En vinkelret faldet fra et givet punkt til givet fly, kaldet segmentet forbinder dette punkt med et punkt i flyet og liggende på en linje, vinkelret på planet. Enden af ​​dette segment, der ligger i planet, kaldes bunden af ​​vinkelret. Afstanden fra et punkt til et plan er længden af ​​vinkelret tegnet fra dette punkt til planet.

Hældningen tegnet fra et givet punkt til et givet plan er ethvert segment, der forbinder et givet punkt med et punkt på planet og ikke er vinkelret på dette plan. Enden af ​​et segment, der ligger i et plan, kaldes den skrå base. Et segment, der forbinder baserne af en vinkelret og en skrå trukket fra samme punkt, kaldes en skrå projektion.

I figur 136, fra punkt A, tegnes en vinkelret AB og en skrå AC til planet. Punkt B er bunden af ​​den vinkelrette, punkt C er bunden af ​​den skrånende, BC er projektionen af ​​den skrå AC på plan a.

Da afstandene fra punkterne på en linje til et plan parallelt med den er de samme, er afstanden fra en linje til et plan parallelt med den afstanden fra et hvilket som helst punkt på den til dette plan.

En ret linje tegnet på et plan gennem bunden af ​​et skrå plan vinkelret på dets projektion er også vinkelret på det skrå plan. Og omvendt: hvis en ret linje i et plan er vinkelret på en skrå, så er den også vinkelret på projektionen af ​​den skrånende (sætningen om tre vinkelrette).

I figur 137 er en vinkelret AB og en skrå AC tegnet til plan a. Den rette linje o, der ligger i planet a, er vinkelret på BC - projektionen af ​​den skrå AC på planet a. Ifølge T. 2.12 er den rette linje a vinkelret på skrå AC. Hvis det var kendt, at lige linje a er vinkelret på skrå AC, så ville den ifølge T. 2.12 være vinkelret på dens projektion - BC.

Eksempel. Rektangulære ben trekant ABC er lig med 16 og Fra toppen ret vinkel C er tegnet vinkelret på denne trekants plan CD = 35 m (fig. 138). Find afstanden fra punkt D til hypotenusen AB.

Løsning. Lad os gøre det. Ifølge betingelsen er DC vinkelret på planet, dvs. DE er skråtstillet, CE er dens projektion, derfor følger det af sætningen om tre perpendikulære af betingelsen, at

Fra finder vi For at finde højden CE i finder vi

På den anden side, hvor

Fra Pythagoras sætning

46. ​​Planernes vinkelrethed.

To skærende planer kaldes vinkelrette, hvis et plan vinkelret på disse planers skæringslinje skærer dem langs vinkelrette linjer.

Figur 139 viser to planer, der skærer hinanden langs en ret linje a. Planet y er vinkelret på linjen a og skærer. I dette tilfælde skærer planet y planet a langs den rette linje c, og planet skærer langs den rette linje d, og dvs. per definition

T. 2.13. Hvis et plan passerer gennem en linje vinkelret på et andet plan, så er disse planer vinkelrette (et tegn på vinkelret på planer).

I figur 140 passerer planet gennem en lige linje, dvs. planet er vinkelret.

Geometri

Stereometri

Vinkelrette og skrå

Vinkelret faldet fra et givet punkt på et givet plan er et segment, der forbinder et givet punkt med et punkt på planet og ligger på en linje vinkelret på planet. Enden af ​​dette segment, der ligger i et plan, kaldes basen af ​​vinkelret. Afstand fra punkt til plan er længden af ​​den vinkelrette, der falder fra dette punkt på planet.
På billedet AB- vinkelret; A.C.- tilbøjelig; B.C.- projektion.

Afstand fra lige linje til et plan parallelt med det er afstanden fra ethvert punkt på denne lige linje til planet.
Afstand mellem parallelle planer er afstanden fra ethvert punkt på et plan til et andet plan.
Tilbøjelig tegnet fra et givet punkt til en given plan er ethvert segment, der forbinder et givet punkt med et punkt på planet og ikke er vinkelret på planet. Enden af ​​et segment, der ligger i et plan, kaldes skrå base.
Et segment, der forbinder baserne af en vinkelret og en skrå trukket fra samme punkt kaldes skrå projektion.

Egenskaber for skrå linjer tegnet fra et punkt til et plan

1. Hældninger tegnet til et plan fra et punkt (figuren nedenfor til venstre) er ens, hvis og kun hvis de har lige store projektioner.
2. Hvis to skrånende skråninger tegnes fra et punkt til et plan, så er den med det største projektion større, og omvendt har den større skrånende den større projektion.
Bemærk venligst, at disse egenskaber er bevaret for skrå linjer tegnet til et plan fra forskellige punkter, men har samme længde vinkelret (billedet til højre).

Hvis vi gennem et punkt taget uden for en linje trækker en linje vinkelret på den, så kaldes segmentet fra dette punkt til linjen for kortheds skyld i ét ord vinkelret.

Segment CO er vinkelret på linje AB. Punkt O kaldes basen af ​​vinkelret CO (ris).

Hvis en linje trukket gennem et givet punkt skærer en anden linje, men ikke er vinkelret på den, kaldes dens segment fra et givet punkt til skæringspunktet med en anden linje tilbøjelig til denne linje.

Segment BC - hælder til lige linje AO. Punkt C kaldes basis skrå (fig.).

Hvis vi dropper perpendikulære fra enderne af et eller andet segment på en vilkårlig linje, så kaldes linjestykket, der er indesluttet mellem baserne af perpendikulærerne projektion af segmentet til denne lige linje.

Segment АВ - projektion af segment AB på EC. Segmentet OM kaldes også projektionen af ​​segmentet OM på EC.

Projektionen af ​​segmentet KP vinkelret på EC vil være punktet K (fig.).

2. Egenskaber af vinkelret og skrå.

Sætning 1. En vinkelret tegnet fra et punkt til en ret linje er mindre end enhver skrå tegnet fra samme punkt til denne rette linje.

Segmentet AC (fig.) er vinkelret på den rette linje OB, og AM er en af ​​de skrå linjer, der er tegnet fra punkt A til den rette linje OB. Det er nødvendigt at bevise, at AM > AC.

I ΔMAC er segmentet AM hypotenusen, og hypotenusen er større end hver af benene i denne trekant. Derfor AM > AC. Da vi tog den skrå AM vilkårligt, kan vi sige, at enhver skrå linje til en ret linje er større end en vinkelret på denne linje (og en vinkelret er kortere end enhver skrå linje), hvis de er trukket til den fra samme punkt.

Det omvendte udsagn er også sandt, nemlig: hvis segmentet AC (Fig.) er mindre end ethvert andet segment, der forbinder punktet AC med et hvilket som helst punkt på den rette linje OB, så er det vinkelret på OB. Faktisk kan segment AC ikke hældes til OB, da det da ikke ville være det korteste af segmenterne, der forbinder punkt A med punkter med lige linje OB. Det betyder, at den kun kan stå vinkelret på OB.

Længden af ​​den perpendikulære, der falder fra et givet punkt til en ret linje, tages som afstanden fra et givet punkt til denne rette linje.

Sætning 2. Hvis to skrå linjer tegnet til en linje fra samme punkt er ens, så er deres projektioner ens.

Lad BA og BC være skrå linjer tegnet fra punkt B til lige linje AC (fig.), og AB = BC. Det er nødvendigt at bevise, at deres fremskrivninger også er ens.

For at bevise dette, lad os sænke den vinkelrette BO fra punkt B til AC. Så vil AO og OS være projektioner af skrå AB og BC på lige linje AC. Trekant ABC er ligebenet ifølge sætningen. VO er højden af ​​denne trekant. Men højden i en ligebenet trekant tegnet til basen er samtidig medianen af ​​denne trekant.

Derfor er AO = OS.

Sætning 3 (omvendt). Hvis to skrå linjer tegnet til en lige linje fra samme punkt har lige store projektioner, så er de ens med hinanden.

Lad AC og CB hælde til lige linje AB (fig.). CO ⊥ AB og AO = OB.

Det er nødvendigt at bevise, at AC = BC.

I retvinklede trekanter AOC og BOC er benene AO ​​og OB lige store. CO er det fælles ben i disse trekanter. Derfor er ΔAOC = ΔBOC. Af trekanters lighed følger det, at AC = BC.

Sætning 4. Hvis to skrå linjer tegnes fra det samme punkt til en lige linje, så er den, der har en større projektion på denne rette linje, større.

Lad AB og BC hælde til lige linje AO; VO ⊥ AO og AO>CO. Det er nødvendigt at bevise, at AB > BC.

1) De skrånende er placeret på den ene side af vinkelret.

Vinkel ACE er ekstern i forhold til den retvinklede trekant COB (fig.), og derfor er ∠ACV > ∠COV, dvs. den er stump. Det følger heraf, at AB > CB.

2) De skrånende er placeret på begge sider af vinkelret. For at bevise dette, lad os plotte segmentet OK = OS på AO fra punkt O og forbinde punkt K til punkt B (fig.). Så har vi ved sætning 3: VC = BC, men AB > VC, derfor AB > BC, dvs. sætningen er også gyldig i dette tilfælde.

Sætning 5 (omvendt). Hvis to skrå linjer tegnes fra samme punkt til en ret linje, så har den større skrå linje også en større projektion på denne rette linje.

Lad KS og BC hælde til den rette linie CV (Fig.), SO ⊥ CV og KS > BC. Det er påkrævet at bevise, at KO > OB.

Mellem segmenterne KO og OB kan der kun være én af tre relationer:

1) KO< ОВ,

2) KO = OV,

3) KO > OV.

KO kan ikke være mindre end OB, da den skrå KS ifølge sætning 4 da ville være mindre end den skrå BC, og dette er i modstrid med sætningens betingelser.

På samme måde kan KO ikke være lig med OB, da i dette tilfælde ifølge sætning 3 KS = BC, hvilket også modsiger sætningens betingelser.

Følgelig forbliver kun det sidste forhold sandt, nemlig at KO > OB.

Egenskaber for skrå linjer, der kommer ud fra et punkt. 1. En vinkelret er altid kortere end en skrå, hvis de er tegnet fra samme punkt. 2. Hvis de tilbøjelige er lige store, så er deres projektioner lige store og omvendt. 3. En større skrå svarer til en større projektion og omvendt.

Slide 10 fra præsentationen "Vinret og skråtstillet i forhold til flyet". Størrelsen på arkivet med præsentationen er 327 KB.

Geometri 10 klasse

Resumé andre præsentationer

"Parallelogramproblemer" - Geometri. Prikker. Højden af ​​parallelogrammet. Firkant. Bevis. Tangent til en cirkel. Tegn på et parallelogram. Omkreds af et parallelogram. Cirkel. En del. Midterste linje. Centret af cirkler. Vinkler. Parallelogram. Find arealet af parallelogrammet. To cirkler. Egenskaber for et parallelogram. Skarpt hjørne. Arealet af et parallelogram. Diagonaler af et parallelogram. Diagonal. Firkantet. Trekanter.

"Metoder til konstruktion af sektioner" - Dannelse af færdigheder i konstruktion af sektioner. Lad os overveje fire tilfælde af konstruktion af sektioner af et parallelepipedum. Konstruer sektioner af tetraederet. Metode indretning. Arbejde med diske. Parallepipedet har seks flader. Skæreplan. Konstruktion af sektioner af polyedre. Sporet er den lige skæringslinje mellem snitplanet og planet for enhver flade af polyederet. Sporingsmetode. Memo.

""Almindelige polyeder" 10. klasse" - Forventet resultat. Et tetraeder beskrevet nær Mars' kredsløbssfære. Center O, akse a og plan. Ansigter af et polyeder. Radiolaria. Indhold. Almindelige polyedre. Regelmæssige polyedre i Platons filosofiske billede af verden. Feodaria. Regelmæssige polyedre findes i den levende natur. Under timerne. Et punkt (lige linje, plan) kaldes et centrum (akse, plan). Hvilke af de følgende geometriske legemer er ikke et regulært polyeder.

"Bestemmelse af dihedrale vinkler" - Punkt K fjernes fra hver side. Punkterne M og K ligger i forskellige ansigter. Gradmål hjørne. Ejendom trihedral vinkel. Noter om problemløsning. På en af ​​kanterne dihedral vinkel lig med 30, ligger punkt M. Konstruktion af en lineær vinkel. Tegn en vinkelret. En ret linje tegnet i et givet plan. Dihedrale vinkler i pyramider. Problemløsning. Punkt K. Denne pyramide. Punktet på kanten kan være vilkårligt.

"Metoder til at konstruere sektioner af polyedre" - Ethvert plan. Kunstnere. Geometriens love. Blitz-undersøgelse. Gensidig ordning plan og polyeder. Konstruer et udsnit af et polyeder. Polygoner. Aksiomatisk metode. Opgaver. Skib. Opgave. Aksiomer. Konstruktion af sektioner af polyedre. Snit efter forskellige planer. Gammel kinesisk ordsprog. Selvstændigt arbejde. Diagonale snit. Konsolidering af erhvervet viden. Skæreplan.

"Ligesidede polygoner" - Hexahedron (Terning) Terningen består af seks firkanter. Oktaeder Oktaederet består af otte ligesidede trekanter. Et tetraeder har 4 flader, 4 spidser og 6 kanter. Der er 5 typer regulære polyedre. Regelmæssige polygoner. Dodekaederet har 12 flader, 20 spidser og 30 kanter. Ikosaederet har 20 flader, 12 spidser og 30 kanter. En terning har således 6 flader, 8 spidser og 12 kanter. Tetraeder Tetraederet består af fire ligesidede trekanter.

Vinkelrette og skrå

Sætning. Hvis en vinkelret og skrå linie tegnes fra et punkt uden for planet, så:

1) skrå, der har lige store fremspring er lige;

2) af de to skrånende er den, hvis fremspring er større, større;

3) lige skråninger har lige store projektioner;

4) af de to fremspring er den, der svarer til den større skrå, større.

Tre vinkelrette sætning. For at en ret linje, der ligger i et plan, kan være vinkelret på en skrå linje, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at denne rette linje er vinkelret på projektionen af ​​den skrånende (fig. 3).

Arealsætning ortogonal projektion polygon på et plan. Arealet af den ortogonale projektion af en polygon på et plan er lig med produktet af polygonens areal og cosinus af vinklen mellem polygonens plan og projektionsplanet.

Konstruktion.

1. På et fly -en vi gennemfører en direkte EN.

3. I flyet b gennem punktet EN lad os lave en direkte b, parallelt med linjen EN.

4. Der er bygget en lige linje b parallelt med flyet -en.

Bevis. Baseret på paralleliteten af ​​en ret linje og et plan, en ret linje b parallelt med flyet -en, da den er parallel med linjen EN, der hører til flyet -en.

Undersøgelse. Opgaven har uendeligt sæt løsninger, da den rette linje EN i flyet -en er valgt tilfældigt.

Eksempel 2. Bestem i hvilken afstand fra flyet punktet er placeret EN, hvis lige AB skærer planet i en vinkel på 45º, afstanden fra punktet EN til sagen I tilhørende flyet er lig med cm?

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 5):

AC– vinkelret på planet -en, AB– skrå, vinkel ABC– vinkel mellem lige linje AB og fly -en. Trekant ABC– rektangulær fordi AC– vinkelret. Den nødvendige afstand fra punktet EN til flyet - dette er benet AC retvinklet trekant. Når vi kender vinklen og hypotenusen cm, finder vi benet AC:

Svar: 3 cm.

Eksempel 3. Bestem i hvilken afstand fra flyet ligebenet trekant er der et punkt 13 cm i afstand fra hver af trekantens hjørner, hvis trekantens base og højde er lig med 8 cm?

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 6). Prik S væk fra punkterne EN, I Og MED på samme afstand. Altså tilbøjelig S.A., S.B. Og S.C. lige, SÅ– den fælles perpendikulær af disse skrånende. Ved teoremet om skråninger og projektioner AO = VO = CO.

Prik OM– midten af ​​en cirkel afgrænset om en trekant ABC. Lad os finde dens radius:

Hvor Sol– base;

AD– højden af ​​en given ligebenet trekant.

Find siderne af en trekant ABC fra en retvinklet trekant ABD ifølge Pythagoras sætning:

Nu finder vi OB:

Overvej en trekant SOB: S.B.= 13 cm, OB= = 5 cm Find længden af ​​vinkelret SÅ ifølge Pythagoras sætning:

Svar: 12 cm.

Eksempel 4. Er givet parallelle planer -en Og b. Gennem punktet M, som ikke hører til nogen af ​​dem, tegnes lige linjer EN Og b det kors -en på punkter EN 1 og I 1 og flyet b– på punkter EN 2 og I 2. Find EN 1 I 1, hvis det er kendt MA 1 = 8 cm, EN 1 EN 2 = 12 cm, EN 2 I 2 = 25 cm.

Løsning. Da betingelsen ikke siger, hvordan punktet er placeret i forhold til begge planer M, så er to muligheder mulige: (fig. 7, a) og (fig. 7, b). Lad os se på hver af dem. To skærende linjer EN Og b definere et plan. Dette plan skærer to parallelle planer -en Og b langs parallelle linjer EN 1 I 1 og EN 2 I 2 ifølge sætning 5 om parallelle linjer og parallelle planer.

Trekanter MA 1 I 1 og MA 2 I 2 er ens (vinkler EN 2 MV 2 og EN 1 MV 1 – lodret, hjørner MA 1 I 1 og MA 2 I 2 – indvendig på tværs liggende med parallelle linjer EN 1 I 1 og EN 2 I 2 og sekant EN 1 EN 2). Fra ligheden mellem trekanter følger sidernes proportionalitet:

Herfra

Mulighed a):

Mulighed b):

Svar: 10 cm og 50 cm.

Eksempel 5. Gennem punktet EN fly g en direkte linje blev trukket AB danner en vinkel med planet -en. Via direkte AB et fly tegnes r, der dannes med et plan g hjørne b. Find vinklen mellem projektionen af ​​en ret linje AB til flyet g og fly r.

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 8). Fra punkt I slip vinkelret på planet g. Lineær vinkel dihedral vinkel mellem planer g Og r- dette er en ret vinkel AD DBC, baseret på vinkelretheden af ​​en linje og en plan, samt Baseret på vinkelretheden af ​​planer, en plan r vinkelret på trekantens plan DBC, da den passerer gennem linjen AD. Vi konstruerer den ønskede vinkel ved at slippe vinkelret fra punktet MED til flyet r, lad os betegne det Find sinus af denne vinkel i en retvinklet trekant MIG SELV. Lad os introducere et hjælpesegment a = BC. Fra en trekant ABC: Fra en trekant Flåde vi finder