Geometri er en af ​​de mest komplekse og forvirrende videnskaber. I den viser det sig meget sjældent, hvad der ved første øjekast virker indlysende. Halvsektorer, højder, medianer, projektioner, tangenter - et stort antal virkelig svære udtryk, som er meget nemme at forveksle.

Faktisk, med det rette ønske, kan du forstå en teori om enhver kompleksitet. Når det kommer til halveringslinjer, medianer og højder, skal du forstå, at de ikke er unikke for trekanter. Ved første øjekast dette simple linjer, men hver af dem har sine egne egenskaber og funktioner, hvis viden i høj grad forenkler løsningen geometriske problemer. Så hvad er halveringslinjen i en trekant?

Definition

Selve udtrykket "halvdel" kommer fra kombinationen latinske ord"to" og "cut", "cut", som allerede indirekte angiver dens egenskaber. Normalt, når børn bliver introduceret til denne stråle, får de en kort sætning, de skal huske: "Halveren er en rotte, der løber rundt om hjørnerne og deler hjørnet i to." Naturligvis er en sådan forklaring ikke egnet for ældre skolebørn desuden spørges de normalt ikke om kul, men om; geometrisk figur. Så halveringslinjen i en trekant er den stråle, der forbinder trekantens toppunkt til modsatte side, mens vinklen opdeles i to lige store dele. Punktet på den modsatte side, hvor halveringslinjen kommer til vilkårlig trekant vælges tilfældigt.

Grundlæggende funktioner og egenskaber

Denne bjælke har få grundlæggende egenskaber. For det første, fordi halveringslinjen i en trekant halverer vinklen, vil ethvert punkt, der ligger på den, være på lige stor afstand fra siderne, der danner toppen. For det andet kan du i hver trekant tegne tre halveringslinjer i henhold til antallet af tilgængelige vinkler (derfor vil der allerede være fire af dem i den samme firkant, og så videre). Det punkt, hvor alle tre stråler skærer hinanden, er midten af ​​cirklen, der er indskrevet i trekanten.

Egenskaber bliver mere komplekse

Lad os komplicere teorien lidt. En anden interessant egenskab: halveringslinjen af ​​en vinkel i en trekant deler den modsatte side i segmenter, hvis forhold er lig med forholdet mellem siderne, der danner toppunktet. Ved første øjekast er dette kompliceret, men faktisk er alt simpelt: i den foreslåede figur, RL: LQ = PR: PK. Forresten blev denne ejendom kaldt "Bisector Theorem" og dukkede først op i den antikke græske matematiker Euclids værker. Det blev husket i en af ​​de russiske lærebøger først i den første fjerdedel af det syttende århundrede.

Det er lidt mere kompliceret. I en firkant afskærer halveringslinjen en ligebenet trekant. Denne figur viser alle ens vinkler for medianen af ​​AF.

Og i firkanter og trapezoider er halveringslinjerne af ensidede vinkler vinkelrette på hinanden. På den viste tegning er vinkel APB 90 grader.

I en ligebenet trekant

Halveringslinjen i en ligebenet trekant er en meget mere nyttig stråle. Det er på samme tid ikke kun en divisor af en vinkel i det halve, men også en median og en højde.

Medianen er et segment, der kommer fra et eller andet hjørne og falder på midten af ​​den modsatte side, hvorved det opdeles i lige store dele. Højde er en vinkelret nedadgående fra et toppunkt til den modsatte side, det er med dens hjælp, at ethvert problem kan reduceres til en simpel og primitiv Pythagoras sætning. I denne situation er halveringslinjen af ​​trekanten lig med roden af ​​forskellen mellem kvadratet på hypotenusen og det andet ben. Forresten er denne egenskab oftest stødt på i geometriske problemer.

For at konsolidere: i denne trekant er halveringslinjen FB medianen (AB = BC) og højden (vinklerne FBC og FBA er 90 grader).

I omridset

Så hvad skal du huske? Halveret i en trekant er den stråle, der halverer dens toppunkt. I skæringspunktet mellem tre stråler er midten af ​​en cirkel indskrevet i givet trekant(den eneste ulempe ved denne ejendom er, at den ikke har praktisk værdi og tjener kun til den kompetente udførelse af tegningen). Den opdeler også den modsatte side i segmenter, hvis forhold er lig med forholdet mellem siderne, mellem hvilke denne stråle passerede. I en firsidet bliver egenskaberne lidt mere komplicerede, men ganske vist optræder de praktisk talt aldrig i problemer skoleniveau, så de bliver normalt ikke berørt i programmet.

Halveret i en ligebenet trekant er den ultimative drøm for ethvert skolebarn. Det er både en median (det vil sige, at den deler den modsatte side i to) og en højde (vinkelret på den side). Løsning af problemer med en sådan halveringslinje reduceres til Pythagoras sætning.

Viden grundlæggende funktioner bisector, såvel som dens grundlæggende egenskaber, er nødvendig for at løse geometriske problemer af både gennemsnit og højt niveau vanskeligheder. Faktisk findes denne stråle kun i planimetri, så det kan ikke siges, at huske oplysninger om det vil give dig mulighed for at klare alle typer opgaver.

Halveringslinjen i en trekant er det segment, der deler trekantens vinkel i to lige store vinkler. For eksempel, hvis vinklen i en trekant er 120 0, vil vi ved at tegne en halveringslinje konstruere to vinkler på hver 60 0.

Og da der er tre vinkler i en trekant, kan der tegnes tre halveringslinjer. De har alle ét skæringspunkt. Dette punkt er midten af ​​cirklen indskrevet i trekanten. På en anden måde kaldes dette skæringspunkt for trekantens centrum.

Når to halveringslinjer af indre og udvendigt hjørne, vinklen er 90 0. En udvendig vinkel i en trekant er den vinkel, der støder op til den indre vinkel i en trekant.

Ris. 1. En trekant med 3 halveringslinjer

Halveringslinjen deler sig den modsatte side i to segmenter, der er forbundet til siderne:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Halveringspunkterne er lige langt fra vinklens sider, hvilket betyder, at de er i samme afstand fra vinklens sider. Det vil sige, hvis vi fra et hvilket som helst punkt i halveringslinjen falder vinkelrette til hver af siderne af trekantens vinkel, så vil disse vinkelrette være ens.

Hvis du tegner en median, halveringslinje og højde fra et toppunkt, vil medianen være det længste segment, og højden vil være det korteste.

Nogle egenskaber ved halveringslinjen

I visse typer trekanter, halveringslinjen har særlige egenskaber. Dette gælder primært en ligebenet trekant. Denne figur har to identiske sider, og den tredje kaldes basen.

Hvis du tegner en halveringslinje fra toppunktet af en vinkel i en ligebenet trekant til basen, så vil den have egenskaberne for både højde og median. I overensstemmelse hermed falder længden af ​​halveringslinjen sammen med længden af ​​medianen og højden.

Definitioner:

• Højde- en vinkelret trukket fra toppen af ​​en trekant til den modsatte side.
• Median– et segment, der forbinder toppen af ​​en trekant og midten af ​​den modsatte side.

Ris. 2. Halvled i en ligebenet trekant

Dette gælder også ligesidet trekant, altså en trekant, hvor alle tre sider er lige store.

Eksempel opgave

I trekant ABC: BR er halveringslinjen, med AB = 6 cm, BC = 4 cm, og RC = 2 cm. Træk længden af ​​den tredje side fra.

Ris. 3. Halvleder i en trekant

Løsning:

Halveringslinjen deler siden af ​​trekanten i et bestemt forhold. Lad os bruge denne proportion og udtrykke AR. Så finder vi længden af ​​den tredje side som summen af ​​de segmenter, som denne side blev delt i med halveringslinjen.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Så er hele segmentet AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Samlede vurderinger modtaget: 107.

Gennemsnitligt niveau

Halvleds for en trekant. Detaljeret teori med eksempler (2019)

Halvleds for en trekant og dens egenskaber

Ved du hvad midtpunktet af et segment er? Selvfølgelig gør du. Hvad med midten af ​​cirklen? Samme. Hvad er midtpunktet af en vinkel? Man kan sige, at dette ikke sker. Men hvorfor kan et segment deles i to, men en vinkel ikke? Det er sagtens muligt - bare ikke en prik, men…. linje.

Kan du huske vittigheden: en halveringslinje er en rotte, der løber rundt om hjørnerne og deler hjørnet i to. Så den virkelige definition af en halveringslinje ligner meget denne joke:

Halvleds for en trekant- dette er halveringsstykket af en vinkel i en trekant, der forbinder denne vinkels toppunkt med et punkt på den modsatte side.

Engang opdagede gamle astronomer og matematikere meget interessante egenskaber halveringslinjer. Denne viden har i høj grad forenklet folks liv. Det er blevet lettere at bygge, tælle afstande, endda justere affyringen af ​​kanoner... Viden om disse egenskaber vil hjælpe os med at løse nogle GIA- og Unified State Examination-opgaver!

Den første viden, der vil hjælpe med dette, er halveringslinje af en ligebenet trekant.

Kan du forresten huske alle disse udtryk? Kan du huske, hvordan de adskiller sig fra hinanden? Ingen? Ikke skræmmende. Lad os finde ud af det nu.

Så, bunden af ​​en ligebenet trekant- dette er den side, der ikke er lig med nogen anden. Se på billedet, hvilken side tror du det er? Det er rigtigt - dette er siden.

Medianen er en linje trukket fra toppen af ​​en trekant og deler den modsatte side (det er det igen) i to.

Bemærk, at vi ikke siger "Median af en ligebenet trekant." Ved du hvorfor? Fordi en median trukket fra et toppunkt i en trekant halverer den modsatte side i ENHVER trekant.

Nå, højden er en linje tegnet fra toppen og vinkelret på bunden. lagde du mærke til det? Vi taler igen om enhver trekant, ikke bare en ligebenet. Højden i ENHVER trekant er altid vinkelret på basen.

Så har du fundet ud af det? Næsten. For at forstå endnu bedre og for altid huske, hvad en halveringslinje, median og højde er, skal du sammenligne dem med hinanden og forstå, hvordan de ligner hinanden, og hvordan de adskiller sig fra hinanden. På samme tid, for at huske bedre, er det bedre at beskrive alt " menneskeligt sprog" Så vil du nemt operere på matematikkens sprog, men i første omgang forstår du ikke dette sprog, og du er nødt til at forstå alt på dit eget sprog.

Så hvordan ligner de hinanden? Halveringslinjen, medianen og højden - de "kommer alle ud" fra trekantens toppunkt og hviler på den modsatte side og "gør noget" enten med den vinkel, hvorfra de kommer ud, eller med den modsatte side. Jeg tror, ​​det er enkelt, ikke?

Hvordan er de forskellige?

• Halveringslinjen deler vinklen, hvorfra den kommer ud, i to.
• Medianen deler den modsatte side i to.
• Højden er altid vinkelret på den modsatte side.

Det er det. Det er let at forstå. Og når du først forstår, kan du huske.

Nu næste spørgsmål. Hvorfor i tilfælde af ligebenet trekant Er halveringslinjen både medianen og højden?

Du kan bare se på figuren og sikre dig, at medianen deler sig i to absolut lige stor trekant. Det er alt! Men matematikere kan ikke lide at tro deres egne øjne. De skal bevise alt. Skræmmende ord? Sådan noget - det er enkelt! Se: begge har lige sider, og de har generelt en fælles side og. (- halveringslinje!) Og så viser det sig, at to trekanter har to lige sider og vinklen mellem dem. Vi husker det første tegn på lighed af trekanter (hvis du ikke kan huske det, se i emnet) og konkluderer, at og derfor = og.

Dette er allerede godt - det betyder, at det viste sig at være medianen.

Men hvad er det?

Lad os se på billedet - . Og vi fik det. Så også! Endelig, hurra! Og.

Fandt du dette bevis lidt tungt? Se på billedet - to identiske trekanter tale for sig selv.

Husk under alle omstændigheder bestemt:

Nu er det sværere: vi tæller vinkel mellem halveringslinjer i enhver trekant! Vær ikke bange, det er ikke så svært. Se på billedet:

Lad os tælle det. Kan du huske det summen af ​​vinklerne i en trekant er?

Lad os anvende denne fantastiske kendsgerning.

På den ene side fra:

Det er.

Lad os nu se på:

Men bisektorer, bisectors!

Lad os huske om:

Nu gennem bogstaverne

\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)

Er det ikke overraskende? Det viste det sig vinklen mellem to vinklers halveringslinjer afhænger kun af den tredje vinkel!

Nå, vi så på to halveringslinjer. Hvad hvis der er tre af dem??!! Vil de alle skære hinanden på et tidspunkt?

Eller bliver det sådan her?

Hvad tænker du? Så matematikere tænkte og tænkte og beviste:

Er det ikke fantastisk?

Vil du vide, hvorfor dette sker?

Så...to rette trekanter: og. De har:

• Generel hypotenuse.
• (fordi det er en halveringslinje!)

Det betyder - ved vinkel og hypotenusa. Derfor er de tilsvarende ben i disse trekanter ens! Det er.

Vi beviste, at punktet er lige (eller lige) langt fra vinklens sider. Punkt 1 behandles. Lad os nu gå videre til punkt 2.

Hvorfor er 2 sandt?

Og lad os forbinde prikkerne og.

Det betyder, at den ligger på halveringslinjen!

Det er alt!

Hvordan kan alt dette anvendes, når man løser problemer? For eksempel er der i problemer ofte følgende sætning: "En cirkel rører ved siderne af en vinkel...". Nå, du skal finde noget.

Så indser man det hurtigt

Og man kan bruge ligestilling.

3. Tre halveringslinjer i en trekant skærer hinanden i et punkt

Fra egenskaben af ​​en halveringslinje at være sted punkter lige langt fra vinklens sider, følger følgende udsagn:

Hvordan kommer det helt præcist ud? Men se: to halveringslinjer vil helt sikkert krydse hinanden, ikke?

Og den tredje halveringslinje kunne gå sådan her:

Men i virkeligheden er alt meget bedre!

Lad os se på skæringspunktet mellem to halveringslinjer. Lad os kalde det.

Hvad har vi brugt her begge gange? Ja stk. 1, selvfølgelig! Hvis et punkt ligger på en halveringslinje, er det lige så langt fra vinklens sider.

Og så skete det.

Men se nøje på disse to ligheder! Det følger jo af dem, at og derfor.

Og nu kommer det i spil punkt 2: hvis afstandene til siderne af en vinkel er lige store, så ligger punktet på halveringslinjen...hvilken vinkel? Se billedet igen:

og er afstandene til vinklens sider, og de er lige store, hvilket betyder, at punktet ligger på vinklens halveringslinje. Den tredje halveringslinje gik gennem samme punkt! Alle tre halveringslinjer skærer hinanden på ét punkt! Og som en ekstra gave -

Radier indskrevet cirkler.

(For at være sikker, se på et andet emne).

Nå, nu vil du aldrig glemme:

Skæringspunktet for halveringspunktet i en trekant er midten af ​​den cirkel, der er indskrevet i den.

Lad os gå videre til den næste ejendom... Wow, halveringslinjen har mange egenskaber, ikke? Og det er dejligt, fordi flere ejendomme, jo flere værktøjer til at løse bisektorproblemer.

4. Halvleder og parallelitet, halveringslinjer af tilstødende vinkler

Det faktum, at halveringslinjen deler vinklen i to, fører i nogle tilfælde til helt uventede resultater. For eksempel,

Case 1

Fantastisk, ikke? Lad os forstå, hvorfor det er sådan.

På den ene side tegner vi en halveringslinje!

Men på den anden side er der vinkler, der ligger på kryds og tværs (husk temaet).

Og nu viser det sig, at; smid ud i midten:! - ligebenet!

Tilfælde 2

Forestil dig en trekant (eller se på billedet)

Lad os fortsætte siden ud over punktet. Nu har vi to vinkler:

• - indvendigt hjørne
• - det yderste hjørne er udenfor, ikke?

Så nu ville nogen tegne ikke én, men to halveringslinjer på én gang: både for og for. Hvad vil der ske?

Vil det lykkes? rektangulær!

Overraskende nok er dette præcis tilfældet.

Lad os finde ud af det.

Hvad tror du beløbet er?

Selvfølgelig, - når alt kommer til alt, laver de alle sammen en sådan vinkel, at det viser sig at være en lige linje.

Husk nu at og er halveringslinjer og se, at inde i vinklen er der præcis halvt fra summen af ​​alle fire vinkler: og - - det vil sige nøjagtigt. Du kan også skrive det som en ligning:

Så utroligt men sandt:

Vinklen mellem halveringslinjerne for de indre og ydre vinkler i en trekant er ens.

Tilfælde 3

Kan du se, at alt er det samme her som for de indvendige og udvendige hjørner?

Eller lad os tænke igen, hvorfor det sker?

Igen, hvad angår tilstødende hjørner,

(som svarer til parallelle baser).

Og igen gør de op præcis halvdelen fra summen

Konklusion: Hvis opgaven indeholder halveringslinjer tilstødende vinkler eller halveringslinjer relevant vinkler af et parallelogram eller trapez, så i denne opgave sikkert deltager retvinklet trekant, og måske endda et helt rektangel.

5. Halvled og modsatte side

Det viser sig, at halveringslinjen af ​​en vinkel i en trekant deler den modsatte side ikke bare på en eller anden måde, men på en speciel og meget interessant måde:

Det er:

Et fantastisk faktum, ikke?

Nu vil vi bevise dette faktum, men gør dig klar: det bliver lidt sværere end før.

Igen - udgang til "space" - yderligere formation!

Lad os gå ligeud.

For hvad? Vi får se nu.

Lad os fortsætte halveringslinjen, indtil den skærer linjen.

Er dette et kendt billede? Ja, ja, ja, nøjagtig det samme som i punkt 4, tilfælde 1 - det viser sig, at (- halveringslinje)

Ligger på kryds og tværs

Altså også det.

Lad os nu se på trekanter og.

Hvad kan du sige om dem?

De ligner hinanden. Nå, ja, deres vinkler er lige store som lodrette. Altså i to hjørner.

Nu har vi ret til at skrive de relevante parters forhold.

Og nu i korte noter:

Åh! Minder mig om noget, ikke? Var det ikke det, vi ville bevise? Ja, ja, præcis det!

Du kan se, hvor stor "rumvandringen" viste sig at være - konstruktionen af ​​en yderligere lige linje - uden den ville intet være sket! Og det har vi altså bevist

Nu kan du trygt bruge det! Lad os se på endnu en egenskab ved halveringslinjen af ​​vinklerne i en trekant - vær ikke foruroliget, nu er den sværeste del overstået - det bliver nemmere.

Det forstår vi

Sætning 1:

Sætning 2:

Sætning 3:

Sætning 4:

Sætning 5:

Sætning 6: