ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಲಿಯುವಿರಿ. ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಇಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಜ್ಞಾನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಸಮಯ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಏನು ಬೇಕು:

ಸಮರ್ಥ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ;
ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ;
ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕ ಪರಿಹಾರ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು "ನೋಡುವ" ಸಾಮರ್ಥ್ಯ - ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು ಹೇಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ? x-ಅಕ್ಷದ (OX) ಅಥವಾ y-ಅಕ್ಷದ (OY) ಉದ್ದಕ್ಕೂ?
ಸರಿ, ಸರಿಯಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಲ್ಲದೆ ನಾವು ಎಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ?) ಇದು ಇತರ ರೀತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸರಿಪಡಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು.

ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

1. ನಾವು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಚೆಕ್ಕರ್ ಪೇಪರ್ ಮೇಲೆ, ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ ಮೇಲೆ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಸರನ್ನು ಸಹಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಹಿ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಆಕೃತಿಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣದ ಯಾವ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದು ಎಂಬುದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಿತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಭಾಗಶಃ ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಎರಡನೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ.

2. ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

3. ಮುಂದೆ, ನೀವು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಭಿನ್ನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

3.1. ನೀವು ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದಾಗ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಎಂದರೇನು? ಇದು x-ಅಕ್ಷದಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ಫ್ಲಾಟ್ ಫಿಗರ್ ಆಗಿದೆ (y = 0), ನೇರ x = a, x = bಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಕರ್ವ್ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಮೊದಲು ಬಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಅಂಕಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಮತ್ತು x- ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

ಆಕೃತಿಯು ಯಾವ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದಿದೆ? ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಇದೆ y = x2 – 3x + 3, ಇದು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇದೆ ಓಹ್, ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಮುಂದೆ, ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x = 1ಮತ್ತು x = 3, ಇದು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ OU, ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲದಲ್ಲಿರುವ ಆಕೃತಿಯ ಗಡಿರೇಖೆಗಳು. ಸರಿ y = 0, ಇದು x- ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಂಕಿ ಮಬ್ಬಾಗಿದೆ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು. ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

3.2. ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 3.1 ರಲ್ಲಿ, ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ x- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವಾಗ ನಾವು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಕಾರ್ಯವು x- ಅಕ್ಷದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಾಗ ಈಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಕೆಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 . ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ y = x2 + 6x + 2, ಇದು ಅಕ್ಷದಿಂದ ಹುಟ್ಟುತ್ತದೆ ಓಹ್, ನೇರ x = -4, x = -1, y = 0. ಇಲ್ಲಿ y = 0ಮೇಲಿನಿಂದ ಬಯಸಿದ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ನೇರ x = -4ಮತ್ತು x = -1ಇವುಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಗಡಿಗಳಾಗಿವೆ. ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತತ್ವವು ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [-4; -1] . ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅರ್ಥವೇನು? ಆಕೃತಿಯಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ನೀಡಿರುವ x ನೊಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ "ಋಣಾತ್ಮಕ" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಾವು ನೋಡಬೇಕಾದ ಮತ್ತು ನೆನಪಿಡುವ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ.

ಲೇಖನ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿಲ್ಲ.

ಸಮರ್ಥ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ;
ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ;
ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕ ಪರಿಹಾರ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು "ನೋಡುವ" ಸಾಮರ್ಥ್ಯ - ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು ಹೇಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ? x-ಅಕ್ಷದ (OX) ಅಥವಾ y-ಅಕ್ಷದ (OY) ಉದ್ದಕ್ಕೂ?
ಸರಿ, ಸರಿಯಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಲ್ಲದೆ ನಾವು ಎಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ?) ಇದು ಇತರ ರೀತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸರಿಪಡಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

ಲೇಖನ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿಲ್ಲ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ - ಸಮತಲ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವವರು - ಅವರು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಿ. ನಿನಗೆ ತಿಳಿಯದೇ ಇದ್ದೀತು. ನಿಜ ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡಚಾ ಕಥಾವಸ್ತುವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ವಸ್ತುವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ಮಾಡಬೇಕು:

1) ಕನಿಷ್ಠ ಮಧ್ಯಂತರ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಡಮ್ಮಿಗಳು ಮೊದಲು ಪಾಠವನ್ನು ಓದಬೇಕು ಅಲ್ಲ.

2) ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಪುಟದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಬೆಚ್ಚಗಿನ ಸ್ನೇಹ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಿಮಗೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. "ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ" ಕಾರ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಒತ್ತುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ನಿಮ್ಮ ಸ್ಮರಣೆಯನ್ನು ರಿಫ್ರೆಶ್ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ, ಸರಳ ರೇಖೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಸ್ತು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಲೇಖನದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು (ಅನೇಕರಿಗೆ, ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ).

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಶಾಲೆಯಿಂದಲೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮುಂದೆ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಲೇಖನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ 100 ರಲ್ಲಿ 99 ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ದ್ವೇಷಿಸುವ ಶಾಲೆಯಿಂದ ಬಳಲುತ್ತಿರುವಾಗ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉತ್ಸಾಹದಿಂದ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡಾಗ.

ಈ ಕಾರ್ಯಾಗಾರದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ, ವಿವರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ಅಕ್ಷ, ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ನೆಲೆಗೊಳ್ಳಲಿ ಕಡಿಮೆಯಲ್ಲ x-ಅಕ್ಷ:

ನಂತರ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ) ಉತ್ತಮ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳಿದೆ. ಮತ್ತು ಈಗ ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಹೇಳಲು ಸಮಯ. ರೇಖಾಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು AREA ಆಗಿದೆ.

ಅದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ (ಬಯಸುವವರು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು), ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಇದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ನಿಯೋಜನೆ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಧಾರದ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವೆಂದರೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ನಿರ್ಮಾಣ. ಇದಲ್ಲದೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕು ಬಲ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ನಾನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲಿಗೆಎಲ್ಲಾ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ (ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ನಂತರ- ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು, ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು. ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಪಾಯಿಂಟ್, ಪಾಯಿಂಟ್-ಬೈ-ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿರ್ಮಾಣ ತಂತ್ರವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಅಲ್ಲಿ ನೀವು ನಮ್ಮ ಪಾಠಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು - ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು.
ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ (ಸಮೀಕರಣವು ಅಕ್ಷವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ):

ನಾನು ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ನೆರಳು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ; ನಾವು ಯಾವ ಪ್ರದೇಶದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ:

ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಇದೆ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ:

ಉತ್ತರ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಾರಿಗೆ ತೊಂದರೆಗಳಿವೆ , ಉಪನ್ಯಾಸವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಕಾರ್ಯವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನಂತರ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಲು ಮತ್ತು ಉತ್ತರವು ನಿಜವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, "ಕಣ್ಣಿನಿಂದ" ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಕೋಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ - ಸರಿ, ಸುಮಾರು 9 ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು ನಿಜವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 20 ಚದರ ಘಟಕಗಳು, ಎಲ್ಲೋ ತಪ್ಪು ಮಾಡಿರುವುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ - 20 ಕೋಶಗಳು ಪ್ರಶ್ನಾರ್ಹ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಒಂದು ಡಜನ್. ಉತ್ತರವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ತಪ್ಪಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ರೇಖೆಗಳು, ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು ಆಕ್ಸಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ?

ಉದಾಹರಣೆ 3

ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ:

ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಆಕ್ಸಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ(ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲಅಕ್ಷವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ), ನಂತರ ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:
ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಗಮನ! ಎರಡು ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು:

1) ಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲದೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಿದರೆ, ಅದು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು.

2) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಿದರೆ, ಆ ಪ್ರದೇಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಈಗ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಆಕೃತಿಯು ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಳವಾದ ಶಾಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಮತಲ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲು ನೀವು ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರದೇಶದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಮೊದಲ ವಿಧಾನವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಇದರರ್ಥ ಏಕೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯು ಏಕೀಕರಣದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ.
ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸದಿರುವುದು ಉತ್ತಮ..

ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕ ಮತ್ತು ವೇಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು "ತಮ್ಮಿಂದಲೇ" ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ. ವಿವಿಧ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್-ಬೈ-ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿರ್ಮಾಣ ತಂತ್ರವನ್ನು ಸಹಾಯದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗ್ರಾಫ್ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ವಿವರವಾದ ನಿರ್ಮಾಣವು ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ (ಅವು ಭಾಗಶಃ ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರಬಹುದು). ಮತ್ತು ನಾವು ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ: ಮೊದಲು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ. ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಪಾಯಿಂಟ್ವೈಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ "ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ" ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಮತ್ತು ಈಗ ಕೆಲಸದ ಸೂತ್ರ: ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಿದ್ದರೆ ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಕೆಲವು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ , ನಂತರ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳು , ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಆಕೃತಿ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ - ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವ ಗ್ರಾಫ್ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ(ಮತ್ತೊಂದು ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ), ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಯಾವುದು.

ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು:

ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಆಕೃತಿಯು ಮೇಲಿನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ನೇರ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ:

ಉತ್ತರ:

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಶಾಲೆಯ ಸೂತ್ರವು (ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ನೋಡಿ) ಸೂತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ . ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಇದೆ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲಅಕ್ಷಗಳು, ನಂತರ

ಮತ್ತು ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಉದಾಹರಣೆ 6

ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ತಮಾಷೆಯ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಸರಿಯಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸರಿಯಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಅಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದ ... ತಪ್ಪಾದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ, ನಿಮ್ಮ ವಿನಮ್ರ ಸೇವಕನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಸ್ಕ್ರೂ ಅಪ್ ಮಾಡಿದಂತೆಯೇ. ನಿಜ ಜೀವನದ ಪ್ರಕರಣ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 7

ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ, , , .

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲು, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ:

...ಓಹ್, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅಮೇಧ್ಯವಾಗಿ ಹೊರಬಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಪ್ರದೇಶವು ನೀಲಿ ಛಾಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ(ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿ - ಫಿಗರ್ ಹೇಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ!). ಆದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಅಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಹಸಿರು ಛಾಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ "ಗ್ಲಿಚ್" ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ!

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಹ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನಿಜವಾಗಿಯೂ:

1) ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಇದೆ;

2) ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಇದೆ.

ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು (ಮತ್ತು ಮಾಡಬೇಕು) ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:

ಉತ್ತರ:

ಇನ್ನೊಂದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 8

ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ,
"ಶಾಲೆ" ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್-ಬೈ-ಪಾಯಿಂಟ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ನಮ್ಮ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿ "ಒಳ್ಳೆಯದು" ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: .
ಆದರೆ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿ ಏನು?! ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಏನು? ಇರಬಹುದು ? ಆದರೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಖಾತರಿ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಬಹುದು ... ಅಥವಾ ಮೂಲ. ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ ಏನು?

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಮಯವನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕು.

ಸರಳ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

,

ನಿಜವಾಗಿಯೂ, .

ಮುಂದಿನ ಪರಿಹಾರವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಪರ್ಯಾಯಗಳು ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು; ಇಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸರಳವಾಗಿಲ್ಲ.

ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ , ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ:

ಉತ್ತರ:

ಸರಿ, ಪಾಠವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು, ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 9

ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ,

ಪರಿಹಾರ: ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ.

ಡ್ಯಾಮ್, ನಾನು ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಗೆ ಸಹಿ ಮಾಡಲು ಮರೆತಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ಕ್ಷಮಿಸಿ, ನಾನು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಮಾಡಲು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ. ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ದಿನವಲ್ಲ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಇಂದು ದಿನ =)

ಪಾಯಿಂಟ್-ಬೈ-ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ, ಸೈನುಸಾಯ್ಡ್ನ ನೋಟವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ (ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು), ಹಾಗೆಯೇ ಕೆಲವು ಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಅವುಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದ್ದಂತೆ), ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬೇಕು.

ಇಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ; ಅವರು ನೇರವಾಗಿ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತಾರೆ: "x" ಶೂನ್ಯದಿಂದ "ಪೈ" ಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಿಮಗೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. "ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ" ಕಾರ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಒತ್ತುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ನಿಮ್ಮ ಸ್ಮರಣೆಯನ್ನು ರಿಫ್ರೆಶ್ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಎನ್ನುವುದು ಅಕ್ಷ, ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ನೆಲೆಗೊಳ್ಳಲಿ ಕಡಿಮೆಯಲ್ಲ x-ಅಕ್ಷ:

ರೇಖಾಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು AREA ಆಗಿದೆ.

ಅದು,ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ (ಬಯಸುವವರು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು), ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಇದೆ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ:

ಉತ್ತರ:

ಕಾರ್ಯವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನಂತರ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಲು ಮತ್ತು ಉತ್ತರವು ನಿಜವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, “ಕಣ್ಣಿನಿಂದ” ನಾವು ಡ್ರಾಯಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕೋಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ - ಸರಿ, ಸುಮಾರು 9 ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು ನಿಜವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 20 ಚದರ ಘಟಕಗಳು, ಎಲ್ಲೋ ತಪ್ಪು ಮಾಡಿರುವುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ - 20 ಕೋಶಗಳು ಪ್ರಶ್ನಾರ್ಹ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಒಂದು ಡಜನ್. ಉತ್ತರವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ತಪ್ಪಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ:

ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಅಚ್ಚು ಅಡಿಯಲ್ಲಿ(ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲಅಕ್ಷವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ), ನಂತರ ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಗಮನ! ಎರಡು ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಮತಲ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಇದರರ್ಥ ಏಕೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯು ಏಕೀಕರಣದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ.

ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸದಿರುವುದು ಉತ್ತಮ..

ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕ ಮತ್ತು ವೇಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು "ತಮ್ಮಿಂದಲೇ" ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗ್ರಾಫ್ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ವಿವರವಾದ ನಿರ್ಮಾಣವು ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ (ಅವು ಭಾಗಶಃ ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರಬಹುದು). ಮತ್ತು ನಾವು ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ: ಮೊದಲು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ. ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು:

ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ, , , .

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲು, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ:

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಹ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ನಿಜವಾಗಿಯೂ:

1) ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಇದೆ;

2) ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಇದೆ.

ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು (ಮತ್ತು ಮಾಡಬೇಕು) ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:

ಡಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿಜವಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಡಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮತಲ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ (ಏಕೀಕರಣದ ಪ್ರದೇಶ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ಇದು ಡಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್‌ನ ಸರಳ ರೂಪವಾಗಿದೆ: .

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೋಡೋಣ. ಎಲ್ಲವೂ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಎಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈಗ ನಿಮಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ! ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ . ಈ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ:

ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ದಾಟಲು ಮೊದಲ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಹೀಗೆ:

ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ತಾಂತ್ರಿಕ ತಂತ್ರ: ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಮೊದಲು ಆಂತರಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ನಂತರ ಬಾಹ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ವಿಷಯದ ಆರಂಭಿಕರಿಗಾಗಿ ನಾನು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

1) ಆಂತರಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣವನ್ನು "y" ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನೀರಸ ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು "y" (ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಗೆ ಬದಲಿಸಿದ್ದೇವೆ, ನಂತರ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿ

2) ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬೇಕು:

ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂತ್ರ "ಸಾಮಾನ್ಯ" ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮತಲದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಖರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ! ಪಾಠವನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು, ಪ್ರತಿ ಹೆಜ್ಜೆಯಲ್ಲೂ ಅವಳು ಇದ್ದಾಳೆ!

ಅದು, ಡಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಬಳಸಿ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚು ಭಿನ್ನವಾಗಿಲ್ಲನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ!ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಒಂದೇ ವಿಷಯ!

