2 ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ದಾಟಿದರೆ. ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಗ್ರಹಣೆ ಮತ್ತು ಬಳಕೆ

ಈ ಲೇಖನವು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು - ಮೂಲ ಮಾಹಿತಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನಾಂತರಅವರು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನಾಂತರ, ಅವರು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ "ಅವರು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದರೆ" ಎಂಬ ಷರತ್ತು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ: ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರದಿರುವ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ. ನೋಟ್ಬುಕ್ ಹಾಳೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಅಂಚುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ. ಮನೆಯ ಗೋಡೆಯ ಸಮತಲವು ಸೀಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ನೆಲದ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಮತಟ್ಟಾದ ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ರೈಲ್ರೋಡ್ ಹಳಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, "" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಅಂದರೆ, a ಮತ್ತು b ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ b ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, a ರೇಖೆಯು b ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು, ಮತ್ತು b ಸಾಲು a ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆಡುವ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಧ್ವನಿ ನೀಡೋಣ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮಲಗದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸತ್ಯವೆಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ (ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ), ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲತತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಪ್ರಮೇಯವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ನೀವು ಅದರ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು 10-11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಇದು ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಲೇಖನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಲಾಗಿದೆ).

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಪ್ರಮೇಯವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಯ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ - ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳು.

ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸಂಕೇತಇದೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ, ಅಂದರೆ, ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಷರತ್ತು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಈ ಸ್ಥಿತಿಯ ನೆರವೇರಿಕೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಹ ಇವೆ.

"ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ.

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಮತ್ತು ಏನು " ಅಗತ್ಯ ಸ್ಥಿತಿರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ"? "ಅಗತ್ಯ" ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯ ನೆರವೇರಿಕೆ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುವ ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಕಡೆ, ಇದು ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೊದಲು, ಹಲವಾರು ಸಹಾಯಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೆಕೆಂಟ್ ಲೈನ್ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಅಡ್ಡಹಾಯುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ಎಂಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಾಗದವುಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಸುಳ್ಳು, ಅನುಗುಣವಾದಮತ್ತು ಒಂದು ಬದಿಯ ಕೋನಗಳು. ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಅಡ್ಡಹಾಯುವ ಮೂಲಕ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲು ಛೇದಿಸುವ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು ಅಥವಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು ಅಥವಾ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪದವಿಗಳು.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಈ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ.

7-9 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗಾಗಿ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಾಣಬಹುದು.

ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ - ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.

ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಮಾನದಂಡದ ಪುರಾವೆಯು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲತತ್ವದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಇದೇ ಸ್ಥಿತಿಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ.

ಪ್ರಮೇಯ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಮಾನದಂಡದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು 10 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಹೇಳಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮೇಯವಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ.

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ.

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳು, ಮಾನದಂಡಗಳು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿವೆ. ಅಂದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅವು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ತೋರಿಸಬೇಕು ಅಥವಾ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಸುಳ್ಳು ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಬೇಕು. ಒಂದು ಗೊಂಚಲು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳುರಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಪ್ರೌಢಶಾಲೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ.

ಲೇಖನದ ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳುಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಮತ್ತು ನಾವು ಸಹ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳುವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಆಕ್ಸಿಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಅವನ ಪುರಾವೆಯು ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲು, ಈ ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಒಂದು ಸಾಲಿನ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ವೆಕ್ಟರ್.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು ಅಥವಾ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್) ಅಥವಾ (ಒಂದು ಸಾಲಿನ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್) ಗೆ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು, ನಂತರ a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಅಥವಾ , ಅಥವಾ , ಇಲ್ಲಿ t ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು (ಅಥವಾ) a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖೆಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ a ವೇಳೆ ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ Oxy ರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ , ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆ ಬಿ - , ನಂತರ ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮತ್ತು a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ರೇಖೆಯು ರೂಪದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಿ - ರೇಖೆಯು ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು , ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಇಳಿಜಾರುಗಳುನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ತದ್ವಿರುದ್ದವಾಗಿ: ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಲು a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು , ಅಥವಾ ರೂಪದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅದರಂತೆ, ಈ ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು , ಮತ್ತು a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆಯೇ? ಮತ್ತು ?

ಪರಿಹಾರ.

ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ: . ಈಗ ನಾವು ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು , a ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಇಲ್ಲ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ t ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಮಾನತೆ ( ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:

ಇಲ್ಲ, ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ.

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ: . ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ) ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ನಮಗೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ನಿಮ್ಮ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಗೌಪ್ಯತಾ ನೀತಿಯನ್ನು ನಾವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ನಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿಸಿ.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಗ್ರಹಣೆ ಮತ್ತು ಬಳಕೆ

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅಥವಾ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿಮ್ಮದನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು ವಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ನಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು.

ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದಾದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ನಾವು ಯಾವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

• ನೀವು ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅರ್ಜಿಯನ್ನು ಸಲ್ಲಿಸಿದಾಗ, ನಿಮ್ಮ ಹೆಸರು, ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ, ವಿಳಾಸ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು ಇಮೇಲ್ಇತ್ಯಾದಿ

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

• ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಅನನ್ಯ ಕೊಡುಗೆಗಳು, ಪ್ರಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂಬರುವ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು.
• ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ, ಪ್ರಮುಖ ಸೂಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂವಹನಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲು ನಾವು ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
• ಲೆಕ್ಕಪರಿಶೋಧನೆ, ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು ವಿವಿಧ ಅಧ್ಯಯನಗಳುನಾವು ಒದಗಿಸುವ ಸೇವೆಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸೇವೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಶಿಫಾರಸುಗಳನ್ನು ನಿಮಗೆ ಒದಗಿಸಲು.
• ನೀವು ಬಹುಮಾನ ಡ್ರಾ, ಸ್ಪರ್ಧೆ ಅಥವಾ ಅಂತಹುದೇ ಪ್ರಚಾರದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನೀವು ಒದಗಿಸುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಬಳಸಬಹುದು.

ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮಿಂದ ಪಡೆದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ವಿನಾಯಿತಿಗಳು:

• ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ, ನ್ಯಾಯಾಂಗ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ, ವಿ ವಿಚಾರಣೆ, ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ವಿನಂತಿಗಳು ಅಥವಾ ವಿನಂತಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಸರ್ಕಾರಿ ಸಂಸ್ಥೆಗಳುರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ - ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿ. ಭದ್ರತೆ, ಕಾನೂನು ಜಾರಿ ಅಥವಾ ಇತರ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ ಅಗತ್ಯ ಅಥವಾ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ ನಿಮ್ಮ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಬಹುದು.
• ಮರುಸಂಘಟನೆ, ವಿಲೀನ ಅಥವಾ ಮಾರಾಟದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿ ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ರಕ್ಷಣೆ

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಷ್ಟ, ಕಳ್ಳತನ ಮತ್ತು ದುರುಪಯೋಗದಿಂದ ರಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಮುನ್ನೆಚ್ಚರಿಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಆಡಳಿತಾತ್ಮಕ, ತಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಸೇರಿದಂತೆ - ಅನಧಿಕೃತ ಪ್ರವೇಶ, ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ, ಬದಲಾವಣೆ ಮತ್ತು ನಾಶ.

ಕಂಪನಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಗೌರವಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ನಮ್ಮ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳಿಗೆ ಗೌಪ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಭದ್ರತಾ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಸಂವಹನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಜಾರಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

ಎರಡು ನೇರ ಕರೆಗಳು ಪಾ-ರಲ್-ಲೆಲ್-ನೈ-ಮಿ, ಅವರು ದಾಟದಿದ್ದರೆ (ಚಿತ್ರ 1). ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ: .

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆ ಮಾತ್ರ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2) .

ಮೂಲತತ್ವದಿಂದ ಸಂಬಂಧಗಳು

ಪರಿಣಾಮ1:

ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ದಾಟಿದರೆ, ಅದು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಸಹ ದಾಟುತ್ತದೆ.

ನೀಡಿದ:.

ಸಾಬೀತು:.

ಪುರಾವೆ:

ಎದುರು ಕಡೆಯಿಂದ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡೋಣ. ಹಾಗೆ ನಟಿಸೋಣ ಜೊತೆಗೆಗೆರೆ ದಾಟುವುದಿಲ್ಲ ಬಿ(ಚಿತ್ರ 4).

ನಂತರ: (ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ), (ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿ). ಅಂದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಎಂಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿವೆ ( ಎಮತ್ತು ಸಿ), ಸಮಾನಾಂತರ ನೇರ ಬಿ. ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರೊ-ಟಿ-ವೋ-ರೆ-ಚಿಟ್ ಅಕ್-ಸಿಯೋ-ಮಿ. ಇದರರ್ಥ ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಸರಿಯಲ್ಲ. ನಂತರ ಅದು ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಿಅಡ್ಡ-ನೇರ ಬಿ.

ಫಲಿತಾಂಶ 2:

ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಮೂರನೇ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ(ಚಿತ್ರ 5) .

ನೀಡಿದ:.

ಸಾಬೀತು:.

ಪುರಾವೆ:

ಎದುರುಗಡೆಯಿಂದ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡೋಣ. ಅವರು ನೇರ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ ಎಮತ್ತು ಬಿಪ್ರತಿ-ರೆ-ಸೆ-ಕಾ-ಯುತ್-ಸ್ಯ ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಂ(ಚಿತ್ರ 6).

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ak-si-o-my ನೊಂದಿಗೆ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಮಾತನಾಡೋಣ: ಒಂದು ಹಂತದ ಮೂಲಕ ಎಂಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತವೆ, ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ನಮ್ಮ ಊಹೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ನಂತರ .

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಸಿದ್ಧಾಂತ 1:

ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅಡ್ಡ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ(ಚಿತ್ರ 7).

ನೀಡಿದ:.

ಸಾಬೀತು:.

ಪುರಾವೆ:

ಎದುರುಗಡೆಯಿಂದ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡೋಣ. ಎಂದು ನಟಿಸೋಣ: .

ನಂತರ ಕಿರಣದಿಂದ ಎಂ.ಎನ್ಒಂದೇ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ∠ ಪಿಎಂಎನ್, ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ∠ 2 (ಅಕ್ಕಿ. 7) ಆದರೆ ನಂತರ ∠ ಪಿಎಂಎನ್ಮತ್ತು ∠ 2 - ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸುಳ್ಳು. ನಂತರ ನೇರ ಪಿ.ಎಂ.ಮತ್ತು ಬಿ- ಪಾರ್-ರಾಲ್-ಲೆಲ್-ನೈ. ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಎಂಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತವೆ, ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಮೂರನೆಯವುಗಳು. ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

ak-si-o-moy ಜೊತೆಗೆ ಚಾಟ್ ಮಾಡೋಣ. ಇದರರ್ಥ ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಸರಿಯಲ್ಲ. ಅದು: .

ಪರಿಣಾಮ:

ಒಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮಾನಾಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ-ಪೆನ್-ಡಿ-ಕು-ಲ್ಯಾರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪ್ರತಿ-ಪೆನ್-ಡಿ-ಕು-ಲ್ಯಾರ್-ಆನ್ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು.

ನೀಡಿದ:

ಸಾಬೀತು:

ಪುರಾವೆ:

1. ಜೊತೆಗೆಪ್ರತಿ-ರೆ-ಸೆ-ಕಾ-ಎಟ್ ಎ, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮರು-ಸೆ-ಕಾ-ಎಟ್, ಅಂದರೆ ಬಿ. ನಂತರ ಜೊತೆಗೆ- ಸೆ-ಕು-ಶ್ಚಯಾ ಫ್ರಂ-ನೋ-ಶೆ-ನಿಯು ಟು ಎಮತ್ತು ಬಿ.

2. ಅವರು ಮಲಗಿರುವ ಶಿಲುಬೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ. ನಂತರ . ಅದು .

ಥಿಯೋ-ರೆ-ಮಾ 2:

ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀಡಿದ:- ಎಸ್-ಕು-ಶಯಾ.

ಸಾಬೀತು:(ಚಿತ್ರ 9).

ಪುರಾವೆ:

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಶಿಲುಬೆಯಲ್ಲಿನ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅದು .

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಸ್ತುವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ನಾವು ವಿವರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು- ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು- ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು, ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, “ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರುವುದು” ಎಂಬ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣವು ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗುವುದಿಲ್ಲ. , ಆದರೆ ಛೇದಕ.

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ∥ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲುಗಳು a ಮತ್ತು b ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬೇಕು: a ‖ b. ರೇಖೆಗಳ ಮೌಖಿಕ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ: a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ a ರೇಖೆಯು b ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ b ಸಾಲು a ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುವ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಮೂಲತತ್ವ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಏಕೈಕ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಬಗ್ಗೆ, ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 1

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೇಲಿನ ಮೂಲತತ್ವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ (10 - 11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ).

ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಮಾನದಂಡವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಅದರ ನೆರವೇರಿಕೆಯು ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯ ನೆರವೇರಿಕೆಯು ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿವೆ. ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ: ಅಗತ್ಯ ಎಂದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯ ಪೂರೈಸುವ ಸ್ಥಿತಿ; ಅದನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ, ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯು ಒಂದು ಷರತ್ತುಯಾಗಿದ್ದು, ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೆಡೆ, ಇದು ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯ ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ಸೆಕೆಂಟ್ ಲೈನ್- ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲದ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆ.

ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅಡ್ಡಹಾಯುವಿಕೆಯು ಎಂಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಾಗದ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು, ನಾವು ಅಂತಹ ರೀತಿಯ ಕೋನಗಳನ್ನು ಅಡ್ಡ, ಅನುಗುಣವಾದ ಮತ್ತು ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸೋಣ:

ಪ್ರಮೇಯ 2

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಅಡ್ಡಹಾಯುವ ಮೂಲಕ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲು ಛೇದಿಸುವ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 180 ಡಿಗ್ರಿ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ವಿವರಿಸೋಣ:

ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು 7 - 9 ನೇ ತರಗತಿಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ ಒಂದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಈ ಷರತ್ತುಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.

ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ 3

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ತತ್ವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 4

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಚಿಹ್ನೆಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು 10 ನೇ ತರಗತಿಯ ರೇಖಾಗಣಿತ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಈ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ:

ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಇನ್ನೊಂದು ಜೋಡಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ 5

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಷಯವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ 6

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ:

ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳು, ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳು ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದರೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಮತಲದ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಗಳು. ಅಂತೆಯೇ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಇದು ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 7

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಒಂದು ಸಾಲಿನ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಇತರ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ವಾಹಕಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿ ಅಥವಾ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, a → = (a x , a y) ಮತ್ತು b → = (b x , b y) a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ;

ಮತ್ತು n b → = (n b x , n b y) a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು, ನಂತರ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y ಅಥವಾ n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y ಅಥವಾ a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , ಅಲ್ಲಿ t ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ. ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಗಳು ಅಥವಾ ನೇರ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

1. ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ a ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣನೇರ ರೇಖೆ: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; ನೇರ ರೇಖೆ b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. ನಂತರ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (A 1, B 1) ಮತ್ತು (A 2, B 2) ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. ಲೈನ್ a ಅನ್ನು y = k 1 x + b 1 ರೂಪದ ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೇರ ರೇಖೆ b - y = k 2 x + b 2. ನಂತರ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (k 1, - 1) ಮತ್ತು (k 2, - 1) ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

ಹೀಗಾಗಿ, ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ: ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ, ಈ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

1. ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: x - x 1 a x = y - y 1 a y ಮತ್ತು x - x 2 b x = y - y 2 b y ಅಥವಾ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಲು: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y ಮತ್ತು x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

ನಂತರ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು: ಕ್ರಮವಾಗಿ a x, a y ಮತ್ತು b x, b y, ಮತ್ತು ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

a x = t b x a y = t b y

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: 2 x - 3 y + 1 = 0 ಮತ್ತು x 1 2 + y 5 = 1. ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

n a → = (2, - 3) 2 x - 3 y + 1 = 0 ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು n b → = 2, 1 5 ಎಂಬುದು x 1 2 + y 5 ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. = 1.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಲು t ಯ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವಿಲ್ಲ:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

y = 2 x + 1 ಮತ್ತು x 1 = y - 4 2 ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿವೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ

x 1 = y - 4 2 ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

y = 2 x + 1 ಮತ್ತು y = 2 x + 4 ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಅದು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಗಳು ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ) ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ನಾವು y = 2 x + 1 ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (0, 1), ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು x 1 = y - 4 2 ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಸಾಲುಗಳು ಮಾಡುತ್ತವೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಮುಂದಿನ ಹಂತವಾಗಿದೆ.

y = 2 x + 1 ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್ n a → = (2 , - 1) , ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿನ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ b → = (1 , 2) . ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

ಹೀಗಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ: ಇದು ಮೂಲ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯ ನೆರವೇರಿಕೆಯನ್ನು ನಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉತ್ತರ:ಈ ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಕೆಳಗಿನ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 8

ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲು, ಈ ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಆ. ನಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು, ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ: ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ, ನೀಡಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, a → = (a x, a y, a z) ಮತ್ತು b → = (b x, b y, b z) ಕ್ರಮವಾಗಿ a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲು, ಅಸ್ತಿತ್ವ ಅಂತಹ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ t ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

ಉದಾಹರಣೆ 3

x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 ಮತ್ತು x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳುಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳುಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲು. ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ವಾಹಕಗಳು a → ಮತ್ತು b → ನೀಡಿರುವ ಸಾಲುಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: (1, 0, - 3) ಮತ್ತು (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, ನಂತರ a → = 1 2 · b →.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ:ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

1) ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಅಡ್ಡಹಾದಿಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ಸುಳ್ಳು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

2) ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಅಡ್ಡಹಾದಿಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

3) ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಅಡ್ಡಹಾದಿಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ಒಂದು ಬದಿಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆಗ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

3. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮಲಗದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

4 ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅದು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

5. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1) ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಅಡ್ಡಹಾಯುವ ಮೂಲಕ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಛೇದಿಸುವ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2) ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಅಡ್ಡಹಾಯುವ ಮೂಲಕ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3) ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಅಡ್ಡಹಾಯುವ ಮೂಲಕ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

7. ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

8. ಎರಡರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದುಅಂತಹ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ X ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ , ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗೆ ತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ.

9.ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ- ಎಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಥವಾ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು.

1. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು:

ಎ) ಪರ್ಯಾಯ

ಬಿ) ಸೇರ್ಪಡೆ;

ಸಿ) ಗ್ರಾಫಿಕ್

10. ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° ಆಗಿದೆ.

11. ಬಾಹ್ಯ ಮೂಲೆಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವು ಈ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೆಲವು ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಬಾಹ್ಯ ಮೂಲೆತ್ರಿಕೋನ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

12. ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು ಚೂಪಾದ ಅಥವಾ ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

13 ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕೋನಗಳು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತೀವ್ರ ಕೋನೀಯ.

14. ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಕೋನವು ಚೂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚೂಪಾದ ಕೋನೀಯ.

15. ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಕೋನವು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಯತಾಕಾರದ.

16. ಎದುರು ಬಿದ್ದಿರುವ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿ ಲಂಬ ಕೋನ, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್, ಮತ್ತು ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳು - ಕಾಲುಗಳು.

17. ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ: 1) ವಿರುದ್ಧ ದೊಡ್ಡ ಭಾಗದೊಡ್ಡ ಕೋನವಿದೆ; 2) ಹಿಂದೆ, ದೊಡ್ಡ ಭಾಗವು ದೊಡ್ಡ ಕೋನದ ಎದುರು ಇರುತ್ತದೆ.

18. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಕಾಲಿಗಿಂತ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

19. ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು (ಐಸೋಸೆಲ್ಸ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಚಿಹ್ನೆ).

20. ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಯು ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.

21 ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 90 ° ಆಗಿದೆ.

22. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಕಾಲು 30 ° ಕೋನದ ಎದುರು ಇರುತ್ತದೆ, ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್.

ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳು: 1) ಎರಡು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ; 2) ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಚೂಪಾದ ಮೂಲೆ; 3) ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಲೆಗ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ; 4) ಕಾಲು ಮತ್ತು ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಗೆ ಎಳೆಯುವ ಲಂಬದ ಉದ್ದವನ್ನು ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಯ ಅಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.