Väljapaistev Vene matemaatik, mitteeukleidilise geomeetria looja Nikolai Ivanovitš Lobatševski sündis 1. detsembril (20. novembril vanastiilis) 1792 Nižni Novgorodis.
Tema isa, alaealine ametnik Ivan Maksimovitš Lobatševski, suri, kui poiss oli 7-aastane, misjärel tema ema ja kolm poega olid sunnitud kolima Kaasanisse. Siin käis Lobatševski gümnaasiumis vabatahtlikuna. Pärast keskkooli lõpetamist astus ta 1807. aastal Kaasani ülikooli.
1811. aastal omandas Lobatševski pärast õpingute lõpetamist kiitusega magistrikraadi füüsikas ja matemaatikas ning jäi õppeasutusse. 1811. aasta lõpus esitas Lobatševski oma argumendi „Elliptilise liikumise teooria taevakehad". 26. märtsil 1814 määrati Lobatševski Bronneri ja Bartelsi palvel puhta matemaatika adjunktiks.
7. juulil 1816 kinnitati Lobatševski erakorraliseks professoriks. Lobatševski õpetamistegevus kuni 1819. aastani oli pühendatud eranditult matemaatikale. Ta õpetas aritmeetika, algebra ja trigonomeetria, tasapinna ja sfäärilise geomeetria kursusi ning alustas 1818. aastal diferentsiaal- ja sfäärilise geomeetria kursust. integraalarvutus Monge'i ja Lagrange'i järgi.
1846. aastal, pärast 30-aastast teenistust, pidi ministeerium harta kohaselt tegema otsuse Lobatševski lahkumise kohta professori kohalt või uute õpetajate valimisest. Vaatamata ülikooli nõukogu arvamusele, mille kohaselt ei olnud põhjust Lobatševskit õppetööst tagandada, tagandas ministeerium valitseva senati korraldusel Lobatševski mitte ainult professoritoolilt, vaid ka rektori ametikohalt. Ta määrati Kaasani hariduspiirkonna usaldusisiku abiks, vähendades oluliselt palka.
Varsti läks Lobatševski pankrotti, tema maja Kaasanis ja naise pärand müüdi võlgade eest. 1852. aastal suri tuberkuloosi vanim poeg Aleksei, Lobatševski lemmik. Tema tervis oli õõnestatud, nägemine nõrgenes. Viimane töö Peaaegu pimeda teadlase “Pangeomeetria” salvestasid tema ustavad õpilased 1855. aastal diktaadina. Lobatševski suri 24. veebruaril 1856, samal päeval, kui kolmkümmend aastat varem avaldas ta esmakordselt oma versiooni mitteeukleidilisest geomeetriast.
Täielik tunnustamine ja laialdane kasutamine Lobatševski geomeetria sai 12 aastat pärast tema surma. 1868. aastal näitas itaalia matemaatik Beltrami oma töös "Kogemus mitteeukleidilise geomeetria tõlgendamisel", et eukleidilises ruumis pseudosfäärilistel pindadel on Lobatševski tasandi tüki geomeetria, kui võtta neid sirgjoontena. geodeetilised jooned. Lobatševski geomeetria tõlgendamine Eukleidilise ruumi pindadel otsustavalt aitas kaasa Lobatševski ideede üldisele tunnustamisele.
Lobatševski sai hulga väärtuslikke tulemusi teistes matemaatikaharudes: näiteks algebras töötas ta Germinal Dendelenist sõltumatult välja meetodi võrrandite ligikaudseks lahendamiseks, matemaatilises analüüsis sai ta mitmeid peeneid teoreeme trigonomeetriliste jadate kohta ja selgitas. pideva funktsiooni mõiste.
Lobatševski geomeetria laialdane tunnustus tuli tema 100. juubeliaastal – 1895. aastal asutati rahvusvaheline Lobatševski auhind – Venemaa Teaduste Akadeemia poolt. silmapaistvad tööd geomeetria alal püstitati 1896. aastal Kaasanis monument väljapaistvale matemaatikule.
