9. peatükk Fibonacci, kuldne suhe ja pentacle Fibonacci jada ei ole lihtsalt selle Itaalia matemaatiku leiutatud juhuslike arvude muster. See on looduses toimuvate ja hiljem vastuvõetavate ruumisuhete mõistmise vili

Spiraal. Eluasja mähis Spiraalsus on üks iseloomulikud tunnused kõigist organismidest kui elu olemuse ilmingust. J. Goethe Ambivalentne, mitmetähenduslik püha sümbol. Spiraal kehastab samaaegselt elu ja surma sümboolikat, areng edasi

Archimedese spiraal ja oktaavide seadus Kunst - ja ma mõtlen tõelist, head kunsti - põhineb muu hulgas tasakaalu, dünaamika, asukoha ja kompositsiooni põhimõtetel. Need elemendid peavad olema harmoonias ja üksteisega suhtlema

Archimedese spiraali ehitus Antud Archimedese spiraali samm t jaguneb mitmeks, näiteks kaheksaks, võrdsetes osades. Lõigu otsast O tõmmake ringjoon R = t ja jagage see nii paljudeks võrdseteks osadeks, milleks samm t jagunes Esimesel kiirel raadiusega kaare joonestamisel

Fibonacci jada Pisast pärit matemaatiku Leonardo nime, tuntud kui Fibonacci (Bonacci poeg), seostatakse kuldlõike ajalooga. Ta oli keskaja kuulsaim matemaatik. 1202. aastal ilmus tema teos “Abakuse raamat” (loenduslaud), kus oli

Spiraalil meditatsioon Spiraaliga mediteerimine võtab aega, seda tuleks teha tunni jooksul. Meditatsiooniks on parem valida nädalavahetuse hommiku- või lõunatunnid. Tee meditatsioonituba pimedaks ja süüta küünal. Istuge sirgelt ja proovige kõik minema visata

Archimedese spiraali ehitamine algab ringi ehitamisest, mille raadius on võrdne spiraali sammuga, kasutades käsku Circle. Ringi keskelt KOHTA käsk Segment viiakse läbi horisontaaljoon, võrdne Archimedese spiraali sammuga OA. Ring ja segment on jagatud 12 võrdseks osaks. Joonesegmendi saab jagada 12 võrdseks osaks, kasutades käsku Split curve to n parts. Lõigu jaotuspunktide kaudu OA kasutades käsku Equidistant, kopeeri ringid: neid peaks olema 12. Kasutades käsku Kopeeri ringi, loo 12 osaks jagatud spiraalsest sammust polaarmassiivi (joonis 3.50).

Riis. 3.50. Archimedese spiraali ehitamine

Astmete ja ringide lõikepunktid raadiusega 1/12, 2/12, 3/12 jne. ühendatud polüliiniga, kasutades käsku Line segment, alustades spiraali keskpunktist (punkt KOHTA), võttes arvesse objekti pöörlemissuunda. Kasutades käsku NURBS, saadakse Archimedese spiraali joon (joonis 3.51).

Archimedese spiraali suurema arvu pöörete konstrueerimiseks konstrueerige ring, mille raadius on võrdne spiraali kahe sammuga või kolme astmega, ja jagage vastavalt kaks sammu 24 osaks, 2,5 sammu 30 osaks.

Riis. 3.51. Archimedese spiraal on ehitatud käsuga NURBS

Kahekeskuselise loki ehitus

Esmalt konstrueerige horisontaalne abijoon. Seejärel asetatakse sellele segment. Esimesest keskpunktist ehitatakse ring raadiusega O 1 O 2, teisest keskpunktist raadiusega 2O 1 O 2 (joonis 3.52).

Riis. 3.52. Kahekeskuselise loki ehitamine ringide abil

Pärast vajaliku arvu ringide ehitamist eemaldatakse nende üleliigsed osad käsuga Trim Curve (Joonis 3.53).

Lisage poolringidele radiaalsed mõõtmed, veendudes, et raadius kahekordistub iga järgneva ringi puhul.

Riis. 3.53. Kahekeskuseline lokk

Töö tekstiga

Käsk Text võimaldab teil luua joonisele või fragmendile teksti pealdise. Iga pealdis võib koosneda suvalisest arvust ridadest.

Käsu kutsumiseks klõpsake sümbolite tööriistaribal nuppu Tekst.

Pärast käsu kutsumist lülitub KOMPAS tekstirežiimi. See muudab peamenüü käskude arvu ja nimesid ning kompaktse paneeli koostist.

Lülitite rühma kasutamine Majutus valige teksti asukoht ankurpunkti suhtes.

Põllul Nurk Saate sisestada tekstiridade kaldenurga praeguse koordinaatsüsteemi X-telje suhtes.

Määrake teksti kinnituspunkt.

Sisestage vajalik arv ridu, lõpetades kõik klahvivajutusega<Sisenema>.

Saate muuta teksti vaikesätteid, kasutades vahekaardil asuvaid juhtnuppe Vormindamine Atribuutide paneelid, samuti erinevate spetsiaalsete objektide sisestamine vahekaardi elementide abil Sisestage.

Pildi jäädvustamiseks vajutage nuppu Loo objekt spetsiaalsel juhtpaneelil.

Laboratoorsete tööde tegemise kord

Looge uus fragment.

Koostage ülesande järgi Archimedese spiraal.

Loo kohandatud lokk.

Salvestage fail.

Sisestage vajalikud mõõtmed.

Sisestage käsku Tekst kasutades spiraali keskpunkti ja sammu tähistus.

Looge fragmenti pealdis, mis sisaldab õpilase nime, rühma, nr. laboritööd, valiku number, loomise kuupäev.

Archimedese spiraale kasutatakse laialdaselt induktiivpoolide, spiraalsete soojusvahetite ja mikrofluidikaseadmete geomeetriate konstrueerimiseks. Selles postituses näitame, kuidas konstrueerida Archimedese spiraali kasutades analüütilised väljendid ja nende tuletised vajalike kõverate määratlemiseks. Esmalt loome 2D geomeetria ja seejärel pärast soovitud paksuse määramist teisendame selle 3D-ks, kasutades toimingut Extrude.

Mis on Archimedese spiraal?

Looduses laialt levinud, spiraale või pööriseid kasutatakse paljudes insenerikonstruktsioonid. Näiteks elektrotehnikas ja elektroonikas keritakse induktiivpoolid spiraalikujuliste juhtide abil või projekteeritakse spiraalsed antennid. Masinaehituses kasutatakse spiraale vedrude, spiraalsete hammasrataste või isegi kellamehhanismide kujundamisel, millest üks on näidatud allpool.

Näide Archimedese spiraalist, mida kasutatakse kellamehhanismis. Pilt Greubel Forsey loal. Saadaval CC BY-SA 3.0 all Wikimedia Commonsist.

Selles artiklis analüüsime ainult ühte tüüpi spiraali, nimelt Archimedese spiraali, mida on kujutatud ülaltoodud mehhanismis. Archimedese spiraal- See eriline liik spiraalid, mille pöörete vaheline kaugus on konstantne. Tänu sellele omadusele kasutatakse seda laialdaselt poolide ja vedrude kujundamisel.

Archimedese spiraali võrrand polaarkoordinaatide süsteemis on kirjutatud järgmiselt:

kus a ja b on parameetrid, mis määravad spiraali algraadiuse ja pöörete vahelise kauguse, mis on võrdne 2\pi b. Pange tähele, et mõnikord nimetatakse ka Archimedese spiraali aritmeetiline spiraal. Seda nimetust seostatakse kõvera algusest samal radiaaljoonel asuvate spiraali punktide kauguse aritmeetilise sõltuvusega.

Archimedese spiraali parameetrilise geomeetria määratlemine

Nüüd, kui teate juba, mis on Archimedese spiraal, alustame parameetrite määramist ja geomeetria loomist programmis COMSOL Multiphysics.

Archimedese spiraali saab määrata nii polaar- kui ka ristkoordinaatides.

Kõigepealt peate teisendama spiraalvõrrandi polaarsüsteem koordinaadid Descartes'i ja väljendada iga võrrandit parameetrilisel kujul:

\begin(joona*) x_(komponent)=rcos(\theta) \\ y_(komponent)=rsin(\theta) \end(joonda*)

Pärast spiraalvõrrandi teisendamist parameetrilisel kujul Descartes'i süsteem koordinaadid on kujul:

\begin(joona*) x_(komponent)=(a+b\theta)cos(\theta) \\ y_(komponent)=(a+b\theta)sin(\theta) \end(joonda*)

Programmis COMSOL Multiphysics peame määratlema parameetrite komplekti, mida kasutatakse spiraali geomeetria määratlemiseks. Meie puhul on need vastavalt spiraali a_(algus) ja a_(lõpp) alg- ja lõppraadiused ning pöörete arv n. Heeliksi b kasvuindeks on järgmine:

b=\frac(a_(lõplik)-a_(esialgne))(2 \pi n)

Samuti on vaja määrata spiraali algus- ja lõppnurgad - vastavalt theta_0 ja theta_f. Alustame neist – theta_0=0 ja theta_f=2 \pi n . Antud info põhjal määrame spiraali geomeetria konstrueerimise parameetrid.

Spiraalse geomeetria koostamiseks kasutatavad parameetrid.

Alustame oma ehitust valides kolmemõõtmeline probleem (3D-komponent) ja luua Töötasand(Töötasand) sektsioonis Geomeetria(Geomeetria). Geomeetrias jaoks Töötasand lisama Parameetriline kõver(Parameetriline kõver) ja kirjuta parameetrilised võrrandid, mida on kirjeldatud ülalpool, et määratleda Archimedese spiraali kahemõõtmeline geomeetria. Need võrrandid saab kohe sisestada vahekaardi vastavatele väljadele Väljendus või saate esmalt määrata iga võrrandi eraldi Analüütiline Analüütiline funktsioon:

\begin(joona*) X_(fun)=(a+bs)cos(s) \\ Y_(fun)=(a+bs)sin(s) \\ \end(joona*)

Antud Archimedese spiraalvõrrandi X-komponendi avaldis analüütiline funktsiooni.

Analüütiline funktsiooni saab seejärel kasutada avaldisena parameetrilise kõvera sõlmes. Vahekaardil Parameeter määrake parameeter s algusnurgast theta_0 lõppväärtuseni theta_f=2 \pi n.

Parameetrilise kõvera sätted.

Kui olete kõik parameetrid määranud ja klõpsate nuppu "Ehita valitud", koostatakse ülaltoodud ekraanipildil näidatud kõver. Nüüd määrame spiraali paksuse, et saada kindel kahemõõtmeline joonis.

Kuni selle hetkeni olid meie kõvera parameetrid alg- (a_(initial)) ja lõpp (a_(final)) raadiused ning pöörete arv n. Nüüd tahame lisada veel ühe asja - spiraali paksuse.

Tuletame veel kord meelde spiraali peamist omadust - pöörete vaheline kaugus on konstantne ja võrdne 2 \pi b. Mis on samaväärne \frac(a_(lõplik)-a_(esialgne))(n). Meie võrranditele paksuse lisamiseks esitame pöörete vahelise kauguse spiraali paksuse ja vahe paksus+vahe summana.

Pöörete vaheline kaugus määratakse spiraali paksuse ja pilu suuruse järgi.

\begin(align*) distance=\frac(a_(initial)-a_(final))(n) \\ gap=distance-thick \end(joona*)

Pärast seda väljendame spiraali kasvukiirust paksuse järgi:

\begin(joona*) kaugus=2\pi b \\ b=\frac(vahe+paks)(2\pi) \end(joonda*)

Samuti peate väljendama spiraali lõppnurka algusnurga ja lõppraadiuse kaudu:

\begin(joona*) \theta_(final)=2 \pi n \\ a_(lõplik)=\tekst(kogu kaugus)+a_(algne) \\ a_(lõplik)=2 \pi bn+a_(algne) \\ n=\frac(a_(lõplik)-a_(algne))(2 \pi b) \\ \theta_(lõplik)=\frac(2 \pi (a_(lõplik)-a_(algne)( 2 \pi b) \\ \theta_(lõplik)=\frac(a_(lõplik)-a_(esialgne))(b) \end(joonda*)

Kas soovite seada spiraalile nullist erineva algusnurga? Kui jah, siis tuleb see lõpliku nurga määramiseks avaldisele lisada: teeta_f=\frac(a_(lõplik)-a_(algne))(b)+teeta_0.

Spiraalkõvera kahekordne dubleerimine nihkega -\frac(thick)(2) ja +\frac(thick)(2) algkõvera suhtes võimaldab ehitada etteantud paksusega spiraali. Sisemise ja välimise spiraali õigeks positsioneerimiseks peate veenduma, et nende kõverate algused on risti joonega, millel nende alguspunktid asuvad. Seda saab teha, korrutades nihkekauguse \pm\frac(thick)(2) ühikvektoriga, mis on normaalne spiraali algkõvera suhtes. Normaalvektorite võrrandid parameetrilisel kujul:

n_x=-\frac(dy)(ds) \quad \text(and) \quad n_y=\frac(dx)(ds)

kus s on parameetrilise kõvera sõlmes kasutatav parameeter. Normaliseerimiseks ühikvektorid, on vaja need avaldised jagada normaalse pikkusega:

\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2)

Värskendatud parameetrilised võrrandid Archimedese nihkespiraali jaoks:

\begin(joona*) x_(komponent)=(a+bs)cos(s)-\frac(dy/ds)(\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2))\ frac(paks)(2) \\ y_(komponent)=(a+bs)sin(s)+\frac(dx/ds)(\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2 ))\frac(paks)(2)\end(joonda*)

Nii pikkade väljendite kirjutamine on üsna ebamugav, seetõttu tutvustame järgmist tähistust:

\begin(joona*) N_x=-\frac(dy/ds)(\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2)) \\ N_y=\frac(dx/ds)(\ sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2 )) \end(joonda*)

kus N_x ja N_y on defineeritud analüütiline funktsioonid programmis COMSOL Multiphysics, sarnaselt esimeses näites X_(fun) ja Y_(fun). Funktsiooni sees kasutatakse tuletisoperaatorit d(f(x),x), nagu on näidatud alloleval ekraanipildil.

Näited tuletisoperaatorist, mida kasutatakse analüütiline funktsioonid

Funktsioone X_(fun) , Y_(fun) , N_x ja N_y saab kasutada avaldistes parameetrilise kõvera määratlemiseks ühel viisil:

\begin(joona*) x_(alumine)=X_(lõbus(ad)+N_x(s)\frac(paks)(2) \\ y_(madalam)=Y_(lõbus(id)+N_y(s) \frac(paks)(2) \end(joonda*)

Ja nii edasi:

\begin(joona*) x_(ülemine)=X_(lõbus(id)-N_x(s)\frac(paks)(2) \\ y_(ülemine)=Y_(lõbus(id)-N_y(s) \frac(paks)(2) \end(joonda*)

Teise nihutatud parameetrilise kõvera avaldised.

Otste ühendamiseks lisame veel kaks parameetrilist kõverat kasutades väiksemaid muudatusiülaltoodud võrrandid. Kõvera jaoks, mis ühendab spiraali keskel, peate määrama X_(fun) , Y_(fun) , N_x ja N_y Algne väärtus nurk, teeta. Otse ühendavale kõverale tuleb anda lõplik teeta väärtus. Selle põhjal on kõvera keskpunkti võrrandid järgmised:

\begin(align*) X_(fun)(theta_0)+s\cdot N_x(theta_0)\cdot\frac(paks)(2) \\ Y_(fun)(theta_0)+s\cdot N_y(theta_0)\cdot \frac(paks)(2) \end(joonda*)

Kõvera võrrandid lõpus:

\begin(align*) X_(fun)(theta_f)+s\cdot N_x(theta_f)\cdot\frac(paks)(2) \\ Y_(fun)(theta_f)+s\cdot N_y(theta_f)\cdot \frac(paks)(2) \end(joonda*)

Nendes võrrandites varieerub parameeter s vahemikus -1 kuni 1, nagu on näidatud alloleval ekraanipildil.

Spiraali keskpunktis ühendava kõvera võrrandid.

Selle tulemusena on meil viis kõverat, mis määratlevad spiraali keskjoone ja selle neli külge. Keskjoon saab keelata (funktsiooni keelata) või isegi eemaldada, kuna see pole vajalik. Sõlme lisamisega Teisenda tahkeks, loome singli geomeetriline objekt. Viimane samm on selle profiili väljapressimine toimingu abil Ekstrudeerida ja kolmemõõtmelise objekti loomine.

Täis geomeetriline jada ja spiraali piklik (ekstrudeeritud) kolmemõõtmeline geomeetria.

Kokkuvõte Archimedese spiraali simuleerimisest COMSOLi multifüüsikas

Selles märkuses uurisime peamisi samme parameetrilise Archimedese spiraali loomiseks. Selle mudeliga saate katsetada erinevad tähendused parameetrid ja proovige selle parameetrite abil optimeerimisprobleemi lahendada. Loodame, et see artikkel oli kasulik ja kandideerite seda tehnikat nende järgnevates mudelites.

Täiendavad ressursid spiraali kujundamise ja arvutamise kohta

• Spiraalmodelleerimise oskuste parandamiseks vaadake järgmisi õpetusmudeleid:
• Vaadake ühe meie kasutaja kogemust: