Sætning 1. Sum modsatte hjørner cyklisk firkant er lig med 180°.
Lad en firkant ABCD indskrives i en cirkel med centrum O (fig. 412). Det er nødvendigt at bevise, at ∠A + ∠C = 180° og ∠B + ∠D = 180°.
∠A, som indskrevet i cirklen O, måler 1 / 2 \(\breve(BCD)\).
∠C, som indskrevet i samme cirkel, måler 1 / 2 \(\breve(BAD)\).
Som følge heraf måles summen af vinklerne A og C ved halvsummen af buer BCD og BAD i sum udgør disse buer en cirkel, dvs. har 360°.
Derfor ∠A + ∠C = 360°: 2 = 180°.
Det er ligeledes bevist, at ∠B + ∠D = 180°. Dette kan dog udledes på en anden måde. Vi ved, at beløbet indvendige hjørner af en konveks firkant er 360°. Summen af vinklerne A og C er lig med 180°, hvilket betyder, at summen af firkantens to andre vinkler også forbliver 180°.
Sætning 2 (omvendt). Hvis summen af to modsatte vinkler i en firkant er lig 180° , så kan en cirkel beskrives omkring en sådan firkant.
Lad summen af de modsatte vinkler af firkanten ABCD være lig med 180°, nemlig
∠A + ∠C = 180° og ∠B + ∠D = 180° (fig. 412).
Lad os bevise, at en cirkel kan beskrives omkring en sådan firkant.
Bevis. Gennem hvilke som helst 3 hjørner af denne firkant kan du tegne en cirkel, for eksempel gennem punkterne A, B og C. Hvor vil punkt D være placeret?
Punkt D kan kun optage én af næste tre positioner: at være inde i cirklen, at være uden for cirklen, at være på cirklens omkreds.
Lad os antage, at toppunktet er inde i cirklen og indtager position D’ (fig. 413). Så i firkanten ABCD' vil vi have:
∠B + ∠D’ = 2 d.
Fortsætter vi side AD' til skæringspunktet med cirklen i punkt E og forbinder punkterne E og C, får vi den cykliske firkant ABCE, hvori ved den direkte sætning
∠B + ∠E = 2 d.
Af disse to ligheder følger:
∠D’ = 2 d- ∠B;
∠E = 2 d- ∠B;
men dette kan ikke være, da ∠D’, der er ekstern i forhold til trekanten CD’E, skal være større end vinkel E. Derfor kan punkt D ikke være inde i cirklen.
Det er også bevist, at toppunktet D ikke kan tage stilling D" uden for cirklen (fig. 414).
Det er tilbage at erkende, at toppunktet D skal ligge på cirklens omkreds, dvs. falde sammen med punktet E, hvilket betyder, at en cirkel kan beskrives omkring firkanten ABCD.
Konsekvenser.
1. En cirkel kan beskrives omkring ethvert rektangel.
2. Rundt om ligebenet trapez kan beskrive en cirkel.
I begge tilfælde er summen af modsatte vinkler 180°.
Sætning 3. I den beskrevne firkant er summerne modsatte sider er lige. Lad firkanten ABCD beskrives om en cirkel (fig. 415), det vil sige, at dens sider AB, BC, CD og DA tangerer denne cirkel.
Det er nødvendigt at bevise, at AB + CD = AD + BC. Lad os betegne tangenspunkterne med bogstaverne M, N, K, P. Baseret på egenskaberne for tangenter tegnet til en cirkel fra et punkt, har vi:
Lad os tilføje disse ligheder sigt for sig. Vi får:
AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,
dvs. AB + CD = AD + BC, hvilket er det, der skulle bevises.
Andre materialerEn firkant er indskrevet i en cirkel (problemer). Vi fortsætter med at overveje de opgaver, der er inkluderet i Unified State Examination i matematik. I denne artikel vil vi løse flere problemer ved hjælp af egenskaberne for en indskrevet vinkel. Teorien er allerede blevet skitseret i detaljer. I denne artikel kom løsning af problemer i det væsentlige ud på at anvende egenskaben for en indskrevet vinkel med det samme, det vil sige, at disse var opgaver i næsten én handling. Her skal man tænke sig lidt om, forløbet af beslutningen er ikke altid umiddelbart indlysende.
Gælder: sætningen om summen af en trekants vinkler, egenskaber for en indskrevet vinkel, egenskab for en firkant indskrevet i en cirkel. Mere om sidstnævnte.
*Denne egenskab er allerede blevet præsenteret, men i en anden fortolkning. Så:
Ejendomme:
En indskrevet firkant er en firkant, hvis toppunkter alle ligger på den samme cirkel.
En firkant kan indskrives i en cirkel, hvis og kun hvis summen af dens modstående vinkler er lig med 180 grader.
Det vil sige, hvis vi er sådan en firkant, så er summen af dens modsatte vinkler lig med 180 grader.
Lad os overveje opgaverne:
27870. I en cirkel med centrum O A.C. Og BD- diametre. Central vinkel AOD er lig med 1100. Find den indskrevne vinkel ACB. Giv dit svar i grader.
Trekant BOS ligebenet, fordi OS=OB(disse er radier). Det er kendt, at summen af vinklerne i en trekant er 180 grader. Overvej ∠BOC og ∠AOD:
Derfor
Vinkler i bunden ligebenet trekant er lige, dvs
Anden måde:
Vinkel AOB er den centrale vinkel for den indskrevne vinkel ACB.Ved egenskaben af en vinkel indskrevet i en cirkel
Sum tilstødende hjørner er lig med 180 0, hvilket betyder
Dermed
Svar: 35
27871. Vinklen A på en firkant ABCD indskrevet i en cirkel er lig med 58 0. Find vinklen C på denne firkant. Giv dit svar i grader.
Her er det nok at huske egenskaben af en sådan firkant. Det er kendt, at summen af dens modsatte vinkler er lig med 180 grader, hvilket betyder, at vinkel C vil være lig med
Anden vej:
Lad os bygge OB og OD.
Ved egenskaben af den indskrevne vinkel er gradstørrelsen af buen BCD lig med
2∙58 0 = 116 0
Derfor vil gradstørrelsen af buen BAD være lig med
360 0 – 116 0 = 244 0
Ifølge egenskaben for en indskrevet vinkel vil vinkel C være to gange mindre, det vil sige 122 0.
Svar: 122
27872. Sider af en firkant ABCD AB, B.C., CD Og AD underspænd buerne af den omskrevne cirkel, hvis gradværdier er henholdsvis 95 0, 49 0, 71 0, 145 0. Find vinklen B denne firkant. Giv dit svar i grader.
Lad os konstruere radierne AO, OD, OC:
Gradværdien af bue AD er lig med 145 0, gradværdien af bue CD er lig med 71 0, hvilket betyder, at gradværdien af bue ADC er lig med 145 0 + 71 0 = 216 0.
Ifølge egenskaben for den indskrevne vinkel vil vinkel B være to gange mindre midtervinkel svarende til ADC-buen, dvs
Svar: 108
27874. Firkant ABCD indskrevet i en cirkel. Hjørne ABC er lig med 105 0, vinkel CAD er lig med 350. Find vinklen ABD. Giv dit svar i grader.
Denne opgave kan være udfordrende. Det er umiddelbart umuligt tydeligt at se forløbet af beslutningen. Lad os huske, hvad der er kendt om en indskrevet firkant: summen af dens modsatte vinkler er lig med 180 grader. Lad os finde
På dette øjeblik vi har fundet den vinkel, der umiddelbart kan bestemmes af kendt ejendom. Hvis det er muligt at finde nogen værdi, så gør det, det vil være nyttigt. Vi handler efter princippet "vi finder, hvad der kan findes baseret på givne værdier."
Indskrevne vinkler ABD og ACD er baseret på den samme bue, det betyder, at de er ens, dvs.
Svar: 70
27875. Firkant ABCD indskrevet i en cirkel. Hjørne ABD er lig med 75 0, vinkel CAD er lig med 350. Find vinklen ABC. Giv dit svar i grader.
Det er kendt, at indskrevne vinkler baseret på den samme bue og dem, der ligger på samme side af den, er ens. Derfor
I trekant ACD er der to kendte vinkler, vi kan finde den tredje:
Jeg vil gerne bemærke, at det er vigtigt at huske angivne egenskaber og du vil løse problemer uden problemer. Det er selvfølgelig muligt at konstruere en løsning, der ikke er helt korrekt. For eksempel i opgave 27876 for selvstændig beslutning en "lang" løsning gives, eller som man også siger, en irrationel løsning. Det er okay, hvis du løser problemet på samme måde.
Det vigtigste er, at du husker og anvender teorien, og i sidste ende LØSER opgaven.
I dette afsnit vil vi fortsætte med at overveje opgaver, jeg inviterer dig til bloggen!
Det er alt. Held og lykke!
Med venlig hilsen Alexander Krutitskikh
Kommissionen spørger direktøren for en simpel landskole:
- Af hvilken grund siger alle dine børn: når de kommer, når de går?
"Hvem ved, måske er de så vant til det!"
P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du fortæller mig om webstedet på sociale netværk.
En firkant er indskrevet i en cirkel, hvis alle dens toppunkter ligger på cirklen. En sådan cirkel er afgrænset om en firkant.
Ligesom ikke alle firkanter kan beskrives omkring en cirkel, kan ikke alle firkanter indskrives i en cirkel.
En konveks firkant indskrevet i en cirkel har den egenskab, at dens modsatte vinkler summeres til 180°. Så hvis givet en firkant ABCD, hvor vinkel A er modsat vinkel C, og vinkel B er modsat vinkel D, så er ∠A + ∠C = 180° og ∠B + ∠D = 180°.
Generelt, hvis et par af modsatte vinkler på en firkant summerer til 180°, så vil det andet par summere til det samme beløb. Dette følger af, at konveks firkant summen af vinklerne er altid 360°. Til gengæld følger dette faktum af, at konvekse polygoner summen af vinkler bestemmes af formlen 180° * (n – 2), hvor n er antallet af vinkler (eller sider).
Du kan bevise egenskaben af en indskrevet firkant på følgende måde. Lad en firkant ABCD indskrives i cirkel O. Vi skal bevise, at ∠B + ∠D = 180°.
Vinkel B er indskrevet i en cirkel. Som det er kendt, en sådan vinkel lig med halvdelen bue, som den hviler på. I I dette tilfælde vinkel B understøttes af bue ADC, hvilket betyder ∠B = ½◡ADC. (Da buen er lig med vinklen mellem radierne, der danner den, kan vi skrive, at ∠B = ½∠AOC, hvis indre område indeholder punkt D.)
På den anden side hviler vinklen D på firkanten på buen ABC, det vil sige ∠D = ½◡ABC.
Da siderne af vinklerne B og D skærer cirklen i de samme punkter (A og C), deler de cirklen i kun to buer - ◡ADC og ◡ABC. Fordi fuld cirkel lægger op til 360°, derefter ◡ADC + ◡ABC = 360°.
Således opnåedes følgende ligheder:
∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°
Lad os udtrykke summen af vinkler:
∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC
Lad os sætte ½ ud af parenteser:
∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)
Lad os erstatte summen af buerne med deres numeriske værdi:
∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°
Vi fandt ud af, at summen af de modsatte vinkler af en indskrevet firkant er 180°. Det var det, der skulle bevises.
Det faktum, at en indskrevet firkant har denne egenskab (summen af modsatte vinkler er 180°), betyder ikke, at enhver firkant, hvis sum af modsatte vinkler er 180°, kan indskrives i en cirkel. Selvom det i virkeligheden er sandt. Dette faktum hedder indskrevet firkantet test og er formuleret som følger: hvis summen af de modsatte vinkler af en konveks firkant er 180°, så kan en cirkel beskrives omkring den (eller indskrives i en cirkel).
Du kan bevise testen for en indskrevet firkant ved modsigelse. Lad en firkant ABCD gives, hvis modsatte vinkler B og D summeres til 180°. I dette tilfælde ligger vinkel D ikke på cirklen. Tag derefter et punkt E på linjen, der indeholder segmentet CD, således at det ligger på cirklen. Resultatet er en cyklisk firkantet ABCE. Denne firkant har modsatte vinkler B og E, hvilket betyder, at de summeres til 180°. Dette følger af egenskaben for en indskrevet firkant.
Det viser sig, at ∠B + ∠D = 180° og ∠B + ∠E = 180°. Vinklen D på firkant ABCD i forhold til trekant AED er imidlertid ekstern og derfor større end vinklen E for denne trekant. Dermed er vi nået frem til en modsigelse. Det betyder, at hvis summen af de modsatte vinkler af en firkant summer sig til 180°, så kan den altid indskrives i en cirkel.
Emne: “Cirkel beskrevet rundt regulær polygon» er diskuteret i nogle detaljer inden for skolepensum. På trods af dette, opgaver vedr dette afsnit planimetri forårsager visse vanskeligheder for mange gymnasieelever. Forstå samtidig princippet om løsningen Unified State Exam problemer med en cirkel beskrevet omkring en polygon, skal kandidater med ethvert uddannelsesniveau.
Hvordan forbereder man sig til Unified State-eksamenen?
For at Unified State Exam-opgaver om emnet "En cirkel afgrænset om en almindelig polygon" forårsagede ingen vanskeligheder for studerende, studere sammen med uddannelsesportalen "Shkolkovo". Hos os kan du gentage teoretisk materiale om emner, der giver dig vanskeligheder. Sætninger og formler, der tidligere virkede ret komplicerede, præsenteres på en tilgængelig og forståelig måde.
For at genopfriske din hukommelse om de grundlæggende definitioner og begreber om vinklerne og midten af en cirkel, der er afgrænset omkring en polygon, såvel som sætninger relateret til længderne af segmenter, skal dimittender bare gå til afsnittet "Teoretisk hjælp". Her har vi lagt materiale opsat af vores erfarne personale specielt til elever med forskellige niveauer forberedelse.
For at konsolidere den lærte information kan gymnasieelever øve sig i at lave øvelser. På uddannelsesportal"Shkolkovo" i afsnittet "Katalog" præsenterer en stor database med opgaver af varierende kompleksitet for maksimal effektiv forberedelse til Unified State-eksamenen. Hver opgave på siden indeholder en løsningsalgoritme og det rigtige svar. Shkolkovo træningsdatabasen bliver løbende opdateret og suppleret.
Studerende fra Moskva og andre lande øver sig i at udføre opgaver på vores hjemmeside russiske byer kan gøres online. Hvis det er nødvendigt, kan enhver øvelse gemmes i sektionen "Favoritter". Fremover vil det være muligt at vende tilbage til denne opgave og fx diskutere algoritmen til at løse den med skole lærer eller en underviser.
Videokurset "Få et A" indeholder alle de emner, du har brug for vellykket afslutning Unified State Examination i matematik for 60-65 point. Fuldstændig alle problemer 1-13 Profil Unified State Examination matematik. Også velegnet til at bestå Basic Unified State Examination i matematik. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 point, skal du løse del 1 på 30 minutter og uden fejl!
Forberedelseskursus til Unified State Examen for klasse 10-11, samt for lærere. Alt hvad du behøver for at løse del 1 af Unified State-eksamenen i matematik (de første 12 opgaver) og opgave 13 (trigonometri). Og det er mere end 70 point på Unified State Exam, og hverken en 100-point studerende eller en humaniora-studerende kan undvære dem.
Alle nødvendig teori. Hurtige måder løsninger, faldgruber og hemmeligheder ved Unified State Exam. Alle aktuelle opgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er blevet analyseret. Kurset overholder fuldt ud kravene i Unified State Exam 2018.
Kurset indeholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er givet fra bunden, enkelt og tydeligt.
Hundredvis af Unified State Exam-opgaver. Ordproblemer og sandsynlighedsteori. Enkle og nemme at huske algoritmer til løsning af problemer. Geometri. Teori, referencemateriale, analyse af alle typer Unified State Examination opgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige snydeark, udvikling rumlig fantasi. Trigonometri fra bunden til opgave 13. Forståelse i stedet for at proppe. Visuel forklaring komplekse begreber. Algebra. Rødder, potenser og logaritmer, funktion og afledet. Grundlag for løsning komplekse opgaver 2 dele af Unified State-eksamenen.