វិធីស្វែងរកផលគុណតូចបំផុតនៃចំនួន។ របៀបស្វែងរក LCM (ពហុគុណតិចបំផុត)

ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនពីរគឺទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខទាំងនោះ។ នេះ។ ការតភ្ជាប់រវាង GCD និង NOCត្រូវបានកំណត់ដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ។

ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនគត់វិជ្ជមានពីរ a និង b គឺស្មើនឹងផលគុណនៃ a និង b ចែកដោយចែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃ a និង b នោះគឺ LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

ភស្តុតាង។

អនុញ្ញាតឱ្យ M គឺជាពហុគុណនៃលេខ a និង b ។ នោះគឺ M ត្រូវបានបែងចែកដោយ a ហើយតាមនិយមន័យនៃការបែងចែក មានចំនួនគត់ k ដែលសមភាព M = a·k គឺពិត។ ប៉ុន្តែ M ក៏ត្រូវបានបែងចែកដោយ b បន្ទាប់មក ak ត្រូវបានបែងចែកដោយ b ។

ចូរយើងសម្គាល់ gcd(a, b) ជា d ។ បន្ទាប់មកយើងអាចសរសេរសមភាព a=a 1·d និង b=b 1·d ហើយ a 1 =a:d និង b 1 =b:d នឹងជាលេខសំខាន់។ អាស្រ័យហេតុនេះ លក្ខខណ្ឌដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌមុនដែល a · k ត្រូវបានបែងចែកដោយ b អាចត្រូវបានកែទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ a 1 · d · k ត្រូវបានបែងចែកដោយ b 1 · d ហើយនេះដោយសារតែលក្ខណៈសម្បត្តិបែងចែកគឺស្មើនឹងលក្ខខណ្ឌ ថា a 1 · k ត្រូវបានបែងចែកដោយ b 1 ។

អ្នកក៏ត្រូវសរសេរកូរ៉ូឡាសំខាន់ៗពីរពីទ្រឹស្តីបទដែលបានពិចារណាផងដែរ។

    ផលគុណទូទៅនៃចំនួនពីរគឺដូចគ្នាទៅនឹងផលគុណនៃផលគុណសាមញ្ញតិចបំផុត។

    នេះពិតជាករណីនេះ ចាប់តាំងពីពហុគុណទូទៅនៃ M នៃលេខ a និង b ត្រូវបានកំណត់ដោយសមភាព M=LMK(a, b)·t សម្រាប់តម្លៃចំនួនគត់មួយចំនួន t ។

    ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខវិជ្ជមានទៅវិញទៅមក a និង b គឺស្មើនឹងផលិតផលរបស់ពួកគេ។

    ហេតុផលសម្រាប់ការពិតនេះគឺច្បាស់ណាស់។ ដោយសារ a និង b គឺទាក់ទងគ្នាជាបឋម ដូច្នេះ gcd(a, b)=1 ដូច្នេះហើយ GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

ផលគុណទូទៅតិចបំផុតនៃចំនួនបី ឬច្រើន។

ការស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនបី ឬច្រើនអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការស្វែងរក LCM នៃចំនួនពីរជាបន្តបន្ទាប់។ របៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម a 1 , a 2 , … , a k ស្របពេលជាមួយនឹងផលគុណទូទៅនៃលេខ m k-1 និង a k ដូច្នេះស្របគ្នានឹងផលគុណទូទៅនៃលេខ m k ។ ហើយចាប់តាំងពីពហុគុណវិជ្ជមានតូចបំផុតនៃលេខ m k គឺជាលេខ m k ខ្លួនវា នោះផលគុណធម្មតាតូចបំផុតនៃលេខ a 1, a 2, ..., a k គឺ m k ។

គន្ថនិទ្ទេស។

  • Vilenkin N.Ya. និងគណិតវិទ្យា។ ថ្នាក់ទី៦៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់គ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ។
  • Vinogradov I.M. មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីលេខ។
  • លោក Mikhelovich Sh.H. ទ្រឹស្តីលេខ។
  • Kulikov L.Ya. និងការប្រមូលផ្ដុំនៃបញ្ហានៅក្នុងទ្រឹស្តីពិជគណិត និងលេខ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សនៃរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា។ ឯកទេសនៃវិទ្យាស្ថានគរុកោសល្យ។

សូមក្រឡេកមើលវិធីបីយ៉ាងដើម្បីស្វែងរកផលគុណសាមញ្ញតិចបំផុត។

ការស្វែងរកតាមកត្តា

វិធីសាស្រ្តទីមួយគឺស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតដោយបែងចែកលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាកត្តាសំខាន់។

ឧបមាថាយើងត្រូវស្វែងរក LCM នៃលេខ៖ 99, 30 និង 28។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ចូរយើងយកលេខនីមួយៗទាំងនេះទៅជាកត្តាចម្បង៖

សម្រាប់លេខដែលចង់បានត្រូវបែងចែកដោយ 99, 30 និង 28 វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវារួមបញ្ចូលកត្តាសំខាន់ៗទាំងអស់នៃការបែងចែកទាំងនេះ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន យើងត្រូវយកកត្តាសំខាន់ៗទាំងអស់នៃលេខទាំងនេះទៅជាថាមពលដ៏អស្ចារ្យបំផុត ហើយគុណវាជាមួយគ្នា៖

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

ដូច្នេះ LCM (99, 30, 28) = 13,860 គ្មានលេខផ្សេងទៀតដែលតិចជាង 13,860 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 99, 30 ឬ 28 ទេ។

ដើម្បីស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ អ្នកបញ្ចូលវាទៅក្នុងកត្តាចម្បងរបស់ពួកគេ បន្ទាប់មកយកកត្តាបឋមនីមួយៗដែលមាននិទស្សន្តធំបំផុតដែលវាបង្ហាញ ហើយគុណកត្តាទាំងនោះជាមួយគ្នា។

ដោយសារលេខបឋមដែលទាក់ទងមិនមានកត្តាបឋមទូទៅ ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងផលគុណនៃលេខទាំងនេះ។ ឧទាហរណ៍ លេខបី៖ 20, 49 និង 33 គឺជាលេខសំខាន់។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340 ។

ដូចគ្នានេះដែរត្រូវតែធ្វើនៅពេលស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនបឋមផ្សេងៗ។ ឧទាហរណ៍ LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231 ។

ស្វែងរកដោយការជ្រើសរើស

វិធីសាស្រ្តទីពីរគឺស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតដោយការជ្រើសរើស។

ឧទាហរណ៍ 1. នៅពេលដែលចំនួនធំបំផុតនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានបែងចែកដោយលេខផ្សេងទៀតដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ LCM នៃលេខទាំងនេះគឺស្មើនឹងធំបំផុតនៃពួកគេ។ ជាឧទាហរណ៍ លេខបួនដែលផ្តល់ឱ្យ: 60, 30, 10 និង 6 ។ ពួកវានីមួយៗត្រូវបានបែងចែកដោយ 60 ដូច្នេះ៖

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

ក្នុងករណីផ្សេងទៀត ដើម្បីស្វែងរកពហុគុណតិចបំផុត នីតិវិធីខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ៖

  1. កំណត់ចំនួនធំបំផុតពីលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
  2. បន្ទាប់មកទៀត យើងរកឃើញលេខដែលជាគុណនៃចំនួនធំបំផុតដោយគុណវាដោយលេខធម្មជាតិក្នុងលំដាប់កើនឡើង ហើយពិនិត្យមើលថាតើផលិតផលលទ្ធផលត្រូវបានបែងចែកដោយលេខដែលនៅសល់។

ឧទាហរណ៍ 2. ផ្តល់លេខបី 24, 3 និង 18។ យើងកំណត់ចំនួនធំបំផុតនៃពួកវា - នេះគឺជាលេខ 24។ បន្ទាប់មកយើងរកឃើញលេខដែលគុណនឹង 24 ដោយពិនិត្យមើលថាតើពួកវានីមួយៗអាចបែងចែកដោយ 18 និង 3៖

24 · 1 = 24 - ចែកដោយ 3 ប៉ុន្តែមិនបែងចែកដោយ 18 ។

24 · 2 = 48 - ចែកដោយ 3 ប៉ុន្តែមិនបែងចែកដោយ 18 ។

24 · 3 = 72 - ចែកដោយ 3 និង 18 ។

ដូច្នេះ LCM (24, 3, 18) = 72 ។

ការស្វែងរកតាមលំដាប់លំដោយនៃ LCM

វិធីសាស្រ្តទីបីគឺស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតដោយស្វែងរក LCM ជាបន្តបន្ទាប់។

LCM នៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរគឺស្មើនឹងផលគុណនៃលេខទាំងនេះដែលបែងចែកដោយការបែងចែកទូទៅធំបំផុតរបស់ពួកគេ។

ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរក LCM នៃចំនួនពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ: 12 និង 8. កំណត់អ្នកចែកទូទៅធំបំផុតរបស់ពួកគេ៖ GCD (12, 8) = 4. គុណលេខទាំងនេះ៖

យើងបែងចែកផលិតផលដោយ gcd របស់ពួកគេ៖

ដូច្នេះ LCM (12, 8) = 24 ។

ដើម្បីស្វែងរក LCM នៃលេខបី ឬច្រើន សូមប្រើនីតិវិធីខាងក្រោម៖

  1. ដំបូង ស្វែងរក LCM នៃលេខទាំងពីរនេះ ។
  2. បន្ទាប់មក LCM នៃផលគុណសាមញ្ញបំផុតដែលបានរកឃើញ និងលេខទីបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
  3. បន្ទាប់មក LCM នៃផលគុណទូទៅតិចបំផុត និងលេខទីបួន។ល។
  4. ដូច្នេះការស្វែងរក LCM នៅតែបន្តដរាបណាមានលេខ។

ឧទាហរណ៍ 2. ចូរយើងស្វែងរក LCM នៃលេខបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ: 12, 8 និង 9 ។ យើងបានរកឃើញ LCM នៃលេខ 12 និង 8 រួចហើយនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុន (នេះគឺជាលេខ 24)។ វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខ 24 និងលេខទីបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ - 9. កំណត់អ្នកចែកទូទៅធំបំផុតរបស់ពួកគេ: GCD (24, 9) = 3. គុណ LCM ជាមួយលេខ 9៖

យើងបែងចែកផលិតផលដោយ gcd របស់ពួកគេ៖

ដូច្នេះ LCM (12, 8, 9) = 72 ។

ប្រធានបទ "លេខច្រើន" ត្រូវបានសិក្សានៅថ្នាក់ទី 5 នៃអនុវិទ្យាល័យ។ គោលដៅរបស់វាគឺដើម្បីបង្កើនជំនាញគណនាគណិតវិទ្យាជាលាយលក្ខណ៍អក្សរ និងផ្ទាល់មាត់។ នៅក្នុងមេរៀននេះ គំនិតថ្មីត្រូវបានណែនាំ - "លេខច្រើន" និង "ការបែងចែក" បច្ចេកទេសនៃការស្វែងរកផ្នែក និងគុណនៃចំនួនធម្មជាតិ និងសមត្ថភាពក្នុងការស្វែងរក LCM តាមវិធីផ្សេងៗត្រូវបានអនុវត្ត។

ប្រធានបទនេះមានសារៈសំខាន់ណាស់។ ចំណេះដឹងអំពីវាអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាមួយប្រភាគ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកត្រូវស្វែងរកភាគបែងរួមដោយគណនាចំនួនភាគតិចទូទៅ (LCM)។

ពហុគុណនៃ A គឺជាចំនួនគត់ដែលបែងចែកដោយ A ដោយគ្មានសល់។

លេខធម្មជាតិនីមួយៗមានចំនួនគ្មានកំណត់នៃគុណរបស់វា។ វាត្រូវបានចាត់ទុកថាតូចបំផុត។ ពហុគុណមិនអាចតិចជាងលេខខ្លួនឯងទេ។

អ្នកត្រូវបញ្ជាក់ថាលេខ 125 គឺជាពហុគុណនៃ 5។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវចែកលេខទីមួយដោយលេខទីពីរ។ ប្រសិនបើ 125 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ដោយគ្មានសល់ នោះចម្លើយគឺបាទ។

វិធីសាស្រ្តនេះអាចអនុវត្តបានសម្រាប់ចំនួនតូច។

មានករណីពិសេសនៅពេលគណនា LOC ។

1. ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការស្វែងរកពហុគុណទូទៅនៃ 2 លេខ (ឧទាហរណ៍ 80 និង 20) ដែលមួយក្នុងចំណោមពួកគេ (80) ត្រូវបានបែងចែកដោយផ្សេងទៀត (20) នោះលេខនេះ (80) គឺជាចំនួនតិចបំផុតនៃចំនួនទាំងនេះ។ លេខពីរ។

LCM(80, 20) = 80 ។

2. ប្រសិនបើពីរមិនមានផ្នែកចែកធម្មតាទេ នោះយើងអាចនិយាយបានថា LCM របស់ពួកគេគឺជាផលនៃចំនួនទាំងពីរនេះ។

LCM(6, 7) = 42 ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ។ 6 និង 7 ទាក់ទងនឹង 42 គឺជាការបែងចែក។ ពួកគេបែងចែកពហុគុណនៃចំនួនមួយដោយគ្មានសល់។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ 6 និង 7 គឺជាកត្តាផ្គូផ្គង។ ផលិតផលរបស់ពួកគេស្មើនឹងចំនួនច្រើន (42)។

លេខមួយត្រូវបានគេហៅថាបឋមប្រសិនបើវាត្រូវបានបែងចែកដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ឬដោយ 1 (3: 1 = 3; 3: 3 = 1) ។ នៅសល់ត្រូវបានគេហៅថាសមាសធាតុ។

ឧទាហរណ៍មួយទៀតទាក់ទងនឹងការកំណត់ថាតើ 9 គឺជាផ្នែកនៃ 42 ។

42:9=4 (នៅសល់ 6)

ចម្លើយ៖ ៩ មិនមែនជាអ្នកចែក ៤២ ទេ ព្រោះចម្លើយមាននៅសល់។

លេខចែកខុសគ្នាពីពហុគុណដែលផ្នែកចែកគឺជាលេខដែលលេខធម្មជាតិត្រូវបានបែងចែក ហើយផលគុណខ្លួនឯងត្រូវបានបែងចែកដោយលេខនេះ។

ការបែងចែកលេខទូទៅធំបំផុត កនិង ខគុណនឹងផលគុណតិចបំផុតរបស់ពួកគេ នឹងផ្តល់ផលនៃលេខដោយខ្លួនឯង។ កនិង ខ.

ឈ្មោះ៖ gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b ។

ផលគុណទូទៅសម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានរកឃើញតាមវិធីខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ស្វែងរក LCM សម្រាប់ 168, 180, 3024។

យើងបែងចែកលេខទាំងនេះទៅជាកត្តាសាមញ្ញ ហើយសរសេរវាជាផលនៃអំណាច៖

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120 ។

ការបែងចែកទូទៅបំផុត

និយមន័យ ២

ប្រសិនបើចំនួនធម្មជាតិ a ត្រូវបានបែងចែកដោយចំនួនធម្មជាតិ $b$ នោះ $b$ ត្រូវបានគេហៅថា ចែក $a$ ហើយ $a$ ត្រូវបានគេហៅថាពហុគុណនៃ $b$ ។

សូមឱ្យ $a$ និង $b$ ជាលេខធម្មជាតិ។ លេខ $c$ ត្រូវបានគេហៅថា ចែកទូទៅនៃ $a$ និង $b$។

សំណុំនៃការបែងចែកទូទៅនៃលេខ $a$ និង $b$ គឺកំណត់ដោយហេតុថាគ្មានផ្នែកណាមួយអាចធំជាង $a$ បានទេ។ នេះមានន័យថា ក្នុងចំណោមការបែងចែកទាំងនេះ មានមួយធំជាងគេ ដែលត្រូវបានគេហៅថា ចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួន $a$ និង $b$ ហើយត្រូវបានតាងដោយសញ្ញាណខាងក្រោម៖

$GCD\(a;b)\ ឬ \D\(a;b)$

ដើម្បីស្វែងរកអ្នកចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនពីរ អ្នកត្រូវការ៖

  1. ស្វែងរកផលិតផលនៃលេខដែលរកឃើញក្នុងជំហានទី 2។ លេខលទ្ធផលនឹងជាផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតដែលចង់បាន។

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរក gcd នៃលេខ $121$ និង $132.$

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    ជ្រើសរើសលេខដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃលេខទាំងនេះ

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    ស្វែងរកផលិតផលនៃលេខដែលរកឃើញក្នុងជំហានទី 2។ លេខលទ្ធផលនឹងជាផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតដែលចង់បាន។

    $GCD=2\cdot 11=22$

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរក gcd នៃ monomials $63$ និង $81$។

យើងនឹងរកឃើញយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយដែលបានបង្ហាញ។ សម្រាប់​ការ​នេះ:

    ចូរយកលេខទៅជាកត្តាសំខាន់

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    យើងជ្រើសរើសលេខដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃលេខទាំងនេះ

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    ចូរយើងស្វែងរកផលគុណនៃលេខដែលរកឃើញក្នុងជំហានទី 2។ លេខលទ្ធផលនឹងជាផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតដែលចង់បាន។

    $GCD=3\cdot 3=9$

អ្នកអាចស្វែងរក gcd នៃលេខពីរតាមវិធីមួយផ្សេងទៀត ដោយប្រើសំណុំនៃការបែងចែកលេខ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរក gcd នៃលេខ $48$ និង $60$។

ដំណោះស្រាយ៖

តោះរកឈុតចែកលេខ $48$៖ $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

ឥឡូវ​យើង​រក​សំណុំ​នៃ​ការ​ចែក​លេខ $60$:$\left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំទាំងនេះ៖ $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - សំណុំនេះនឹងកំណត់សំណុំនៃការបែងចែកទូទៅនៃលេខ $48$ និង $60 $ ធាតុដ៏ធំបំផុតនៅក្នុងឈុតនេះនឹងមានលេខ $12 ។ នេះមានន័យថាអ្នកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ $48$ និង $60$ គឺ $12។

និយមន័យ NPL

និយមន័យ ៣

ផលគុណទូទៅនៃលេខធម្មជាតិ$a$ និង $b$ គឺជាលេខធម្មជាតិដែលជាពហុគុណនៃ $a$ និង $b$ ។

ផលគុណទូទៅនៃលេខគឺជាលេខដែលបែងចែកដោយលេខដើមដោយគ្មានសល់ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់លេខ $25$ និង $50$ ផលគុណទូទៅនឹងជាលេខ $50,100,150,200$ ។ល។

ផលគុណរួមតូចបំផុតនឹងត្រូវបានគេហៅថា ពហុគុណសាមញ្ញបំផុត ហើយនឹងត្រូវបានតំណាងថា LCM$(a;b)$ ឬ K$(a;b).$

ដើម្បីស្វែងរក LCM នៃលេខពីរ អ្នកត្រូវ៖

  1. កត្តាលេខទៅជាកត្តាសំខាន់
  2. សរសេរកត្តាដែលជាផ្នែកមួយនៃលេខទីមួយ ហើយបន្ថែមទៅពួកគេនូវកត្តាដែលជាផ្នែកនៃលេខទីពីរ និងមិនមែនជាផ្នែកនៃលេខទីមួយ

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរក LCM នៃលេខ $99$ និង $77$។

យើងនឹងរកឃើញយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយដែលបានបង្ហាញ។ សម្រាប់​ការ​នេះ

    កត្តាលេខទៅជាកត្តាសំខាន់

    99$=3\cdot 3\cdot 11$

    សរសេរកត្តាដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងទីមួយ

    បន្ថែមទៅពួកវាមេគុណដែលជាផ្នែកនៃទីពីរ និងមិនមែនជាផ្នែកនៃទីមួយទេ។

    ស្វែងរកផលគុណនៃលេខដែលរកឃើញក្នុងជំហានទី 2។ លេខលទ្ធផលនឹងជាផលគុណសាមញ្ញបំផុតដែលចង់បាន

    $NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    ការចងក្រងបញ្ជីនៃការបែងចែកលេខ ច្រើនតែជាកិច្ចការដែលពឹងផ្អែកខ្លាំងលើកម្លាំងពលកម្ម។ មានវិធីមួយដើម្បីស្វែងរក GCD ដែលហៅថា ក្បួនដោះស្រាយ Euclidean ។

    សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលក្បួនដោះស្រាយ Euclidean ត្រូវបានផ្អែកលើ៖

    ប្រសិនបើ $a$ និង $b$ ជាលេខធម្មជាតិ ហើយ $a\vdots b$ នោះ $D(a;b)=b$

    ប្រសិនបើ $a$ និង $b$ គឺជាលេខធម្មជាតិដូចជា $b

ដោយប្រើ $D(a;b)= D(a-b;b)$ យើងអាចកាត់បន្ថយជាបន្តបន្ទាប់នូវចំនួនដែលកំពុងពិចារណា រហូតដល់យើងឈានដល់លេខមួយគូ ដែលមួយក្នុងចំនោមពួកវាត្រូវបានបែងចែកដោយផ្សេងទៀត។ បន្ទាប់មកចំនួនតូចជាងនៃលេខទាំងនេះនឹងជាផ្នែកធំជាងគេដែលចង់បានសម្រាប់លេខ $a$ និង $b$ ។

លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ GCD និង LCM

  1. ផលគុណទូទៅនៃ $a$ និង $b$ អាចបែងចែកបានដោយ K$(a;b)$
  2. ប្រសិនបើ $a\vdots b$ នោះ К$(a;b)=a$

    3. ប្រសិនបើ K$(a;b)=k$ និង $m$ ជាលេខធម្មជាតិ នោះ K$(am;bm)=km$

    ប្រសិនបើ $d$ គឺជាអ្នកចែកទូទៅសម្រាប់ $a$ និង $b$ នោះ K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\frac(k)(d) ) $

    ប្រសិនបើ $a\vdots c$ និង $b\vdots c$ នោះ $\frac(ab)(c)$ គឺជាផលគុណទូទៅនៃ $a$ និង $b$

    សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ $a$ និង $b$ សមភាពទទួលបាន

    $D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

    ការបែងចែកទូទៅនៃលេខ $a$ និង $b$ គឺជាអ្នកចែកលេខ $D(a;b)$

មេចែកទូទៅធំបំផុត និងពហុគុណតិចបំផុត គឺជាគោលគំនិតនព្វន្ធគន្លឹះដែលធ្វើឱ្យការធ្វើការជាមួយប្រភាគមិនពិបាក។ LCM និងត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុតដើម្បីស្វែងរកភាគបែងទូទៅនៃប្រភាគជាច្រើន។

គំនិតជាមូលដ្ឋាន

ចែកចំនួនគត់ X គឺជាចំនួនគត់ Y មួយទៀតដែល X ត្រូវបានបែងចែកដោយមិនបន្សល់ទុក។ ឧទាហរណ៍ លេខចែកនៃ 4 គឺ 2 និង 36 គឺ 4, 6, 9 ។ ពហុគុណនៃចំនួនគត់ X គឺជាលេខ Y ដែលបែងចែកដោយ X ដោយគ្មានសល់។ ឧទាហរណ៍ 3 គឺជាពហុគុណនៃ 15 ហើយ 6 គឺជាពហុគុណនៃ 12 ។

សម្រាប់​លេខ​គូ​ណា​មួយ​ដែល​យើង​អាច​រក​ឃើញ​ការ​ចែក​និង​គុណ​រួម​របស់​វា​។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ 6 និង 9 ពហុគុណទូទៅគឺ 18 ហើយផ្នែកចែកទូទៅគឺ 3។ ជាក់ស្តែង គូអាចមានការបែងចែក និងពហុគុណ ដូច្នេះការគណនាប្រើ GCD ចែកធំជាងគេ និង LCM ពហុគុណតូចបំផុត។

ការបែងចែកតិចបំផុតគឺគ្មានន័យទេ ព្រោះសម្រាប់លេខណាមួយវាតែងតែមួយ។ ពហុគុណដ៏ធំបំផុតក៏គ្មានន័យដែរ ចាប់តាំងពីលំដាប់នៃគុណទៅគ្មានកំណត់។

ស្វែងរក gcd

មានវិធីសាស្រ្តជាច្រើនក្នុងការស្វែងរក ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត ដែលល្បីល្បាញបំផុតគឺ៖

  • ការស្វែងរកតាមលំដាប់លំដោយនៃការបែងចែក ការជ្រើសរើសធម្មតាសម្រាប់គូ និងស្វែងរកធំបំផុតនៃពួកគេ;
  • ការបំបែកលេខទៅជាកត្តាដែលមិនអាចបំបែកបាន;
  • ក្បួនដោះស្រាយ Euclidean;
  • ក្បួនដោះស្រាយគោលពីរ។

សព្វថ្ងៃនេះនៅក្នុងស្ថាប័នអប់រំ វិធីសាស្រ្តដ៏ពេញនិយមបំផុតគឺការបំបែកទៅជាកត្តាសំខាន់ និងក្បួនដោះស្រាយ Euclidean ។ ក្រោយមកទៀតត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយសមីការ Diophantine៖ ការស្វែងរក GCD គឺតម្រូវឱ្យពិនិត្យមើលសមីការសម្រាប់លទ្ធភាពនៃដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់។

ការស្វែងរក NOC

ពហុគុណតិចបំផុតក៏ត្រូវបានកំណត់ដោយការស្វែងរកតាមលំដាប់លំដោយ ឬការបំបែកទៅជាកត្តាដែលមិនអាចបំបែកបាន។ លើសពីនេះទៀតវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរក LCM ប្រសិនបើផ្នែកធំបំផុតត្រូវបានកំណត់រួចហើយ។ សម្រាប់លេខ X និង Y LCM និង GCD ត្រូវបានទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X, Y) ។

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ GCM(15,18) = 3 នោះ LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90 ។ ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងបំផុតនៃការប្រើប្រាស់ LCM គឺដើម្បីស្វែងរកភាគបែងរួម ដែលជាផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃ ប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

លេខចម្លង

ប្រសិនបើលេខមួយគូមិនមានការបែងចែកធម្មតាទេ នោះគូបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា coprime ។ gcd សម្រាប់គូបែបនេះគឺតែងតែស្មើនឹងមួយ ហើយផ្អែកលើការតភ្ជាប់រវាងផ្នែកចែក និងពហុគុណ gcd សម្រាប់គូ coprime គឺស្មើនឹងផលិតផលរបស់ពួកគេ។ ឧទាហរណ៍ លេខ 25 និង 28 ជាលេខសំខាន់ ព្រោះវាមិនមានការបែងចែកធម្មតាទេ ហើយ LCM(25, 28) = 700 ដែលត្រូវនឹងផលិតផលរបស់ពួកគេ។ លេខពីរដែលមិនអាចបំបែកបាននឹងតែងតែជាលេខសំខាន់។

ការបែងចែកទូទៅ និងម៉ាស៊ីនគិតលេខច្រើន។

ដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខរបស់យើង អ្នកអាចគណនា GCD និង LCM សម្រាប់ចំនួនលេខដែលត្រូវជ្រើសរើស។ ភារកិច្ចលើការគណនាចំនួនចែក និងគុណទូទៅត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងនព្វន្ធថ្នាក់ទី 5 និងទី 6 ប៉ុន្តែ GCD និង LCM គឺជាគោលគំនិតសំខាន់ៗនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ហើយត្រូវបានគេប្រើនៅក្នុងទ្រឹស្តីលេខ ប្លង់មេទ្រី និងពិជគណិតទំនាក់ទំនង។

ឧទាហរណ៍ជីវិតពិត

ភាគបែងទូទៅនៃប្រភាគ

ផលគុណទូទៅតិចបំផុតត្រូវបានប្រើនៅពេលស្វែងរកភាគបែងរួមនៃប្រភាគជាច្រើន។ ឧបមាថាក្នុងបញ្ហានព្វន្ធ អ្នកត្រូវបូកសរុបប្រភាគ ៥៖

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

ដើម្បីបន្ថែមប្រភាគ កន្សោមត្រូវតែកាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងរួម ដែលកាត់បន្ថយបញ្ហាក្នុងការស្វែងរក LCM ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះជ្រើសរើសលេខ 5 នៅក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខហើយបញ្ចូលតម្លៃនៃភាគបែងនៅក្នុងកោសិកាដែលត្រូវគ្នា។ កម្មវិធីនឹងគណនា LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 ។ ឥឡូវអ្នកត្រូវគណនាកត្តាបន្ថែមសម្រាប់ប្រភាគនីមួយៗ ដែលត្រូវបានកំណត់ជាសមាមាត្រនៃ LCM ទៅភាគបែង។ ដូច្នេះមេគុណបន្ថែមនឹងមើលទៅដូច៖

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

បន្ទាប់ពីនេះ យើងគុណប្រភាគទាំងអស់ដោយកត្តាបន្ថែមដែលត្រូវគ្នា ហើយទទួលបាន៖

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

យើងអាចបូកសរុបប្រភាគបែបនេះបានយ៉ាងងាយស្រួល ហើយទទួលបានលទ្ធផលជា 159/360។ យើងកាត់បន្ថយប្រភាគដោយ 3 ហើយមើលចម្លើយចុងក្រោយ - 53/120 ។

ការដោះស្រាយសមីការ Diophantine លីនេអ៊ែរ

សមីការ Diophantine លីនេអ៊ែរ គឺជាកន្សោមនៃទម្រង់អ័ក្ស + ដោយ = ឃ។ ប្រសិនបើសមាមាត្រ d / gcd (a, b) គឺជាចំនួនគត់ នោះសមីការគឺអាចដោះស្រាយបានជាចំនួនគត់។ សូមពិនិត្យមើលសមីការពីរ ដើម្បីមើលថាតើពួកគេមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ឬអត់។ ដំបូងយើងពិនិត្យមើលសមីការ 150x + 8y = 37 ។ ដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខយើងរកឃើញ GCD (150.8) = 2. ចែក 37/2 = 18.5 ។ លេខមិនមែនជាចំនួនគត់ទេ ដូច្នេះសមីការមិនមានឫសចំនួនគត់ទេ។

ចូរយើងពិនិត្យមើលសមីការ 1320x + 1760y = 10120។ ប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខដើម្បីរក GCD(1320, 1760) = 440. ចែក 10120/440 = 23។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានចំនួនគត់ ដូច្នេះ សមីការវិសមភាព Diophantine គឺ integer .

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

GCD និង LCM ដើរតួនាទីយ៉ាងធំនៅក្នុងទ្រឹស្តីលេខ ហើយគោលគំនិតខ្លួនឯងត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃគណិតវិទ្យា។ ប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខរបស់យើងដើម្បីគណនាលេខចែកដ៏ធំបំផុត និងគុណតិចបំផុតនៃចំនួនលេខណាមួយ។