Hvordan man måler dihedral vinkel. Dihedral vinkel vinkelret på planet

Koncept af dihedral vinkel

For at introducere begrebet en dihedral vinkel, lad os først huske et af stereometriens aksiomer.

Ethvert plan kan opdeles i to halvplaner af linjen $a$, der ligger i dette plan. I dette tilfælde er punkter, der ligger i samme halvplan, på den ene side af den rette linie $a$, og punkter, der ligger i forskellige halvplaner, er på modsatte sider af den rette linie $a$ (fig. 1).

Billede 1.

Princippet om at konstruere en dihedral vinkel er baseret på dette aksiom.

Definition 1

Figuren hedder dihedral vinkel, hvis den består af en linje og to halvplaner af denne linje, der ikke hører til samme plan.

I dette tilfælde kaldes halvplanerne af den dihedrale vinkel kanter, og den rette linje, der adskiller halvplanerne er dihedral kant(Fig. 1).

Figur 2. Dihedral vinkel

Gradmål for dihedral vinkel

Definition 2

Lad os vælge et vilkårligt punkt $A$ på kanten. Vinklen mellem to rette linjer, der ligger i forskellige halvplaner, vinkelret på en kant og skærer i punktet $A$ kaldes lineær dihedral vinkel(Fig. 3).

Figur 3.

Det er klart, at hver dihedral vinkel har et uendeligt antal lineære vinkler.

Sætning 1

Alle lineære vinkler af en dihedral vinkel er lig med hinanden.

Bevis.

Lad os betragte to lineære vinkler $AOB$ og $A_1(OB)_1$ (fig. 4).

Figur 4.

Da strålerne $OA$ og $(OA)_1$ ligger i samme halvplan $\alpha $ og er vinkelrette på den samme rette linje, så er de codirectional. Da strålerne $OB$ og $(OB)_1$ ligger i samme halvplan $\beta $ og er vinkelrette på den samme rette linje, så er de codirectional. Derfor

\[\vinkel AOB=\vinkel A_1(OB)_1\]

På grund af vilkårligheden af valget af lineære vinkler. Alle lineære vinkler af en dihedral vinkel er lig med hinanden.

Sætningen er bevist.

Definition 3

Gradmålet for en dihedral vinkel er gradmålet for den lineære vinkel på en dihedral vinkel.

Prøveproblemer

Eksempel 1

Lad os få to ikke-vinkelrette planer $\alpha $ og $\beta $, som skærer hinanden langs den rette linie $m$. Punkt $A$ hører til flyet $\beta$. $AB$ er vinkelret på linjen $m$. $AC$ er vinkelret på planet $\alpha $ (punkt $C$ tilhører $\alpha $). Bevis at vinkel $ABC$ er en lineær vinkel af en dihedral vinkel.

Bevis.

Lad os tegne et billede i henhold til betingelserne for problemet (fig. 5).

Figur 5.

For at bevise det skal du huske følgende teorem

Sætning 2: En lige linje, der går gennem bunden af en skrå linje, er vinkelret på den, vinkelret på dens projektion.

Da $AC$ er vinkelret på planet $\alpha $, så er punktet $C$ projektionen af punktet $A$ på planet $\alpha $. Derfor er $BC$ en projektion af den skrå $AB$. Ved sætning 2 er $BC$ vinkelret på kanten af den dihedrale vinkel.

Derefter opfylder vinkel $ABC$ alle kravene til at definere en lineær dihedral vinkel.

Eksempel 2

Den dihedriske vinkel er $30^\circ$. På den ene flade ligger et punkt $A$, som er placeret i en afstand af $4$ cm fra den anden flade Find afstanden fra punktet $A$ til kanten af den dihedrale vinkel.

Løsning.

Lad os se på figur 5.

Efter betingelse har vi $AC=4\cm$.

Per definition af gradmålet for en dihedral vinkel har vi, at vinklen $ABC$ er lig med $30^\cirkel$.

Trekant $ABC$ er en retvinklet trekant. Ved definition af sinus af en spids vinkel

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

TEKSTTRANSCRIPTION AF LEKTIONEN:

I planimetri er hovedobjekterne linjer, segmenter, stråler og punkter. Stråler, der udgår fra et punkt, danner en af deres geometriske former - en vinkel.