ಅಂತೆಯೇ, ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸಬಾರದು! ನಾನು ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಎದುರಿಸಿದ್ದೀರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಪರಿಹಾರ:ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ:

ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರಯಾಣದ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಾವು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಹಳ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮುಂದೆ ನಾನು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ವಾಸಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಹೀಗೆ:

ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಆರಂಭಿಕರಿಗಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ, ಮತ್ತು ನಾನು ಅದೇ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ:

1) ಮೊದಲಿಗೆ, ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಆಂತರಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

2) ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪಾಯಿಂಟ್ 2 ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ಲೇನ್ ಫಿಗರ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಇದು ತುಂಬಾ ಮೂರ್ಖ ಮತ್ತು ನಿಷ್ಕಪಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 10

ಡಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಮತಲ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ, ,

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಪರಿಹಾರದ ಅಂದಾಜು ಉದಾಹರಣೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು 9-10 ರಲ್ಲಿ, ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೊದಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ; ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಓದುಗರು, ಮೂಲಕ, ಪ್ರಯಾಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ನೀವು ತಪ್ಪು ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ನೀವು ಅದೇ ಪ್ರದೇಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುವ ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಯುವ ದಡ್ಡನ ಕೋರ್ಸ್ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಒಂದೆರಡು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 11

ಡಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಬಳಸಿ, ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಮತಲದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ,

ಪರಿಹಾರ:ನಾವು ಎರಡು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳನ್ನು ಎದುರು ನೋಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಅದು ಅವರ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಕಿರುನಗೆ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಷಯಗಳು ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗ ಯಾವುದು?

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ:
- ಮೇಲಿನ ಶಾಖೆ ಮತ್ತು - ಕೆಳಗಿನ ಶಾಖೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಶಾಖೆಗಳು.

ಮುಂದೆ, ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ನಿಯಮಗಳ ಪಾಯಿಂಟ್-ವೈಸ್ ಪ್ಲಾಟಿಂಗ್, ಅಂತಹ ವಿಲಕ್ಷಣ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ:

ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಡಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಂಚರಿಸುವ ಮೊದಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಈ ದುಃಖದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ: . ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್, ಸಹಜವಾಗಿ, ಸೂಪರ್-ಕಾಂಪ್ಲಿಕೇಟೆಡ್ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ... ಹಳೆಯ ಗಣಿತದ ಮಾತುಗಳಿವೆ: ಅವರ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವವರಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ತಪ್ಪು ಗ್ರಹಿಕೆಯಿಂದ, ನಾವು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿನ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳು ಯಾವುದೇ ಎಲೆಗಳು, ಅಕಾರ್ನ್‌ಗಳು, ಶಾಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ ಸೂಚಿಸುವ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರದೇಶದ ಅಡ್ಡಹಾಯುವಿಕೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

ಹೀಗೆ:

ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅನುಭವಿಸಿ.

1) ನಾವು ಆಂತರಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

"y" ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮೇಲಿನ ಏಕೀಕರಣವು ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು; "zy" ಅಕ್ಷರವಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಯಾರು ಓದಿದರೂ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದೇಹದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು, ಅವರು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ "Y" ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಏಕೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಣ್ಣದೊಂದು ವಿಚಿತ್ರತೆಯನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಮೊದಲ ಹಂತಕ್ಕೆ ಸಹ ಗಮನ ಕೊಡಿ: ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ಮಧ್ಯಂತರವು ಶೂನ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪಾಠದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಮರ್ಥ ವಿಧಾನಗಳು.

ಏನು ಸೇರಿಸಬೇಕು.... ಎಲ್ಲಾ!

ಉತ್ತರ:

ನಿಮ್ಮ ಏಕೀಕರಣ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು, ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು . ಉತ್ತರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 12

ಡಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಬಳಸಿ, ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಮತಲದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ನೀವು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೊದಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ, ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ! ಮತ್ತು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಮೂರು ಜೋಡಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಮಾಸ್ಟರ್ ವರ್ಗವು ಕೊನೆಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಮಾಸ್ಟರ್ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ತೆರಳುವ ಸಮಯ - ಡಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು? ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಎರಡನೆಯ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾನು ತುಂಬಾ ಉನ್ಮಾದವಾಗಿರದಿರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ =)

ನಾನು ನಿಮಗೆ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ!

ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 2:ಪರಿಹಾರ: ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ:

ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರಯಾಣದ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಾವು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಹೀಗೆ:
ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ:

ಹೀಗೆ:
ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 4:ಪರಿಹಾರ: ನೇರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ: