(X 0)× f"(X 0)>0, ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅನುಕ್ರಮವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಧಾನವು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಮತ್ತು ಈ ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಯೋಜನೆ ಕೂಡ ಸಾಧ್ಯ ಸ್ವರಮೇಳ-ಸ್ಪರ್ಶ ವಿಧಾನ.

5. ಸೆಕೆಂಟ್ ವಿಧಾನ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸೆಕೆಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು - ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರ:

, ,

. (2.7)

ಫಾರ್ಮುಲಾ (2.7) ಎರಡು ಹಿಂದಿನ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ x nಮತ್ತು x n - 1. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಿದ ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜುಗಾಗಿ X 0 ಮುಂದಿನ ಅಂದಾಜನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ X 1 , ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಂದಾಜು ಬದಲಿಯೊಂದಿಗೆ ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನದಿಂದ

,

ಸೆಕೆಂಟ್ ವಿಧಾನದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

1) ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ X 0 ಮತ್ತು ದೋಷ ε . ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ

;

2) ಫಾರ್ n = 1, 2, ... ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸಿದಾಗ | x n – x n -1 | > ε , ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ x n+ 1 ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (2.7).