Vi ved, at lineær vinkel måles i grader og radianer.

I stereometri tilføjes et plan til objekter. En figur dannet af en ret linje a og to halvplaner med en fælles grænse a, der ikke hører til samme plan i geometri, kaldes en dihedral vinkel. Halvplaner er flader af en dihedral vinkel. Ret linje a er en kant af en dihedral vinkel.

En dihedral vinkel kan ligesom en lineær vinkel navngives, måles og konstrueres. Det er det, vi skal finde ud af i denne lektion.

Lad os finde den dihedriske vinkel på ABCD-tetraedermodellen.

En dihedral vinkel med kant AB kaldes CABD, hvor punkterne C og D hører til forskellige flader af vinklen og kanten AB kaldes i midten

Der er en hel del genstande omkring os med elementer i form af en dihedral vinkel.

I mange byer er specielle bænke til forsoning installeret i parker. Bænken er lavet i form af to skrå planer, der konvergerer mod midten.

Når man bygger huse, bruges ofte det såkaldte sadeltag. På dette hus er taget lavet i form af en dihedral vinkel på 90 grader.

Dihedral vinkel måles også i grader eller radianer, men hvordan måler man det.

Det er interessant at bemærke, at husenes tage hviler på spærene. Og spærbeklædningen danner to taghældninger i en given vinkel.

Lad os overføre billedet til tegningen. På tegningen, for at finde en dihedral vinkel, er punkt B markeret på dets kant. Fra dette punkt tegnes to stråler BA og BC vinkelret på kanten af vinklen. Vinklen ABC dannet af disse stråler kaldes den lineære dihedrale vinkel.

Gradmålet for en dihedral vinkel er lig med gradmålet for dens lineære vinkel.

Lad os måle vinklen AOB.

Gradmålet for en given dihedral vinkel er tres grader.

Et uendeligt antal lineære vinkler kan tegnes for en dihedral vinkel; det er vigtigt at vide, at de alle er lige store.

Lad os overveje to lineære vinkler AOB og A1O1B1. Strålerne OA og O1A1 ligger på samme flade og er vinkelrette på den rette linie OO1, så de er codirectional. Bjælker OB og O1B1 er også co-directed. Derfor er vinkel AOB lig med vinkel A1O1B1 som vinkler med co-directional sider.

Så en dihedral vinkel er karakteriseret ved en lineær vinkel, og lineære vinkler er spidse, stumpe og rette. Lad os overveje modeller af dihedrale vinkler.

En stump vinkel er, hvis dens lineære vinkel er mellem 90 og 180 grader.

En ret vinkel, hvis dens lineære vinkel er 90 grader.

En spids vinkel, hvis dens lineære vinkel er fra 0 til 90 grader.

Lad os bevise en af de vigtige egenskaber ved en lineær vinkel.

Planet for den lineære vinkel er vinkelret på kanten af den dihedrale vinkel.

Lad vinkel AOB være den lineære vinkel for en given dihedral vinkel. Ved konstruktion er strålerne AO og OB vinkelrette på den rette linje a.

Planen AOB passerer gennem to skærende linjer AO og OB ifølge sætningen: Et fly passerer gennem to skærende linjer, og kun én.

Linje a er vinkelret på to skærende linjer, der ligger i denne plan, hvilket betyder, baseret på linjens og planens vinkelrethed, lige linje a er vinkelret på planen AOB.

For at løse problemer er det vigtigt at kunne konstruere en lineær vinkel af en given dihedral vinkel. Konstruer en lineær vinkel af en dihedral vinkel med kant AB for tetraeder ABCD.

Vi taler om en dihedral vinkel, som for det første dannes af kanten AB, den ene side ABD og den anden side ABC.

Her er en måde at bygge det på.

Lad os tegne en vinkelret fra punkt D til plan ABC. Marker punktet M som basis for vinkelret. Husk på, at i et tetraeder falder bunden af vinkelret sammen med midten af den indskrevne cirkel ved bunden af tetraederet.

Lad os tegne en skrå linje fra punkt D vinkelret på kant AB, marker punktet N som bunden af den skrå linje.

I trekanten DMN vil segmentet NM være projektionen af den skrå DN på planet ABC. Ifølge sætningen om tre perpendikulære vil kanten AB være vinkelret på projektionen NM.

Det betyder, at siderne af vinklen DNM er vinkelrette på kanten AB, hvilket betyder, at den konstruerede vinkel DNM er den ønskede lineære vinkel.

Lad os overveje et eksempel på løsning af et problem med beregning af en dihedral vinkel.

Ligebenet trekant ABC og regulær trekant ADB ligger ikke i samme plan. Segmentet CD er vinkelret på planet ADB. Find den dihedriske vinkel DABC, hvis AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.

Den dihedrale vinkel på DABC er lig med dens lineære vinkel. Lad os bygge denne vinkel.

Lad os tegne den skrå CM vinkelret på kanten AB, da trekanten ACB er ligebenet, så vil punktet M falde sammen med midten af kanten AB.

Den rette linie CD er vinkelret på planet ADB, hvilket betyder, at den er vinkelret på den rette linie DM, der ligger i dette plan. Og segmentet MD er en projektion af den skrå CM på ADV-planet.

Den rette linje AB er vinkelret på den skrå CM ved konstruktion, hvilket betyder, at den ved sætningen om tre vinkelrette linjer er vinkelret på projektionen MD.

Så der findes to vinkelrette CM og DM til kanten AB. Dette betyder, at de danner en lineær vinkel CMD af den dihedrale vinkel DABC. Og alt, hvad vi skal gøre, er at finde det fra den retvinklede trekant CDM.

Så segmentet SM er medianen og højden af den ligebenede trekant ACB, så ifølge Pythagoras sætning er benet SM lig med 4 cm.

Fra den retvinklede trekant DMB er benet DM ifølge Pythagoras sætning lig med to rødder af tre.

Cosinus af en vinkel fra en retvinklet trekant er lig med forholdet mellem det tilstødende ben MD og hypotenusen CM og er lig med tre rødder af tre gange to. Det betyder, at vinklen CMD er 30 grader.

KAPITEL ET LIGE OG FLY

V. DIHEDRALE VINKLER, RIGTIG VINKEL MED ET FLY,
VINKEL PÅ TO KRÆSER HØJRE LIGE, POLYHEDALE VINKLER

Dihedrale vinkler

38. Definitioner. Den del af flyet, der ligger på den ene side af enhver ret linje, der ligger i dette plan, kaldes halvplan. En figur dannet af to halvplaner (P og Q, fig. 26), der udgår fra én ret linje (AB), kaldes dihedral vinkel. Direkte AB kaldes kant, og halvplanerne P og Q - fester eller kanter dihedral vinkel.

En sådan vinkel betegnes normalt med to bogstaver placeret ved dens kant (dihedral vinkel AB). Men hvis der på den ene kant er flere dihedriske vinkler, er hver af dem betegnet med fire bogstaver, hvoraf de to midterste er ved kanten, og de ydre to er ved fladerne (for eksempel dihedral vinkel SCDR) (fig. 27).

Hvis der fra et vilkårligt punkt er tegnet D kanter AB (fig. 28) på hver side vinkelret på kanten, så kaldes vinklen CDE dannet af dem lineær vinkel dihedral vinkel.

Størrelsen af en lineær vinkel afhænger ikke af positionen af dens toppunkt på kanten. Således er lineære vinkler CDE og C 1 D 1 E 1 ens, fordi deres sider er henholdsvis parallelle og i samme retning.

Planet af en lineær vinkel er vinkelret på kanten, da den indeholder to linjer vinkelret på den. Derfor, for at opnå en lineær vinkel, er det nok at skære forsiden af en given dihedral vinkel med et plan vinkelret på kanten og overveje den resulterende vinkel i dette plan.

39. Ligestilling og ulighed af dihedrale vinkler. To dihedriske vinkler betragtes som ens, hvis de kan kombineres, når de indsættes; ellers vil den dihedral vinkel, der anses for at være den mindste, udgøre en del af den anden vinkel.

Ligesom vinkler i planimetri kan dihedrale vinkler være tilstødende, lodret etc.

Hvis to tilstødende dihedrale vinkler er lig med hinanden, kaldes hver af dem højre dihedral vinkel.

Sætninger. 1) Lige dihedriske vinkler svarer til lige lineære vinkler.

2) En større dihedral vinkel svarer til en større lineær vinkel.

Lad PABQ og P 1 A 1 B 1 Q 1 (fig. 29) være to dihedriske vinkler. Vi indsætter vinkel A 1 B 1 i vinkel AB, så kant A 1 B 1 falder sammen med kant AB og flade P 1 med flade P.

Så hvis disse dihedriske vinkler er ens, så vil flade Q 1 falde sammen med flade Q; hvis vinkel A 1 B 1 er mindre end vinkel AB, så vil flade Q 1 tage en eller anden position inden for den dihedriske vinkel, for eksempel Q 2.

Efter at have bemærket dette, lad os tage et punkt B på en fælles kant og tegne et plan R gennem det, vinkelret på kanten. Fra skæringen af dette plan med de dihedrale vinklers flader opnås lineære vinkler. Det er klart, at hvis de dihedrale vinkler falder sammen, så vil de have den samme lineære vinkel CBD; hvis de dihedriske vinkler ikke er sammenfaldende, hvis f.eks. flade Q 1 indtager positionen Q 2, så vil den større dihedrale vinkel have en større lineær vinkel (nemlig: / CBD > / C2BD).

40. Omvendte sætninger. 1) Lige lineære vinkler svarer til lige dihedriske vinkler.

2) En større lineær vinkel svarer til en større dihedral vinkel .

Disse teoremer kan let bevises ved modsigelse.

41. Konsekvenser. 1) En ret dihedral vinkel svarer til en ret lineær vinkel og omvendt.

Lad (fig. 30) den dihedriske vinkel PABQ være lige. Det betyder, at den er lig med den tilstødende vinkel QABP 1. Men i dette tilfælde er de lineære vinkler CDE og CDE 1 også ens; og da de støder op til hinanden, skal hver af dem være lige. Omvendt, hvis tilstødende lineære vinkler CDE og CDE 1 er ens, så er tilstødende dihedriske vinkler ens, dvs. hver af dem skal være lige.

2) Alle rette dihedriske vinkler er ens, fordi deres lineære vinkler er lige store .

Ligeledes er det let at bevise, at:

3) Lodrette dihedrale vinkler er ens.

4) Dihedral vinkler med henholdsvis parallelle og identisk (eller modsat rettede) kanter er ens.

5) Hvis vi tager som en enhed af dihedriske vinkler en dihedral vinkel, der svarer til en enhed af lineære vinkler, så kan vi sige, at en dihedral vinkel måles ved dens lineære vinkel.

Dihedral vinkel. Lineær dihedral vinkel. En dihedral vinkel er en figur dannet af to halvplaner, der ikke hører til samme plan og har en fælles grænse - ret linje a. Halvplanerne, der danner en dihedral vinkel, kaldes dens flader, og den fælles grænse for disse halvplaner kaldes kanten af den dihedriske vinkel. Den lineære vinkel af en dihedrisk vinkel er en vinkel, hvis sider er de stråler, langs hvilke siderne af den dihedriske vinkel skæres af et plan vinkelret på kanten af den dihedriske vinkel. Hver dihedral vinkel har et hvilket som helst antal lineære vinkler: gennem hvert punkt på en kant kan man tegne et plan vinkelret på denne kant; Strålerne, langs hvilke dette plan skærer fladerne af en dihedral vinkel, danner lineære vinkler.

Alle lineære vinkler i en dihedral vinkel er lig med hinanden. Lad os bevise, at hvis de dihedriske vinkler dannet af bunden af pyramiden KABC og planerne af dens sideflader er ens, så er bunden af den vinkelrette trukket fra toppunktet K midten af den indskrevne cirkel i trekant ABC.

Bevis. Først og fremmest, lad os konstruere lineære vinkler med lige store dihedriske vinkler. Per definition skal planet af en lineær vinkel være vinkelret på kanten af den dihedrale vinkel. Derfor skal kanten af en dihedral vinkel være vinkelret på siderne af den lineære vinkel. Hvis KO er vinkelret på grundplanet, så kan vi tegne OR vinkelret AC, OR vinkelret SV, OQ vinkelret AB, og derefter forbinde punkterne P, Q, R MED punktet K. Vi vil således konstruere en projektion af skrå RK, QK , RK, så kanterne AC, NE, AB er vinkelrette på disse fremspring. Følgelig er disse kanter vinkelrette på de skrånende selv. Og derfor er planerne af trekanter ROK, QOK, ROK vinkelrette på de tilsvarende kanter af den dihedrale vinkel og danner de lige lineære vinkler, der er nævnt i betingelsen. Retvinklede trekanter ROK, QOK, ROK er kongruente (da de har et fælles ben OK og vinklerne modsat dette ben er lige store). Derfor er OR = OR = OQ. Hvis vi tegner en cirkel med centrum O og radius OP, så er siderne af trekanten ABC vinkelrette på radierne OP, OR og OQ og tangerer derfor denne cirkel.

Planernes vinkelrethed. Alfa- og betaplanerne kaldes vinkelrette, hvis den lineære vinkel på en af de dihedriske vinkler dannet ved deres skæringspunkt er lig med 90." Tegn på vinkelret på to planer Hvis et af de to planer passerer gennem en linje vinkelret på det andet plan, så er disse planer vinkelrette.

Figuren viser et rektangulært parallelepipedum. Dens baser er rektangler ABCD og A1B1C1D1. Og sideribberne AA1 BB1, CC1, DD1 er vinkelrette på baserne. Det følger heraf, at AA1 er vinkelret på AB, dvs. sidefladen er et rektangel. Således kan vi retfærdiggøre egenskaberne ved et rektangulært parallelepipedum: I et rektangulært parallelepiped er alle seks flader rektangler. I et rektangulært parallelepipedum er alle seks flader rektangler. Alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallelepipedum er rette vinkler. Alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallelepipedum er rette vinkler.

Sætning Kvadraten på diagonalen af et rektangulært parallelepiped er lig med summen af kvadraterne af dets tre dimensioner. Lad os igen vende tilbage til figuren og bevise, at AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Da kant CC1 er vinkelret på grundfladen ABCD, er vinklen ACC1 ret. Fra den højre trekant ACC1, ved hjælp af Pythagoras sætning, får vi AC12 = AC2 + CC12. Men AC er en diagonal af rektangel ABCD, så AC2 = AB2 + AD2. Derudover er CC1 = AA1. Derfor AC12= AB2+AD2+AA12 Sætningen er bevist.

Lektionens emne: "Dihedral vinkel."

Formålet med lektionen: introduktion af begrebet dihedral vinkel og dens lineære vinkel.

Opgaver:

Uddannelsesmæssigt: overveje opgaver vedrørende anvendelsen af disse begreber, udvikle den konstruktive færdighed til at finde vinklen mellem planer;

Udviklingsmæssigt: udvikling af kreativ tænkning af elever, personlig selvudvikling af elever, udvikling af elevernes tale;

Uddannelsesmæssigt: pleje en kultur af mentalt arbejde, kommunikativ kultur, refleksiv kultur.

Lektionstype: lektion i at lære ny viden

Undervisningsmetoder: forklarende og illustrerende

Udstyr: computer, interaktiv tavle.

Litteratur:

Geometri. 10-11 klassetrin: lærebog. for 10-11 klassetrin. almen uddannelse institutioner: basis og profil. niveauer / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, etc.] - 18. udg. – M.: Uddannelse, 2009. – 255 s.

Lektionsplan:

Organisatorisk øjeblik (2 min)

Opdatering af viden (5 min)

Lær nyt materiale (12 min)

Forstærkning af indlært materiale (21 min)

Hjemmearbejde (2 min)

Opsummering (3 min)

Under undervisningen:

1. Organisatorisk øjeblik.

Inkluderer at læreren hilser på klassen, forbereder lokalet til lektionen og kontrollerer fravær.

