Tasapindade paralleelsus on omadusmärgi definitsioon. Geomeetria ruumis

Videokursus "Get an A" sisaldab kõiki vajalikke teemasid edukas lõpetamine Matemaatika ühtne riigieksam 60-65 punkti. Täiesti kõik probleemid 1-13 Profiili ühtne riigieksam matemaatika. Sobib ka matemaatika ühtse riigieksami põhieksami sooritamiseks. Kui soovid sooritada ühtse riigieksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus ühtseks riigieksamiks 10.-11.klassidele, samuti õpetajatele. Kõik, mida vajate matemaatika ühtse riigieksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei 100-punktiline ega humanitaartudeng.

Kõik vajalik teooria. Kiired viisidÜhtse riigieksami lahendused, lõksud ja saladused. Kõik FIPI Task Banki 1. osa praegused ülesanded on analüüsitud. Kursus vastab täielikult ühtse riigieksami 2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suured teemad, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad ühtse riigieksami ülesanded. Sõnaprobleemid ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad algoritmid probleemide lahendamiseks. Geomeetria. teooria, võrdlusmaterjal, igat tüüpi ühtse riigieksami ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, arendus ruumiline kujutlusvõime. Trigonomeetria nullist probleemini 13. Tuupimise asemel mõistmine. Visuaalne selgitus keerulised mõisted. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Lahenduse alus keerulised ülesanded 2 osa ühtsest riigieksamist.

Tasapindade paralleelsus. Kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on vastavalt paralleelsed teise tasandi kahe lõikuva sirgega, siis on need tasapinnad paralleelsed.
Tõestus. Lase a Ja b- lennuki andmed, a 1 Ja a 2– tasapinna sirgjooned a, ristuvad punktis A, b 1 Ja b 2 vastavalt nendega paralleelsed jooned tasapinnal b. Oletame, et lennukid a Ja b mitte paralleelsed, see tähendab, et nad lõikuvad mööda mingit sirget Koos. Otse A 1 on joonega paralleelne b 1, mis tähendab, et see on tasapinnaga paralleelne b(joone ja tasandi paralleelsuse märk). Otse A 2 on joonega paralleelne b 2, see tähendab, et see on tasapinnaga paralleelne b(joone ja tasandi paralleelsuse märk). Otse Koos kuulub lennukile a, mis tähendab vähemalt ühte sirget a 1 või a 2 lõikub sirgega koos, see tähendab, et sellel on ühine punkt. Aga otse Koos kuulub ka lennukile b, mis tähendab joone ületamist koos, otse a 1 või a 2 ristub tasapinnaga b, mis ei saa olla, kuna need on sirged a 1 Ja a 2 paralleelselt tasapinnaga b. Sellest järeldub, et lennukid a Ja b ei ristu, st on paralleelsed.

1. teoreem . Kui kaks paralleelset tasandit lõikuvad kolmandiku võrra, siis on lõikesirged paralleelsed.
Tõestus. Lase a Ja b- paralleelsed tasapinnad ja g - neid ristuv lennuk. Lennuk a ristus lennukiga g sirgjoonel A. Lennuk b ristus lennukiga g sirgjoonel b. Ristmikujooned A Ja b lamavad samas tasapinnas g ja seetõttu võivad need olla kas lõikuvad või paralleelsed sirged. Kuid kuuludes kahele paralleelsele tasapinnale, ei saa neil olla ühised punktid. Seetõttu on need paralleelsed.

2. teoreem. Kahe paralleelse tasandi vahele jäävate paralleelsete joonte lõigud on võrdsed.
Tõestus. Lase a Ja b- paralleelsed tasapinnad ja A Ja b- neid ristuvad paralleelsed sirged. Läbi sirgjoonte A Ja b viime läbi lennuk g (need jooned on paralleelsed, mis tähendab defineerige tasapind ja ainult üks). Lennuk a ristus lennukiga g sirgjoonel AB . Lennuk b ristus lennukiga g piki sirget SD. Eelmise teoreemi kohaselt sirge Koos joonega paralleelne d. Otsene A,b, AB Ja SD kuuluvad lennukile g Nende sirgetega piiratud nelinurk on rööpkülik (sellel on vastasküljed paralleelselt). Ja kuna see on rööpkülik, siis on selle vastasküljed võrdsed, see tähendab AD = BC

Selles õppetükis vaatleme kolme omadust paralleelsed tasapinnad: kahe paralleelse tasandi lõikepunkti kohta kolmanda tasandiga; O paralleelsed segmendid, suletud paralleelsete tasapindade vahele; ja nurga külgede lõikamise kohta paralleelsete tasanditega. Järgmisena lahendame neid omadusi kasutades mitmeid probleeme.

Teema: Sirgete ja tasandite paralleelsus

Õppetund: Paralleeltasandite omadused

Kui kahte paralleelset tasandit lõikab kolmas, siis on nende lõikejooned paralleelsed.

Tõestus

Olgu paralleelsed tasapinnad ja antud ning tasapind, mis lõikab tasapindu ja piki sirgeid A Ja b vastavalt (joon. 1.).

Otsene A Ja b asuvad samal tasapinnal, nimelt γ-tasandil. Tõestame, et sirgjooned A Ja bära ristu.

Kui sirge A Ja b lõikuvad, see tähendab, et neil oleks ühine punkt, siis see ühine punkt kuuluks kahele tasapinnale ja , ja , mis on võimatu, kuna need on tingimuselt paralleelsed.

Niisiis, otse A Ja b on paralleelsed, mida oli vaja tõestada.

Paralleelsete tasandite vahel olevad paralleelsete sirgete lõigud on võrdsed.

Tõestus

Olgu antud paralleelsed tasapinnad ja paralleelsed sirged AB Ja KOOSD, mis lõikuvad need tasapinnad (joonis 2.). Tõestame, et segmendid AB Ja KOOSD on võrdsed.

Kaks paralleelset joont AB Ja KOOSD moodustavad ühtse tasapinna γ, γ = ABDKOOS. Tasapind γ lõikab paralleelseid tasapindu ja mööda paralleelseid sirgeid (vastavalt esimesele omadusele). Nii et see on sirge AC Ja IND paralleelselt.

Otsene AB Ja KOOSD on ka paralleelsed (tingimuse järgi). Nii et see on nelinurk ABDKOOS- rööpkülik, kuna selle vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Rööpküliku omadustest järeldub, et lõigud AB Ja KOOSD on võrdsed, nagu on vaja tõestada.

Rööptasandid lõikavad nurga küljed proportsionaalseteks osadeks.

Tõestus

Olgu meile antud paralleelsed tasapinnad, mis lõikavad nurga külgi A(Joonis 3.). Seda on vaja tõestada.

Paralleelsed tasapinnad ja lõigatud nurktasandiga A. Nimetame nurktasandi lõikejoont A ja lennukid - päike, ja nurktasandi lõikejoon A ja lennukid - B 1 C 1. Esimese omaduse järgi ristumisjooned Päike Ja B 1 C 1 paralleelselt.

Seega kolmnurgad ABC Ja AB 1 C 1 sarnased. Saame:

3. Vitali Stanislavovitš Tsegelnõi matemaatiline veebisait ()

4. Festival pedagoogilised ideed"Avalik õppetund" ()

1. Punkt KOHTA- iga segmendi ühine keskpunkt AA 1, BB 1, SS 1, mis ei asu samas tasapinnas. Tõesta, et lennukid ABC Ja A 1 B 1 C 1 paralleelselt.

2. Tõesta, et läbi kahe kaldjoone saab tõmmata paralleelseid tasapindu.

3. Tõesta, et sirge, mis lõikab ühte kahest paralleelsest tasapinnast, lõikub ka teisega.

4. Geomeetria. 10.-11. klass: õpik õpilastele õppeasutused(põhi- ja profiili tasemed) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. trükk, parandatud ja täiendatud - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk.: ill.

Ülesanded 6, 8, 9 lk 29

Selles õppetükis määratleme paralleelsed tasapinnad ja tuletame meelde aksioomi kahe tasandi ristumiskoha kohta. Järgmisena tõestame teoreemi - tasandite paralleelsuse märki ja sellele toetudes lahendame mitmeid tasandite paralleelsuse ülesandeid.

Teema: Sirgete ja tasandite paralleelsus

Õppetund: Paralleelsed tasapinnad

Selles õppetükis määratleme paralleelsed tasapinnad ja tuletame meelde aksioomi kahe tasandi ristumiskoha kohta.

Definitsioon. Kaht tasapinda nimetatakse paralleelseks, kui nad ei ristu.

Määramine: .

Paralleelsete tasandite illustratsioon(Joonis 1.)

1. Milliseid tasapindu nimetatakse paralleelseteks?

2. Kas mitteparalleelseid sirgeid läbivad tasapinnad võivad olla paralleelsed?

3. Milline võib olla kahe sirge suhteline asend, millest igaüks asub ühel kahest erinevast paralleelsest tasapinnast?

4. Geomeetria. 10.-11. klass: õpik üldharidusasutuste õpilastele (põhi- ja erialatase) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. trükk, parandatud ja täiendatud - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk.: ill.

Ülesanded 1, 2, 5 lk 29

Tunni eesmärgid:

Tutvustage paralleelsete tasandite mõistet.
Vaatleme ja tõestame tasandite paralleelsuse märki ja paralleelsete tasandite omadusi väljendavaid teoreeme.
Jälgige nende teoreemide rakendamist probleemide lahendamisel.

Tunniplaan (kirjuta tahvlile):

I. Ettevalmistav suuline töö.

II. Uue materjali õppimine:

1. Vastastikune korraldus kaks tasapinda ruumis.
2. Paralleelsete tasandite määramine.
3. Paralleelsete tasandite märk.
4. Paralleelsete tasandite omadus.

III. Tunni kokkuvõte.

IV. Kodutöö.

TUNNIDE AJAL

I. Suuline töö

Tahaksin õppetundi alustada tsitaadiga Tšaadajevi filosoofilisest kirjast:

“Kust tuleb see imeline analüüsivõime matemaatikas? Fakt on see, et mõistus tegutseb siin täielikult sellele reeglile alludes.

Seda reeglikuulekust vaatleme järgmises ülesandes. Uue materjali õppimiseks peate mõnda küsimust kordama. Selleks peate koostama nendest väidetest tuleneva väite ja põhjendama oma vastust:

II. Uue materjali õppimine

1. Kuidas saavad kaks tasapinda ruumis paikneda? Mis on mõlemale tasapinnale kuuluvate punktide hulk?

Vastus:

a) langeb kokku (siis on meil tegemist ühe lennukiga, see ei ole rahuldav);
b) ristuvad, ;
c) ei lõiku (ühispunkte pole üldse).

2. Definitsioon: Kui kaks tasapinda ei ristu, nimetatakse neid paralleelseks

3. Määramine:

4. Too näiteid keskkonnast paralleelsete tasandite kohta

5. Kuidas teada saada, kas kaks ruumis olevat tasapinda on paralleelsed?

Vastus:

Võite kasutada määratlust, kuid see on sobimatu, sest Tasapindade ristumiskohta ei ole alati võimalik kindlaks teha. Seetõttu on vaja arvestada tingimusega, mis on piisav, et väita, et tasapinnad on paralleelsed.

6. Vaatleme olukordi:

b) kui ?

c) kui ?

Miks on vastus punktides a ja b “mitte alati”, aga punktis c “jah”? (Lõikuvad jooned määratlevad tasapinna ainulaadsel viisil, mis tähendab, et need on unikaalselt määratletud!)

Olukord 3 on kahe tasandi paralleelsuse märk.

7. Teoreem: Kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on paralleelsed teise tasandi kahe sirgega, siis on need tasapinnad paralleelsed.

Arvestades: