Ægte logaritme
Logaritme af et reelt tal log -en b giver mening med src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.
De mest udbredte typer logaritmer er:
Hvis vi betragter det logaritmiske tal som en variabel, får vi logaritmisk funktion, For eksempel: . Denne funktion er defineret på højre side af tallinjen: x> 0, er kontinuert og differentierbar der (se fig. 1).
Ejendomme
Naturlige logaritmer
Når ligestillingen er sand
| (1) |
I særdeleshed,
Denne serie konvergerer hurtigere, og desuden kan venstre side af formlen nu udtrykke logaritmen af ethvert positivt tal.
Forholdet til decimallogaritmen: .
Decimallogaritmer
Ris. 2. Logaritmisk skala
Logaritmer til grundtal 10 (symbol: lg -en) før opfindelsen af lommeregnere blev meget brugt til beregninger. Den ujævne skala af decimallogaritmer er normalt også markeret på slideregler. En lignende skala er meget brugt inden for forskellige videnskabsområder, for eksempel:
- Kemi - aktivitet af hydrogenioner ().
- Musikteori - en skala af noder, i forhold til frekvenserne af noder.
Den logaritmiske skala er også meget brugt til at identificere eksponenten i potensforhold og koefficienten i eksponenten. I dette tilfælde har en graf konstrueret på en logaritmisk skala langs en eller to akser form af en lige linje, som er lettere at studere.
Kompleks logaritme
Funktion med flere værdier
Riemann overflade
En kompleks logaritmisk funktion er et eksempel på en Riemann-overflade; dens imaginære del (fig. 3) består af et uendeligt antal grene, snoet som en spiral. Denne overflade er simpelthen forbundet; dens eneste nul (af første orden) opnås ved z= 1, ental punkter: z= 0 og (grenpunkter i uendelig rækkefølge).
Riemann-overfladen af logaritmen er den universelle dækning for det komplekse plan uden punktet 0.
Historisk skitse
Ægte logaritme
Behovet for komplekse beregninger voksede hurtigt i det 16. århundrede, og meget af vanskeligheden involverede multiplikation og dividering af flercifrede tal. I slutningen af århundredet kom flere matematikere, næsten samtidigt, op med ideen: at erstatte arbejdskrævende multiplikation med simpel addition ved at bruge specielle tabeller til at sammenligne de geometriske og aritmetiske progressioner, hvor den geometriske er den oprindelige. Så bliver division automatisk erstattet af den umådeligt enklere og mere pålidelige subtraktion. Han var den første til at udgive denne idé i sin bog " Arithmetica integra"Michael Stiefel, som dog ikke gjorde en seriøs indsats for at gennemføre sin idé.
I 1620'erne opfandt Edmund Wingate og William Oughtred den første glideregel, før fremkomsten af lommeregnere - et uundværligt ingeniørværktøj.
En tæt på moderne forståelse af logaritmation - som den omvendte operation af at hæve til en magt - dukkede først op hos Wallis og Johann Bernoulli, og blev endelig legitimeret af Euler i det 18. århundrede. I bogen "Introduction to the Analysis of Infinites" () gav Euler moderne definitioner af både eksponentielle og logaritmiske funktioner, udvidede dem til potensrækker og bemærkede især den naturlige logaritmes rolle.
Euler er også krediteret for at udvide den logaritmiske funktion til det komplekse domæne.
Kompleks logaritme
De første forsøg på at udvide logaritmer til komplekse tal blev foretaget ved overgangen til det 17.-18. århundrede af Leibniz og Johann Bernoulli, men det lykkedes ikke at skabe en holistisk teori, primært fordi selve begrebet en logaritme endnu ikke var klart defineret. Diskussionen om dette spørgsmål fandt sted først mellem Leibniz og Bernoulli, og i midten af det 18. århundrede - mellem d'Alembert og Euler. Bernoulli og d'Alembert mente, at det burde bestemmes log(-x) = log(x). Den komplette teori om logaritmer af negative og komplekse tal blev udgivet af Euler i 1747-1751 og er i det væsentlige ikke forskellig fra den moderne.
Selvom striden fortsatte (D'Alembert forsvarede sit synspunkt og argumenterede for det i detaljer i en artikel i hans Encyclopedia og i andre værker), vandt Eulers synspunkt hurtigt universel anerkendelse.
Logaritmiske tabeller
Logaritmiske tabeller
Af logaritmens egenskaber følger det, at i stedet for arbejdskrævende multiplikation af flercifrede tal, er det nok at finde (fra tabeller) og tilføje deres logaritmer, og derefter, ved hjælp af de samme tabeller, udføre potensering, dvs. værdien af resultatet fra dets logaritme. At lave division adskiller sig kun ved, at logaritmer trækkes fra. Laplace sagde, at opfindelsen af logaritmer "forlængede astronomernes levetid" ved i høj grad at fremskynde beregningsprocessen.
Når du flytter decimaltegnet i et tal til n cifre, ændres værdien af decimallogaritmen af dette tal til n. For eksempel log8314.63 = log8.31463 + 3. Det følger heraf, at det er nok at kompilere en tabel med decimallogaritmer for tal i området fra 1 til 10.
De første tabeller over logaritmer blev udgivet af John Napier (), og de indeholdt kun logaritmer af trigonometriske funktioner og med fejl. Uafhængigt af ham offentliggjorde Joost Bürgi, en ven af Kepler (), sine tabeller. I 1617 udgav Oxford matematikprofessor Henry Briggs tabeller, der allerede inkluderede decimallogaritmer af tallene selv, fra 1 til 1000, med 8 (senere 14) cifre. Men der var også fejl i Briggs' tabeller. Den første fejlfrie udgave baseret på Vega-tabellerne () udkom først i 1857 i Berlin (Bremiwer-tabeller).
I Rusland blev de første tabeller over logaritmer offentliggjort i 1703 med deltagelse af L. F. Magnitsky. Adskillige samlinger af logaritmetabeller blev offentliggjort i USSR.
- Bradis V.M. Firecifrede matematiske tabeller. 44. udgave, M., 1973.
Afsnittet om logaritmer har stor betydning i skoleforløbet "Matematisk Analyse". Problemer for logaritmiske funktioner er baseret på andre principper end problemer for uligheder og ligninger. Kendskab til definitionerne og grundlæggende egenskaber ved begreberne logaritme og logaritmisk funktion vil sikre en vellykket løsning af typiske BRUG-problemer.
Før vi begynder at forklare, hvad en logaritmisk funktion er, er det værd at se på definitionen af en logaritme.
Lad os se på et specifikt eksempel: en log a x = x, hvor a › 0, a ≠ 1.
De vigtigste egenskaber ved logaritmer kan anføres i flere punkter:
Logaritme
Logaritmation er en matematisk operation, der gør det muligt ved hjælp af et begrebs egenskaber at finde logaritmen af et tal eller udtryk.
Eksempler:
Logaritmefunktion og dens egenskaber
Den logaritmiske funktion har formen
Lad os straks bemærke, at grafen for en funktion kan være stigende, når a › 1 og faldende, når 0 ‹ a ‹ 1. Afhængigt af dette vil funktionskurven have en eller anden form.
Her er egenskaberne og metoden til at plotte logaritmer:
- domænet af f(x) er mængden af alle positive tal, dvs. x kan tage en hvilken som helst værdi fra intervallet (0; + ∞);
- ODZ-funktionen er mængden af alle reelle tal, dvs. y kan være lig med et hvilket som helst tal fra intervallet (— ∞; +∞);
- hvis basen af logaritmen a › 1, så stiger f(x) gennem hele definitionsdomænet;
- hvis basis af logaritmen er 0 ‹ a ‹ 1, så er F faldende;
- den logaritmiske funktion er hverken lige eller ulige;
- grafkurven går altid gennem punktet med koordinater (1;0).
Det er meget nemt at bygge begge typer grafer; lad os se på processen ved hjælp af et eksempel
Først skal du huske egenskaberne for den simple logaritme og dens funktioner. Med deres hjælp skal du bygge en tabel for specifikke værdier af x og y. Derefter skal du markere de resulterende punkter på koordinataksen og forbinde dem med en glat linje. Denne kurve vil være den nødvendige graf.
Den logaritmiske funktion er den inverse af eksponentialfunktionen givet ved y= a x. For at bekræfte dette er det nok at tegne begge kurver på den samme koordinatakse.
Det er tydeligt, at begge linjer er spejlbilleder af hinanden. Ved at konstruere den rette linje y = x kan du se symmetriaksen.
For hurtigt at finde svaret på problemet, skal du beregne værdierne af punkterne for y = log 2 x, og derefter blot flytte origo for koordinatpunktet tre divisioner ned langs OY-aksen og 2 divisioner til venstre langs OX-aksen.
Lad os som bevis bygge en beregningstabel for punkterne i grafen y = log 2 (x+2)-3 og sammenligne de opnåede værdier med figuren.
Som du kan se, falder koordinaterne fra tabellen og punkterne på grafen sammen, derfor blev overførslen langs akserne udført korrekt.
Eksempler på løsning af typiske Unified State Exam-problemer
De fleste af testproblemerne kan opdeles i to dele: søgning efter definitionsdomænet, angivelse af funktionstype ud fra graftegningen, afgør om funktionen er stigende/faldende.
For hurtigt at besvare opgaver er det nødvendigt klart at forstå, at f(x) stiger, hvis logaritmeeksponenten a › 1, og falder, hvis 0 ‹ a ‹ 1. Men ikke kun basen, men også argumentet kan have stor indflydelse på formen af funktionskurven.
F(x) markeret med et flueben er rigtige svar. Tvivl i dette tilfælde er rejst af eksempel 2 og 3. "-" tegnet foran log ændres stigende til faldende og omvendt.
Derfor falder grafen y=-log 3 x over hele definitionsdomænet, og y= -log (1/3) x stiger, på trods af at grundtallet 0 ‹ a ‹ 1.
Svar: 3,4,5.
Svar: 4.
Disse typer opgaver anses for lette og får 1-2 point.
Opgave 3.
Bestem, om funktionen er faldende eller stigende, og angiv domænet for dens definition.
Y = log 0,7 (0,1x-5)
Da basen af logaritmen er mindre end én, men større end nul, er funktionen af x faldende. Ifølge logaritmens egenskaber skal argumentet også være større end nul. Lad os løse uligheden:
Svar: definitionsdomæne D(x) – interval (50; + ∞).
Svar: 3, 1, OX-akse, højre.
Sådanne opgaver klassificeres som gennemsnit og får 3 - 4 point.
Opgave 5. Find rækkevidden af værdier for en funktion:
Fra logaritmens egenskaber vides det, at argumentet kun kan være positivt. Derfor vil vi beregne rækken af acceptable værdier for funktionen. For at gøre dette skal du løse et system med to uligheder.
De grundlæggende egenskaber for logaritmen, logaritmegrafen, definitionsdomæne, værdisæt, grundlæggende formler, stigende og faldende er angivet. At finde den afledede af en logaritme overvejes. Samt integral, potensrækkeudvidelse og repræsentation ved hjælp af komplekse tal.
Definition af logaritme
Logaritme med basis a er en funktion af y (x) = log a x, omvendt til eksponentialfunktionen med basis a: x (y) = a y.
Decimal logaritme er logaritmen til grunden af et tal 10 : log x ≡ log 10 x.
Naturlig logaritme er logaritmen til basis af e: ln x ≡ log e x.
2,718281828459045...
;
.
Grafen for logaritmen fås fra grafen for eksponentialfunktionen ved at spejle den i forhold til den rette linje y = x. Til venstre ses grafer for funktionen y (x) = log a x for fire værdier logaritmebaser: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
og en = 1/8
. Grafen viser, at når en > 1
logaritmen stiger monotont. Når x stiger, aftager væksten betydeligt. På 0
< a < 1
logaritmen falder monotont.
Egenskaber for logaritmen
Domæne, værdisæt, stigende, faldende
Logaritmen er en monoton funktion, så den har ingen ekstreme. De vigtigste egenskaber for logaritmen er præsenteret i tabellen.
| Domæne | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Vifte af værdier | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Monotone | monotont stiger | monotont aftager |
| Nuller, y = 0 | x = 1 | x = 1 |
| Skæringspunkter med ordinataksen, x = 0 | Ingen | Ingen |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Private værdier
Logaritmen til base 10 kaldes decimallogaritme og er betegnet som følger:
Logaritme til base e hedder naturlig logaritme:
Grundlæggende formler for logaritmer
Egenskaber for logaritmen, der stammer fra definitionen af den inverse funktion:
Hovedegenskaben ved logaritmer og dens konsekvenser
Formel for basisudskiftning
Logaritme er den matematiske operation at tage en logaritme. Når man tager logaritmer, konverteres produkter af faktorer til summe af led.
Potentiering er den omvendte matematiske operation af logaritmen. Under potensering hæves en given base til den ekspressionsgrad, som potentieringen udføres over. I dette tilfælde omdannes summen af termer til produkter af faktorer.
Bevis for grundlæggende formler for logaritmer
Formler relateret til logaritmer følger af formler for eksponentielle funktioner og fra definitionen af en invers funktion.
Overvej egenskaben af den eksponentielle funktion
.
Derefter
.
Lad os anvende egenskaben for eksponentialfunktionen
:
.
Lad os bevise basiserstatningsformlen.
;
.
Hvis vi antager c = b, har vi:
Omvendt funktion
Det omvendte af en logaritme til basis a er en eksponentiel funktion med eksponent a.
Hvis så
Hvis så
Afledt af logaritme
Afledt af logaritmen af modul x:
.
Afledt af n. orden:
.
Udledning af formler > > >
For at finde den afledede af en logaritme skal den reduceres til grundtallet e.
;
.
Integral
Integralet af logaritmen beregnes ved at integrere med dele: .
Så,
Udtryk ved hjælp af komplekse tal
Overvej den komplekse talfunktion z:
.
Lad os udtrykke et komplekst tal z via modul r og argumentation φ
:
.
Så ved at bruge logaritmens egenskaber har vi:
.
Eller
Dog argumentet φ
ikke entydigt defineret. Hvis du sætter
, hvor n er et heltal,
så vil det være det samme tal for forskellige n.
Derfor er logaritmen, som funktion af en kompleks variabel, ikke en funktion med en enkelt værdi.
Udvidelse af Power-serien
Når udvidelsen finder sted:
Referencer:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbog i matematik for ingeniører og universitetsstuderende, "Lan", 2009.
Algebra lektion i 10. klasse
Emne: "Logaritmisk funktion, dens egenskaber og graf"
Mål:
Pædagogisk: Introducer begrebet en logaritmisk funktion ved hjælp af tidligere erfaringer, giv en definition. Undersøg de grundlæggende egenskaber ved den logaritmiske funktion. Udvikle evnen til at konstruere en graf over en logaritmisk funktion.
Udviklingsmæssigt: Udvikle evnen til at fremhæve det vigtigste, sammenligne, generalisere. At danne en grafisk kultur blandt eleverne.
Uddannelsesmæssigt: Vis sammenhængen mellem matematik og den omgivende virkelighed. Udvikle kommunikationsevner, dialog og evnen til at arbejde i et team.
Lektionstype: Kombineret
Undervisningsmetoder: Delvis søgning, interaktiv.
Under timerne.
1. Opdatering af tidligere erfaringer:
Studerende tilbydes mundtlige øvelser ved hjælp af definitionen af logaritmen, dens egenskaber, formler til at flytte til en ny base, løsning af de enkleste logaritmiske og eksponentielle ligninger, eksempler på at finde rækken af acceptable værdier for logaritmiske udtryk
Mundtlige øvelserMundtligt arbejde.
1) Beregn ved hjælp af definitionen af logaritme: log 2 8; log 4 16;.
2) Beregn ved hjælp af den grundlæggende logaritmiske identitet:
3) Løs ligningen ved hjælp af definitionen:
4) Find ud af, ved hvilke værdier af x udtrykket giver mening:
5) Find værdien af udtrykket ved hjælp af egenskaberne for logaritmer:
2. Studer emnet. Eleverne bliver bedt om at løse eksponentialligninger: 2 x =y; () x = y. ved at udtrykke variablen x i form af variablen y. Som et resultat af dette arbejde opnås formler, der definerer funktioner, som eleverne ikke kender. ,. Spørgsmål : "Hvad vil du kalde denne funktion?" elever siger, at det er logaritmisk, da variablen er under logaritmetegnet:.
Spørgsmål . Definer en funktion. Definition: En funktion givet af formlen y=log -en x kaldes logaritmisk med basis a (a>0, a 1)
III. Funktionsstudie y=log -en x
For nylig introducerede vi begrebet logaritmen af et positivt tal til en positiv og ikke-1 base a. For ethvert positivt tal kan du finde logaritmen til en given base. Men så bør du tænke på en funktion af formen y=logøkse, og om dens grafik og egenskaber.Funktionen givet af formlen y=log -en x kaldes logaritmisk med basis a (a>0, a 1)
Grundlæggende egenskaber for den logaritmiske funktion:
1. Definitionsdomænet for den logaritmiske funktion vil være hele sættet af positive reelle tal. For kortheds skyld kaldes det ogsåR+. En indlysende egenskab, da hvert positivt tal har en logaritme til at basere a.D(f)=R+
2. Den logaritmiske funktions rækkevidde vil være hele sættet af reelle tal.E(f)= (-∞; +∞)
3 . Grafen for en logaritmisk funktion går altid gennem punktet (1;0).
4 . Llogaritmisk funktion af aldernej når a>1, og falder ved 0<х<1.
5 . Funktionen er ikke lige eller ulige. Logaritmisk funktion - en generel funktionEN.
6 . Funktionen har ingen maksimum- eller minimumpoint, er kontinuerlig i definitionsdomænet.
Følgende figur viser en graf af en aftagende logaritmisk funktion - (0
Hvis du konstruerer eksponentielle og logaritmiske funktioner med de samme baser i den samme koordinatakse, så vil graferne for disse funktioner være symmetriske i forhold til den rette linje y = x. Denne erklæring er vist i den følgende figur.
Ovenstående udsagn vil være sandt for både stigende og faldende logaritmiske og eksponentielle funktioner.
Overvej et eksempel: find definitionsdomænet for den logaritmiske funktion f(x) = log 8 (4 - 5x).
Baseret på egenskaberne for den logaritmiske funktion er definitionsdomænet hele sættet af positive reelle tal R+. Så vil den givne funktion blive defineret for sådanne x, for hvilke 4 - 5x>0. Vi løser denne ulighed og får x<0.8. Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log 8 (4 - 5*x) vil være intervallet (-∞;0,8)
Grafer over en logaritmisk funktion i GeoGebra
Logaritmiske funktionsgrafer
1) naturlig logaritme y = ln (x)
2) decimallogaritme y = log(x)
3) grundtal 2 logaritme y = ld (x)
V. Forstærkning af emnet
Ved at bruge de opnåede egenskaber for den logaritmiske funktion løser vi følgende problemer:
1. Find funktionens domæne: y=log 8 (4-5x); y=log 0,5 (2x+8);
3. Konstruer skematisk grafer af funktioner: y=log 2 (x+2) -3 y= log 2 (x) +2
Ministeriet for undervisning og ungdomspolitik i Chuvash-republikken
Statslig selvstændig professionel
uddannelsesinstitution i Chuvash-republikken
"Cheboksary College of Transport and Construction Technologies"
(GAPOU "Cheboksary Technical School TransStroyTech"
Undervisningsministeriet i Chuvashia)
Metodisk udvikling
ODP. 01 Matematik
"Logaritmisk funktion. Ejendomme og tidsplan"
Cheboksary - 2016
Forklarende note……………………………………………………… .......... ……………………………………………………….….…3
Teoretisk begrundelse og metodisk implementering…………….…................................4-10
Konklusion……………………………………………………………………………………………………… .........................………....elleve
Ansøgninger……………………………………………………………………………………………………………… ......................................................................13
Forklarende note
Metodisk udvikling af et lektionsmodul i disciplinen "Matematik" om emnet "Logaritmisk funktion. Egenskaber og graf" fra afsnittet "Rødder, potenser og logaritmer" er udarbejdet på baggrund af Arbejdsprogrammet i Matematik og den kalendertematiske plan. Lektionens emner er indbyrdes forbundet af indhold og hovedbestemmelser.
Formålet med at studere dette emne er at lære begrebet en logaritmisk funktion, studere dens grundlæggende egenskaber, lære at bygge en graf af en logaritmisk funktion og lære at se en logaritmisk spiral i verden omkring os.
Programmaterialet til denne lektion er baseret på viden om matematik. Den metodiske udvikling af lektionsmodulet blev samlet til afholdelse af teoretiske klasser om emnet: "Logaritmisk funktion. Egenskaber og tidsplan" -1 time. I løbet af den praktiske lektion konsoliderer eleverne deres erhvervede viden: definitioner af funktioner, deres egenskaber og grafer, transformationer af grafer, kontinuerte og periodiske funktioner, inverse funktioner og deres grafer, logaritmiske funktioner.
Metodeudviklingen har til formål at yde metodisk bistand til eleverne, når de studerer lektionsmodulet om emnet ”Logaritmisk funktion. Egenskaber og tidsplan". Som selvstændigt fritidsarbejde kan eleverne ved hjælp af yderligere kilder udarbejde et budskab om emnet "Logaritmer og deres anvendelse i natur og teknologi", krydsord og gåder. Den pædagogiske viden og faglige kompetencer erhvervet under studiet af emnet "Logaritmiske funktioner, deres egenskaber og grafer" vil blive anvendt i studiet af følgende afsnit: "Ligninger og uligheder" og "Principper for matematisk analyse".
Lektionens didaktiske struktur:
Emne:« Logaritmisk funktion. Egenskaber og graf »
Type aktivitet: Kombineret.
Lektionens mål:
Pædagogisk- dannelse af viden til at mestre begrebet en logaritmisk funktion, egenskaber for en logaritmisk funktion; bruge grafer til at løse problemer.
Udviklingsmæssige- udvikling af mentale operationer gennem konkretisering, udvikling af visuel hukommelse, behov for selvuddannelse, for at fremme udviklingen af kognitive processer.
Pædagogisk- fremme kognitiv aktivitet, ansvarsfølelse, respekt for hinanden, gensidig forståelse, selvtillid; fremme af en kommunikationskultur; fremme en bevidst holdning og interesse for at lære.
Uddannelsesmidler:
Metodisk udvikling om emnet;
Personlig computer;
Lærebog af Sh.A Alimov “Algebra and the beginnings of analysis” klasse 10-11. Forlag "Prosveshcheniye".
Intrafagforbindelser: eksponentiel funktion og logaritmisk funktion.
Tværfaglige forbindelser: algebra og matematisk analyse.
Studerendeskal vide:
definition af logaritmisk funktion;
egenskaber ved den logaritmiske funktion;
graf for en logaritmisk funktion.
Studerendeskal kunne:
udføre transformationer af udtryk indeholdende logaritmer;
find logaritmen af et tal, anvende logaritmers egenskaber, når du tager logaritmer;
bestemme positionen af et punkt på grafen ved dets koordinater og omvendt;
anvende egenskaberne for en logaritmisk funktion ved konstruktion af grafer;
Udfør graftransformationer.
Lektionsplan
1. Organisatorisk øjeblik (1 min).
2. Fastsættelse af mål og mål for lektionen. Motivation for elevernes læringsaktiviteter (1 min).
3. Stadium for opdatering af grundlæggende viden og færdigheder (3 min).
4. Kontrol af lektier (2 min).
5. Fase for assimilering af ny viden (10 min).
6. Stadium for konsolidering af ny viden (15 min.).
7. Overvågning af det lærte materiale i lektionen (10 min).
8. Opsummering (2 min).
9. Stadium med at informere eleverne om lektier (1 min).
Under undervisningen:
1. Organisatorisk øjeblik.
Inkluderer at læreren hilser på klassen, forbereder lokalet til lektionen og kontrollerer fravær.
2. Opstilling af mål og mål for lektionen.
I dag vil vi tale om begrebet en logaritmisk funktion, tegne en graf af funktionen og studere dens egenskaber.
3. Stadiet med opdatering af grundlæggende viden og færdigheder.
Det udføres i form af frontalt arbejde med klassen.
Hvad var den sidste funktion, vi undersøgte? Tegn skematisk på tavlen.
Giv definitionen af en eksponentiel funktion.
Hvad er roden til en eksponentiel ligning?
Definere logaritme?
Hvad er egenskaberne ved logaritmer?
Hvad er den vigtigste logaritmiske identitet?
4. Kontrol af lektier.
Eleverne åbner deres notesbøger og viser de løste øvelser. Stil spørgsmål, der opstod, mens du lavede lektier.
5. Fase for assimilering af ny viden.
Lærer: Åbn dine notesbøger, skriv ned dagens dato og emnet for lektionen "Logaritmisk funktion, dens egenskaber og graf."
Definition: En logaritmisk funktion er en funktion af formen
Hvor er et givet tal,.
Lad os se på at konstruere en graf for denne funktion ved hjælp af et specifikt eksempel.
Lad os bygge grafer over funktioner og .
| |
|
| |
|
Note 1: Den logaritmiske funktion er den inverse af eksponentialfunktionen, hvor 
. Derfor er deres grafer symmetriske i forhold til halveringslinjen af koordinatvinklerne I og III (fig. 1).
Baseret på definitionen af logaritmen og typen af grafer, vil vi identificere egenskaberne for den logaritmiske funktion:
1) Definitionsomfang: , fordi ved definition af logaritmen x>0.
2) Funktionsområde: .
3) Logaritmen af en er lig med nul, logaritmen af basen er lig med en: , .
4) Funktion , øger intervallet (fig. 1).
5) Funktion , formindskelse af intervallet (fig. 1).
6) Intervaller for konstans af tegn:
Hvis , så ved ; kl ;
Hvis , så kl kl ;
Note 2: Grafen for enhver logaritmisk funktion går altid gennem punktet (1; 0).
Sætning: Hvis 
, hvor , så .
6. Stadium for konsolidering af ny viden.
Lærer: Vi løser opgave nr. 318 - nr. 322 (ulige) (§18 Alimov Sh.A. "Algebra og analysens begyndelse" 10-11 klasse).
1) 
fordi funktionen øges.
3), fordi funktionen falder.
1) , fordi og .
3) , fordi og .
1) , fordi , , så .
3) , fordi 10> 1, så .
1) falder
3) stiger.
7. Opsummering.
- I dag gjorde vi et godt stykke arbejde i klassen! Hvad nyt lærte du i klassen i dag?
(Ny type funktion - logaritmisk funktion)
Angiv definitionen af en logaritmisk funktion.
(Funktionen y = logax, (a > 0, a ≠ 1) kaldes en logaritmisk funktion)
Godt klaret! Højre! Navngiv egenskaberne for den logaritmiske funktion.
(definitionsdomæne for en funktion, sæt af funktionsværdier, monotoni, fortegnskonstans)
8. Kontrol med det lærte materiale i lektionen.
Lærer: Lad os finde ud af, hvor godt du har mestret emnet "Logaritmisk funktion. Egenskaber og tidsplan". For at gøre dette vil vi skrive en prøveopgave (bilag 1). Arbejdet består af fire opgaver, der skal løses ved hjælp af egenskaberne for den logaritmiske funktion. Du får 10 minutter til at gennemføre testen.
9. Stadiet med at informere eleverne om lektier.
Skrivning på tavlen og i dagbøger: Alimov Sh.A. "Algebra og begyndelse af analyse" klasse 10-11. §18 nr. 318 - nr. 322 (lige)
Konklusion
I løbet af brugen af metodeudviklingen nåede vi alle vores mål og målsætninger. I denne metodologiske udvikling blev alle egenskaberne ved den logaritmiske funktion overvejet, takket være hvilken eleverne lærte at transformere udtryk indeholdende logaritmer og bygge grafer af logaritmiske funktioner. Gennemførelse af praktiske opgaver hjælper med at konsolidere det studerede materiale, og overvågning af test af viden og færdigheder vil hjælpe lærere og elever med at finde ud af, hvor effektivt deres arbejde var i lektionen. Metodeudvikling giver eleverne mulighed for at opnå interessant og lærerig information om emnet, generalisere og systematisere viden, anvende logaritmers og logaritmiske funktioners egenskaber ved løsning af forskellige logaritmiske ligninger og uligheder.
Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V., Fedorova N. E., Shabunin M. I. under videnskabelig vejledning af akademiker Tikhonov A. N. Algebra og begyndelsen af matematisk analyse 10 - 11 grader. - M. Education, 2011.
Nikolsky S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N. et al. Algebra og begyndelsen af matematisk analyse (grundlæggende og profilniveauer). 10 karakterer - M., 2006.
Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Federova N.E. og andre, red. Zhizhchenko A.B. Algebra og begyndelsen af matematisk analyse (grundlæggende og specialiserede niveauer). 10 karakterer - M., 2005.
Lisichkin V. T. Matematik i problemer med løsninger: lærebog / V. T. Lisichkin, I. L. Soloveychik. - 3. udg., slettet. - Sankt Petersborg. [og andre]: Lan, 2011 (Arkhangelsk). - 464 sek.
Internetressourcer:
http://school-collection.edu.ru - Elektronisk lærebog "Matematik i
skole, XXI århundrede."
http://fcior.edu.ru - informations-, trænings- og kontrolmaterialer.
www.school-collection.edu.ru - Ensartet samling af digitale uddannelsesressourcer.
Ansøgninger
Mulighed 1.
Mulighed 2.
Kriterier for evaluering:
Et karakter på "3" (tilfredsstillende) gives for 2 korrekt udfyldte eksempler.
Mærket "4" (god) gives, hvis 3 eksempler er udfyldt korrekt.
Karakteren "5" (fremragende) gives for alle 4 korrekt udfyldte eksempler.