ច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តជាមួយឧទាហរណ៍។ ដេរីវេ ក្បួន និងរូបមន្តនៃភាពខុសគ្នា

ភាពខុសគ្នាគឺជាការគណនានៃដេរីវេ។

1. រូបមន្តភាពខុសគ្នា។

រូបមន្តនៃភាពខុសគ្នាសំខាន់គឺនៅក្នុងតារាង។ ពួកគេមិនចាំបាច់ត្រូវចងចាំទេ។ ដោយបានយល់ពីគំរូមួយចំនួន អ្នកនឹងអាចទាញយកដោយឯករាជ្យពីរូបមន្តមួយចំនួន។

1) ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយរូបមន្ត (k x+ m)′ = គ។
ករណីពិសេសរបស់វាគឺរូបមន្ត x′ = 1 និង C ′ = 0 ។

នៅក្នុងមុខងារណាមួយនៃទម្រង់ y = kx + m ដេរីវេគឺស្មើនឹង ជម្រាល k

ឧទាហរណ៍ ផ្តល់អនុគមន៍ y = 2 X+ 4. ដេរីវេរបស់វានៅចំណុចណាមួយនឹងស្មើនឹង 2:

(2 x + 4)′ = 2 .

ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។ នៅ = 9 X+ 5 នៅចំណុចណាមួយគឺស្មើនឹង 9 . ល។

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = 5 X. ដើម្បី​ធ្វើ​បែប​នេះ ចូរ​យើង​ស្រមៃ​មើល ៥ Xក្នុងទម្រង់ (៥ X+ 0) ។ យើង​បាន​ទទួល​កន្សោម​ស្រដៀង​នឹង​ពាក្យ​មុន។ មធ្យោបាយ៖

(5X)′ = (៥ X+ 0)′ = 5 ។

ជាចុងក្រោយ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើវាស្មើនឹងអ្វី x′.
ចូរយើងអនុវត្តបច្ចេកទេសពីឧទាហរណ៍មុន៖ ស្រមៃ Xដូច 1 X+ 0. បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

x′ = (១ X+ 0)′ = 1 ។

ដូច្នេះ យើងបានទាញយករូបមន្តដោយឯករាជ្យពីតារាង៖

(0 · x+ m)′ = 0 ។

ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកវាប្រែថា m′ ក៏ស្មើនឹង 0 ។ អនុញ្ញាតឱ្យ m = C ដែល C ជាថេរដែលបំពាន។ បន្ទាប់មកយើងមកដល់ការពិតមួយទៀត៖ ដេរីវេនៃថេរគឺស្មើនឹងសូន្យ។ នោះគឺយើងទទួលបានរូបមន្តមួយទៀតពីតារាង។

វគ្គវីដេអូ "ទទួលបាននិទ្ទេស A" រួមបញ្ចូលប្រធានបទទាំងអស់ដែលចាំបាច់សម្រាប់ជោគជ័យ ឆ្លងកាត់ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមនៅក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់ 60-65 ពិន្ទុ។ បញ្ចប់បញ្ហាទាំងអស់ 1-13 ទម្រង់ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ ក៏សមរម្យសម្រាប់ការឆ្លងកាត់ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមមូលដ្ឋានក្នុងគណិតវិទ្យា។ ប្រសិនបើអ្នកចង់ប្រលងជាប់ Unified State Exam ជាមួយនឹងពិន្ទុ 90-100 អ្នកត្រូវដោះស្រាយផ្នែកទី 1 ក្នុងរយៈពេល 30 នាទី និងដោយគ្មានកំហុស!

វគ្គត្រៀមប្រលងបាក់ឌុប សម្រាប់ថ្នាក់ទី១០-១១ ក៏ដូចជាគ្រូផងដែរ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយផ្នែកទី 1 នៃការប្រលងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមក្នុងគណិតវិទ្យា (បញ្ហា 12 ដំបូង) និងបញ្ហាទី 13 (ត្រីកោណមាត្រ) ។ ហើយនេះគឺច្រើនជាង 70 ពិន្ទុនៅលើការប្រឡង Unified State ហើយទាំងសិស្ស 100 ពិន្ទុ ឬនិស្សិតផ្នែកមនុស្សសាស្ត្រមិនអាចធ្វើដោយគ្មានពួកគេ។

ទាំងអស់។ ទ្រឹស្តីចាំបាច់. វិធីរហ័សដំណោះស្រាយ គ្រោះថ្នាក់ និងអាថ៌កំបាំងនៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។ រាល់កិច្ចការបច្ចុប្បន្ននៃផ្នែកទី 1 ពីធនាគារកិច្ចការ FIPI ត្រូវបានវិភាគ។ វគ្គសិក្សានេះអនុលោមតាមលក្ខខណ្ឌតម្រូវនៃការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋឆ្នាំ 2018 ។

វគ្គសិក្សាមាន 5 ប្រធានបទធំ, 2.5 ម៉ោងនីមួយៗ។ ប្រធានបទនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់ឱ្យពីទទេ សាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។

ភារកិច្ចប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមរាប់រយ។ បញ្ហាពាក្យនិងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញ និងងាយស្រួលក្នុងការចងចាំសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា។ ធរណីមាត្រ។ ទ្រឹស្តី, ឯកសារយោង, ការវិភាគនៃគ្រប់ប្រភេទនៃភារកិច្ចប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។ ស្តេរ៉េអូមេទ្រី។ ដំណោះស្រាយល្បិច, សន្លឹកបន្លំមានប្រយោជន៍, ការអភិវឌ្ឍន៍ ការស្រមើលស្រមៃ spatial. ត្រីកោណមាត្រ​ពី​ដើម​ដល់​បញ្ហា 13. ការ​យល់​ដឹង​ជា​ជាង​ការ​ចង្អៀត។ ការពន្យល់ដែលមើលឃើញ គំនិតស្មុគស្មាញ. ពិជគណិត។ ឫស អំណាច និងលោការីត មុខងារ និងដេរីវេ។ មូលដ្ឋានសម្រាប់ដំណោះស្រាយ កិច្ចការស្មុគស្មាញ 2 ផ្នែកនៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។

វគ្គសិក្សាវីដេអូ "ទទួលបាននិទ្ទេស A" រួមបញ្ចូលប្រធានបទទាំងអស់ដែលអ្នកត្រូវការ ការបញ្ចប់ដោយជោគជ័យការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់ពិន្ទុ 60-65 ។ បំពេញកិច្ចការទាំងអស់ 1-13 នៃ Profile Unified State Exam ក្នុងគណិតវិទ្យា។ ក៏សមរម្យសម្រាប់ការឆ្លងកាត់ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមមូលដ្ឋានក្នុងគណិតវិទ្យា។ ប្រសិនបើអ្នកចង់ប្រលងជាប់ Unified State Exam ជាមួយនឹងពិន្ទុ 90-100 អ្នកត្រូវដោះស្រាយផ្នែកទី 1 ក្នុងរយៈពេល 30 នាទី និងដោយគ្មានកំហុស!

វគ្គត្រៀមប្រលងបាក់ឌុប សម្រាប់ថ្នាក់ទី១០-១១ ក៏ដូចជាគ្រូផងដែរ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយផ្នែកទី 1 នៃការប្រលងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមក្នុងគណិតវិទ្យា (បញ្ហា 12 ដំបូង) និងបញ្ហាទី 13 (ត្រីកោណមាត្រ) ។ ហើយនេះគឺច្រើនជាង 70 ពិន្ទុនៅលើការប្រឡង Unified State ហើយទាំងសិស្ស 100 ពិន្ទុ ឬនិស្សិតផ្នែកមនុស្សសាស្ត្រមិនអាចធ្វើដោយគ្មានពួកគេ។

ទ្រឹស្តីចាំបាច់ទាំងអស់។ ដំណោះស្រាយរហ័ស គ្រោះថ្នាក់ និងអាថ៌កំបាំងនៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។ រាល់កិច្ចការបច្ចុប្បន្ននៃផ្នែកទី 1 ពីធនាគារកិច្ចការ FIPI ត្រូវបានវិភាគ។ វគ្គសិក្សានេះអនុលោមតាមលក្ខខណ្ឌតម្រូវនៃការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋឆ្នាំ 2018 ។

វគ្គសិក្សាមាន 5 ប្រធានបទធំ 2.5 ម៉ោងនីមួយៗ។ ប្រធានបទនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់ឱ្យពីទទេ សាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។

ភារកិច្ចប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមរាប់រយ។ បញ្ហាពាក្យ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញ និងងាយស្រួលក្នុងការចងចាំសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា។ ធរណីមាត្រ។ ទ្រឹស្តី ឯកសារយោង ការវិភាគគ្រប់ប្រភេទនៃកិច្ចការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។ ស្តេរ៉េអូមេទ្រី។ ដំណោះស្រាយល្បិច, សន្លឹកបន្លំដែលមានប្រយោជន៍, ការអភិវឌ្ឍន៍ការស្រមើលស្រមៃ spatial ។ ត្រីកោណមាត្រ​ពី​ដើម​ដល់​បញ្ហា 13. ការ​យល់​ដឹង​ជា​ជាង​ការ​ចង្អៀត។ ការពន្យល់ច្បាស់លាស់នៃគំនិតស្មុគស្មាញ។ ពិជគណិត។ ឫស អំណាច និងលោការីត មុខងារ និងដេរីវេ។ មូលដ្ឋានសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញនៃផ្នែកទី 2 នៃការប្រឡងរដ្ឋឯកភាព។

តារាងដេរីវេ មុខងារបឋម

និយមន័យ ១

ការគណនាដេរីវេត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា.

សម្គាល់ដេរីវេ $y"$ ឬ $\frac(dy)(dx)$ ។

ចំណាំ ១

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយ យោងទៅតាមច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃភាពខុសគ្នា វាត្រូវបានបំលែងទៅជាមុខងារមួយផ្សេងទៀត។

សូមក្រឡេកមើលតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថាមុខងារបន្ទាប់ពីរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុរបស់ពួកគេត្រូវបានបំលែងទៅជាមុខងារផ្សេងទៀត។

ករណីលើកលែងតែមួយគត់គឺ $y=e^x$ ដែលប្រែទៅជាខ្លួនវាផ្ទាល់។

ច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃនិស្សន្ទវត្ថុ

ជាញឹកញាប់បំផុត នៅពេលស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ អ្នកត្រូវមិនត្រឹមតែមើលតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែត្រូវអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា និងភស្តុតាងនៃដេរីវេនៃផលិតផលជាមុនសិន ហើយប្រើតែតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុនៃអនុគមន៍បឋមប៉ុណ្ណោះ។

1. ថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ

$C$ គឺ​ជា​ថេរ។

ឧទាហរណ៍ ១

បែងចែកមុខងារ $y=7x^4$។

ដំណោះស្រាយ។

ស្វែងរក $y"=(7x^4)"$ ។ យកលេខ $7$ ចេញពីសញ្ញាដេរីវេ យើងទទួលបាន៖

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

ដោយប្រើតារាង អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល៖

$=7 \cdot 4x^3=$

ចូរបំប្លែងលទ្ធផលទៅជាទម្រង់ដែលទទួលយកក្នុងគណិតវិទ្យា៖

ចម្លើយ៖$28x^3$។

2. ដេរីវេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) ស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖

$(u \pm v)"=u" \pm v"$ ។

ឧទាហរណ៍ ២

បែងចែកមុខងារ $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$ ។

ដំណោះស្រាយ។

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$

យើងអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃផលបូកដេរីវេ និងភាពខុសគ្នា៖

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\cot x)"=$

ចំណាំថានៅពេលបែងចែក អំណាច និងឫសទាំងអស់ត្រូវតែបំប្លែងទៅជាទម្រង់ $x^(\frac(a)(b))$;

ចូរយកថេរទាំងអស់ចេញពីសញ្ញាដេរីវេ៖

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\cot x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$

ដោយបានយល់ពីច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា ពួកគេមួយចំនួន (ឧទាហរណ៍ ដូចជាពីរចុងក្រោយ) ត្រូវបានអនុវត្តក្នុងពេលដំណាលគ្នា ដើម្បីជៀសវាងការសរសេរឡើងវិញនូវកន្សោមវែង។

យើងបានទទួលកន្សោមពីអនុគមន៍បឋមនៅក្រោមសញ្ញាដេរីវេ។ ចូរយើងប្រើតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$

ចូរបំប្លែងវាទៅជាទម្រង់ដែលទទួលយកក្នុងគណិតវិទ្យា៖

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x)$

សូមចំណាំថានៅពេលរកឃើញលទ្ធផលលក្ខខណ្ឌជាមួយ អំណាចប្រភាគបម្លែងទៅជាឫស និងជាមួយអវិជ្ជមាន - ទៅប្រភាគ។

ចម្លើយ៖ $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x )$។

3. រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារ៖

$(uv)"=u" v+uv"$ ។

ឧទាហរណ៍ ៣

បែងចែកមុខងារ $y=x^(11) \ln x$ ។

ដំណោះស្រាយ។

ដំបូង យើងអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការគណនាដេរីវេនៃផលគុណនៃអនុគមន៍ ហើយបន្ទាប់មកយើងប្រើតារាងនៃដេរីវេទីវៈ

$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11)(\lnтx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$ ។

ចម្លើយ៖ $x^(10) (11 \ln x-1)$ ។

4. រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ផ្នែកមួយ៖

$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$។

ឧទាហរណ៍ 4

បែងចែកមុខងារ $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$។

ដំណោះស្រាយ។

$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$

យោងតាមច្បាប់អាទិភាព ប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាដំបូងយើងអនុវត្តការបែងចែក ហើយបន្ទាប់មកបូក និងដក ដូច្នេះដំបូងយើងអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការគណនាដេរីវេនៃកូតានិក៖

$=\frac((3x-8)"(x^5-7)-(3x-8)(x^5-7)")((x^5-7)^2) =$

ចូរយើងអនុវត្តច្បាប់នៃផលបូក និងនិស្សន្ទវត្ថុខុសគ្នា បើកតង្កៀប និងសម្រួលកន្សោម៖

$=\frac(3(x^5-7)-5x^4(3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ ។

ចម្លើយ៖$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$។

ឧទាហរណ៍ 5

ចូរបែងចែកមុខងារ $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$ ។

ដំណោះស្រាយ។

អនុគមន៍ y គឺជាកូតានៃអនុគមន៍ពីរ ដូច្នេះអ្នកអាចអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់គណនាដេរីវេនៃកូតាយ៉ង់ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះអ្នកនឹងទទួលបានអនុគមន៍ដ៏ស្មុគស្មាញមួយ។ ដើម្បី​សម្រួល​មុខងារ​នេះ អ្នក​អាច​បែងចែក​ភាគយក​ដោយ​ភាគបែង​ដោយ​ពាក្យ៖

$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$។

ចូរយើងអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ទៅជាអនុគមន៍សាមញ្ញមួយ៖

$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$

$=6x^5-\frac(9)(x^2)$។

ចម្លើយ៖ $6x^5-\frac(9)(x^2)$ ។