ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ವಿಷಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಮುಂದಿನದು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವರ್ಷ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ರಜೆಯ ಮೇಲೆ ಹೋಗಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಈ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಹತ್ತಿರ ತರಲು, ನಾನು ನೇರವಾಗಿ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇನೆ:
ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಪ್ರದೇಶವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ (ಇದರಿಂದ ಗಡಿಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನಾದರೂ "ಚುಚ್ಚುವುದು", ನಂತರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಮುಚ್ಚಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ). ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಆಯತಾಕಾರದ, ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ದೊಡ್ಡದಾದ ಪ್ರದೇಶಗಳೂ ಇವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಕಾರಗಳು. ಇದು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮಿತಿಗಳು, ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆ, ಗಡಿಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ., ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಏನೂ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಸಮತಟ್ಟಾದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅಕ್ಷರದ ಮೂಲಕ ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ , ಮತ್ತು ನಿಯಮದಂತೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ - ಹಲವಾರು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ರೇಖೀಯವಲ್ಲ); ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳು. ವಿಶಿಷ್ಟ ಶಬ್ದಶಬ್ದ: "ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶವು ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದಿದೆ."
ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು? ನೀವು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ (ಇನ್ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ 3 ನೇರ) ಮತ್ತು ಏನಾಯಿತು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ. ಹುಡುಕಿದ ಪ್ರದೇಶವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲಘುವಾಗಿ ಮಬ್ಬಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗಡಿಯನ್ನು ದಪ್ಪ ರೇಖೆಯಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ: 
ಅದೇ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿಸಬಹುದು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು: , ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎಣಿಕೆಯ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.
ಗಡಿಯು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುವುದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಸಡಿಲವಾದ.
ಮತ್ತು ಈಗ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲತತ್ವ. ಅಕ್ಷವು ಮೂಲದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ನಿಮ್ಮ ಕಡೆಗೆ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ನಿರಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲಿಪ್ರದೇಶದ ಬಿಂದು. ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಕೆಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮೇಲ್ಮೈ, ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಸಂತೋಷವೆಂದರೆ ಇಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಮೇಲ್ಮೈ ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು, ಕಡಿಮೆ, ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸಬಹುದು - ಇದೆಲ್ಲವೂ ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಮುಖ್ಯ: ಪ್ರಕಾರ ವೈರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು, ನಿರಂತರವಿ ಸೀಮಿತ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುವ ಪ್ರದೇಶ ("ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು")ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ("ಕಡಿಮೆ")ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾವಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳು, ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿದವರುಡಿ , ಅಥವಾಈ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ. ಇದು ಸರಳ ಮತ್ತು ಪಾರದರ್ಶಕ ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 1
ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶ
ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೀವು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮಾಡಲು ನನಗೆ ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ತಕ್ಷಣ ಅಂತಿಮ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಸಂಶೋಧನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಎಲ್ಲಾ "ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದ" ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದಂತೆ ಒಂದರ ನಂತರ ಒಂದರಂತೆ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ: 
ಮುನ್ನುಡಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು:
I) ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಇದು ನಾವು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಪದೇ ಪದೇ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ತೀವ್ರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ:
ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ ಸೇರಿದೆಪ್ರದೇಶಗಳು: (ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿ), ಅಂದರೆ ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು:
- ಲೇಖನದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶಗಳುನಾನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ ದಪ್ಪ ಅಕ್ಷರ. ಪೆನ್ಸಿಲ್ನೊಂದಿಗೆ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.
ನಮ್ಮ ಎರಡನೇ ಸಂತೋಷಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ - ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ. ಏಕೆ? ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ತಲುಪಿದರೂ ಸಹ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ, ನಂತರ ಇದರರ್ಥ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವು ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ ಕನಿಷ್ಠಪ್ರದೇಶದಾದ್ಯಂತ (ಪಾಠದ ಆರಂಭವನ್ನು ನೋಡಿ ಬೇಷರತ್ತಾದ ವಿಪರೀತಗಳ ಬಗ್ಗೆ) .
ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೇರದಿದ್ದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಬಹುತೇಕ ಏನೂ ಇಲ್ಲ! ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗಬೇಕು.
II) ನಾವು ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಗಡಿಯು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು 3 ಉಪವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ಮಾಡದಿರುವುದು ಉತ್ತಮ. ನನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಮೊದಲು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳು, ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುವವರು. ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ತರ್ಕವನ್ನು ಗ್ರಹಿಸಲು, "ಒಂದು ಉಸಿರಿನಲ್ಲಿ" ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:
1) ತ್ರಿಕೋನದ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಹರಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೇರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ:
ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನೀವು ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಮಾಡಬಹುದು: 
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಇದರ ಅರ್ಥ ಸಮನ್ವಯ ಸಮತಲ (ಇದನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದಲೂ ನೀಡಲಾಗಿದೆ)ಹೊರಗೆ "ಕೆತ್ತನೆ" ಮೇಲ್ಮೈಗಳು"ಪ್ರಾದೇಶಿಕ" ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ, ಅದರ ಮೇಲ್ಭಾಗವು ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಮಾನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಅವಳು ಎಲ್ಲಿದ್ದಾಳೆ:
- ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ "ಬಿದ್ದು", ಮತ್ತು ಅದು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಬಹುದು (ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ)ಕಾರ್ಯವು ಇಡೀ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ:
ಇತರ "ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು", ಸಹಜವಾಗಿ, ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳು. ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ 
(ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ):
ಇಲ್ಲಿ, ಮೂಲಕ, ನೀವು "ಸ್ಟ್ರಿಪ್ಡ್-ಡೌನ್" ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೌಖಿಕ ಮಿನಿ-ಚೆಕ್ ಅನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು: 
2) ಸಂಶೋಧನೆಗಾಗಿ ಬಲಭಾಗದನಾವು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು "ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಇರಿಸಿ":
ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಒರಟು ಪರಿಶೀಲನೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಈಗಾಗಲೇ ಸಂಸ್ಕರಿಸಿದ ವಿಭಾಗದ ಅಂತ್ಯವನ್ನು "ರಿಂಗಿಂಗ್" ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
, ಗ್ರೇಟ್.
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಹಿಂದಿನ ಪಾಯಿಂಟ್:
- ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು "ನಮ್ಮ ಹಿತಾಸಕ್ತಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಬಂದಿತು" ಅಂದರೆ ಗೋಚರಿಸುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:
ವಿಭಾಗದ ಎರಡನೇ ತುದಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು 
, ನಿಯಂತ್ರಣ ಪರಿಶೀಲನೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ: 
3) ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವೇಷಿಸುವುದು ಎಂದು ಬಹುಶಃ ಎಲ್ಲರೂ ಊಹಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಳೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳು 
ಈಗಾಗಲೇ ಸಂಶೋಧನೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಇನ್ನೂ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ 
:
- 1 ನೇ ಉಪಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಯಿತು;
- 2 ನೇ ಉಪಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಯಿತು.
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಏನಾದರೂ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ:
- ಇದೆ! ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಈ "ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ" ದ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ನಾವು ಡ್ರಾಯಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:
"ಬಜೆಟ್" ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ 
:
, ಆದೇಶ.
ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಹಂತ: ನಾವು ಎಲ್ಲಾ "ಬೋಲ್ಡ್" ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಆರಂಭಿಕರಿಗಾಗಿ ಒಂದೇ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: 
ಇದರಿಂದ ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಉತ್ತರಹುಡುಕುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು:
ಒಂದು ವೇಳೆ, ನಾನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಫಲಿತಾಂಶ:
- ಇಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಉನ್ನತ ಶಿಖರಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು;
- ಇಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಬಿಂದುಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು.
ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು 7 "ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದ" ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಅವರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಕನಿಷ್ಠ "ಸಂಶೋಧನಾ ಸೆಟ್" ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮೂರು ಅಂಕಗಳು. ಕಾರ್ಯ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ವಿಮಾನ- ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ / ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು. ಆದರೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ - ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೀವು ಕೆಲವನ್ನು ಎದುರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೇಲ್ಮೈ.
ನೀವು ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ, ತ್ರಿಕೋನಗಳು ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದೆ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಚೌಕವಾಗುತ್ತದೆ :))
ಉದಾಹರಣೆ 2
ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ 
ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ, ಸಾಲುಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 3
ಸೀಮಿತ ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ವಿಶೇಷ ಗಮನಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ, ಜೊತೆಗೆ ಮಧ್ಯಂತರ ತಪಾಸಣೆಗಳ ಸರಪಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ, ಇದು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ದೋಷಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ, ನಿಮ್ಮ ಜೀವನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿಸುವ ಎಲ್ಲ ಅವಕಾಶಗಳಿವೆ. ಅಂದಾಜು ಮಾದರಿಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು.
ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸೋಣ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಜೇಡದಂತೆ ನನ್ನ ಶ್ರದ್ಧೆಯಿಂದ, 1 ನೇ ಉದಾಹರಣೆಯ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳ ದೀರ್ಘ ಥ್ರೆಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದು ಹೇಗಾದರೂ ಕಳೆದುಹೋಯಿತು:
- ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ನೆರಳು ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ದಪ್ಪ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಗಡಿಯನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಕಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
- ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದು. ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪೆನ್ಸಿಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಿ). ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಐಕಾನ್ ಅಥವಾ ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಲಿಖಿತ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಹಂತವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ!
- ನಾವು ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಪ್ರಯೋಜನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ (ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ). "ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದ" ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಹಾರ ತಂತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಮೇಲೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಕೆಳಗೆ ಹೇಳಲಾಗುವುದು - ಓದಿ, ಮರು-ಓದಿರಿ, ಅದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ!
- ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ, ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಿ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ತಲುಪುತ್ತದೆ - ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವಕಾಶ, 
ಮತ್ತು ಅದು ಎಂದು ಬದಲಾಯಿತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ. ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ
ಅಂತಿಮ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಇತರರಿಗೆ ಸಮರ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಉಪಯುಕ್ತ ವಿಚಾರಗಳುಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 4
ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ 
.
ನಾನು ಅದನ್ನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದನಾವು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ವಿಳಂಬ ಮಾಡಬೇಡಿ ಮತ್ತು ಇದೀಗ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಡಿ;-)
ಪರಿಹಾರ, ಯಾವಾಗಲೂ, ಒಂದು ರೀತಿಯ "ಸೋಲ್" ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ: 
ಹಾಂ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೀವು ವಿಜ್ಞಾನದ ಗ್ರಾನೈಟ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಲ್ಲ ...
I) ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: 
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮೂರ್ಖರ ಕನಸು :) 
ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಅದರ ಗಡಿಯಲ್ಲಿದೆ.
ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರವಾಗಿಲ್ಲ ... ಪಾಠವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಹೋಯಿತು - ಸರಿಯಾದ ಚಹಾವನ್ನು ಕುಡಿಯುವುದು ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ =)
II) ನಾವು ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಡಗರವಿಲ್ಲದೆ, ನಾವು x- ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:
1) ವೇಳೆ , ನಂತರ
ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
- ಅಂತಹ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಶಂಸಿಸಿ - ಎಲ್ಲವೂ ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುವ ಹಂತಕ್ಕೆ ನೀವು "ಹಿಟ್" ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ. ಆದರೆ ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಇನ್ನೂ ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ: 
ವಿಭಾಗದ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ: 
2) ಸಿ ಕೆಳಗೆ"ಒಂದೇ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ" "ಬಾಟಮ್ಸ್" ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ - ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಲ್ಲದೆ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:
ನಿಯಂತ್ರಣ:
ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ನರ್ಲ್ಡ್ ಟ್ರ್ಯಾಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆಯ ಚಾಲನೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಉತ್ಸಾಹವನ್ನು ತರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ, ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಬೇರೆ ಏನಾದರೂ ನೆನಪಿದೆಯೇ? ...ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೆನಪಿಡಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನೀವು ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಓದುವುದಿಲ್ಲ =) ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ದಶಮಾಂಶಗಳು(ಇದು ಅಪರೂಪವಾಗಿದೆ), ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳು ಇಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಕಾಯುತ್ತಿವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು. ನಾವು "X" ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು "ಅಭ್ಯರ್ಥಿ" ಅಂಕಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ "ಗೇಮ್" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: 
ಕಂಡುಬರುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ: 
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
ಈಗ ನಾವು ಗೆದ್ದ ಟ್ರೋಫಿಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಉತ್ತರ:
ಇವರು "ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು", ಇವರು "ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು"!
ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು:
ಉದಾಹರಣೆ 5
ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ 
ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ 
ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಕಟ್ಟುಪಟ್ಟಿಗಳೊಂದಿಗಿನ ನಮೂದು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: "ಅಂತಹ ಅಂಕಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್."
ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಳಗೆ ಇದೇ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಬಳಸಿ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಗುಣಕ ವಿಧಾನ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಬಳಸಲು ನಿಜವಾದ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಇರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದೇ ಪ್ರದೇಶದ "de" ನೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರೊಳಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾದ ನಂತರ - ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ; ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೇ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ "ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ" (ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ) ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕರಣಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವಿಲ್ಲದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೃತ್ತದ ಅದೇ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ)ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಕಷ್ಟ - ಉತ್ತಮ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಇಲ್ಲದೆ ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಕಷ್ಟ!
ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಳ್ಳೆಯ ಸಮಯವನ್ನು ನೀಡಿ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಋತುವಿನಲ್ಲಿ ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಭೇಟಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ!
ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು:
ಉದಾಹರಣೆ 2: ಪರಿಹಾರ: ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ:
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅಂತಹ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಅರ್ಥಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇನ್ ಆರ್ಥಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯಗಳುಲಾಭ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅರ್ಥಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ತಂತ್ರವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿ.
ಸೂಚನೆಗಳು
ಯಾವುದೇ ನಡವಳಿಕೆಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಯಾವಾಗಲೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಹುಡುಕಾಟದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಬೇಕು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದೊಡ್ಡದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಅರ್ಥ ಕಾರ್ಯಗಳುಈ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ತೆರೆದ ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚಿದ ಗಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ.
ಆಧರಿಸಿ, ದೊಡ್ಡದು ಅರ್ಥ ಕಾರ್ಯಗಳು y(x0), ಇದರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) ಹೊಂದಿದೆ. ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರಿಸಿದರೆ ಈ ಹಂತವು ಅತ್ಯಧಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಶ್ರೇಷ್ಠವಾದುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅರ್ಥ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಮೂರು-ಹಂತದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ. ನೀವು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮತ್ತು , ಜೊತೆಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯ y(x) ಅನ್ನು ನೀಡಲಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಅರ್ಥಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ.
ಈ ಮಧ್ಯಂತರವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ನೀವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿ, ವರ್ಗ ಮೂಲಇತ್ಯಾದಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಅದರ ಉಪವಿಭಾಗ. ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ, ಹೋಗಿ ಮುಂದಿನ ಹಂತ.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಕಾರ್ಯಗಳುಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನೀವು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಮಧ್ಯಂತರ A, B ಗೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂದು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ.
ಮೂರನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ. ಮಧ್ಯಂತರ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಕೆಳಗಿನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ. [ಎ, ಬಿ] ರೂಪದ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಿದ್ದರೆ, ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಆವರಣದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಕಾರ್ಯಗಳು x = A ಮತ್ತು x = B. ವೇಳೆ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರ(ಎ, ಬಿ), ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪಂಕ್ಚರ್ ಆಗಿವೆ, ಅಂದರೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. x→A ಮತ್ತು x→B ಗಾಗಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಸಂಯೋಜಿತ ಮಧ್ಯಂತರ [A, B) ಅಥವಾ (A, B), ಅದರ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಅಲ್ಲ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನಂತ ಎರಡು ಬದಿಯ ಮಧ್ಯಂತರ (-∞, +∞) ಅಥವಾ ರೂಪದ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಅನಂತ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು: , (-∞, B) ನೈಜ ಮಿತಿಗಳಿಗೆ A ಮತ್ತು B, ಈಗಾಗಲೇ ವಿವರಿಸಿದ ತತ್ವಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದವುಗಳು, ಕ್ರಮವಾಗಿ x→-∞ ಮತ್ತು x→+∞ ಗಾಗಿ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.
ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ
$z=f(x,y)$ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಬೌಂಡ್ಡ್ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಡೊಮೇನ್ $D$ ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ. ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಸೀಮಿತ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ (ಬಹುಶಃ, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ). ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಸರಳ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಮೂರು ಹಂತಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
ಮುಚ್ಚಿದ ಡೊಮೇನ್ $D$ ನಲ್ಲಿ $z=f(x,y)$ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.
- $D$ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿದ $z=f(x,y)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.
- $D$ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ $z=f(x,y)$ ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ, ಸಂಭವನೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಪಡೆದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.
- ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ, ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.
ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು ಯಾವುವು? ತೋರಿಸು\ ಮರೆಮಾಡಿ
ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳುಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಎರಡೂ ಭಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ $\frac(\ಭಾಗಶಃ z)(\ಭಾಗಶಃ x)=0$ ಮತ್ತು $\frac(\ಭಾಗಶಃ z)(\ಭಾಗಶಃ y)=0 $) ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳು. ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳು ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1
$x=3$, $y=0$ ಮತ್ತು $y=x ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ +1$.
ನಾವು ಮೇಲಿನದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲು ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ ನೀಡಿದ ಪ್ರದೇಶ, ಇದನ್ನು ನಾವು $D$ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳುಈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು. $x=3$ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ (Oy ಆಕ್ಸಿಸ್) ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ $(3;0)$ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. $y=0$ ಸರಳ ರೇಖೆಯು abscissa ಅಕ್ಷದ (Ox axis) ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸರಿ, $y=x+1$ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ನಾವು ಈ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನೀವು ಸಹಜವಾಗಿ, ಒಂದೆರಡು $x$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $x=10$ ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $y=x+1=10+1=11$. $y=x+1$ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ $(10;11)$ ಬಿದ್ದಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, $y=x+1$ ನೇರ ರೇಖೆಯು $x=3$ ಮತ್ತು $y=0$ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಉತ್ತಮ. ಇದು ಏಕೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ? ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಒಂದೇ ಕಲ್ಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೆರಡು ಪಕ್ಷಿಗಳನ್ನು ಕೊಲ್ಲುತ್ತೇವೆ: $y=x+1$ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಾವು ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಈ ನೇರ ರೇಖೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಇತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಯಾವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. $y=x+1$ ರೇಖೆಯು $x=3$ ರೇಖೆಯನ್ನು $(3;4)$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $y=0$ ರೇಖೆಯು $(-1;0)$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಸಹಾಯಕ ವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತಗೊಳಿಸದಿರಲು, ನಾನು ಈ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಟಿಪ್ಪಣಿಯಲ್ಲಿ ಹಾಕುತ್ತೇನೆ.
$(3;4)$ ಮತ್ತು $(-1;0)$ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಯಿತು? ತೋರಿಸು\ ಮರೆಮಾಡಿ
$y=x+1$ ಮತ್ತು $x=3$ ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸೇರಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಜ್ಞಾತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$
ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ: ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ $x=3$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು: $y=3+1=4$. ಪಾಯಿಂಟ್ $(3;4)$ ಆಗಿದೆ ಬಯಸಿದ ಬಿಂದು$y=x+1$ ಮತ್ತು $x=3$ ಸಾಲುಗಳ ಛೇದಕಗಳು.
ಈಗ $y=x+1$ ಮತ್ತು $y=0$ ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ $y=0$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $0=x+1$, $x=-1$. ಪಾಯಿಂಟ್ $(-1;0)$ $y=x+1$ ಮತ್ತು $y=0$ (x-axis) ರೇಖೆಗಳ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಛೇದನ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎಲ್ಲವೂ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ:
ಟಿಪ್ಪಣಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಮಾತ್ರ.
ನಮ್ಮ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಸಾಲುಗಳು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ, ಸರಿ? ಅಥವಾ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲವೇ? ಅಥವಾ ಅದೇ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಬೇರೆ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡಬಹುದು:
ಸಹಜವಾಗಿ, ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಷರತ್ತು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ತೋರಿಸಿರುವ ಚಿತ್ರವು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅಂತಹ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ. $y=x+1$ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ವಿಮಾನದ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಯೇ? ಸರಿ, ಆದ್ದರಿಂದ $y ≤ x+1$. ನಮ್ಮ ಪ್ರದೇಶವು $y=0$ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರಬೇಕೇ? ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ $y ≥ 0$. ಮೂಲಕ, ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಒಂದಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \ಎಡಕ್ಕೆ \( \ಆರಂಭ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ) \ಬಲಕ್ಕೆ. $$
ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳು $D$ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸದೆ ಅವರು ಅದನ್ನು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಯ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಇದು ನಮಗೆ ಹೇಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ? ಇದು ಸಹ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ :) $M_1(1;1)$ ಬಿಂದುವು $D$ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ $x=1$ ಮತ್ತು $y=1$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ. ಎರಡೂ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಬಿಂದುವು ಪ್ರದೇಶದೊಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೇರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ:
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ) \ಬಲಕ್ಕೆ.$$
ಎರಡೂ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ $M_1(1;1)$ $D$ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ.
ಈಗ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಮಯ, ಅಂದರೆ. ಗೆ ಹೋಗೋಣ. $y=0$ ಸರಳ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.
$y=0$ (abscissa axis) ನೇರ ರೇಖೆಯು $-1 ≤ x ≤ 3$ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ $D$ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು $y=0$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. $f_1(x)$ ನಂತೆ ಪರ್ಯಾಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆದ $x$ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
ಈಗ $f_1(x)$ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು $-1 ≤ x ≤ 3$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸೋಣ:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
$x=2$ ಮೌಲ್ಯವು $-1 ≤ x ≤ 3$ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬಿಂದುಗಳ ಪಟ್ಟಿಗೆ $M_2(2;0)$ ಅನ್ನು ಕೂಡ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ವಿಭಾಗದ $-1 ≤ x ≤ 3$, ಅಂದರೆ $z$ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ $M_3(-1;0)$ ಮತ್ತು $M_4(3;0)$. ಮೂಲಕ, ಪಾಯಿಂಟ್ $M_2$ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಅದರಲ್ಲಿರುವ $z$ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಆದ್ದರಿಂದ, $M_2$, $M_3$, $M_4$ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ $z$ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ನೀವು ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು $z=x^2+2xy-y^2-4x$. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ $M_2$ ಗೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, $M_3M_4$ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು $z(x,y)=f_1(x)$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಾನು ಇದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:
\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)
ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಂತಹ ವಿವರವಾದ ದಾಖಲೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
ಈಗ $x=3$ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ತಿರುಗೋಣ. ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯು $0 ≤ y ≤ 4$ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ $D$ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ನೀಡಲಾದ ಫಂಕ್ಷನ್ $z$ ಗೆ $x=3$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ. ಈ ಪರ್ಯಾಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು $f_2(y)$ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
$f_2(y)$ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು $0 ≤ y ≤ 4$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸೋಣ:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
$y=3$ ಮೌಲ್ಯವು $0 ≤ y ≤ 4$ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹಿಂದೆ ಕಂಡುಕೊಂಡ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ $M_5(3;3)$ ಅನ್ನು ಕೂಡ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, $0 ≤ y ≤ 4$, ಅಂದರೆ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ $z$ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ $M_4(3;0)$ ಮತ್ತು $M_6(3;4)$. ಪಾಯಿಂಟ್ $M_4(3;0)$ ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ $z$ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ. $M_5$ ಮತ್ತು $M_6$ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ $z$ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. $M_4M_6$ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು $z(x,y)=f_2(y)$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:
\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)
ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, $D$ ಪ್ರದೇಶದ ಕೊನೆಯ ಗಡಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ನೇರ ರೇಖೆ $y=x+1$. ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯು $-1 ≤ x ≤ 3$ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ $D$ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. $z$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ $y=x+1$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ $x$ ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ನಾವು $-1 ≤ x ≤ 3$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. $f_(3)(x)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸೋಣ:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
$x=1$ ಮೌಲ್ಯವು $-1 ≤ x ≤ 3$ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. $x=1$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $y=x+1=2$. ಬಿಂದುಗಳ ಪಟ್ಟಿಗೆ $M_7(1;2)$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ $z$ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ ಏನೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ವಿಭಾಗದ ತುದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಗಳು $-1 ≤ x ≤ 3$, ಅಂದರೆ. ಅಂಕಗಳು $M_3(-1;0)$ ಮತ್ತು $M_6(3;4)$ ಅನ್ನು ಮೊದಲೇ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
ಪರಿಹಾರದ ಎರಡನೇ ಹಂತವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ. ನಾವು ಏಳು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
ಕಡೆಗೆ ತಿರುಗೋಣ. ಮೂರನೇ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:
$$z_(ನಿಮಿಷ)=-4; \; z_(ಗರಿಷ್ಠ)=6.$$
ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.
ಉತ್ತರ: $z_(ನಿಮಿಷ)=-4; \; z_(ಗರಿಷ್ಠ)=6$.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2
$x^2+y^2 ≤ 25$ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ $z=x^2+y^2-12x+16y$ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಮೊದಲಿಗೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಸಮೀಕರಣವು $x^2+y^2=25$ (ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿರೇಖೆ) ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ (ಅಂದರೆ $(0;0)$) ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. 5. ಅಸಮಾನತೆ $x^2 +y^2 ≤ $25 ನಮೂದಿಸಿದ ವೃತ್ತದ ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.
ಅದರಂತೆ ನಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
$$ \frac(\ಭಾಗಶಃ z)(\ಭಾಗಶಃ x)=2x-12; \frac(\ಭಾಗಶಃ z)(\ಭಾಗಶಃ y)=2y+16. $$
ಕಂಡುಬರುವ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲ. ಎರಡೂ ಆಂಶಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಅಂದರೆ. ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned)\right.$$
ನಾವು $(6;-8)$ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಂಡುಬಂದ ಬಿಂದುವು $D$ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ. ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಆಶ್ರಯಿಸದೆ ತೋರಿಸಲು ಇದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಅಸಮಾನತೆ $x^2+y^2 ≤ 25$ ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ, ಇದು ನಮ್ಮ ಪ್ರದೇಶ $D$ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ $x=6$, $y=-8$, ನಂತರ $x^2+y^2=36+64=100$, ಅಂದರೆ. ಅಸಮಾನತೆ $x^2+y^2 ≤ 25$ ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ತೀರ್ಮಾನ: ಪಾಯಿಂಟ್ $(6;-8)$ $D$ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ.
ಆದ್ದರಿಂದ, $D$ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲ. ಮುಂದೆ ಹೋಗೋಣ... ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ $x^2+y^2=25$. ನಾವು ಸಹಜವಾಗಿ, $x$ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ $y$ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯ $z$ ಗೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು. ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $y=\sqrt(25-x^2)$ ಅಥವಾ $y=-\sqrt(25-x^2)$. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ $y=\sqrt(25-x^2)$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮುಂದಿನ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ನನಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಂಜಸವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಮೊದಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನದ ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ $z$ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ನಾವು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
ನಾವು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \ಎಡ \( \ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ (ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end(aligned) \ ಬಲ. \;\; \ಎಡ \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \ end( ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)\ಬಲಕ್ಕೆ.$$
ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, $\lambda\neq -1$ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಏಕೆ $\lambda\neq -1$? ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ $\lambda=-1$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿರೋಧಾಭಾಸ $0=6$ ಮೌಲ್ಯವು $\lambda=-1$ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಔಟ್ಪುಟ್: $\lambda\neq -1$. $\lambda$ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ $x$ ಮತ್ತು $y$ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:
\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)
ನಾವು $\lambda\neq -1$ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಏಕೆ ಷರತ್ತು ವಿಧಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಂಬುತ್ತೇನೆ. $1+\lambda$ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪವಿಲ್ಲದೆ ಛೇದಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಲು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಛೇದವು $1+\lambda\neq 0$ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು.
ಸಿಸ್ಟಂನ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ $x$ ಮತ್ತು $y$ ಗಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. $x^2+y^2=25$ ನಲ್ಲಿ:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\ಲಂಬ್ಡಾ)^2=4. $$
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ $1+\lambda=2$ ಅಥವಾ $1+\lambda=-2$ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು $\lambda$ ನಿಯತಾಂಕದ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು $x$ ಮತ್ತು $y$ ಎರಡು ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಎರಡು ಸಂಭಾವ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ, ಅಂದರೆ $M_1(3;-4)$ ಮತ್ತು $M_2(-3;4)$. $M_1$ ಮತ್ತು $M_2$ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ $z$ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)
ನಾವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ :) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
$$ z_(ನಿಮಿಷ)=-75; \; z_(ಗರಿಷ್ಠ)=125. $$
ಉತ್ತರ: $z_(ನಿಮಿಷ)=-75; \; z_(ಗರಿಷ್ಠ)=$125.
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾನು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇನೆ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಕಾರ್ಯಗಳು, ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು.
ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಇದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಉತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು. ಇದೆಲ್ಲವೂ ಈ ತಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿದೆ:
ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.
ವಿವರಿಸಲು ನನಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆ. ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ಉದಾಹರಣೆ:ಹುಡುಕಿ ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y=x^5+20x^3–65x ಕಾರ್ಯಗಳು [–4;0].
ಹಂತ 1.ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
ಹಂತ 2.ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಬೇಕು (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
ಈಗ ಈ ದ್ವಿಗುಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಮತ್ತು ಕಂಡುಬರುವ ಬೇರುಗಳು ನಮ್ಮ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.
ನಾನು t = x^2, ನಂತರ 5t^2 + 60t - 65 = 0 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇನೆ.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 5 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ಬದಲಾವಣೆ x^2 = t:
X_(1 ಮತ್ತು 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ಮತ್ತು 4) = ± sqrt(-13) (ನಾವು ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ, ಇರುವಂತಿಲ್ಲ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡದಿದ್ದರೆ)
ಒಟ್ಟು: x_(1) = 1 ಮತ್ತು x_(2) = -1 - ಇವು ನಮ್ಮ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.
ಹಂತ 3.ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ.
ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ [b][–4;0]. ಪಾಯಿಂಟ್ x=1 ಅನ್ನು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಹಾಗಾಗಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿಲ್ಲ. ಆದರೆ x=-1 ಬಿಂದುವಿನ ಜೊತೆಗೆ, ನಾವು ನಮ್ಮ ವಿಭಾಗದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, -4 ಮತ್ತು 0. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಈ ಮೂರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲವನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (y=x^5+20x^3–65x), ಕೆಲವರು ಅದನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವು [b]44 ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ [b]-1 ನಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [-4; 0].
ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ನಾವು ಉತ್ತಮರು, ನೀವು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ ನಿಲ್ಲಿಸು! y (-4) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುವುದಿಲ್ಲವೇ? ಸೀಮಿತ ಸಮಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮ, ನಾನು ಇದನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇನೆ:
ಚಿಹ್ನೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಮೂಲಕ.
ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ನಮ್ಮ ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ.
ನಾನು ಅದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ. ನಾನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇನೆ. ನಾನು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತೇನೆ: -4, -1, 0, 1. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ 1 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಚಿಹ್ನೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಅನೇಕ ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, 100 ಎಂದು ಹೇಳೋಣ ಮತ್ತು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅದನ್ನು ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸೋಣ ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣ 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. ಯಾವುದನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, 100ನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ 1 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಇದು ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. 1 ರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ (ನಾವು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ), ಕಾರ್ಯವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೈನಸ್ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ 0 ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ವಿಭಾಗದ ಗಡಿ ಮಾತ್ರ, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ. -1 ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಮತ್ತೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ಲಸ್‌ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ (ಮತ್ತು ನಾವು ಇದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ್ದೇವೆ) ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಮೈನಸ್ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ -1)ಕಾರ್ಯ ತಲುಪುತ್ತದೆ ಅದರ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ (y(-1)=44, ಮೊದಲೇ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಂತೆ)ಮೇಲೆ ಈ ವಿಭಾಗ(ಇದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಬಹಳ ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ, ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಿತು ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪಿತು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು).
ಅಂತೆಯೇ, ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮೈನಸ್‌ನಿಂದ ಪ್ಲಸ್‌ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ. ಹೌದು, ಹೌದು, ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು 1 ಮತ್ತು y(1) ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು, -1 ರಿಂದ +∞ ವರೆಗೆ ಹೇಳೋಣ. ಇದು ಕೇವಲ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ, ಅಂದರೆ, ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗ. ಕಾರ್ಯದ ನೈಜ (ಜಾಗತಿಕ) ಕನಿಷ್ಠವು ಎಲ್ಲೋ ಅಲ್ಲಿಗೆ ತಲುಪುತ್ತದೆ, -∞.
ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ವಿಧಾನವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಆದರೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ಕಾರ್ಯವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೀವು ಈ ಸ್ಥಳೀಯ, ಜಾಗತಿಕ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಮಿನಿಮಾಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಬಹುದು, ಆದರೂ ನೀವು ಇದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಸೇರಲು ಯೋಜನೆ ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ(ನೀವು ಅದನ್ನು ಬೇರೆ ಏಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ? ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಮತ್ತು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ). ಆದರೆ ಅಭ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾತ್ರ ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನೀವು ನಮ್ಮ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ತರಬೇತಿ ನೀಡಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ .
ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಏನಾದರೂ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೇಳಲು ಮರೆಯದಿರಿ. ನಿಮಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಮತ್ತು ಲೇಖನಕ್ಕೆ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾನು ಸಂತೋಷಪಡುತ್ತೇನೆ. ನಾವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ!
ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆ 2:
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಧಾರ.
ಪ್ರಮೇಯ (ಎರಡನೇ ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯ):
ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು ಆಂತರಿಕ ಅಂಕಗಳುಅಂತರ ಅಥವಾ ಅದರ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ. ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ. 
ವಿವರಣೆ:
1) ಫಂಕ್ಷನ್ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಡ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಬಲ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.
2) ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ (ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು), ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಬಲ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ.
3) ಫಂಕ್ಷನ್ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಡ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ , ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ (ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು).
4) ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
5) ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ತಲುಪುತ್ತದೆ (ಕಾರ್ಯವು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ).
6) ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ (ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು), ಮತ್ತು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ (ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು).
ಕಾಮೆಂಟ್:
"ಗರಿಷ್ಠ" ಮತ್ತು "ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ" ವಿಭಿನ್ನ ವಿಷಯಗಳು. ಇದು ಗರಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮತ್ತು "ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದ ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ತಿಳುವಳಿಕೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ 2.
4) ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 4:
ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ 
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ.
ಪರಿಹಾರ:
1) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. 
2) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಯ ಶಂಕಿತ ಬಿಂದುಗಳು) ಹುಡುಕಿ. ಎರಡು ಬದಿಯ ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪನ್ನ ಇಲ್ಲದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ. 
3) ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳುಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ.
4) ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಈ ವಿಭಾಗದ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.
ಈ ವಿಭಾಗದ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.
ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. 
ಕಾಮೆಂಟ್:ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ.
ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಮೊದಲ ಹಂತವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ, ಅಂದರೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಕೇವಲ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳುಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ. ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. ಇಡೀ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಲೇಖನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಾಗದ ಬಲ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಚಿತ್ರದಿಂದ ನೀವು ನೋಡಬಹುದು. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವು ವಿಭಾಗದ ಎಡ ಗಡಿಯಲ್ಲಿದೆ, ದೊಡ್ಡದು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ.