3. I et regulært trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1, hvor alle kanter er lig med 1, skal du finde vinklen mellem linjerne: AB og A 1 C. Løsning: Den ønskede vinkel er lig med vinklen B 1 A 1 C. I trekanten B 1 A 1 C tegner vi højde CD 1. I en retvinklet trekant A 1 CD 1 ben A 1 D 1 er lig med 0,5; hypotenusen A 1 C er lig. Derfor,
Løsning 1. Lad O 1 være centrum af den regulære sekskant A 1 ...F 1. Så er den rette linie AO1 parallel med den rette linie BC 1, og den ønskede vinkel mellem de rette linier AB 1 og BC 1 er lig med vinklen B 1 AO 1. I den ligebenede trekant B 1 AO 1 har vi : O 1 B 1 = 1; AB 1 = AO 1 =. Ved at anvende cosinussætningen får vi.
Løsning 2. Lad os introducere et koordinatsystem, idet vi betragter punkt A som udgangspunktet for koordinater, punkt B har koordinater (1, 0, 0), punkt A 1 har koordinater (0, 0, 1). Så har punkt C 1 koordinater (1,5, 1). En vektor har koordinater (1, 0, 1), en vektor har koordinater (0,5, 1). Lad os bruge formlen, der udtrykker cosinus af vinklen mellem vektorer gennem deres skalarprodukt og længde. Vi har. Derfor er cosinus af vinklen mellem rette linjer AB 1 og BC 1 0,75.
Løsning 2. Lad os introducere et koordinatsystem, idet vi betragter punkt A som udgangspunktet for koordinater, punkt B har koordinater (1, 0, 0), punkt A 1 har koordinater (0, 0, 1). Så har punkt D 1 koordinater (1, 1). En vektor har koordinater (1, 0, 1), en vektor har koordinater (0, 1). Lad os bruge formlen, der udtrykker cosinus af vinklen mellem vektorer gennem deres skalarprodukt og længde. Vi har. Derfor er cosinus af vinklen mellem rette linjer AB 1 og BC 1 lig.
Løsning 1. Lad os bevise, at vinklen mellem rette linjer AB 1 og BE 1 er lig med 90 grader. For at gøre dette bruger vi sætningen om tre perpendikulære. Nemlig, hvis den ortogonale projektion af et skrå plan på et plan er vinkelret på en ret linje, der ligger i dette plan, så er den skrånende i sig selv vinkelret på denne rette linje. Den ortogonale projektion af BE 1 på planet ABB 1 er den rette linje A 1 B, vinkelret på AB 1. Følgelig vil den rette linje BE 1 også være vinkelret på den rette linje AB 1, dvs. den ønskede vinkel er 90°.
Løsning 2. Gennem punkt B trækker vi en linje parallel med linje AB 1, og betegner G 1 dens skæringspunkt med linje A 1 B 1. Den ønskede vinkel er lig med vinkel E 1 BG 1. Side BG 1 af trekant E 1 BG 1 er lig. I den retvinklede trekant BEE 1 er benene BE og EE 1 lig med henholdsvis 2 og 1. Derfor er hypotenusen af BE 1 lig. I en retvinklet trekant G 1 A 1 E 1 er benene A 1 G 1 og A 1 E 1 lig med 2 hhv. Derfor er hypotenusen G 1 E 1 lig. I trekanten BE 1 G 1 har vi således: BG 1 =, BE 1 =, G 1 E 1 =. Ifølge sætningen omvendt til Pythagoras sætning finder vi, at vinklen E 1 BG 1 er lig med 90 grader.
Løsning 3. Lad os introducere et koordinatsystem, idet vi betragter punkt A som udgangspunktet for koordinater, punkt B har koordinater (1, 0, 0), punkt A 1 skal have koordinater (0, 0, 1), punkt E skal have koordinater koordinater (0, 0). Så har punktet E 1 koordinater (0, 1), vektoren har koordinater (1, 0, 1), vektoren har koordinater (-1, 1). Lad os bruge formlen, der udtrykker cosinus af vinklen mellem vektorer gennem deres skalarprodukt og længde. Vi har, og derfor er vinklen mellem rette linjer AB 1 og BE 1 lig med 90 grader.
13. I et regulært trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1, hvor alle kanter er lig med 1, skal du finde vinklen mellem planerne ABC og A 1 B 1 C. Løsning: Lad O, O 1 være kanternes midtpunkter AB og A 1 B 1. Den ønskede lineære vinkel vil være vinkel OCO 1. I den retvinklede trekant OCO 1 har vi OO 1 = 1; OC = Derfor
16. I det regulære 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lig med 1, skal du finde vinklen mellem planerne CDF 1 og AFD 1. Svar: Løsning: Lad O være midten af prismet, G, G 1 midtpunkterne på kanterne CD og C 1 D 1. Den nødvendige vinkel er lig med vinklen GOG 1. I trekanten GOG 1 har vi: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Derfor = 60 o.
Terning 1 Find vinklen mellem linje AC og BD 1 i terning A…D 1. Svar. 90 o.
Terning 2 Find vinklen mellem linje AB 1 og BD 1 i terning A…D 1. Svar. 90 o.
Terning 3 Find vinklen mellem linje DA 1 og BD 1 i terning A…D 1. Svar. 90 o.
Terning 4 Find i enhedsterningen A...D 1 cosinus for vinklen mellem linjerne AE og BE 1, hvor E og E 1 er midtpunkterne på henholdsvis kanterne BC og B 1 C 1 Løsning. Gennem punkt A trækker vi en linje AF 1 parallel med BE 1. Den ønskede vinkel er lig med vinklen EAF 1. I trekanten AEF 1 AE = AF 1 = , EF 1 =. Ved hjælp af cosinussætningen finder vi svaret.
Terning 5 Find i terning A...D 1 vinklen mellem linjerne AE og BF 1, hvor E og F 1 er midtpunkterne på henholdsvis kanter BC og C 1 D 1. Løsning. Fra punkt F 1 sænker vi den vinkelrette F 1 F til den rette linje CD. Linje AE er vinkelret på BF, derfor er den vinkelret på BF 1. Svar. 90 o.
Pyramide 1 Find vinklen mellem linje AD og BC i et regulært tetraeder ABCD. Svar: 90 o.
Pyramide 1 I et regulært tetraeder ABCD er punkterne E, F, G midtpunkterne på kanterne AB, BD, CD. Find vinklen EFG. Løsning. Linjerne EF og FG er parallelle med linjerne AD og BC, som er vinkelrette. Derfor er vinklen mellem dem 90 grader. Svar: 90 o.
Pyramide 2 I en regulær pyramide SABCD, hvor alle kanter er lig med 1, er punkt E midten af kanten SC. Find tangenten til vinklen mellem linjerne SA og BE. Løsning. Gennem punkt E trækker vi en linje parallelt med SA. Den vil skære basen i punktet O. Den nødvendige vinkel er lig med vinkel OEB. I den retvinklede trekant OEB har vi: OB = Svar: , OE = . Derfor,
Pyramide 3 I en regulær pyramide SABCD, hvor alle kanter er lig med 1, er punkterne E, F midtpunkterne på kanterne SB og SC. Find cosinus for vinklen mellem linjerne AE og BF. Løsning. Lad G betegne midtpunktet af kant AD. Linje GF er parallel med AE. Den nødvendige vinkel er lig med vinkel BFG. I trekant BFG har vi: BF = GF = , BG = . Ved hjælp af cosinussætningen finder vi svaret:
Pyramide 4 I en regulær pyramide SABCDEF, hvis grundsider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, skal du finde vinklen mellem linjerne SA og BF. Svar: 90 o.
Pyramide 5 I en almindelig pyramide SABCDEF, hvis grundsider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, er punkt G midten af kanten SC. Find tangenten til vinklen mellem linjerne SA og BG. Løsning. Lad H betegne midtpunktet af segmentet AC. Linje GH er parallel med SA. Den nødvendige vinkel er lig med vinkel BGH. I trekanten BGH har vi: BH = 0, 5, GH = 1. Svar:
Prisme 1 I et regulært trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1, hvor alle kanter er lig med 1, skal du finde cosinus af vinklen mellem rette linjer AB 1 og BC 1. Løsning: Lad os bygge prismet til et 4-vinklet prisme . Lad os tegne AD 1 parallelt med BC 1. Den ønskede vinkel vil være lig med vinkel B 1 AD 1. I trekanten AB 1 D 1 Ved hjælp af cosinussætningen finder vi
Prisme 2 I et regulært trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1, hvor alle kanter er lig med 1, er punkterne D, E midtpunkterne på kanterne A 1 B 1 og B 1 C 1. Find cosinus af vinklen mellem linjer AD og BE. Løsning. Lad F angive midtpunktet af segmentet AC. Linje EF er parallel med AD. Den nødvendige vinkel er lig med vinkel BEF. I trekant BGH har vi: Ved hjælp af cosinusloven finder vi svaret.
Prisme 3 I et regulært 6. prisme A…F 1, hvis kanter er lig med 1, skal du finde vinklen mellem rette linjer AA 1 og BD 1. Løsning: Den nødvendige vinkel er lig med vinkel B 1 BD 1. I en retvinklet trekant B 1 BD1B1D1 =; B1B = 1; BD 1=2. Derfor er den ønskede vinkel 60°. Svar. 60 o.
Prisme 4 I et regulært 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lig med 1, skal du finde tangenten til vinklen mellem rette linjer AA 1 og BE 1. Løsning: Den ønskede vinkel er lig med vinkel B 1 BE 1. I en retvinklet trekant er B 1 BE 1 ben B 1 E 1 lig med 2; side B 1 B er lig med 1. Svar derfor. 2.
Prisme 5 I et regulært 6. prisme A…F 1, hvis kanter er lig med 1, skal du finde vinklen mellem rette linjer AC 1 og BE. Svar. 90 o.
Prisme 6 I et regulært 6. prisme A…F 1, hvis kanter er lig med 1, skal du finde vinklen mellem rette linjer AD 1 og BF. Svar. 90 o.
Prisme 7 I et regulært 6. prisme A…F 1, hvis kanter er lig med 1, skal du finde vinklen mellem rette linjer AB 1 og BE 1. Svar. 90 o.
Prisme 8 I det regulære 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lig med 1, skal du finde cosinus af vinklen mellem rette linjer BA 1 og FC 1. Løsning: Gennem midten O af segmentet FC 1, tegne en ret linje PP 1, parallel med BA 1. Den ønskede vinkel er lig med vinklen POC 1. I trekant POC 1 har vi: PO = ; OC 1= PC 1= Derfor, svar. .
Prisme 9 I det regulære 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lig med 1, find cosinus af vinklen mellem rette linjer AB 1 og BC 1. Løsning: Lad O 1 være centrum af den regulære 6. prisme A 1...F 1. Så er AO 1 parallel BC 1, og den nødvendige vinkel er lig med vinkel B 1 AO 1. I en ligebenet trekant B 1 AO 1 O 1 B 1=1; AB 1=AO 1= Ved at anvende cosinussætningen får vi
Prisme 10 I det regulære 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lig med 1, find cosinus af vinklen mellem de rette linjer AB 1 og BD 1. Løsning: Den ønskede vinkel er lig med vinklen B 1 AE 1. I trekanten B 1 AE 1 AB 1= ; B 1 E 1 = AE 1 = 2. Derfor,
Prisme 11 I et regulært 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lig med 1, skal du finde cosinus for vinklen mellem rette linjer AB 1 og BF 1. Løsning: Lad O, O 1 være centrum for basen af prismet. På prismets akse plotter vi O 1 O 2 = OO 1. Så vil F 1 O 2 være parallel med AB 1, og den ønskede vinkel vil være lig med vinklen BF 1 O 2. I trekanten BF 1 O 2 B02 = BF1 = 2; F 1 O 2 = Ved cosinussætningen har vi
Prisme 12 I et regulært 6. prisme A…F 1, hvis kanter er lig med 1, skal du finde cosinus af vinklen mellem rette linjer AB 1 og CD 1. Løsning: Den ønskede vinkel er lig med vinklen CD 1 E. I trekanten CD 1 E CD 1= ED 1 = ; CE = Ved cosinussætningen har vi
Prisme 13 I det regulære 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lig med 1, skal du finde cosinus for vinklen mellem rette linjer AB 1 og CE 1. Løsning: Bemærk at CE 1 er parallel med BF 1. Derfor er den nødvendige vinkel lig med vinklen mellem AB 1 og BF 1, som blev fundet tidligere. Nemlig
Prisme 14 I et regulært 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lig med 1, find cosinus af vinklen mellem rette linjer AB 1 og CF 1. Løsning: Lad O, O 1 være centrum for basen af prismet. På prismets akse plotter vi O 1 O 2 = OO 1. Så vil F 1 O 2 være parallel med AB 1, og den ønskede vinkel vil være lig med vinklen CF 1 O 2. I trekanten CF 1 O 2 CO 2= CF 1 = F 1 O 2 = Så
Prisme 15 I det regulære 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lig med 1, skal du finde cosinus for vinklen mellem rette linjer AB 1 og CA 1. Løsning: I forlængelse af BB 1 lægges B til side 1 B 2 = BB 1. Så vil A 1 B 2 være parallel med AB 1, og den ønskede vinkel vil være lig med vinkel CA 1 B 2. I en trekant CA 1 B 2 CA 1= 2; CB 2 = A 1 B 2 = Så
Prisme 16 I det regulære 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lig med 1, skal du finde cosinus for vinklen mellem rette linjer AB 1 og DF 1. Løsning: Bemærk at DF 1 er parallel med CA 1. Derfor er den ønskede vinkel lig med vinklen mellem AB 1 og CA 1, som blev fundet tidligere. Nemlig
Prisme 17 I det regulære 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lig med 1, skal du finde vinklen mellem rette linjer AB 1 og DA 1. Løsning: I fortsættelsen af BB 1 lægger vi B 1 B 2 til side = BB 1. Så vil A 1 B 2 være parallel AB 1, og den nødvendige vinkel vil være lig med vinklen DA 1 B 2. I trekanten DA 1 B 2 DA 1= DB 2 = A 1 B 2 = Derfor skal den nødvendige vinkel er 90 o.
Prisme 18 I et regulært 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lig med 1, find cosinus af vinklen mellem rette linjer AB 1 og DC 1. Løsning: Lad O være midten af bunden af prisme. Segmenterne OC 1 og OB 1 vil være ens og parallelle med henholdsvis segmenterne AB 1 og DC 1. Den ønskede vinkel vil være lig med vinkel B 1 OC 1. I trekanten B 1 OC 1 OB 1 = OC 1 = ; B 1 C 1 = 1. Derefter ved cosinussætningen
Prisme 19 I det regulære 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lig med 1, find cosinus af vinklen mellem linjerne AC 1 og BD 1. Løsning: Bemærk at AE 1 er parallel med BD 1. Derfor , den ønskede vinkel er lig med vinkel C 1 AE 1 I trekant C 1 AE 1 AC 1 = AE 1 = 2; C 1 E 1 = Ved cosinussætningen har vi
Prisme 20 I et regulært 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lig med 1, find cosinus af vinklen mellem linjerne AC 1 og BE 1. Løsning: Bemærk, at stykket GG 1 går gennem midtpunkterne på kanterne AF og C 1 D 1 er parallelle og er lig med segmentet AC 1. Den nødvendige vinkel er lig med vinklen G 1 OE 1. I trekanten G 1 OE 1 OG 1 = 1; OE 1 =; G 1 E 1 = Ved cosinussætningen har vi.
Unified State Exam 2010. MATEMATIK
Opgave C2
Arbejdsbog
Redigeret af og
Forlaget MCNMO
2010
INTRODUKTION
Denne manual er beregnet til at forberede dig til at fuldføre opgave C2 i Unified State Examen i matematik. Dens mål er:
– viser de omtrentlige emner og sværhedsgrad for geometriske problemer, der er inkluderet i indholdet af Unified State Examination;
- kontrol af kvaliteten af elevernes viden og færdigheder inden for geometri, deres parathed til at tage Unified State Exam;
- udvikling af elevernes ideer om grundlæggende geometriske figurer og deres egenskaber, udvikling af færdigheder i at arbejde med tegninger og evnen til at udføre yderligere konstruktioner;
– forbedring af elevernes computerkultur.
Manualen indeholder problemer med at finde vinkler mellem rette linjer i rummet, en ret linje og et plan, to planer; at finde afstandene fra et punkt til en linje, fra et punkt til et plan, mellem to linjer. Tilstedeværelsen af tegninger hjælper med bedre at forstå problemernes betingelser, forestille sig den tilsvarende geometriske situation, skitsere en løsningsplan og udføre yderligere konstruktioner og beregninger.
For at løse de foreslåede problemer kræves kendskab til definitionerne af trigonometriske funktioner, formler til at finde elementerne i en trekant, Pythagoras sætning, cosinussætningen, evnen til at udføre yderligere konstruktioner og kendskab til koordinat- og vektormetoder for geometri. .
Hver opgave scores ud fra to point. Der gives et point for korrekt at konstruere eller beskrive den påkrævede vinkel eller afstand. Der gives desuden et point for korrekt udførte udregninger og det rigtige svar.
For det første foreslås diagnostisk arbejde for at finde vinkler og afstande for forskellige polyedre. For dem, der ønsker at kontrollere rigtigheden af løsningerne på de foreslåede problemer eller sikre sig, at det modtagne svar er korrekt, gives løsninger til problemerne, normalt på to forskellige måder, og svarene gives. Derefter, for at konsolidere de overvejede metoder til løsning af problemer, foreslås træningsarbejde for at finde vinkler og afstande for hver af de typer figurer, der tages i betragtning i det diagnostiske arbejde.
Hvis disse opgaver er løst med succes, kan du gå videre til at udføre afsluttende diagnostisk arbejde indeholdende opgaver af forskellige typer.
I slutningen af manualen gives svar på alle problemer.
Bemærk, at den bedste måde at forberede sig til Unified State-eksamen i geometri på er systematisk at studere i en lærebog i geometri. Denne manual erstatter ikke lærebogen. Den kan bruges som ekstra samling opgaver ved studiet af geometri i 10-11 klassetrin, samt ved tilrettelæggelse af generaliseret gentagelse eller selvstændige geometristudier.
Diagnostisk arbejde
1.1. I en enhedsterning EN…D 1 find vinklen mellem linjerne AB 1 og B.C. 1.
1.2.
I en enhedsterning EN…D 1 find vinklen mellem linjerne D.A. 1 og BD 1.
1.3 . ABCA 1B 1C AD 1 og C.E. 1, hvor D 1 og E 1 – henholdsvis midten af ribbenene EN 1C 1 og B 1C 1.
2.1. EN…F A.F. og fly
2.2.
I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find vinklen mellem linjen CC 1 og fly
2.3
. SABCD VÆRE og fly TRIST., Hvor E– midten af ribben S.C..
3.1.
I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find vinklen mellem planerne
AFF 1 og DEE 1.
3.2. I en enhedsterning EN…D
TILFØJE 1 og BDC 1.
3.3.
I et regulært trekantet prisme ABCA 1B 1C 1D 1 ACB 1 og B.A. 1C 1.
4.1. I et regulært sekskantet prisme EN…F EN til en lige linje D 1F 1.
4.2.
I en enhedsterning EN…D EN til en lige linje BD 1.
4.3. SABCDEF F til en lige linje B.G., Hvor G– midten af ribben S.C..
5.1. I en enhedsterning EN…D 1 find afstanden fra punktet EN at flyve BDA 1.
5.2.
I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF, basens sider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, find afstanden fra punktet EN at flyve SBC.
5.3.
I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet EN at flyve B.F.E. 1.
6.1.
I en regulær firkantet pyramide SABCD S.A. Og B.C..
6.2. I en enhedsterning EN…D AB 1 og B.C. 1.
6.3.
I et regulært sekskantet prisme EN…F A.A. 1 og CF 1.
Løsninger på problemer 1.1 – 1.3 i diagnostisk arbejde
1.1.
Første løsning. Lige AD 1 er parallel med linjen B.C. 1 og dermed vinklen mellem linjerne AB 1 og B.C. 1 er lig med vinkel B 1AD 1. Trekant B 1AD 1 ligesidet og derfor vinkel B 1AD 1 er lig med 60o.
Anden løsning EN, koordinatakser – lige linjer AB, AD, A.A. 1. Vektor har koordinater (1, 0, 1). Vektor har koordinater (0, 1, 1). Lad os bruge formlen til at finde cosinus for vinklen mellem vektorer Og . Vi får, og derfor er vinklen 60°. Derfor den ønskede vinkel mellem linjerne AB 1 og B.C. 1 er lig med 60o.
Svar. 60o.
1.2. Første løsning. Overvej den ortogonale projektion AD 1 lige BD 1 pr fly TILFØJE 1. Lige AD 1 og D.A. 1 er vinkelrette. Af sætningen om tre perpendikulære følger, at rette linjer D.A. 1 og BD 1 er også vinkelrette, dvs. den ønskede vinkel mellem rette linjer D.A. 1 og BD 1 er lig med 90o.
Anden løsning. Lad os introducere et koordinatsystem, der betragter punktet som koordinaternes oprindelse EN, koordinatakser – lige linjer AB, AD, A.A. 1. Vektor har koordinater (0, -1, 1). Vektor har koordinater (-1, 1, 1). Skalarproduktet af disse vektorer er lig med nul og derfor den ønskede vinkel mellem linjerne D.A. 1 og BD 1 er lig med 90o.
Svar. 90o.
1.3 . Første løsning. Lad os betegne D Og F 1 henholdsvis midten af ribbenene A.C. Og EN 1B 1.
Direkte DC 1 og DF 1 vil være parallelt med rette linjer AD 1 og C.E. 1. Derfor vinklen mellem linjerne AD 1 og C.E. 1 vil være lig med vinklen C 1DF 1. Trekant C 1DF 1 ligebenet, DC 1 = DF 1 = , C 1F 1 = . Ved hjælp af cosinussætningen får vi 
.
Anden løsning. Lad os introducere et koordinatsystem, der betragter punktet som koordinaternes oprindelse EN, som det er vist på billedet. Prik C har koordinater, punkt D 1 har koordinater, punkt E 1 har koordinater. Vektoren har koordinater. Vektoren har koordinater 
. Cosinus af vinklen mellem linjer AD 1 og C.E. 1 er lig med cosinus af vinklen mellem vektorerne og . Lad os bruge formlen til at finde cosinus for vinklen mellem vektorer. Vi får det.
Svar. 0,7.
Træningsarbejde 1. Vinkel mellem lige linjer
1.
Terninger EN…D 1 find cosinus af vinklen mellem linjerne AB Og C.A. 1.
2. I et regulært tetraeder ABCD prik E– midten af ribben CD. Find cosinus af vinklen mellem linjerne B.C. Og A.E..
3. I et regulært trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lig med 1, find cosinus af vinklen mellem linjerne AB Og C.A. 1.
4.
I en regulær firkantet pyramide SABCD E– midten af ribben SD S.B. Og A.E..
5.
I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find cosinus af vinklen mellem linjerne AB Og F.E. 1.
6. I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find cosinus af vinklen mellem linjerne AB 1 og B.C. 1.
7. I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF S.B. Og A.E..
8. I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF, basens sider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, find cosinus af vinklen mellem linjerne S.B. Og AD.
Løsninger på problemer 2.1 – 2.3 i diagnostisk arbejde
2.1. Løsning. Lade O– midten af prismets nederste base. Lige B.O. parallel A.F.. Siden flyet ABC Og BCC 1 er vinkelrette, så vil den nødvendige vinkel være vinklen OBC. Siden trekanten OBC ligesidet, så vil denne vinkel være lig med 60°.
Svar. 60o.
2.2.
Løsning. Siden lige BB 1 og CC 1 er parallelle, så vil den ønskede vinkel være lig med vinklen mellem den rette linje BB 1 og fly BDE 1. Direkte BD, som flyet passerer igennem BDE 1, vinkelret på planet ABB 1 og derfor et fly BDE 1 vinkelret på planet ABB 1. Derfor vil den ønskede vinkel være lig med vinklen EN 1BB 1, dvs. lig med 45o.
Svar. 45o.
2.3. Løsning. Gennem toppen S tegne en linje parallelt med linjen AB, og plot et segment på det SF, lig med segmentet AB. I et tetraeder SBCF alle kanter er lig med 1 og planet BCF parallelt med flyet TRIST.. Vinkelret E.H., faldt fra punktet E til flyet BCF, er lig med halvdelen af tetraederens højde, altså lig med . Vinkel mellem lige linje VÆRE og fly TRIST. lig med vinkel EBH, hvis sinus er lig med .
Svar. .
Træningsarbejde 2. Vinkel mellem en ret linje og et plan
1.
Terninger EN…D 1 find tangenten til vinklen mellem linjen A.C. 1 og fly
2.
Terninger EN…D AB og fly
C.B. 1D 1.
3.
I et regulært tetraeder ABCD prik E– midten af ribben BD. Find sinus for vinklen mellem linjen A.E. og fly
4. I et regulært trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lig med 1, find tangenten til vinklen mellem linjen BB 1 og fly
AB 1C 1.
5. I en regulær firkantet pyramide SABCD, hvor alle kanter er lig med 1, find sinus for vinklen mellem linjen BD og fly
6.
I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF B.C. og fly
7. I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find vinklen mellem linjen A.A. 1 og fly
8. I et regulært sekskantet prisme EN…F B.C. 1 og fly
Løsninger på problemer 3.1 – 3.3 diagnostisk arbejde
3.1.
Første løsning. Siden flyet FCC 1 parallelt med planet DEE AFF 1 og FCC 1. Siden flyet AFF 1 og FCC 1 vinkelret på planet ABC A.F.C., hvilket er lig med 60o.
Anden løsning. Siden flyet AFF 1 parallelt med planet BI 1, så er den ønskede vinkel lig med vinklen mellem planerne BI 1 og DEE 1. Siden flyet BI 1 og DEE 1 vinkelret på planet ABC, så vil den tilsvarende lineære vinkel være vinklen SENG, hvilket er lig med 60o.
Svar. 60o.
3.2.
Løsning. Siden flyet TILFØJE 1 parallelt med planet BCC 1, så er den ønskede vinkel lig med vinklen mellem planerne BCC 1 og BDC 1. Lad E– midten af segmentet B.C. 1. Derefter lige C.E. Og DE vil være vinkelret på linjen B.C. 1 og dermed vinklen CED vil være den lineære vinkel mellem planerne BCC 1 og BDC 1. Trekant CED rektangulær, ben CD er lig med 1, ben C.E. svarende til . Derfor, 
.
3.3. Lade DE– skæringslinjen mellem disse planer, F– midten af segmentet DE, G– midten af segmentet EN 1C 1. Vinkel GFB 1 er den lineære vinkel mellem disse planer. I en trekant GFB 1 vi har: FG =
FB 1 = , G.B. 1 = . Ved hjælp af cosinussætningen finder vi 
.
Svar. .
Træningsarbejde 3. Vinkel mellem to planer
1.
Terninger EN…D 1 find tangenten til vinklen mellem planerne
ABC Og C.B. 1D 1.
2.
Terninger EN…D B
EN 1C 1 og AB 1D 1.
3.
I et regulært trekantet prisme ABCA 1B 1C
ABC Og C.A. 1B 1.
4. I en regulær firkantet pyramide SABCD, hvor alle kanter er lig med 1, find cosinus for vinklen mellem planerne S
AD Og SBC.
5. I en regulær firkantet pyramide SABCD, hvis alle kanter er lig med 1, find cosinus for den dihedriske vinkel dannet af fladerne
SBC Og SCD.
6.
I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF
SBC Og S.E.F..
7. I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF, basens sider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, find cosinus af vinklen mellem planerne
SAF Og SBC.
8. I et regulært sekskantet prisme EN… F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find tangenten til vinklen mellem planerne
ABC Og D.B. 1F 1.
Løsninger på problemer 4.1 – 4.3 i diagnostisk arbejde
4.1. Løsning. Da det er lige D 1F 1 vinkelret på planet AFF 1, derefter segmentet A.F. 1 vil være den krævede vinkelrette faldet fra punktet EN direkte D 1F 1. Dens længde er .
4.2. Første løsning A.H. retvinklet trekant ABD 1, hvori AB = 1, AD 1 = , BD 1 = . For areal S . Hvor finder vi det fra? A.H. = .
Anden løsning. Den nødvendige vinkelrette er højden A.H. retvinklet trekant ABD 1, hvori AB = 1, AD 1 = , BD 1 = . Trekanter DÅRLIG 1 og B.H.A. AD 1:BD 1 = A.H.:AB. Hvor finder vi det fra? A.H. = .
Tredje løsning. Den nødvendige vinkelrette er højden A.H. retvinklet trekant ABD 1, hvori AB = 1, AD 1 = , BD 1 = . Hvor 
og derfor 
Svar. .
4.3. Den nødvendige afstand fra punktet F til en lige linje B.G. lig med højden FH trekant FBG, hvori FB = FG = , B.G.= . Ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi FH = .
Træningsarbejde 4. Afstand fra et punkt til en linje
1.
I en enhedsterning EN…D 1 find afstanden fra punktet B til en lige linje D.A. 1.
2.
I et regulært trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet B til en lige linje A.C. 1.
3. I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF, basens sider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, find afstanden fra punktet S til en lige linje B.F..
4.
I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF, basens sider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, find afstanden fra punktet B til en lige linje S.A..
5.
I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet B til en lige linje EN 1F 1.
6. I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet B til en lige linje EN 1D 1.
7.
I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet B til en lige linje F.E. 1.
8. I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet B til en lige linje AD 1.
Løsninger på problemer 5.1 – 5.3 i diagnostisk arbejde
5.1.
Første løsning. Lade O– midten af segmentet BD. Lige BD vinkelret på planet AOA 1. Derfor fly BDA 1 og AOA EN til flyet BDA 1, er højden A.H. retvinklet trekant AOA 1, hvori A.A. 1 = 1, A.O. = , O.A. 1 = . For areal S af denne trekant holder lighederne . Hvor finder vi det fra? A.H. = .
Anden løsning. Lade O– midten af segmentet BD. Lige BD vinkelret på planet AOA 1. Derfor fly BDA 1 og AOA 1 er vinkelrette. Den krævede vinkelrette faldt fra punktet EN til flyet BDA 1, er højden A.H. retvinklet trekant AOA 1, hvori A.A. 1 = 1, A.O. = , O.A. 1 = . Trekanter AOA 1 og HOA ens i tre vinkler. Derfor, A.A. 1:O.A. 1 = A.H.:A.O.. Hvor finder vi det fra? A.H. = .
Tredje løsning. Lade O– midten af segmentet BD. Lige BD vinkelret på planet AOA 1. Derfor fly BDA 1 og AOA 1 er vinkelrette. Den krævede vinkelrette faldt fra punktet EN til flyet BDA 1, er højden A.H. retvinklet trekant AOA 1, hvori A.A. 1 = 1, A.O. = , O.A. 1 = . Hvor 
og derfor 
Svar. .
5.2.
Første løsning. Lade O A.O. parallelt med linjen B.C. SBC O at flyve SBC. Lade G– midten af segmentet B.C.. Så lige O.G. vinkelret B.C. O til flyet SBC, er højden Åh retvinklet trekant SOG. I denne trekant O.G. = , S.G. = , SÅ= . For areal S af denne trekant holder lighederne . Hvor finder vi det fra? Åh = .
Anden løsning. Lade O– midten af bunden af pyramiden. Lige A.O. parallelt med linjen B.C. og derfor parallelt med planet SBC. Derfor er den nødvendige afstand lig med afstanden fra punktet O at flyve SBC. Lade G– midten af segmentet B.C.. Så lige O.G. vinkelret B.C. og den ønskede vinkelrette faldt fra punktet O til flyet SBC, er højden Åh retvinklet trekant SOG. I denne trekant O.G. = , S.G. = , SÅ= . Trekanter SOG Og OHG ens i tre vinkler. Derfor, SÅ:S.G. = Åh:O.G.. Hvor finder vi det fra? Åh = .
Svar. .
5.3. Første løsning. Lade O Og O 1 – centre af prismebaserne. Lige A.O. 1 parallelt med planet B.F.E. 1 og dermed afstanden fra punktet EN at flyve B.F.E. 1 er lig med afstanden fra linjen A.O. 1 til fly B.F.E. 1. Fly AOO 1 vinkelret på planet B.F.E. 1 og dermed afstanden fra den rette linje A.O. 1 til fly B.F.E. 1 er lig med afstanden fra linjen A.O. 1 til skæringslinjen GG 1 fly AOO 1 og B.F.E. 1. Trekant AOO 1 rektangulær, A.O. =
O.O. 1 = 1, GG 1 - dens midterlinje. Derfor er afstanden mellem linjerne A.O. 1 og GG 1 er lig med halvdelen af højden Åh trekant AOO 1, dvs. lig med .
Anden løsning. Lade G– skæringspunktet mellem linjer AD Og B.F.. Vinkel mellem lige linje AD og fly B.F.E. 1 er lig med vinklen mellem linjerne B.C. Og B.C. 1 og er lig med 45o. Vinkelret A.H., faldt fra punktet EN til flyet B.F.E. 1, lig med. Fordi A.G. = 0,5 så A.H. = .
Svar. .
Træningsarbejde 5. Afstand fra punkt til fly
1.
I en enhedsterning EN…D 1 find afstanden fra punktet EN at flyve C.B. 1D 1.
2.
I en enhedsterning EN…D 1 find afstanden fra punktet EN at flyve BDC 1.
3.
I et regulært trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet EN at flyve B.C.A. 1.
4.
I et regulært trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet EN at flyve C.A. 1B 1.
5. I en regulær firkantet pyramide SABCD, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet EN at flyve SCD.
6. I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF, basens sider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, find afstanden fra punktet EN at flyve SDE.
7. I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet EN at flyve D.E.A. 1.
8. I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet EN at flyve DEF 1.
Løsninger på problemer 6.1 – 6.3 i diagnostisk arbejde
6.1. Løsning. Lige B.C. parallelt med flyet TRIST., som indeholder den rette linje S.A.. Derfor er afstanden mellem linjerne S.A. Og B.C. lig med afstanden fra den rette linje B.C. at flyve TRIST..
Lade E Og F henholdsvis midten af ribbenene AD Og B.C.. Så vil den nødvendige vinkelret være højden FH trekant S.E.F.. I en trekant S.E.F. vi har: E.F. = 1, S.E. = SF= , højde SÅ svarende til . For areal S trekant S.E.F. lighederne holder, hvorfra vi får .
6.2.
Løsning. Fly AB 1D 1 og BDC 1, hvori disse linier ligger, er parallelle. Derfor er afstanden mellem disse rette linjer lig med afstanden mellem de tilsvarende planer.
Diagonal C.A. 1 terning er vinkelret på disse planer. Lad os betegne E Og F diagonale skæringspunkter C.A. 1 henholdsvis med fly AB 1D 1 og BDC 1. Længde af segmentet E.F. vil være lig med afstanden mellem linjerne AB 1 og B.C. 1. Lad O Og O 1 henholdsvis centrene af ansigterne ABCD Og EN 1B 1C 1D 1 terning. I en trekant ES linjestykke AF parallel A.E. og går gennem midten A.C.. Derfor, AF ES og derfor, E.F. = F.C.. På samme måde er det bevist O 1E– trekantens midtlinje EN 1C 1F og derfor, EN 1E = E.F.. Dermed, E.F. er en tredjedel af diagonalen C.A. 1, dvs. E.F. = .
Svar. .
6.3. Løsning. Afstand mellem linjer A.A. 1 og CF 1 er lig med afstanden mellem parallelle planer ABB 1 og CFF 1, hvori disse linier ligger. Det er ligeværdigt.
Træningsarbejde 6. Afstand mellem to lige linjer
1.
I en enhedsterning EN…D 1 find afstanden mellem linjerne B.A. 1 og D.B. 1.
2.
I et regulært trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden mellem linjerne CC 1 og AB.
3.
I et regulært trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden mellem linjerne AB Og C.B. 1.
4.
I en regulær firkantet pyramide SABCD, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden mellem linjerne S.B. Og A.C..
5.
I en regulær firkantet pyramide SABCD, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden mellem linjerne S.A. Og CD.
6.
I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF S.B. Og A.F..
7.
I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF, basens sider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, find afstanden mellem linjerne S.B. Og A.E..
8.
I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden mellem linjerne BB 1 og E.F. 1.
Diagnostisk arbejde 1
1. Terninger EN…D 1 find vinklen mellem linjerne B.A. 1 og B 1D 1.
2. I et regulært trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lig med 1, find cosinus af vinklen mellem linjerne AB 1 og B.C. 1.
3.
I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find cosinus af vinklen mellem linjerne AB 1 og DC 1.
4. Terninger EN…D 1 find sinus for vinklen mellem linjen EN 1 D 1 og fly
5. I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF, basens sider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, find sinus for vinklen mellem linjen AB og fly
6.
I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find sinus for vinklen mellem linjen A.F. 1 og fly
7. I en regulær firkantet pyramide SABCD, hvor alle kanter er lig med 1, find cosinus for vinklen mellem planerne
ABC Og SCD.
8.
I et regulært sekskantet prisme EN…F
AFF 1 og BCC 1.
9. Terninger EN…D 1 find cosinus af vinklen mellem planerne
AB 1D 1 og C.B. 1D 1.
10. I en enhedsterning EN…D 1 find afstanden fra punktet B til en lige linje D.A. 1.
11. I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet EN til en lige linje E.B. 1.
12.
I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF, basens sider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, find afstanden fra punktet EN til en lige linje SD.
13. I en enhedsterning EN…D 1 find afstanden fra punktet B at flyve D.A. 1C 1.
14. I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet EN at flyve B.F.A. 1.
15.
I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF, basens sider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, find afstanden fra punktet EN at flyve S.C.E..
16.
I et regulært trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden mellem linjerne A.A. 1 og B.C..
17. I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden mellem linjerne BB 1 og CD 1.
18. I en enhedsterning EN…D 1 find afstanden mellem linjerne AB 1 og BD 1.
Diagnostisk arbejde 2
1. Terninger EN…D 1 find vinklen mellem linjerne AB 1 og BD 1.
2. I en regulær firkantet pyramide SABCD, hvis alle kanter er lig med 1, punkt E– midten af ribben S.B.. Find tangenten til vinklen mellem linjerne S.A. Og VÆRE.
3. I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find cosinus af vinklen mellem linjerne AB 1 og BD 1.
4. Terninger EN…D 1 find sinus for vinklen mellem linjen DD 1 og fly
5. I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF, basens sider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, find sinus for vinklen mellem linjen A.F. og fly
6. I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find sinus for vinklen mellem linjen B.C. 1 og fly
7.
I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF, basens sider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, find cosinus af vinklen mellem planerne
ABC Og S.E.F..
8.
I et regulært sekskantet prisme EN…F 1 find vinklen mellem planerne
AFF 1 og BDD 1.
9. Terninger EN…D 1 find tangenten til vinklen mellem planerne
ABC Og D.A. 1C 1.
10.
I et regulært trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet EN til en lige linje C.B. 1.
11.
I et regulært sekskantet prisme EN … F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet EN til en lige linje VÆRE 1.
12. I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF, basens sider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, find afstanden fra punktet EN til en lige linje S.C..
13.
I en enhedsterning EN…D 1 find afstanden fra punktet B at flyve AB 1D 1.
14.
I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden fra punktet EN at flyve CEF 1.
15.
I en regulær sekskantet pyramide SABCDEF, basens sider er lig med 1 og sidekanterne er lig med 2, find afstanden fra punktet EN at flyve SBF.
16.
I et regulært trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden mellem linjerne A.A. 1 og B.C. 1.
17. I et regulært sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lig med 1, find afstanden mellem linjerne BB 1 og F.E. 1.