En cirkel indskrevet i bunden af ​​en pyramide. Løsning af geometriske problemer


Pyramide. Korrekt pyramide
Polyeder

Denne videotutorial hjælper brugere med at få en idé om Pyramid-temaet. Korrekt pyramide. I denne lektion vil vi stifte bekendtskab med begrebet en pyramide og give det en definition. Lad os overveje, hvad en almindelig pyramide er, og hvilke egenskaber den har. Så beviser vi sidefladesætningen almindelig pyramide.


I denne lektion vil vi stifte bekendtskab med begrebet en pyramide og give det en definition.

Overvej en polygon A 1 A 2...A n, som ligger i α-planet, og punktet P, som ikke ligger i α-planet (fig. 1). Lad os forbinde prikkerne P med toppe A 1, A 2, A 3, … A n. Vi får n trekanter: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R og så videre.

Definition. Polyeder RA1A2 ...A n, består af n-firkant A 1 A 2...A n Og n trekanter RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 kaldes n-kulpyramide. Ris. 1.

Ris. 1

Overvej en firkantet pyramide PABCD(Fig. 2).

R- toppen af ​​pyramiden.

ABCD- bunden af ​​pyramiden.

RA - side rib.

AB- bund rib.

Fra punkt R lad os slippe vinkelret RN til basisplanet ABCD. Den tegnede vinkelrette er pyramidens højde.

Ris. 2

Fuld overflade Pyramiden består af en lateral overflade, det vil sige arealet af alle sideflader og arealet af basen:

S fuld = S side + S hoved

En pyramide kaldes korrekt, hvis:

  • dens grundlag - regulær polygon;
  • segmentet, der forbinder toppen af ​​pyramiden med midten af ​​basen, er dens højde.

Forklaring ved hjælp af eksemplet med en regulær firkantet pyramide

Overvej en regulær firkantet pyramide PABCD(Fig. 3).

R- toppen af ​​pyramiden. Basen af ​​pyramiden ABCD- en regulær firkant, det vil sige en firkant. Prik OM, diagonalernes skæringspunkt, er kvadratets centrum. Midler, RO er pyramidens højde.

Ris. 3

Forklaring: i den rigtige n I en trekant falder midten af ​​den indskrevne cirkel og midten af ​​den omskårne cirkel sammen. Dette center kaldes polygonens centrum. Nogle gange siger de, at toppunktet er projiceret ind i midten.

Højden af ​​sidefladen af ​​en regulær pyramide trukket fra dens toppunkt kaldes apotem og er udpeget h a.

1. alle sidekanter af en regulær pyramide er lige store;

2. sideflader er kongruente ligebenede trekanter.

Vi vil give et bevis for disse egenskaber ved at bruge eksemplet med en regulær firkantet pyramide.

Givet: PABCD- almindelig firkantet pyramide,

ABCD- firkantet,

RO- pyramidens højde.

Bevise:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Se fig. 4.

Ris. 4

Bevis.

RO- pyramidens højde. Altså lige RO vinkelret på planet ABC, og derfor direkte JSC, VO, SO Og GØR ligger i den. Altså trekanter ROA, ROV, ROS, ROD- rektangulær.

Overvej en firkant ABCD. Af en firkants egenskaber følger det AO = VO = CO = GØR.

Så de rette trekanter ROA, ROV, ROS, ROD ben RO- generelt og ben JSC, VO, SO Og GØR er ens, hvilket betyder, at disse trekanter er ens på to sider. Fra trekanters lighed følger ligheden af ​​segmenter, RA = PB = RS = PD. Punkt 1 er bevist.

Segmenter AB Og Sol er ens, fordi de er sider af samme firkant, RA = PB = RS. Altså trekanter AVR Og VSR - ligebenet og lige på tre sider.

På lignende måde finder vi, at trekanter ABP, VCP, CDP, DAP er ligebenede og lige, som det kræves bevist i stk.

Arealet af den laterale overflade af en regulær pyramide er lig med halvdelen af ​​produktet af omkredsen af ​​basen og apotemet:

For at bevise dette, lad os vælge en almindelig trekantet pyramide.

Givet: RAVS- almindelig trekantet pyramide.

AB = BC = AC.

RO- højde.

Bevise: . Se fig. 5.

Ris. 5

Bevis.

RAVS- almindelig trekantet pyramide. Det er AB= AC = BC. Lade OM- midten af ​​trekanten ABC, Derefter RO er pyramidens højde. I bunden af ​​pyramiden ligger ligesidet trekant ABC. Læg mærke til det .

Trekanter RAV, RVS, RSA- lige ligebenede trekanter(efter ejendom). En trekantet pyramide har tre sideflader: RAV, RVS, RSA. Dette betyder, at arealet af pyramidens laterale overflade er:

S side = 3S RAW

Sætningen er blevet bevist.

Radius af en cirkel indskrevet i bunden af ​​en regulær firkantet pyramide er 3 m, pyramidens højde er 4 m. Find arealet af pyramidens sideflade.

Givet: regulær firkantet pyramide ABCD,

ABCD- firkantet,

r= 3 m,

RO- pyramidens højde,

RO= 4 m.

Find: S side. Se fig. 6.

Ris. 6

Løsning.

Ifølge det beviste teorem, .

Lad os først finde siden af ​​basen AB. Vi ved, at radius af en cirkel indskrevet i bunden af ​​en regulær firkantet pyramide er 3 m.

Så m.

Find kvadratets omkreds ABCD med en side på 6 m:

Overvej en trekant BCD. Lade M- midt på siden DC. Fordi OM- midten BD, At (m).

Trekant DPC- ligebenet. M- midten DC. Det er, RM- median, og derfor højden i trekanten DPC. Derefter RM- apotem af pyramiden.

RO- pyramidens højde. Så lige RO vinkelret på planet ABC, og derfor direkte OM, liggende i den. Lad os finde apotemet RM fra retvinklet trekant Rom.

Nu kan vi finde lateral overflade pyramider:

Svar: 60 m2.

Radius af cirklen, der er afgrænset omkring bunden af ​​en regulær trekantet pyramide, er lig med m. Det laterale overfladeareal er 18 m 2. Find apotemets længde.

Givet: ABCP- almindelig trekantet pyramide,

AB = BC = SA,

R= m,

S side = 18 m2.

Find: . Se fig. 7.

Ris. 7

Løsning.

I en retvinklet trekant ABC Radius af den omskrevne cirkel er givet. Lad os finde en side AB denne trekant ved hjælp af sinusloven.

Når vi kender siden af ​​en regulær trekant (m), finder vi dens omkreds.

Ved sætningen om det laterale overfladeareal af en regulær pyramide , Hvor h a- apotem af pyramiden. Derefter:

Svar: 4 m.

Så vi så på, hvad en pyramide er, hvad en regulær pyramide er, og vi beviste sætningen om sidefladen af ​​en regulær pyramide. I den næste lektion vil vi stifte bekendtskab med den afkortede pyramide.

Bibliografi

  1. Geometri. 10-11 klassetrin: lærebog for elever uddannelsesinstitutioner(grundlæggende og profilniveauer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. udg., rev. og yderligere - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
  2. Geometri. 10-11 klasse: Lærebog for almen dannelse uddannelsesinstitutioner/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
  3. Geometri. 10. klasse: Lærebog for almene uddannelsesinstitutioner med uddybning og specialiseret studie matematik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. udg., stereotype. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: ill.
  1. Internetportal "Yaklass" ()
  2. Internetportal "Festival pædagogiske ideer"Første september" ()
  3. Internetportal "Slideshare.net" ()

Lektier

  1. Kan en regulær polygon være bunden af ​​en uregelmæssig pyramide?
  2. Bevis, at usammenhængende kanter af en regulær pyramide er vinkelrette.
  3. Find værdien dihedral vinkel ved siden af ​​bunden af ​​en regulær firkantet pyramide, hvis pyramidens apotem er lig med siden af ​​dens base.
  4. RAVS- almindelig trekantet pyramide. Byg lineær vinkel dihedral vinkel ved bunden af ​​pyramiden.

Chudaeva E.V., kommunal uddannelsesinstitution "Insarskaya Secondary School No. 1", Insar, Republikken Mordovia

LØSNING AF GEOMETRISKE PROBLEMER

(Ved Unified State Exam materialer)

Opgave nr. 1

Opgave nr. 2

Opgave nr. 3

Opgave nr. 4. Beregn rumfanget af en regulær trekantet pyramide, hvis grundside er 6, og hvis apotem er lig med

.

Problem #5. Beregn rumfanget af en regulær trekantet pyramide, hvis radius af cirklen indskrevet ved bunden er 2, og højden af ​​den regulære pyramide er

.

Problem #6. Beregn det laterale overfladeareal af en regulær firkantet pyramide, hvis dens kanter er 5 og radius af cirklen omkranset omkring bunden er 3

.

Opgave nr. 7

Opgave nr. 8

Opgave nr. 9. Til højre sekskantet pyramide siden af ​​basen er 2 og sidekanten er 2

. Find pyramidens rumfang.

Opgave nr. 10R opfylder ligningen R 2 + R – 6 = 0. Find prismets rumfang.

Opgave nr. 11. Tæt på den rigtige trekantet prisme cylinderen er beskrevet. Afstanden mellem cylinderaksen og siden af ​​prismebunden er lig med

. Højden af ​​en cylinder er lig med tre af dens radier. Find rumfanget af prismet.

Opgave nr. 12

Opgave nr. 13

Opgave nr. 14. En cylinder er indskrevet i et regulært firkantet prisme. Cylinderens volumen er 16

, og radius af cirklen omskrevet omkring prismets basis er lig med

. Find prismets diagonal.

Opgave nr. 15. En cylinder er indskrevet i et regulært sekskantet prisme. Find prismets højde, hvis dets areal er 54 og cylinderens radius er 3.


Opgave nr. 16. Tæt på den rigtige sekskantet prisme cylinderen er beskrevet. Cylinderens rumfang er 16 , cylinderens højde er 4. Find prismets rumfang.

Opgave nr. 17. En cylinder er beskrevet omkring et regulært sekskantet prisme. Cylinderens volumen er 10 . Find rumfanget af en cylinder indskrevet i det samme prisme.

LØSNING AF GEOMETRISKE PROBLEMER

(baseret på Unified State Exam-materialer)

Opgave nr. 1 . Beregn rumfanget af en regulær trekantet pyramide, hvis radius af cirklen omkranset omkring basen er lig med , og pyramidens højde er lig med 4.

R afgørelse.


.

1) find siden af ​​bunden af ​​en regulær pyramide ved hjælp af formlen

,

.

2) find arealet af basen som arealet af en regulær trekant

,

.

3) beregn pyramidens rumfang


.

Svar. 9

Opgave nr. 2 . Beregn rumfanget af en regulær trekantet pyramide, hvis radius af cirklen indskrevet ved bunden er lig med , og pyramidens sidekanter er lig med 6.

Løsning.

1) radius af cirklen indskrevet i en regulær trekant er 2 gange mindre end radius af cirklen omskrevet om denne trekant, dvs.

, Derefter

.



.



.

4) fra en retvinklet trekant

Ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi højden af ​​pyramiden:

, .

5) beregn pyramidens rumfang


.

Svar. 18.

Opgave nr. 3 . Beregn det laterale overfladeareal af en regulær trekantet pyramide, hvis radius af cirklen, der er omskrevet nær basen, er lig med , og pyramidens højde er lig med 1.

R afgørelse.


1) find siden af ​​bunden af ​​en regulær pyramide ved hjælp af formlen , .

2) find omkredsen af ​​basen P = 3· EN,

P = 9.

3) radius af cirklen indskrevet i en regulær trekant er 2 gange mindre end radius af cirklen omskrevet om denne trekant, dvs. , Derefter

.

4) fra en retvinklet trekantMPA HR :

,

HR =

5) beregn arealet af den laterale overflade af en almindelig pyramide:

,

.

Svar.

.

Opgave nr. 4 . Beregn rumfanget af en regulær trekantet pyramide, hvis grundside er 6, og hvis apotem er 6.

Løsning. ,

1) find radius af cirklerne beskrevet nær basen og indskrevet i basen: ,

det er

.

2) find arealet af basen som arealet af en regulær trekant,

.

MPA Ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi højden:

, MO =

.



.

Svar. 18.

Problem #5 . Beregn rumfanget af en regulær trekantet pyramide, hvis radius af cirklen indskrevet ved bunden er 2 og højden af ​​den regulære pyramide er .

Løsning.

1) radius af cirklen indskrevet i en regulær trekant er 2 gange mindre end radius af cirklen omskrevet om denne trekant, dvs. , Derefter

.

2) find siden af ​​bunden af ​​en regulær pyramide ved hjælp af formlen,

.

3) find arealet af basen som arealet af en regulær trekant,

.

4) beregn rumfanget af en regulær pyramide: =

.

Svar. 36.

Problem #6 . Beregn det laterale overfladeareal af en regulær firkantet pyramide, hvis dens kanter er 5 og radius af cirklen omkranset omkring bunden er 3.

R afgørelse .

1) find siden af ​​basen ved hjælp af formlen

, dvs.

.

2) find omkredsen af ​​basen: R = 4EN,

P = 24.

3) fra en retvinklet trekantM DR Ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi apotemetHR :

, D.P. =

Derefter: HR =

.

4) beregn arealet af pyramidens sideflade: =

.

Svar. 48.

Opgave nr. 7 . Til højre firkantet pyramide Sidefladearealet er 16 og grundfladen er 4. Find pyramidens højde.


Løsning.

1) find siden af ​​basen: da bunden af ​​pyramiden er en firkant med et areal lig med 4, så er siden af ​​firkanten 2, og dens omkreds er 8.

2) efter betingelse = 16 dvs.


.

3) fra en retvinklet trekantMPA Ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi højden: under hensyntagen til, at OP = = 1, får vi: MO =

.

Svar.

.



Opgave nr. 8. Beregn rumfanget af en regulær sekskantet pyramide, hvis siden af ​​basen er 4 og pyramidens sidekanter er 5.

Løsning.

1) siden af ​​bunden af ​​en regulær sekskant er lig med radius af cirklen, der er omskrevet omkring den, dvs.

,

2) find arealet af en regulær sekskant ved hjælp af formlen

eller

= 24.

3) fra en retvinklet trekantMOU lad os finde højden MO : .

4) beregn pyramidens rumfang: =

.

Svar. 24.

Opgave nr. 9 . I en regulær sekskantet pyramide er grundsiden 2 og sidekanten 2. Find pyramidens rumfang.


Løsning.

1) find arealet af en regulær sekskant ved hjælp af formlen eller = 12.

2) fra en retvinklet trekantMOU lad os finde højden MO, overvejer det i regulær sekskant : .

3) beregn pyramidens rumfang: =

.

Svar: 24.

Opgave nr. 10 . En cylinder er beskrevet omkring et regulært trekantet prisme. Højden af ​​cylinderen er 5, og radius af dens base erRopfylder ligningenR 2 + R – 6 = 0. Find prismets rumfang.

R afgørelse. V = S · H

1) da prismet er indskrevet i cylinderen, er prismets højde lig med cylinderens højde, og prismets bund er indskrevet i cylinderbunden, N = 5.

2) efter tilstand R opfylder ligningen R 2 + R – 6 = 0, løser som vi finder

R 1 = - 3, R 2 = 2, da radius er en positiv værdi, så opfylder -3 ikke betingelserne for problemet.

3) find siden af ​​den indskrevne regulære trekant ved hjælp af formlen

,

.

4) find arealet af basen korrekt prisme, som arealet af en regulær trekant:

=


5) beregn rumfanget af prismet:V = S · H =

.

Svar. 15.

Opgave nr. 11 . En cylinder er beskrevet omkring et regulært trekantet prisme. Afstanden mellem cylinderens akse og siden af ​​prismets bund er lig med . Højden af ​​en cylinder er lig med tre af dens radier. Find rumfanget af prismet.


Løsning. V = S · H

1) Da prismet er indskrevet i cylinderen, er prismets højde lig med cylinderens højde, og prismets bund er indskrevet i cylinderbunden, alt efter tilstanden N = 3 R..

2) Afstanden mellem cylinderens akse og siden af ​​prismets basis er lig med radius af den indskrevne trekantABC cirkler, dvs.

, og ved betingelse er lig med .

3) radius af cirklen indskrevet i en regulær trekant er 2 gange mindre end radius af cirklen omskrevet om denne trekant, dvs. , Derefter .

4) find siden af ​​den indskrevne regulære trekant ved hjælp af formlen,

.

5) find arealet af bunden af ​​et regulært prisme, som arealet af en regulær trekant: =

6) beregn rumfanget af prismet:V = S · H = S· 3 · R =

162.

Svar. 162.

Opgave nr. 12. En cylinder er beskrevet omkring et regulært trekantet prisme. Cylinderens laterale overfladeareal er 16 . Find rumfanget af prismet, hvis siden af ​​dets base er 5.

Løsning. V = S · H

2) Find arealet af bunden af ​​et regulært prisme som arealet af en regulær trekant: =

.

3) Siden af ​​en indskrevet regulær trekant findes ved formlen, så

.

4) Ifølge betingelsen er arealet af cylinderens sideflade 16· de der.

, hvorN =

=

.

5) Beregn rumfanget af prismet:V = S · H = · = 30.

Svar. tredive.

Opgave nr. 13. Tæt på den rigtige firkantet prisme Der beskrives en cylinder, hvis laterale overfladeareal er 20. Find prismets laterale overfladeareal.

Løsning.

1) Da prismet er indskrevet i cylinderen, er prismets højde lig med cylinderens højde, og prismets bund er indskrevet i cylinderbunden.

2) Ifølge betingelsen er arealet af cylinderens laterale overflade 20, dvs.

,

.

3) da prismet er regulært, så ligger ved dets basis en firkant med en side

, så er basens omkreds lig med

.

4) beregn arealet af prismets sideflade = ., dvs. – 36 a ·

.

Svar. 7.5  .

Chudaeva E.V., kommunal uddannelsesinstitution "Insarskaya Secondary School No. 1", Insar, Republikken Mordovia

LØSNING AF GEOMETRISKE PROBLEMER

(baseret på Unified State Exam-materialer)

Opgave nr. 1

Opgave nr. 2

Opgave nr. 3

Opgave nr. 4

Problem #5

Problem #6

Opgave nr. 7

Opgave nr. 8

Opgave nr. 9

Opgave nr. 10R opfylder ligningen R 2 + R – 6 = 0. Find prismets rumfang.

Opgave nr. 11

Opgave nr. 12

Opgave nr. 13

Opgave nr. 14. En cylinder er indskrevet i et regulært firkantet prisme. Rumfanget af cylinderen er 16, og radius af cirklen omkranset omkring bunden af ​​prismet er . Find prismets diagonal.

Opgave nr. 15. En cylinder er indskrevet i et regulært sekskantet prisme. Find prismets højde, hvis dets areal er 54 og cylinderens radius er 3.


Opgave nr. 16. En cylinder er beskrevet omkring et regulært sekskantet prisme. Cylinderens rumfang er 16 , cylinderens højde er 4. Find prismets rumfang.

Opgave nr. 17. En cylinder er beskrevet omkring et regulært sekskantet prisme. Cylinderens volumen er 10 . Find rumfanget af en cylinder indskrevet i det samme prisme.

LØSNING AF GEOMETRISKE PROBLEMER

(baseret på Unified State Exam-materialer)

Opgave nr. 1 . Beregn rumfanget af en regulær trekantet pyramide, hvis radius af cirklen omkranset omkring basen er lig med , og pyramidens højde er lig med 4.

Løsning.

3) beregn pyramidens rumfang

Svar. 9

Opgave nr. 2 . Beregn rumfanget af en regulær trekantet pyramide, hvis radius af cirklen indskrevet ved bunden er lig med , og pyramidens sidekanter er lig med 6.

Løsning.

4) fra en retvinklet trekant ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi højden af ​​pyramiden: , .

5) beregn pyramidens rumfang

Svar. 18.

Opgave nr. 3 . Beregn det laterale overfladeareal af en regulær trekantet pyramide, hvis radius af cirklen, der er omskrevet nær basen, er lig med , og pyramidens højde er lig med 1.

Løsning.

1) find siden af ​​bunden af ​​en regulær pyramide ved hjælp af formlen , .

2) find omkredsen af ​​basen P = 3· EN,

P = 9.

4) fra en retvinklet trekantMPA HR : ,

HR =

5) beregn arealet af den laterale overflade af en almindelig pyramide:

Svar. .

Opgave nr. 4 . Beregn rumfanget af en regulær trekantet pyramide, hvis grundside er 6, og hvis apotem er 6.

Løsning. ,

1) find radius af cirklerne beskrevet nær basen og indskrevet i basen: , altså .

2) find arealet af basen som arealet af en regulær trekant, .

MPA Ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi højden: , MO = .

Svar. 18.

Problem #5 . Beregn rumfanget af en regulær trekantet pyramide, hvis radius af cirklen indskrevet ved bunden er 2 og højden af ​​den regulære pyramide er .

Løsning.

1) radius af cirklen indskrevet i en regulær trekant er 2 gange mindre end radius af cirklen omskrevet om denne trekant, dvs. , Derefter .

2) find siden af ​​bunden af ​​en regulær pyramide ved hjælp af formlen , .

3) find arealet af basen som arealet af en regulær trekant, .

4) beregn rumfanget af en regulær pyramide: = .

Svar. 36.

Problem #6 . Beregn det laterale overfladeareal af en regulær firkantet pyramide, hvis dens kanter er 5 og radius af cirklen omkranset omkring bunden er 3.

Løsning .

1) find siden af ​​grundfladen ved hjælp af formlen, dvs. .

2) find omkredsen af ​​basen: R = 4EN,

P = 24.

3) fra en retvinklet trekantM DR Ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi apotemetHR : , D.P. =

Derefter: HR = .

4) beregn arealet af pyramidens sideflade: = .

Svar. 48.

Opgave nr. 7 . I en regulær firkantet pyramide er sidefladearealet 16 og grundfladen 4. Find pyramidens højde.

Løsning.

1) find siden af ​​basen: da bunden af ​​pyramiden er en firkant med et areal lig med 4, så er siden af ​​firkanten 2, og dens omkreds er 8.

2) efter betingelse = 16 dvs.

3) fra en retvinklet trekantMPA Ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi højden:, under hensyntagen til, at OR = = 1, får vi: MO =.

Svar. .



Opgave nr. 8. Beregn rumfanget af en regulær sekskantet pyramide, hvis siden af ​​basen er 4 og pyramidens sidekanter er 5.

Løsning.

1) siden af ​​bunden af ​​en regulær sekskant er lig med radius af cirklen, der er omskrevet omkring den, dvs. ,

2) find arealet af en regulær sekskant ved hjælp af formlen eller = 24.

3) fra en retvinklet trekantMOU lad os finde højden MO : .

4) beregn pyramidens rumfang: =.

Svar. 24.

Opgave nr. 9 . I en regulær sekskantet pyramide er grundsiden 2 og sidekanten 2. Find pyramidens rumfang.

Løsning.

1) find arealet af en regulær sekskant ved hjælp af formlen eller = 12.

2) fra en retvinklet trekantMOU lad os finde højden MO, givet, at i en regulær sekskant:.

3) beregn pyramidens rumfang: =.

Svar: 24.

Opgave nr. 10 . En cylinder er beskrevet omkring et regulært trekantet prisme. Højden af ​​cylinderen er 5, og radius af dens base erRopfylder ligningenR 2 + R – 6 = 0. Find prismets rumfang.

Løsning. V = S · H

1) da prismet er indskrevet i cylinderen, er prismets højde lig med cylinderens højde, og prismets bund er indskrevet i cylinderbunden, N = 5.

2) efter tilstand R opfylder ligningen R 2 + R – 6 = 0, løser som vi finder

R 1 = - 3, R 2 = 2, da radius er en positiv værdi, så opfylder -3 ikke betingelserne for problemet.

3) find siden af ​​den indskrevne regulære trekant ved hjælp af formlen , .

4) find arealet af bunden af ​​et regulært prisme, som arealet af en regulær trekant: =
5) beregn rumfanget af prismet:V = S · H = .

Svar. 15.

Opgave nr. 11 . En cylinder er beskrevet omkring et regulært trekantet prisme. Afstanden mellem cylinderens akse og siden af ​​prismets bund er lig med . Højden af ​​en cylinder er lig med tre af dens radier. Find rumfanget af prismet.

Løsning. V = S · H

1) Da prismet er indskrevet i cylinderen, er prismets højde lig med cylinderens højde, og prismets bund er indskrevet i cylinderbunden, alt efter tilstanden N = 3 R..

2) Afstanden mellem cylinderens akse og siden af ​​prismets basis er lig med radius af den indskrevne trekantABC cirkler, dvs. , og ved betingelse er lig med .

3) radius af cirklen indskrevet i en regulær trekant er 2 gange mindre end radius af cirklen omskrevet om denne trekant, dvs. , Derefter .

4) find siden af ​​den indskrevne regulære trekant ved hjælp af formlen , .

5) find arealet af bunden af ​​et regulært prisme, som arealet af en regulær trekant: =

6) beregn rumfanget af prismet:V = S · H = S· 3 · R = 162.

Svar. 162.

Opgave nr. 12. En cylinder er beskrevet omkring et regulært trekantet prisme. Cylinderens laterale overfladeareal er 16 . Find rumfanget af prismet, hvis siden af ​​dets base er 5.

Løsning. V = S · H

2) Find arealet af bunden af ​​et regulært prisme, som arealet af en regulær trekant: =.

3) Siden af ​​en indskrevet regulær trekant findes af formlen, så .

4) Ifølge betingelsen er arealet af cylinderens sideflade 16· dvs hvor fra N = = .

5) Beregn rumfanget af prismet:V = S · H = · = 30.

Svar. tredive.

Opgave nr. 13. En cylinder er beskrevet omkring et regulært firkantet prisme, hvis laterale overfladeareal er 20. Find prismets laterale overfladeareal.

Løsning.

1) Da prismet er indskrevet i cylinderen, er prismets højde lig med cylinderens højde, og prismets bund er indskrevet i cylinderbunden.

2) Ifølge betingelsen er arealet af cylinderens laterale overflade 20, dvs. , .

3) da prismet er regulært, så ved dets basis ligger en firkant med side , så er omkredsen af ​​basen lig med .

4) beregn arealet af prismets sideflade = ., og cylinderens radius er 3. , cylinderens højde er 4. Find prismets rumfang. .

5) nedskriv formlen til beregning af volumenet af en cylinder indskrevet i et prisme:V = S · H, de der.:

V = = ·.

Svar. 7.5  .