2. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಗಳು
ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ - ಅದರ "ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ" ಅಥವಾ, ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, "ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ", "ಕೇಂದ್ರ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯ ಸೂಚ್ಯಂಕ". ಹಲವಾರು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ನಂತರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ" ಎಂದು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ Xಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ
ಆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ತೂಕದೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ತೂಕದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 6.ಡೈ ಮೇಲಿನ ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಗೋಚರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಇದು ನೇರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3 ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
ಹೇಳಿಕೆ 2.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ Xಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ x 1, x 2,…, xಮೀ. ಆಗ ಸಮಾನತೆ ನಿಜ
(5)
ಆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ತೂಕದೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ತೂಕದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.
(4) ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಸಂಕಲನವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯು ಹಲವಾರು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.
ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು (5) ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3 ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ನೈಜ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ (5).
ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು (5), ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ (4) ಪದಗಳಾಗಿ ಗುಂಪು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಮೊತ್ತದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಂತರ
ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲಕ
ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಸಂಭವನೀಯ-ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಅಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಇಡೋಣ x 1, x 2,…, xಮೀಸಮೂಹ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ(X= X 1 ), ಪ(X= X 2 ),…, ಪ(X= x ಮೀ) ಕ್ರಮವಾಗಿ. ನಂತರ ಸಮಾನತೆ (5) ಈ ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3 ರ ನೈಸರ್ಗಿಕತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಹೇಳಿಕೆ 3.ಅವಕಾಶ X- ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ, M(X)- ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಎ- ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಂತರ
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- ಎ) 2 ]= ಎಂ[(X- ಎಂ(X)) 2 ]+(ಎ- ಎಂ(X)) 2 .
ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎ. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಕವನ್ನು ಮೊತ್ತದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಂತರ
ಮೊತ್ತದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಎರಡು ಪದಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಮೊದಲ ಪದಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಎರಡನೆಯದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ X+Y, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಅದೇ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ M(X)ಮತ್ತು M(U)ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
ಆದ್ದರಿಂದ M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)).ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, M(M(X)) = M(X)ಆದ್ದರಿಂದ, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
ಏಕೆಂದರೆ ದಿ (X - a) 2 = ((X – ಎಂ(X)) + (ಎಂ(X) - ಎ)} 2 = (X - ಎಂ(X)) 2 + 2(X - ಎಂ(X))(ಎಂ(X) - ಎ) + (ಎಂ(X) – ಎ) 2 , ಅದು ಎಂ[(X - a) 2 ] =ಎಂ(X - ಎಂ(X)) 2 + ಎಂ{2(X - ಎಂ(X))(ಎಂ(X) - ಎ)} + ಎಂ[(ಎಂ(X) – ಎ) 2 ]. ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ. ಹೇಳಿಕೆ 3 ರ ಪುರಾವೆಯ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಂ[(ಎಂ(X) – ಎ) 2 ] = (ಎಂ(X) – ಎ) 2 . ಸ್ಥಿರ ಗುಣಕವನ್ನು ಮೊತ್ತದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಂತರ ಎಂ{2(X - ಎಂ(X))(ಎಂ(X) - ಎ)} = 2(ಎಂ(X) - ಎ)ಎಂ(X - ಎಂ(X)). ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗವು 0 ಆಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ, ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, M(X-M(X))=0.ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಂ[(X- ಎ) 2 ]= ಎಂ[(X- ಎಂ(X)) 2 ]+(ಎ- ಎಂ(X)) 2 , ಇದು ಸಾಬೀತು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿತ್ತು.
ಮೇಲಿನಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂ[(X- ಎ) 2 ] ಕನಿಷ್ಠ ತಲುಪುತ್ತದೆ ಎ, ಸಮಾನ ಎಂ[(X- ಎಂ(X)) 2 ], ನಲ್ಲಿ a = M(X),ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡನೇ ಪದದಿಂದ 3) ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ.
ಹೇಳಿಕೆ 4.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ Xಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ x 1, x 2,…, xಮೀ, ಮತ್ತು f ಎಂಬುದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಾದದ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಂತರ
ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಮಾಡೋಣ (4), ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳು:
ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಮೊತ್ತದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ (2) ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.
ಹೇಳಿಕೆ 5.ಅವಕಾಶ Xಮತ್ತು ಯು- ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಅದೇ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎಮತ್ತು ಬಿ- ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ನಂತರ ಎಂ(aX+ ಮೂಲಕ)= aM(X)+ ಬಿಎಂ(ವೈ).
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಸಂಕಲನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸಮಾನತೆಗಳ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಅಗತ್ಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಮತ್ತೊಂದು ಉಲ್ಲೇಖ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಮತ್ತು ಮಾಪನದ ಮತ್ತೊಂದು ಘಟಕಕ್ಕೆ (ಪರಿವರ್ತನೆ) ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೇಲಿನವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ವೈ=aX+ಬಿ), ಹಾಗೆಯೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ತಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಉದ್ಯಮದ ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು, ಒಂದು ಕರೆನ್ಸಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವಿದೇಶಿ ಆರ್ಥಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ, ನಿಯಂತ್ರಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ದಾಖಲಾತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸ್ಕೇಲ್ ಮತ್ತು ಶಿಫ್ಟ್ಗಾಗಿ ಒಂದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆ.
| ಹಿಂದಿನ |
ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು: ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ. ಅವರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು (ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯದ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಚಲನ). ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮುಖ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.1.ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು:
ಎಂ(X) = X 1 ಆರ್ 1 + X 2 ಆರ್ 2 + … + x p p p.(7.1)
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ.
ಗಮನಿಸಿ 1.ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಗಮನಿಸಿ 2.ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಗಮನಿಸಿ 3.ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ(ನಿರಂತರ. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಅದೇ ನಿಜ ಎಂದು ನಾವು ನಂತರ ನೋಡುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X- 2 ದೋಷಯುಕ್ತವಾದವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ 10 ಭಾಗಗಳ ಬ್ಯಾಚ್‌ನಿಂದ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಮೂರರಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ X. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ X 1, 2, 3 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಂತರ
ಉದಾಹರಣೆ 2. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ X- ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ನ ಮೊದಲ ನೋಟದ ಮೊದಲು ನಾಣ್ಯ ಟಾಸ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಸಾಧ್ಯವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ). ಅದರ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
| X | … | ಪ | … | ||
| ಆರ್ | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)ಪ | … |
+ (ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡುವಾಗ, ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ: , ಎಲ್ಲಿಂದ ).
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
1) ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಎಂ(ಜೊತೆಗೆ) = ಇದರೊಂದಿಗೆ.(7.2)
ಪುರಾವೆ. ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಜೊತೆಗೆಕೇವಲ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿ ಜೊತೆಗೆಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಆರ್= 1, ನಂತರ ಎಂ(ಜೊತೆಗೆ) = ಜೊತೆಗೆ?1 = ಜೊತೆಗೆ.
2) ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
ಎಂ(CX) = ಸಿಎಂ(X). (7.3)
ಪುರಾವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ Xವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
ನಂತರ ಎಂ(CX) = Cx 1 ಆರ್ 1 + Cx 2 ಆರ್ 2 + … + ಸಿಎಕ್ಸ್ ಪಿ ಪಿ ಪಿ = ಜೊತೆಗೆ(X 1 ಆರ್ 1 + X 2 ಆರ್ 2 + … + x p r p) = ಸಿಎಂ(X).
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.2.ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಇನ್ನೊಬ್ಬರು ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ಅವಲಂಬಿತ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.3.ಕರೆ ಮಾಡೋಣ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ Xಮತ್ತು ವೈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ XY, ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ Xಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವೈ, ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಅಂಶಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
3) ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಎಂ(XY) = ಎಂ(X)ಎಂ(ವೈ). (7.4)
ಪುರಾವೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಯಾವಾಗ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ನಮ್ಮನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತೇವೆ Xಮತ್ತು ವೈಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಂ(XY) = X 1 ವೈ 1 ?ಪ 1 ಜಿ 1 + X 2 ವೈ 1 ?ಪ 2 ಜಿ 1 + X 1 ವೈ 2 ?ಪ 1 ಜಿ 2 + X 2 ವೈ 2 ?ಪ 2 ಜಿ 2 = ವೈ 1 ಜಿ 1 (X 1 ಪ 1 + X 2 ಪ 2) + + ವೈ 2 ಜಿ 2 (X 1 ಪ 1 + X 2 ಪ 2) = (ವೈ 1 ಜಿ 1 + ವೈ 2 ಜಿ 2) (X 1 ಪ 1 + X 2 ಪ 2) = ಎಂ(X)?ಎಂ(ವೈ).
ಗಮನಿಸಿ 1.ಅಂಶಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ನೀವು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.
ಗಮನಿಸಿ 2.ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಆಸ್ತಿ 3 ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.4.ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತ Xಮತ್ತು ವೈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿ X+Y, ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪ್ರತಿ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ Xಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವೈ; ಅಂತಹ ಮೊತ್ತಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಪದಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅವಲಂಬಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ - ಎರಡನೆಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಒಂದು ಪದದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು).
4) ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ (ಅವಲಂಬಿತ ಅಥವಾ ಸ್ವತಂತ್ರ) ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಪದಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಎಂ (X+Y) = ಎಂ (X) + ಎಂ (ವೈ). (7.5)
ಪುರಾವೆ.
ಆಸ್ತಿಯ ಪುರಾವೆ 3 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು X+Yಇವೆ X 1 + ನಲ್ಲಿ 1 , X 1 + ನಲ್ಲಿ 2 , X 2 + ನಲ್ಲಿ 1 , X 2 + ನಲ್ಲಿ 2. ನಾವು ಅವರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೂಚಿಸೋಣ ಆರ್ 11 , ಆರ್ 12 , ಆರ್ 21 ಮತ್ತು ಆರ್ 22. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂ(X+ವೈ) = (X 1 + ವೈ 1)ಪ 11 + (X 1 + ವೈ 2)ಪ 12 + (X 2 + ವೈ 1)ಪ 21 + (X 2 + ವೈ 2)ಪ 22 =
= X 1 (ಪ 11 + ಪ 12) + X 2 (ಪ 21 + ಪ 22) + ವೈ 1 (ಪ 11 + ಪ 21) + ವೈ 2 (ಪ 12 + ಪ 22).
ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಆರ್ 11 + ಆರ್ 22 = ಆರ್ 1 . ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಘಟನೆ X+Yಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ X 1 + ನಲ್ಲಿ 1 ಅಥವಾ X 1 + ನಲ್ಲಿ 2 ಮತ್ತು ಇದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಆರ್ 11 + ಆರ್ 22 ಆ ಘಟನೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ X = X 1 (ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಆರ್ 1) ಎಂಬುದು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಪ 21 + ಪ 22 = ಆರ್ 2 , ಪ 11 + ಪ 21 = ಜಿ 1 , ಪ 12 + ಪ 22 = ಜಿ 2. ಅಂದರೆ,
ಎಂ(X+Y) = X 1 ಪ 1 + X 2 ಪ 2 + ವೈ 1 ಜಿ 1 + ವೈ 2 ಜಿ 2 = ಎಂ (X) + ಎಂ (ವೈ).
ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಆಸ್ತಿ 4 ರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪದಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ. ಐದು ದಾಳಗಳನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ ಪಡೆದ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ ಸುತ್ತಿದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
ಎಂ(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾವುದೇ ಡೈಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸುತ್ತಿದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಸ್ತಿಯ ಮೂಲಕ 4 ಎಂ(X)=
ಪ್ರಸರಣ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಡವಳಿಕೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: Xಮತ್ತು ವೈ, ರೂಪದ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
| X | |||
| ಆರ್ | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| ವೈ | ||
| ಪ | 0,5 | 0,5 |
ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂ(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, ಎಂ(ವೈ) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎರಡೂ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್.ಎಂ(Xಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳು 50 ರಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ), ನಂತರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವೈಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಎಂ(ವೈ) ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅದರಿಂದ ಎಷ್ಟು ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂಚಕವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು, ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.5.ಪ್ರಸರಣ (ಚದುರುವಿಕೆ)ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಅದರ ವಿಚಲನದ ವರ್ಗದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ:
ಡಿ(X) = ಎಂ (X-M(X))². (7.6)
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ X(ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಈ ಉಪನ್ಯಾಸದ ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯದ ವರ್ಗ ವಿಚಲನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. ಆದ್ದರಿಂದ,
ಗಮನಿಸಿ 1.ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ, ಇದು ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಚೌಕವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ವಿಚಲನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದುಗೊಳಿಸದಂತೆ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಗಮನಿಸಿ 2.ಪ್ರಸರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಈ ಪ್ರಮಾಣವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಗಮನಿಸಿ 3.ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಒಂದು ಸೂತ್ರವಿದೆ, ಅದರ ಸಿಂಧುತ್ವವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ:
ಪ್ರಮೇಯ 7.1.ಡಿ(X) = ಎಂ(X²) - ಎಂ²( X). (7.7)
ಪುರಾವೆ.
ಯಾವುದನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಎಂ(X) ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (7.6) ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಡಿ(X) = ಎಂ(X-M(X))² = ಎಂ(X² - 2 X?M(X) + ಎಂ²( X)) = ಎಂ(X²) - 2 ಎಂ(X)?ಎಂ(X) + ಎಂ²( X) =
= ಎಂ(X²) - 2 ಎಂ²( X) + ಎಂ²( X) = ಎಂ(X²) - ಎಂ²( X), ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು.
ಉದಾಹರಣೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ Xಮತ್ತು ವೈಈ ವಿಭಾಗದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಂ(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
ಎಂ(ವೈ) = (0 2 ² ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯದೆ, ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಸರಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು Xಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವೈಈ ವಿಚಲನವು ಸಾಕಷ್ಟು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಸರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
1) ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಜೊತೆಗೆಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ:
ಡಿ (ಸಿ) = 0. (7.8)
ಪುರಾವೆ. ಡಿ(ಸಿ) = ಎಂ((ಸಿ-ಎಂ(ಸಿ))²) = ಎಂ((ಸಿ-ಸಿ)²) = ಎಂ(0) = 0.
2) ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಚದುರಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
ಡಿ(CX) = ಸಿ² ಡಿ(X). (7.9)
ಪುರಾವೆ. ಡಿ(CX) = ಎಂ((CX-M(CX))²) = ಎಂ((CX-CM(X))²) = ಎಂ(ಸಿ²( X-M(X))²) =
= ಸಿ² ಡಿ(X).
3) ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಡಿ(X+Y) = ಡಿ(X) + ಡಿ(ವೈ). (7.10)
ಪುರಾವೆ. ಡಿ(X+Y) = ಎಂ(X² + 2 XY + ವೈ²) - ( ಎಂ(X) + ಎಂ(ವೈ))² = ಎಂ(X²) + 2 ಎಂ(X)ಎಂ(ವೈ) +
+ ಎಂ(ವೈ²) - ಎಂ²( X) - 2ಎಂ(X)ಎಂ(ವೈ) - ಎಂ²( ವೈ) = (ಎಂ(X²) - ಎಂ²( X)) + (ಎಂ(ವೈ²) - ಎಂ²( ವೈ)) = ಡಿ(X) + ಡಿ(ವೈ).
ಫಲಿತಾಂಶ 1.ಹಲವಾರು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಫಲಿತಾಂಶ 2.ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
4) ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಡಿ(X-Y) = ಡಿ(X) + ಡಿ(ವೈ). (7.11)
ಪುರಾವೆ. ಡಿ(X-Y) = ಡಿ(X) + ಡಿ(-ವೈ) = ಡಿ(X) + (-1)² ಡಿ(ವೈ) = ಡಿ(X) + ಡಿ(X).
ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ; ವಿಚಲನವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಎಂಬ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.6.ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನσ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಉದಾಹರಣೆ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳು Xಮತ್ತು ವೈಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವವರನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡಲಾದ ಕೆಲವು ಸರಾಸರಿ, ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ "ಪ್ರತಿನಿಧಿ" ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಹೇಳಿದಾಗ: "ಸರಾಸರಿ ದೀಪದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯ 100 ಗಂಟೆಗಳು" ಅಥವಾ "ಗುರಿಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಪ್ರಭಾವದ ಸರಾಸರಿ ಬಿಂದುವನ್ನು 2 ಮೀ ಬಲಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ" ಎಂದು ನಾವು ಅದರ ಸ್ಥಳವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, ಅಂದರೆ. "ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು".
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, x- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಾವು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯಗಳ "ತೂಕದ ಸರಾಸರಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ "ತೂಕ" ದೊಂದಿಗೆ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಅಥವಾ, ಅದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ,
. (5.6.1)
ಈ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದೇವೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.
ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ; ಕೆಳಗೆ ನಾವು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ತಿರುಗೋಣ. ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳು ಇರಲಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು . ನಂತರ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸೂತ್ರದಿಂದ (5.6.1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ ವಿಲಕ್ಷಣ ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಅವಲಂಬನೆಯು ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ನಡುವಿನ ಅವಲಂಬನೆಯಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿಧಾನಗಳ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ) ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ. ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಡುವಿನ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಪರ್ಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು.
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ಎಲ್ಲಿ 
.
ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಪ್ರಮಾಣವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯವು ಒಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಮೌಲ್ಯವು ಒಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯವು ಒಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ,
ಪರಿಮಾಣದ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಆದರೆ ಘಟನೆಯ ಆವರ್ತನ (ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ) ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಇಲ್ಲ; ಈ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಬಹುದು. ನಂತರ
,
ಆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಆವರ್ತನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಆವರ್ತನಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗೆ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ).
ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮದ ಒಂದು ರೂಪದ ವಿಷಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅಧ್ಯಾಯ 13 ರಲ್ಲಿ ಈ ಕಾನೂನಿನ ಕಠಿಣ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.
ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಸರಾಸರಿಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಗಳು ಹೇಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಅವಲೋಕನಗಳ ಸರಣಿಯಿಂದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅವುಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಇದು "ಬಹುತೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ" ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರೀಕರಿಸುವ, ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ.
ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಾಸರಿಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಖರವಾದ ಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಾಲಯದಲ್ಲಿ ದೇಹವನ್ನು ತೂಕ ಮಾಡುವಾಗ, ತೂಕದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; ವೀಕ್ಷಣಾ ದೋಷವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ನಾವು ದೇಹವನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ತೂಗುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ (ತೂಕಗಳು) ಮತ್ತಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಈ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಫಾರ್ಮುಲಾ (5.6.1) ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
, (5.6.2)
ಪ್ರಮಾಣದ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.
ಫಾರ್ಮುಲಾ (5.6.2) ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ (5.6.1) ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ನಿಯತಾಂಕ x, ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು - ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂಶದಿಂದ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತ - ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ. ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗಾಗಿ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ - ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿತರಿಸಿದಾಗ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ . ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪರಿಗಣನೆಗಳಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (5.6.2) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡದೆಯೇ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
ಮೇಲೆ ನಾವು ಪರಿಮಾಣದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಹಲವಾರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ಒಂದು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಸೂತ್ರಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ನ ಅನುಕೂಲತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಲ್ಲಿ, "ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ" ಪದಗಳನ್ನು m.o ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲು ಸಹ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಸ್ಥಾನದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ - ಎಲ್ಲಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಅಂದರೆ. ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸೀಮಿತ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಸಹಜವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.
ಮೇಲೆ ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (5.6.1) ಮತ್ತು (5.6.2) ನೀಡಿದ್ದೇವೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್.
ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವು ಮಿಶ್ರ ಪ್ರಕಾರದ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ರೂಪದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
, (5.6.3)
ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮೊತ್ತವು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ.
ಸ್ಥಾನದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ - ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಾನದ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೋಡ್ ಅದರ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ "ಅತ್ಯಂತ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯ" ಎಂಬ ಪದವು ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ; ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ, ಮೋಡ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ಅಕ್ಷರದ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 5.6.1 ಮತ್ತು 5.6.2 ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ.
ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (ವಿತರಣಾ ಕರ್ವ್) ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣೆಯನ್ನು "ಮಲ್ಟಿಮೋಡಲ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (Fig. 5.6.3 ಮತ್ತು 5.6.4).
ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗರಿಷ್ಟ (Fig. 5.6.5 ಮತ್ತು 5.6.6) ಬದಲಿಗೆ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಹೊಂದಿರುವ ವಿತರಣೆಗಳು ಇವೆ. ಅಂತಹ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು "ವಿರೋಧಿ ಮಾದರಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ 5, n° 5.1 ರಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ವಿತರಣೆಯು ಆಂಟಿಮೋಡಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿತರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯಾಗಿರುವಾಗ (ಅಂದರೆ ಒಂದು ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ) ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿರುವಾಗ, ಅದು ವಿತರಣೆಯ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಸೆಂಟರ್ ಆಫ್ ಸಮ್ಮಿಟ್ರಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಇದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ನಿರಂತರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿಯು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ
ಆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರವು ವಿತರಣಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿದ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಆಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 5.6.7).
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಉನ್ನತ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತೀರಾ? ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ, ಸಮಗ್ರ ಎಂಟ್ರೊಪಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ನೀವು ಭಯಪಡುವುದಿಲ್ಲವೇ? ನಂತರ ಈ ವಿಷಯವು ನಿಮಗೆ ತುಂಬಾ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಜ್ಞಾನದ ಈ ಶಾಖೆಯ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸರಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಲೇಖನದ ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬೇಡಿ. ಮೂಲಭೂತ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯಿಲ್ಲದೆ, ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಕೆಲವು ಪ್ರಯೋಗಗಳು. ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಹಲವಾರು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು - ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಇತರರು ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ. ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದು ವಿಧದ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತವು ಸಂಭವನೀಯ ಪದಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಮಾತ್ರ ನೀವು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು.
ಸರಾಸರಿ
ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಪಾಠದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಲಭ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ನಮಗೆ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು. ನಾವು 1 ರಿಂದ 9 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದೋಣ. ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು 45 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉತ್ತರ: - 5.
ಪ್ರಸರಣ
ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಸರಣವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿಚಲನಗಳ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರ D ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಏನು ಬೇಕು? ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿರುವ ಈವೆಂಟ್‌ಗೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಇರಬಹುದಾದಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿ ಅನೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಐದು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಐದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
ಪ್ರಸರಣವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಬಳಸುವುದಕ್ಕಾಗಿ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು X ಬಾರಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು X ವರ್ಗದ ಬಾರಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ X*X). ಇದು ಎಂದಿಗೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಗೆ, ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈಗ ನಾವು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
ನಾವು 21 ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು 7 ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ 1, 2, 2, 3, 4, 4 ಮತ್ತು 5 ಬಾರಿ ಗಮನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ?
ಮೊದಲಿಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ: ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು 21 ಆಗಿದೆ. ಅದನ್ನು 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, 3 ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಈಗ ಮೂಲ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ 3 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ. ಫಲಿತಾಂಶವು 12. ಈಗ ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು, ಮತ್ತು ಅದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಅದು ಅಷ್ಟೆ. ಆದರೆ ಒಂದು ಕ್ಯಾಚ್ ಇದೆ! ಅದನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ.
ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬನೆ
ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಛೇದವು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು: N ಅಥವಾ N-1. ಇಲ್ಲಿ N ಎಂಬುದು ನಡೆಸಿದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದೇ ವಿಷಯ). ಇದು ಏನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ?
ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೂರರಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಿದರೆ, ನಾವು ಛೇದದಲ್ಲಿ N ಅನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು, ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ N-1. ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಗಡಿಯನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದಾರೆ: ಇಂದು ಅದು ಸಂಖ್ಯೆ 30 ರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ನಾವು 30 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದರೆ, ನಂತರ ನಾವು ಮೊತ್ತವನ್ನು N-1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ N.
ಕಾರ್ಯ
ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ 12 ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅದನ್ನು N ಅಥವಾ N-1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು 21 ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದ್ದೇವೆ, ಅದು 30 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತರ: ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 12/2 = 2 ಆಗಿದೆ.
ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾದ ಎರಡನೇ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಹೋಗೋಣ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸೇರಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು, ಹಾಗೆಯೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಅದರಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೂ ಸಹ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸೂತ್ರವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಅದನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, ಎರಡನೆಯ, ಮೂರನೇ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಅದೇ ಸೇರಿಸಿ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೊತ್ತದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲಸದ ವಿಷಯದಲ್ಲೂ ಇದು ನಿಜ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಮಾಣವು ಅಂತಹ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು ಒಮ್ಮೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಎರಡು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ವಿಚಲಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ - ಇದು ಅಭ್ಯಾಸದ ಸಮಯ.
ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ
ನಾವು 50 ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು 10 ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ - 0 ರಿಂದ 9 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು - ವಿಭಿನ್ನ ಶೇಕಡಾವಾರುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಶೇಕಡಾವಾರು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು 100 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು 0.02 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; 0.1, ಇತ್ಯಾದಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಯಿಂದ ನಮಗೆ ನೆನಪಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ: 50/10 = 5.
ಈಗ ಎಣಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು "ತುಣುಕುಗಳಲ್ಲಿ" ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ. ನಾವು 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ಮತ್ತು 9 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪಡೆದ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ, ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನೋಡಿ: 1 - 5 = (-4). ಮುಂದೆ: (-4) * (-4) = 16. ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ, ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಮಾಡಿ. ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸರಿಯಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸೇರಿಸಿದ ನಂತರ ನೀವು 90 ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.
90 ಅನ್ನು N ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸೋಣ. ನಾವು N-1 ಗಿಂತ N ಅನ್ನು ಏಕೆ ಆರಿಸುತ್ತೇವೆ? ಸರಿ, ಏಕೆಂದರೆ ನಡೆಸಿದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 30 ಮೀರಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ: 90/10 = 9. ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನಿರಾಶೆಗೊಳ್ಳಬೇಡಿ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಸರಳ ತಪ್ಪು ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ನೀವು ಬರೆದದ್ದನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಬಹುಶಃ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತವೆ.
ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು 5.48 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ: 0*0.02 + 1*0.1... ಹೀಗೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.
ವಿಚಲನ
ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳಾದ sd ಅಥವಾ ಗ್ರೀಕ್ ಲೋವರ್ಕೇಸ್ "ಸಿಗ್ಮಾ" ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕೇಂದ್ರ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದಿಂದ ಎಷ್ಟು ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ನೇರವಾಗಿ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನವನ್ನು ನೋಡಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಇದನ್ನು ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಮೋಡ್‌ನ ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಿತ್ರದ ಅರ್ಧವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ (ಕೇಂದ್ರ ಮೌಲ್ಯ), ಸಮತಲ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ ಇದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ನಡುವಿನ ವಿಭಾಗದ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಸಮತಲ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಉಂಟಾಗುವ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್
ಸೂತ್ರಗಳ ವಿವರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅಂಕಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವಲ್ಲ. ಸಮಯವನ್ನು ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡದಿರಲು, ಉನ್ನತ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ - ಇದನ್ನು "ಆರ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಅನೇಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಮೌಲ್ಯಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತೀರಿ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ: ವೆಕ್ಟರ್<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
ಅಂತಿಮವಾಗಿ
ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಲ್ಲದೆ ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಏನನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳಲ್ಲಿನ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ಮುಖ್ಯ ಕೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೊದಲ ತಿಂಗಳುಗಳಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸರಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಕೊರತೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅಸಮರ್ಥತೆಯಿಂದಾಗಿ ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಕ್ಷಣವೇ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಹಿಂದೆ ಬೀಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಧಿವೇಶನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಟ್ಟ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಅದು ಅವರಿಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿವೇತನವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದಂತೆಯೇ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವಾರ, ದಿನಕ್ಕೆ ಅರ್ಧ ಘಂಟೆಯವರೆಗೆ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ. ನಂತರ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಬಾಹ್ಯ ಸಲಹೆಗಳು ಮತ್ತು ಚೀಟ್ ಹಾಳೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.
ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಹಿತಿಗೆ ತನ್ನನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಟ್ಟು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ; ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.ಪ್ರಮುಖ ಸಂಖ್ಯಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ.
ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಶೂಟರ್ ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮೊದಲ ಶೂಟರ್ ಸರಾಸರಿ, ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗಳಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಶೂಟ್ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅದರ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮಕ್ಕಿಂತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬಗ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಇತರ ಹಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಜ್ಞಾನವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.
§ 2. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ X ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು X 1 , X 2 , ..., X ಪ , ಅವರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್ 1 , ಆರ್ 2 , . . ., ಆರ್ ಪ . ನಂತರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂ(X) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ಎಂ(X) = X 1 ಆರ್ 1 + X 2 ಆರ್ 2 + … + X ಎನ್ ಪ ಎನ್ .
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ X ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ
ಎಂ(X)=
ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.
ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ (ಸ್ಥಿರ) ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ನಂತರ ಹಲವು ಬಾರಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸಹ ಸ್ಥಿರವಾದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂತರ ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 1.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ X, ಅದರ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು:
ಪರಿಹಾರ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಎಂ(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.
ಉದಾಹರಣೆ 2.ಘಟನೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇದ್ದರೆ ಎಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್.
ಪರಿಹಾರ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X - ಘಟನೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ - ಕೇವಲ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: X 1 = 1 (ಘಟನೆ ಎಸಂಭವಿಸಿದೆ) ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಆರ್ಮತ್ತು X 2 = 0 (ಘಟನೆ ಎಸಂಭವಿಸಲಿಲ್ಲ) ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ q= 1 -ಆರ್.ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ
ಎಂ(X)= 1* ಪ+ 0* q= ಪ
ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಈ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
§ 3. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಅರ್ಥ
ಅದು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಲಿ ಪಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಟಿ 1 ಬಾರಿ ಮೌಲ್ಯ X 1 , ಟಿ 2 ಬಾರಿ ಮೌಲ್ಯ X 2 ,...,ಮೀ ಕೆ ಬಾರಿ ಮೌಲ್ಯ X ಕೆ , ಮತ್ತು ಟಿ 1 + ಟಿ 2 + …+ಟಿ ಗೆ = ಪು.ನಂತರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ X, ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
X 1 ಟಿ 1 + X 2 ಟಿ 2 + ... + X ಗೆ ಟಿ ಗೆ .
ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ 
ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಿಂದ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಟ್ಟು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ:
=
(X 1 ಟಿ 1
+
X 2 ಟಿ 2 +
... +
X ಗೆ ಟಿ ಗೆ)/ಪ,
=
X 1
(ಮೀ 1 /
ಎನ್)
+
X 2
(ಮೀ 2 /
ಎನ್)
+ ... +
X ಗೆ
(ಟಿ ಗೆ /ಪ).
(*)
ಎಂಬ ಮನೋಭಾವವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದೆ ಮೀ 1 / ಎನ್- ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನ ಡಬ್ಲ್ಯೂ 1 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು X 1 , ಮೀ 2 / ಎನ್ - ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನ ಡಬ್ಲ್ಯೂ 2 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು X 2 ಇತ್ಯಾದಿ, ನಾವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು (*) ಹೀಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
=X 1
ಡಬ್ಲ್ಯೂ 1
+
X 2 ಡಬ್ಲ್ಯೂ 2
+ ..
. + X ಗೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಕೆ .
(**)
ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸಂಬಂಧಿತ ಆವರ್ತನವು ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದು ಅಧ್ಯಾಯ IX, § 6 ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ):
ಡಬ್ಲ್ಯೂ 1
ಪ 1 ,
ಡಬ್ಲ್ಯೂ 2
ಪ 2 ,
…,
ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಕೆ
ಪ ಕೆ .
ಸಂಬಂಧಿತ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು (**), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
X 1 ಪ 1
+
X 2 ಆರ್ 2
+ … +
X ಗೆ ಆರ್ ಗೆ .
ಈ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗ ಎಂ(X). ಆದ್ದರಿಂದ,
ಎಂ(X).
ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯ ಅರ್ಥವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ(ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ.
ಟೀಕೆ 1. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಚಿಕ್ಕದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ವಿತರಣೆಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿತರಣಾ ಕೇಂದ್ರ.
ಈ ಪದವನ್ನು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಎರವಲು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ: ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಆರ್ 1 , ಆರ್ 2 , ..., ಆರ್ ಪಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಇದೆ X 1 ,
X 2 ,
...,
X ಎನ್, ಮತ್ತು 
ನಂತರ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ
X ಸಿ =
.
ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
=
ಎಂ
(X)
ಮತ್ತು 
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂ(X)= x ಜೊತೆಗೆ .
ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ಅಬ್ಸಿಸಾ ಆಗಿದೆ, ಇವುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಟೀಕೆ 2. "ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ" ಎಂಬ ಪದದ ಮೂಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ (XVI - XVII ಶತಮಾನಗಳು) ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅದರ ಅನ್ವಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಜೂಜಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಆಟಗಾರನು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಗೆಲುವಿನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದನು, ಅಥವಾ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗೆಲ್ಲುವ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ.