Hvad er sidefladen af ​​prismet? Prisme lateral overfladeareal

Definition. Prisme er et polyeder, hvis toppunkter er placeret i to parallelle planer, og i disse samme to planer ligger to flader af prismet, som er lige store polygoner med tilsvarende parallelle sider, og alle kanter, der ikke ligger i disse planer, er parallelle.

To lige store ansigter kaldes prisme baser(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Alle andre flader af prismet kaldes sideflader(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Alle sideflader dannes lateral overflade af prismet .

Alle sideflader af prismet er parallellogrammer .

De kanter, der ikke ligger ved bunden, kaldes prismets sidekanter ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisme diagonal er et segment, hvis ender er to hjørner af et prisme, der ikke ligger på samme flade (AD 1).

Længden af ​​det segment, der forbinder prismets baser og vinkelret på begge baser på samme tid, kaldes prisme højde .

Betegnelse:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Først, i tværgående rækkefølge, er spidserne af en base angivet, og derefter, i samme rækkefølge, spidserne af en anden; enderne af hver sidekant er betegnet med de samme bogstaver, kun de spidser, der ligger i den ene base, er angivet med bogstaver uden indeks, og i den anden - med indeks)

Prismets navn er forbundet med antallet af vinkler i figuren, der ligger ved dens base, for eksempel er der i figur 1 en femkant ved basen, så prismet kaldes femkantet prisme. Men fordi sådan et prisme har 7 flader, så er det heptahedron(2 flader - prismets baser, 5 flader - parallelogrammer, - dets sideflader)

Blandt lige prismer skiller en bestemt type sig ud: almindelige prismer.

Et lige prisme kaldes korrekt, hvis dens baser er regulære polygoner.

Parallelepiped

Rektangulær parallelepipedum- et ret parallelepipedum, hvis basis er et rektangel.

Egenskaber og teoremer:

,

hvor d er kvadratets diagonal;
a er siden af ​​firkanten.

En idé om et prisme er givet af:

• forskellige arkitektoniske strukturer;
• Legetøj til børn;
• emballage kasser;
• designerartikler mv.

Arealet af prismets samlede og laterale overflade

S fuld = S side + 2S hoved,

Hvor S fuld- samlet overfladeareal, S side- lateral overfladeareal, S base- basisareal

Det laterale overfladeareal af et lige prisme er lig med produktet af basens omkreds og prismets højde.

S side= P grundlæggende * h,

Hvor S side-arealet af sidefladen af ​​et lige prisme,

P main - omkredsen af ​​bunden af ​​et lige prisme,

h er højden af ​​det lige prisme, lig med sidekanten.

Prisme volumen

Rumfanget af et prisme er lig med produktet af arealet af basen og højden.

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig med unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Hvis det er nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, i retssager og/eller på grundlag af offentlige anmodninger eller anmodninger fra statslige myndigheder i Den Russiske Føderations område - om at videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Prismets laterale overfladeareal. Hej! I denne publikation vil vi analysere en gruppe problemer inden for stereometri. Lad os overveje en kombination af kroppe - et prisme og en cylinder. I øjeblikket fuldender denne artikel hele serien af ​​artikler relateret til overvejelse af typer opgaver i stereometri.

Hvis der dukker nye op i opgavebanken, så kommer der selvfølgelig tilføjelser til bloggen i fremtiden. Men det, der allerede er der, er nok til, at du lærer at løse alle problemerne med en kort besvarelse som en del af eksamen. Der vil være materiale nok i de kommende år (matematikprogrammet er statisk).

De præsenterede opgaver involverer beregning af arealet af et prisme. Jeg bemærker, at vi nedenfor betragter et lige prisme (og følgelig en lige cylinder).

Uden at kende nogen formler forstår vi, at sidefladen af ​​et prisme er alle dets sideflader. Et lige prisme har rektangulære sideflader.

