Vastus: seeria läheb lahku.

Näide nr 3

Leidke seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ summa.

Kuna liitmise alumine piir on 1, siis kirjutatakse seeria ühine liige summamärgi alla: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Teeme rea n-nda osasumma, s.o. Summeerime antud arvuseeria esimesed $n$ liikmed:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9) )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Miks ma kirjutan täpselt $\frac(2)(3\cdot 5)$, mitte $\frac(2)(15)$, selgub edasisest jutustusest. Osalise summa kirja panemine ei toonud meid aga eesmärgile lähemale. Peame leidma $\lim_(n\to\infty)S_n$, aga kui me lihtsalt kirjutame:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

siis see plaat, vormilt täiesti õige, ei anna meile sisuliselt midagi. Piirmäära leidmiseks tuleb esmalt lihtsustada osasumma avaldist.

Selle jaoks on olemas standardteisendus, mis seisneb rea üldliikmet esindava murdosa $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ jagamises elementaarmurdudeks. Eraldi teema on pühendatud ratsionaalsete murdude elementaarmurdudeks lagundamise küsimusele (vt nt sellel lehel näidet nr 3). Laiendades murdosa $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ elementaarmurdudeks, saame:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Võrdsustame saadud võrrandi vasakul ja paremal küljel olevate murdude lugejad:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

$A$ ja $B$ väärtuste leidmiseks on kaks võimalust. Saate avada sulud ja tingimusi ümber korraldada või lihtsalt asendada mõne sobiva väärtusega $n$ asemel. Lihtsalt mitmekesisuse huvides läheme selles näites esimest teed ja järgmises asendame privaatsed väärtused $n$. Sulgude avamisel ja tingimuste ümberkorraldamisel saame:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Võrdsuse vasakul küljel on $n$ ees null. Kui soovite, võib selguse huvides võrdsuse vasakut poolt esitada kujul $0\cdot n+ 2$. Kuna võrduse $n$ vasakul poolel eelneb null ja võrrandi $n$ paremal poolel $2A+2B$, on meil esimene võrrand: $2A+2B=0$. Jagame kohe selle võrrandi mõlemad pooled 2-ga, mille järel saame $A+B=0$.

Kuna võrdsuse vasakul pool on vaba liige võrdne 2-ga ja võrdsuse paremal pool on vaba liige $3A+B$, siis $3A+B=2$. Niisiis, meil on süsteem:

$$ \left\(\begin(joondatud) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(joondatud)\right. $$

Tõestuse teostame matemaatilise induktsiooni meetodil. Esimeses etapis peate kontrollima, kas $n=1$ puhul on tõestatav võrdsus tõene $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Teame, et $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, aga kas avaldis $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ annab väärtuse $\frac( 2 )(15)$, kui asendame selle väärtusega $n=1$? Kontrollime:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Seega on $n=1$ võrdus $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ täidetud. See lõpetab matemaatilise induktsiooni meetodi esimese etapi.

Oletame, et $n=k$ korral on võrdsus täidetud, s.t. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Tõestame, et sama võrdus on täidetud ka $n=k+1$ korral. Selleks kaaluge $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Kuna $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, siis $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Vastavalt ülaltoodud eeldusele $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, seega valem $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ toimub järgmisel kujul:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ murd(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Järeldus: valem $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ on õige $n=k+1$ jaoks. Seetõttu on matemaatilise induktsiooni meetodi kohaselt valem $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ mis tahes $n\in N$ puhul tõene. Võrdsus on tõestatud.

Kõrgema matemaatika tavakursusel on nad tavaliselt rahul terminite "kriipsutamisega" ilma tõendeid nõudmata. Nii saime n-nda osasumma avaldise: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Leiame $\lim_(n\to\infty)S_n$ väärtuse:

Järeldus: antud seeria koondub ja selle summa on $S=\frac(1)(3)$.

Teine võimalus osalise summa valemi lihtsustamiseks.

Ausalt, ma ise eelistan seda meetodit :) Paneme osasumma kirja lühendatult:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Saime varem, et $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, seega:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$

Summa $S_n$ sisaldab piiratud arvu termineid, nii et saame neid vastavalt soovile ümber korraldada. Soovin esmalt lisada kõik vormi $\frac(1)(2k+1)$ terminid ja alles siis liikuda edasi vormi $\frac(1)(2k+3)$ terminite juurde. See tähendab, et esitame osalise summa järgmiselt:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Muidugi on laiendatud tähistus äärmiselt ebamugav, nii et ülaltoodud võrdsust saab kirjutada kompaktsemalt:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Nüüd teisendame avaldised $\frac(1)(2k+1)$ ja $\frac(1)(2k+3)$ üheks vormiks. Arvan, et seda on mugav taandada suurema fraktsiooni kujule (kuigi võib ka väiksemat kasutada, see on maitse asi). Kuna $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (mida suurem on nimetaja, seda väiksem on murd), anname murdosa $\frac(1)(2k+ 3) $ kujule $\frac(1)(2k+1)$.

Esitan avaldise murdosa $\frac(1)(2k+3)$ nimetajas järgmiselt:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Ja summa $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ saab nüüd kirjutada järgmiselt:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Kui võrdus $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ ei tekita küsimusi, siis läheme edasi. Kui teil on küsimusi, laiendage märkust.

Kuidas saime konverteeritud summa? Näita Peida

Meil oli seeria $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Võtame $k+1$ asemel kasutusele uue muutuja – näiteks $t$. Seega $t=k+1$.

Kuidas vana muutuja $k$ muutus? Ja see muutus 1-lt $n$-ks. Uurime, kuidas muutub uus muutuja $t$. Kui $k=1$, siis $t=1+1=2$. Kui $k=n$, siis $t=n+1$. Seega saab avaldis $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ nüüd järgmiseks: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Meil on summa $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Küsimus: kas on vahet, millist tähte selles koguses kasutatakse? :) Kirjutades lihtsalt $t$ asemel tähe $k$, saame järgmise:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Nii saame võrrandi $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

Seega võib osasummat esitada järgmiselt:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Pange tähele, et summad $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ ja $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ erinevad ainult summeerimispiiride poolest. Muudame need piirid samaks. "Võttes ära" esimese elemendi summast $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ saame:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

"Võttes ära" viimase elemendi summast $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, saame:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3) ).$$

Siis on osasumma avaldis kujul:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Kui jätate kõik selgitused vahele, toimub n-nda osasumma lühendatud valemi leidmine järgmisel kujul:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Tuletan meelde, et taandasime murdosa $\frac(1)(2k+3)$ kujule $\frac(1)(2k+1)$. Muidugi võib teha ka vastupidi, s.t. esindama murdosa $\frac(1)(2k+1)$ kujul $\frac(1)(2k+3)$. Osasumma lõplik avaldis ei muutu. Sel juhul peidan osasumma leidmise protsessi märkuse alla.

Kuidas leida $S_n$, kui teisendada teiseks murdeks? Näita Peida

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k=) 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\parem) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3 ). $$

Niisiis, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Leidke piirang $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Antud jada koondub ja selle summa $S=\frac(1)(3)$.

Vastus: $S=\frac(1)(3)$.

Sarja summa leidmise teema jätkust tuleb juttu teises ja kolmandas osas.

Põhimääratlused

Definitsioon. Lõpmatu arvujada liikmete summat nimetatakse arvujadaks.

Sel juhul nimetame numbreid seeria liikmeteks ja un - seeria ühiseks terminiks.

Definitsioon. Summasid, n = 1, 2, ... nimetatakse jada eraviisilisteks (osalisteks) summadeks.

Seega on võimalik arvestada seeriate S1, S2, …, Sn, … osasummade jadadega.

Definitsioon. Seeriat nimetatakse koonduvaks, kui selle osasummade jada läheneb. Konvergentse jada summa on selle osasummade jada piir.

Definitsioon. Kui rea osasummade jada lahkneb, s.o. millel pole piirangut või on lõpmatu piir, siis nimetatakse seeriat lahknevaks ja sellele summat ei määrata.

Rea omadused

1) Kui muudate, loobute või lisate piiratud arvu seeria liikmeid, seeriate lähenemist või lahknemist ei rikuta.

2) Vaatleme kahte seeriat ja kus C on konstantne arv.

Teoreem. Kui jada läheneb ja selle summa on võrdne S-ga, siis ka seeria koondub ja selle summa on võrdne CS-ga. (C 0)

3) Vaatleme kahte rida ja. Nende ridade summat või erinevust nimetatakse jadaks, kus elemendid saadakse samade arvudega algelementide liitmise (lahutamise) tulemusena.

Teoreem. Kui jada ja koonduvad ning nende summad on vastavalt võrdsed S ja, siis ka seeria koondub ja selle summa on võrdne S +.

Kahe koonduva jada erinevusest saab samuti koonduv jada.

Konvergentse ja lahkneva jada summa on lahknev jada.

Kahe lahkneva rea ​​summa kohta on võimatu teha üldist väidet.

Sarjade uurimisel lahendavad nad peamiselt kahte ülesannet: konvergentsi uurimine ja ridade summa leidmine.

Cauchy kriteerium.

(vajalikud ja piisavad tingimused ridade koondumiseks)

Selleks, et jada oleks konvergentne, on vajalik ja piisav, et iga jaoks on olemas arv N, nii et n > N ja mis tahes p > 0 korral, kus p on täisarv, kehtiks ebavõrdsus:

Tõestus. (vajadus)

Olgu siis mis tahes arvu jaoks olemas arv N, nii et ebavõrdsus

on täidetud, kui n>N. Kui n>N ja mis tahes täisarv p>0, kehtib ka ebavõrdsus. Võttes arvesse mõlemat ebavõrdsust, saame:

Vajadus on tõestatud. Me ei arvesta piisavuse tõestusega.

Sõnastame seeria jaoks Cauchy kriteeriumi.

Selleks, et rida oleks koonduv, on vajalik ja piisav, et iga jaoks on olemas arv N, mis n>N ja mis tahes p>0 korral kehtiks ebavõrdsus

Praktikas pole Cauchy kriteeriumi otsene kasutamine aga kuigi mugav. Seetõttu kasutatakse reeglina lihtsamaid konvergentsi teste:

1) Kui jada koondub, siis on vajalik, et ühine liige un kalduks nulli. Sellest tingimusest aga ei piisa. Võime vaid öelda, et kui levinud termin ei kipu nulli, siis seeriad lähevad kindlasti lahku. Näiteks nn harmooniline jada on lahknev, kuigi selle ühine termin kipub olema null.

Numbriseeria on jada, mida käsitletakse koos mõne teise jadaga (seda nimetatakse ka osasummade jadaks). Sarnaseid mõisteid kasutatakse matemaatilises ja kompleksanalüüsis.

Arvuridade summat saab Excelis lihtsalt välja arvutada funktsiooni SERIES.SUM abil. Vaatame selle funktsiooni toimimise näidet ja koostame seejärel funktsioonide graafiku. Õpime kasutama arvurida praktikas kapitali kasvu arvutamisel. Aga kõigepealt väike teooria.

Numbriseeria summa

Arvurida võib käsitleda kui arvude lähenduste süsteemi. Selle määramiseks kasutage valemit:

Siin on seeria esialgne numbrijada ja summeerimisreegel:

• ∑ - summa matemaatiline märk;
• a i - üldine argument;
• i on muutuja, reegel iga järgneva argumendi muutmiseks;
• ∞ on lõpmatuse märk, “piir”, milleni summeerimine toimub.

Tähistus tähendab: naturaalarvud 1-st “pluss lõpmatuseni” liidetakse. Kuna i = 1, algab summa arvutamine ühest. Kui siin oleks mõni muu arv (näiteks 2, 3), siis alustaks summeerimist sellest (alates 2, 3).

Kooskõlas muutujaga i saab seeria kirjutada laiendatuna:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (kuni "pluss lõpmatuseni").

Arvuridade summa definitsioon on antud “osasummade” kaudu. Matemaatikas on neid tähistatud Sn. Kirjutame oma arvuseeria osasummade kujul:

S 2 = a 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3

S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4

Arvrea summa on osasummade S n piir. Kui piir on piiratud, räägime "koonduvast" seeriast. Lõpmatu - umbes "lahknev".

Esiteks leiame arvuseeria summa:

Nüüd koostame Excelis seerialiikmete väärtuste tabeli:

Üldise esimese argumendi võtame valemist: i=3.

Leiame kõik järgmised i väärtused, kasutades valemit: =B4+$B$1. Asetage kursor lahtri B5 paremasse alumisse nurka ja korrutage valem.

Leiame väärtused. Muutke lahter C4 aktiivseks ja sisestage valem: =SUM(2*B4+1). Kopeerige lahter C4 määratud vahemikku.

Argumentide summa väärtus saadakse funktsiooniga: =SUM(C4:C11). Kiirklahvide kombinatsioon ALT+“+” (pluss klaviatuuril).



ROW.SUM funktsioon Excelis

Arvuridade summa leidmiseks Excelis kasutage matemaatilist funktsiooni SERIES.SUM. Programm kasutab järgmist valemit:

Funktsiooni argumendid:

• x – muutuv väärtus;
• n – aste esimese argumendi jaoks;
• m on samm, mille võrra suurendatakse kraadi iga järgneva liikme jaoks;
• a on x vastavate astmete koefitsiendid.

Olulised tingimused funktsiooni toimimiseks:

• kõik argumendid on kohustuslikud (st kõik tuleb täita);
• kõik argumendid on NUMBRID väärtused;
• koefitsientide vektoril on kindel pikkus (lõpmatuse piir ei tööta);
• "koefitsientide" arv = argumentide arv.

Sarja summa arvutamine Excelis

Sama funktsioon SERIES.SUM töötab võimsusseeriatega (üks funktsionaalsete seeriate variantidest). Erinevalt numbrilistest on nende argumendid funktsioonid.

Funktsionaalseid seeriaid kasutatakse sageli finants- ja majandussfääris. Võib öelda, et see on nende rakendusala.

Näiteks panid nad teatud perioodiks (n) panka kindla summa raha (a). Meil on aastamakse x protsenti. Kogunenud summa arvutamiseks esimese perioodi lõpus kasutatakse valemit:

S1 = a (1 + x).

Teise ja järgnevate perioodide lõpus on väljendite vorm järgmine:

S2 = a (1 + x)2; S 3 = a (1 + x) 2 jne.

Kogusumma leidmiseks:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Osalised summad Excelis leiate funktsiooni BS() abil.

Treeningülesande esialgsed parameetrid:

Kasutades standardset matemaatilist funktsiooni, leiame akumuleeritud summa termini lõpus. Selleks kasutame lahtris D2 valemit: =B2*DEGREE(1+B3;4)

Nüüd lahendame lahtris D3 sama probleemi, kasutades sisseehitatud Exceli funktsiooni: =BS(B3;B1;;-B2)

Tulemused on samad, nagu peab.

Funktsiooni BS() argumentide täitmine:

1. “Intress” on intressimäär, millega hoius tehakse. Kuna protsentuaalne vorming on määratud lahtris B3, määrasime lihtsalt argumendiväljale selle lahtri lingi. Kui arv oleks määratud, siis kirjutataks see sajandikuna sellest (20/100).
2. "Nper" on intressimaksete perioodide arv. Meie näites – 4 aastat.
3. "Plt" - perioodilised maksed. Meie puhul neid pole. Seetõttu me argumendivälja ei täida.
4. "Ps" - "praegusväärtus", sissemakse summa. Kuna oleme selle rahaga mõnda aega lahku läinud, tähistame parameetrit “-” märgiga.

Seega aitas funktsioon BS meil leida funktsionaalsete seeriate summa.

Excelis on ka teisi sisseehitatud funktsioone erinevate parameetrite leidmiseks. Tavaliselt on need funktsioonid investeerimisprojektide, väärtpaberite ja amortisatsioonimaksetega töötamiseks.

Arvridade summa joonistamise funktsioonid

Koostame kapitali kasvu kajastava funktsioonigraafiku. Selleks peame konstrueerima funktsiooni graafiku, mis on konstrueeritud jada summa. Võtame näitena samad andmed deposiidi kohta:

Esimene rida näitab kogunenud summat ühe aasta pärast. Teises - kahes. Ja nii edasi.

Loome veel ühe veeru, milles kajastame kasumit:

Nagu arvasime – valemiribal.

Saadud andmete põhjal koostame funktsioonide graafiku.

Valime 2 vahemikku: A5:A9 ja C5:C9. Minge vahekaardile "Sisesta" - tööriist "Diagrammid". Valige esimene diagramm:

Teeme probleemi veelgi "rakendatavamaks". Näites kasutasime liitintressi. Need kogunevad eelmisel perioodil kogunenud summalt.

Võtame võrdluseks lihtsa huvi. Lihtne intressivalem Excelis: =$B$2*(1+A6*B6)

Lisame saadud väärtused graafikule “Kapitali kasv”.

On ilmne, milliseid järeldusi investor teeb.

Funktsionaalrea osasumma (lihtintressiga) matemaatiline valem: S n = a (1 + x*n), kus a on sissemakse algsumma, x on intress, n on periood.

Selleks, et arvutada rea ​​summa, peate lihtsalt rea elemendid teatud arv kordi lisama. Näiteks:

Ülaltoodud näites tehti seda väga lihtsalt, kuna see tuli summeerida piiratud arv kordi. Aga mis siis, kui summeerimise ülempiir on lõpmatus? Näiteks kui peame leidma järgmiste seeriate summa:

Analoogiliselt eelmise näitega võime selle summa kirjutada järgmiselt:

Aga mida edasi teha?! Selles etapis on vaja kontseptsiooni tutvustada sarja osaline summa. Niisiis, sarja osaline summa(tähistatud S n) on seeria esimese n liikme summa. Need. meie puhul:

Seejärel saab osasumma piiriks arvutada algseeria summa:

Seega jaoks rea summa arvutamine, on vaja kuidagi leida avaldis rea (S n ) osasummale. Meie konkreetsel juhul on seeria kahanev geomeetriline progressioon, mille nimetaja on 1/3. Nagu teate, arvutatakse geomeetrilise progressiooni esimese n elemendi summa järgmise valemi abil:

siin b 1 on geomeetrilise progressiooni esimene element (meie puhul on see 1) ja q on progressiooni nimetaja (meie puhul 1/3). Seetõttu on meie seeria osasumma S n võrdne:

Siis on meie seeria (S) summa vastavalt ülaltoodud definitsioonile võrdne:

Eespool käsitletud näited on üsna lihtsad. Tavaliselt on seeriate summa arvutamine palju keerulisem ja suurim raskus seisneb seeriate osasumma leidmises. Allpool toodud võrgukalkulaator, mis on loodud süsteemi Wolfram Alpha baasil, võimaldab arvutada üsna keerukate seeriate summa. Veelgi enam, kui kalkulaator ei leidnud rea summat, on tõenäoline, et seeria on lahknev (sel juhul kuvab kalkulaator sõnumi nagu “summa lahkneb”), s.t. See kalkulaator aitab kaudselt saada aimu ka seeriate konvergentsist.

Oma seeria summa leidmiseks peate määrama seeria muutuja, liitmise alam- ja ülemise piiri, samuti seeria n-nda liikme avaldise (st seeria enda tegeliku avaldise) .

Põhimääratlused.

Definitsioon. Nimetatakse lõpmatu arvujada liikmete summat numbriseeria.

Samas ka numbrid
nimetame neid sarja liikmeteks ja u n– sarja tavaline liige.

Definitsioon. Summad
,n = 1, 2, … kutsutakse eraõiguslikud (osalised) summad rida.

Seega on võimalik arvestada seeriate osasummade jadasid S 1 , S 2 , …, S n , …

Definitsioon. Rida
helistas koonduv, kui selle osasummade jada läheneb. Konvergentsete ridade summa on selle osasummade jada piir.

Definitsioon. Kui rea osasummade jada lahkneb, s.o. millel pole piirangut või on lõpmatu piir, siis nimetatakse seeriat lahknev ja sellele pole määratud summat.

Ridade omadused.

1) Kui muudate, loobute või lisate piiratud arvu seeria liikmeid, seeriate lähenemist või lahknemist ei rikuta.

2) Vaatleme kahte rida
Ja
, kus C on konstantne arv.

Teoreem. Kui rida
koondub ja selle summa on võrdneS, siis seeria
samuti koondub ja selle summa on võrdne C-gaS. (C  0)

3) Kaaluge kahte rida
Ja
.Summa või erinevus nendest seeriatest nimetatakse sarjaks
, kus elemendid saadakse samade arvudega algelementide liitmisel (lahutamisel).

Teoreem. Kui read
Ja
koonduvad ja nende summad on vastavalt võrdsedSJa , siis seeria
samuti koondub ja selle summa on võrdneS +  .

Kahe koonduva jada erinevusest saab samuti koonduv jada.

Konvergentse ja lahkneva jada summa on lahknev jada.

Kahe lahkneva rea ​​summa kohta on võimatu teha üldist väidet.

Sarjade uurimisel lahendavad nad peamiselt kahte ülesannet: konvergentsi uurimine ja ridade summa leidmine.

Cauchy kriteerium.

(vajalikud ja piisavad tingimused ridade koondumiseks)

Selleks, et jada
oli konvergentne, on vajalik ja piisav, et mis tahes
oli selline numberN, et kln > Nja mis taheslk> 0, kus p on täisarv, kehtiks järgmine ebavõrdsus:

.

Tõestus. (vajadus)

Lase
, siis mis tahes numbri jaoks
on arv N, nii et ebavõrdsus

on täidetud, kui n>N. Kui n>N ja mis tahes täisarv p>0, kehtib ka ebavõrdsus
. Võttes arvesse mõlemat ebavõrdsust, saame:

Vajadus on tõestatud. Me ei arvesta piisavuse tõestusega.

Sõnastame seeria jaoks Cauchy kriteeriumi.

Selleks, et seeria
oli konvergentne, on vajalik ja piisav, et mis tahes
oli numberNselline, et kln> Nja mis taheslk>0 ebavõrdsus kehtiks

.

Praktikas pole Cauchy kriteeriumi otsene kasutamine aga kuigi mugav. Seetõttu kasutatakse reeglina lihtsamaid konvergentsi teste:

1) Kui rida
koondub, siis on vajalik, et ühine termin u n kippus nulli. Sellest tingimusest aga ei piisa. Võime vaid öelda, et kui levinud termin ei kipu nulli, siis seeriad lähevad kindlasti lahku. Näiteks nn harmoonilised seeriad on lahknev, kuigi selle ühine termin kipub olema null.

Näide. Uurige seeria konvergentsi

Me leiame
- konvergentsi vajalik kriteerium ei ole täidetud, mis tähendab, et jada lahkneb.

2) Kui jada läheneb, siis on selle osasummade jada piiratud.

Kuid ka see märk ei ole piisav.

Näiteks seeria 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… lahkneb, sest selle osasummade jada lahkneb seetõttu, et

Osasummade jada on aga piiratud, sest
igal juhul n.

Mittenegatiivsete terminitega sari.

Konstantse märgi seeriate uurimisel piirdume mittenegatiivsete terminitega seeriate käsitlemisega, sest nendest seeriatest lihtsalt –1-ga korrutamine võib saada negatiivsete tingimustega seeriaid.

Teoreem. Seeriate lähendamiseks
mittenegatiivsete terminitega on vajalik ja piisav, et rea osasummad oleksid piiratud.

Märk seeriate võrdlemiseks mittenegatiivsete terminitega.

Olgu antud kaks rida
Ja
juures u n , v n  0 .

Teoreem. Kui u n  v n igal juhul n, siis seeriate konvergentsist
seeria läheneb
, ja seeriate lahknemisest
seeria läheb lahku
.

Tõestus. Tähistagem poolt S n Ja  n seeriate osalised summad
Ja
. Sest vastavalt teoreemi tingimustele jada
koondub, siis on selle osasummad piiratud, s.t. kõigi ees n n  M, kus M on teatud arv. Aga sest u n  v n, See S n   n siis seeria osasummad
on samuti piiratud ja sellest piisab lähenemiseks.

Näide. Uurige seeriat lähenemise suhtes

Sest
ja harmoonilised seeriad lahkneb, siis seeria lahkneb
.

Näide.

Sest
, ja sari
koondub (nagu kahanev geomeetriline progressioon), siis seeria
samuti koondub.

Kasutatakse ka järgmist lähenemismärki:

Teoreem. Kui
ja seal on piir
, Kush– nullist erinev arv, seejärel seeria
Ja
konvergentsi seisukohalt identselt käituma.

D'Alemberti märk.

(Jean Leron d'Alembert (1717-1783) – prantsuse matemaatik)

Kui seeria jaoks
positiivsete tingimustega on selline arvq<1, что для всех достаточно больших nebavõrdsus kehtib

siis sari
koondub, kui kõigi jaoks on need piisavalt suuredntingimus on täidetud

siis sari
lahkneb.

D'Alemberti piirav märk.

D'Alembert'i piirav kriteerium on ülaltoodud D'Alemberti kriteeriumi tagajärg.

Kui on piir
, siis kui < 1 ряд сходится, а при  > 1 – lahkneb. Kui = 1, siis ei saa konvergentsi küsimusele vastata.

Näide. Määrake seeria konvergents .

Järeldus: seeria läheneb.

Näide. Määrake seeria konvergents

Järeldus: seeria läheneb.

Cauchy märk. (radikaalne märk)

Kui seeria jaoks
mittenegatiivsete terminitega on selline arvq<1, что для всех достаточно больших nebavõrdsus kehtib

,

siis sari
koondub, kui kõigi jaoks on need piisavalt suurednebavõrdsus kehtib

siis sari
lahkneb.

Tagajärg. Kui on piir
, siis kui<1 ряд сходится, а при >1. rida lahkneb.

Näide. Määrake seeria konvergents
.

Järeldus: seeria läheneb.

Näide. Määrake seeria konvergents
.

Need. Cauchy test ei anna vastust seeria konvergentsi küsimusele. Kontrollime, kas vajalikud konvergentsitingimused on täidetud. Nagu eespool mainitud, kui seeria läheneb, siis seeria ühine liige kipub nulli.

,

Seega ei ole konvergentsi vajalik tingimus täidetud, mis tähendab, et jada lahkneb.

Integraalne Cauchy test.

Kui (x) on pidev positiivne funktsioon, mis intervalli jooksul väheneb Ja
siis integraalid
Ja
konvergentsi seisukohalt identselt käituma.

Vahelduvad seeriad.

Vahelduvad read.

Vahelduva seeria võib kirjutada järgmiselt:

Kus

Leibnizi märk.

Kui vahelduva rea ​​märk absoluutväärtusedu i vähenevad
ja tavaline termin kipub olema null
, siis seeria läheneb.

Jadade absoluutne ja tingimuslik lähenemine.

Vaatleme mõnda vahelduvat seeriat (suvaliste märkide tingimustega).

(1)

ja seeria, mis koosneb seeria liikmete absoluutväärtustest (1):

(2)

Teoreem. Seeriate (2) konvergentsist järgneb ridade (1) lähenemine.

Tõestus. Seeria (2) on mittenegatiivsete terminitega sari. Kui seeria (2) läheneb, siis Cauchy kriteeriumi järgi on iga >0 jaoks arv N, nii et n>N ja mis tahes täisarvu p>0 korral on järgmine ebavõrdsus tõene:

Absoluutväärtuste omaduse järgi:

See tähendab, et Cauchy kriteeriumi järgi järeldub seeriate (2) lähenemisest ridade (1) lähenemine.

Definitsioon. Rida
helistas absoluutselt konvergentne, kui seeria läheneb
.

On ilmne, et konvergentsi ja absoluutse konvergentsi mõisted konvergentsi jada puhul langevad kokku.

Definitsioon. Rida
helistas tinglikult koonduvad, kui see läheneb ja seeria
lahkneb.

D'Alemberti ja Cauchy testid vahelduvate seeriate jaoks.

Lase
- vahelduvad seeriad.

D'Alemberti märk. Kui on piir
, siis kui<1 ряд
on absoluutselt konvergentne ja millal>

Cauchy märk. Kui on piir
, siis kui<1 ряд
on absoluutselt konvergentne ja kui >1, on seeria lahknev. Kui =1, siis märk ei anna vastust seeria konvergentsi kohta.

Absoluutselt koonduvate ridade omadused.

1) Teoreem. Seeriate absoluutseks lähenemiseks
on vajalik ja piisav, et seda saab esitada kahe mittenegatiivsete terminitega koonduva rea ​​erinevusena.

Tagajärg. Tinglikult koonduv jada on kahe lahkneva jada erinevus, mille mittenegatiivsed liikmed kipuvad olema nulli.

2) Konvergentses reas säilitab ridade mis tahes rühmitamine, mis ei muuda nende järjekorda, rea konvergentsi ja suurusjärku.

3) Kui jada koondub absoluutselt, siis sellest mistahes terminite permutatsiooniga saadud jada koondub samuti absoluutselt ja on sama summaga.

Tinglikult koonduva jada tingimusi ümber paigutades saab tinglikult koonduva jada, millel on mis tahes ettemääratud summa, ja isegi lahkneva jada.

4) Teoreem. Absoluutselt koonduva jada liikmete mis tahes rühmitamiseks (sel juhul võib rühmade arv olla kas lõplik või lõpmatu ja liikmete arv rühmas võib olla kas lõplik või lõpmatu) saadakse koonduv jada, summa millest võrdub algseeria summaga.

5) Kui read Ja koonduvad absoluutselt ja nende summad on vastavalt võrdsed S ja , siis seeria, mis koosneb vormi kõigist korrutistest
mis tahes järjekorras võetuna koondub ka absoluutselt ja selle summa on võrdne S - korrutatud seeriate summade korrutis.

Kui korrutada tinglikult koonduvad jadad, saate tulemuseks lahkneva jada.

Funktsionaalsed järjestused.

Definitsioon. Kui seeria liikmed ei ole numbrid, vaid funktsioonid X, siis on seeria nn funktsionaalne.

Funktsionaalridade konvergentsi uurimine on keerulisem kui arvridade uurimine. Sama funktsionaalne seeria saab samade muutujaväärtustega X lähenevad ja teistega - lahknevad. Seetõttu taandub funktsionaalsete ridade lähenemise küsimus muutuja nende väärtuste määramisele X, mille juures seeria koondub.

Selliste väärtuste komplekti nimetatakse lähenemisala.

Kuna iga jada konvergentsipiirkonda kuuluva funktsiooni piirang on teatud arv, on funktsionaalse jada piiriks teatud funktsioon:

Definitsioon. Järjekord ( f n (x) } koondub funktsioneerima f(x) lõigul, kui mis tahes arvu >0 ja mis tahes punkti korral X vaadeldavast lõigust on arv N = N(, x), nii et võrratus

on täidetud, kui n>N.

Valitud väärtusega >0 on lõigu igal punktil oma number ja seetõttu on lõigu kõikidele punktidele vastav lõpmatu arv arve. Kui valite kõigist nendest arvudest suurima, siis see arv sobib lõigu kõikide punktide jaoks, s.t. on kõigi punktide jaoks ühine.

Definitsioon. Järjekord ( f n (x) } koondub ühtlaselt funktsioneerima f(x) lõigul , kui mis tahes arvu >0 korral on arv N = N(), et võrratus

on täidetud n>N korral lõigu kõigi punktide puhul.

Näide. Mõelge järjestusele

See jada koondub kogu arvureal funktsioonile f(x)=0 , sest

Koostame selle jada graafikud:

sinx

Nagu näha, kasvava arvuga n jadagraafik läheneb teljele X.

Funktsionaalne seeria.

Definitsioon. Privaatsed (osalised) summad funktsionaalne vahemik
funktsioone nimetatakse

Definitsioon. Funktsionaalne vahemik
helistas koonduv punktis ( x=x 0 ), kui selle osasummade jada selles punktis läheneb. Järjestuse piirang
helistas summa rida
punktis X 0 .

Definitsioon. Kõigi väärtuste komplekt X, mille jaoks seeria koondub
helistas lähenemisala rida.

Definitsioon. Rida
helistas ühtlaselt koonduvad intervallil, kui selle jada osasummade jada koondub sellele intervallile ühtlaselt.

Teoreem. (Cauchy kriteerium ridade ühtlaseks lähenemiseks)

Seeriate ühtseks koondumiseks
see on vajalik ja piisav mis tahes arvu jaoks >0 selline number oli olemasN( ), mis kelln> Nja mis tahes terviklk>0 ebavõrdsus

kehtiks kõigi x kohta intervallis [a, b].

Teoreem. (Weierstrassi test ühtlase konvergentsi jaoks)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–1897) – saksa matemaatik)

Rida
koondub ühtlaselt ja absoluutselt intervallile [a, b], kui selle liikmete moodulid samas segmendis ei ületa positiivsete liikmetega koonduva arvurea vastavaid liikmeid:

need. on ebavõrdsus:

.

Nad ütlevad ka, et antud juhul funktsionaalne seeria
on majoriseeritud numbriseeria
.