2. Opdatering af grundlæggende viden.

Lærer: I den sidste lektion skrev du et selvstændigt værk. Generelt var værket godt skrevet. Lad os nu gentage det lidt. Hvad kaldes en vinkel i et plan?

Studerende: En vinkel på et plan er en figur dannet af to stråler, der udgår fra et punkt.

Lærer: Hvad kaldes vinklen mellem linjer i rummet?

Studerende: Vinklen mellem to skærende linjer i rummet er den mindste af de vinkler, der dannes af disse linjers stråler med toppunktet ved deres skæringspunkt.

Studerende: Vinklen mellem skærende linjer er vinklen mellem skærende linjer, henholdsvis parallelt med dataene.

Lærer: Hvad kaldes vinklen mellem en ret linje og et plan?

Studerende: Vinklen mellem en ret linje og et planEnhver vinkel mellem en ret linje og dens projektion på dette plan kaldes.

3. At studere nyt materiale.

Lærer: I stereometri betragtes sammen med sådanne vinkler en anden type vinkel - dihedrale vinkler. Du har sikkert allerede gættet, hvad emnet for dagens lektion er, så åbn dine notesbøger, skriv ned dagens dato og emnet for lektionen.

Skriv på tavlen og i notesbøger:

10.12.14.

Dihedral vinkel.

Lærer : For at introducere begrebet en dihedral vinkel skal det huskes, at enhver ret linje tegnet i et givet plan deler dette plan i to halvplaner(Fig. 1, a)

Lærer : Lad os forestille os, at vi har bøjet planet langs en ret linje, så to halvplaner med en grænse ikke længere ligger i samme plan (fig. 1, b). Den resulterende figur er den dihedrale vinkel. En dihedral vinkel er en figur dannet af en ret linje og to halvplaner med en fælles grænse, der ikke hører til samme plan. Halvplanerne, der danner en dihedral vinkel, kaldes dens flader. En dihedral vinkel har to sider, deraf navnet dihedral vinkel. Den rette linje - halvplanernes fælles grænse - kaldes kanten af den dihedrale vinkel. Skriv definitionen i din notesbog.

En dihedral vinkel er en figur dannet af en ret linje og to halvplaner med en fælles grænse, der ikke hører til samme plan.

Lærer : I hverdagen støder vi ofte på genstande, der har form af en dihedral vinkel. Giv eksempler.

Studerende : Halvåbnet mappe.

Studerende : Rummets væg er sammen med gulvet.

Studerende : Sadeltage på bygninger.

Lærer : Højre. Og der er et stort antal af sådanne eksempler.

Lærer : Vinkler i et plan måles som bekendt i grader. Du har sikkert et spørgsmål, hvordan måles dihedriske vinkler? Dette gøres som følger.Lad os markere et punkt på kanten af den dihedrale vinkel og tegne en stråle vinkelret på kanten fra dette punkt på hver side. Vinklen dannet af disse stråler kaldes den lineære vinkel på den dihedrale vinkel. Lav en tegning i dine notesbøger.

Skriv på tavlen og i notesbøger.

OM ∈ a, JSC ⊥ a, VO ⊥ -en, SABD– dihedral vinkel,∠ AOB– lineær vinkel på den dihedrale vinkel.

Lærer : Alle lineære vinkler i en dihedral vinkel er lige store. Lav dig selv endnu en tegning som denne.

Lærer : Lad os bevise det. Overvej to lineære vinkler AOB ogPQR. Stråler OA ogQPligge på samme ansigt og er vinkelretteOQ, hvilket betyder, at de er co-directed. Tilsvarende vil strålerne OB ogQRco-instrueret. Midler,∠ AOB= ∠ PQR(som vinkler med justerede sider).

Lærer : Nå, nu er svaret på vores spørgsmål, hvordan den dihedrale vinkel måles.Gradmålet for en dihedral vinkel er gradmålet for dens lineære vinkel. Gentegn billederne af en spids, ret og stump dihedral vinkel fra lærebogen på side 48.