For en trekant er både en indskrevet cirkel og en omskrevet cirkel altid mulige.
For en firkant kan en cirkel kun indskrives, hvis summen af dens modstående sider er ens. Af alle parallelogrammer kan kun en rombe og en firkant indskrives med en cirkel. Dens centrum ligger i skæringspunktet mellem diagonalerne.
En cirkel kan kun beskrives omkring en firkant, hvis summen modsatte hjørner lig med 180°. Af alle parallelogrammer kan kun et rektangel og et kvadrat beskrives som en cirkel. Dens centrum ligger i skæringspunktet mellem diagonalerne.
Det er muligt at beskrive en cirkel omkring et trapez, eller en cirkel kan indskrives i et trapez, hvis trapezet er ligebenet.
Circumcenter
Sætning. Centrum af en cirkel omskrevet om en trekant er skæringspunktet mellem de vinkelrette halveringslinjer på trekantens sider.
Centrum af en cirkel omskrevet om en polygon er skæringspunktet for de vinkelrette halveringslinjer på siderne af denne polygon.
Center indskrevet cirkel
Definition. Indskrevet i konveks polygon en cirkel er en cirkel, der berører alle sider af den polygon (det vil sige, at hver af polygonens sider er tangent til cirklen).
Centrum af den indskrevne cirkel ligger inde i polygonen.
En polygon, som en cirkel er indskrevet i, kaldes omskrevet.
En cirkel kan indskrives i en konveks polygon hvis bisectors af ham hele indvendige hjørner skærer hinanden på et punkt.
Centrum af en cirkel indskrevet i en polygon- skæringspunktet mellem dens halveringslinjer.
Centrum af den indskrevne cirkel er lige langt fra siderne af polygonen. Afstanden fra midten til en hvilken som helst side er lig med radius af den indskrevne cirkel Ifølge egenskaben for tangenter tegnet fra et punkt, er ethvert toppunkt i den omskrevne polygon lige langt fra tangentpunkterne, der ligger på siderne, der strækker sig fra dette toppunkt.
En cirkel kan indskrives i en hvilken som helst trekant. Centrum af en cirkel indskrevet i en trekant kaldes incenter.
En cirkel kan indskrives i en konveks firkant, hvis og kun hvis summen af dens længder modstående sider er lige. Især kan en cirkel indskrives i en trapez, hvis summen af dens baser er lig med summen af dens sider.
En cirkel kan indskrives i en hvilken som helst regulær polygon. Omkring enhver regulær polygon Du kan også beskrive en cirkel. Midten af incirkelen og omkredsen ligger i midten af en regulær polygon.
For enhver omskrevet polygon kan radius af den indskrevne cirkel findes ved hjælp af formlen
Hvor S er arealet af polygonen, er p dens halvperimeter.
Regelmæssig n-gon - formler
Sidelængde formler almindelig n-gon
1. Formel for siden af en regulær n-gon i form af radius af den indskrevne cirkel:
2. Formel for siden af en regulær n-gon i form af radius af den omskrevne cirkel:
Formel for den cirkulære radius af en regulær n-gon
Formel for radius af den indskrevne cirkel af en n-gon ved hjælp af længden af siden:
4. Formel for omskæringsradius almindelig trekant gennem sidelængde:
6. Formel for arealet af en regulær trekant i form af radius af den indskrevne cirkel: S = r 2 3√3
7. Formel for arealet af en regulær trekant i form af radius af den omskrevne cirkel:
4. Formel for cirkumradius af en regulær firkant med hensyn til sidelængde:
2. Sideformel regulær sekskant gennem radius af den omskrevne cirkel: a = R
3. Formel for radius af den indskrevne cirkel af en regulær sekskant i form af længden af siden:
6. Formel for arealet af en regulær sekskant i form af radius af den indskrevne cirkel: S = r 2 2√3
7. Formel for arealet af en regulær sekskant i form af radius af den omskrevne cirkel:
| S= | R 2 3√3 |
8. Vinkel mellem siderne af en regulær sekskant: α = 120°
Tal betydning(udtales "pi") - matematisk konstant, lig med forholdet
omkredsen af en cirkel til længden af dens diameter, er den udtrykt som en uendelig decimalbrøk.
Betegnes med bogstavet "pi" i det græske alfabet. Hvad er pi lig med? I simple sager Det er nok at kende de første 3 tegn (3.14).
53. Find længden af buen af en cirkel med radius R svarende til den centrale vinkel på n°
Den midterste vinkel, der er dækket af en bue, hvis længde er lig med cirklens radius, kaldes en vinkel på 1 radian.
Gradmålet for en vinkel på 1 radian er:
Siden buens længde π
R (halvcirkel), underlægger sig midtervinkel på 180 °
, så danner en bue med længden R vinklen ind π
gange mindre, dvs. 
Og omvendt
Fordi π = 3,14, derefter 1 rad = 57,3°
Hvis vinklen indeholder -en radian, så det gradsmål svarende til 
Og omvendt 
Normalt, når man angiver målet for en vinkel i radianer, er navnet "rad" udeladt.
For eksempel, 360° = 2π rad, skriver de 360° = 2π
Tabellen viser de mest almindelige vinkler i grader og radianer.
fortæller Dmitry Shilov, advokat hos det uafhængige analysebureau Investkafe:
Ægtepagt - til sammenligning nyt institut moderne national ret, som blev skabt med vedtagelsen og ikrafttrædelsen af familieloven den 1. marts 1996 Den Russiske Føderation. En af hovedårsagerne til dets fremkomst var behovet for at regulere ægtefællers formueforhold inden for rammerne af forholdet Privat ejendom- de var i øvrigt lige ved at dukke op i midten af 90'erne af forrige århundrede. Staten gav derfor gifte borgere mulighed for at regulere deres formueforhold på grundlag af en kontrakt.
Mere end femten år er gået, siden oprettelsen af en ægtepagt er reguleret af normer familieret. Mange russere står dog tilbage med meget lidt positiv holdning til muligheden for at indgå ægtepagt. Dette skyldes normalt manglen nøjagtig viden og forståelse for denne type kontraktforhold mellem ægtefæller, samt med nationale skikke, grundlag og synspunkter, der har udviklet sig gennem mange år og endda generationer. For nogle ægtefæller betyder den anden ægtefælles forslag om indgåelse af ægtepagt som minimum mistillid. Desuden er familieinterne ejendomsforhold et rent personligt anliggende for hver familie, og hver familie har ret til selv at bestemme, hvordan disse forhold skal reguleres under ægteskabet.
Spillets regler
Så hvad er en ægtepagt? En ægtepagt er en aftale mellem de personer, der indgår ægteskab (fremtidige ægtefæller) eller en aftale mellem ægtefællerne, der definerer ægtefællernes formuerettigheder og forpligtelser under ægteskabet og (eller) i tilfælde af dets opløsning. Jeg vil særligt med det samme bemærke, at ægtepagten kun regulerer de rettigheder og forpligtelser, der er knyttet til ægtefællernes formueforhold. Og den kan ikke begrænse ægtefællers retlige handleevne eller handleevne, deres ret til at gå til retten for at beskytte deres rettigheder, kan ikke regulere personlige ikke-formueforhold mellem ægtefæller, ægtefællers rettigheder og forpligtelser i forhold til børn, kan ikke give bestemmelser, der begrænser ret for en handicappet ægtefælle med behov for underholdsbidrag , indeholde andre forhold, der stiller den ene af ægtefællerne i en yderst ugunstig situation eller strider mod familierettens grundlæggende principper.
Ved almindelig regelægtepagten er indgået i skrivning og er underlagt notar. I Ellers en sådan aftale vil blive betragtet som ikke indgået og vil ikke have nogen konsekvenser for de parter, der har underskrevet den juridiske konsekvenser. Ægtepagten er gyldig i den ægteskabsperiode, der er registreret efter de familieretlige regler. Desuden kan det indgås af ægtefæller både under ægteskabet og før ægteskabet. Indgå derfor en ægtepagt for den såkaldte periode. "borgerligt ægteskab" er ikke muligt.
Fordele
Ægtefæller har ret til at ændre ægtepagten lovpligtige fælles formueordning, hvis essens er, at den formue, som ægtefællerne erhverver under ægteskabet, er deres fælleseje (uden at bestemme andele), og afhændelsen af sådan formue sker KUN efter gensidigt samtykke fra ægtefællerne. Desuden kan en ægtepagt etablere et fælles, delt eller såkaldt regime. "særskilt" ejerskab af både ægtefællernes formue og dens individuelle arter, eller på hver af ægtefællernes ejendom. En ægtepagt kan indgås både i forhold til ægtefællernes eksisterende og i forhold til fremtidige (erhvervet efter ægtepagtens indgåelse) formuegoder. For eksempel er det muligt ikke kun at dele den ejendom, som ægtefællerne har, men også at bestemme deres rettigheder og forpligtelser med hensyn til dens gensidige vedligeholdelse, såvel som måder at deltage i hinandens indkomst, proceduren for hver af dem til at bære familieudgifter ; fastlægge den formue, der skal overdrages til hver ægtefælle i tilfælde af skilsmisse, og også medtage i ægtepagten eventuelle andre bestemmelser vedrørende ægtefællernes formueforhold.
Ægtepagten kan til enhver tid ændres eller opsiges efter aftale mellem ægtefællerne. En aftale om ændring eller opsigelse af en ægtepagt indgås i samme form som selve ægtepagten (dvs. skriftligt med obligatorisk attestering af en sådan aftale af en notar). Loven giver også mulighed for efter anmodning fra en af ægtefællerne at retslig procedureændre eller opsige ægtepagten. Ægtepagtens gyldighed ophører desuden fra tidspunktet for ægteskabets ophør med undtagelse af de forpligtelser, der er fastsat i ægtepagten for perioden efter ægteskabets ophør.
Af art praktiske aktiviteter Jeg støder ofte på situationer omkring deling af ægteskabelig formue. Sådanne situationer opstår som regel under opløsningen af et ægteskab, og derfor er bodelingen en psykologisk vanskelig proces for tidligere ægtefæller. Det velkendte slogan "Paradise in a hytte with the darling" har utvivlsomt til en vis grad sin relevans, men efter min mening regulerer det ægtefællernes personlige ikke-formueforhold. Jeg er også tilhænger af, at beslutningen om at indgå en ægtepagt er en rent individuel proces, og at en sådan beslutning kun bør træffes af ægtefællerne og uden indblanding udefra. Bortset naturligvis fra staten, som regulerer reglerne for dette "spil" på det lovgivende niveau.
I øvrigt
I Vesten er praksis med ægtepagter meget mere udbredt end her, især når det kommer til de rige og berømte. Desuden i sagen seneste indhold"ægteskabelig aftale" bliver ofte offentligt kendt, og som et resultat lærer hele verden nogle ret saftige detaljer familieliv nogle stjerner.
For eksempel, skuespiller og instruktør Ben Affleck, gifte sig sangerinde Jennifer Lopez, har skriftligt forpligtet sig til at opfylde sit ægteskabelig pligt mindst 4 gange om ugen. Derudover fastsatte en af klausulerne i ægtepagten en "bøde" for forræderi på en million dollars til fordel for den bedragede ægtefælle. Det vides ikke, hvem der præcis insisterede på denne betingelse, men Affleck har altid været en velkendt kvindebedårer i Hollywood-miljøet.
Endnu en usædvanlig kontrakt blev indgået skuespillerinde Nicole Kidman og rockmusiker Keith Urban. Da Nicole giftede sig med Urban, fik hun ham til at love at slå sig ned og glemme rockstjernens livsstil; og som garanti kom der en klausul i ægtepagten, hvorefter Urban aldrig ville bruge kokain. Hvis han overholder denne betingelse, vil han for hvert år af familielivet modtage en "løn" på 640 tusind dollars. Hvis han fejler, får han intet.
Men et eksempel på en mislykket ægtepagt er en kontrakt mellem model Claudia Schiffer og forretningsmanden Tim Jaffee, hvilket i sidste ende blev årsagen til deres adskillelse. Lige før brylluppet brugte Tim 60 tusind dollars fra sin fremtidige kones lomme, så hun angav i kontrakten, at han kun kunne bruge sin egen indtjening. Fornærmet kaldte Tim Schiffer for materialistisk og afbrød forlovelsen.
"Cirkel" Vi har set, at en cirkel kan omskrives omkring enhver trekant. Det vil sige, at for hver trekant er der en cirkel, sådan at alle tre hjørner af trekanten "sidder" på den. Sådan her:
Spørgsmål: kan det samme siges om en firkant? Er det rigtigt, at der altid vil være en cirkel, hvorpå alle fire hjørner af firkanten vil "sidde"?
Det viser sig, at dette IKKE er SANDT! En firkant kan IKKE ALTID indskrives i en cirkel. Der er en meget vigtig betingelse:
På vores billede:
| . |
Se, vinklerne og ligger over for hinanden, hvilket betyder, at de er modsatte. Hvad så med vinklerne og? De ser også ud til at være modsætninger? Er det muligt at tage vinkler og i stedet for vinkler og?
Selvfølgelig kan du! Det vigtigste er, at firkanten har nogle to modsatte vinkler, hvis sum vil være. De resterende to vinkler vil så også lægges sammen af sig selv. Tror ikke? Lad os sikre os. Se:
Lad ske. Kan du huske, hvad summen af alle fire vinkler af enhver firkant er? Sikkert, . Altså - altid! . Men, →.
Magi lige der!
Så husk dette meget bestemt:
Hvis en firkant er indskrevet i en cirkel, så er summen af to af dens modsatte vinkler lig med
og omvendt:
Hvis en firkant har to modsatte vinkler, hvis sum er lig, så er firkanten cyklisk.
Vi vil ikke bevise alt dette her (hvis du er interesseret, se nærmere på de næste teoriniveauer). Men lad os se, hvad dette bemærkelsesværdige faktum fører til: at i en indskrevet firkant er summen af de modsatte vinkler lig.
For eksempel dukker spørgsmålet op: er det muligt at beskrive en cirkel omkring et parallelogram? Lad os prøve "poke-metoden" først.
På en eller anden måde går det ikke.
Lad os nu anvende viden:
Lad os antage, at vi på en eller anden måde formåede at passe en cirkel på et parallelogram. Så skal der bestemt være: , altså.
Lad os nu huske egenskaberne for et parallelogram:
Hvert parallelogram har lige store modsatte vinkler.
Det viste det sig
Hvad med vinklerne og? Nå, det samme selvfølgelig.
Indskrevet → →
Parallelogram→ →
Forbløffende, ikke?
Det viser sig, at hvis et parallelogram er indskrevet i en cirkel, så er alle dets vinkler lige store, det vil sige, at det er et rektangel!
Og på samme tid - midten af cirklen falder sammen med skæringspunktet for diagonalerne i dette rektangel. Dette er så at sige inkluderet som en bonus.
Nå, det betyder, at vi fandt ud af, at et parallelogram indskrevet i en cirkel er rektangel.
Lad os nu tale om trapez. Hvad sker der, hvis et trapez er indskrevet i en cirkel? Men det viser sig, at der bliver det ligebenet trapez . Hvorfor?
Lad trapezet være indskrevet i en cirkel. Så igen, men på grund af paralleliteten af linjerne og.
Det betyder, at vi har: → → ligebenet trapez.
Endnu nemmere end med et rektangel, ikke? Men du skal huske - det vil være nyttigt:
Lad os opremse de vigtigste igen hovedudsagn tangent til en firkant indskrevet i en cirkel:
- En firkant er indskrevet i en cirkel, hvis og kun hvis summen af dens to modstående vinkler er lig med
- Et parallelogram indskrevet i en cirkel - helt sikkert rektangel og midten af cirklen falder sammen med skæringspunktet for diagonalerne
- Et trapez indskrevet i en cirkel er ligesidet.
Indskrevet firkant. Gennemsnitligt niveau
Det er kendt, at for hver trekant er der en omskrevet cirkel (vi beviste dette i emnet "Den omskrevne cirkel"). Hvad kan man sige om firkanten? Det viser sig at IKKE ALLE firkanter kan indskrives i en cirkel, og der er sådan en sætning:
En firkant er indskrevet i en cirkel, hvis og kun hvis summen af dens modstående vinkler er lig med.
I vores tegning -
Lad os prøve at forstå, hvorfor det er sådan? Med andre ord vil vi nu bevise denne sætning. Men før du beviser det, skal du forstå, hvordan selve udsagnet fungerer. Lagde du mærke til ordene "dengang og først da" i udtalelsen? Sådanne ord betyder, at skadelige matematikere har stuvet to udsagn sammen i én.
Lad os dechifrere:
- "Derefter" betyder: Hvis en firkant er indskrevet i en cirkel, så er summen af to af dens modsatte vinkler lig.
- "Kun da" betyder: Hvis en firkant har to modsatte vinkler, hvis sum er lig, så kan en sådan firkant indskrives i en cirkel.
Ligesom Alice: "Jeg tænker, hvad jeg siger" og "Jeg siger, hvad jeg synes."
Lad os nu finde ud af, hvorfor både 1 og 2 er sande?
Første 1.
Lad en firkant være indskrevet i en cirkel. Lad os markere dens centrum og tegne radier og. Hvad vil der ske? Kan du huske, at en indskrevet vinkel er halvt så stor som den tilsvarende midtervinkel? Hvis du husker det, bruger vi det nu, og hvis ikke, så tag et kig på emnet "Cirkel. Indskrevet vinkel".
Indskrevet
Indskrevet
Men se:.
Vi får, at hvis - er indskrevet, så
Nå, det er tydeligt, at det også hænger sammen. (vi skal også overveje).
Nu "omvendt", det vil sige 2.
Lad det vise sig, at summen af nogle to modsatte vinkler i en firkant er lig. Lad os sige lad
Vi ved endnu ikke, om vi kan beskrive en cirkel omkring den. Men vi ved med sikkerhed, at vi med garanti vil kunne beskrive en cirkel omkring en trekant. Så lad os gøre det.
Hvis et punkt ikke "sidder" på cirklen, så ender det uundgåeligt enten udenfor eller inde.
Lad os overveje begge tilfælde.
Lad punktet være udenfor først. Så skærer segmentet cirklen på et tidspunkt. Lad os forbinde og. Resultatet er en indskrevet (!) firkant.
Vi ved allerede om det, at summen af dens modsatte vinkler er lig, det vil sige og i henhold til vores tilstand.
Det viser sig, at det burde være sådan.
Men det kan umuligt være fordi - udvendigt hjørne for og midler.
Hvad med indeni? Lad os gøre lignende ting. Lad pointen være indeni.
Så skærer fortsættelsen af segmentet cirklen i et punkt. Igen - en indskrevet firkant, og den skal efter betingelsen være opfyldt, men - en ydre vinkel for og betyder, det vil sige, det kan det igen ikke være.
Det vil sige, at et punkt hverken kan være uden for eller inde i cirklen - det betyder, at det er på cirklen!
Hele teoremet er blevet bevist!
Lad os nu se, hvilke gode konsekvenser denne sætning giver.
Konsekvens 1
Et parallelogram indskrevet i en cirkel kan kun være et rektangel.
Lad os forstå, hvorfor det er sådan. Lad et parallelogram indskrives i en cirkel. Så skal det gøres.
Men ud fra egenskaberne ved et parallelogram ved vi det.
Og det samme, naturligvis, hvad angår vinklerne og.
Så det viser sig at være et rektangel - alle hjørner er med.
Men derudover er der en ekstra behagelig kendsgerning: midten af cirklen, der er afgrænset om rektanglet, falder sammen med skæringspunktet for diagonalerne.
Lad os forstå hvorfor. Jeg håber, du husker meget godt, at vinklen dæmpet af diameteren er en lige linje.
Diameter,
Diameter
hvilket betyder, at det er centrum. Det er alt.
Konsekvens 2
Et trapez indskrevet i en cirkel er ligebenet.
Lad trapezet være indskrevet i en cirkel. Derefter.
Og også.
Har vi diskuteret alt? Ikke rigtig. Faktisk er der en anden, "hemmelig" måde at genkende en indskrevet firkant. Vi vil ikke formulere denne metode meget strengt (men klart), men vil kun bevise den på det sidste niveau af teorien.
Hvis man i en firkant kan observere et sådant billede som her på figuren (her "ser vinklerne" på siden af punkterne og er lige store), så er en sådan firkant indskrevet.
Dette er en meget vigtig tegning - i problemer er det ofte lettere at finde lige store vinkler, end summen af vinkler og.
På trods af den fuldstændige mangel på stringens i vores formulering, er den korrekt, og desuden accepteres den altid af Unified State Exam-eksaminatorerne. Du skal skrive noget som dette:
"- indskrevet" - og alt vil være i orden!
Glem ikke denne vigtigt tegn- husk billedet, og måske vil det fange dit øje med tiden, når du løser problemet.
Indskrevet firkant. Kort beskrivelse og grundlæggende formler
Hvis en firkant er indskrevet i en cirkel, så er summen af to af dens modsatte vinkler lig med
og omvendt:
Hvis en firkant har to modsatte vinkler, hvis sum er lig, så er firkanten cyklisk. 
En firkant er indskrevet i en cirkel, hvis og kun hvis summen af dens to modstående vinkler er lig.
Parallelogram indskrevet i en cirkel- bestemt et rektangel, og midten af cirklen falder sammen med skæringspunktet for diagonalerne.
Et trapez indskrevet i en cirkel er ligebenet.
GÅ IND
GÅ IND
1. nogen-hvad. Skriv ned, indtast, medtag på listen (officielt).
2. Hvad. Attribut mellem, i nærheden af hvad der er skrevet. Udfyld de manglende ord.
3. Hvad. Tegn en figur inde i en anden, så den er indskrevet (i 2 værdier, mat.). Indskriv en trekant i en cirkel.
Ushakovs forklarende ordbog. D.N. Ushakov. 1935-1940.
Antonymer:
Se, hvad "ENTER" er i andre ordbøger:
Skriv ned, ind, ind. Myre. slet ordbog over russiske synonymer. indtast indsæt, indtast, indtast se også nedskriv Ordbog over synonymer af det russiske sprog. Praktisk guide. M.: Russisk sprog. Z. E. Alexandrova ... Synonym ordbog
ENTER, kigger, kigger; er en; suveræn 1. hvem (hvad) ind i hvad. Efter at have skrevet, indtast, medtag hvor n. B. citat i tekst. B. efternavn på listen. V. en herlig side i historien (overs.; høj). 2. hvad. I matematik: tegn en figur inde i en anden med... ... Ozhegovs forklarende ordbog
gå ind- hvad er hvad. Udfyld det manglende ord i teksten. Som i et øjeblik af vrede ikke krævede af dem [ stationsforstandere] fatal bog, for at skrive sin ubrugelige klage ind i den... (Pushkin) ... Kontrolordbog
gå ind- ENTER, åh, åh; nesov. (ugle. ENTER, jeg kommer ind, du kommer ind). 1. hvem går hvor. Lad dem overnatte; søvn. 2. til hvem, hvor. Hit, hit. Sæt en krog i hans mund (i hans ansigt) ... Ordbog af russisk argot
gå ind- jeg skriver/, skriver/syer; indskrevet; san, a, o; St. se også ind, passe ind, indtast hvad 1) Indsæt hvad l. ud over den allerede skrevne tekst; lave en indsættelse, et efterskrift mellem eller i nærheden af det, der er skrevet, trykt... Ordbog over mange udtryk
jeg ugler trans. se ind I II ugler. trans. se indtast II Explanatory Dictionary of Efremova. T. F. Efremova. 2000... Moderne Ordbog Russisk sprog Efremova
Skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind , skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, skriv ind, ... ... Ordformer
Skriv ud, streg over... Ordbog over antonymer
gå ind- skriv ind, skriv ind, vp søger... Russisk stavningsordbog
gå ind- (jeg)‚ jeg vil skrive/(r)‚ skrive/sesh(s)‚ vittighed(er)... ortografisk ordbog russisk sprog
Bøger
- Min personlige dagbog Mint (med kuverter og gavemærkat), . Smashbook er et sted for fri kreativitet! Der er ingen regler og betingelser – gør hvad du vil. Spild lim, sprede perler, tørre blade, smukke bånd, knapper, tegne,...
- Fuld kontrol. Dagbogsplanlægger, Yitzhak Pintosevich. Denne planlæggerdagbog er en unik udvikling fra forfatteren til de bedst sælgende bøger om personlighedsudvikling, Itzhak Pintosevich. Hjælper dig med at administrere din tid korrekt, sætte mål og nå dem...
Definitioner
En cirkel \(S\) er indskrevet i en vinkel \(\alpha\) hvis \(S\) rører ved siderne af vinklen \(\alpha\) .
En cirkel \(S\) er indskrevet i en polygon \(P\), hvis \(S\) rører ved alle sider af \(P\) .
I dette tilfælde siges polygonen \(P\) at være omskrevet omkring en cirkel.
Sætning
Centrum af en cirkel indskrevet i en vinkel ligger på dens halveringslinje.
Bevis
Lad \(O\) være midten af en cirkel indskrevet i vinklen \(BAC\) . Lad \(B"\) være kontaktpunktet for cirklen og \(AB\) , og \(C"\) være kontaktpunktet for cirklen og \(AC\) , så \(OB"\ ) og \(OC"\) – radier tegnet til tangenspunkterne, derfor \(OC"\perp AC\), \(OB"\perp AB\) , \(OC" = OB"\) .
Det betyder, at trekanterne \(AC"O\) og \(AB"O\) er retvinklede trekanter, som har lige store ben og en fælles hypotenuse, derfor er de ens, hvorfra \(\vinkel CAO = \vinkel BAO\), hvilket er det, der skulle bevises.
Sætning
En enkelt cirkel kan indskrives i enhver trekant, og midten af denne indskrevne cirkel er skæringspunktet for trekantens halveringslinjer.
Bevis
Lad os tegne halveringslinjen for vinklerne \(\vinkel A\) og \(\vinkel B\) . Lad dem skære hinanden i punktet \(O\) .
Fordi \(O\) ligger på halveringslinjen \(\vinkel A\), så er afstandene fra punktet \(O\) til vinklens sider lige store: \(ON=OP\) .
Fordi \(O\) ligger også på halveringslinjen \(\vinkel B\) , derefter \(ON=OK\) . Således, \(OP=OK\), derfor er punktet \(O\) ækvidistant fra siderne af vinklen \(\vinkel C\), derfor ligger på sin halveringslinje, dvs. \(CO\) er halveringslinjen af \(\vinkel C\) .
Punkterne \(N, K, P\) er således lige langt fra punktet \(O\), det vil sige, at de ligger på samme cirkel. Per definition er dette en cirkel indskrevet i en trekant.
Denne cirkel er unik, fordi hvis vi antager, at der er en anden cirkel indskrevet i \(\trekant ABC\), så vil den have samme centrum og samme radius, det vil sige, at den vil falde sammen med den første cirkel.
Således blev følgende teorem samtidig bevist:
Følge
Halveringslinjerne i en trekant skærer hinanden i et punkt.
Sætning om omskrevet areal
Hvis \(a,b,c\) er siderne af trekanten, og \(r\) er radius af cirklen indskrevet i den, så er arealet af trekanten \hvor \(p=\dfrac( a+b+c)2\) er den halvperimeter trekanten.
Bevis
\(S_(\trekant ABC)=S_(\trekant AOC)+S_(\trekant AOB)+S_(\trekant BOC)=\frac12OP\cdot AC+\frac12 ON\cdot AB+\frac12 OK\cdot BC\).
Men \(ON=OK=OP=r\) er radierne af den indskrevne cirkel, derfor,
Følge
Hvis en cirkel er indskrevet i en polygon, og \(r\) er dens radius, så er polygonens areal lig med produktet af polygonens halve omkreds med \(r\) : \
Sætning
En cirkel kan indskrives i en konveks firkant, hvis og kun hvis summen af dens modstående sider er lige store.
Bevis
Nødvendighed. Lad os bevise, at hvis en cirkel er indskrevet i \(ABCD\), så \(AB+CD=BC+AD\) .
Lad \(M,N,K,P\) være tangentpunkterne for cirklen og firkantens sider. Så er \(AM, AP\) segmenter af tangenter til cirklen tegnet fra et punkt, derfor \(AM=AP=a\) . Ligeledes, \(BM=BN=b, \CN=CK=c, \DK=DP=d\).
Derefter: \(AB+CD=a+b+c+d=BC+AD\) .
Tilstrækkelighed. Lad os bevise, at hvis summen af de modsatte sider af en firkant er lige store, så kan en cirkel indskrives i den.
Lad os tegne halveringslinjen for vinklerne \(\vinkel A\) og \(\vinkel B\) , lad dem skære i punktet \(O\) . Så er punktet \(O\) lige langt fra siderne af disse vinkler, det vil sige fra \(AB, BC, AD\) . Lad os indskrive en cirkel i \(\vinkel A\) og \(\vinkel B\) med centrum i punktet \(O\) . Lad os bevise, at denne cirkel også vil røre ved siden \(CD\) .
Lad os antage, at dette ikke er tilfældet. Så er \(CD\) enten en sekant eller har den ikke fælles punkter med en cirkel. Lad os overveje det andet tilfælde (det første vil blive bevist på lignende måde).
Lad os tegne en tangentlinje \(C"D" \parallel CD\) (som vist på figuren). Så er \(ABC"D"\) en omskrevet firkant, derfor \(AB+C"D"=BC"+AD"\) .
Fordi \(BC"=BC-CC", \AD"=AD-DD"\) , derefter:
Vi fandt ud af, at i firkanten \(C"CDD"\) er summen af de tre sider lig med den fjerde, hvilket er umuligt*. Derfor er antagelsen falsk, hvilket betyder, at \(CD\) er tangent til cirklen.
Kommentar*. Lad os bevise det i konveks firkant en side kan ikke være lig med summen af de tre andre.
Fordi i enhver trekant er summen af to sider altid større end den tredje, derefter \(a+x>d\) og \(b+c>x\) . Hvis vi tilføjer disse uligheder, får vi: \(a+x+b+c>d+x \Højrepil a+b+c>d\). Derfor er summen af tre sider altid større end den fjerde side.
Sætninger
1. Hvis en cirkel er indskrevet i et parallelogram, så er det en rombe (fig. 1).
2. Hvis en cirkel er indskrevet i et rektangel, så er det en firkant (fig. 2).
De omvendte udsagn er også sande: du kan passe en cirkel ind i enhver rombe eller firkant, og kun én.
Bevis
1) Betragt et parallelogram \(ABCD\), hvori en cirkel er indskrevet. Derefter \(AB+CD=BC+AD\) . Men i et parallelogram modsatte sider er lige, dvs. \(AB=CD, \BC=AD\) . Derfor er \(2AB=2BC\), som betyder \(AB=BC=CD=AD\), dvs. dette er en rombe.
Det omvendte udsagn er indlysende, og centrum af denne cirkel ligger i skæringspunktet mellem rombens diagonaler.
2) Overvej rektanglet \(QWER\) . Fordi rektanglet er et parallelogram, så ifølge det første punkt \(QW=WE=ER=RQ\), dvs. dette er en rombe. Men fordi Alle dens vinkler er rigtige, så er det en firkant.
Det omvendte udsagn er indlysende, og midten af denne cirkel ligger i skæringspunktet mellem firkantens diagonaler.