Pärast Teist maailmasõda otsustati NSVL Ministrite Nõukogu 29. jaanuari 1947. aasta resolutsiooniga “Vene suure teadlase N. I. Lobatševski nimeliste auhindade kohta” asutada kaks auhinda, üks rahvusvaheline ja ergutuspreemia. üks nõukogude teadlastele. 8. juunil 1993 kiitis Venemaa Teaduste Akadeemia presiidium heaks Venemaa Teaduste Akadeemia väljapaistvate teadlaste nimeliste kuldmedalite ja auhindade eeskirja. Selle kohaselt anti kord kolme aasta jooksul välja Lobatševski auhind "Silmapaistvate tulemuste eest geomeetria valdkonnas".
10. juunil 2004 toimus Kozlovka linnas (Tšuvašia) Lobatševski majamuuseumi avamine.
Materjal koostati avatud allikatest pärineva teabe põhjal
Nikolai Ivanovitš Lobatševski(1792-1856) - mitteeukleidilise geomeetria (Lobatševski geomeetria) looja. Kaasani ülikooli rektor (1827-46). Lobatševski avastus (1826, ilmus 1829-30), mis ei pälvinud tema kaasaegsete tunnustust, muutis pöörde ruumi olemuse mõistmises, mis põhines doktriinil. Euclid ja avaldas arengule tohutut mõju matemaatiline mõtlemine. Töötab algebraga, matemaatiline analüüs, tõenäosusteooria, mehaanika, füüsika ja astronoomia.
Sündis Nikolai Lobatševski 2. november(11. detsember) 1792. a Nižni Novgorod. Suri 12. (24.) veebruaril 1856 Kaasanis.
Pedagoogiline tegevus
Kolja Lobatševski sündis väikese töötaja vaesesse perekonda. Peaaegu kogu Lobatševski elu on seotud Kaasani ülikooliga, kuhu ta astus pärast keskkooli lõpetamist aastal 1807. Pärast ülikooli lõpetamist 1811. aastal sai temast matemaatik, 1814. aastal adjunkt, 1816. aastal erakorraline ja 1822. tavaline professor. Kaks korda (1820-22 ja 1823-25) oli ta füüsika-matemaatikateaduskonna dekaan ning 1827-1846 ülikooli rektor.
Lobatševski ajal õitses Kaasani ülikool. Kõrge kohusetundega Lobatševski võttis ülesande täita raskeid ülesandeid ja iga kord, kui ta täitis talle usaldatud missiooni austusega. Tema eestvedamisel tehti 1819. aastal korda ülikooli raamatukogu.
1825. aastal valiti Nikolai Lobatševski ülikooli raamatukoguhoidjaks ja jäi sellele ametikohale kuni 1835. aastani, ühendades (alates 1827. aastast) raamatukoguhoidja ülesanded rektori ülesannetega. Kui ülikoolis alustati hoonete ehitamist, sai Lobatševskist ehituskomitee liige (1822), alates 1825. aastast juhtis ta komiteed ja töötas selles kuni 1848. aastani (vaheajaga 1827-33).
Lobatševski algatusel hakkasid nad avaldama “ Teaduslikud märkmed Kaasani ülikool" (1834), astronoomiline observatoorium ja suur füüsikalabor.
Lobatševski aktiivne ülikoolitegevus peatus 1846. aastal, kui haridusministeerium lükkas tagasi ülikooli akadeemilise nõukogu taotluse jätta Lobatševski mitte ainult osakonna, vaid ka rektori ametikohale. Teenimatu löök oli seda märgatavam, et ministeerium rahuldas samas avalduses taotletud akadeemilise nõukogu taotluse jätta osakonda F. F. Bellingshauseni ja M. P. Lazarevi (1819-21) ekspeditsiooni liige astronoom I. M. Simonov. Antarktika kaldad.
Mitteeukleidiline geomeetria
Nikolai Lobatševski suurimaks teaduslikuks saavutuseks peetakse tema esimese mitteeukleidilise geomeetria loomist, mille ajalugu loetakse tavaliselt Kaasani ülikooli füüsika- ja matemaatikateaduste osakonna koosolekust 11. veebruaril 1826. aastal. Lobatševski tegi raporti " Kokkuvõtlik esitlus geomeetria alused paralleelse teoreemi range tõestusega. Koosoleku protokollis selle suursündmuse kohta on järgmine sissekanne: „Kuulati ära G. Ordi ettekanne. Professor Lobatševski dateeris käesoleva aasta 6. veebruaril oma prantsuskeelse essee manusega, mille kohta ta soovib teada kateedri liikmete arvamust ja kui see on kasulik, palub essee võtta vastu teaduslike ainete kogumisse. füüsika-matemaatikateaduskonna märkmed.
1835. aastal sõnastas Nikolai Lobatševski lühidalt motiivid, mis viisid ta mitteeukleidilise geomeetria avastamiseni: „Eukleidese ajast alates kaks tuhat aastat kestnud mõttetud jõupingutused panid mind kahtlustama, et mõisted ise ei sisalda veel tõde, mida nad tahtsid. tõestada ja kontrollida, nagu teisedki füüsikalised seadused, võivad olla ainult katsed, nagu näiteks astronoomilised vaatlused. Olles lõpuks veendunud oma oletuse õigsuses ja pidades rasket küsimust täielikult lahendatuks, kirjutasin selle kohta 1826. aastal arutelu.
Lobatševski lähtus eeldusest, et mitu sirget läbib punkti, mis asub väljaspool antud sirget, kuid ei ristu antud sirgega. Arendades sellest eeldusest tulenevaid tagajärgi, mis on vastuolus Eukleidese elementide kuulsa V-postulaadiga (teistes versioonides 11. aksioomiga), ei kartnud Lobatševski astuda julget sammu, mille juures tema eelkäijad vastuolude kartuses peatusid: konstrueerida geomeetria. mis on vastuolus igapäevakogemusega ja "terve mõistusega" – igapäevakogemuse kvintessents.
Professoridest I. M. Simonovist, A. Ya. Kupferist ja adjunktist N. D. Brashmanist koosnev komisjon, kes oli määratud „Kokkutõmmatud esitlust” arutama, ega ka Lobatševski teised kaasaegsed, sealhulgas silmapaistev matemaatik M. V. Ostrogradsky, ei osanud Lobatševski avastust hinnata. Äratundmine saabus alles 12 aastat pärast tema surma, kui 1868. aastal näitas E. Beltrami, et Lobatševski geomeetriat on võimalik realiseerida eukleidilise ruumi pseudosfäärilistel pindadel, kui geodeesiat võtta sirgjoontena.
Janos Bolyai jõudis ka mitteeukleidilise geomeetria juurde, kuid vähemal määral. täielik vorm ja 3 aastat hiljem (1832).
Lobatševski ideede edasiarendus
Nikolai Ivanovitš Lobatševski avastus püstitas teadusele vähemalt kaks põhiprobleemi olulised küsimused, mida pole tõstatatud pärast Eukleidese elemente: „Mis on geomeetria üldiselt? Milline geomeetria kirjeldab reaalse maailma geomeetriat? Enne Lobatševski geomeetria tulekut oli ainult üks geomeetria - eukleidiline ja vastavalt sellele võis ainult seda pidada reaalse maailma geomeetria kirjelduseks. Mõlemale küsimusele andis vastused teaduse edasine areng: 1872. aastal defineeris Felix Klein geomeetriat kui teadust teatud teisenduste rühma invariantidest (erinevad geomeetriad vastavad erinevad rühmad liigutused, st. teisendused, mis säilitavad mis tahes kahe punkti vahelised kaugused; Lobatševski geomeetria uurib rühmainvariante Lorenz, ja täppisgeodeetilised mõõtmised on näidanud, et Maa pinna piirkondades, mida võib piisava täpsusega pidada tasaseks, on eukleidiline geomeetria täidetud).
Mis puudutab Lobatševski geomeetriat. siis see toimib relativistlike (s.t valguse kiirusele lähedaste) kiiruste ruumis. Lobatševski läks matemaatika ajalukku mitte ainult hiilgava geomeetrina, vaid ka autorina fundamentaalne töö algebra, lõpmatute ridade teooria ja võrrandite ligikaudse lahenduse valdkonnas. (Yu. A. Danilov)
Lisateavet Nikolai Lobatševski kohta teisest allikast:
Teaduse ajaloos juhtub sageli, et tõeline tähendus teaduslik avastus ilmneb mitte ainult palju aastaid pärast selle avastuse tegemist, vaid, mis on eriti huvitav, täiesti erineva teadmiste valdkonna uurimise tulemusena. See juhtus Lobatševski pakutud geomeetriaga, mis nüüd kannab tema nime.
Nikolai Ivanovitš Lobatševski sündis 1792. aastal Makarjevski rajoonis Nižni Novgorodi provints Tema isa töötas rajooniarhitekti ametikohal ja kuulus nappi palka saanud ametnike hulka. Vaesus, mis teda elu esimestel päevadel ümbritses, muutus vaesuseks, kui tema isa suri 1797. aastal ja ema kahekümne viie aasta vanusena jäi ilma igasuguste vahenditeta lastega üksi, 1802. aastal tõi ta kolm poega. Kaasanisse ja saatis nad Kaasani gümnaasiumi, kus nad märkasid kiiresti tema keskmise poja fenomenaalseid võimeid.
Kui 1804. aastal muudeti Kaasani gümnaasiumi vanem klass ülikooliks, arvati Lobatševski loodusteaduste osakonna õpilaste hulka. Noormees õppis hiilgavalt, kuid tema käitumist märgiti mitterahuldavaks, õpetajatele ei meeldinud “unenäoline enesehinnang, liigne visadus, vabamõtlemine”.
Noormees võttis vastu suurepärane haridus Astronoomia loenguid pidas professor Litroff. Ta kuulas matemaatika loenguid professor Bartelsilt, kes oli sellise silmapaistva teadlase nagu Carl Friedrich Gauss õpilane. Just Bartels aitas Lobatševskil valida teaduslikud huvid geomeetria.
Juba 1811. aastal sai Nikolai Lobatševski magistrikraadi ja ta jäeti ülikooli professuuriks valmistuma. 1814. aastal sai Lobatševski puhta matemaatika dotsendi tiitli ja 1816. aastal omistati talle professori aunimetus. Sel ajal tegeles Nikolai peamiselt teadusega, kuid 1818. aastal valiti ta koolikomitee liikmeks, mis põhikirja järgi pidi juhtima kõiki tolleaegse rajooni gümnaasiumide ja koolidega seotud asju. alluvad mitte otse usaldusisikule, vaid ülikoolile. Alates 1819. aastast õpetas Lobatševski astronoomiat, asendades seda, kes läks ümbermaailmareisõpetaja. Lobatševski administratiivne tegevus sai alguse 1820. aastal, mil ta valiti praostiks.
Paraku asus ülikooli siis juhtima Magnitski, kes teaduse arengusse pehmelt öeldes ei panustanud. Nikolai Lobatševski otsustab esialgu vaikida. Janiševski mõistab Lobatševski sellise käitumise hukka, kuid ütleb: „Lobatševski kohustus nõukogu liikmena oli moraalselt eriti raske. Lobatševski ise ei pakkunud kunagi oma ülemustele soosingut, ei püüdnud end näidata ega meeldinud ka teistele. Ajal, mil enamik volikogu liikmeid oli valmis kõigeks, et usaldusisikule meeldida, viibis Lobatševski vaikides koosolekutel ja kirjutas vaikides nende koosolekute protokollidele alla.
Kuid Nikolai Lobatševski vaikimine jõudis selleni, et Magnitski ajal ta oma imaginaarse geomeetria uurimusi ei avaldanud, kuigi, nagu usaldusväärselt teada, tegeles ta nendega sel perioodil. Näib, et Lobatševski vältis teadlikult asjatut võitlust Magnitskiga ja säästis jõudu edaspidiseks tegevuseks, kui öö asemele tuli. Musin-Puškin ilmus sellisel koidikul, tema ilmumisel ärkasid kõik Kaasani õppejõud ja üliõpilased ellu ja hakkasid liikuma, väljudes umbes seitse aastat kestnud uimasest seisundist... 3. mail 1827. a. volikogu valis Lobatševski rektoriks, kuigi ta oli noor – tol ajal oli ta kolmkümmend kolm aastat vana.
Vaatamata kurnamisele praktiline tegevus, mis ei jätnud minutitki puhkust, ei peatanud Nikolai Lobatševski oma teaduslikud uuringud ja rektoriameti ajal avaldas ta oma parimad teosed ajakirjas "Kaasani ülikooli teaduslikud märkmed". Ilmselt ikka sees üliõpilasaastad Professor Bartels andis andekale üliõpilasele Lobatševskile, kellega kuni lahkumiseni oli aktiivne isiklik suhe, oma sõbra mõtetest. Gauss sellise geomeetria võimalikkusest, kus Eukleidese postulaat ei kehti.
Eukleidilise geomeetria postulaate mõtiskledes jõudis Nikolai Lobatševski järeldusele, et vähemalt ühte neist saab üle vaadata. On ilmne, et Lobatševski geomeetria nurgakiviks on Eukleidese postulaadi eitus, ilma milleta tundus geomeetria umbes kaks tuhat aastat kestmatuna.
Lähtudes väitest, et teatud tingimustel võivad meile paralleelsetena tunduvad sirged ristuda, jõudis Lobatševski järeldusele, et on võimalik luua uus järjepidev geomeetria. Kuna tema olemasolu oli võimatu ette kujutada päris maailm, nimetas teadlane seda "kujuteldavaks geomeetriaks".
Lobatševski esimene selle ainega seotud töö esitati 1826. aastal Kaasani füüsika-matemaatikateaduskonnale; see ilmus 1829. aastal ja 1832. aastal ilmus Ungari teadlaste, isa ja poja Boliai mitteeukleidilist geomeetriat käsitlevate tööde kogumik. Boliai isa oli Gaussi sõber ja kahtlemata jagas ta temaga oma mõtteid uue geomeetria kohta. Vahepeal saadi kodakondsusõigus aastal Lääne-Euroopa nimelt Lobatševski geomeetria. Kuigi mõlemad teadlased valiti selle avastuse eest Hannoveri Teaduste Akadeemia liikmeteks.
Nii kulges Lobatševski elu akadeemilistes otsingutes ja muredes ülikooli pärast. Peaaegu kogu teenistuse aja ei lahkunud ta Kaasani provintsist; Ta veetis ainult 1836. aasta oktoobrist 1837. aasta jaanuarini Peterburis ja Dorpatis. 1840. aastal sõitis Nikolai Lobatševski koos Kaasani ülikooli asetäitja professor Erdmaniga Helsingforsi, et tähistada ülikooli kahesajandat aastapäeva. 1842. aastal valiti ta Göttingeni Kuningliku Seltsi korrespondentliikmeks, kuid ei lahkunud kunagi kodumaalt.
Nikolai Lobatševski abiellus hilja, neljakümne nelja-aastaselt jõuka Orenburg-Kaasani maaomaniku Varvara Aleksejevna Moisejevaga. Kaasavaraks abikaasale sai ta muu hulgas väikese Poljanka küla Kaasani kubermangus Spasski rajoonis. Seejärel ostis ta samas provintsis Volga kaldal asuva Slobodka kinnistu.
Lobatševski pereelu oli üsna kooskõlas tema üldise meeleolu ja tegevusega. Teaduses tõde otsides seadis ta tõe elus kõigest muust kõrgemale. Tüdrukus, mida ta otsustas kutsuda oma naiseks, hindas ta peamiselt ausust, tõepärasust ja siirust. Nad räägivad, et enne pulmi andsid pruutpaar üksteisele ausõna olla siiras ja pidas seda. Iseloomult oli Lobatševski naine oma mehele terav kontrast: Varvara Aleksejevna oli ebatavaliselt elav ja tuline.
Nikolai Ivanovitš Lobatševskil oli neli poega ja kaks tütart. Vanim poeg Aleksei, tema isa lemmik, sarnanes temaga väga näo, pikkuse ja kehaehituse poolest; noorem poeg kannatas mingi aju all haigus, sai ta vaevu rääkida ja suri seitsmendal eluaastal. Lobatševski pereelu tõi talle palju leina. Ta armastas oma lapsi, hoolis neist sügavalt ja tõsiselt, kuid teadis, kuidas hoida oma kurbust piirides ja mitte kaotada tasakaalu. Suvel andis vaba aeg lapsi ja õpetas neile ise matemaatikat. Ta otsis nendes tegevustes lõõgastust.
Ta nautis loodust ja suur rõõmõppis põllumajandus. Oma kinnistule Belovolžskaja Slobodka rajas ta kauni aia ja metsatuka, mis on säilinud tänapäevani. Seedripuid istutades ütles Lobatševski oma lähedastele kurvalt, et nende vilju ta ei näe. See eelaimdus läks tõeks: esimesed piiniaseemned eemaldati Lobatševski surma aastal, kui teda enam maailmas polnud.
1837. aastal avaldati Lobatševski teosed prantsuse keel. 1840. aastal avaldas ta saksa keel tema paralleelideooria, mis pälvis suure Gaussi tunnustuse. Venemaal Lobatševski enda hinnangut ei näinud teaduslikud tööd. Ilmselgelt ületas Lobatševski uurimistöö tema kaasaegsed. Mõned ignoreerisid teda, teised tervitasid tema teoseid ebaviisaka naeruvääristamise ja isegi kuritarvitamisega. Kui meie teine väga andekas matemaatik Ostrogradski nautis väljateenitud kuulsust, siis Lobatševskit ei teadnud keegi ja Ostrogradski ise kohtles teda kas pilkavalt või vaenulikult.
Täiesti õigesti, õigemini, põhjalikult, üks geomeetria, mida nimetatakse Lobatševski geomeetriaks tähegeomeetriaks. Lõpmatutest kaugustest saab aimu, kui meenutada, et on tähti, mille valgusel kulub Maale jõudmiseks tuhandeid aastaid. Niisiis, Lobatševski geomeetria hõlmab Eukleidese geomeetriat mitte kui konkreetset, vaid kui erijuhtum. Selles mõttes võib esimest nimetada meile tuntud geomeetria üldistuseks.
Nüüd tekib küsimus, kas leiutis kuulub Lobatševskile neljas dimensioon? Üldse mitte. Nelja- ja mitmemõõtmelise geomeetria lõi saksa matemaatik, Gaussi õpilane Riemann. Ruumide omaduste uurimine üldine vaade nüüd moodustab mitteeukleidiline geomeetria või Lobatševski geomeetria. Lobatševski ruum on kolmemõõtmeline ruum, mis erineb meie omast selle poolest, et Eukleidese postulaat selles ei kehti. Selle ruumi omadusi mõistetakse praegu neljanda mõõtme eeldusel. Kuid see samm kuulub Lobatševski järgijatele. Loomulikult tekib küsimus, kus selline ruum asub. Vastuse andis 20. sajandi suurim füüsik Albert Einstein. Lobatševski ja Riemanni postulaatide töödele tuginedes lõi ta relatiivsusteooria, mis kinnitas meie ruumi kõverust.
Selle teooria kohaselt on mis tahes materjali mass painutab ruumi enda ümber. Einsteini teooriat on korduvalt kinnitatud astronoomilised vaatlused, mille tulemusena sai selgeks, et Lobatševski geomeetria on üks meid ümbritseva universumi põhiideed.
IN viimased aastad Lobatševski elu kummitas igasugused leinad. Tema vanim poeg, kes sarnanes väga oma isaga, suri ülikooli üliõpilasena; Temas ilmnesid samad ohjeldamatud impulsid, mis eristasid tema isa varases nooruses.
Lobatševskite varandust häiris nende poja sõnul mitte päris edukas pärandvaraost. Viimase ostis Lobatševski, lootes oma naise kapitalile, mis oli tema venna, kirgliku mänguri, teatrikülastaja ja poeedi käes. Vend kaotas kaartidel õe raha koos enda omaga. Ja Lobatševski, hoolimata kogu oma võlavihast, oli sunnitud laenama; Kaasanis asuv maja pandi samuti hüpoteegiga. Lobatševski ellujäänud lapsed pakkusid talle vähe lohutust.
1845. aastal valiti Riemann ühehäälselt ülikooli rektoriks uueks nelja-aastaseks ametiajaks ja 1846. aastal, 7. mail, lõppes tema viieaastane teenistusaeg emeriitprofessorina. Kaasani ülikooli nõukogu tuli taas palvega säilitada Lobatševski veel viieks aastaks professorina. Sellest hoolimata keeldus ministeerium mõne sünge intriigi tõttu.
Tagatipuks kaotas Lobatševski ka rahaliselt. Kaotanud professori tiitli, pidi ta leppima pensioniga, mis vana harta järgi oli 1 tuhat 142 rubla ja sööklates 800 rubla. Lobatševski jätkas oma kohustuste täitmist rektorina, saamata mingit tasu.
Lobatševski tegevus tema elu viimasel kümnendil oli oma intensiivsuselt vaid mineviku vari. Õppetoolist ilma jäetud Lobatševski pidas valitud teaduspublikule loenguid oma geomeetriast ja need, kes neid kuulsid, mäletavad, kui läbimõeldult ta oma põhimõtteid arendas.
Lobatševski NikolaiIvanovitš- suurepärane vene matemaatik" Lõpetanud: üliõpilane... Kaburkina Margarita Nikolaevna Cheboksary 2009 1. BiograafiaLobatševskiNikolaiIvanovitšLobatševskiNikolaiIvanovitš }