វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការបំបែករហ័ស។ ការបំបែកលេខនៅក្នុង Microsoft Excel

* ការ៉េរហូតដល់រាប់រយ

ដើម្បីកុំឱ្យគិតលេខទាំងអស់ដោយប្រើរូបមន្ត អ្នកត្រូវសម្រួលកិច្ចការរបស់អ្នកឱ្យបានច្រើនតាមដែលអាចធ្វើទៅបានជាមួយនឹងច្បាប់ខាងក្រោម។

ច្បាប់ទី១ (កាត់១០លេខ)

សម្រាប់លេខដែលបញ្ចប់ដោយ 0 ។
ប្រសិនបើលេខបញ្ចប់ដោយ 0 ការគុណវាមិនពិបាកជាងលេខមួយខ្ទង់ទេ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវបន្ថែមលេខសូន្យពីរបី។
70 * 70 = 4900.
បានសម្គាល់ជាពណ៌ក្រហមនៅក្នុងតារាង។

ក្បួនទី 2 (កាត់ចេញ 10 លេខ)

សម្រាប់លេខដែលបញ្ចប់ដោយ 5 ។
ដើម្បីការ៉េលេខពីរខ្ទង់ដែលបញ្ចប់ដោយ 5 គុណខ្ទង់ទីមួយ (x) ដោយ (x+1) ហើយបន្ថែម “25” ទៅលទ្ធផល។
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
សម្គាល់ពណ៌បៃតងនៅក្នុងតារាង។

ច្បាប់លេខ ៣ (កាត់ ៨ លេខ)

សម្រាប់លេខពី 40 ទៅ 50 ។
XX * XX = 1500 + 100 * ខ្ទង់ទីពីរ + (10 - ខ្ទង់ទីពីរ)^2
ពិបាកណាស់មែនទេ? តោះមើលឧទាហរណ៍៖
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
នៅក្នុងតារាងពួកគេត្រូវបានសម្គាល់ដោយពណ៌ទឹកក្រូចស្រាល។

ច្បាប់ទី ៤ (កាត់ ៨ លេខ)

សម្រាប់លេខពី 50 ដល់ 60 ។
XX * XX = 2500 + 100 * ខ្ទង់ទីពីរ + (ខ្ទង់ទីពីរ)^2
វាក៏ពិបាកយល់ផងដែរ។ តោះមើលឧទាហរណ៍៖
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
នៅក្នុងតារាងពួកគេត្រូវបានសម្គាល់ដោយពណ៌ទឹកក្រូចងងឹត។

ច្បាប់លេខ ៥ (កាត់ ៨ លេខ)

សម្រាប់លេខពី 90 ដល់ 100 ។
XX * XX = 8000+ 200 * ខ្ទង់ទីពីរ + (10 - ខ្ទង់ទីពីរ)^2
ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងច្បាប់ទី 3 ប៉ុន្តែមានមេគុណផ្សេងគ្នា។ តោះមើលឧទាហរណ៍៖
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
នៅក្នុងតារាងពួកគេត្រូវបានសម្គាល់ដោយពណ៌ទឹកក្រូចងងឹត។

ច្បាប់លេខ ៦ (កាត់ចេញ ៣២ លេខ)

អ្នកត្រូវទន្ទេញការេនៃលេខរហូតដល់ 40 ។ វាស្តាប់ទៅដូចជាឆ្កួត និងពិបាក ប៉ុន្តែតាមពិតមនុស្សភាគច្រើនស្គាល់ការ៉េរហូតដល់ 20 ។ 25, 30, 35 និង 40 គឺអាចទទួលយកបានចំពោះរូបមន្ត។ ហើយនៅសល់តែ ១៦ គូប៉ុណ្ណោះ។ ពួកគេអាចត្រូវបានគេចងចាំរួចហើយដោយប្រើ mnemonics (ដែលខ្ញុំចង់និយាយនៅពេលក្រោយ) ឬដោយមធ្យោបាយផ្សេងទៀត។ ដូចជាតារាងគុណ :)
សម្គាល់ពណ៌ខៀវនៅក្នុងតារាង។

អ្នកអាចចងចាំច្បាប់ទាំងអស់ ឬអ្នកអាចចងចាំវាដោយជ្រើសរើស ក្នុងករណីណាក៏ដោយ លេខទាំងអស់ពី 1 ដល់ 100 គោរពតាមរូបមន្តពីរ។ ច្បាប់នឹងជួយដោយមិនប្រើរូបមន្តទាំងនេះ ដើម្បីគណនាបានលឿនជាង 70% នៃជម្រើស។ នេះគឺជារូបមន្តពីរ៖

រូបមន្ត (នៅសល់ 24 ថ្ងៃ)

សម្រាប់លេខពី 25 ទៅ 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
ឧទាហរណ៍:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

សម្រាប់លេខពី 50 ទៅ 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
ឧទាហរណ៍:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

ជាការពិតណាស់ កុំភ្លេចអំពីរូបមន្តធម្មតាសម្រាប់ការពង្រីកការេនៃផលបូកមួយ (ករណីពិសេសនៃ binomial ញូតុន)៖
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ។ 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136 ។

ធ្វើបច្ចុប្បន្នភាព
ផលិតផលនៃលេខជិត 100 និងជាពិសេសការេរបស់ពួកគេក៏អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើគោលការណ៍នៃ "គុណវិបត្តិដល់ 100"៖

នៅក្នុងពាក្យ: ពីលេខទីមួយយើងដក "គុណវិបត្តិ" នៃទីពីរទៅមួយរយហើយផ្តល់ផលិតផលពីរខ្ទង់នៃ "គុណវិបត្តិ" ។

សម្រាប់ការ៉េយោងទៅតាមវាកាន់តែសាមញ្ញ។
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(ពី Sielover)

Squaring ប្រហែលជាមិនមែនជារបស់ដែលមានប្រយោជន៍បំផុតនៅក្នុងកសិដ្ឋាននោះទេ។ អ្នកនឹងមិនចាំករណីមួយភ្លាមៗទេ នៅពេលដែលអ្នកប្រហែលជាត្រូវការការ៉េលេខ។ ប៉ុន្តែសមត្ថភាពក្នុងការដំណើរការរហ័សជាមួយលេខ និងអនុវត្តច្បាប់សមរម្យសម្រាប់លេខនីមួយៗអភិវឌ្ឍការចងចាំ និង "សមត្ថភាពកុំព្យូទ័រ" នៃខួរក្បាលរបស់អ្នកយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះ។

និយាយអញ្ចឹង ខ្ញុំគិតថាអ្នកអានទាំងអស់របស់ Habra ដឹងថា 64^2 = 4096 និង 32^2 = 1024។
លេខការ៉េជាច្រើនត្រូវបានទន្ទេញនៅកម្រិតសមាគម។ ជាឧទាហរណ៍ ខ្ញុំបានចងចាំយ៉ាងងាយស្រួល 88^2 = 7744 ដោយសារតែលេខដូចគ្នា។ ពួកគេម្នាក់ៗប្រហែលជាមានលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេ។

ដំបូងខ្ញុំបានរកឃើញរូបមន្តពិសេសពីរក្នុងសៀវភៅ “13 ជំហានទៅកាន់ចិត្តវិទ្យា” ដែលមិនពាក់ព័ន្ធនឹងគណិតវិទ្យាទេ។ ការពិតគឺថាកាលពីមុន (ប្រហែលជាឥឡូវនេះ) សមត្ថភាពគណនាតែមួយគត់គឺជាលេខមួយក្នុងចំណោមលេខនៅក្នុងវេទមន្តដំណាក់កាល៖ បុរសលេងប៉ាហីនឹងប្រាប់រឿងរ៉ាវអំពីរបៀបដែលគាត់ទទួលបានមហាអំណាច ហើយដើម្បីបញ្ជាក់រឿងនេះ ភ្លាមៗនោះលេខការ៉េរហូតដល់មួយរយ។ សៀវភៅនេះក៏បង្ហាញពីវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់គូប វិធីសាស្រ្តនៃការដកឫស និងឫសគូប។

ប្រសិនបើប្រធានបទនៃការរាប់រហ័សគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ខ្ញុំនឹងសរសេរបន្ថែមទៀត។
សូមសរសេរយោបល់អំពីកំហុស និងការកែតម្រូវក្នុង PM សូមអរគុណទុកជាមុន។

ការបំបែកលេខបីខ្ទង់គឺជាមុខងារដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នៃវេទមន្តផ្លូវចិត្ត។ ដូចគ្នានឹងការបង្គត់លេខពីរខ្ទង់ពាក់ព័ន្ធនឹងការបង្គត់វាឡើងលើ ឬចុះក្រោម ដើម្បីទទួលបានផលគុណនៃ 10 ការការ៉េចំនួនបីខ្ទង់តម្រូវឱ្យបង្គត់វាឡើងលើ ឬចុះក្រោម ដើម្បីទទួលបានផលគុណនៃ 100 ។ ចូរយើងការ៉េលេខ 193 ។

ដោយបង្គត់ពី 193 ទៅ 200 (កត្តាទីពីរក្លាយជា 186) បញ្ហា 3 ដោយ 3 បានក្លាយជាសាមញ្ញជាង 3 ដោយ 1 ចាប់តាំងពី 200 x 186 គឺគ្រាន់តែជា 2 x 186 = 372 ដែលមានសូន្យពីរនៅចុងបញ្ចប់។ ជិតរួចរាល់ហើយ! ឥឡូវនេះអ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺបន្ថែម 7 2 = 49 ហើយទទួលបានចម្លើយ - 37,249 ។

តោះសាកល្បង 706 ។

នៅពេលបង្គត់លេខ 706 ដល់ 700 អ្នកក៏ត្រូវប្តូរលេខដូចគ្នាឡើងដោយ 6 ដើម្បីទទួលបានលេខ 712។

ចាប់តាំងពី 712 x 7 = 4984 (សាមញ្ញ 3 ដោយ 1 បញ្ហា), 712 x 700 = 498,400 ការបន្ថែម 6 2 = 36 ផ្តល់ឱ្យ 498,436 ។

ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយមិនគួរឱ្យខ្លាចនោះទេ ព្រោះវាមិនពាក់ព័ន្ធនឹងការបន្ថែមបែបនេះ។ លើសពីនេះ អ្នកដឹងដោយបេះដូងថា 6 2 និង 7 2 ស្មើនឹងអ្វី។ វាពិបាកជាងក្នុងការការ៉េចំនួនដែលលើសពី 10 ឯកតាឆ្ងាយពីពហុគុណនៃ 100 ។ សាកល្បងដៃរបស់អ្នកនៅ 314 2 ។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ 314 ត្រូវបានបន្ថយដោយ 14 ទៅបង្គត់ទៅ 300 ហើយកើនឡើងពី 14 ទៅ 328។ គុណ 328 x 3 = 984 ហើយបន្ថែមលេខសូន្យពីរនៅចុងបញ្ចប់ដើម្បីទទួលបាន 98,400 បន្ទាប់មកបន្ថែមការេនៃ 14 ។ ប្រសិនបើភ្លាមៗនោះមក (អរគុណចំពោះការចងចាំ ឬការគណនារហ័ស) ដែល 14 2 = 196 បន្ទាប់មកអ្នកស្ថិតក្នុងរាងល្អ។ បន្ទាប់មកគ្រាន់តែបន្ថែម 98,400 + 196 ដើម្បីទទួលបានចម្លើយចុងក្រោយនៃ 98,596 ។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការពេលវេលាដើម្បីរាប់ 14 2 ធ្វើម្តងទៀត "98,400" ច្រើនដងមុនពេលបន្ត។ បើមិនដូច្នោះទេ អ្នកអាចគណនាលេខ 14 2 = 196 ហើយភ្លេចលេខមួយណាដែលអ្នកត្រូវបន្ថែមផលិតផលទៅ។

ប្រសិនបើអ្នកមានទស្សនិកជនដែលអ្នកចង់ចាប់អារម្មណ៍ អ្នកអាចនិយាយ "279,000" ខ្លាំងៗ មុនពេលអ្នករកឃើញ 292។ ប៉ុន្តែវានឹងមិនដំណើរការសម្រាប់រាល់បញ្ហាដែលអ្នកដោះស្រាយនោះទេ។

ឧទាហរណ៍ សាកល្បងការេ 636 ។

ឥឡូវនេះខួរក្បាលរបស់អ្នកពិតជាដំណើរការមែន មែនទេ?

ចងចាំថាត្រូវធ្វើម្តងទៀត "403,200" ទៅកាន់ខ្លួនអ្នកជាច្រើនដងនៅពេលអ្នកការ៉េ 36 តាមរបៀបធម្មតាដើម្បីទទួលបាន 1296 ។ ផ្នែកដែលពិបាកបំផុតគឺការបន្ថែមលេខ 1296 + 403,200 ម្តងពីឆ្វេងទៅស្តាំ ហើយអ្នកនឹងទទួលបានចម្លើយ 404,496 ខ្ញុំសន្យាថានៅពេលដែលអ្នកកាន់តែស៊ាំនឹងការបំបែកលេខពីរខ្ទង់ បញ្ហាជាមួយលេខបីខ្ទង់នឹងកាន់តែងាយស្រួល។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍ដ៏ស្មុគស្មាញមួយ៖ ៨៦៣ ២ .

បញ្ហាទីមួយគឺត្រូវសម្រេចចិត្តថាតើលេខមួយណាដែលត្រូវគុណ។ ដោយមិនសង្ស័យ មួយក្នុងចំណោមពួកគេនឹងមាន 900 ហើយមួយទៀតនឹងមានច្រើនជាង 800។ ប៉ុន្តែតើមួយណា? នេះអាចត្រូវបានគណនាតាមពីរវិធី។

1. វិធីពិបាក៖ ភាពខុសគ្នារវាង 863 និង 900 គឺ 37 (ការបំពេញបន្ថែមរបស់ 63) ដក 37 ចេញពី 863 ហើយទទួលបាន 826។

2. វិធីងាយៗ៖ ទ្វេដងលេខ 63 យើងទទួលបាន 126 ឥឡូវនេះយើងបន្ថែមពីរខ្ទង់ចុងក្រោយនៃលេខនេះទៅលេខ 800 ដែលចុងក្រោយផ្តល់ឱ្យ 826 ។

នេះជារបៀបដែលវិធីងាយស្រួលដំណើរការ។ ដោយសារលេខទាំងពីរមានភាពខុសគ្នាដូចគ្នាជាមួយលេខ 863 ផលបូករបស់ពួកគេត្រូវតែស្មើនឹងពីរដងនៃលេខ 863 ពោលគឺ 1726។ លេខមួយគឺ 900 ដែលមានន័យថាលេខផ្សេងទៀតនឹងស្មើនឹង 826 ។

បន្ទាប់មកយើងអនុវត្តការគណនាដូចខាងក្រោម។

ប្រសិនបើអ្នកមានបញ្ហាក្នុងការចងចាំលេខ 743,400 បន្ទាប់ពីការបំបែកលេខ 37 កុំបារម្ភ។ នៅក្នុងជំពូកខាងក្រោម អ្នកនឹងរៀនពីប្រព័ន្ធ mnemonic និងរៀនពីរបៀបចងចាំលេខបែបនេះ។

សាកល្បងដៃរបស់អ្នកនៅក្នុងកិច្ចការដ៏លំបាកបំផុតរហូតមកដល់ពេលនេះ - ការបំបែកលេខ 359 ។

ដើម្បីទទួលបាន 318 ដក 41 (59 បូក) ពី 359 ឬគុណ 2 x 59 = 118 ហើយប្រើពីរខ្ទង់ចុងក្រោយ។ បន្ទាប់មក គុណ 400 x 318 = 127,200 បូក 412 = 1681 ដល់ចំនួននេះ ផ្តល់ចំនួនសរុប 128,881 នោះហើយជា! បើអ្នកធ្វើបានត្រឹមត្រូវលើកដំបូង អ្នកពិតជាអស្ចារ្យណាស់!

សូមបញ្ចប់ផ្នែកនេះជាមួយនឹងកិច្ចការធំ ប៉ុន្តែងាយស្រួល៖ ការគណនាលេខ ៩៨៧ ២ .

លំហាត់ប្រាណ៖ វាយលេខបីខ្ទង់

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

តើមានអ្វីនៅពីក្រោយទ្វារលេខ 1?

ផ្លាកលេខគណិតវិទ្យាដែលធ្វើអោយគ្រប់គ្នាស្រឡាំងកាំងក្នុងឆ្នាំ 1991 គឺជាអត្ថបទរបស់ Marilyn Savant ដែលជាស្ត្រីដែលមាន IQ ខ្ពស់បំផុតរបស់ពិភពលោក (ដូចដែលបានចុះបញ្ជីក្នុងសៀវភៅកំណត់ត្រាហ្គីណេស) នៅក្នុងទស្សនាវដ្តី Parade ។ ភាពចម្លែកនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាបញ្ហា Monty Hall ហើយវាមានដូចខាងក្រោម។

អ្នកស្ថិតនៅក្នុងកម្មវិធីរបស់ Monty Hall Let's Make a Deal ។ ម្ចាស់ផ្ទះផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវឱកាសដើម្បីជ្រើសរើសទ្វារមួយក្នុងចំណោមទ្វារបីដែលនៅពីក្រោយមួយគឺជារង្វាន់ធំនៅពីក្រោយពីរផ្សេងទៀតគឺជាពពែ។ ចូរនិយាយថាអ្នកជ្រើសរើសទ្វារលេខ 2 ។ ប៉ុន្តែមុនពេលបង្ហាញអ្វីដែលលាក់នៅពីក្រោយទ្វារនេះ Monty បើកទ្វារលេខ 3 ។ មានពពែមួយ។ ឥឡូវនេះ តាមវិធីលេងសើចរបស់គាត់ Monty សួរអ្នកថា តើអ្នកចង់បើកទ្វារលេខ 2 ឬប្រថុយនឹងមើលអ្វីនៅពីក្រោយទ្វារ #1? តើអ្នកគួរធ្វើអ្វី? ដោយសន្មត់ថា Monty នឹងប្រាប់អ្នកពីកន្លែងដែលរង្វាន់ធំមិនមែន នោះគាត់នឹងតែងតែបើកទ្វារ "ការលួងលោម" មួយ។ នេះទុកឲ្យអ្នកនូវជម្រើសមួយ៖ ទ្វារមួយមានរង្វាន់ធំ និងមួយទៀតមានរង្វាន់លើកទឹកចិត្ត។ ឥឡូវនេះឱកាសរបស់អ្នកគឺ 50/50 មែនទេ?

តែអត់ទេ! ឱកាសដែលអ្នកជ្រើសរើសបានត្រឹមត្រូវជាលើកដំបូងគឺនៅតែមាន 1 ក្នុងចំណោម 3 ។ ឱកាសដែលរង្វាន់ធំនឹងនៅពីក្រោយទ្វារផ្សេងទៀតកើនឡើងដល់ 2/3 ពីព្រោះប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវតែបន្ថែមរហូតដល់ 1 ។

ដូច្នេះដោយការផ្លាស់ប្តូរជម្រើសរបស់អ្នក អ្នកនឹងមានឱកាសឈ្នះទ្វេដង! (បញ្ហាសន្មតថា Monty នឹងតែងតែផ្តល់ឱ្យអ្នកលេងនូវជម្រើសថ្មីដោយបង្ហាញទ្វារ "មិនឈ្នះ" ហើយនៅពេលដែលជម្រើសដំបូងរបស់អ្នកត្រឹមត្រូវ នឹងបើកទ្វារ "មិនឈ្នះ" ដោយចៃដន្យ។) គិតអំពីហ្គេម។ ជាមួយនឹងទ្វារដប់។ បន្ទាប់ពីជម្រើសដំបូងរបស់អ្នក សូមឱ្យម្ចាស់ផ្ទះបើកទ្វារ "មិនឈ្នះ" ចំនួនប្រាំបី។ នេះគឺជាកន្លែងដែលសភាវគតិរបស់អ្នកទំនងជានឹងផ្លាស់ប្តូរទ្វារ។ មនុស្សតែងតែគិតខុសថា ប្រសិនបើ Monty Hall មិនដឹងថារង្វាន់ធំនៅឯណា ហើយបើកទ្វារលេខ 3 ដែលបង្ហាញពពែ (ទោះបីជាអាចមានរង្វាន់ក៏ដោយ) នោះទ្វារលេខ 1 មានឱកាស 50 ភាគរយ។ ជាអ្នកត្រឹមត្រូវ។ ការវែកញែកបែបនេះ ផ្គាប់ចិត្តសុភវិនិច្ឆ័យ ប៉ុន្តែ ម៉ារីលីន សាវ៉ាន បានទទួលសំបុត្រជាច្រើន (ពីអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ សូម្បីតែគណិតវិទូ) ប្រាប់នាងថា នាងមិនគួរសរសេរអំពីគណិតវិទ្យាទេ។ ជាការពិតណាស់ មនុស្សទាំងអស់នេះខុស។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាការការ៉េនៃលេខពីរ ហើយអនុវត្តចំណុចនព្វន្ធ យើងនឹងនិយាយអំពីការេនៃផលបូក ពោលគឺ (a + b)² និងការ៉េនៃភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរ ពោលគឺ (a – b) )²។

ចាប់តាំងពី (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

បន្ទាប់មកយើងរកឃើញ៖ (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², i.e.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការចងចាំលទ្ធផលនេះទាំងក្នុងទម្រង់នៃសមភាពដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ និងជាពាក្យ៖ ការេនៃផលបូកនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងការេនៃលេខទីមួយបូកនឹងផលគុណនៃពីរដោយលេខទីមួយ និងទីពីរ។ លេខបូកនឹងការ៉េនៃលេខទីពីរ។

ដោយដឹងពីលទ្ធផលនេះ យើងអាចសរសេរភ្លាមៗ ឧទាហរណ៍៖

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n + 1 + 16x 2

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ទីពីរនៃឧទាហរណ៍ទាំងនេះ។ យើងចាំបាច់ត្រូវការេផលបូកនៃចំនួនពីរ៖ លេខទីមួយគឺ 3ab ទីពីរ 1. លទ្ធផលគួរតែជា: 1) ការេនៃលេខទីមួយ ពោលគឺ (3ab)² ដែលស្មើនឹង 9a²b²; 2) ផលគុណនៃពីរដោយលេខទីមួយ និងទីពីរ ឧ. 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) ការេនៃលេខទី 2 ពោលគឺ 1² = 1 - ពាក្យទាំងបីនេះត្រូវតែបូកបញ្ចូលគ្នា។

យើងក៏ទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ squaring ភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរ ឧ. សម្រាប់ (a – b)²:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b² ។

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

ឧ. ការេនៃភាពខុសគ្នានៃលេខពីរគឺស្មើនឹងការេនៃលេខទីមួយ ដកផលគុណនៃពីរដោយលេខទីមួយ និងទីពីរ បូកនឹងការេនៃលេខទីពីរ។

ដោយដឹងពីលទ្ធផលនេះ យើងអាចអនុវត្តការបំបែកនៃលេខពីរបានភ្លាមៗ ដែលតាមទស្សនៈនព្វន្ធតំណាងឱ្យភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរ។

(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 ខ) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2 ។ល។

ចូរយើងពន្យល់ឧទាហរណ៍ទី 2 ។ នៅទីនេះយើងមានតង្កៀបភាពខុសគ្នានៃលេខពីរ៖ លេខទីមួយគឺ 5ab 3 និងលេខទីពីរគឺ 3a 2 ខ។ លទ្ធផលគួរតែ៖ 1) ការេនៃលេខទីមួយ ពោលគឺ (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) ផលគុណនៃពីរដោយលេខទី 1 និងលេខ 2 ពោលគឺ 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 និង 3) ការេនៃលេខទីពីរ ឧ. (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; លក្ខខណ្ឌទី 1 និងទី 3 ត្រូវតែយកដោយបូក ហើយលេខ 2 ដោយដកមួយ យើងទទួលបាន 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 ។ ដើម្បីពន្យល់ឧទាហរណ៍ទី 4 យើងគ្រាន់តែចំណាំថា 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... និទស្សន្តត្រូវគុណនឹង 2 និង 2) ផលគុណនៃពីរដោយលេខទី 1 និងដោយលេខ 2 = ។ 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n ។

ប្រសិនបើយើងគិតពីទស្សនៈនៃពិជគណិត នោះសមភាពទាំងពីរ៖ 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² និង 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² បង្ហាញរឿងដូចគ្នាគឺ៖ ការេនៃលេខពីរគឺស្មើនឹងការេនៃពាក្យទីមួយ បូកនឹងផលគុណនៃលេខ (+2) ដោយពាក្យទីមួយ និងទីពីរ បូកនឹងការេនៃពាក្យទីពីរ។ នេះច្បាស់ណាស់ព្រោះសមភាពរបស់យើងអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចជា៖

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

ក្នុងករណីខ្លះ វាងាយស្រួលក្នុងការបកស្រាយសមភាពលទ្ធផលតាមវិធីនេះ៖

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

នៅទីនេះយើងដាក់លេខពីរដែលពាក្យទីមួយ = –4a និងទីពីរ = –3b ។ បន្ទាប់យើងទទួលបាន (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² និងចុងក្រោយ៖

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

វាក៏អាចធ្វើទៅបានផងដែរ ដើម្បីទទួលបាន និងចងចាំរូបមន្តសម្រាប់ squaring trinomial មួយ quadrinomial ឬ polynomial ណាមួយជាទូទៅ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនឹងមិនធ្វើបែបនេះទេ ព្រោះយើងកម្រត្រូវប្រើរូបមន្តទាំងនេះណាស់ ហើយប្រសិនបើយើងត្រូវការការេពហុនាមណាមួយ (លើកលែងតែលេខពីរ) យើងនឹងកាត់បន្ថយបញ្ហាទៅជាគុណ។ ឧទាហរណ៍:

31. ចូរយើងអនុវត្តសមភាព 3 ដែលទទួលបានគឺ:

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

ទៅនព្វន្ធ។

អនុញ្ញាតឱ្យវាក្លាយជា 41 ∙ 39។ បន្ទាប់មកយើងអាចតំណាងវាក្នុងទម្រង់ (40 + 1) (40 – 1) ហើយកាត់បន្ថយបញ្ហាទៅជាសមភាពទីមួយ យើងទទួលបាន 40² – 1 ឬ 1600 – 1 = 1599។ អរគុណចំពោះបញ្ហានេះ។ វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តគុណដូចជា 21 ∙ 19; ២២ ∙ ១៨; ៣១ ∙ ២៩; ៣២ ∙ ២៨; 71 ∙ 69 ។ល។

សូមឱ្យវាក្លាយជា 41 ∙ 41; វាដូចគ្នានឹង 41² ឬ (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681។ ផងដែរ 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការ 37 ∙ 37 បន្ទាប់មកនេះគឺស្មើនឹង (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369 ។ ការគុណបែបនេះ (ឬការបំបែកលេខពីរខ្ទង់) មានភាពងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្ត ដោយមានជំនាញខ្លះនៅក្នុងចិត្ត។

* ការ៉េរហូតដល់រាប់រយ

ច្បាប់ទី១ (កាត់១០លេខ)

ក្បួនទី 2 (កាត់ចេញ 10 លេខ)

ច្បាប់លេខ ៣ (កាត់ ៨ លេខ)

ច្បាប់ទី ៤ (កាត់ ៨ លេខ)

ច្បាប់លេខ ៥ (កាត់ ៨ លេខ)

ច្បាប់លេខ ៦ (កាត់ចេញ ៣២ លេខ)

រូបមន្ត (នៅសល់ 24 ខ្ទង់)

សម្រាប់លេខពី 25 ទៅ 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
ឧទាហរណ៍:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

សម្រាប់លេខពី 50 ទៅ 100

XX * XX = 200(XX - 25) + (100 - XX)^2

ឧទាហរណ៍:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

ជាការពិតណាស់ កុំភ្លេចអំពីរូបមន្តធម្មតាសម្រាប់ការពង្រីកការេនៃផលបូកមួយ (ករណីពិសេសនៃ binomial ញូតុន)៖
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ។
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

ថ្ងៃនេះយើងនឹងរៀនពីរបៀបដើម្បីការ៉េកន្សោមធំយ៉ាងឆាប់រហ័សដោយមិនប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ សរុបមក ខ្ញុំមានន័យថាលេខចាប់ពីដប់ដល់មួយរយ។ កន្សោមធំគឺកម្រមានណាស់នៅក្នុងបញ្ហាពិត ហើយអ្នកដឹងរួចហើយពីរបៀបរាប់តម្លៃតិចជាងដប់ ព្រោះនេះគឺជាតារាងគុណធម្មតា។ សម្ភារៈនៅក្នុងមេរៀនថ្ងៃនេះនឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សដែលមានបទពិសោធន៍ដោយយុត្តិធម៌ ពីព្រោះសិស្សដែលចាប់ផ្តើមដំបូងនឹងមិនពេញចិត្តចំពោះល្បឿន និងប្រសិទ្ធភាពនៃបច្ចេកទេសនេះទេ។

ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងយល់ពីអ្វីដែលយើងកំពុងនិយាយអំពីជាទូទៅ។ ជាឧទាហរណ៍ ខ្ញុំស្នើឱ្យបង្កើតកន្សោមលេខតាមអំពើចិត្ត ដូចដែលយើងធ្វើជាធម្មតា។ ចូរនិយាយថា 34. យើងលើកវាដោយគុណវាដោយខ្លួនវាជាមួយនឹងជួរឈរមួយ៖

\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 គឺជាការ៉េ 34 ។

បញ្ហាជាមួយវិធីសាស្ត្រនេះអាចពិពណ៌នាជាពីរចំណុច៖

1) វាទាមទារឯកសារជាលាយលក្ខណ៍អក្សរ;

2) វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការធ្វើឱ្យមានកំហុសកំឡុងពេលដំណើរការគណនា។

ថ្ងៃនេះយើងនឹងរៀនពីរបៀបគុណយ៉ាងឆាប់រហ័សដោយគ្មានម៉ាស៊ីនគិតលេខដោយផ្ទាល់មាត់និងស្ទើរតែគ្មានកំហុស។

ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។ ដើម្បីធ្វើការ យើងត្រូវការរូបមន្តសម្រាប់ការ៉េនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា។ ចូរយើងសរសេរពួកវាចុះ៖

\[((((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

តើនេះផ្តល់ឱ្យយើងនូវអ្វី? ការពិតគឺថាតម្លៃណាមួយក្នុងចន្លោះពី 10 ដល់ 100 អាចត្រូវបានតំណាងជាលេខ $a$ ដែលបែងចែកដោយ 10 និងលេខ $b$ ដែលជាចំនួនដែលនៅសល់នៃការបែងចែកដោយ 10 ។

ឧទាហរណ៍ 28 អាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោម:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\\ end(តម្រឹម)\]

យើងបង្ហាញឧទាហរណ៍ដែលនៅសល់តាមរបៀបដូចគ្នា៖

\\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\\ end(តម្រឹម)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\\ end(តម្រឹម)\]

\\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\\ end(តម្រឹម)\]

\\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\\ end(តម្រឹម)\]

\\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\\ end(តម្រឹម)\]

\\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\\ end(តម្រឹម)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\\ end(តម្រឹម)\]

តើគំនិតនេះប្រាប់យើងអ្វីខ្លះ? ការពិតគឺថាជាមួយនឹងផលបូក ឬភាពខុសគ្នា យើងអាចអនុវត្តការគណនាដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ។ ជាការពិតណាស់ ដើម្បីកាត់បន្ថយការគណនា សម្រាប់ធាតុនីមួយៗ អ្នកគួរតែជ្រើសរើសកន្សោមដែលមានពាក្យទីពីរតូចបំផុត។ ឧទាហរណ៍ ពីជម្រើស $20+8$ និង $30-2$ អ្នកគួរតែជ្រើសរើសជម្រើស $30-2$។

យើងជ្រើសរើសជម្រើសដូចគ្នាសម្រាប់ឧទាហរណ៍ដែលនៅសល់៖

\\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(តម្រឹម)\]

\\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)&((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]

\\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(តម្រឹម)\]

\[\begin(align)&((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]

\\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\\end(តម្រឹម)\]

\\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\\end(តម្រឹម)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]

ហេតុអ្វីបានជាយើងគួរព្យាយាមកាត់បន្ថយពាក្យទីពីរពេលគុណលឿន? វាទាំងអស់អំពីការគណនាដំបូងនៃការ៉េនៃផលបូកនិងភាពខុសគ្នា។ ការពិតគឺថាពាក្យ $2ab$ ជាមួយបូកឬដកគឺជាការលំបាកបំផុតក្នុងការគណនានៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាពិតប្រាកដ។ ហើយប្រសិនបើកត្តា $a$ ដែលជាផលគុណនៃ 10 តែងតែត្រូវបានគុណយ៉ាងងាយស្រួល បន្ទាប់មកជាមួយនឹងកត្តា $b$ ដែលជាចំនួនចាប់ពីមួយដល់ដប់ សិស្សជាច្រើនតែងតែមានការលំបាក។

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

នេះជារបៀបដែលយើងធ្វើគុណនៃឧទាហរណ៍ប្រាំបីក្នុងរយៈពេលបីនាទី។ វាតិចជាង 25 វិនាទីក្នុងមួយកន្សោម។ តាមការពិត បន្ទាប់ពីការអនុវត្តតិចតួច អ្នកនឹងរាប់កាន់តែលឿន។ វានឹងចំណាយពេលអ្នកមិនលើសពីប្រាំទៅប្រាំមួយវិនាទីដើម្បីគណនាកន្សោមពីរខ្ទង់ណាមួយ។

ប៉ុន្តែនោះមិនមែនទាំងអស់ទេ។ សម្រាប់អ្នកដែលបច្ចេកទេសដែលបានបង្ហាញហាក់ដូចជាមិនលឿនគ្រប់គ្រាន់ និងត្រជាក់គ្រប់គ្រាន់ ខ្ញុំស្នើវិធីសាស្ត្រគុណដែលលឿនជាងមុន ដែលទោះជាយ៉ាងណាមិនដំណើរការសម្រាប់គ្រប់កិច្ចការទាំងអស់ ប៉ុន្តែសម្រាប់តែអ្នកដែលខុសគ្នាដោយមួយពីគុណនឹង 10។ ក្នុង មេរៀនរបស់យើងមានតម្លៃបួនយ៉ាង៖ 51, 21, 81 និង 39 ។

វានឹងហាក់បីដូចជាលឿនជាង យើងរាប់វាតាមព្យញ្ជនៈពីរបីជួរ។ ប៉ុន្តែតាមពិតវាអាចធ្វើទៅបានលឿនឡើង ហើយនេះត្រូវបានធ្វើដូចខាងក្រោម។ យើងសរសេរតម្លៃដែលជាពហុគុណដប់ ដែលជិតបំផុតនឹងអ្វីដែលយើងត្រូវការ។ ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកលេខ 51។ ដូច្នេះ ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ ចូរយើងសង់ហាសិប៖

\[{{50}^{2}}=2500\]

ពហុគុណដប់គឺងាយស្រួលជាងក្នុងការការ៉េ។ ហើយឥឡូវនេះយើងគ្រាន់តែបន្ថែមហាសិប និង 51 ទៅក្នុងកន្សោមដើម ចម្លើយនឹងដូចគ្នា៖

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

ហើយដូច្នេះជាមួយនឹងលេខទាំងអស់ដែលខុសគ្នាដោយមួយ។

ប្រសិនបើតម្លៃដែលយើងកំពុងស្វែងរកគឺធំជាងតម្លៃដែលយើងកំពុងរាប់នោះ យើងបន្ថែមលេខទៅការ៉េលទ្ធផល។ ប្រសិនបើលេខដែលចង់បានគឺតូចជាងដូចជាក្នុងករណី 39 បន្ទាប់មកនៅពេលអនុវត្តសកម្មភាពអ្នកត្រូវដកតម្លៃចេញពីការ៉េ។ តោះអនុវត្តដោយមិនប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ៖

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់ចម្លើយគឺដូចគ្នា។ លើសពីនេះទៅទៀត បច្ចេកទេសនេះអាចអនុវត្តបានចំពោះតម្លៃដែលនៅជាប់គ្នា។ ឧទាហរណ៍:

\[\begin(align)&((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\\end(តម្រឹម)\]

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះយើងមិនចាំបាច់ចងចាំការគណនានៃការ៉េនៃផលបូកនិងភាពខុសគ្នាហើយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ ល្បឿននៃការងារគឺហួសពីការសរសើរ។ អាស្រ័យហេតុនេះ ចូរចងចាំ អនុវត្ត និងប្រើប្រាស់ក្នុងការអនុវត្ត។

ចំណុចសំខាន់

ដោយប្រើបច្ចេកទេសនេះ អ្នកអាចគុណលេខធម្មជាតិបានយ៉ាងងាយស្រួលចាប់ពី 10 ដល់ 100។ លើសពីនេះ ការគណនាទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្ទាល់មាត់ ដោយគ្មានម៉ាស៊ីនគិតលេខ និងសូម្បីតែគ្មានក្រដាស!

ដំបូងត្រូវចងចាំការការ៉េនៃតម្លៃដែលជាគុណនៃ 10៖

\[\begin(align)&((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

\[\begin(align)&((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\&=900+240+16=1156; \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

\[\begin(align)&((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\&=900-180+9=729 ។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

របៀបរាប់កាន់តែលឿន

ប៉ុន្តែនោះមិនមែនទាំងអស់ទេ! ដោយប្រើកន្សោមទាំងនេះ អ្នកអាចដាក់លេខការ៉េ "ជាប់" ទៅនឹងលេខយោង។ ជាឧទាហរណ៍ យើងដឹង 152 (តម្លៃយោង) ប៉ុន្តែយើងត្រូវស្វែងរក 142 (លេខដែលនៅជាប់គ្នាដែលមួយតិចជាងតម្លៃយោង)។ ចូរយើងសរសេរវាចុះ៖

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\&=225-29=196 ។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

សូមចំណាំ៖ គ្មានទេវកថា! ការេនៃលេខដែលខុសគ្នាដោយ 1 គឺពិតជាទទួលបានដោយការគុណលេខយោងដោយខ្លួនឯងដោយដក ឬបន្ថែមតម្លៃពីរ៖

\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\&=900+61=961។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

ហេតុអ្វីបានជារឿងនេះកើតឡើង? ចូរយើងសរសេររូបមន្តសម្រាប់ការ៉េនៃផលបូក (និងភាពខុសគ្នា)។ សូមឱ្យ $n$ ជាតម្លៃយោងរបស់យើង។ បន្ទាប់មកគេគណនាដូចនេះ៖

\[\begin(align)&((((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\&=(n-1)\cdot n-(n-1) )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\\end(តម្រឹម)\]

- នេះគឺជារូបមន្ត។

\[\begin(align)&((((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\&=(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\\end(តម្រឹម)\]

- រូបមន្តស្រដៀងគ្នាសម្រាប់លេខធំជាង 1 ។

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាបច្ចេកទេសនេះនឹងជួយសន្សំសំចៃពេលវេលាអ្នកលើរាល់ការប្រលងគណិតវិទ្យា និងការប្រឡងដែលមានពិន្ទុខ្ពស់របស់អ្នក។ ហើយនោះជាអ្វីទាំងអស់សម្រាប់ខ្ញុំ។ លាហើយ!

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការបំបែករហ័ស។ ការបំបែកលេខនៅក្នុង Microsoft Excel

ច្បាប់ទី១ (កាត់១០លេខ)

ក្បួនទី 2 (កាត់ចេញ 10 លេខ)

ច្បាប់លេខ ៣ (កាត់ ៨ លេខ)

ច្បាប់ទី ៤ (កាត់ ៨ លេខ)

ច្បាប់លេខ ៥ (កាត់ ៨ លេខ)

ច្បាប់លេខ ៦ (កាត់ចេញ ៣២ លេខ)

រូបមន្ត (នៅសល់ 24 ថ្ងៃ)

ច្បាប់ទី១ (កាត់១០លេខ)

ក្បួនទី 2 (កាត់ចេញ 10 លេខ)

ច្បាប់លេខ ៣ (កាត់ ៨ លេខ)

ច្បាប់ទី ៤ (កាត់ ៨ លេខ)

ច្បាប់លេខ ៥ (កាត់ ៨ លេខ)

ច្បាប់លេខ ៦ (កាត់ចេញ ៣២ លេខ)

រូបមន្ត (នៅសល់ 24 ខ្ទង់)

ចំណុច​សំខាន់

របៀបរាប់កាន់តែលឿន

ចំណុចសំខាន់