ដូចម្តេចដែលហៅថា លំដាប់? សព្វវចនាធិប្បាយដ៏អស្ចារ្យនៃប្រេងនិងឧស្ម័ន

ទំព័រ 2

លំដាប់លំដោយនៃនិមិត្តសញ្ញាមូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថា កន្សោមទ្រឹស្តី S ។  

ឥតគិតថ្លៃ លំដាប់ចុងក្រោយតួអក្សរនៃអក្ខរក្រម (រួមទាំងអក្សរទទេ) ត្រូវបានគេហៅថាខ្សែសង្វាក់ សំណុំរងតាមអំពើចិត្ត LA នៃសំណុំនៃខ្សែសង្វាក់ដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ - មូលប្បទានប័ត្រត្រូវបានគេហៅថាភាសាជាង A ។  

SPD ដែលកំពុងពិចារណាអនុវត្តរបៀបប្តូរកញ្ចប់ព័ត៌មាន ដែលជាវិធីសាស្ត្របញ្ជូនទិន្នន័យពីសាររបស់អ្នកប្រើត្រូវបានបែងចែកទៅជាកញ្ចប់ព័ត៌មានដាច់ដោយឡែក ផ្លូវបញ្ជូនដែលនៅក្នុងបណ្តាញពីប្រភពទៅអ្នកទទួលត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងមជ្ឈមណ្ឌលបញ្ជានីមួយៗដែលកញ្ចប់ព័ត៌មាន។ ត្រូវបានទទួល។ សារត្រូវបានយល់ថាជាលំដាប់កំណត់នៃនិមិត្តសញ្ញាដែលមានខ្លឹមសារអត្ថន័យ។ កញ្ចប់ព័ត៌មានគឺជាប្លុកនៃទិន្នន័យដែលមានបឋមកថា បង្ហាញក្នុងទម្រង់ជាក់លាក់ និងមានប្រវែងអតិបរមាកំណត់។ ចំណាំថាប្រព័ន្ធបញ្ជូនទិន្នន័យដែលបានប្តូរកញ្ចប់មាន ប្រសិទ្ធភាពខ្ពស់។អរគុណចំពោះសមត្ថភាពក្នុងការរៀបចំឡើងវិញនូវផ្លូវបញ្ជូនទិន្នន័យ (ការបញ្ជូនទិន្នន័យ) ឡើងវិញយ៉ាងរហ័សក្នុងករណីផ្ទុកលើសទម្ងន់ និងខូចខាតដល់ធាតុបញ្ជូនទិន្នន័យ។ ប្រសិទ្ធភាព ជម្រើសផ្សេងៗការសាងសង់ប្រព័ន្ធបញ្ជូនទិន្នន័យ និងបំណែករបស់វាត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណដោយពេលវេលាជាមធ្យមនៃការផ្តល់ទិន្នន័យដល់អ្នកប្រើប្រាស់ និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យក្នុងការបង្កើតការតភ្ជាប់ដែលតម្រូវដោយអ្នកប្រើប្រាស់នៅក្នុង នៅពេលនេះពេលវេលា។  

ជាការពិតណាស់ មិនមែនគ្រប់លំដាប់លំដោយនៃនិមិត្តសញ្ញា គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយទេ។ ឧទាហរណ៍ (S0 L (55)) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយ ប៉ុន្តែ l l) S3 និង S0 l គឺមិនមែនទេ។  

F គឺជាសំណុំនៃលំដាប់កំណត់ទាំងអស់នៃនិមិត្តសញ្ញាដែលជាម៉ាស៊ីនភ្លើង ឬបញ្ច្រាសរបស់វា។ ពាក្យទាំងអស់ពី F ត្រូវបានបែងចែកទៅជាថ្នាក់ ដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើ Wi និង W2 ជាពាក្យសមមូលពី F នោះ Wi និង W2 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ថ្នាក់តែមួយ។ ប្រសិនបើ Wi និង W2 មិនមែនជាពាក្យដែលស្មើគ្នាពី F នោះ Wi និង W2 មិនស្ថិតនៅក្នុងថ្នាក់តែមួយទេ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ពាក្យ Wi និង W2 ស្ថិតក្នុងថ្នាក់ដូចគ្នា ប្រសិនបើ និងបានតែវាសមមូល។ បញ្ហាទូទៅដែលមាននៅក្នុងការសម្រេចចិត្ត ក្នុងករណីក្រុមតាមអំពើចិត្ត ថាតើពាក្យពីរគឺសមមូលគឺពិបាកខ្លាំងណាស់។  

Metamathematics គឺជាទ្រឹស្ដីដែលសិក្សាពីទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាផ្លូវការ។ ទ្រឹស្ដីផ្លូវការមួយគឺ សំណុំនៃលំដាប់កំណត់មួយចំនួននៃនិមិត្តសញ្ញា ហៅថារូបមន្ត និងលក្ខខណ្ឌ និងសំណុំនៃប្រតិបត្តិការសាមញ្ញមួយចំនួនដែលបានអនុវត្តលើលំដាប់ទាំងនេះ។ រូបមន្ត និងលក្ខខណ្ឌដែលទទួលបានដោយប្រើចំណិត - តើមានប៉ុន្មាន ច្បាប់សាមញ្ញបម្រើជាការជំនួសសម្រាប់ការផ្ដល់យោបល់ និងមុខងារវិចារណញាណ ទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យា. ប្រតិបត្តិការលើរូបមន្តត្រូវគ្នាទៅនឹងជំហានបឋមនៃការកាត់ក្នុងហេតុផលគណិតវិទ្យា។ រូបមន្តដែលត្រូវគ្នានឹង axioms នៃទ្រឹស្តីវិចារណញាណដើរតួនាទីពិសេស - ពួកគេគឺជា axioms នៃទ្រឹស្តីផ្លូវការ។ រូបមន្តដែលអាចមកពី axioms ដោយមធ្យោបាយនៃប្រតិបត្តិការដែលបានអនុម័តត្រូវគ្នាទៅនឹងទ្រឹស្តីបទនៃទ្រឹស្តី។  

Metamathematics គឺជាទ្រឹស្ដីមួយដែលសិក្សាទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាជាផ្លូវការ។ ទ្រឹស្ដីផ្លូវការមួយគឺ សំណុំនៃលំដាប់កំណត់មួយចំនួននៃនិមិត្តសញ្ញា ហៅថារូបមន្ត និងលក្ខខណ្ឌ និងសំណុំនៃប្រតិបត្តិការសាមញ្ញមួយចំនួនដែលបានអនុវត្តលើលំដាប់ទាំងនេះ។ រូបមន្ត និង​ពាក្យ​ដែល​បាន​មក​ពី​ច្បាប់​សាមញ្ញ​មួយ​ចំនួន​បម្រើ​ជា​ការ​ជំនួស​ការ​ស្នើ​សុំ និង​មុខងារ​នៃ​ទ្រឹស្តី​គណិតវិទ្យា​ដែល​វិចារណញាណ។ ប្រតិបត្តិការលើរូបមន្តត្រូវគ្នាទៅនឹងជំហានបឋមនៃការកាត់ក្នុងហេតុផលគណិតវិទ្យា។ រូបមន្តដែលត្រូវគ្នានឹង axioms នៃទ្រឹស្តីវិចារណញាណដើរតួនាទីពិសេស - ពួកគេគឺជា axioms នៃទ្រឹស្តីផ្លូវការ។  

ទីពីរ យើងអាចបោះបង់ចោលនូវតម្រូវការដែលហត្ថលេខាអាចរាប់បាន ហើយនិយាយដូចនេះ៖ សម្រាប់រាល់សំណុំរង A C M មានរចនាសម្ព័ន្ធរងបឋម M C M ដែលមាន A ដែល cardinality មិនលើសពីអតិបរមានៃ NQ ភាពសំខាន់នៃសំណុំ A និង cardinality នៃហត្ថលេខា។ . ជាការពិត ទាំងការសាងសង់នៃការបិទទាក់ទងនឹងប្រតិបត្តិការហត្ថលេខា និងការសាងសង់នៃការបិទអត្ថិភាព និងការរួបរួមដែលអាចរាប់បាននៃខ្សែសង្វាក់ដែលកំពុងកើនឡើងមិនប្រើប្រាស់ថាមពលលើសពីអតិបរមាដែលបានបញ្ជាក់នោះទេ ព្រោះទាំងរូបមន្ត និងលក្ខខណ្ឌគឺជាលំដាប់កំណត់នៃនិមិត្តសញ្ញាហត្ថលេខា។ និងនិមិត្តសញ្ញាផ្សេងទៀតដែលអាចរាប់បាន (សូមមើលព័ត៌មានលម្អិតបន្ថែមនៅក្នុង ); ដូចគ្នានេះដែរអាចត្រូវបាននិយាយអំពីចំនួននៃសំណុំដែលអាចធ្វើបាននៃតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។  

នៅក្នុង IVS ដែលត្រូវបានពិចារណា របៀបប្តូរកញ្ចប់ព័ត៌មានត្រូវបានអនុវត្ត ដែលផ្តល់នូវវិធីសាស្រ្តបញ្ជូនទិន្នន័យដែលទិន្នន័យពីសាររបស់អ្នកប្រើត្រូវបានបែងចែកទៅជាកញ្ចប់ព័ត៌មានដាច់ដោយឡែក។ ផ្លូវសម្រាប់ការបញ្ជូនកញ្ចប់ព័ត៌មាននៅក្នុងបណ្តាញពីប្រភពទៅអ្នកទទួលត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងក្រុមហ៊ុនគ្រប់គ្រងនីមួយៗដែលពួកគេមកដល់។ សារត្រូវបានយល់ថាជាលំដាប់កំណត់នៃនិមិត្តសញ្ញាដែលមានខ្លឹមសារអត្ថន័យ។ កញ្ចប់ព័ត៌មានគឺជាប្លុកនៃទិន្នន័យដែលមានបឋមកថា បង្ហាញក្នុងទម្រង់ជាក់លាក់ និងមានប្រវែងអតិបរមាកំណត់។ ចំណាំថា IVS ជាមួយនឹងការប្តូរកញ្ចប់ព័ត៌មានមានប្រសិទ្ធភាពខ្ពស់ដោយសារតែសមត្ថភាពក្នុងការរៀបចំឡើងវិញនូវផ្លូវបញ្ជូនទិន្នន័យ (ការបញ្ជូន) យ៉ាងឆាប់រហ័សនៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍នៃការផ្ទុកលើសទម្ងន់ និងការខូចខាតដល់ធាតុ IVS ។ ប្រសិទ្ធភាពនៃជម្រើសផ្សេងៗសម្រាប់ការសាងសង់ IVS និងបំណែករបស់វាត្រូវបានវាយតម្លៃដោយពេលវេលាជាមធ្យមសម្រាប់ការផ្តល់ទិន្នន័យដល់អ្នកប្រើប្រាស់ និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យក្នុងការបង្កើតការតភ្ជាប់ដែលតម្រូវដោយអ្នកប្រើប្រាស់នៅពេលជាក់លាក់ណាមួយ។  

នៅពេលពិចារណាលើសំណុំដែលអាចរាប់បាន (កំណត់ ឬគ្មានកំណត់) លេខដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងធាតុរបស់វានៅក្នុងការបំប្លែងថេរមួយចំនួនអាចត្រូវបានប្រើជាការរចនាបុគ្គល ឬឈ្មោះនៃធាតុទាំងនេះ។ ប៉ុន្តែផ្ទុយមកវិញ ប្រសិនបើឈ្មោះ ឬកន្សោមច្បាស់លាស់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកំណត់សម្គាល់ដែលមិនច្បាស់លាស់ដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមុន អាចជា ជាលក្ខណៈបុគ្គលភ្ជាប់ជាមួយធាតុនីមួយៗនៃសំណុំជាក់លាក់មួយ បន្ទាប់មកសំណុំនេះ (កំណត់ ឬគ្មានកំណត់) អាចរាប់បាន ផ្តល់ថាឈ្មោះ ឬកន្សោមត្រូវតែជាលំដាប់កំណត់នៃនិមិត្តសញ្ញាដែលបានជ្រើសរើសពីអក្ខរក្រមកំណត់នៃនិមិត្តសញ្ញាដែលមានសម្រាប់យើង។ ឧ. សមីការពិជគណិតជាមួយនឹងចំនួនគត់ odds អាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើសញ្ញាទសភាគសម្រាប់សេស និងនិទស្សន្ត។ ការសរសេរនិទស្សន្តនៅផ្នែកខាងលើគឺជាលក្ខណៈមិនសំខាន់នៃសញ្ញាណរបស់យើង ដែលអាចត្រូវបានលុបចោលជាមួយនឹងអនុសញ្ញាសមស្របមួយ។  

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាបញ្ហានៃការគុណពហុនាមពីរជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់។ បញ្ហាគឺរបៀបសរសេរពហុនាមទាំងនេះដើម្បីឱ្យពួកវាអាចបញ្ចូលទៅក្នុងកុំព្យូទ័រ។ ម៉ាស៊ីន Turing ដែលយើងពិចារណាខាងក្រោម យល់តែលំដាប់កំណត់នៃនិមិត្តសញ្ញា (ពាក្យ) ពីសំណុំជាក់លាក់ A ដែលហៅថា អក្ខរក្រមខាងក្រៅ។ ដូច្នេះ ការរៀបចំយ៉ាងម៉ត់ចត់នៃបញ្ហាក្នុងការគណនាត្រូវតែរួមបញ្ចូលអក្ខរក្រម និងវិធីសាស្ត្រសម្រាប់ការអ៊ិនកូដទិន្នន័យបញ្ចូល។  

ប្រតិបត្តិករអក្ខរក្រមនីមួយៗត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងគំនិតវិចារណញាណនៃភាពស្មុគស្មាញរបស់វា។ សាមញ្ញបំផុតគឺ ប្រតិបត្តិករអក្ខរក្រម ដែលអនុវត្តការគូសវាសតួអក្សរតាមតួអក្សរ។ ការគូសផែនទីតួអក្សរដោយតួអក្សរមានការជំនួសតួអក្សរនីមួយៗនៃពាក្យបញ្ចូល A ជាមួយនឹងតួអក្សរមួយចំនួននៃអក្ខរក្រមលទ្ធផល B ។ តម្លៃដ៏អស្ចារ្យមាន​អ្វី​ដែល​ហៅ​ថា​ផែនទី​សរសេរ​កូដ។ ផែនទីអ៊ិនកូដត្រូវបានយល់ថាជាការឆ្លើយឆ្លងដែលភ្ជាប់តួអក្សរនីមួយៗនៃអក្ខរក្រមបញ្ចូលជាមួយនឹងលំដាប់កំណត់ជាក់លាក់នៃតួអក្សរនៅក្នុងអក្ខរក្រមលទ្ធផល ដែលហៅថាកូដ។  

ពួកគេបង្កើតជាសំណុំដែលមិនអាចរាប់បាន។ អនុគមន៍​ដែល​អាច​គណនា​បាន​បង្កើត​ជា​សំណុំ​រង​ដ៏​សំខាន់​មួយ​ដែល​យើង​ចាប់​ផ្ដើម​សិក្សា។ ជាការពិតនៅពេលប្រើណាមួយ។ ភាសាក្បួនដោះស្រាយកម្មវិធីនីមួយៗមានលំដាប់កំណត់នៃនិមិត្តសញ្ញាពីអក្ខរក្រមកំណត់ ឬរាប់បាន។ វាដូចខាងក្រោមថាសំណុំនៃកម្មវិធីគឺរាប់មិនអស់។  

ចូរយើងពិចារណាអំពីទម្រង់ខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចនៃបញ្ហាការសន្និដ្ឋានដោយប្រឌិត។ ចូរសន្មតថាយើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនូវលំដាប់នៃនិមិត្តសញ្ញាដែលវែងគ្រប់គ្រាន់ហើយភារកិច្ចគឺដើម្បីទស្សន៍ទាយនិមិត្តសញ្ញាបន្តបន្ទាប់នៃលំដាប់នេះ។ នេះគឺជាកិច្ចការទូទៅមួយសម្រាប់ករណីទាំងនោះ ដែលអ្នកត្រូវប៉ាន់ប្រមាណប្រូបាប៊ីលីតេដោយការបញ្ចូល។ ភារកិច្ចនេះត្រូវបានធ្វើឱ្យស្រស់បន្តិចដោយការណែនាំ គំនិតទំនើបសកល កុំព្យូទ័រនិងភាសាសរសេរកម្មវិធីដែលបានចងក្រងសម្រាប់វា។ កម្មវិធីមួយត្រូវបានគេនិយាយថាមានសុពលភាពប្រសិនបើបានទទួលវា ម៉ាស៊ីនបោះពុម្ពលំដាប់សូម្បីតែមួយគ្មានកំណត់ ដែលចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងលំដាប់កំណត់នៃតួអក្សរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះរាល់កម្មវិធីដែលមានសុពលភាពធ្វើឱ្យមានការទស្សន៍ទាយ។  

លំដាប់លេខ.

ស៊េរីធម្មជាតិនៃលេខគឺស្រស់ស្អាតនៅក្នុងខ្លួនវា: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... ។ វាបង្ហាញពីលំដាប់កើនឡើង នៅក្នុងទម្រង់ដ៏បរិសុទ្ធបំផុត។. គោលការណ៍នៃការបង្កើតខ្សែសង្វាក់បន្ទាប់នៃលេខគឺមិនច្បាស់ទេ: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... ទោះបីជាពួកគេក៏មិនចៃដន្យដែរ៖ លេខនីមួយៗចាប់ផ្តើមពីលេខទីបីគឺ ស្មើនឹងផលបូកនៃចំនួនពីរមុន។ ស៊េរីនៃលេខធម្មជាតិនេះដែលមានរបស់ខ្លួន។ ឈ្មោះប្រវត្តិសាស្ត្រ- ស៊េរី Fibonacci មានតក្កវិជ្ជា និងភាពស្រស់ស្អាតផ្ទាល់ខ្លួន ការយល់ដឹងដែលអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែមានការសិក្សាតាមគោលដៅ។

លេខ FIBONACCI ។ Leonardo Fibonacci () ។ គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលីដ៏លេចធ្លោ អ្នកនិពន្ធសៀវភៅ Abacus ។ សៀវភៅនេះនៅតែជាឃ្លាំងសំខាន់នៃព័ត៌មានស្តីពីនព្វន្ធ និងពិជគណិតអស់ជាច្រើនសតវត្សមកហើយ។ វាគឺតាមរយៈស្នាដៃរបស់ L. Fibonacci ដែលអឺរ៉ុបទាំងមូលបានស្ទាត់ជំនាញលេខអារ៉ាប់ ប្រព័ន្ធរាប់ ក៏ដូចជាធរណីមាត្រជាក់ស្តែង។ ពួកគេនៅតែជាសៀវភៅសិក្សាលើតុរហូតដល់សម័យ Descartes (ហើយនេះគឺជាសតវត្សទី 17 រួចទៅហើយ!)

ក្បួនតាមលំដាប់ត្រូវបានបង្ហាញ ការពិពណ៌នាពាក្យសំដី. ឧទាហរណ៍។ 1) លំដាប់នៃបឋម លេខពីរខ្ទង់តិចជាង 50 មានលំដាប់ចុងក្រោយ៖ 11, 13, 17, 19, 23, 43, 47; 2) លំដាប់គ្មានកំណត់នៃការប៉ាន់ស្មាន លេខមិនសមហេតុផល= =1, ...: 2, 1.7, 1.73, 1.732, 1, 7321, ... ពាក្យសំដី

ច្បាប់មួយត្រូវបានបញ្ជាក់ដែលអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់គណនាសមាជិកទី 9 នៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រសិនបើសមាជិកពីមុនទាំងអស់របស់វាត្រូវបានគេស្គាល់។ ឧទាហរណ៍។ Y 1 = 1, y n = y n-1 n, ប្រសិនបើ n2 ។ ចូរយើងគណនាពាក្យពីរបីដំបូងនៃលំដាប់នេះ៖ ១, ២, ៦, ២៤, ១២០, …។ អ្នកអាចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាពាក្យទី 9 នៃលំដាប់នេះ។ ស្មើនឹងផលិតផលដំបូង n លេខធម្មជាតិ៖ y n = n ! កើតឡើងវិញ។

បញ្ហាទី 2 ស្វែងរកពាក្យប្រាំដំបូងនៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យឡើងវិញ: y 1 = 2, y n = y n ចម្លើយ: 2, 7, 12, 17, 22 ។ ការបណ្តុះបណ្តាលតាមអានជម្រើសទី 1 (2) 1. តើលំដាប់នៃការបែងចែកនៃលេខ 1200 កំណត់ឬគ្មានកំណត់? (គុណ 8?) 2. តើលំដាប់នៃលេខដែលគុណនឹង 6 កំណត់ ឬគ្មានកំណត់? (ការបែងចែកលេខ 2400?) 3. លំដាប់ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត a n = 5n + 2 (b n = n 2 −3) ។ តើពាក្យទីបីរបស់វាស្មើនឹងអ្វី? 4. សរសេរសមាជិកចុងក្រោយនៃលំដាប់នៃលេខបីខ្ទង់ (ពីរខ្ទង់) ទាំងអស់។ ៥.ដាណា រូបមន្តកើតឡើងវិញ។លំដាប់ a n+1 =a n -4 និង 1 =5 (b n+1 =b n /4, b 1 =8)។ រក a 2 (b 2) ។

ជម្រើសចុងក្រោយ។ 2. ជម្រើសគ្មានកំណត់ គ្មានកំណត់។ 2. ទីបំផុត

បន្តបន្ទាប់គឺជាសំណុំនៃធាតុនៃសំណុំជាក់លាក់មួយ។ លំដាប់គ្មានកំណត់- លំដាប់ដែលត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយអនុគមន៍ដែលមានដែននិយមន័យ ន. ក្នុងករណីដែលអនុគមន៍នេះជាលេខ លំដាប់លេខគ្មានកំណត់. បន្ទាប់យើងនឹងពិចារណាពីលំដាប់លេខ។ អត្ថន័យ f(ន) ដែល​ត្រូវ​គ្នា​ លេខធម្មជាតិ ន, បានហៅ ន- សមាជិកនៃលំដាប់។ ពេលខ្លះជំនួសវិញ។ f(ន) កំណត់ចំណាំត្រូវបានប្រើ ក ន , x ន .

ឧទាហរណ៍នៃលំដាប់លេខ៖

f(ន) = 3ន+ ២ មកពីណា f(1) = 5, f(2) = 8,..., f(100) = 302,... ;

f(ន) = 1 + (-1) នកន្លែងណា f(1) = 0, f(2) = 2,... ឬ, ក្នុង ករណីទូទៅ, f(2k - 1) = 0, f(2k) = 2 (k ∈ ន).

លំដាប់លេខអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជាមុខងារ នៅក្នុងវិធីផ្សេងៗ. រូបមន្តដែលបញ្ជាក់លំដាប់លេខត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត ន-th (ឬទូទៅ) សមាជិក។ ដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចទទួលបានតម្លៃនៃធាតុណាមួយនៃលំដាប់ដោយជំនួសលេខរបស់វាទៅក្នុងរូបមន្ត។ ឧទាហរណ៍៖ ក ន = 2 ន .

មានវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីបញ្ជាក់លំដាប់លេខ - កើតឡើងដដែលៗ។ វាបង្ហាញពីសមាជិកណាមួយនៃលំដាប់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃចំនួនមុន។ ឧទាហរណ៍៖ ក ន = 2(ក ន-1 + 3), ក 1 = 2. បន្ទាប់មក ក 2 = 10, ក 3 = 26,...

ប្រសិន​បើ​លំដាប់​មួយ​មាន​ចំនួន​កំណត់​នៃ​ពាក្យ វា​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា finite ។ ឧទាហរណ៍លំដាប់ចុងក្រោយគឺ លេខបីខ្ទង់: 100, 101, ... , 999. វាមានធាតុ 900 ។

លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើងប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ។ ន ∈ នភាពមិនស្មើភាពកាន់កាប់ ក នក ន+1 .

លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា ធ្លាក់ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ។ ន ∈ នភាពមិនស្មើភាពកាន់កាប់ ក ន > ក ន+1 .

ការកើនឡើងនិងបន្ថយលំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា ឯកតា.

ឧទាហរណ៍ លំដាប់ ផ្តល់ដោយរូបមន្ត ក ន = ន/(ន+ 1), គឺ monotonic, កើនឡើង, ដោយសារតែ ភាពខុសគ្នា ក ន+1 - ក ន = (ន + 1)/(ន + 2) - ន/(ន + 1) = 1/(ន + 1)(ន+ 2) > 0. នោះគឺ ក នក ន+1. លំដាប់ជាមួយពាក្យសាមញ្ញ ក ន = 1 + (-1) នមិនមែន monotonic ទេព្រោះ ក 1 ក 2 , ក ក 2 > ក 3 .

លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា ព្រំដែនខាងលើ ម ∈ រ, អ្វី ក ន ≤ ម.

លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា ព្រំដែនខាងក្រោមប្រសិនបើចំនួនបែបនេះមាន ម ∈ រ, អ្វី ក ន ≥ ម.

ឧទាហរណ៍ លំដាប់ ក ន = នកំណត់ពីខាងក្រោម ប៉ុន្តែមិនកំណត់ពីខាងលើទេ។ បន្តបន្ទាប់ ក ន = (-1) ន នមិនកំណត់ទាំងខាងលើ ឬខាងក្រោម។

លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា មានកំណត់ប្រសិនបើវាត្រូវបានកំណត់ក្នុងពេលដំណាលគ្នាទាំងខាងលើ និងខាងក្រោម។

លេខ កហៅថាព្រំដែននៃលំដាប់ ( ក ន) ប្រសិនបើសម្រាប់ ε > 0 មានលេខធម្មជាតិ នដូច្នេះសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា ន > នវិសមភាព | ក ន - ក| លីម ន→∞ ក ន = កឬ ក ន → ក.

លំដាប់ដែលមានព្រំដែនត្រូវបានគេហៅថា បញ្ចូលគ្នា. លំដាប់ដែលមិនមានព្រំដែនត្រូវបានគេហៅថា ខុសគ្នា.

ប្រសិនបើលីម ន→∞ ក ន= 0 បន្ទាប់មកលំដាប់ ( ក ន) ត្រូវបានគេហៅថាគ្មានកំណត់។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់លំដាប់លេខ៖

1. ប្រសិនបើ lim ន→∞ ក ន = កនិង lim ន→∞ ខ ន = ខបន្ទាប់មក lim ន→∞ (ក ន + ខ ន) = ក + ខ;

2. ប្រសិនបើ lim ន→∞ ក ន = កនិង lim ន→∞ ខ ន = ខបន្ទាប់មក lim ន→∞ (ក ន ខ ន) = កខ;

3. ប្រសិនបើ lim ន→∞ ក ន = កនិង lim ន→∞ ខ ន = ខ≠ 0 បន្ទាប់មក lim ន→∞ (ក ន /ខ ន) = ក/ខ;

4. លីម ន→∞ គក ន = គលីម ន→∞ ក ន, កន្លែងណា គ ∈ រ;

5. ប្រសិនបើ lim ន→∞ ក ន= លីម ន→∞ ខ ន = កនិង ក ន ≤ គ ន ≤ ខ នបន្ទាប់មក lim ន→∞ គ ន = ក.

6. ប្រសិនបើ lim ន→∞ ក ន = ក, lim ន→∞ ខ ន = ខនិង ក នខ ននៅ ន ∈ ន, នោះ។ ក ≤ ខ.

លំដាប់គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៃគណិតវិទ្យា។ លំដាប់អាចត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលេខ ចំណុច អនុគមន៍ វ៉ិចទ័រ។ល។ លំដាប់មួយត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យប្រសិនបើច្បាប់មួយត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយយោងទៅតាមលេខធម្មជាតិនីមួយៗត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងធាតុនៃសំណុំជាក់លាក់មួយ។ លំដាប់ត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ ឬដោយសង្ខេប។ ធាតុត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកនៃលំដាប់ - ទីមួយ - ទីពីរ - សមាជិកទូទៅ (ទី) នៃលំដាប់។

លំដាប់លេខត្រូវបានពិចារណាជាញឹកញាប់បំផុត i.e. លំដាប់ដែលសមាជិកជាលេខ។ វិធីសាស្រ្តវិភាគ- វិធីងាយស្រួលបំផុតដើម្បីកំណត់លំដាប់លេខ។ នេះត្រូវបានធ្វើដោយប្រើរូបមន្តបង្ហាញសមាជិកទី th នៃលំដាប់តាមរយៈលេខរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ

វិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតគឺកើតឡើងម្តងទៀត (ពី ពាក្យឡាតាំងកើតឡើងម្តងទៀត - "ការត្រឡប់មកវិញ") នៅពេលដែលសមាជិកពីរបីដំបូងនៃលំដាប់និងច្បាប់ត្រូវបានបញ្ជាក់ដែលអនុញ្ញាតឱ្យសមាជិកជាបន្តបន្ទាប់នីមួយៗត្រូវបានគណនាដោយប្រើលេខមុន។ ឧទាហរណ៍៖

ឧទាហរណ៍នៃលំដាប់លេខ - វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធនិងវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការតាមដានឥរិយាបថរបស់សមាជិកនៃលំដាប់នេះ នៅពេលដែលចំនួនកើនឡើងឥតកំណត់ (អ្វីដែលកើនឡើងឥតកំណត់គឺត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ និងអានថា "ទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់")។

ពិចារណា​លំដាប់​ដោយ​ពាក្យ​ទូទៅ៖ , , , … , ,…. ពាក្យទាំងអស់នៃលំដាប់នេះគឺខុសពីសូន្យ ប៉ុន្តែកាន់តែច្រើន កាន់តែតិចខុសពីសូន្យ។ លក្ខខណ្ឌ​នៃ​លំដាប់​នេះ​មាន​ទំនោរ​ទៅ​សូន្យ ខណៈ​ដែល​វា​កើន​ឡើង​ដោយ​មិន​កំណត់។ ពួកគេនិយាយថាលេខសូន្យគឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នេះ។

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖ - កំណត់លំដាប់

លក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់នេះក៏មានទំនោរទៅសូន្យដែរ ប៉ុន្តែជួនកាលវាធំជាងសូន្យ ជួនកាលតិចជាងសូន្យ - ដែនកំណត់របស់វា។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយទៀត៖ . ប្រសិនបើតំណាងក្នុងទម្រង់

បន្ទាប់មក វានឹងក្លាយជាច្បាស់ថា លំដាប់នេះមានទំនោរទៅរកការរួបរួម។

ចូរយើងកំណត់ដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ។ លេខត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃលំដាប់ ប្រសិនបើសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ វាអាចបញ្ជាក់លេខដែលវិសមភាពមានសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា។

ប្រសិនបើមានដែនកំណត់នៃលំដាប់បន្ទាប់មកពួកគេសរសេរឬ (អក្សរបីដំបូងនៃពាក្យឡាតាំង limes - "ដែនកំណត់") ។

និយមន័យនេះនឹងកាន់តែច្បាស់ប្រសិនបើយើងផ្តល់ឱ្យវា។ អត្ថន័យធរណីមាត្រ. ចូរយើងភ្ជាប់លេខក្នុងចន្លោះពេល (រូបភាពទី 1)។ លេខគឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់ ប្រសិនបើដោយមិនគិតពីភាពតូចនៃចន្លោះពេល សមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ដែលមានលេខធំជាងមួយចំនួននឹងស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះនេះ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត មានតែចំនួនកំណត់នៃពាក្យនៃលំដាប់ប៉ុណ្ណោះដែលអាចនៅក្រៅចន្លោះពេលណាមួយ។

សម្រាប់លំដាប់ដែលបានពិចារណា - អ្នកជិតខាងនៃចំណុចសូន្យ រួមបញ្ចូលលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃលំដាប់ លើកលែងតែដប់ដំបូង និងនៅ - លក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃលំដាប់លើកលែងតែរយដំបូង។

លំដាប់ដែលមានដែនកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា convergent ហើយលំដាប់ដែលមិនមានដែនកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា divergent ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃលំដាប់ផ្សេងគ្នា៖ . សមាជិករបស់វាគឺស្មើគ្នា ហើយមិនមានទំនោរទៅកម្រិតណាមួយឡើយ។

ប្រសិនបើលំដាប់បង្រួបបង្រួម នោះវាត្រូវបានចង ពោលគឺឧ។ មានលេខ និងដូចដែលលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃលំដាប់បំពេញលក្ខខណ្ឌ។ វាកើតឡើងថាលំដាប់គ្មានដែនកំណត់ទាំងអស់គឺខុសគ្នា។ ទាំងនេះគឺជាលំដាប់៖

"ការសិក្សាយ៉ាងជិតស្និទ្ធ និងស៊ីជម្រៅអំពីធម្មជាតិ គឺជាប្រភពនៃការរកឃើញដ៏មានផ្លែផ្កាបំផុតនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។" J. Fourier

លំដាប់ដែលមានទំនោរទៅសូន្យត្រូវបានគេហៅថា infinitesimal ។ គោលគំនិតនៃភាពមិនចេះចប់អាចប្រើជាមូលដ្ឋាន និយមន័យទូទៅដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ ចាប់តាំងពីដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺស្មើគ្នាប្រសិនបើ និងបានតែប្រសិនបើវាត្រូវបានតំណាងជាផលបូក ដែលជាកន្លែងដែលគ្មានដែនកំណត់។

លំដាប់ដែលបានពិចារណាគឺគ្មានកំណត់។ លំដាប់ដូចខាងក្រោមពី (2) ខុសគ្នាពី 1 ដោយ infinitesimal ហើយដូច្នេះដែនកំណត់នៃលំដាប់នេះគឺ 1 ។

តម្លៃដ៏អស្ចារ្យនៅក្នុង ការវិភាគគណិតវិទ្យាក៏មានគំនិតនៃលំដាប់ដ៏ធំគ្មានកំណត់។ លំដាប់​មួយ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា​ធំ​គ្មាន​កំណត់ ប្រសិន​បើ​លំដាប់​គឺ​គ្មាន​ដែន​កំណត់។ លំដាប់​ដ៏​ធំ​មួយ​ដែល​គ្មាន​កំណត់​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ជា​ទម្រង់ ឬ ហើយ​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា «ទំនោរ​ទៅ​ជា​ភាព​គ្មាន​កំណត់»។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃលំដាប់ធំគ្មានកំណត់៖

យើង​សង្កត់​ធ្ងន់​ថា​គ្មាន​កំណត់ លំដាប់ធំគ្មានដែនកំណត់។

ចូរយើងពិចារណាអំពីលំដាប់ និង។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកំណត់លំដាប់ជាមួយពាក្យទូទៅ , និង (ប្រសិនបើ) ។ ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមគឺពិត ដែលជារឿយៗត្រូវបានគេហៅថាទ្រឹស្តីបទអំពី ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធជាមួយនឹងដែនកំណត់៖ ប្រសិនបើលំដាប់ត្រូវគ្នា នោះលំដាប់ , , , និងក៏ត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា ហើយសមភាពខាងក្រោមមាន៖

ក្នុងករណីចុងក្រោយ ចាំបាច់ត្រូវទាមទារបន្ថែមលើលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃលំដាប់ដែលខុសពីសូន្យ ដើម្បីឱ្យលក្ខខណ្ឌពេញចិត្ត។

តាមរយៈការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទនេះ ដែនកំណត់ជាច្រើនអាចត្រូវបានរកឃើញ។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលមានពាក្យសាមញ្ញ និងពាក្យដែលមិនកើនឡើង។ វាច្បាស់ណាស់ថា លំដាប់នេះមានទំនោរទៅរកចំនួនមួយចំនួនដែលតិចជាង ឬស្មើនឹង . នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញថាការមិនថយចុះ និងជាប់ព្រំដែនខាងលើលំដាប់មានដែនកំណត់ (សេចក្តីថ្លែងការណ៍ស្រដៀងគ្នានេះគឺជាការពិតសម្រាប់ការមិនបង្កើន និងកំណត់នៅខាងក្រោមលំដាប់)។ ទ្រឹស្តីបទដ៏អស្ចារ្យនេះផ្តល់ឱ្យ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់។ ពីវាឧទាហរណ៍វាដូចខាងក្រោមថាលំដាប់នៃតំបន់ ទៀងទាត់ - gonsចារឹកក្នុងរង្វង់នៃកាំឯកតា មានដែនកំណត់ ដោយសារវាត្រូវបានបង្កើន និងកំណត់ដោយឯកតាពីខាងលើ។ ដែនកំណត់នៃលំដាប់នេះត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយ .

ដោយប្រើដែនកំណត់នៃលំដាប់ monotonic bounded អ្នកលេងត្រូវបានកំណត់ តួនាទីធំនៅក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា លេខមួយគឺជាមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ៖

.

លំដាប់ (1) ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចហើយគឺ monotonic ហើយលើសពីនេះទៅទៀតត្រូវបានចងពីខាងលើ។ វាមានដែនកំណត់។ យើងអាចរកឃើញដែនកំណត់នេះយ៉ាងងាយស្រួល។ ប្រសិនបើវាស្មើគ្នា នោះលេខត្រូវតែបំពេញសមភាព។ ការដោះស្រាយសមីការនេះ យើងទទួលបាន។

ប្រសិនបើលេខធម្មជាតិនីមួយៗ n ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយមួយចំនួន ចំនួនពិត x n បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថាវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ លំដាប់លេខ

x 1 , x 2 , … x ន , …

លេខ x 1 ត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកនៃលំដាប់ ជាមួយនឹងលេខ 1 ឬ ពាក្យដំបូងនៃលំដាប់, លេខ x 2 - សមាជិកនៃលំដាប់ ជាមួយនឹងលេខ 2 ឬសមាជិកទីពីរនៃលំដាប់។ល។ លេខ x n ត្រូវបានហៅ សមាជិកនៃលំដាប់ដែលមានលេខន.

មានវិធីពីរយ៉ាងដើម្បីបញ្ជាក់លំដាប់លេខ - ជាមួយ និងជាមួយ រូបមន្តកើតឡើងវិញ។.

លំដាប់ដោយប្រើ រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទូទៅនៃលំដាប់- នេះគឺជាកិច្ចការលំដាប់

x 1 , x 2 , … x ន , …

ដោយប្រើរូបមន្តបង្ហាញពីភាពអាស្រ័យនៃពាក្យ x n លើលេខរបស់វា n ។

ឧទាហរណ៍ ១. លំដាប់លេខ

1, 4, 9, … ន 2 , …

ផ្តល់ឱ្យដោយប្រើរូបមន្តពាក្យទូទៅ

x ន = ន 2 , ន = 1, 2, 3, …

ការ​បញ្ជាក់​លំដាប់​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​បង្ហាញ​សមាជិក​លំដាប់ x n តាមរយៈ​សមាជិក​លំដាប់​ដែល​មាន​លេខ​មុន​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា​ការ​បញ្ជាក់​លំដាប់​ដោយ​ប្រើ រូបមន្តកើតឡើងវិញ។.

x 1 , x 2 , … x ន , …

ហៅ នៅក្នុងលំដាប់កើនឡើង, ច្រើនទៀតសមាជិកមុន។

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា ន

x ន + 1 >x ន

ឧទាហរណ៍ ៣. លំដាប់នៃលេខធម្មជាតិ

1, 2, 3, … ន, …

គឺ លំដាប់ឡើង.

និយមន័យ 2. លំដាប់លេខ

x 1 , x 2 , … x ន , …

ហៅ លំដាប់ចុះប្រសិនបើសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់នេះ។ តិចសមាជិកមុន។

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា ន= 1, 2, 3, … វិសមភាពគឺពេញចិត្ត

x ន + 1 < x ន

ឧទាហរណ៍ 4 ។ បន្តបន្ទាប់

ផ្តល់ដោយរូបមន្ត

គឺ លំដាប់ចុះ.

ឧទាហរណ៍ 5 ។ លំដាប់លេខ

1, - 1, 1, - 1, …

ផ្តល់ដោយរូបមន្ត

x ន = (- 1) ន , ន = 1, 2, 3, …

គឺមិនមែនទេ។ មិន​កើន​ឬ​ថយ​ចុះលំដាប់។

និយមន័យ 3. ការបង្កើននិងបន្ថយលំដាប់លេខត្រូវបានគេហៅថា លំដាប់ monotonic.

លំដាប់លំដោយ និងគ្មានព្រំដែន

និយមន័យ 4. លំដាប់លេខ

x 1 , x 2 , … x ន , …

ហៅ កំណត់ពីខាងលើ,ប្រសិនបើមានលេខ M ដែលសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់នេះ។ តិចលេខ M

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា ន= 1, 2, 3, … វិសមភាពគឺពេញចិត្ត

និយមន័យ 5. លំដាប់លេខ

x 1 , x 2 , … x ន , …

ហៅ ព្រំដែនខាងក្រោម,ប្រសិនបើមានលេខ m ដែលសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់នេះ។ ច្រើនទៀតលេខ m ។

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា ន= 1, 2, 3, … វិសមភាពគឺពេញចិត្ត

និយមន័យ 6. លំដាប់លេខ

x 1 , x 2 , … x ន , …

ត្រូវបានគេហៅថាមានកំណត់ប្រសិនបើវា មានកំណត់ទាំងខាងលើ និងខាងក្រោម។

និយាយម៉្យាងទៀតមានលេខ M និង m បែបនេះសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ន= 1, 2, 3, … វិសមភាពគឺពេញចិត្ត

ម< x n < M

និយមន័យ 7. លំដាប់លេខនោះ។ មិនត្រូវបានកំណត់, បានហៅ លំដាប់គ្មានដែនកំណត់.

ឧទាហរណ៍ ៦. លំដាប់លេខ

1, 4, 9, … ន 2 , …

ផ្តល់ដោយរូបមន្ត

x ន = ន 2 , ន = 1, 2, 3, … ,

ព្រំដែនខាងក្រោមឧទាហរណ៍ លេខ 0. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ លំដាប់នេះ។ គ្មានដែនកំណត់ពីខាងលើ.

ឧទាហរណ៍ ៧. បន្តបន្ទាប់

ផ្តល់ដោយរូបមន្ត

គឺ លំដាប់មានកំណត់ ពីព្រោះសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា ន= 1, 2, 3, … វិសមភាពគឺពេញចិត្ត

នៅលើគេហទំព័ររបស់យើង អ្នកក៏អាចស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយនឹងសម្ភារៈអប់រំដែលបង្កើតឡើងដោយគ្រូនៃមជ្ឈមណ្ឌលបណ្តុះបណ្តាល Resolventa សម្រាប់ការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡង Unified State និងការប្រឡង Unified State ក្នុងគណិតវិទ្យា។

សម្រាប់​សិស្ស​សាលា​ដែល​ចង់​ត្រៀម​ខ្លួន​ឲ្យ​បាន​ល្អ​និង​ឆ្លង​ផុត ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមក្នុងគណិតវិទ្យាឬភាសារុស្ស៊ីនៅលើ ពិន្ទុខ្ពស់។, មជ្ឈមណ្ឌលបណ្តុះបណ្តាល"Resolventa" ដឹកនាំ

វគ្គត្រៀមសម្រាប់សិស្សសាលាថ្នាក់ទី១០ និងទី១១