ភាពខ្លាំងនៃមុខងារ
និយមន័យ ២
ចំណុច $x_0$ ត្រូវបានគេហៅថាជាចំណុចអតិបរមានៃអនុគមន៍ $f(x)$ ប្រសិនបើមានសង្កាត់នៃចំណុចនេះ ដែលសម្រាប់ $x$ ទាំងអស់នៅក្នុងសង្កាត់នេះ វិសមភាព $f(x)\le f(x_0) $ កាន់។
និយមន័យ ៣
ចំណុច $x_0$ ត្រូវបានគេហៅថាជាចំណុចអតិបរមានៃអនុគមន៍ $f(x)$ ប្រសិនបើមានសង្កាត់នៃចំណុចនេះ ដែលសម្រាប់ $x$ ទាំងអស់នៅក្នុងសង្កាត់នេះ វិសមភាព $f(x)\ge f(x_0) $ កាន់។
គោលគំនិតនៃភាពខ្លាំងនៃមុខងារមួយគឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងគំនិតនៃចំណុចសំខាន់នៃមុខងារមួយ។ ចូរយើងណែនាំនិយមន័យរបស់វា។
និយមន័យ ៤
$x_0$ ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចសំខាន់នៃមុខងារ $f(x)$ ប្រសិនបើ៖
1) $x_0$ - ចំណុចខាងក្នុងដែននៃនិយមន័យ;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ ឬមិនមាន។
សម្រាប់គោលគំនិតនៃភាពជ្រុលនិយម យើងអាចបង្កើតទ្រឹស្តីបទនៅលើគ្រប់គ្រាន់ និង លក្ខខណ្ឌចាំបាច់អត្ថិភាពរបស់គាត់។
ទ្រឹស្តីបទ ២
លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់កម្រិតខ្លាំង
សូមឱ្យចំនុច $x_0$ សំខាន់សម្រាប់មុខងារ $y=f(x)$ ហើយស្ថិតនៅចន្លោះ $(a,b)$ ។ អនុញ្ញាតឱ្យដេរីវេ $f"(x)$ មាននៅលើចន្លោះពេលនីមួយៗ $\left(a,x_0\right)\ និង\(x_0,b)$ ហើយរក្សាទុក សញ្ញាអចិន្រ្តៃយ៍. បន្ទាប់មក៖
1) ប្រសិនបើនៅចន្លោះពេល $(a,x_0)$ ដេរីវេគឺ $f"\left(x\right)>0$ ហើយនៅចន្លោះ $(x_0,b)$ ដេរីវេគឺ $f"\left( x ស្តាំ)
2) ប្រសិនបើចន្លោះពេល $(a,x_0)$ ដេរីវេ $f"\left(x\right)0$ នោះចំនុច $x_0$ គឺជាចំនុចអប្បបរមាសម្រាប់មុខងារនេះ។
3) ប្រសិនបើទាំងពីរនៅលើចន្លោះពេល $(a,x_0)$ និងនៅលើចន្លោះពេល $(x_0,b)$ ដេរីវេ $f"\left(x\right)>0$ ឬដេរីវេ $f"\left(x \ ត្រូវ)
ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 1 ។
រូបភាពទី 1. លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃ extrema
ឧទាហរណ៍នៃភាពជ្រុលនិយម (រូបភាពទី 2) ។
រូបភាពទី 2. ឧទាហរណ៍នៃចំណុចខ្លាំង
ច្បាប់សម្រាប់សិក្សាមុខងារសម្រាប់ជ្រុល
2) ស្វែងរកដេរីវេ $f"(x)$;
7) គូរសេចក្តីសន្និដ្ឋានអំពីវត្តមានរបស់ maxima និង minima លើចន្លោះនីមួយៗ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ 2 ។
បង្កើននិងបន្ថយមុខងារ
ចូរយើងណែនាំពីនិយមន័យនៃមុខងារបង្កើន និងបន្ថយជាមុនសិន។
និយមន័យ ៥
មុខងារ $y=f(x)$ ដែលកំណត់នៅលើចន្លោះពេល $X$ ត្រូវបានគេនិយាយថាកំពុងកើនឡើង ប្រសិនបើសម្រាប់ចំណុចណាមួយ $x_1,x_2\in X$ នៅ $x_1
និយមន័យ ៦
អនុគមន៍ $y=f(x)$ ដែលកំណត់នៅលើចន្លោះពេល $X$ ត្រូវបានគេនិយាយថានឹងថយចុះ ប្រសិនបើសម្រាប់ចំណុចណាមួយ $x_1,x_2\in X$ សម្រាប់ $x_1f(x_2)$ ។
សិក្សាមុខងារសម្រាប់បង្កើននិងបន្ថយ
អ្នកអាចសិក្សាមុខងារបង្កើន និងបន្ថយដោយប្រើដេរីវេ។
ដើម្បីពិនិត្យមើលមុខងារមួយសម្រាប់ចន្លោះពេលនៃការបង្កើន និងបន្ថយ អ្នកត្រូវធ្វើដូចខាងក្រោមៈ
1) ស្វែងរកដែននិយមន័យនៃអនុគមន៍ $f(x)$;
2) ស្វែងរកដេរីវេ $f"(x)$;
3) ស្វែងរកចំនុចដែលសមភាព $f"\left(x\right)=0$ កាន់;
4) ស្វែងរកចំណុចដែល $f"(x)$ មិនមាន;
5) សម្គាល់នៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេរាល់ចំណុចដែលបានរកឃើញ និងដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារនេះ;
6) កំណត់សញ្ញានៃដេរីវេ $f"(x)$ នៅលើចន្លោះលទ្ធផលនីមួយៗ។
7) គូរសេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ នៅចន្លោះពេលដែល $f"\left(x\right)0$ មុខងារកើនឡើង។
ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាសម្រាប់ការសិក្សាមុខងារសម្រាប់ការកើនឡើង ការថយចុះ និងវត្តមាននៃចំណុចជ្រុល
ឧទាហរណ៍ ១
ពិនិត្យមុខងារសម្រាប់បង្កើន និងបន្ថយ និងវត្តមាននៃចំណុចអតិបរមា និងអប្បបរមា៖ $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
ដោយសារ 6 ចំណុចដំបូងគឺដូចគ្នា សូមអនុវត្តវាជាមុនសិន។
1) វិសាលភាព - អ្វីគ្រប់យ៉ាង ចំនួនពិត;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ មាននៅគ្រប់ចំណុចនៃដែននិយមន័យ។
5) បន្ទាត់សំរបសំរួល:
រូបភាពទី 3 ។
6) កំណត់សញ្ញានៃដេរីវេ $f"(x)$ លើចន្លោះនីមួយៗ៖
\ \; .
អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់សញ្ញានៃតម្លៃមុខងារនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។
f(0) = 3, f(0) > 0
f(10) = , f(10) < 0.
ដោយសារអនុគមន៍ថយចុះនៅលើផ្នែក ហើយសញ្ញានៃតម្លៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរ នោះមានមុខងារសូន្យមួយនៅលើផ្នែកនេះ។
ចម្លើយ៖ អនុគមន៍ f(x) កើនឡើងនៅចន្លោះពេល៖ (-∞; 0];
នៅចន្លោះពេលអនុគមន៍មានមុខងារមួយសូន្យ។
2. ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ៖ ពិន្ទុអតិបរមា និងចំណុចអប្បបរមា។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារអតិបរមា។ ច្បាប់សម្រាប់សិក្សាមុខងារសម្រាប់ជ្រុល .
និយមន័យ ១៖ចំណុចដែលនិស្សន្ទវត្ថុគឺសូន្យត្រូវបានគេហៅថា សំខាន់ ឬស្ថានី។
និយមន័យ ២. ចំណុចមួយត្រូវបានគេហៅថាអប្បបរមា (អតិបរមា) នៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះតិចជាង (ធំជាង) តម្លៃជិតបំផុតនៃអនុគមន៍។
វាគួរតែត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងចិត្តថាអតិបរមានិងអប្បបរមានៅក្នុង ក្នុងករណីនេះក្នុងស្រុក។
នៅក្នុងរូបភព។ 1. អតិបរមាក្នុងស្រុក និង minima ត្រូវបានបង្ហាញ។
មុខងារអតិបរមា និងអប្បបរមាត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា ឈ្មោះទូទៅ៖ មុខងារខ្លាំងបំផុត។ទ្រឹស្តីបទ ១.(សញ្ញាចាំបាច់នៃអត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំង) ។ ប្រសិនបើមុខងារខុសគ្នាត្រង់ចំណុចមួយមានអតិបរមា ឬអប្បបរមានៅចំណុចនេះ នោះដេរីវេរបស់វានៅបាត់។
ទ្រឹស្តីបទ ២.(សញ្ញាគ្រប់គ្រាន់នៃអត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត)។ ប្រសិនបើ មុខងារបន្តមានដេរីវេនៅគ្រប់ចំណុចនៃចន្លោះពេលខ្លះដែលមានចំណុចសំខាន់ (ដោយមានករណីលើកលែងដែលអាចកើតមាននៃចំណុចនេះ) និង ប្រសិនបើនិស្សន្ទវត្ថុ នៅពេលដែលអាគុយម៉ង់ឆ្លងកាត់ពីឆ្វេងទៅស្តាំតាមរយៈចំណុចសំខាន់ ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក បន្ទាប់មកមុខងារនៅចំណុចនេះមានអតិបរមា ហើយនៅពេលដែលសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរពីដកទៅបូក វាមានអប្បបរមា។
"បង្កើននិងបន្ថយមុខងារ"
គោលបំណងនៃមេរៀន៖
1. រៀនស្វែងរកចន្លោះពេលនៃភាពឯកកោ។
2. ការអភិវឌ្ឍន៍សមត្ថភាពនៃការគិតដែលធានានូវការវិភាគស្ថានភាព និងការអភិវឌ្ឍន៍នៃវិធីសាស្រ្តសកម្មភាពគ្រប់គ្រាន់ (ការវិភាគ សំយោគ ការប្រៀបធៀប)។
3. បង្កើតចំណាប់អារម្មណ៍លើប្រធានបទ។
វឌ្ឍនភាពមេរៀនថ្ងៃនេះយើងបន្តសិក្សាអំពីការអនុវត្តនៃដេរីវេ និងពិចារណាសំណួរនៃការអនុវត្តរបស់វាចំពោះការសិក្សាមុខងារ។ ការងារខាងមុខ
ឥឡូវនេះ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យមួយចំនួនចំពោះលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារ "Brainstorm"។
1. ដូចម្តេចដែលហៅថាមុខងារ?
2. តើអថេរ X មានឈ្មោះអ្វី?
3. តើអថេរ Y មានឈ្មោះអ្វី?
4. តើដែននៃមុខងារគឺជាអ្វី?
5. តើអ្វីទៅជាសំណុំតម្លៃនៃអនុគមន៍មួយ?
6. តើមុខងារមួយណាដែលហៅថាគូ?
7. តើមុខងារមួយណាដែលហៅថាសេស?
8. តើអ្នកអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពីក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គូ?
9. តើអ្នកអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពីក្រាហ្វនៃមុខងារសេស?
10. តើមុខងារអ្វីទៅដែលហៅថាការបង្កើន?
11. តើមុខងារមួយណាដែលហៅថា បន្ថយ?
12. តើមុខងារមួយណាត្រូវបានគេហៅថាតាមកាលកំណត់?
គណិតវិទ្យាគឺជាការសិក្សាអំពីគំរូគណិតវិទ្យា។ មួយក្នុងចំណោមសំខាន់បំផុត គំរូគណិតវិទ្យាគឺជាមុខងារមួយ។ មាន វិធីផ្សេងគ្នាការពិពណ៌នាអំពីមុខងារ។ តើមួយណាច្បាស់ជាងគេ?
- ក្រាហ្វិក។
- របៀបបង្កើតក្រាហ្វ?
- ចំណុចដោយចំណុច។
វិធីសាស្រ្តនេះគឺសមរម្យប្រសិនបើអ្នកដឹងជាមុននូវអ្វីដែលក្រាហ្វប្រហែលមើលទៅ។ ឧទាហរណ៍តើអ្វីជាក្រាហ្វ មុខងារបួនជ្រុង, មុខងារលីនេអ៊ែរ, សមាមាត្របញ្ច្រាស, មុខងារ y = sinx? (រូបមន្តដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានបង្ហាញ សិស្សដាក់ឈ្មោះខ្សែកោងដែលជាក្រាហ្វ។ )
ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើអ្នកត្រូវរៀបចំក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ ឬកាន់តែស្មុគស្មាញ? អ្នកអាចរកឃើញចំណុចជាច្រើន ប៉ុន្តែតើមុខងារមានឥរិយាបទរវាងចំណុចទាំងនេះយ៉ាងដូចម្តេច?
ដាក់ចំណុចពីរនៅលើក្ដារខៀន ហើយសុំឱ្យសិស្សបង្ហាញពីអ្វីដែលក្រាហ្វ “រវាងពួកគេ” អាចមើលទៅដូចជា៖
ដេរីវេរបស់វាជួយអ្នកស្វែងយល់ពីរបៀបដែលមុខងារមួយមានឥរិយាបទ។
បើកសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក សរសេរលេខ ការងារល្អណាស់។
គោលបំណងនៃមេរៀន៖ រៀនពីរបៀបដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយទាក់ទងនឹងក្រាហ្វនៃដេរីវេរបស់វា ហើយរៀនដោះស្រាយបញ្ហាពីរប្រភេទ៖
1. ដោយប្រើក្រាហ្វដេរីវេ ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារខ្លួនវា ក៏ដូចជាចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍។
2. ដោយប្រើគ្រោងការណ៍នៃសញ្ញាដេរីវេនៅលើចន្លោះពេល ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារខ្លួនវា ក៏ដូចជាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ។
កិច្ចការស្រដៀងគ្នានេះមិនមាននៅក្នុងសៀវភៅសិក្សារបស់យើងទេ ប៉ុន្តែត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការធ្វើតេស្តដូចគ្នា។ ការប្រឡងរដ្ឋ(ផ្នែក A និង B) ។
ថ្ងៃនេះនៅក្នុងមេរៀនយើងនឹងពិនិត្យមើលធាតុតូចមួយនៃការងារនៃដំណាក់កាលទីពីរនៃការសិក្សាដំណើរការការសិក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិមួយនៃមុខងារ - កំណត់ចន្លោះពេលនៃ monotonicity
ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ យើងត្រូវរំលឹកឡើងវិញនូវបញ្ហាមួយចំនួនដែលបានពិភាក្សាពីមុន។
ដូច្នេះ ចូរយើងសរសេរប្រធានបទនៃមេរៀនថ្ងៃនេះ៖ សញ្ញានៃការកើនឡើង និងបន្ថយមុខងារ។
សញ្ញានៃការកើនឡើង និងបន្ថយមុខងារ៖
ប្រសិនបើដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺវិជ្ជមានសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ក្នុងចន្លោះពេល (a; b) ពោលគឺ f"(x) > 0 នោះមុខងារនឹងកើនឡើងនៅក្នុងចន្លោះពេលនេះ។
ប្រសិនបើដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺអវិជ្ជមានសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ក្នុងចន្លោះពេល (a; b) ពោលគឺ f"(x)< 0, то функция в этом интервале убывает
លំដាប់នៃការស្វែងរកចន្លោះពេលនៃ monotonicity:
ស្វែងរកដែននិយមន័យនៃមុខងារ។
1. ស្វែងរកដេរីវេដំបូងនៃមុខងារ។
2. សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯងនៅលើក្តារ
ស្វែងរក ចំណុចសំខាន់ស៊ើបអង្កេតសញ្ញានៃដេរីវេទី 1 ក្នុងចន្លោះពេលដែលចំណុចសំខាន់ៗដែលបានរកឃើញបែងចែកដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍។ ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃមុខងារ monotonicity៖
ក) និយមន័យនៃដែន
ខ) ស្វែងរកដេរីវេទីមួយ៖
គ) ស្វែងរកចំណុចសំខាន់៖ , និង
3. យើងពិនិត្យមើលសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងចន្លោះលទ្ធផល ហើយបង្ហាញដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ជាតារាង។
ចង្អុលទៅចំណុចខ្លាំង
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការសិក្សាមុខងារសម្រាប់បង្កើន និងបន្ថយ។
លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃអតិបរិមាគឺត្រូវផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃដេរីវេនៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចសំខាន់ពី "+" ទៅ "-" និងសម្រាប់អប្បបរមាពី "-" ទៅ "+" ។ ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចសំខាន់ សញ្ញានៃដេរីវេមិនផ្លាស់ប្តូរ នោះគ្មានចំណុចខ្លាំងទេ
1. រក D(f)។
2. រក f"(x)។
3. ស្វែងរក ចំណុចស្ថានី, i.e. ចំនុចដែល f"(x) = 0 ឬ f"(x) មិនមាន។
(ដេរីវេគឺ 0 នៅសូន្យនៃភាគយក ដេរីវេមិនមាននៅសូន្យនៃភាគបែងទេ)
4. ដាក់ D(f) និងចំណុចទាំងនេះនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ។
5. កំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៅចន្លោះពេលនីមួយៗ
6. អនុវត្តសញ្ញា។
7. សរសេរចម្លើយ។
ការបង្រួបបង្រួមនៃសម្ភារៈថ្មី។
សិស្សធ្វើការជាគូ ហើយសរសេរដំណោះស្រាយនៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់ពួកគេ។
ក) y = x³ − 6 x² + 9 x − 9;
ខ) y = 3 x² − 5x + 4 ។
មនុស្សពីរនាក់កំពុងធ្វើការនៅក្រុមប្រឹក្សាភិបាល។
ក) y = 2 x³ − 3 x² − 36 x + 40
ខ) y = x4-2 x³
3. សង្ខេបមេរៀន
កិច្ចការផ្ទះ៖ តេស្ត (ខុសគ្នា)
ដេរីវេ។ ប្រសិនបើដេរីវេនៃអនុគមន៍មានភាពវិជ្ជមានសម្រាប់ចំណុចណាមួយក្នុងចន្លោះពេល នោះមុខងារនឹងកើនឡើង ប្រសិនបើវាអវិជ្ជមាន វាថយចុះ។
ដើម្បីស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងបន្ថយនៃអនុគមន៍ អ្នកត្រូវស្វែងរកដែននៃនិយមន័យ ដេរីវេ ដោះស្រាយវិសមភាពនៃទម្រង់ F'(x) > 0 និង F'(x)
ដំណោះស្រាយ។
3. ដោះស្រាយវិសមភាព y'> 0 និង y'0;
(4 - x)/x³
ដំណោះស្រាយ។
1. ចូរយើងស្វែងរកដែននិយមន័យនៃអនុគមន៍។ ជាក់ស្តែង កន្សោមនៅក្នុងភាគបែងត្រូវតែខុសពីសូន្យជានិច្ច។ ដូច្នេះ 0 ត្រូវបានដកចេញពីដែននៃនិយមន័យ៖ មុខងារត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞) ។
2. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍៖
y'(x) = ((3 x² + 2 x − 4)' x² − (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² − (3 x²) + 2 x − 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 - x)/x³ ។
3. ដោះស្រាយវិសមភាព y'> 0 និង y'0;
(4 - x)/x³
4. ផ្នែកខាងឆ្វេងវិសមភាពមាន x = 4 ពិតប្រាកដមួយ ហើយប្រែទៅជា x = 0 ។ ដូច្នេះតម្លៃ x = 4 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលទាំងចន្លោះពេល និងចន្លោះពេលថយចុះ ហើយចំនុច 0 មិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលទេ។
ដូច្នេះ មុខងារដែលត្រូវការកើនឡើងនៅលើចន្លោះ x ∈ (-∞; 0) ∪ ។
4. ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាពមានមួយ x = 4 ហើយងាកទៅ x = 0 ។ ដូច្នេះតម្លៃ x = 4 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលទាំងចន្លោះពេល និងចន្លោះពេលថយចុះ ហើយចំនុច 0 មិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលទេ។
ដូច្នេះ មុខងារដែលត្រូវការកើនឡើងនៅលើចន្លោះ x ∈ (-∞; 0) ∪ ។
ប្រភព៖
- របៀបស្វែងរកចន្លោះពេលកាត់បន្ថយនៅលើអនុគមន៍
អនុគមន៍តំណាងឱ្យការពឹងផ្អែកយ៉ាងតឹងរឹងនៃលេខមួយទៅលេខមួយទៀត ឬតម្លៃនៃអនុគមន៍ (y) លើអាគុយម៉ង់ (x) ។ ដំណើរការនីមួយៗ (មិនត្រឹមតែនៅក្នុងគណិតវិទ្យា) អាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយមុខងាររបស់វាផ្ទាល់ដែលនឹងមាន លក្ខណៈ៖ ចន្លោះពេលនៃការថយចុះ និងការកើនឡើង ចំណុចអប្បបរមា និងអតិបរមា។ល។
អ្នកនឹងត្រូវការ
- - ក្រដាស;
- - ប៊ិច។
សេចក្តីណែនាំ
ឧទាហរណ៍ ២.
ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការថយចុះ f(x) = sinx + x ។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះនឹងស្មើនឹង៖ f'(x)=cosx+1។
ការដោះស្រាយវិសមភាព cosx+1
ចន្លោះពេល ឯកោអនុគមន៍អាចត្រូវបានគេហៅថាចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍គ្រាន់តែបង្កើនឬថយចុះ។ ជួរ សកម្មភាពជាក់លាក់នឹងជួយអ្នកស្វែងរកជួរបែបនេះសម្រាប់មុខងារមួយ ដែលជារឿយៗត្រូវបានទាមទារនៅក្នុងបញ្ហាពិជគណិតនៃប្រភេទនេះ។
សេចក្តីណែនាំ
ជំហានដំបូងក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៃការកំណត់ចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍មួយបង្កើន ឬថយចុះជាឯកតាគឺត្រូវគណនាមុខងារនេះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមស្វែងរកតម្លៃអាគុយម៉ង់ទាំងអស់ (តម្លៃតាមអ័ក្ស x) ដែលអ្នកអាចស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍។ សម្គាល់ចំណុចដែលការមិនបន្តត្រូវបានអង្កេត។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។ នៅពេលដែលអ្នកបានកំណត់កន្សោមដែលតំណាងឱ្យនិស្សន្ទវត្ថុ សូមកំណត់វាឱ្យស្មើសូន្យ។ បន្ទាប់ពីនេះអ្នកគួរតែស្វែងរកឫសនៃលទ្ធផល។ មិនមែនអំពីតំបន់ដែលអនុញ្ញាត។
ចំនុចដែលអនុគមន៍ ឬដេរីវេរបស់វាស្មើនឹងសូន្យតំណាងឱ្យព្រំដែននៃចន្លោះពេល ឯកោ. ជួរទាំងនេះ ក៏ដូចជាចំណុចដែលបំបែកពួកវា គួរតែត្រូវបានបញ្ចូលជាបន្តបន្ទាប់ទៅក្នុងតារាង។ ស្វែងរកសញ្ញានៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ក្នុងចន្លោះលទ្ធផល។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ជំនួសអាគុយម៉ង់ណាមួយពីចន្លោះពេលទៅក្នុងកន្សោមដែលត្រូវគ្នានឹងដេរីវេ។ ប្រសិនបើលទ្ធផលគឺវិជ្ជមាន មុខងារនៅក្នុងជួរនេះកើនឡើង បើមិនដូច្នេះទេ វាថយចុះ។ លទ្ធផលត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងតារាង។
នៅក្នុងបន្ទាត់ដែលបង្ហាញពីដេរីវេនៃអនុគមន៍ f'(x) តម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអាគុយម៉ង់ត្រូវបានសរសេរ៖ "+" - ប្រសិនបើដេរីវេគឺវិជ្ជមាន "-" - អវិជ្ជមាន ឬ "0" - ស្មើនឹងសូន្យ។ នៅក្នុងជួរបន្ទាប់ សូមកត់ចំណាំពីឯកតានៃកន្សោមដើមខ្លួនវាផ្ទាល់។ ព្រួញឡើងលើត្រូវនឹងការកើនឡើង ហើយព្រួញចុះក្រោមត្រូវនឹងការថយចុះ។ ពិនិត្យមុខងារ។ ទាំងនេះគឺជាចំណុចដែលនិស្សន្ទវត្ថុគឺសូន្យ។ ភាពខ្លាំងអាចជាចំណុចអតិបរមា ឬចំណុចអប្បបរមា។ ប្រសិនបើផ្នែកមុននៃមុខងារកើនឡើង ហើយផ្នែកបច្ចុប្បន្នមានការថយចុះ នេះគឺជាចំណុចអតិបរមា។ ក្នុងករណីនៅពេលដែលមុខងារត្រូវបានថយចុះមុនចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយឥឡូវនេះវាកំពុងកើនឡើង នេះគឺជាចំណុចអប្បបរមា។ បញ្ចូលតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចខ្លាំងទៅក្នុងតារាង។
ប្រភព៖
- តើអ្វីទៅជានិយមន័យនៃ monotony
ឥរិយាបថនៃអនុគមន៍ដែលមានការពឹងផ្អែកស្មុគស្មាញលើអាគុយម៉ង់មួយត្រូវបានសិក្សាដោយប្រើដេរីវេ។ ដោយធម្មជាតិនៃការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងដេរីវេ អ្នកអាចរកឃើញចំណុចសំខាន់ និងតំបន់នៃការលូតលាស់ ឬការថយចុះនៃមុខងារ។
ដើម្បីកំណត់លក្ខណៈនៃមុខងារមួយ ហើយនិយាយអំពីអាកប្បកិរិយារបស់វា ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងថយចុះ។ ដំណើរការនេះត្រូវបានគេហៅថា ការស្រាវជ្រាវមុខងារ និងក្រាហ្វិច។ ចំណុចខ្លាំងត្រូវបានប្រើនៅពេលស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ ដោយហេតុថានៅពួកវាមុខងារកើនឡើង ឬថយចុះពីចន្លោះពេល។
អត្ថបទនេះបង្ហាញពីនិយមន័យ បង្កើតសញ្ញាគ្រប់គ្រាន់នៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៅចន្លោះពេល និងលក្ខខណ្ឌសម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម។ នេះអនុវត្តចំពោះការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងបញ្ហានានា។ ផ្នែកស្តីពីមុខងារផ្សេងគ្នាគួរតែត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត ពីព្រោះដំណោះស្រាយនឹងត្រូវប្រើការស្វែងរកដេរីវេ។
Yandex.RTB R-A-339285-1 និយមន័យ 1
អនុគមន៍ y = f (x) នឹងកើនឡើងនៅចន្លោះពេល x នៅពេលដែលសម្រាប់ x 1 ∈ X និង x 2 ∈ X, x 2 > x 1 វិសមភាព f (x 2) > f (x 1) ត្រូវបានពេញចិត្ត។ ម្យ៉ាងទៀត តម្លៃខ្ពស់ជាងអាគុយម៉ង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃធំជាងនៃមុខងារ។
និយមន័យ ២
អនុគមន៍ y = f (x) ត្រូវបានចាត់ទុកថាមានការថយចុះនៅចន្លោះពេល x នៅពេលដែលសម្រាប់ x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, សមភាព f (x 2) > f (x 1) ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការពិត។ ម្យ៉ាងវិញទៀត តម្លៃមុខងារធំជាង ត្រូវនឹងតម្លៃអាគុយម៉ង់តូចជាង។ ពិចារណារូបភាពខាងក្រោម។
មតិយោបល់៖ នៅពេលដែលមុខងារត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងថយចុះ នោះគឺជា (a; b) ដែល x = a, x = b ចំនុចត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលនៃការបង្កើន និងបន្ថយ។ នេះមិនផ្ទុយនឹងនិយមន័យទេ វាមានន័យថាវាកើតឡើងនៅលើចន្លោះ x ។
លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន មុខងារបឋមប្រភេទ y = sin x – ភាពជាក់លាក់ និងបន្តនៅ តម្លៃពិតអាគុយម៉ង់។ ពីទីនេះយើងទទួលបានថាស៊ីនុសកើនឡើងក្នុងចន្លោះពេល - π 2; π 2 បន្ទាប់មកការកើនឡើងនៅលើផ្នែកមានទម្រង់ - π 2; π ២.
និយមន័យ ៣ចំណុច x 0 ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចអតិបរមាសម្រាប់អនុគមន៍ y = f (x) នៅពេលដែលតម្លៃទាំងអស់នៃ x វិសមភាព f (x 0) ≥ f (x) មានសុពលភាព។ មុខងារអតិបរមាគឺជាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ ហើយត្រូវបានតាងដោយ y m a x ។
ចំនុច x 0 ត្រូវបានគេហៅថាចំនុចអប្បបរមាសម្រាប់អនុគមន៍ y = f (x) នៅពេលដែលសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x វិសមភាព f (x 0) ≤ f (x) មានសុពលភាព។ មុខងារអប្បបរមាគឺជាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ ហើយមានការកំណត់ទម្រង់ y m i n ។
អ្នកជិតខាងនៃចំណុច x 0 ត្រូវបានពិចារណា ចំណុចខ្លាំង,និងតម្លៃនៃមុខងារដែលត្រូវគ្នានឹងចំណុចខ្លាំង។ ពិចារណារូបភាពខាងក្រោម។
Extrema នៃមុខងារដែលមានធំបំផុតនិងជាមួយ តម្លៃទាបបំផុត។មុខងារ។ ពិចារណារូបភាពខាងក្រោម។
រូបភាពទីមួយបង្ហាញពីអ្វីដែលអ្នកត្រូវស្វែងរក តម្លៃខ្ពស់បំផុតមុខងារពីផ្នែក [a; ខ ]។ វាត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើពិន្ទុអតិបរមា និងស្មើ តម្លៃអតិបរមាមុខងារ ហើយតួលេខទីពីរគឺដូចជាការស្វែងរកចំណុចអតិបរមានៅ x = b ។
លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់មុខងារបង្កើន និងបន្ថយ
ដើម្បីស្វែងរកអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ ចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តសញ្ញានៃភាពជ្រុលនិយម ក្នុងករណីដែលមុខងារបំពេញលក្ខខណ្ឌទាំងនេះ។ សញ្ញាដំបូងត្រូវបានចាត់ទុកថាប្រើញឹកញាប់បំផុត។
លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ដំបូងសម្រាប់ការជ្រុល
និយមន័យ ៤អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f (x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលមានភាពខុសប្លែកគ្នានៅក្នុងសង្កាត់ ε នៃចំនុច x 0 និងមានការបន្តនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ x 0 ។ ពីទីនេះយើងទទួលបានវា។
- នៅពេល f " (x) > 0 ជាមួយ x ∈ (x 0 - ε ; x 0) និង f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
- នៅពេល f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 សម្រាប់ x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) បន្ទាប់មក x 0 គឺជាចំណុចអប្បបរមា។
ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងទទួលបានលក្ខខណ្ឌរបស់ពួកគេសម្រាប់កំណត់សញ្ញា៖
- នៅពេលដែលមុខងារបន្តនៅចំណុច x 0 បន្ទាប់មកវាមានដេរីវេដែលមានសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរ នោះគឺពី + ទៅ - ដែលមានន័យថាចំណុចត្រូវបានគេហៅថាអតិបរមា។
- នៅពេលដែលមុខងារបន្តនៅចំណុច x 0 នោះវាមានដេរីវេដែលមានសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរពី - ទៅ + ដែលមានន័យថាចំណុចត្រូវបានគេហៅថាអប្បបរមា។
ដើម្បីកំណត់ឱ្យបានត្រឹមត្រូវនូវចំណុចអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ អ្នកត្រូវតែអនុវត្តតាមក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកពួកវា៖
- ស្វែងរកដែននៃនិយមន័យ;
- ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារនៅលើតំបន់នេះ;
- កំណត់លេខសូន្យ និងចំណុចដែលមុខងារមិនមាន។
- កំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៅចន្លោះពេល;
- ជ្រើសរើសចំណុចដែលមុខងារផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។
ចូរយើងពិចារណាក្បួនដោះស្រាយដោយដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃការស្វែងរក extrema នៃអនុគមន៍មួយ។
ឧទាហរណ៍ ១
ស្វែងរកពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមា មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ y = 2 (x + 1) 2 x − 2 ។
ដំណោះស្រាយ
ដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍នេះគឺជាចំនួនពិតទាំងអស់ លើកលែងតែ x = 2 ។ ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ ហើយទទួលបាន៖
y " = 2 x + 1 2 x − 2 " = 2 x + 1 2 " (x − 2) - (x + 1) 2 (x − 2) " (x − 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x − 2) - (x + 1) 2 1 (x − 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x − 2) - (x + 2) 2 (x − 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x − 5) (x − 2) 2
ពីទីនេះយើងឃើញថាលេខសូន្យនៃអនុគមន៍គឺ x = − 1, x = 5, x = 2 ពោលគឺ តង្កៀបនីមួយៗត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ។ ចូរសម្គាល់វានៅលើអ័ក្សលេខ ហើយទទួលបាន៖
ឥឡូវនេះយើងកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេពីចន្លោះពេលនីមួយៗ។ វាចាំបាច់ក្នុងការជ្រើសរើសចំណុចមួយដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងចន្លោះពេលហើយជំនួសវាទៅក្នុងកន្សោម។ ឧទាហរណ៍ ពិន្ទុ x = − 2, x = 0, x = 3, x = 6 ។
យើងទទួលបាននោះ។
y " ( − 2 ) = 2 · ( x + 1 ) · ( x − 5 ) ( x − 2 ) 2 x = − 2 = 2 · ( − 2 + 1 ) · ( − 2 − 5 ) ( − 2 − 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0 ដែលមានន័យថា ចន្លោះពេល - ∞ - 1 មានដេរីវេវិជ្ជមាន ស្រដៀងគ្នាដែរ យើងរកឃើញនោះ។
y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0
ដោយសារចន្លោះពេលទីពីរប្រែទៅជាតិចជាងសូន្យ វាមានន័យថាដេរីវេនៅចន្លោះពេលនឹងមានអវិជ្ជមាន។ ទីបីជាមួយដកមួយ ទីបួនជាមួយបូក។ ដើម្បីកំណត់ភាពបន្ត អ្នកត្រូវយកចិត្តទុកដាក់លើសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ ប្រសិនបើវាផ្លាស់ប្តូរ នោះគឺជាចំណុចខ្លាំង។
យើងឃើញថានៅចំណុច x = − 1 មុខងារនឹងបន្ត ដែលមានន័យថាដេរីវេនឹងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី + ទៅ - ។ យោងតាមសញ្ញាទីមួយ យើងមានថា x = − 1 គឺជាចំណុចអតិបរមា ដែលមានន័យថាយើងទទួលបាន
y m a x = y ( − 1 ) = 2 ( x + 1 ) 2 x − 2 x = − 1 = 2 ( − 1 + 1 ) 2 − 1 − 2 = 0
ចំនុច x = 5 បង្ហាញថាមុខងារបន្ត ហើយដេរីវេនឹងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី – ទៅ + ។ នេះមានន័យថា x = -1 គឺជាចំណុចអប្បបរមា ហើយការកំណត់របស់វាមានទម្រង់
y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x − 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 − 2 = 24
រូបភាពក្រាហ្វិក
ចម្លើយ៖ y m a x = y (− 1) = 0, y m i n = y (5) = 24 ។
វាគួរអោយយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះការពិតដែលថាការប្រើប្រាស់លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ដំបូងសម្រាប់ភាពខ្លាំងមិនតម្រូវឱ្យមានមុខងារអាចខុសគ្នានៅចំណុច x 0 ដែលធ្វើអោយការគណនាមានភាពសាមញ្ញ។
ឧទាហរណ៍ ២
រកចំណុចអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x − 8 ។
ដំណោះស្រាយ។
ដែននៃអនុគមន៍គឺជាចំនួនពិតទាំងអស់។ នេះអាចត្រូវបានសរសេរជាប្រព័ន្ធនៃសមីការនៃទម្រង់៖
1 6 x 3 − 2 x 2 − 22 3 x − 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0
បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវស្វែងរកដេរីវេ៖
y" = 1 6 x 3 − 2 x 2 − 22 3 x − 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = − 1 2 x 2 − 4 x − 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0
ចំនុច x = 0 មិនមានដេរីវេទេ ព្រោះតម្លៃនៃដែនកំណត់ម្ខាងគឺខុសគ្នា។ យើងទទួលបានវា៖
lim y" x → 0 − 0 = lim y x → 0 − 0 − 1 2 x 2 − 4 x − 22 3 = − 1 2 (0 − 0) 2 − 4 (0 − 0) − 22 3 = − 22 3 lim y" x → 0 + 0 = lim y x → 0 − 0 1 2 x 2 − 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 − 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3
វាធ្វើតាមមុខងារបន្តនៅចំណុច x = 0 បន្ទាប់មកយើងគណនា
lim y x → 0 − 0 = lim x → 0 − 0 − 1 6 x 3 − 2 x 2 − 22 3 x − 8 = = − 1 6 · (0 − 0) 3 − 2 · (0 − 0) 2 − 22 3 (0 − 0) − 8 = − 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 − 0 1 6 x 3 − 2 x 2 + 22 3 x − 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 − 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) − 8 = − 8 y (0) = 1 6 x 3 − 2 x 2 + 22 3 x − 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 − 2 0 2 + 22 3 0 − 8 = − 8
វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើការគណនាដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់នៅពេលដែលដេរីវេបានក្លាយទៅជា ស្មើនឹងសូន្យ:
1 2 x 2 − 4 x − 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0
1 2 x 2 − 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 − 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 − 4 3 2 1 2 = 4 − 2 3 3 > 0
ចំណុចដែលទទួលបានទាំងអស់ត្រូវតែត្រូវបានសម្គាល់នៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយដើម្បីកំណត់សញ្ញានៃចន្លោះពេលនីមួយៗ។ ដូច្នេះចាំបាច់ត្រូវគណនាដេរីវេនៅក្នុង ចំណុចបំពាននៅចន្លោះពេលនីមួយៗ។ ឧទាហរណ៍ យើងអាចយកចំនុចដែលមានតម្លៃ x = − 6, x = − 4, x = − 1, x = 1, x = 4, x = 6 ។ យើងទទួលបាននោះ។
y " (− 6) = − 1 2 x 2 − 4 x − 22 3 x = − 6 = − 1 2 · - 6 2 − 4 · (− 6) − 22 3 = − 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y” (− 1) = − 1 2 x 2 − 4 x − 22 3 x = − 1 = − 1 2 (− 1) 2 − 4 (− 1) − 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y” (4) = 1 2 x 2 − 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 − 4 4 + 22 3 = − 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0
រូបភាពនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មើលទៅដូច
នេះមានន័យថាយើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថាវាចាំបាច់ដើម្បីងាកទៅរកសញ្ញាដំបូងនៃភាពជ្រុលនិយម។ ចូរយើងគណនានិងរកឃើញនោះ។
x = − 4 − 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 បន្ទាប់មកពីទីនេះ ចំនុចអតិបរមាមានតម្លៃ x = − 4 + 2 3 3 , x = 4 − 2 3 3
ចូរបន្តទៅការគណនាអប្បបរមា៖
y m i n = y − 4 − 2 3 3 = 1 6 x 3 − 2 2 + 22 3 x − 8 x = − 4 − 2 3 3 = − 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 − 2 2 + 22 3 x − 8 x = 0 = − 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 − 2 2 + 22 3 x − 8 x = 4 + 2 3 3 = − 8 27 3
ចូរយើងគណនាអតិបរមានៃអនុគមន៍។ យើងទទួលបាននោះ។
y m a x = y − 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 − 2 2 + 22 3 x − 8 x = − 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 − 2 3 3 = 1 6 x 3 − 2 2 + 22 3 x − 8 x = 4 − 2 3 3 = 8 27 3
រូបភាពក្រាហ្វិក
ចម្លើយ៖
y m i n = y − 4 − 2 3 3 = − 8 27 3 y m i n = y (0) = − 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = − 8 27 3 y m a x = y − 4 + 2 3 3 = 8 27 x 3 y m a = y 4 − 2 3 3 = 8 27 ៣
ប្រសិនបើអនុគមន៍ f "(x 0) = 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះប្រសិនបើ f "" (x 0) > 0 យើងទទួលបាន x 0 គឺជាចំណុចអប្បបរមា ប្រសិនបើ f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .
ឧទាហរណ៍ ៣
ស្វែងរកអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ y = 8 x x + 1 ។
ដំណោះស្រាយ
ដំបូងយើងរកឃើញដែននៃនិយមន័យ។ យើងទទួលបាននោះ។
D(y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0
វាចាំបាច់ក្នុងការបែងចែកមុខងារបន្ទាប់ពីនោះយើងទទួលបាន
y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 − 2 x (x + 1) 2 x = 4 − x + 1 (x + 1) 2 x
នៅ x = 1 ដេរីវេក្លាយជាសូន្យ ដែលមានន័យថា ចំណុចគឺអតិបរមាដែលអាចកើតមាន។ ដើម្បីបញ្ជាក់ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដេរីវេទី 2 ហើយគណនាតម្លៃនៅ x = 1 ។ យើងទទួលបាន៖
y "" = 4 − x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x − (- x + 1) x + 1 2 x " ( x + 1) 4 x = = 4 (− 1) (x + 1) 2 x − (- x + 1) x + 1 2 "x + (x + 1) 2 x" (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x − (− x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 − 6 x − 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 − 6 1 − 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · − 4 8 = − 1< 0
នេះមានន័យថាដោយប្រើលក្ខខណ្ឌ 2 គ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពខ្លាំងមួយ យើងទទួលបានថា x = 1 គឺជាចំណុចអតិបរមា។ បើមិនដូច្នេះទេ ធាតុចូលមើលទៅ y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 ។
រូបភាពក្រាហ្វិក
ចម្លើយ៖ y m a x = y (1) = 4 ..
និយមន័យ ៥អនុគមន៍ y = f (x) មានដេរីវេរបស់វារហូតដល់លំដាប់ទី n នៅក្នុងសង្កាត់ ε ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ x 0 និងដេរីវេរហូតដល់ n + លំដាប់ទី 1 នៅចំណុច x 0 ។ បន្ទាប់មក f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 ។
វាកើតឡើងថានៅពេលដែល n ជាលេខគូ នោះ x 0 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំនុចបញ្ឆេះ នៅពេលដែល n ជាលេខសេស បន្ទាប់មក x 0 គឺជាចំនុចខ្លាំង ហើយ f (n + 1) (x 0) > 0 បន្ទាប់មក x 0 គឺជាចំណុចអប្បបរមា f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.
ឧទាហរណ៍ 4
រកចំណុចអតិបរិមា និងអប្បរមានៃអនុគមន៍ y y = 1 16 (x + 1) 3 (x − 3) ៤.
ដំណោះស្រាយ
អនុគមន៍ដើមគឺជាអនុគមន៍ទាំងមូលសមហេតុផល ដែលមានន័យថា ដែននៃនិយមន័យគឺជាចំនួនពិតទាំងអស់។ វាចាំបាច់ក្នុងការបែងចែកមុខងារ។ យើងទទួលបាននោះ។
y " = 1 16 x + 1 3 " (x − 3) 4 + (x + 1) 3 x − 3 4" = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x − 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x − 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x − 3) 3 (3 x − 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x − 3) 3 (7 x - 5)
ដេរីវេនេះនឹងទៅសូន្យនៅ x 1 = − 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3 ។ នោះគឺពិន្ទុអាចជាចំណុចខ្លាំងបំផុត។ វាចាំបាច់ដើម្បីអនុវត្តលក្ខខណ្ឌទីបីគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អវយវៈ។ ការស្វែងរកដេរីវេទី 2 អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់យ៉ាងត្រឹមត្រូវនូវវត្តមាននៃមុខងារអតិបរមា និងអប្បបរមា។ ដេរីវេទី 2 ត្រូវបានគណនាតាមចំនុចដែលអាចធ្វើទៅបាន។ យើងទទួលបាននោះ។
y "" = 1 16 x + 1 2 (x − 3) 3 (7 x − 5) " = 1 8 (x + 1) (x − 3) 2 (21 x 2 − 30 x − 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = − 36864 2401< 0 y "" (3) = 0
នេះមានន័យថា x 2 = 5 7 គឺជាចំណុចអតិបរមា។ អនុវត្តលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ទី 3 យើងរកឃើញថាសម្រាប់ n = 1 និង f (n + 1) 5 7< 0 .
វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់លក្ខណៈនៃចំនុច x 1 = − 1, x 3 = 3 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវស្វែងរកដេរីវេទី 3 ហើយគណនាតម្លៃនៅចំណុចទាំងនេះ។ យើងទទួលបាននោះ។
y " " " = 1 8 (x + 1) (x − 3) 2 (21 x 2 − 30 x − 3) " = = 1 8 (x − 3) (105 x 3 − 225 x 2 − 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0
នេះមានន័យថា x 1 = − 1 គឺជាចំនុចបញ្ឆេះនៃអនុគមន៍ ព្រោះសម្រាប់ n = 2 និង f (n + 1) (- 1) ≠ 0 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស៊ើបអង្កេតចំណុច x 3 = 3 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញដេរីវេទី 4 ហើយអនុវត្តការគណនានៅចំណុចនេះ:
y (4) = 1 8 (x − 3) (105 x 3 − 225 x 2 − 45 x + 93)” = = 1 2 (105 x 3 − 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0
ពីអ្វីដែលបានសម្រេចចិត្តខាងលើ យើងសន្និដ្ឋានថា x 3 = 3 គឺជាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍។
រូបភាពក្រាហ្វិក
ចម្លើយ៖ x 2 = 5 7 គឺជាចំណុចអតិបរមា x 3 = 3 គឺជាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter