ស្លាយ ១
តួរលេខដែលបង្កើតឡើងដោយផ្ទៃដែលបានបញ្ជាក់ និងផ្នែកមួយក្នុងចំណោមផ្នែកទាំងពីរនៃលំហដែលកំណត់ដោយវាត្រូវបានគេហៅថាមុំពហុកែង។ ចំនុចកំពូល S ជាទូទៅត្រូវបានគេហៅថា vertex នៃមុំពហុធា។ កាំរស្មី SA1, ..., SAN ត្រូវបានគេហៅថាគែមនៃមុំ polyhedral ហើយយន្តហោះធ្វើមុំដោយខ្លួនឯង A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 ត្រូវបានគេហៅថាមុខមុំ polyhedral ។ មុំពហុកែងត្រូវបានតាងដោយអក្សរ SA1...An ដែលបង្ហាញពីចំនុចកំពូល និងចំនុចនៅលើគែមរបស់វា។ ផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយសំណុំកំណត់នៃមុំយន្តហោះ A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 ដែលមានកំពូលរួម S ដែលក្នុងនោះមុំជាប់គ្នាមិនមានចំណុចរួមទេ លើកលែងតែចំណុចនៃកាំរស្មីទូទៅ និងមុំមិននៅជាប់គ្នា មិនមាន ចំណុចរួមបន្ថែមពីលើចំនុចកំពូលធម្មតា នឹងត្រូវបានគេហៅថាផ្ទៃពហុកោណ។
ស្លាយ ២
អាស្រ័យលើចំនួនមុខ មុំពហុកែងគឺ trihedral, tetrahedral, pentagonal ជាដើម។
ស្លាយ ៣
មុំបី
ទ្រឹស្តីបទ។ រាល់មុំយន្តហោះនៃមុំត្រីកោណគឺតិចជាងផលបូកនៃមុំយន្តហោះពីរផ្សេងទៀតរបស់វា។ ភ័ស្តុតាង៖ ពិចារណាមុំត្រីកោណ SABC ។ សូមឱ្យមុំធំបំផុតនៃយន្តហោះរបស់វាជាមុំ ASC ។ បន្ទាប់មកវិសមភាព ASB ASC ពេញចិត្ត
ស្លាយ 4
ទ្រព្យសម្បត្តិ។ ផលបូកនៃមុំយន្តហោះនៃមុំត្រីកោណគឺតិចជាង 360°។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ សម្រាប់មុំត្រីកោណដែលមានចំនុចកំពូល B និង C ភាពមិនស្មើគ្នាខាងក្រោមមាន៖ ABC
ស្លាយ ៥
មុំប៉ូលីហេដាល់ប៉ោង
មុំពហុធាត្រូវបានគេហៅថាប៉ោងប្រសិនបើវាជា រាងប៉ោងឧ. រួមជាមួយនឹងចំណុចទាំងពីររបស់វា វាមានផ្នែកដែលភ្ជាប់ពួកវាទាំងស្រុង តួរលេខបង្ហាញឧទាហរណ៍នៃមុំប៉ោង និងមិនមែនប៉ោង។ ទ្រព្យសម្បត្តិ៖ ផលបូកនៃមុំយន្តហោះទាំងអស់នៃមុំពហុកែងប៉ោងគឺតិចជាង 360°។ ភស្តុតាងគឺស្រដៀងទៅនឹងភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់មុំត្រីកោណ។
ស្លាយ ៦
មុំ polyhedral បញ្ឈរ
តួរលេខបង្ហាញពីឧទាហរណ៍នៃទ្រឹស្ដីទ្រឹស្ដីទ្រេតទ្រេត ទ្រេតទ្រេត និងប៉ែនតាហេដរ៉ាល់។ មុំបញ្ឈរគឺស្មើគ្នា។
ស្លាយ ៧
ការវាស់មុំពហុកោណ
ដោយសារតម្លៃដឺក្រេនៃមុំ dihedral ដែលត្រូវបានអភិវឌ្ឍត្រូវបានវាស់ដោយតម្លៃដឺក្រេនៃមុំលីនេអ៊ែរដែលត្រូវគ្នា និងស្មើនឹង 180° យើងនឹងសន្មត់ថាតម្លៃដឺក្រេនៃលំហទាំងមូលដែលមានមុំ dihedral អភិវឌ្ឍន៍ពីរគឺស្មើនឹង 360°។ ទំហំនៃមុំពហុកោណមួយ ដែលបង្ហាញជាដឺក្រេ បង្ហាញពីទំហំដែលមុំពហុហេដដ្រលដែលបានផ្តល់ឱ្យកាន់កាប់។ ឧទាហរណ៍ មុំបីជ្រុងនៃគូបមួយកាន់កាប់មួយភាគប្រាំបីនៃលំហ ហើយដូច្នេះតម្លៃដឺក្រេរបស់វាគឺ 360°: 8 = 45°។ មុំត្រីកោណនៅខាងស្ដាំ n-gonal prism ស្មើនឹងពាក់កណ្តាលមុំ dihedral នៅគែមចំហៀង។ ដោយពិចារណាថាមុំ dihedral នេះគឺស្មើគ្នា យើងទទួលបានថាមុំ trihedral នៃ prism គឺស្មើគ្នា។
ស្លាយ ៨
វាស់មុំត្រីកោណ*
ចូរយើងទាញយករូបមន្តដែលបង្ហាញពីទំហំនៃមុំ trihedral ក្នុងន័យនៃមុំ dihedral របស់វា។ ចូរយើងពិពណ៌នាអំពីលំហឯកតានៅជិតចំនុចកំពូល S នៃមុំត្រីកោណ ហើយកំណត់ចំណុចប្រសព្វនៃគែមនៃមុំត្រីកោណជាមួយស្វ៊ែរនេះជា A, B, C. ប្លង់នៃមុខនៃមុំត្រីកោណបែងចែកស្វ៊ែរនេះជា អ័ក្សស្វ៊ែរស្មើគ្នាចំនួនប្រាំមួយគូដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងមុំ dihedral នៃមុំ trihedral នេះ។ ស្វ៊ែរ ត្រីកោណ ABCហើយត្រីកោណស្វ៊ែរស៊ីមេទ្រី A"B"C" ជាចំណុចប្រសព្វនៃខ្ទង់បី។ ដូច្នេះផលបូកនៃមុំ dihedral ពីរដងគឺស្មើនឹង 360o បូកបួនជ្រុងជ្រុងត្រីកោណ ឬ SA +SB + SC = 180o + 2 SABC ។
ស្លាយ ៩
ការវាស់មុំពហុធា *
ទុកអោយ SA1…An ជាមុំប៉ោង n-faceted។ បែងចែកវាទៅជាមុំបីជ្រុង គូរអង្កត់ទ្រូង A1A3, ..., A1An-1 ហើយអនុវត្តរូបមន្តលទ្ធផលទៅពួកវា នោះយើងនឹងមាន៖ SA1 + ... + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1… ក. មុំ Polyhedralអាចត្រូវបានវាស់ដោយលេខផងដែរ។ ជាការពិតណាស់ បីរយហុកសិបដឺក្រេនៃលំហទាំងអស់ត្រូវគ្នានឹងលេខ 2π ។ ការផ្លាស់ទីពីដឺក្រេទៅលេខក្នុងរូបមន្តលទ្ធផល យើងនឹងមាន៖ SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An ។
ស្លាយ 10
លំហាត់ 1
តើអាចមានមុំត្រីកោណដែលមានមុំរាបស្មើ៖ ក) 30°, 60°, 20°; ខ) 45°, 45°, 90°; គ) 30°, 45°, 60°? ចម្លើយ៖ ក) ទេ; ខ) ទេ; គ) បាទ។
ស្លាយ ១១
លំហាត់ទី 2
ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃ polyhedra ដែលមានមុខប្រសព្វគ្នានៅចំនុចកំពូល បង្កើតបានតែ៖ ក) មុំត្រីកោណ។ ខ) មុំ tetrahedral; គ) មុំ pentagonal ។ ចម្លើយ៖ ក) Tetrahedron, cube, dodecahedron; ខ) octahedron; គ) icosahedron ។
ស្លាយ 12
លំហាត់ប្រាណ ៣
មុំយន្តហោះពីរនៃមុំបីគឺ 70° និង 80°។ តើអ្វីជាព្រំដែននៃមុំយន្តហោះទីបី? ចម្លើយ៖ ១០ អូ
ស្លាយ ១៣
លំហាត់ប្រាណ ៤
មុំយន្តហោះនៃមុំបីគឺ 45°, 45° និង 60°។ រកមុំរវាងប្លង់នៃមុំយន្តហោះ 45°។ ចម្លើយ៖ ៩០ អូ។
ស្លាយ ១៤
លំហាត់ប្រាណ ៥
នៅក្នុងមុំបីជ្រុង មុំយន្តហោះពីរគឺស្មើនឹង 45°; មុំ dihedral រវាងពួកគេគឺត្រឹមត្រូវ។ ស្វែងរកមុំយន្តហោះទីបី។ ចម្លើយ៖ ៦០ អូ។
ស្លាយ ១៥
លំហាត់ប្រាណ ៦
មុំយន្តហោះនៃមុំបីគឺ 60°, 60° និង 90°។ នៅលើឆ្អឹងជំនីររបស់វាពីកំពូលត្រូវបានដាក់ ផ្នែកស្មើគ្នា OA, OB, OC ។ រកមុំ dihedral រវាងប្លង់មុំ 90° និងយន្តហោះ ABC ។ ចម្លើយ៖ ៩០ អូ។
ស្លាយ ១៦
លំហាត់ប្រាណ ៧
មុំយន្តហោះនីមួយៗនៃមុំត្រីកោណគឺ 60°។ នៅលើគែមម្ខាងរបស់វា ផ្នែកដែលស្មើនឹង 3 សង់ទីម៉ែត្រត្រូវបានដាក់ចេញពីកំពូល ហើយកាត់កែងមួយត្រូវបានទម្លាក់ពីចុងរបស់វាទៅមុខទល់មុខ។ រកប្រវែងកាត់កែងនេះ។ ចម្លើយ៖ មើល
ស្លាយ ១៧
លំហាត់ ៨
ស្វែងរក ទីតាំង ចំណុចខាងក្នុងមុំ trihedral ស្មើគ្នាពីមុខរបស់វា។ ចំលើយ៖ កាំរស្មីដែល vertex គឺជា vertex នៃមុំត្រីកោណ ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ ដែលបែងចែកមុំ dihedral ជាពាក់កណ្តាល។
ស្លាយ 18
លំហាត់ប្រាណ ៩
ស្វែងរកទីតាំងនៃចំណុចខាងក្នុងនៃមុំបីជ្រុងដែលស្មើគ្នាពីគែមរបស់វា។ ចំលើយ៖ កាំរស្មីដែល vertex គឺជា vertex នៃ មុំ trihedral ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ bisectors នៃមុំយន្តហោះ និង កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះមុំទាំងនេះ។
ស្លាយ 19
លំហាត់ ១០
សម្រាប់មុំ dihedral នៃ tetrahedron យើងមាន: , ពីណា 70o30"។ សម្រាប់មុំបីនៃ tetrahedron យើងមាន: 15o45" ។ ចម្លើយ៖ 15o45” រកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃមុំត្រីកោណនៃ tetrahedron ។
ស្លាយ 20
លំហាត់ ១១
ស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃមុំ tetrahedral នៃ octahedron ។ សម្រាប់មុំ dihedral នៃ octahedron យើងមាន: 109о30" ។ សម្រាប់មុំ tetrahedral នៃ octahedron យើងមាន: 38о56" ។ ចម្លើយ៖ ៣៨ o ៥៦ "។
ស្លាយ 21
លំហាត់ ១២
ស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃមុំ pentahedral នៃ icosahedron ។ សម្រាប់មុំ dihedral នៃ icosahedron យើងមាន: , 138о11" ។ សម្រាប់មុំ pentahedral នៃ icosahedron យើងមាន: 75о28" ។ ចម្លើយ៖ ៧៥ o ២៨ "។
ស្លាយ ២២
លំហាត់ ១៣
សម្រាប់មុំ dihedral នៃ dodecahedron យើងមាន៖ , ពីណាមកណា 116o34"។ សម្រាប់មុំបីនៃ dodecahedron យើងមាន: 84o51"។ ចំលើយ៖ ៨៤o៥១។ ស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃមុំត្រីកោណនៃ dodecahedron។
ស្លាយ ២៣
លំហាត់ ១៤
នៅក្នុងសាជីជ្រុងរាងបួនជ្រុងធម្មតា SABCD ចំហៀងនៃមូលដ្ឋានគឺ 2 សង់ទីម៉ែត្រ កម្ពស់គឺ 1 សង់ទីម៉ែត្រ។ ដំណោះស្រាយ៖ ពីរ៉ាមីតដែលបានផ្តល់ឱ្យបែងចែកគូបទៅជាពីរ៉ាមីតស្មើគ្នាចំនួនប្រាំមួយជាមួយនឹងកំពូលនៅកណ្តាលគូប។ ដូច្នេះ មុំ 4 ជ្រុងនៅកំពូលនៃពីរ៉ាមីតគឺមួយភាគប្រាំមួយនៃមុំ 360° ពោលគឺឧ។ ស្មើនឹង 60o ។ ចម្លើយ៖ ៦០ អូ។
ស្លាយ 24
លំហាត់ ១៥
នៅខាងស្ដាំ ពីរ៉ាមីតត្រីកោណ ឆ្អឹងជំនីរចំហៀងស្មើ 1 មុំ vertex 90° ។ រកមុំបីនៅចំនុចកំពូលនៃពីរ៉ាមីតនេះ។ ដំណោះស្រាយ៖ ពីរ៉ាមីតដែលបានចង្អុលបង្ហាញបានបំបែក octahedron ទៅជា ប្រាំបី ពីរ៉ាមីតស្មើគ្នា ជាមួយនឹងកំពូលនៅកណ្តាល O នៃ octahedron ។ ដូច្នេះ មុំ 3 ជ្រុងនៅផ្នែកខាងលើនៃពីរ៉ាមីតគឺមួយភាគប្រាំបីនៃមុំ 360° ពោលគឺឧ។ ស្មើនឹង 45o ។ ចម្លើយ៖ ៤៥ អូ។
ស្លាយ 25
លំហាត់ ១៦
នៅក្នុងពីរ៉ាមីតរាងត្រីកោណធម្មតា គែមខាងក្រោយគឺស្មើនឹង 1 ហើយកម្ពស់ត្រូវរកមុំត្រីកោណនៅចំណុចកំពូលនៃពីរ៉ាមីតនេះ។ ដំណោះស្រាយ៖ ពីរ៉ាមីតដែលបានចង្អុលបង្ហាញត្រូវបានខូច tetrahedron ធម្មតា។ដោយបួន ពីរ៉ាមីតស្មើគ្នាជាមួយកំពូលនៅកណ្តាល Otetrahedron ។ ជាលទ្ធផល មុំ 3 ជ្រុងនៅផ្នែកខាងលើនៃពីរ៉ាមីតគឺមួយភាគបួននៃមុំ 360° ពោលគឺឧ។ ស្មើនឹង 90o ។ ចម្លើយ៖ ៩០ អូ។
មើលស្លាយទាំងអស់។
ចូរយើងពិចារណាកាំរស្មីបី a, b, c ដែលចេញមកពីចំណុចតែមួយ ហើយមិនស្ថិតនៅលើយន្តហោះតែមួយ។ មុំត្រីកោណ (abc) គឺជាតួរលេខដែលបង្កើតឡើងដោយមុំបី (ab), (bc) និង (ac) (រូបភាព 2) ចំនុចកំពូលទូទៅនៃមុំសំប៉ែតត្រូវបានគេហៅថា vertex នៃមុំត្រីកោណដែលបង្កើតឡើងដោយមុខមុំត្រីកោណ។ មុំ dihedralមុំ trihedral ។
គោលគំនិតនៃមុំពហុកែងត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា (រូបភាពទី 3) ។
Polyhedron
នៅក្នុង stereometric តួលេខនៅក្នុងលំហដែលហៅថាសាកសពត្រូវបានសិក្សា។ ដោយមើលឃើញ រាងកាយ (ធរណីមាត្រ) ត្រូវតែស្រមៃថាជាផ្នែកនៃលំហដែលកាន់កាប់ រាងកាយនិងកំណត់ដោយផ្ទៃ។
polyhedron គឺជារាងកាយដែលផ្ទៃរបស់វាមាន ចំនួនកំណត់ពហុកោណរាបស្មើ (រូបភាពទី 4) ។ ពហុកោណត្រូវបានគេហៅថាប៉ោង ប្រសិនបើវាស្ថិតនៅផ្នែកម្ខាងនៃយន្តហោះនៃគ្រប់ពហុកោណយន្តហោះនៅលើផ្ទៃរបស់វា។ ផ្នែកទូទៅយន្តហោះបែបនេះ និងផ្ទៃនៃប៉ោងប៉ោងត្រូវបានគេហៅថា មុខ។ មុខរាងប៉ោងរាងសំប៉ែត ពហុកោណប៉ោង. ជ្រុងនៃមុខត្រូវបានគេហៅថាគែមនៃ polyhedron ហើយបញ្ឈរត្រូវបានគេហៅថា vertices នៃ polyhedron ។
ចូរយើងពន្យល់វាដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃគូបដែលធ្លាប់ស្គាល់ (រូបភាពទី 5) ។ គូបគឺជាពហុកោណប៉ោង។ ផ្ទៃរបស់វាមានប្រាំមួយការ៉េ: ABCD, BEFC, .... ទាំងនេះគឺជាមុខរបស់វា។ គែមនៃគូបគឺជាជ្រុងនៃការ៉េទាំងនេះ៖ AB, BC, BE, .... ចំនុចកំពូលនៃគូបមួយ គឺជាចំនុចកំពូលនៃការ៉េ៖ A, B, C, D, E, .... គូបមានមុខប្រាំមួយ គែមដប់ពីរ និង ចំនុចកំពូលប្រាំបី។
យើងនឹងផ្តល់ឱ្យ polyhedra សាមញ្ញបំផុត - ព្រីសនិងពីរ៉ាមីតដែលនឹងជាវត្ថុសំខាន់នៃការសិក្សារបស់យើង - និយមន័យដែលនៅក្នុងខ្លឹមសារមិនប្រើគំនិតនៃរាងកាយ។ ពួកវានឹងត្រូវបានកំណត់ជាតួលេខធរណីមាត្រដែលបង្ហាញពីចំណុចទាំងអស់នៅក្នុងលំហដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពួកគេ។ គំនិត រាងកាយធរណីមាត្រនិងផ្ទៃរបស់វានៅក្នុង ករណីទូទៅនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលក្រោយ។
20. ការសិក្សាពហុកម្រិតនៃមុំ polyhedral លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុំយន្តហោះនៃមុំ trihedral និងមុំ polyhedral មួយ។
កម្រិតមូលដ្ឋាន៖
អាតាណាសាយ៉ាន
ពិចារណាតែមុំ Dihedral ប៉ុណ្ណោះ។
Pogorelov
ដំបូងគាត់ពិចារណាពីមុំ dihedral ហើយបន្ទាប់មកភ្លាមៗមុំ trihedral និង polyhedral ។
ចូរយើងពិចារណាកាំរស្មីបី a, b, c ដែលចេញពីចំណុចដូចគ្នា ហើយដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយ។ មុំត្រីកោណ (abc) គឺជាតួរលេខដែលបង្កើតឡើងដោយមុំសំប៉ែតបី (ab), (bc) និង (ac) (រូបភាព 400)។ មុំទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាមុខនៃមុំត្រីកោណ ហើយជ្រុងរបស់វាត្រូវបានគេហៅថាគែម។ ចំនុចកំពូលទូទៅនៃមុំយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថា vertex នៃមុំ trihedral ។ មុំ dihedral ដែលបង្កើតឡើងដោយមុខនៃមុំត្រីកោណត្រូវបានគេហៅថាមុំ dihedral នៃមុំ trihedral ។
គំនិតនៃមុំពហុកោណត្រូវបានណែនាំស្រដៀងគ្នា (រូបភាព 401) ។
រូប ៤០០ និងរូប ៤០១
ទំ 
កម្រិតទម្រង់(A.D. Aleksndrov, A.L. Werner, V.I. Ryzhikh)៖
ដោយបន្សល់ទុកនូវនិយមន័យ និងការសិក្សាអំពីមុំពហុកោណតាមអំពើចិត្តរហូតដល់§ 31 ឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាពីភាពសាមញ្ញបំផុតនៃពួកគេ - មុំត្រីកោណ។ ប្រសិនបើនៅក្នុង stereometry មុំ dihedral អាចត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជា analogues នៃមុំយន្តហោះ នោះមុំ trihedral អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជា analogues នៃ ត្រីកោណយន្តហោះ ហើយនៅក្នុងកថាខណ្ឌខាងក្រោម យើងនឹងឃើញពីរបៀបដែលពួកវាទាក់ទងដោយធម្មជាតិទៅនឹង ត្រីកោណស្វ៊ែរ។
អ្នកអាចសាងសង់ (ហើយដូច្នេះកំណត់ក្នុងន័យស្ថាបនា) មុំត្រីកោណដូចនេះ។ យកកាំរស្មីបីណាមួយ a, b, c, មាន ការចាប់ផ្តើមទូទៅ O និងមិនកុហកនៅក្នុងយន្តហោះដូចគ្នា (រូបភាព 150) ។ កាំរស្មីទាំងនេះគឺជាជ្រុងនៃមុំរាងប៉ោងបី៖ មុំ α ជាមួយជ្រុង b, c, មុំ β ជាមួយជ្រុង a, c និងមុំ γ ជាមួយជ្រុង a, b ។ ការរួបរួមនៃមុំទាំងបីនេះ α, β, γ ត្រូវបានគេហៅថាមុំ trihedral Oabc (ឬនិយាយឱ្យខ្លី មុំ trihedral O) ។ កាំរស្មី a, b, c ត្រូវបានគេហៅថាគែមនៃមុំ trihedral Oabc ហើយមុំយន្តហោះ α, β, γ គឺជាមុខរបស់វា។ ចំណុច O ត្រូវបានគេហៅថាចំនុចកំពូលនៃមុំត្រីកោណ។
3 ការកត់សម្គាល់ វាអាចកំណត់មុំត្រីកោណជាមួយនឹងមុខមិនប៉ោង (រូបភាព 151) ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនពិចារណាមុំត្រីកោណបែបនេះទេ។ 
សម្រាប់គែមនីមួយៗនៃមុំត្រីកោណមួយ មុំ dihedral ដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានកំណត់ ដែលគែមរបស់វាមានគែមដែលត្រូវគ្នានៃមុំ trihedral ហើយមុខរបស់វាមានមុខនៃមុំ trihedral នៅជាប់នឹងគែមនេះ។
តម្លៃនៃមុំ dihedral នៃមុំ trihedral Oabc នៅគែម a, b, c នឹងត្រូវបានតាងរៀងគ្នាដោយ a^, b^, c^ (មួកដោយផ្ទាល់ពីលើអក្សរ)។
មុខបី α, β, γ នៃមុំ trihedral Oabc និងមុំ dihedral បីរបស់វានៅ ឆ្អឹងជំនី a, b, с ក៏ដូចជាបរិមាណ α, β, γ និង а^, b^, с^ យើងនឹងហៅធាតុនៃមុំត្រីកោណមួយ។ (សូមចាំថាធាតុនៃត្រីកោណយន្តហោះ គឺជាជ្រុង និងមុំរបស់វា។ )
ភារកិច្ចរបស់យើងគឺដើម្បីបង្ហាញពីធាតុមួយចំនួននៃមុំត្រីកោណតាមរយៈធាតុផ្សេងទៀតរបស់វា នោះគឺដើម្បីបង្កើត "ត្រីកោណមាត្រ" នៃមុំត្រីកោណ។
1) ចូរចាប់ផ្តើមដោយការទាញយក analogue នៃទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស។ ជាដំបូង សូមពិចារណាមុំត្រីកោណ Oabc ដែលមានមុខយ៉ាងហោចណាស់ពីរ ឧទាហរណ៍ α និង β ជ្រុងមុតស្រួច. ចូរយើងយកចំនុច C នៅលើគែមរបស់វា c ហើយគូរពីវានៅមុខ α និង β កាត់កែង CB និង CA ទៅគែម c រហូតដល់វាប្រសព្វជាមួយគែម a និង b នៅចំនុច A និង B (រូបភាព 152)។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញចម្ងាយ AB ពីត្រីកោណ OAB និង CAB ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស។
AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) និង AB 2 =OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ។
ដកទីមួយចេញពីសមភាពទីពីរ យើងទទួលបាន៖
OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1)។ ដោយសារតែ ត្រីកោណ OSV និង OCA ជាមុំខាងស្តាំ បន្ទាប់មក AC 2 -AC 2 = OS 2 និង OB 2 -VS 2 = OS 2 (2)
ដូច្នេះពី (1) និង (2) វាធ្វើតាម OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)
ទាំងនោះ។ 
ប៉ុន្តែ 
,
,
,
. នោះហើយជាមូលហេតុ
(3) - អាណាឡូកនៃទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសសម្រាប់មុំត្រីកោណ - រូបមន្តកូស៊ីនុស.
មុខទាំងពីរ α និង β គឺជាមុំស្រួច។
មុំមួយក្នុងចំនោមមុំ α និង β ឧទាហរណ៍ α គឺស្រួច ហើយមួយទៀត β គឺស្រអាប់។
យ៉ាងហោចណាស់ 1 នៃមុំ α ឬ β គឺត្រង់។
សញ្ញានៃភាពស្មើគ្នានៃមុំត្រីកោណស្រដៀងនឹងសញ្ញានៃភាពស្មើគ្នានៃត្រីកោណ។ ប៉ុន្តែមានភាពខុសគ្នាមួយ៖ ឧទាហរណ៍ មុំត្រីកោណពីរគឺស្មើគ្នា ប្រសិនបើមុំ dihedral របស់វាស្មើគ្នា។ សូមចងចាំថាត្រីកោណយន្តហោះពីរដែលមុំដែលត្រូវគ្នាគឺស្រដៀងគ្នា។ ហើយសម្រាប់មុំ trihedral លក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នាមួយមិននាំទៅរកភាពស្រដៀងគ្នាទេប៉ុន្តែទៅជាសមភាព។
មុំ Trihedral មានភាពគួរឱ្យកត់សម្គាល់ ទ្រព្យសម្បត្តិដែលត្រូវបានគេហៅថា duality ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទណាមួយអំពីមុំ trihedral Oabc យើងជំនួស តម្លៃ a, bពី π-α, π-β, π-γ និង ផ្ទុយទៅវិញ ជំនួស α, β, γ ដោយ π-a^, π-b^, π-c^ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិតអំពីមុំត្រីកោណម្តងទៀត។ ទ្វេទៅនឹងទ្រឹស្តីបទដើម។ ពិត ប្រសិនបើការជំនួសបែបនេះត្រូវបានធ្វើឡើងនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទនៃស៊ីនុស នោះយើងមកទ្រឹស្តីបទនៃស៊ីនុសម្តងទៀត (វាគឺពីរសម្រាប់ខ្លួនវាផ្ទាល់)។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើយើងធ្វើដូចនេះក្នុងទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស (៣) យើងទទួលបានរូបមន្តថ្មី។
cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ ។
ហេតុអ្វីបានជាភាពទ្វេបែបនេះកើតឡើងនឹងកាន់តែច្បាស់ ប្រសិនបើសម្រាប់មុំត្រីកោណមួយ យើងសង់មុំត្រីកោណទ្វេទៅវា គែមដែលកាត់កែងទៅនឹងមុខនៃមុំដើម (សូមមើលផ្នែក 33.3 និងរូបភាព 356)។
ផ្ទៃសាមញ្ញបំផុតមួយចំនួន មុំ polyhedral. ពួកវាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយមុំធម្មតា (ឥឡូវនេះយើងច្រើនតែហៅមុំបែបនេះថា មុំសំប៉ែត) ដូចគ្នានឹងបន្ទាត់ដែលខូចដែលបិទជិតត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយផ្នែក។ មានន័យថា និយមន័យខាងក្រោមត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖
មុំពហុធាត្រូវបានគេហៅថាតួរលេខដែលបង្កើតឡើងដោយមុំយន្តហោះ ដែលលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖
1) គ្មានមុំពីរមានចំនុចរួមទេ លើកលែងតែចំនុចកំពូលធម្មតា ឬចំហៀងទាំងមូល។
2) សម្រាប់មុំទាំងនេះ ជ្រុងនីមួយៗរបស់វាគឺជារឿងធម្មតាជាមួយនឹងមុំមួយ និងតែមួយគត់ផ្សេងទៀត។
3) ពីជ្រុងនីមួយៗអ្នកអាចទៅជ្រុងនីមួយៗតាមបណ្តោយជ្រុងដែលមានជ្រុងរួម។
4) មិនមានមុំពីរដែលមានជ្រុងម្ខាងធម្មតានៅក្នុងយន្តហោះដូចគ្នា (រូបភាព 324) ។
នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនេះ មុំយន្តហោះដែលបង្កើតជាមុំពហុកែងត្រូវបានគេហៅថា មុខរបស់វា ហើយជ្រុងរបស់វាត្រូវបានគេហៅថាគែមរបស់វា។
នៅក្រោម និយមន័យនេះ។មុំ dihedral ក៏សមរម្យផងដែរ។ វាត្រូវបានផ្សំឡើងដោយមុំរាបស្មើរពីរ។ ចំនុចកំពូលរបស់វាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំណុចណាមួយនៅលើគែមរបស់វា ហើយចំនុចនេះបំបែកគែមជាពីរគែមដែលជួបគ្នានៅចំនុចកំពូល។ ប៉ុន្តែដោយសារតែភាពមិនច្បាស់លាស់នេះនៅក្នុងទីតាំងនៃ vertex មុំ dihedral ត្រូវបានដកចេញពីចំនួនមុំ polyhedral ។
ទំ 
គោលគំនិតនៃមុំពហុហេដរ៉ាគឺមានសារៈសំខាន់ជាពិសេសនៅក្នុងការសិក្សានៃពហុហេដដ្រា - នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃពហុហេដដ្រា។ រចនាសម្ព័ននៃពហុហេដរ៉ុនត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយអ្វីដែលប្រឈមមុខនឹងវាត្រូវបានបង្កើតឡើង និងរបៀបដែលពួកវាបញ្ចូលគ្នានៅចំនុចកំពូល ពោលគឺ តើមុំពហុធាមានអ្វីខ្លះនៅទីនោះ។
ពិចារណាមុំពហុកោណនៃ polyhedra ផ្សេងគ្នា។
ចំណាំថាមុខនៃមុំ polyhedral ក៏អាចជាមុំមិនប៉ោងផងដែរ។
មុំ Polyhedral ផ្នែកមួយនៃលំហដែលកំណត់ដោយបែហោងធ្មែញពហុហិដ ផ្ទៃរាងសាជីទិសដែលជាពហុកោណសំប៉ែតដោយគ្មានប្រសព្វដោយខ្លួនឯង។ មុខនៃផ្ទៃនេះត្រូវបានគេហៅថាមុខនៃ mosaic ហើយផ្នែកខាងលើត្រូវបានគេហៅថាកំពូលនៃ mosaic ។ M. u. ហៅថាត្រឹមត្រូវ ប្រសិនបើទាំងអស់ស្មើគ្នា មុំលីនេអ៊ែរនិងមុំ dihedral ទាំងអស់របស់វា។ Meroy M.u. គឺជាតំបន់ដែលកំណត់ដោយពហុកោណស្វ៊ែរដែលទទួលបានដោយចំណុចប្រសព្វនៃមុខពហុកោណជាស្វ៊ែរដែលមានកាំ ស្មើនឹងមួយ។និងជាមួយចំណុចកណ្តាលនៅចំនុចកំពូលនៃ M. y ។ សូមមើលផងដែរនូវមុំរឹង។
ធំ សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀត. - អិមៈសព្វវចនាធិប្បាយសូវៀត. 1969-1978 .
សូមមើលអ្វីដែល "មុំពហុកោណ" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖
មើលមុំរឹង ... ធំ វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ
មើលមុំរឹង។ * * * មុំប៉ូលីហេដាល់ មុំប៉ូលីហេដ សូមមើលមុំរឹង (សូមមើល SOLID ANGLE)... វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ
ផ្នែកនៃលំហដែលកំណត់ដោយបែហោងធ្មែញមួយនៃកោណពហុធា។ ផ្ទៃតម្រង់ទៅហ្វូងនៃពហុកោណរាបស្មើដោយគ្មានប្រសព្វដោយខ្លួនឯង។ មុខនៃផ្ទៃនេះត្រូវបានគេហៅថា។ គែមនៃ M.u. កំពូលនៃកំពូលនៃ M.u ។ មុំពហុធាត្រូវបានគេហៅថា ត្រឹមត្រូវ... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
មើលមុំរឹង... វិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ។ វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ
មុំ polyhedral- គណិតវិទ្យា។ ផ្នែកមួយនៃលំហដែលជាប់ព្រំប្រទល់ដោយយន្តហោះជាច្រើនឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ (ចំនុចកំពូលនៃមុំមួយ) ... វចនានុក្រមនៃការបញ្ចេញមតិជាច្រើន។
ពហុមុខ, ពហុមុខ, ពហុមុខ (សៀវភៅ) ។ 1. មានមុខឬចំហៀងជាច្រើន។ ថ្មចម្រុះ។ មុំពហុហេដរ៉ាល់ (ផ្នែកនៃលំហដែលកំណត់ដោយយន្តហោះជាច្រើនប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ; កន្ទេល) ។ 2. ផ្ទេរ...... វចនានុក្រម Ushakova
- (ម៉ាត់) ។ ប្រសិនបើយើងគូរបន្ទាត់ត្រង់ OA និង 0B ពីចំណុច O នៅលើយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងទទួលបានមុំ AOB (រូបភាពទី 1) ។ ក្តាម។ 1. ចំណុច 0 បានហៅ ចំនុចកំពូលនៃមុំ និងបន្ទាត់ត្រង់ OA និង 0B ជាជ្រុងនៃមុំ។ ឧបមាថាមុំពីរ ΒΟΑ និង Β 1 Ο 1 Α 1 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។
- (ម៉ាត់) ។ ប្រសិនបើយើងគូរបន្ទាត់ត្រង់ OA និង 0B ពីចំណុច O នៅលើយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងទទួលបានមុំ AOB (រូបភាពទី 1) ។ ក្តាម។ 1. ចំណុច 0 បានហៅ ចំនុចកំពូលនៃមុំ និងបន្ទាត់ត្រង់ OA និង 0B ជាជ្រុងនៃមុំ។ ឧបមាថាមុំពីរΒΟΑនិងΒ1Ο1Α1ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ចូរត្រួតលើពួកវាដើម្បីឱ្យកំពូល O... វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ F.A. Brockhaus និង I.A. អេហ្វរ៉ុន
ពាក្យនេះមានអត្ថន័យផ្សេងទៀត សូមមើល Angle (អត្ថន័យ)។ មុំ ∠ Dimension ° SI ឯកតា Radian ... វិគីភីឌា
ផ្ទះល្វែង រូបធរណីមាត្របង្កើតឡើងដោយកាំរស្មីពីរ (ជ្រុងនៃផ្ទៃ) ដែលចេញពីចំណុចមួយ (កំពូលនៃផ្ទៃ) ។ ជារៀងរាល់ U. , មាន vertex នៅកណ្តាល O នៃរង្វង់មួយចំនួន (កណ្តាល U.) កំណត់នៅលើរង្វង់ arc AB, ព្រំដែនដោយ ...... សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ
និយមន័យ។
ចូរយើងយកមុំជាច្រើន (រូបភាពទី 37)៖ ASB, BSC, CSD ដែលនៅជាប់គ្នាជាបន្តបន្ទាប់ មានទីតាំងនៅក្នុងប្លង់តែមួយជុំវិញចំនុចកំពូល S ។ ចូរបង្វិលយន្តហោះនៃមុំ ASB ជុំវិញ SB ដើម្បីឱ្យយន្តហោះនេះបង្កើតមុំ dihedral ជាក់លាក់ជាមួយយន្តហោះ BSC ។ បន្ទាប់មកដោយមិនផ្លាស់ប្តូរមុំ dihedral លទ្ធផលយើងបង្វិលវាជុំវិញបន្ទាត់ត្រង់ SC ដូច្នេះយន្តហោះ BSC បង្កើតមុំ dihedral ជាក់លាក់ជាមួយយន្តហោះ CSD ។ សូមបន្តការបង្វិលជាបន្តបន្ទាប់នេះជុំវិញផ្នែករួមនីមួយៗ។ ប្រសិនបើផ្នែកចុងក្រោយ SF ស្របគ្នានឹងភាគីទីមួយ SA នោះតួលេខមួយត្រូវបានបង្កើតឡើង (រូបភាពទី 38) ដែលត្រូវបានគេហៅថា មុំ polyhedral. មុំ ASB, BSC, ... ត្រូវបានគេហៅថា មុំរាបស្មើឬ គែម, ភាគីរបស់ពួកគេ SA, SB, ... ត្រូវបានគេហៅថា ឆ្អឹងជំនីនិងចំណុចកំពូលរួម S- កំពូលមុំ polyhedral ។
គែមនីមួយៗក៏ជាគែមនៃមុំ dihedral ជាក់លាក់មួយផងដែរ។ ដូច្នេះ នៅក្នុងមុំពហុធា មានមុំ dihedral ច្រើន និងមុំយន្តហោះច្រើន ដូចមានគែមទាំងអស់នៅក្នុងវា។ ចំនួនតូចបំផុត។មានមុខបីនៅមុំពហុធា។ មុំនេះត្រូវបានគេហៅថា ត្រីកោណ. វាអាចមានមុំ tetrahedral, pentagonal, ល។
មុំពហុកោណត្រូវបានតាងដោយអក្សរ S តែមួយដែលដាក់នៅចំនុចកំពូល ឬដោយអក្សរស៊េរី SABCDE ដែលទីមួយបង្ហាញពីកំពូល និងផ្សេងទៀត - គែមតាមលំដាប់នៃទីតាំងរបស់ពួកគេ។
មុំពហុកោណត្រូវបានគេហៅថាប៉ោង ប្រសិនបើវាមានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃយន្តហោះនៃមុខនីមួយៗ ដែលត្រូវបានពង្រីកដោយគ្មានកំណត់។ ជាឧទាហរណ៍ មុំដែលបង្ហាញក្នុងគំនូរលេខ 38 ផ្ទុយទៅវិញ មុំក្នុងគំនូរលេខ 39 មិនអាចហៅថាប៉ោងបានទេ ដោយសារវាស្ថិតនៅលើផ្នែកទាំងពីរនៃគែម ASB ឬគែម BCC។
ប្រសិនបើយើងប្រសព្វមុខទាំងអស់នៃមុំពហុកោណជាមួយយន្តហោះ នោះពហុកោណត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងផ្នែក ( abcde ) នៅក្នុងមុំពហុកោណប៉ោង ពហុកោណនេះក៏ប៉ោងផងដែរ។
យើងនឹងពិចារណាតែមុំពហុកែងប៉ោងប៉ុណ្ណោះ។
ទ្រឹស្តីបទ។ នៅក្នុងមុំត្រីកោណមួយ មុំយន្តហោះនីមួយៗគឺតិចជាងផលបូកនៃមុំយន្តហោះពីរផ្សេងទៀត។
សូមអោយមុំធំបំផុតនៃមុំយន្តហោះនៅក្នុងមុំត្រីកោណ SABC (រូបភាព 40) ជាមុំ ASC ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងគូរលើមុំនេះ មុំ ASD ស្មើមុំ ASB ហើយគូរបន្ទាត់ត្រង់មួយចំនួន AC ប្រសព្វ SD នៅចំណុចខ្លះ D. ចូរយើងគូស SB = SD ។ ដោយភ្ជាប់ B ជាមួយ A និង C យើងទទួលបាន \(\Delta\)ABC ដែលក្នុងនោះ
AD+DC< АВ + ВС.
ត្រីកោណ ASD និង ASB គឺត្រូវគ្នាព្រោះពួកវានីមួយៗមានមុំស្មើគ្នារវាង ភាគីស្មើគ្នា៖ ដូច្នេះ AD = AB ។ ដូច្នេះប្រសិនបើនៅក្នុងវិសមភាពដែលបានមកពីយើងបោះបង់ពាក្យស្មើគ្នា AD និង AB យើងទទួលបាន DC នោះ។< ВС.
ឥឡូវនេះយើងកត់សំគាល់ថានៅក្នុងត្រីកោណ SCD និង SCB ភាគីទាំងពីរនៃភាគីមួយគឺស្មើនឹងភាគីទាំងពីរនៃម្ខាងទៀត ប៉ុន្តែភាគីទីបីមិនស្មើគ្នា។ ក្នុងករណីនេះមុំធំជាងស្ថិតនៅទល់មុខនឹងធំជាងនៃភាគីទាំងនេះ; មានន័យថា
∠CSD< ∠ CSВ.
ដោយការបន្ថែមមុំ ASD ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាពនេះ ហើយមុំ ASB ស្មើនឹងវាទៅខាងស្តាំ យើងទទួលបានវិសមភាពដែលត្រូវការបញ្ជាក់៖
∠ ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.
យើងបានបង្ហាញថាសូម្បីតែមុំយន្តហោះធំជាងគេក៏តិចជាងផលបូកនៃមុំពីរផ្សេងទៀតដែរ។ នេះមានន័យថាទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។
ផលវិបាក។
ដកពីភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពចុងក្រោយដោយមុំ ASB ឬមុំ CSB; យើងទទួលបាន៖< ∠ CSB;
∠ASC - ∠ASB< ∠ ASB.
∠ASC - ∠CSB ដោយពិចារណាលើវិសមភាពទាំងនេះពីស្តាំទៅឆ្វេង ហើយយកទៅក្នុងគណនីមុំ ASC ថាជាធំបំផុតនៃបីជ្រុង ធំជាងភាពខុសគ្នានៃមុំពីរផ្សេងទៀត យើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋាននោះ។.
ទ្រឹស្តីបទ។ នៅក្នុងមុំបីជ្រុង មុំយន្តហោះនីមួយៗគឺធំជាងភាពខុសគ្នានៃមុំពីរផ្សេងទៀត។ .
នៅក្នុងមុំពហុកែងប៉ោង ផលបូកនៃមុំយន្តហោះទាំងអស់គឺតិចជាង 4d (360°) តោះកាត់គែម (រូបភាព 41)មុំប៉ោង SABCDE ដោយយន្តហោះមួយចំនួន; ពីនេះយើងទទួលបានផ្នែកឆ្លងកាត់ប៉ោងន
- ហ្គុន ABCDE ។
ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែលបានបង្ហាញមុននេះចំពោះមុំបីជ្រុងនីមួយៗដែលចំនុចកំពូលស្ថិតនៅចំណុច A, B, C, D និង E យើង pacholym៖< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.
∠ABC ចូរយើងបន្ថែមវិសមភាពទាំងអស់នេះតាមពាក្យ។ បន្ទាប់មកនៅផ្នែកខាងឆ្វេងយើងទទួលបានផលបូកនៃមុំទាំងអស់នៃពហុកោណ ABCDE ដែលស្មើនឹង 2 - 4ឌីន ឃ ហើយនៅខាងស្តាំ - ផលបូកនៃមុំត្រីកោណ ABS, SBC ។ល។ លើកលែងតែមុំទាំងនោះដែលស្ថិតនៅត្រង់ចំនុចកំពូល S. បង្ហាញពីផលបូកនៃមុំចុងក្រោយទាំងនេះជាមួយនឹងអក្សរ X
2ចូរយើងបន្ថែមវិសមភាពទាំងអស់នេះតាមពាក្យ។ បន្ទាប់មកនៅផ្នែកខាងឆ្វេងយើងទទួលបានផលបូកនៃមុំទាំងអស់នៃពហុកោណ ABCDE ដែលស្មើនឹង 2 - 4ឌីន < 2យើងទទួលបានបន្ទាប់ពីការបន្ថែម៖ .
dn - x ចូរយើងបន្ថែមវិសមភាពទាំងអស់នេះតាមពាក្យ។ បន្ទាប់មកនៅផ្នែកខាងឆ្វេងយើងទទួលបានផលបូកនៃមុំទាំងអស់នៃពហុកោណ ABCDE ដែលស្មើនឹង 2 - 4ឌីន ពីភាពខុសគ្នា ២ យើងទទួលបានបន្ទាប់ពីការបន្ថែម៖ និង ២ ឌីន minuends គឺដូចគ្នា ដូច្នេះសម្រាប់ភាពខុសគ្នាទីមួយតិចជាងទីពីរ វាចាំបាច់ដែល subtrahend 4 ហើយនៅខាងស្តាំ - ផលបូកនៃមុំត្រីកោណ ABS, SBC ។ល។ លើកលែងតែមុំទាំងនោះដែលស្ថិតនៅត្រង់ចំនុចកំពូល S. បង្ហាញពីផលបូកនៃមុំចុងក្រោយទាំងនេះជាមួយនឹងអក្សរ គឺច្រើនជាងការកាត់ ឌីន > ហើយនៅខាងស្តាំ - ផលបូកនៃមុំត្រីកោណ ABS, SBC ។ល។ លើកលែងតែមុំទាំងនោះដែលស្ថិតនៅត្រង់ចំនុចកំពូល S. បង្ហាញពីផលបូកនៃមុំចុងក្រោយទាំងនេះជាមួយនឹងអក្សរ ; មានន័យថា ៤ ហើយនៅខាងស្តាំ - ផលបូកនៃមុំត្រីកោណ ABS, SBC ។ល។ លើកលែងតែមុំទាំងនោះដែលស្ថិតនៅត្រង់ចំនុចកំពូល S. បង្ហាញពីផលបូកនៃមុំចុងក្រោយទាំងនេះជាមួយនឹងអក្សរ < 4ឌីន .
, i.e.
ករណីសាមញ្ញបំផុតនៃភាពស្មើគ្នានៃមុំ trihedral ទ្រឹស្តីបទ។
1) មុំ Trihedral គឺស្មើគ្នាប្រសិនបើពួកគេមាន៖នៅតាមបណ្តោយមុំ dihedral ស្មើគ្នាដែលរុំព័ទ្ធរវាងមុំយន្តហោះស្មើគ្នា និងគម្លាតដូចគ្នាទាំងពីរ
2) , ឬ.
តាមបណ្តោយមុំយន្តហោះស្មើគ្នាដែលរុំព័ទ្ធរវាងមុំ dihedral ស្មើគ្នាពីរដែលត្រូវគ្នា និងដូចគ្នាបេះបិទ 1) សូមអោយ S និង S 1 ជាមុំត្រីកោណពីរ (រូបភាព 42) ដែល ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1, ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (និងទាំងនេះមុំស្មើគ្នា
ទីតាំងដូចគ្នា) និងមុំ dihedral AS គឺស្មើនឹងមុំ dihedral A 1 S 1 ។
ចូរយើងបញ្ចូលមុំ S 1 ទៅក្នុងមុំ S ដើម្បីឱ្យចំនុច S 1 និង S បន្ទាត់ត្រង់ S 1 A 1 និង SA និងប្លង់ A 1 S 1 B 1 និង ASB ស្របគ្នា។ បន្ទាប់មកគែម S 1 B 1 នឹងទៅតាមបណ្តោយ SB (ដោយសារតែសមភាពនៃមុំ A 1 S 1 B 1 និង ASB) យន្តហោះ A 1 S 1 C 1 នឹងទៅតាមបណ្តោយ ASC (ដោយសារសមភាពនៃមុំ dihedral ) ហើយគែម S 1 C 1 នឹងទៅតាមបណ្តោយគែម SC (ដោយសារតែសមភាពនៃមុំ A 1 S 1 C 1 និង ASC) ។ ដូច្នេះមុំត្រីកោណនឹងស្របគ្នាជាមួយគែមទាំងអស់របស់ពួកគេ i.e. ពួកគេនឹងស្មើគ្នា។
2) សញ្ញាទីពីរដូចជាទីមួយត្រូវបានបង្ហាញដោយការបង្កប់។
ដូចដែលបានដឹងហើយថា មុំបញ្ឈរគឺស្មើគ្នានៅពេលដែលយើងកំពុងនិយាយអំពីមុំដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ឬប្លង់។ សូមមើលថាតើសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះពិតទាក់ទងនឹងមុំពហុធាដែរឬទេ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបន្ត (រូបភាព 43) គែមទាំងអស់នៃមុំ SABCDE ហួសពីចំនុចកំពូល S បន្ទាប់មកមុំពហុកែងមួយទៀត SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 ត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលអាចត្រូវបានគេហៅថា បញ្ឈរទាក់ទងទៅនឹងមុំទីមួយ។ វាងាយមើលឃើញថាមុំទាំងពីរមានប្លង់ស្មើគ្នា និងមុំ dihedral រៀងគ្នា ប៉ុន្តែទាំងពីរមានទីតាំងនៅ លំដាប់បញ្ច្រាស. ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើយើងស្រមៃមើលអ្នកសង្កេតមើលពីខាងក្រៅមុំពហុកែងនៅចំនុចកំពូលរបស់វា នោះគែម SA, SB, SC, SD, SE នឹងហាក់បីដូចជាគាត់មានទីតាំងនៅក្នុងទិសដៅច្រាសទ្រនិចនាឡិកា ចំណែកឯការក្រឡេកមើលមុំ SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 គាត់មើលឃើញគែម SA 1, SB 1, ... ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងទិសដៅទ្រនិចនាឡិកា។
មុំ Polyhedral ដែលមានប្លង់ស្មើៗគ្នា និងមុំ dihedral ប៉ុន្តែស្ថិតនៅក្នុងលំដាប់ផ្ទុយគ្នា ជាទូទៅមិនអាចបញ្ចូលគ្នាបានទេនៅពេលដាក់សំបុក។ នោះមានន័យថាពួកគេមិនស្មើគ្នា។ មុំបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ស៊ីមេទ្រី(ទាក់ទងនឹងចំនុចកំពូល S) ។ ស៊ីមេទ្រីនៃតួលេខក្នុងលំហ នឹងត្រូវបានពិភាក្សាលម្អិតបន្ថែមទៀតខាងក្រោម។
សម្ភារៈផ្សេងទៀត។