Arealet af den laterale overflade af et sådant prisme er lig med summen af ​​arealerne af alle dets laterale flader (det vil sige rektangler). Hvis vi taler om et regulært prisme, hvori en cylinder er indskrevet, så er det klart, at alle flader af dette prisme er LIGE rektangler.

Formelt kan det laterale overfladeareal af et regulært prisme afspejles som følger:

27064. Et regulært firkantet prisme er afgrænset om en cylinder, hvis basisradius og højde er lig med 1. Find prismets laterale overfladeareal.

Sidefladen af ​​dette prisme består af fire rektangler med samme areal. Højden af ​​fladen er 1, kanten af ​​prismets bund er 2 (disse er to radier af cylinderen), derfor er arealet af sidefladen lig med:

Sideoverfladeareal:

73023. Find det laterale overfladeareal af et regulært trekantet prisme omskrevet om en cylinder, hvis basisradius er √0,12 og højden er 3.

Arealet af den laterale overflade af et givet prisme er lig med summen af ​​arealerne af de tre laterale flader (rektangler). For at finde området af sidefladen skal du kende dens højde og længden af ​​bundkanten. Højden er tre. Lad os finde længden af ​​grundkanten. Overvej projektionen (ovenfra):

Vi har en regulær trekant, hvori en cirkel med radius √0,12 er indskrevet. Fra den højre trekantede AOC kan vi finde AC. Og så AD (AD=2AC). Ved definition af tangent:

Dette betyder AD = 2AC = 1,2. Det laterale overfladeareal er således lig med:

27066. Find det laterale overfladeareal af et regulært sekskantet prisme omskrevet om en cylinder, hvis basisradius er √75 og højden er 1.

Det nødvendige areal er lig med summen af ​​arealerne af alle sideflader. Et regulært sekskantet prisme har sideflader, der er lige store rektangler.

For at finde arealet af et ansigt skal du kende dets højde og længden af ​​bundkanten. Højden er kendt, den er lig med 1.

Lad os finde længden af ​​grundkanten. Overvej projektionen (ovenfra):

Vi har en regulær sekskant, hvori en cirkel med radius √75 er indskrevet.

Overvej den retvinklede trekant ABO. Vi kender benet OB (dette er radius af cylinderen). Vi kan også bestemme vinklen AOB, den er lig med 300 (trekant AOC er ligesidet, OB er en halveringslinje).

Lad os bruge definitionen af ​​tangent i en retvinklet trekant:

AC = 2AB, da OB er medianen, det vil sige, at den deler AC i to, hvilket betyder AC = 10.

Således er arealet af sidefladen 1∙10=10, og arealet af sidefladen er:

76485. Find det laterale overfladeareal af et regulært trekantet prisme indskrevet i en cylinder, hvis basisradius er 8√3 og højden er 6.

Arealet af den laterale overflade af det specificerede prisme af tre lige store flader (rektangler). For at finde arealet skal du kende længden af ​​kanten af ​​prismets bund (vi kender højden). Hvis vi betragter projektionen (ovenfra), har vi en regulær trekant indskrevet i en cirkel. Siden af ​​denne trekant er udtrykt i radius som:

Detaljer om dette forhold. Så det bliver lige

Så er arealet af sidefladen: 24∙6=144. Og det nødvendige område:

245354. Et regulært firkantet prisme er afgrænset omkring en cylinder, hvis basisradius er 2. Prismets laterale overfladeareal er 48. Find cylinderens højde.

I skolepensum for et stereometrikursus begynder studiet af tredimensionelle figurer normalt med et simpelt geometrisk legeme - polyederet af et prisme. Dens basers rolle udføres af 2 lige store polygoner, der ligger i parallelle planer. Et særligt tilfælde er et regulært firkantet prisme. Dens baser er 2 identiske regulære firkanter, hvortil siderne er vinkelrette og har form som parallellogrammer (eller rektangler, hvis prismet ikke er skråtstillet).

Hvordan ser et prisme ud?

Et regulært firkantet prisme er en sekskant, hvis baser er 2 kvadrater, og sidefladerne er repræsenteret af rektangler. Et andet navn for denne geometriske figur er en lige parallelepipedum.

En tegning, der viser et firkantet prisme, er vist nedenfor.

Du kan også se på billedet de vigtigste elementer, der udgør en geometrisk krop. Disse omfatter:

Nogle gange kan du i geometriproblemer støde på begrebet et afsnit. Definitionen vil lyde sådan her: en sektion er alle punkterne i et volumetrisk legeme, der tilhører et skæreplan. Snittet kan være vinkelret (skærer kanterne af figuren i en vinkel på 90 grader). For et rektangulært prisme overvejes også en diagonal sektion (det maksimale antal sektioner, der kan konstrueres, er 2), der passerer gennem 2 kanter og basens diagonaler.

Hvis snittet er tegnet på en sådan måde, at skæreplanet ikke er parallelt med hverken baserne eller sidefladerne, er resultatet et afkortet prisme.

For at finde de reducerede prismatiske elementer anvendes forskellige relationer og formler. Nogle af dem er kendt fra planimetrikurset (for eksempel for at finde arealet af bunden af ​​et prisme er det nok at huske formlen for arealet af en firkant).

Overfladeareal og volumen

For at bestemme volumenet af et prisme ved hjælp af formlen skal du kende arealet af dets base og højde:

V = Sbas h

Da bunden af ​​et regulært tetraedrisk prisme er en firkant med side en, Du kan skrive formlen i mere detaljeret form:

V = a²·h

Hvis vi taler om en terning - et regulært prisme med samme længde, bredde og højde, beregnes volumenet som følger:

For at forstå, hvordan man finder det laterale overfladeareal af et prisme, skal du forestille dig dets udvikling.

Af tegningen kan det ses, at sidefladen er opbygget af 4 lige store rektangler. Dens areal beregnes som produktet af basens omkreds og højden af ​​figuren:

Side = Posn h

Under hensyntagen til, at omkredsen af ​​kvadratet er lig med P = 4a, formlen har formen:

Side = 4a t

Til terning:

Side = 4a²

For at beregne prismets samlede overfladeareal skal du tilføje 2 basisarealer til sidearealet:

Fuld = Sside + 2Smain

I forhold til et firkantet regulært prisme ser formlen sådan ud:

Stotal = 4a h + 2a²

For overfladearealet af en terning:

Fuld = 6a²

Ved at kende volumenet eller overfladearealet kan du beregne de enkelte elementer i et geometrisk legeme.

Find prismeelementer

Ofte er der problemer, hvor volumenet er givet eller værdien af ​​det laterale overfladeareal er kendt, hvor det er nødvendigt at bestemme længden af ​​siden af ​​basen eller højden. I sådanne tilfælde kan formlerne udledes:

• base side længde: a = Sside / 4h = √(V/h);
• højde eller side rib længde: h = side / 4a = V / a²;
• basisareal: Sbas = V/h;
• sidefladeområde: Side gr = Side / 4.

For at bestemme, hvor meget areal diagonalsnittet har, skal du kende længden af ​​diagonalen og højden af ​​figuren. For en firkant d = a√2. Derfor:

Sdiag = ah√2

For at beregne diagonalen af ​​et prisme skal du bruge formlen:

dprize = √(2a² + h²)

For at forstå, hvordan du anvender de givne relationer, kan du øve og løse flere simple opgaver.

Eksempler på problemer med løsninger

Her er nogle opgaver fundet på statslige afsluttende eksamener i matematik.

Øvelse 1.

Sand hældes i en kasse formet som et regulært firkantet prisme. Højden på dens niveau er 10 cm.Hvad bliver sandniveauet, hvis du flytter det ind i en beholder af samme form, men med en base dobbelt så lang?

Det skal begrundes som følger. Mængden af ​​sand i den første og anden beholder ændrede sig ikke, dvs. dens volumen i dem er den samme. Du kan angive længden af ​​basen med -en. I dette tilfælde vil volumenet af stoffet for den første boks være:

V1 = ha2 = 10a2

For den anden boks er længden af ​​basen 2a, men højden af ​​sandniveauet er ukendt:

V2 = h (2a)² = 4ha²

Fordi V1 = V2, kan vi sidestille udtrykkene:

10a² = 4ha²

Efter at have reduceret begge sider af ligningen med a², får vi:

Som følge heraf bliver det nye sandniveau h = 10/4 = 2,5 cm.

Opgave 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ er et korrekt prisme. Det er kendt, at BD = AB₁ = 6√2. Find kroppens samlede overfladeareal.

For at gøre det lettere at forstå, hvilke elementer der er kendt, kan du tegne en figur.

Da vi taler om et regulært prisme, kan vi konkludere, at der ved bunden er et kvadrat med en diagonal på 6√2. Diagonalen af ​​sidefladen har samme størrelse, derfor har sidefladen også form som en firkant svarende til bunden. Det viser sig, at alle tre dimensioner - længde, bredde og højde - er lige store. Vi kan konkludere, at ABCDA₁B₁C₁D₁ er en terning.

Længden af ​​enhver kant bestemmes gennem en kendt diagonal:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Det samlede overfladeareal findes ved hjælp af formlen for en terning:

Fuld = 6a² = 6 6² = 216

Opgave 3.

Værelset er ved at blive renoveret. Det er kendt, at dets gulv har form som en firkant med et areal på 9 m². Rummets højde er 2,5 m. Hvad er den laveste pris for at tapetsere et værelse, hvis 1 m² koster 50 rubler?

Da gulvet og loftet er firkanter, det vil sige regelmæssige firkanter, og dets vægge er vinkelrette på vandrette overflader, kan vi konkludere, at det er et regulært prisme. Det er nødvendigt at bestemme arealet af dens laterale overflade.

Rummets længde er a = √9 = 3 m.

Området vil blive dækket med tapet Side = 4 3 2,5 = 30 m².

Den laveste pris på tapet til dette rum vil være 50·30 = 1500 rubler

For at løse problemer, der involverer et rektangulært prisme, er det således nok at kunne beregne arealet og omkredsen af ​​et kvadrat og et rektangel, samt at kende formlerne til at finde rumfang og overfladeareal.

Sådan finder du arealet af en terning

Videokurset "Få et A" inkluderer alle de emner, der er nødvendige for at bestå Unified State Examen i matematik med 60-65 point. Fuldstændig alle opgave 1-13 i Profile Unified State eksamen i matematik. Også velegnet til at bestå Basic Unified State Examination i matematik. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 point, skal du løse del 1 på 30 minutter og uden fejl!

Forberedelseskursus til Unified State Examen for klassetrin 10-11, samt for lærere. Alt hvad du behøver for at løse del 1 af Unified State Examen i matematik (de første 12 opgaver) og opgave 13 (trigonometri). Og det er mere end 70 point på Unified State Exam, og hverken en 100-point studerende eller en humaniora-studerende kan undvære dem.

Al den nødvendige teori. Hurtige løsninger, faldgruber og hemmeligheder ved Unified State Exam. Alle aktuelle opgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er blevet analyseret. Kurset overholder fuldt ud kravene i Unified State Exam 2018.

Kurset indeholder 5 store emner, 2,5 time hver. Hvert emne er givet fra bunden, enkelt og overskueligt.

Hundredvis af Unified State Exam-opgaver. Ordproblemer og sandsynlighedsteori. Enkle og nemme at huske algoritmer til løsning af problemer. Geometri. Teori, referencemateriale, analyse af alle typer Unified State Examination opgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige snydeark, udvikling af rumlig fantasi. Trigonometri fra bunden til opgave 13. Forståelse i stedet for at proppe. Klare forklaringer af komplekse begreber. Algebra. Rødder, potenser og logaritmer, funktion og afledet. Et grundlag for at løse komplekse problemer i del 2 af Unified State Exam.