Näide. Uurige seeriat lähenemise suhtes
.

Sest
alati on see ilmselge
.

Pealegi on teada, et üldine harmooniline seeria kui=3>1 koondub, siis Weierstrassi testi kohaselt koondub uuritav jada ühtlaselt ja pealegi mis tahes intervalliga.

Näide. Uurige seeriat lähenemise suhtes .

Intervallil [-1,1] ebavõrdsus kehtib
need. Weierstrassi kriteeriumi järgi koondub uuritav jada sellele lõigule, kuid lahkneb intervallidel (-, -1)  (1, ).

Ühtlaselt koonduvate ridade omadused.

1) Teoreem rea summa pidevuse kohta.

Kui sarja liikmed
- pidev lõigul [a, b] funktsiooni ja seeria koondub ühtlaselt, siis selle summaS(x) on pidev funktsioon intervallil [a, b].

2) Teoreem seeria terminite kaupa integreerimise kohta.

Ühtlaselt koonduv segmendil [a, b] pidevate terminitega jada saab sellel intervallil termini haaval integreerida, s.t. jada, mis koosneb selle lõigu tingimuste integraalidest [a, b] , läheneb selle lõigu jada summa integraalile.

3) Teoreem seeria terminite kaupa eristamise kohta.

Kui sarja liikmed
koondumine segmendile [a, b] tähistavad pidevaid funktsioone, millel on pidevad tuletised, ja nendest tuletistest koosnevat seeriat
koondub sellel lõigul ühtlaselt, siis see jada koondub ühtlaselt ja seda saab termini kaupa eristada.

Põhineb asjaolul, et ridade summa on muutuja mingi funktsioon X, saate sooritada funktsiooni esitamise toimingu jada kujul (funktsiooni laiendamine jadaks), mida kasutatakse laialdaselt integreerimisel, diferentseerimisel ja muudel funktsioonidega tehtetel.

Praktikas kasutatakse sageli funktsioonide võimsusridade laiendamist.

Võimsusseeria.

Definitsioon. Võimsusseeria nimetatakse vormi seeriaks

.

Astumusridade konvergentsi uurimiseks on mugav kasutada D'Alemberti testi.

Näide. Uurige seeriat lähenemise suhtes

Kasutame d'Alemberti märki:

.

Leiame, et see seeria läheneb
ja lahkneb kell
.

Nüüd määrame konvergentsi piiripunktides 1 ja –1.

Kui x = 1:
Seeria koondub Leibnizi kriteeriumi järgi (vt Leibnizi märk.).

Kui x = -1:
seeria lahkneb (harmoonilised seeriad).

Abeli ​​teoreemid.

(Nils Henrik Abel (1802 – 1829) – Norra matemaatik)

Teoreem. Kui jõuseeria
koondub kellx = x 1 , siis see läheneb ja pealegi absoluutselt kõigile
.

Tõestus. Teoreemi tingimuste kohaselt, kuna seeria tingimused on piiratud, siis

Kus k- mingi konstantne arv. Järgmine ebavõrdsus on tõsi:

Sellest ebavõrdsusest on selge, et millal x< x 1 meie seeria liikmete arvväärtused on väiksemad (vähemalt mitte rohkem) kui ülalpool kirjutatud ebavõrdsuse paremal küljel oleva seeria vastavad liikmed, mis moodustavad geomeetrilise progressiooni. Selle progressi nimetaja teoreemi tingimuste kohaselt on see väiksem kui üks, seega on see progressioon koonduv jada.

Seetõttu järeldame võrdluskriteeriumi põhjal, et seeria
koondub, mis tähendab seeriat
ühtlustub absoluutselt.

Seega, kui võimsusseeria
koondub ühes punktis X 1 , siis koondub see absoluutselt suvalises punktis pikkusega 2 tsentreeritud punkti X = 0.

Tagajärg. Kui kell x = x 1 sari lahkneb, siis läheb see kõigi jaoks lahku
.

Seega on iga astmerea jaoks positiivne arv R, nii et kõigi jaoks X selline, et
seeria on absoluutselt konvergentne ja seda kõike
rida läheb lahku. Sel juhul kutsutakse numbrit R lähenemisraadius. Intervalli (-R, R) nimetatakse konvergentsi intervall.

Pange tähele, et see intervall võib olla suletud ühel või mõlemal küljel või mitte suletud.

Lähenemisraadiuse saab leida järgmise valemi abil:

Näide. Leidke seeria konvergentsi piirkond

Lähenemisraadiuse leidmine
.

Seetõttu läheneb see seeria mis tahes väärtuse korral X. Selle seeria ühine termin kipub olema null.

Teoreem. Kui jõuseeria
läheneb positiivsele väärtusele x=x 1 , siis koondub see ühtlaselt mis tahes intervalli sees
.

Toimingud võimsussarjadega.