Hvordan man tegner en vinkel svarende til en given. Hovedopgaver for byggeri

Det her - ældste geometriske problem.

Trin-for-trin instruktion

1. metode. - Brug af den "gyldne" eller "egyptiske" trekant. Siderne af denne trekant har billedformatet 3:4:5, og vinklen er strengt taget 90 grader. Denne kvalitet blev meget brugt af de gamle egyptere og andre gamle kulturer.

Ill.1. Opførelse af den Gyldne, eller Egyptisk trekant

Vi fremstiller tre målinger (eller reb kompasser - et reb på to søm eller pinde) med længder 3; 4; 5 meter. De gamle brugte ofte metoden til at binde knuder med lige store afstande mellem dem. Længdeenhed -" knude».
Vi driver en pind ved punkt O og fastgør målet "R3 - 3 knob" til den.
Vi strækker rebet langs kendt grænse– mod det tilsigtede punkt A.
I spændingsøjeblikket på grænselinjen - punkt A kører vi i en pind.
Så - igen fra punkt O, stræk målet R4 - langs den anden kant. Vi slår ikke pinden ind endnu.
Herefter strækker vi mål R5 - fra A til B.
Vi kører en pind i skæringspunktet mellem målingerne R2 og R3. - Det her ønsket punkt IN - tredje toppunkt i den gyldne trekant, med siderne 3;4;5 og med en ret vinkel i punktet O.

2. metode. Brug af et kompas.

Kompasset kan være reb eller skridttæller. Cm:

Vores kompas skridttæller har et trin på 1 meter.

Ill.2. Kompas skridttæller

Byggeri - også efter ill. 1.

Fra referencepunktet - punkt O - naboens hjørne tegnes et segment af vilkårlig længde - men større end kompassets radius = 1m - i hver retning fra midten (segment AB).
Vi placerer kompassets ben ved punkt O.
Vi tegner en cirkel med radius (kompasafstand) = 1 m. Det er nok at tegne korte buer - 10-20 centimeter hver, i krydset med det markerede segment (gennem punkterne A og B). Med denne handling fandt vi lige store punkter fra midten- A og B. Afstanden fra centrum er ligegyldig her. Du kan blot markere disse punkter med et målebånd.
Dernæst skal du tegne buer med centre i punkterne A og B, men flere (vilkårligt) større radius, end R=1m. Du kan omkonfigurere vores kompas til en større radius, hvis det har en justerbar stigning. Men for sådan en lille aktuelle opgave Jeg vil ikke "trække" den. Eller når der ikke er nogen justering. Kan klares på et halvt minut reb kompas.
Vi placerer det første søm (eller benet på et kompas med en radius større end 1 m) skiftevis i punkterne A og B. Og tegner to buer med det andet søm - i en stram tilstand af rebet - så de skærer hinanden med hver Andet. Det er muligt på to punkter: C og D, men et er nok - C. Og igen vil korte seriffer i krydset ved punkt C være tilstrækkeligt.
Tegn en lige linje (segment) gennem punkterne C og D.
Alle! Det resulterende segment, eller lige linje, er nøjagtig retning på nord :). Undskyld, - i en ret vinkel.
Figuren viser to tilfælde af grænseafvigelse på tværs af en nabos ejendom. Ill. 3a viser et tilfælde, hvor en nabos hegn bevæger sig væk fra den ønskede retning til skade. På 3b - klatrede han ind på din side. I situation 3a er det muligt at konstruere to "guide"-punkter: både C og D. I situation 3b er det kun C.
Placer en pind ved hjørne O og en midlertidig pind ved punkt C, og stræk en snor fra C til den bagerste grænse af stedet. - Så snoren næsten ikke rører pinden O. Ved at måle fra punkt O - i retning D, længden af siden i henhold til hovedplanen, får du et pålideligt bageste højre hjørne af pladsen.

Ill.3. Konstruktion ret vinkel– fra naboens hjørne ved hjælp af skridttæller og rebkompas

Hvis du har en kompas-skridtæller, så du kan undvære reb helt. I det foregående eksempel brugte vi rebet til at tegne buer med en større radius end skridttællerens. Mere fordi disse buer skal skære hinanden et sted. For at buerne kan tegnes med en skridttæller med samme radius - 1m med garanti for deres skæringspunkt, er det nødvendigt, at punkt A og B er inde i cirklen med R = 1m.

Mål derefter disse punkter med lige stor afstand roulette- V forskellige sider fra centrum, men altid langs linje AB (naboens hegnslinje). Jo tættere punkt A og B er på midten, jo længere fra det er guidepunkterne: C og D, og jo flere mere præcise målinger. På figuren er denne afstand antaget til at være omkring en fjerdedel af skridttællerens radius = 260 mm.

Ill.4. Konstruktion af en ret vinkel ved hjælp af en skridttæller og målebånd

Denne handlingsplan er ikke mindre relevant, når man konstruerer ethvert rektangel, især konturen af et rektangulært fundament. Du vil modtage det perfekt. Dens diagonaler skal selvfølgelig kontrolleres, men er indsatsen ikke reduceret? – Sammenlignet med, når fundamentets diagonaler, hjørner og sider flyttes frem og tilbage, indtil hjørnerne mødes.

Faktisk besluttede vi os geometrisk problem på jorden. For at gøre dine handlinger mere selvsikre på webstedet, øv dig på papir - ved hjælp af et almindeligt kompas. Hvilket dybest set ikke er anderledes.

For at konstruere enhver tegning eller udføre plane markeringer af et emne før bearbejdning af det, er det nødvendigt at udføre en række grafiske operationer - geometriske konstruktioner.

I fig. Figur 2.1 viser en flad del - en plade. For at tegne sin tegning eller markere en kontur på en stålstrimmel til efterfølgende fremstilling, skal du gøre det på konstruktionsplanet, de vigtigste er nummereret med tal skrevet på pilene. I tal 1 angiver konstruktionen af indbyrdes vinkelrette linier, som skal udføres flere steder, med tallet 2 – tegning af parallelle linjer i tal 3 – parring af disse parallelle linjer med en bue med en vis radius, et tal 4 – konjugering af en bue og en lige bue givet radius, som i I dette tilfælde lig med 10 mm, nummer 5 – parring af to buer med en bue med en vis radius.

Som et resultat af udførelse af disse og andre geometriske konstruktioner vil delens kontur blive tegnet.

Geometrisk konstruktion er en metode til at løse et problem, hvor svaret opnås grafisk uden beregninger. Konstruktioner udføres med tegne- (eller markerings)værktøjer så omhyggeligt som muligt, fordi nøjagtigheden af løsningen afhænger af dette.

Linjer, givet af betingelser opgaver, såvel som konstruktioner, udføres som solide subtile, og resultaterne af konstruktion udføres som solide grundlæggende.

Når du begynder at lave en tegning eller markering, skal du først bestemme, hvilken af de geometriske konstruktioner, der skal anvendes i dette tilfælde, dvs. analysere den grafiske sammensætning af billedet.

Ris. 2.1.

Analyse af billedets grafiske sammensætning kaldet processen med at opdele udførelsen af en tegning i separate grafiske operationer.

At identificere de operationer, der kræves for at konstruere en tegning, gør det lettere at vælge, hvordan den skal udføres. Hvis du skal tegne f.eks. pladen vist i fig. 2.1, så fører analyse af konturen af dets billede os til den konklusion, at vi skal anvende følgende geometriske konstruktioner: i fem tilfælde skal du tegne indbyrdes vinkelrette midterlinjer (figur 1 i en cirkel), i fire tilfælde tegne parallelle linjer(nummer 2 ), tegn to koncentriske cirkler (0 50 og 70 mm), i seks tilfælde konstruer makkerpar af to parallelle rette linjer med buer med en given radius (figur 3 ), og i fire - parringen af en bue og en lige bue med en radius på 10 mm (figur 4 ), i fire tilfælde, konstruer en parring af to buer med en bue med radius 5 mm (nummer 5 i en cirkel).

For at udføre disse konstruktioner skal du huske eller gentage reglerne for at tegne dem fra lærebogen.

I dette tilfælde er det tilrådeligt at vælge en rationel måde at fuldføre tegningen på. Valg rationel måde at løse et problem reducerer tidsforbruget på arbejdet. For eksempel når man bygger ligesidet trekant, indskrevet i en cirkel, er en mere rationel metode at konstruere den ved hjælp af en tværstang og en firkant med en vinkel på 60° uden først at bestemme trekantens hjørner (se fig. 2.2, a, b). En mindre rationel måde at løse det samme problem på er at bruge et kompas og en tværstang med foreløbig bestemmelse af trekantens toppunkter (se fig. 2.2, V).

Opdeling af segmenter og konstruktion af vinkler

Konstruktion af rette vinkler

Det er rationelt at konstruere en 90° vinkel ved hjælp af en tværstang og en firkant (fig. 2.2). For at gøre dette er det nok at tegne en lige linje og genoprette en vinkelret på den ved hjælp af en firkant (fig. 2.2, EN). Det er rationelt at bygge en vinkelret på det skrå segment ved at bevæge sig (fig. 2.2, b) eller drejning (fig. 2.2, V) firkantet.

Ris. 2.2.

Konstruktion af stumpe og spidse vinkler

Rationelle metoder til at konstruere vinkler på 120, 30 og 150, 60 og 120, 15 og 165, 75 og 105,45 og 135° er vist i fig. 2.3, som viser placeringerne af kvadraterne til konstruktion af disse vinkler.

Ris. 2.3.

Opdeling af en vinkel i to lige store dele

Fra toppen af en vinkel, beskriv en cirkelbue vilkårlig radius(Fig. 2.4).

Ris. 2.4.

Fra point ΜηΝ skæring af buen med siderne af vinklen med en kompasløsning, mere end halvdelen buer ΜΝ, lav to, der krydser hinanden i et punkt EN seriffer.

Gennem det modtagne punkt EN og vinklens toppunkt tegner en ret linje (halveringslinjen af vinklen).

Opdeling af en ret vinkel i tre lige store dele

Fra toppen af en ret vinkel, beskriv en bue af en cirkel med vilkårlig radius (fig. 2.5). Uden at ændre kompassets vinkel skal du lave hak fra skæringspunkterne mellem buen og vinklens sider. Gennem de modtagne point M Og Ν og vinklens toppunkt er tegnet af lige linjer.

Ris. 2.5.

På denne måde kan kun rette vinkler opdeles i tre lige store dele.

Konstruere en vinkel lig med en given. Fra toppen OM givet vinkel tegne en bue med vilkårlig radius R, skærer vinklens sider i punkter M Og N(Fig. 2.6, EN). Tegn derefter et lige segment, som vil tjene som en af siderne af den nye vinkel. Fra punkt OM 1 på denne lige linje med samme radius R tegne en bue, få et punkt Ν 1 (fig. 2.6, b). Fra dette punkt beskriv en bue med radius R 1, lig med akkorden MN. Skæringspunktet mellem buer giver et punkt Μ 1, som er forbundet med en ret linje til toppunktet for den nye vinkel (fig. 2.6, b).

Ris. 2.6.

Opdeling af et linjestykke i to lige store dele. Fra enderne givet segment med en kompasåbning større end halvdelen af dens længde, beskriv buerne (fig. 2.7). Lige linje, der forbinder de opnåede punkter M Og Ν, deler et segment i to lige store dele og er vinkelret på det.

Ris. 2.7.

Konstruktion af en vinkelret for enden af et lige linjestykke. Fra vilkårligt punktÅh, overtaget segmentet AB, beskriv en cirkel, der går gennem et punkt EN(enden af et linjestykke) og skærer linjen i punktet M(Fig. 2.8).

Ris. 2.8.

Gennem det modtagne punkt M og center OM cirkler tegner en lige linje, indtil de mødes modsatte side cirkel i et punkt N. Fuldt stop N forbinde en lige linje til et punkt EN.

At dividere et linjestykke med et vilkårligt tal lige dele. Fra enhver ende af et segment, for eksempel fra et punkt EN, udført under Spids vinkel en lige linje til det. På den lagde de sig med et målekompas det rigtige nummer lige store segmenter af vilkårlig størrelse (fig. 2.9). Det sidste punkt er forbundet med den anden ende af det givne segment (til punktet I). Fra alle divisionspunkter skal du ved hjælp af en lineal og en firkant tegne lige linjer parallelt med den lige linje 9V, som vil opdele segmentet AB i givet nummer lige dele.

Ris. 2.9.

I fig. Figur 2.10 viser, hvordan man anvender denne konstruktion for at markere hullernes centre jævnt fordelt på en lige linje.

Ofte er det nødvendigt at tegne (“konstruere”) en vinkel, der ville være lig med en given vinkel, og konstruktionen skal udføres uden hjælp fra en vinkelmåler, men kun ved hjælp af et kompas og en lineal. Ved at vide, hvordan man konstruerer en trekant på tre sider, kan vi løse dette problem. Lad det være på en lige linje MN(Fig. 60 og 61) er det nødvendigt at bygge på punktet K vinkel lig med vinkel B. Det betyder, at det er nødvendigt fra punktet K tegne en ret linje med en komponent MN vinkel lig med B.

For at gøre dette skal du f.eks. markere et punkt på hver side af en given vinkel EN Og MED, og tilslut EN Og MED lige linje. Vi får en trekant ABC. Lad os nu konstruere på en lige linje MN denne trekant, så dens toppunkt I var på punktet TIL: så vil en vinkel på dette tidspunkt blive konstrueret lig med vinklen I. Konstruer en trekant med tre sider VS, VA Og AC vi ved hvordan: vi udsætter (fig. 62) fra punktet TIL linjestykke KL, lige Sol; vi får en pointe L; rundt om K, som nær midten, beskriver vi en cirkel med en radius VA, og omkring L – radius SA. Fuldt stop R vi forbinder cirklernes skæringspunkter med TIL og Z, får vi en trekant KPL, lig med en trekant ABC; der er en vinkel i det TIL= ug. I.

Denne konstruktion udføres hurtigere og mere bekvemt, hvis den er fra toppen I læg lige store segmenter (med én opløsning af kompasset) og beskriv uden at bevæge benene en cirkel omkring punktet med samme radius TIL, gerne nær centrum.

Sådan deler du et hjørne i to

Antag, at vi skal opdele en vinkel EN(Fig. 63) i to lige store dele ved hjælp af kompas og lineal, uden at bruge en vinkelmåler. Vi viser dig, hvordan du gør det.

Fra toppen EN sæt lige store segmenter på siderne af vinklen AB Og AC(Diagram 64; dette gøres ved blot at opløse kompasset). Derefter placerer vi spidsen af kompasset ved punkterne I Og MED og beskriv lige radier buer, der skærer hinanden i et punkt D. Lige forbindelse EN og D deler vinklen EN i halv.

Lad os forklare, hvorfor dette er. Hvis pointen D forbinde med I og C (fig. 65), så får du to trekanter ADC Og ADB, y som der er af fælles side AD; side AB lig med side AC, A ВD svarende til CD. Trekanterne er ens på tre sider, hvilket betyder, at vinklerne er lige store. DÅRLIG Og DAC, liggende imod lige sider ВD Og CD. Derfor lige AD deler vinklen DU i halv.

Ansøgninger

12. Konstruer en vinkel på 45° uden vinkelmåler. Ved 22°30'. Ved 67°30'.

Løsning: Ved at dele den rigtige vinkel i to får vi en vinkel på 45°. Hvis vi deler 45°-vinklen i to, får vi en vinkel på 22°30'. Ved at konstruere summen af vinklerne 45° + 22°30’ får vi en vinkel på 67°30’.

Hvordan man konstruerer en trekant ved hjælp af to sider og vinklen mellem dem

Antag, at du på jorden skal finde ud af afstanden mellem to milepæle EN Og I(Devil 66), adskilt af en ufremkommelig sump.

Hvordan gør man det?

Vi kan gøre dette: Vælg et punkt væk fra sumpen MED, hvorfra begge milepæle er synlige og afstande kan måles AC Og Sol. Hjørne MED vi måler ved hjælp af en speciel goniometrisk enhed (kaldet str o l b i e). Ifølge disse data, dvs. ifølge de målte sider A.C. Og Sol og hjørne MED mellem dem, lad os bygge en trekant ABC et sted i en bekvem beliggenhed på følgende måde. Efter at have målt en kendt side i en lige linje (fig. 67), f.eks AC, byg med det på punktet MED hjørne MED; på den anden side af denne vinkel måles den kendte side Sol. slutter kendte parter, altså point EN Og I forbundet med en ret linje. Resultatet er en trekant, hvor to sider og vinklen mellem dem har de dimensioner, der er angivet på forhånd.

Fra konstruktionsmetoden er det klart, at kun en trekant kan konstrueres ved hjælp af to sider og vinklen mellem dem. derfor, hvis to sider af en trekant er lig med to sider af en anden, og vinklerne mellem disse sider er de samme, så kan sådanne trekanter overlejres på hinanden af alle punkter, dvs. deres tredje sider og andre vinkler skal også være ens. Dette betyder, at ligheden mellem to sider af trekanter og vinklen mellem dem kan tjene som et tegn på den fuldstændige lighed af disse trekanter. Kort sagt:

Trekanter er lige store på begge sider og i vinklen mellem dem.

Når man bygger eller udvikler boligdesignprojekter, er det ofte nødvendigt at bygge en vinkel svarende til en eksisterende. Skabeloner kommer til undsætning skolekendskab geometri.

Instruktioner

En vinkel er dannet af to lige linjer, der udgår fra et punkt. Dette punkt vil blive kaldt vinklens toppunkt, og linjerne vil være siderne af vinklen.
Brug tre bogstaver til at repræsentere hjørner: en øverst, to i siderne. Vinklen navngives begyndende med bogstavet, der står på den ene side, derefter navngives bogstavet, der står i spidsen, og derefter bogstavet på den anden side. Brug andre måder at angive vinkler på, hvis du foretrækker andet. Nogle gange nævnes kun ét bogstav, som er øverst. Kan du markere vinklerne? græske bogstaver for eksempel α, β, y.
Der er situationer, hvor det er nødvendigt at tegne en vinkel, så den er lig med en allerede given vinkel. Hvis det ikke er muligt at bruge en vinkelmåler, når man konstruerer en tegning, kan man kun klare sig med lineal og kompas. Lad os sige, at på en ret linje markeret på tegningen med bogstaverne MN, skal du konstruere en vinkel i punktet K, så den er lig med vinkel B. Det vil sige, fra punkt K er det nødvendigt at tegne en ret linje, der danner en vinkel med linjen MN, som vil være lig med vinkel B.
Marker først et punkt på hver side af en given vinkel, for eksempel punkterne A og C, og forbind derefter punkterne C og A med en ret linje. Få trekant ABC.
Konstruer nu den samme trekant på linjen MN, så dens toppunkt B er på linjen i punktet K. Brug reglen til at konstruere en trekant på tre sider. Afbryd segmentet KL fra punkt K. Det må han være lig med segmentet Sol. Få L-punktet.
Fra punkt K tegnes en cirkel med en radius lig med segment BA. Fra L tegnes en cirkel med radius CA. Forbind det resulterende punkt (P) af skæringspunktet mellem to cirkler med K. Få en trekant KPL, som vil være lig med trekant ABC. På denne måde får du vinkel K. Den vil være lig med vinkel B. For at gøre denne konstruktion mere bekvem og hurtigere skal du afsætte lige store segmenter fra toppunkt B ved at bruge en kompasåbning, uden at flytte benene, beskriv en cirkel med samme radius fra punkt K.