Вероятността е по-висока или по-голяма. Вероятност за събитие

Ясно е, че всяко събитие има различна степен на възможност за настъпване (реализиране). За да се сравнят количествено събитията едно с друго според степента на тяхната възможност, очевидно е необходимо да се свърже определено число с всяко събитие, което е толкова по-голямо, колкото по-вероятно е събитието. Това число се нарича вероятност за събитие.

Вероятност за събитие– е числена мярка за степента на обективна възможност за настъпване на това събитие.

Помислете за стохастичен експеримент и случайно събитие А, наблюдавано в този експеримент. Нека повторим този експеримент n пъти и нека m(A) е броят експерименти, в които е настъпило събитие А.

Отношение (1.1)

Наречен относителна честотасъбития А в поредицата от извършени експерименти.

Лесно е да проверите валидността на свойствата:

ако A и B са непоследователни (AB=), тогава ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Относителната честота се определя само след серия от експерименти и, най-общо казано, може да варира от серия на серия. Опитът обаче показва, че в много случаи, с увеличаване на броя на експериментите, относителната честота се доближава до определен брой. Този факт на относителна стабилност на честотата е многократно проверен и може да се счита за експериментално установен.

Пример 1.19.. Ако хвърлите една монета, никой не може да предвиди от коя страна ще падне отгоре. Но ако хвърлите два тона монети, тогава всеки ще каже, че около един тон ще падне нагоре с герба, тоест относителната честота на падане на герба е приблизително 0,5.

Ако с увеличаване на броя на експериментите относителната честота на събитието ν(A) клони към определено фиксирано число, тогава се казва, че събитие А е статистически стабилнои това число се нарича вероятност за събитие А.

Вероятност за събитието Аизвиква се някакво фиксирано число P(A), към което относителната честота ν(A) на това събитие клони с увеличаване на броя на експериментите, т.е.

Това определение се нарича статистическа дефинициявероятности .

Нека разгледаме определен стохастичен експеримент и нека пространството на неговите елементарни събития се състои от краен или безкраен (но изброим) набор от елементарни събития ω 1, ω 2, …, ω i, …. Да приемем, че на всяко елементарно събитие ω i е присвоено определено число - р i, характеризиращо степента на възможност за възникване на този елементсъбитие и отговарящо на следните свойства:

Това число p i се нарича вероятност за елементарно събитиеωi.

Нека сега А е случайно събитие, наблюдавано в този експеримент, и нека съответства на определено множество

В тази обстановка вероятност за събитие А наричаме сумата от вероятностите на елементарни събития в полза на A(включени в съответния комплект A):

(1.4)

Вероятността, въведена по този начин, има същите свойства като относителната честота, а именно:

И ако AB = (A и B са несъвместими),

тогава P(A+B) = P(A) + P(B)

Действително, съгласно (1.4)

В последното отношение се възползвахме от факта, че нито едно елементарно събитие не може да благоприятства две несъвместими събития едновременно.

Специално отбелязваме, че теорията на вероятностите не посочва методи за определяне на p i, те трябва да се търсят от съображения от практически характерили получени от подходящ статистически експеримент.

Като пример, разгледайте класическата схема на теорията на вероятностите. За да направите това, разгледайте стохастичен експеримент, чието пространство от елементарни събития се състои от краен (n) брой елементи. Нека допълнително приемем, че всички тези елементарни събития са еднакво възможни, т.е. вероятностите за елементарни събития са равни на p(ω i)=p i =p. Следва, че

Пример 1.20. При хвърляне на симетрична монета, получаването на глави и опашки е еднакво възможно, техните вероятности са равни на 0,5.

Пример 1.21. При хвърляне на симетричен зар всички лица са еднакво възможни, техните вероятности са равни на 1/6.

Сега нека събитие А се предпочита от m елементарни събития, те обикновено се наричат резултати, благоприятни за събитие А. Тогава

Има класическо определениевероятности: вероятността P(A) за събитие А е равна на съотношението на броя на резултатите, благоприятни за събитие А, към общия брой резултати

Пример 1.22. Урната съдържа m бели топки и n черни топки. Каква е вероятността да го извадите? бяла топка?

Решение. Общият брой на елементарните събития е m+n. Всички те са еднакво вероятни. Благоприятно събитие А, от което m. следователно .

Следните свойства следват от определението за вероятност:

Имот 1. Вероятност надеждно събитиеравно на едно.

Наистина, ако събитието е надеждно, тогава всеки елементарен резултат от теста е в полза на събитието. В такъв случай t=p,следователно,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Имот 2. Вероятност невъзможно събитиеравен на нула.

Наистина, ако дадено събитие е невъзможно, тогава нито един от елементарните резултати от теста не благоприятства събитието. В такъв случай T= 0, следователно, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Имот 3.Вероятност случайно събитиеИма положително число, ограден между нула и едно.

Наистина, само част от общия брой елементарни резултати на теста се благоприятства от случайно събитие. Тоест 0≤m≤n, което означава 0≤m/n≤1, следователно вероятността за всяко събитие удовлетворява двойното неравенство 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Сравнявайки дефинициите на вероятност (1.5) и относителна честота (1.1), заключаваме: дефиниция на вероятност не изисква извършване на тестовевсъщност; определението за относителна честота предполага, че действително са проведени тестове. С други думи, вероятността се изчислява преди експеримента, а относителната честота - след експеримента.

Въпреки това, изчисляването на вероятността изисква предварителна информация за броя или вероятностите на елементарни резултати, благоприятни за дадено събитие. При липса на такава предварителна информация се използват емпирични данни за определяне на вероятността, т.е. относителната честота на събитието се определя въз основа на резултатите от стохастичен експеримент.

Пример 1.23. Отдел технически контрол открит 3нестандартни части в партида от 80 произволно избрани части. Относителна честота на поява на нестандартни части r(A)= 3/80.

Пример 1.24. Според предназначението.произведени 24 стрелба, а бяха регистрирани 19 попадения. Относителна степен на попадение на целта. r(A)=19/24.

Дългосрочни наблюденияпоказа, че ако експериментите се провеждат при еднакви условия, във всеки от които броят на тестовете е достатъчно голям, тогава относителната честота проявява свойството на стабилност. Този имот е че в различни експерименти относителната честота се променя малко (колкото по-малко, толкова повече тестове се извършват), варирайки около определено постоянно число.Оказа се, че това постоянно числоможе да се приеме като приблизителна стойност на вероятността.

Повече подробности и по-точно връзкатамежду относителната честота и вероятността ще бъдат описани по-долу. Сега нека илюстрираме свойството стабилност с примери.

Пример 1.25. Според шведската статистика относителната честота на ражданията на момичета за 1935 г. по месеци се характеризира със следните числа (числата са подредени по месеци, като се започне с януари): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Относителната честота варира около числото 0,481, което може да се приеме като приблизителна стойноствероятност да имате момичета.

Имайте предвид, че статистическите данни различни държавидават приблизително същата стойност на относителната честота.

Пример 1.26.Многократно са провеждани експерименти с хвърляне на монети, при които е преброен броят на появяванията на „герба“. Резултатите от няколко експеримента са показани в таблицата.

Докаран до днес в отворен бурканПроблеми на единния държавен изпит по математика (mathege.ru), чието решение се основава само на една формула, която е класическата дефиниция на вероятността.

Най-лесният начин да разберете формулата е с примери.
Пример 1.В кошницата има 9 червени топки и 3 сини топки. Топките се различават само по цвят. Изваждаме един от тях на случаен принцип (без да гледаме). Каква е вероятността избраната по този начин топка да е синя?

Коментар.В проблемите на теорията на вероятностите се случва нещо (в този случай нашето действие да извадим топката), което може да има различен резултат - изход. Трябва да се отбележи, че резултатът може да се разглежда по различни начини. „Извадихме някаква топка“ също е резултат. „Извадихме синята топка“ - резултатът. „Извадихме точно тази топка от всички възможни топки“ - този най-обобщен поглед върху резултата се нарича елементарен резултат. Именно елементарните резултати са предвидени във формулата за изчисляване на вероятността.

Решение.Сега нека изчислим вероятността да изберем синята топка.
Събитие A: „избраната топка се оказа синя“
Общ брой на всички възможни резултати: 9+3=12 (броят на всички топки, които можем да изтеглим)
Брой изходи, благоприятни за събитие A: 3 (броят на изходите, при които е настъпило събитие A - т.е. броят на сините топки)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Отговор: 0,25

За същата задача нека изчислим вероятността да изберем червена топка.
Общият брой възможни резултати ще остане същият, 12. Брой благоприятни резултати: 9. Търсена вероятност: 9/12=3/4=0,75

Вероятността за всяко събитие винаги е между 0 и 1.
Понякога в ежедневната реч (но не и в теорията на вероятностите!) вероятността от събития се оценява като процент. Преходът между резултатите по математика и разговорните резултати се осъществява чрез умножаване (или деление) на 100%.
Така,
Освен това вероятността е нулева за събития, които не могат да се случат - невероятно. Например, в нашия пример това би била вероятността да изтеглите зелена топка от коша. (Броят на благоприятните резултати е 0, P(A)=0/12=0, ако се изчисли по формулата)
Вероятност 1 има събития, за които е абсолютно сигурно, че ще се случат, без опции. Например, вероятността „избраната топка да бъде червена или синя“ е за нашата задача. (Брой благоприятни резултати: 12, P(A)=12/12=1)

Прегледахме класически пример, илюстриращ определението за вероятност. Всички подобни Задачи за единен държавен изпитСпоред теорията на вероятностите те се решават с помощта на тази формула.
На мястото на червените и сините топки може да има ябълки и круши, момчета и момичета, научени и ненаучени билети, билети, съдържащи и несъдържащи въпрос по определена тема (прототипи,), дефектни и висококачествени чанти или градински помпи ( прототипи) - принципът остава същият.

Те се различават леко във формулирането на теоретичния проблем вероятност за Единен държавен изпит, където трябва да изчислите вероятността събитие да се случи в определен ден. ( , ) Както в предишни задачитрябва да определите какъв е елементарният резултат и след това да приложите същата формула.

Пример 2.Конференцията е с продължителност три дни. На първия и втория ден има 15 лектори, на третия ден - 20. Каква е вероятността докладът на професор М. да падне на третия ден, ако редът на докладите се определя чрез жребий?

Какъв е елементарният изход тук? – Присвояване на доклад на професор един от всички възможни серийни номераза представление. В тегленето участват 15+15+20=50 човека. Така докладът на проф. М. може да получи един от 50 броя. Това означава, че има само 50 елементарни резултата.
Какви са благоприятните резултати? - Тези, в които се оказва, че професорът ще говори на третия ден. Тоест последните 20 числа.
Според формулата вероятността P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Отговор: 0,4

Тегленето на жребий тук представлява установяване на произволна кореспонденция между хора и подредени места. В пример 2 установяването на кореспонденция беше разгледано от гледна точка кое от местата може да бъде заето специален човек. Можете да подходите към същата ситуация от другата страна: кой от хората с каква вероятност може да бъде хванат? конкретно място(прототипи , , , ):

Пример 3.Жребият включва 5 германци, 8 французи и 3 естонци. Каква е вероятността първият (/втори/седми/последен – няма значение) да е французин.

Брой елементарни резултати – брой на всички възможни хора, които биха могли да стигнат до това място чрез теглене на жребий. 5+8+3=16 души.
Благоприятни резултати - френски. 8 души.
Изисквана вероятност: 8/16=1/2=0,5
Отговор: 0,5

Прототипът е малко по-различен. Все още има проблеми с монетите () и заровете (), които са малко по-креативни. Решението на тези проблеми може да се намери на страниците на прототипа.

Ето няколко примера за хвърляне на монета или зарове.

Пример 4.Когато хвърлим монета, каква е вероятността да падне на глави?
Има 2 изхода – глави или опашки. (смята се, че монетата никога не се приземява на ръба си) Благоприятен резултат са опашки, 1.
Вероятност 1/2=0,5
Отговор: 0,5.

Пример 5.Ами ако хвърлим монета два пъти? Каква е вероятността да получите глави и двата пъти?
Основното нещо е да определим какви елементарни резултати ще вземем предвид при хвърляне на две монети. След хвърляне на две монети може да възникне един от следните резултати:
1) PP – и двата пъти се стигна до глави
2) PO – глави за първи път, глави за втори път
3) OP – глави първи път, опашки втори път
4) OO – и двата пъти се появиха глави
Други варианти няма. Това означава, че има 4 елементарни изхода. Само първият, 1, е благоприятен.
Вероятност: 1/4=0,25
Отговор: 0,25

Каква е вероятността две хвърляния на монети да доведат до опашки?
Броят на елементарните резултати е същият, 4. Благоприятните резултати са вторият и третият, 2.
Вероятност за получаване на една опашка: 2/4=0,5

При такива проблеми друга формула може да бъде полезна.
Ако по време на едно хвърляне на монета възможни вариантиимаме 2 резултата, тогава за две хвърляния резултатите ще бъдат 2 2 = 2 2 = 4 (както в пример 5), за три хвърляния 2 2 2 = 2 3 = 8, за четири: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... за N хвърляния възможните резултати ще бъдат 2·2·...·2=2 N .

Така че можете да намерите вероятността да получите 5 глави от 5 хвърляния на монети.
Общ брой елементарни резултати: 2 5 =32.
Благоприятни резултати: 1. (RRRRRR – всички 5 пъти с глава)
Вероятност: 1/32=0,03125

Същото важи и за зарове. При едно хвърляне има 6 възможни резултата, така че за две хвърляния: 6 6 = 36, за три 6 6 = 216 и т.н.

Пример 6.Хвърляме заровете. Каква е вероятността да се хвърли четно число?

Общо резултати: 6, според броя на страните.
Благоприятно: 3 изхода. (2, 4, 6)
Вероятност: 3/6=0,5

Пример 7.Хвърляме два зара. Каква е вероятността общият брой да бъде 10? (закръглено до най-близката стотна)

За един зар има 6 възможни изхода. Това означава, че за две, според горното правило, 6·6=36.
Какви резултати ще бъдат благоприятни за общия резултат да се хвърли 10?
10 трябва да се разложи на сумата от две числа от 1 до 6. Това може да стане по два начина: 10=6+4 и 10=5+5. Това означава, че за кубовете са възможни следните опции:
(6 на първия и 4 на втория)
(4 на първия и 6 на втория)
(5 на първия и 5 на втория)
Общо 3 опции. Изисквана вероятност: 3/36=1/12=0,08
Отговор: 0,08

Други видове проблеми с B6 ще бъдат обсъдени в бъдеща статия Как да решим.

Важни бележки!
1. Ако видите gobbledygook вместо формули, изчистете кеша. Как да направите това във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете внимание на нашия навигатор най-много полезен ресурсЗа

Какво е вероятност?

Първият път, когато срещнах този термин, нямаше да разбера какво е това. Затова ще се опитам да обясня ясно.

Вероятността е шансът желаното от нас събитие да се случи.

Например, решили сте да отидете в къщата на приятел, помните входа и дори етажа, на който живее. Но забравих номера и местоположението на апартамента. И сега стоите на стълбището, а пред вас има врати, от които да избирате.

Какъв е шансът (вероятността), ако позвъните на първия звънец, вашият приятел да отвори вместо вас? Има само апартаменти, а приятел живее само зад един от тях. С равен шанс можем да изберем всяка врата.

Но какъв е този шанс?

Вратата, правилната врата. Вероятност за отгатване чрез позвъняване на първия звънец на вратата: . Тоест един път от три ще познаете точно.

Искаме да знаем, след като се обадим веднъж, колко често ще познаем вратата? Нека да разгледаме всички опции:

1. Ти се обади 1-воврата
2. Ти се обади 2-роврата
3. Ти се обади 3-товрата

Сега нека да разгледаме всички опции, където може да бъде приятел:

А. Отзад 1-воврата
b. Отзад 2-роврата
V. Отзад 3-товрата

Нека сравним всички опции под формата на таблица. Отметка показва опции, когато вашият избор съвпада с местоположението на приятел, кръст - когато не съвпада.

Как виждаш всичко Може би настроикиместоположението на вашия приятел и вашия избор на коя врата да позвъните.

А благоприятни резултати от всички . Тоест ще познаете веднъж, като позвъните веднъж на вратата, т.е. .

Това е вероятността - съотношението на благоприятен изход (когато вашият избор съвпада с местоположението на вашия приятел) към числото възможни събития.

Дефиницията е формулата. Вероятността обикновено се означава с p, следователно:

Не е много удобно да се пише такава формула, така че ще вземем за - броя на благоприятните резултати, а за - общия брой резултати.

Вероятността може да бъде записана като процент, трябва да умножите получения резултат по:

Думата „резултати“ вероятно е хванала окото ви. Защото математиците се обаждат различни действия(у нас такова действие е звънец) експерименти, тогава резултатът от такива експерименти обикновено се нарича резултат.

Е, има благоприятни и неблагоприятни резултати.

Да се ​​върнем към нашия пример. Да кажем, че звъннахме на една от вратите, но ни отвориха непознат. Не се досетихме правилно. Каква е вероятността, ако позвъним на една от останалите врати, нашият приятел да ни я отвори?

Ако си мислите така, значи това е грешка. Нека да го разберем.

Остават ни две врати. Така че имаме възможни стъпки:

1) Обадете се 1-воврата
2) Обадете се 2-роврата

Приятелят, въпреки всичко това, определено стои зад един от тях (в края на краищата не беше зад този, който извикахме):

а) Приятел за 1-воврата
б) Приятел за 2-роврата

Нека отново начертаем таблицата:

Както можете да видите, има само опции, от които благоприятни. Тоест вероятността е равна.

Защо не?

Ситуацията, която разгледахме, е пример зависими събития. Първото събитие е първото звънене на вратата, второто събитие е второто звънене на вратата.

И те се наричат ​​зависими, защото влияят на следните действия. В крайна сметка, ако след първото позвъняване на звънеца на вратата се отвори приятел, каква би била вероятността той да е зад един от другите двама? Правилно, .

Но ако има зависими събития, тогава също трябва да има независима? Точно така, случват се.

Пример от учебника е хвърлянето на монета.

1. Хвърлете монета веднъж. Каква е вероятността да получите глави, например? Точно така - тъй като има всички опции (или глави, или опашки, ще пренебрегнем вероятността монетата да кацне на ръба си), но това само ни устройва.
2. Но това дойде на глави. Добре, нека го хвърлим отново. Каква е вероятността да получите глави сега? Нищо не се е променило, всичко е същото. Колко опции? две. От колко сме доволни? един.

И нека да се надигне глави поне хиляда пъти подред. Вероятността да получите глави наведнъж ще бъде същата. Варианти винаги има и то изгодни.

Лесно е да се разграничат зависимите събития от независимите:

1. Ако експериментът се проведе веднъж (хвърлят монета веднъж, звънят веднъж на вратата и т.н.), тогава събитията винаги са независими.
2. Ако експериментът се проведе няколко пъти (монета се хвърля веднъж, на вратата се звъни няколко пъти), тогава първото събитие винаги е независимо. И тогава, ако броят на благоприятните или броят на всички резултати се промени, тогава събитията са зависими, а ако не, те са независими.

Нека се упражним малко в определянето на вероятността.

Пример 1.

Монетата се хвърля два пъти. Каква е вероятността да получите глави два пъти подред?

Решение:

Нека разгледаме всички възможни опции:

1. Орел-орел
2. Глави-опашки
3. Опашки-Глави
4. Опашки-опашки

Както можете да видите, има само опции. От тях само ние сме доволни. Тоест вероятността:

Ако условието изисква просто да се намери вероятността, тогава отговорът трябва да бъде даден във формуляра десетичен знак. Ако беше посочено, че отговорът трябва да бъде даден като процент, тогава ще умножим по.

Отговор:

Пример 2.

В кутия шоколадови бонбони всички шоколадови бонбони са опаковани в една и съща опаковка. От сладките обаче – с ядки, с коняк, с череши, с карамел и с нуга.

Каква е вероятността да вземете един бонбон и да получите бонбон с ядки? Дайте отговора си като процент.

Решение:

Колко възможни изхода има? .

Тоест, ако вземете един бонбон, той ще е от наличните в кутията.

Колко благоприятни изхода?

Защото кутията съдържа само шоколади с ядки.

Отговор:

Пример 3.

В кутия с балони. от които са бели и черни.

1. Каква е вероятността да изтеглите бяла топка?
2. Добавихме още черни топки в кутията. Каква е сега вероятността да изтеглите бяла топка?

Решение:

а) В кутията има само топки. От тях са бели.

Вероятността е:

б) Сега има повече топки в кутията. И остават точно толкова бели - .

Отговор:

Пълна вероятност

Вероятността за всички възможни събития е равна на ().

Да кажем, че в кутия има червени и зелени топки. Каква е вероятността да изтеглите червена топка? Зелена топка? Червена или зелена топка?

Вероятност да изтеглите червена топка

Зелена топка:

Червена или зелена топка:

Както можете да видите, сборът от всички възможни събития е равен на (). Разбирането на тази точка ще ви помогне да разрешите много проблеми.

Пример 4.

В кутията има маркери: зелен, червен, син, жълт, черен.

Каква е вероятността да НЕ нарисувате червен маркер?

Решение:

Нека преброим броя благоприятни резултати.

НЕ е червен маркер, това означава зелен, син, жълт или черен.

Вероятността събитието да не се случи е равна на минус вероятността събитието да се случи.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития

Вече знаете какво представляват независимите събития.

Ами ако трябва да намерите вероятността две (или повече) независими събития да се случат последователно?

Да кажем, че искаме да знаем каква е вероятността, ако хвърлим монета веднъж, да видим глави два пъти?

Вече разгледахме - .

Ами ако хвърлим монета веднъж? Каква е вероятността да видите орел два пъти подред?

Общо възможни опции:

1. Орел-орел-орел
2. Глави-глави-опашки
3. Глави-опашки-глави
4. Глави-опашки-опашки
5. Опашки-глави-глави
6. Опашки-глави-опашки
7. Опашки-опашки-глави
8. Опашки-опашки-опашки

Не знам за вас, но направих грешки няколко пъти, когато съставях този списък. Еха! И единственият вариант (първият) ни подхожда.

За 5 хвърляния можете сами да направите списък с възможни резултати. Но математиците не са толкова трудолюбиви като вас.

Следователно те първо забелязаха и след това доказаха, че вероятността от определена последователност от независими събития всеки път намалява с вероятността от едно събитие.

С други думи,

Нека да разгледаме примера на същата злополучна монета.

Вероятност да получите глави в предизвикателство? . Сега хвърляме монетата веднъж.

Каква е вероятността да получите глави в един ред?

Това правило не работи само ако бъдем помолени да намерим вероятността едно и също събитие да се случи няколко пъти подред.

Ако искахме да намерим последователността TAILS-HEADS-TAILS за последователни хвърляния, бихме направили същото.

Вероятността да получите опашки е , глави - .

Вероятност за получаване на последователността ОПАШКИ-ГЛАВИ-ОПАШКИ-ОПАШКИ:

Можете да проверите сами, като направите таблица.

Правилото за събиране на вероятностите за несъвместими събития.

Така че спри! Нова дефиниция.

Нека да го разберем. Нека вземем нашата изтъркана монета и я хвърлим веднъж.
Възможни опции:

1. Орел-орел-орел
2. Глави-глави-опашки
3. Глави-опашки-глави
4. Глави-опашки-опашки
5. Опашки-глави-глави
6. Опашки-глави-опашки
7. Опашки-опашки-глави
8. Опашки-опашки-опашки

Така че това са несъвместими събития, това е сигурно дадена последователностсъбития. - това са несъвместими събития.

Ако искаме да определим каква е вероятността от две (или повече) несъвместими събитияслед това сумираме вероятностите за тези събития.

Трябва да разберете, че главите или опашките са две независими събития.

Ако искаме да определим вероятността за възникване на последователност (или която и да е друга), тогава използваме правилото за умножаване на вероятностите.
Каква е вероятността да получите глави при първото хвърляне и опашки при второто и третото хвърляне?

Но ако искаме да знаем каква е вероятността да получим една от няколко последователности, например, когато главите се появят точно веднъж, т.е. опции и тогава трябва да съберем вероятностите на тези последователности.

Общите опции ни подхождат.

Можем да получим същото, като съберем вероятностите за поява на всяка последователност:

По този начин добавяме вероятности, когато искаме да определим вероятността за определени, непоследователни последователности от събития.

Има страхотно правило, което ще ви помогне да избегнете объркване кога да умножавате и кога да събирате:

Нека се върнем към примера, където хвърлихме монета веднъж и искахме да знаем вероятността да видим глави веднъж.
Какво ще се случи?

Трябва да изпадне:
(глави И опашки И опашки) ИЛИ (опашки И глави И опашки) ИЛИ (опашки И опашки И глави).
Ето как се оказва:

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 5.

В кутията има моливи. червено, зелено, оранжево, жълто и черно. Каква е вероятността да нарисувате червени или зелени моливи?

Решение:

Пример 6.

Ако зарът бъде хвърлен два пъти, каква е вероятността да получите общо 8?

Решение.

Как можем да получим точки?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Вероятността да получите едно (всяко) лице е .

Ние изчисляваме вероятността:

обучение.

Мисля, че сега разбирате кога трябва да изчислите вероятностите, кога да ги добавите и кога да ги умножите. Не е ли? Нека се упражним малко.

Задачи:

Нека вземем тесте карти, съдържащо карти, включително пики, купи, 13 купа и 13 каро. От до Асо от всяка боя.

1. Каква е вероятността да изтеглим купа в един ред (поставяме първата извадена карта обратно в тестето и я разбъркваме)?
2. Каква е вероятността да изтеглите черна карта (пика или купа)?
3. Каква е вероятността да нарисувате картина (вале, дама, поп или асо)?
4. Каква е вероятността да изтеглите две картини подред (премахваме първата изтеглена карта от тестето)?
5. Каква е вероятността, вземайки две карти, да съберете комбинация - (вале, дама или поп) и асо, в което са изтеглени картите, няма значение.

Отговори:

Ако сте успели да разрешите всички проблеми сами, значи сте страхотни! Сега ще разбивате задачи по теория на вероятностите на Единния държавен изпит като луди!

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ. СРЕДНО НИВО

Нека разгледаме един пример. Да кажем, че хвърляме зар. Какъв вид кост е това, знаете ли? Това е, което наричат ​​куб с числа на лицата. Колко лица, толкова числа: от до колко? Преди.

И така, ние хвърляме зара и искаме той да излезе или. И ние го разбираме.

В теорията на вероятностите казват какво се е случило благоприятно събитие(да не се бърка с проспериращ).

Ако се случи, събитието също ще бъде благоприятно. Общо могат да се случат само две благоприятни събития.

Колко са неблагоприятните? Тъй като има общо възможни събития, това означава, че неблагоприятните са събития (това е ако или изпада).

определение:

Вероятността е отношението на броя на благоприятните събития към броя на всички възможни събития. Тоест, вероятността показва каква част от всички възможни събития са благоприятни.

Показва вероятност латиница(очевидно от английска думавероятност - вероятност).

Обичайно е вероятността да се измерва като процент (вижте темата). За да направите това, стойността на вероятността трябва да бъде умножена по. В примера със зарове, вероятност.

И в проценти: .

Примери (решете сами):

1. Каква е вероятността да получите глави при хвърляне на монета? Каква е вероятността за кацане на глави?
2. Каква е вероятността да получите четно число при хвърляне на зар? И кое е странно?
3. В кутия обикновени, сини и червени моливи. Рисуваме един молив произволно. Каква е вероятността да получите прост?

Решения:

1. Колко опции има? Остри и опашки - само две. Колко от тях са благоприятни? Само един е орел. Така че вероятността

   Същото е и с опашките: .

2. Общо опции: (колко страни има кубът, толкова много различни опции). Благоприятни: (това са всички четни числа:).
   Вероятност. Разбира се, същото е и с нечетните числа.
3. Обща сума: . Благоприятен: . Вероятност: .

Пълна вероятност

Всички моливи в кутията са зелени. Каква е вероятността да нарисувате червен молив? Няма шансове: вероятност (в края на краищата благоприятни събития -).

Такова събитие се нарича невъзможно.

Каква е вероятността да нарисувате зелен молив? Има точно същия брой благоприятни събития, колкото има всички събития (всички събития са благоприятни). Така че вероятността е равна на или.

Такова събитие се нарича надеждно.

Ако една кутия съдържа зелени и червени моливи, каква е вероятността да нарисувате зелен или червен? Още веднъж. Нека отбележим това: вероятността да извадите зелено е равна, а червеното е равна.

Като цяло тези вероятности са напълно равни. Това е, сумата от вероятностите на всички възможни събития е равна на или.

Пример:

В кутия с моливи има сини, червени, зелени, обикновени, жълти, а останалите са оранжеви. Каква е вероятността да не нарисувате зелено?

Решение:

Помним, че всички вероятности се събират. И вероятността да получите зелено е равна. Това означава, че вероятността да не нарисувате зелено е равна.

Запомнете този трик:Вероятността събитието да не се случи е равна на минус вероятността събитието да се случи.

Независими събития и правилото за умножение

Хвърляте монета веднъж и искате тя да излезе с глави и двата пъти. Каква е вероятността от това?

Нека да прегледаме всички възможни опции и да определим колко са:

Глави-глави, опашки-глави, глави-опашки, опашки-опашки. Какво друго?

Общо опции. От тях само един ни подхожда: Eagle-Eagle. Като цяло вероятността е равна.

Глоба. Сега нека хвърлим монета веднъж. Сметнете си сами. Се случи? (отговор).

Може би сте забелязали, че с добавянето на всяко следващо хвърляне, вероятността намалява наполовина. Общо правилоНаречен правило за умножение:

Вероятностите за независими събития се променят.

Какво представляват независимите събития? Всичко е логично: това са тези, които не зависят един от друг. Например, когато хвърляме монета няколко пъти, всеки път се прави ново хвърляне, резултатът от което не зависи от всички предишни хвърляния. Можем също толкова лесно да хвърлим две различни монети едновременно.

Още примери:

1. Заровете се хвърлят два пъти. Каква е вероятността да го получите и двата пъти?
2. Монетата се хвърля веднъж. Каква е вероятността първия път да излезе с глави, а след това два пъти с опашки?
3. Играчът хвърля два зара. Каква е вероятността сборът на числата върху тях да е равен?

Отговори:

1. Събитията са независими, което означава, че правилото за умножение работи: .
2. Вероятността за глави е равна. Вероятността за опашки е същата. Умножете:
3. 12 може да се получи само ако се хвърлят две -ки: .

Несъвместими събития и правилото за добавяне

Събития, които взаимно се допълват, се наричат ​​несъвместими. пълна вероятност. Както подсказва името, те не могат да се случат едновременно. Например, ако хвърлим монета, тя може да излезе или с глави, или с опашки.

Пример.

В кутия с моливи има сини, червени, зелени, обикновени, жълти, а останалите са оранжеви. Каква е вероятността да нарисувате зелено или червено?

Решение .

Вероятността да нарисувате зелен молив е равна. Червен - .

Благоприятни събития във всички: зелено + червено. Това означава, че вероятността да нарисувате зелено или червено е еднаква.

Същата вероятност може да бъде представена в следната форма: .

Това е правилото за добавяне:вероятностите за несъвместими събития се сумират.

Проблеми от смесен тип

Пример.

Монетата се хвърля два пъти. Каква е вероятността резултатите от хвърлянията да са различни?

Решение .

Това означава, че ако първият резултат е глави, вторият трябва да е опашки и обратно. Оказва се, че има две двойки независими събития и тези двойки са несъвместими една с друга. Как да не се объркате къде да умножите и къде да добавите.

Има просто правило за такива ситуации. Опитайте се да опишете какво ще се случи, като използвате съюзите „И“ или „ИЛИ“. Например в този случай:

Трябва да излезе (глави и опашки) или (опашки и глави).

Където има връзка „и“ ще има умножение, а където има „или“ ще има събиране:

Опитайте сами:

1. Каква е вероятността, ако една монета бъде хвърлена два пъти, монетата да падне от една и съща страна и двата пъти?
2. Заровете се хвърлят два пъти. Каква е вероятността да получите общо точки?

Решения:

Друг пример:

Хвърлете монета веднъж. Каква е вероятността главите да се появят поне веднъж?

Решение:

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Вероятността е отношението на броя на благоприятните събития към броя на всички възможни събития.

Независими събития

Две събития са независими, ако настъпването на едното не променя вероятността другото да се случи.

Пълна вероятност

Вероятността за всички възможни събития е равна на ().

Вероятността събитието да не се случи е равна на минус вероятността събитието да се случи.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития

Вероятността за определена последователност от независими събития е равна на произведението на вероятностите за всяко събитие

Несъвместими събития

Несъвместими събития са тези, които не могат да възникнат едновременно в резултат на експеримент. Формират се поредица от несъвместими събития пълна групасъбития.

Вероятностите за несъвместими събития се сумират.

След като описваме какво трябва да се случи, използвайки съюзите „И“ или „ИЛИ“, вместо „И“ поставяме знак за умножение, а вместо „ИЛИ“ поставяме знак за събиране.

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно завършванеЕдинен държавен изпит, за прием в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях има много повече повече възможностии животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

В моя блог превод на следващата лекция от курса „Принципи на баланса на играта“ от дизайнера на игри Ян Шрайбер, който работи върху проекти като Marvel Trading Card Game и Playboy: the Mansion.

Досега почти всичко, за което говорихме, беше детерминистично, а миналата седмица разгледахме по-отблизо транзитивната механика, навлизайки в толкова подробности, колкото мога да обясня. Но досега не сме обръщали внимание на друг аспект на много игри, а именно недетерминистичните аспекти - с други думи, случайността.

Разбирането на природата на случайността е много важно за дизайнерите на игри. Ние създаваме системи, които влияят на опита на потребителя в дадена игра, така че трябва да знаем как работят тези системи. Ако в дадена система има произволност, трябва да разберем природата на тази произволност и да знаем как да я променим, за да получим резултатите, от които се нуждаем.

Зарове

Нека започнем с нещо просто - хвърляне зарове. Когато повечето хора мислят за зарове, те си представят шестстранен зар, известен като d6. Но повечето геймъри са виждали много други зарове: тетраедрични (d4), осмоъгълни (d8), дванадесетстранни (d12), двадесетстрани (d20). Ако сте истински маниак, може да имате някъде 30-странни или 100-странни зарове.

Ако не сте запознати с терминологията, d означава зар, а числото след него е броят на страните, които има. Ако числото се появи преди d, тогава то показва броя на заровете, които трябва да се хвърлят. Например, в играта на монополи хвърляте 2d6.

Така че в този случай фразата „зарове“ е символ. Има огромен брой други генератори на случайни числа, които не приличат на пластмасови фигури, но изпълняват същата функция - генерират произволно числоот 1 до n. Една обикновена монета също може да бъде представена като двустенен зар d2.

Видях два дизайна на седемстранни зарове: единият приличаше на зар, а другият приличаше повече на седемстранен дървен молив. Тетраедричният дрейдел, известен също като титотум, е подобен на тетраедричната кост. Въртящата се дъска със стрели в Улеи и стълби, където резултатите могат да варират от 1 до 6, съответства на шестстранен зар.

Генераторът на произволни числа на компютъра може да създаде произволно число от 1 до 19, ако дизайнерът го посочи, въпреки че компютърът няма 19-странна матрица (като цяло ще говоря повече за вероятността числата да се появят на компютър следващата седмица). Всички тези елементи изглеждат различно, но в действителност са еквивалентни: имате еднакъв шанс за всеки от няколко възможни резултата.

Заровете имат някои интересни имотиза които трябва да знаем. Първо, вероятността някой от заровете да падне е една и съща (предполагам, че хвърляте правилния зар). геометрична форма). Ако искате да знаете средната стойност на хвърляне (за тези, които се интересуват от вероятността, това е известно като очакваната стойност), съберете стойностите на всички ръбове и разделете това число на броя на ръбовете.

Сумата от стойностите на всички страни за стандартен шестстранен зар е 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Разделете 21 на броя на страните и получете средната стойност на хвърлянето: 21 / 6 = 3,5. Това специален случай, защото приемаме, че всички резултати са еднакво вероятни.

Ами ако имате специални зарове? Например, видях игра с шестстранен зар със специални стикери отстрани: 1, 1, 1, 2, 2, 3, така че се държи като странен тристранен зар, с който повече шансовече числото ще бъде 1, а не 2, и че 2 е по-вероятно да бъде хвърлено, отколкото 3. Каква е средната стойност на хвърлянето за този зар? И така, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, разделено на 6 - получава се 5/3 или приблизително 1,66. Така че, ако имате специален зар и играчите хвърлят три зара и след това съберат резултатите - знаете, че тяхното хвърляне ще доведе до около 5 и можете да балансирате играта въз основа на това предположение.

Зарове и независимост

Както вече казах, ние изхождаме от предположението, че всяка страна е еднакво вероятно да отпадне. Няма значение колко зарове хвърляте. Всяко хвърляне на зарове е независимо, което означава, че предишните хвърляния не влияят на резултатите от следващите. При наличието на достатъчно опити, вие със сигурност ще забележите модел на числа - например хвърляне предимно на по-високи или по-ниски стойности - или други характеристики, но това не означава, че заровете са "горещи" или "студени". Ще говорим за това по-късно.

Ако хвърлите стандартен шестстранен зар и числото 6 се появи два пъти подред, вероятността следващото хвърляне да доведе до 6 е точно 1/6. Вероятността не се увеличава, защото зарът е „нагрял“. . В същото време вероятността не намалява: неправилно е да се смята, че числото 6 вече се е появило два пъти подред, което означава, че сега трябва да се появи друга страна.

Разбира се, ако хвърлите зар двадесет пъти и получавате 6 всеки път, шансът двадесет и първия път, когато хвърлите 6, е доста голям: може би просто имате грешен зар. Но ако зарът е честен, всяка страна има една и съща вероятност за приземяване, независимо от резултатите от другите хвърляния. Можете също така да си представите, че заменяме зара всеки път: ако числото 6 се хвърли два пъти подред, премахнете „горещия“ зар от играта и го заменете с нов. Извинявам се, ако някой от вас вече е знаел за това, но трябваше да изясня това, преди да продължа.

Как да направите хвърлянето на заровете повече или по-малко произволно

Нека поговорим за това как да получите различни резултати на различни зарове. Независимо дали хвърляте зар само веднъж или няколко пъти, играта ще изглежда по-произволна, когато зарът има повече страни. Колкото по-често трябва да хвърляте заровете и колкото повече зарове хвърляте, толкова повече резултатите се доближават до средните.

Например, в случай на 1d6 + 4 (тоест, ако хвърлите веднъж стандартен шестстранен зар и добавите 4 към резултата), средната стойност ще бъде число между 5 и 10. Ако хвърлите 5d2, средната също ще бъде число между 5 и 10. Резултатите от хвърляне на 5d2 ще бъдат главно числата 7 и 8, по-рядко други стойности. Една и съща серия, дори същата средна стойност (и в двата случая 7,5), но естеството на случайността е различно.

Чакай малко. Не казах ли току-що, че заровете не „нагряват“ или „охлаждат“? Сега казвам: ако хвърлите много зарове, резултатите от хвърлянията ще се доближат до средните. Защо?

Нека обясня. Ако хвърлите един зар, всяка страна има еднаква вероятност да се приземи. Това означава, че ако хвърлите много зарове с течение на времето, всяка страна ще се появи приблизително еднакъв брой пъти. Колкото повече зарове хвърлите, толкова повече общият резултат ще се доближава до средния.

Това не е така, защото изтегленото число „принуждава“ да бъде изтеглено друго число, което все още не е изтеглено. Но тъй като малка поредица от хвърляне на числото 6 (или 20, или друго число) в крайна сметка няма да повлияе толкова на резултата, ако хвърлите заровете още десет хиляди пъти и най-вече ще излезе средното число. Сега ще получите няколко големи числа, а по-късно няколко малки - и с течение на времето те ще се доближат до средното.

Това не се случва, защото предишните хвърляния влияят на заровете (сериозно, заровете са направени от пластмаса, няма мозъка да си помисли: „О, отдавна не си хвърлил 2“), но тъй като това е какво обикновено се случва с много хвърляния на зарове

По този начин е доста лесно да се направят изчисленията за едно произволно хвърляне на зара - поне да се изчисли средната стойност на хвърлянето. Има и начини да се изчисли „колко произволно“ е нещо и да се каже, че резултатите от хвърлянето на 1d6+4 ще бъдат „по-случайни“ от 5d2. За 5d2 хвърлянията ще бъдат по-равномерно разпределени. За да направите това, трябва да изчислите стандартното отклонение: колкото по-голяма е стойността, толкова по-случайни ще бъдат резултатите. Не бих искал да давам толкова много изчисления днес, ще обясня тази тема по-късно.

Единственото нещо, което ще ви помоля да запомните е, че като общо правило колкото по-малко зарове хвърляте, толкова по-голяма е случайността. И колкото повече страни има един зар, толкова по-голяма е случайността, тъй като има повече възможни опции за стойност.

Как да изчислим вероятността с помощта на броене

Може би се чудите: как можем да изчислим точната вероятност за получаване на определен резултат? Всъщност това е доста важно за много игри: ако първоначално хвърлите заровете - най-вероятно има някакъв оптимален резултат. Моят отговор е: трябва да изчислим две стойности. първо, общ бройрезултати при хвърляне на зар, и второ, броят на благоприятните резултати. Разделянето на втората стойност на първата ще ви даде желаната вероятност. За да получите процента, умножете резултата по 100.

Примери

Ето един много прост пример. Искате числото 4 или по-високо да хвърли веднъж шестстранния зар. Максималният брой резултати е 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). От тях 3 изхода (4, 5, 6) са благоприятни. Това означава, че за да изчислим вероятността, разделяме 3 на 6 и получаваме 0,5 или 50%.

Ето един малко по-сложен пример. Искате да хвърлите 2d6 четен брой. Максималният брой резултати е 36 (6 опции за всеки зар, един зар не влияе на другия, така че умножете 6 по 6 и вземете 36). Трудност на проблема от този типе, че е лесно да се брои два пъти. Например, когато хвърлите 2d6, има два възможни резултата от 3: 1+2 и 2+1. Те изглеждат еднакви, но разликата е кое число се показва на първия зар и кое число се показва на втория.

Можете също така да си представите, че заровете различни цветове: Така, например, в този случай единият зар е червен, другият е син. След това пребройте броя на опциите за хвърляне на четно число:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Оказва се, че има 18 варианта за благоприятен изход от 36 - както в предишния случай, вероятността е 0,5 или 50%. Може би неочаквано, но доста точно.

Симулация Монте Карло

Ами ако имате твърде много зарове за това изчисление? Например, искате да знаете каква е вероятността да получите общо 15 или повече, когато хвърлите 8d6. За осем зара има огромно разнообразиеразлични резултати и ръчното им преброяване би отнело много време - дори ако намерим някакво добро решение за групиране на различни серии от хвърляния на зарове.

В този случай най-лесният начин е да не броите ръчно, а да използвате компютър. Има два начина за изчисляване на вероятността на компютър. Първият метод може да ви даде точен отговор, но включва малко програмиране или скриптове. Компютърът ще премине през всяка възможност, ще оцени и преброи общия брой итерации и броя на итерациите, които съответстват желаният резултати след това дайте отговорите. Вашият код може да изглежда нещо подобно по следния начин:

Ако не разбирате от програмиране и имате нужда от приблизителен отговор, а не от точен, можете да симулирате тази ситуация в Excel, където хвърляте 8d6 няколко хиляди пъти и получавате отговора. За да превъртите 1d6 в Excel, използвайте формулата =FLOOR(RAND()*6)+1.

Има име за ситуацията, когато не знаете отговора и просто опитвате отново и отново - симулация Монте Карло. Това е чудесно решение за използване, когато изчисляването на вероятността е твърде трудно. Страхотното е, че в този случай не е нужно да разбираме как работи математиката и знаем, че отговорът ще бъде „доста добър“, защото, както вече знаем, колкото повече хвърляния, толкова повече резултатът се доближава до средно аритметично.

Как да комбинирате независими опити

Ако питате за многократно повтаряне, но независими тестове, тогава резултатът от едно хвърляне не влияе върху резултатите от други хвърляния. Има друго по-просто обяснение за тази ситуация.

Как да разграничим нещо зависимо от независимо? По принцип, ако можете да изолирате всяко хвърляне (или поредица от хвърляния) на зара като отделно събитие, тогава то е независимо. Например, да речем, че хвърляме 8d6 и искаме общо 15. Това събитиене може да се раздели на няколко независими хвърляния на зарове. За да получите резултата, вие изчислявате сумата от всички стойности, така че резултатът, който се появява на един зар, влияе върху резултатите, които трябва да се появят на останалите.

Ето пример за независими хвърляния: Вие играете игра със зарове и хвърляте шестстранни зарове няколко пъти. Първото хвърляне трябва да е 2 или повече, за да останете в играта. За второ хвърляне - 3 или повече. Третото изисква 4 или повече, четвъртото изисква 5 или по-високо, а петото изисква 6. Ако и петте хвърляния са успешни, вие печелите. В този случай всички хвърляния са независими. Да, ако едно хвърляне е неуспешно, това ще повлияе на резултата от цялата игра, но едно хвърляне не влияе на другото. Например, ако второто ви хвърляне на зара е много успешно, това не означава, че следващите ще бъдат толкова добри. Следователно можем да разгледаме вероятността за всяко хвърляне на зара поотделно.

Ако имате независими вероятностии искате да знаете каква е вероятността всички събития да се случат, определяте всяка отделна вероятност и ги умножавате заедно. Друг начин: ако използвате връзката „и“, за да опишете няколко условия (например каква е вероятността за възникване на някакво случайно събитие и някакво друго независимо случайно събитие?) - пребройте отделните вероятности и ги умножете.

Без значение какво мислите, никога не събирайте независими вероятности. Това е често срещана грешка. За да разберете защо това не е наред, представете си ситуация, в която хвърляте монета и искате да знаете каква е вероятността да получите глави два пъти подред. Вероятността всяка страна да изпадне е 50%. Ако съберете тези две вероятности, получавате 100% шанс да получите глави, но знаем, че това не е вярно, защото можеше да има опашки два пъти подред. Ако вместо това умножите двете вероятности, получавате 50% * 50% = 25% - което е правилният отговор за изчисляване на вероятността да получите глави два пъти подред.

Пример

Нека се върнем към играта с шестстранни зарове, където първо трябва да хвърлите число, по-голямо от 2, след това по-голямо от 3 - и така до 6. Какви са шансовете при дадена серия от пет хвърляния всички резултати да са благоприятни ?

Както беше посочено по-горе, това са независими опити, така че изчисляваме вероятността за всяко отделно хвърляне и след това ги умножаваме заедно. Вероятността изходът от първото хвърляне да бъде благоприятен е 5/6. Второ - 4/6. Трети - 3/6. Четвъртият - 2/6, петият - 1/6. Умножаваме всички резултати един по друг и получаваме приблизително 1,5%. Печалбите в тази игра са доста редки, така че ако добавите този елемент към играта си, ще имате нужда от доста голям джакпот.

Отрицание

Ето още една полезен съвет: Понякога е трудно да се изчисли вероятността дадено събитие да се случи, но е по-лесно да се определят шансовете събитието да не се случи. Например, да кажем, че имаме друга игра: хвърляте 6d6 и печелите, ако хвърлите 6 поне веднъж. Каква е вероятността да спечелите?

В този случай има много възможности за разглеждане. Възможно е да се хвърли едно число 6, тоест един от заровете да показва числото 6, а останалите да показват числата от 1 до 5, тогава има 6 варианта на кой от заровете да показва 6. Можете да получите числото 6 на два зара, или три, или дори повече, и всеки път ще трябва да правите отделно изчисление, така че е лесно да се объркате тук.

Но нека погледнем проблема от другата страна. Ще загубите, ако никой от заровете не хвърли 6. В този случай имаме 6 независими опита. Вероятността всеки зар да хвърли число, различно от 6, е 5/6. Умножете ги и ще получите около 33%. По този начин вероятността да загубите е едно към три. Следователно вероятността за печалба е 67% (или две до три).

От този пример е очевидно: ако изчислите вероятността дадено събитие да не се случи, трябва да извадите резултата от 100%. Ако вероятността за печалба е 67%, тогава вероятността за загуба е 100% минус 67%, или 33%, и обратно. Ако е трудно да се изчисли една вероятност, но е лесно да се изчисли противоположната, изчислете противоположната и след това извадете това число от 100%.

Комбинираме условията за един независим тест

Казах малко по-горе, че никога не трябва да добавяте вероятности към независими опити. Има ли случаи, в които е възможно да се сумират вероятностите? Да, в една специална ситуация.

Ако искате да изчислите вероятността за няколко несвързани благоприятни изхода при един опит, сумирайте вероятностите за всеки благоприятен изход. Например, вероятността да хвърлите 4, 5 или 6 на 1d6 е равна на сумата от вероятността да хвърлите 4, вероятността да хвърлите 5 и вероятността да хвърлите 6. Тази ситуацияможе да си представите по следния начин: ако използвате връзката „или“ във въпрос за вероятност (например каква е вероятността за един или друг резултат от едно случайно събитие?) - пребройте отделните вероятности и ги сумирайте.

Моля, обърнете внимание: когато изчислявате всички възможни резултати от игра, сумата от вероятностите за тяхното възникване трябва да бъде равна на 100%, в противен случай изчислението ви е направено неправилно. Това е добър начин да проверите отново изчисленията си. Например, вие сте анализирали вероятността от всички комбинации в покера. Ако съберете всичките си резултати, трябва да получите точно 100% (или поне доста близо до 100%: ако използвате калкулатор, може да има малка грешка при закръгляване, но ако съберете точните числа на ръка, всичко трябва да се добави). Ако сумата не се сближава, това означава, че най-вероятно не сте взели предвид някои комбинации или сте изчислили неправилно вероятностите за някои комбинации и изчисленията трябва да бъдат проверени повторно.

Неравни вероятности

Досега приемахме, че всяка страна на зара се хвърля с еднаква честота, защото така изглежда зарът работи. Но понякога може да се натъкнете на ситуация, при която са възможни различни резултати и те имат различни шансове да се появят.

Например, в едно от допълненията към играта с карти Nuclear War има игрално поле със стрелка, от която зависи резултатът от изстрелването на ракета. Най-често нанася нормални щети, по-силни или по-слаби, но понякога щетите се удвояват или утрояват или ракетата експлодира стартова площадкаи ви вреди, или се случи някакво друго събитие. За разлика от дъската със стрели в Улеи и стълби или Игра на живот, резултатите на игралната дъска в Ядрена война са неравни. Някои участъци от игралното поле са по-големи и стрелката спира върху тях много по-често, докато други участъци са много малки и стрелката спира върху тях рядко.

И така, на пръв поглед зарът изглежда така: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - вече говорихме за това, това е нещо като претеглено 1d3. Следователно трябва да разделим всички тези секции на равни части, да намерим най-малката мерна единица, чийто делител е кратно всичко, и след това да представим ситуацията под формата на d522 (или друга), където наборът от зарове лицата ще представляват същата ситуация, нос голяма сумарезултати. Това е един от начините за решаване на проблема и е технически осъществим, но има по-прост вариант.

Нека се върнем към нашите стандартни шестстранни зарове. Казахме, че за да изчислите средното хвърляне за нормален зар, трябва да съберете стойностите на всички лица и да ги разделите на броя на лицата, но как точно работи изчислението? Има и друг начин да изразите това. За шестстранен зар вероятността всяка страна да бъде хвърлена е точно 1/6. Сега умножаваме резултата от всяко ребро по вероятността за този резултат (в този случай 1/6 за всяко ребро) и след това събираме получените стойности. По този начин, сумирането на (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), получаваме същия резултат (3.5), както при изчислението по-горе. Всъщност ние броим по този начин всеки път: умножаваме всеки резултат по вероятността за този резултат.

Можем ли да направим същото изчисление за стрелката на игралното поле в Ядрена война? Разбира се, че можем. И ако обобщим всички намерени резултати, ще получим средната стойност. Всичко, което трябва да направим, е да изчислим вероятността за всеки резултат за стрелката на игралната дъска и да умножим по стойността на резултата.

Друг пример

Този метод за изчисляване на средната стойност също е подходящ, ако резултатите са еднакво вероятни, но имат различни предимства - например, ако хвърлите зар и спечелите повече от някои страни, отколкото от други. Например, нека вземем казино игра: правите залог и хвърляте 2d6. Ако излязат три числа най-ниска стойност(2, 3, 4) или четири числа с висока стойност (9, 10, 11, 12) - ще спечелите сума, равна на вашия залог. Числата с най-ниска и най-висока стойност са специални: ако хвърлите 2 или 12, печелите два пъти своя залог. Ако се хвърли някое друго число (5, 6, 7, 8), вие ще загубите залога си. Хубаво е проста игра. Но каква е вероятността да спечелите?

Нека започнем, като преброим колко пъти можете да спечелите. Максималният брой резултати при хвърляне на 2d6 е 36. Какъв е броят на благоприятните резултати?

• Има 1 опция, че ще бъде хвърлена 2, и 1 опция, че ще бъде хвърлена 12.
• Има 2 опции, които 3 ще хвърлят и 2 опции, които 11 ще хвърлят.
• Има 3 опции, които ще хвърлят 4, и 3 опции, които ще хвърлят 10.
• Има 4 опции за хвърляне на 9.

Обобщавайки всички опции, получаваме 16 благоприятни изхода от 36. Така при нормални условия ще спечелите 16 пъти от 36 възможни - вероятността да спечелите е малко по-малка от 50%.

Но в два от тези шестнадесет случая ще спечелите два пъти повече - все едно сте спечелили два пъти. Ако играете тази игра 36 пъти, като залагате $1 всеки път и всеки от всички възможни резултати се появи веднъж, ще спечелите общо $18 (всъщност ще спечелите 16 пъти, но два от тях ще се броят за две победи). Ако играете 36 пъти и спечелите $18, това не означава ли, че шансовете са равни?

Отделете време. Ако преброите колко пъти можете да загубите, ще получите 20, а не 18. Ако играете 36 пъти, залагайки $1 всеки път, ще спечелите обща сума$18, ако настъпят всички благоприятни резултати. Но ще загубите общо $20, ако получите всичките 20 неблагоприятни резултата. В резултат на това ще изостанете малко: губите средно $2 нетно за всеки 36 игри (можете също така да кажете, че губите средно 1/18 от долар на ден). Сега виждате колко лесно е да направите грешка в този случай и да изчислите вероятността неправилно.

Пренареждане

Досега приемахме, че редът на числата при хвърляне на зарове няма значение. Хвърлянето на 2 + 4 е същото като хвърлянето на 4 + 2. В повечето случаи ръчно броим броя на благоприятните резултати, но понякога този методе непрактично и е по-добре да се използва математическа формула.

Пример за тази ситуация е от играта със зарове Farkle. За всеки нов рунд хвърляте 6d6. Ако имате късмет и вземете всички възможни резултати 1-2-3-4-5-6 (прав), ще получите голям бонус. Каква е вероятността това да се случи? В този случай има много възможности за получаване на тази комбинация.

Решението е следното: един от заровете (и само един) трябва да има числото 1. По колко начина може да се появи числото 1 на един зар? Има 6 опции, тъй като има 6 зара и всеки от тях може да се падне на числото 1. Съответно вземете един зар и го оставете настрана. Сега един от останалите зарове трябва да хвърли числото 2. Има 5 опции за това. Вземете друг зар и го оставете настрана. След това 4 от останалите зарове могат да попаднат 3, 3 от останалите зарове могат да попаднат 4, а 2 от останалите зарове могат да попаднат 5. Това ви оставя с един зар, който трябва да попадне 6 (в последният случайима само един зар и няма избор).

За да изчислим броя на благоприятните резултати за удряне на стрейт, ние умножаваме всички различни независими възможности: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - изглежда има доста голям брой възможности за тази комбинация да се появи .

За да изчислим вероятността да получим стрейт, трябва да разделим 720 на броя на всички възможни резултати за хвърляне 6d6. Какъв е броят на всички възможни резултати? Всеки зар може да има 6 страни, така че умножаваме 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (много по-голямо число от предишното). Разделяме 720 на 46656 и получаваме вероятност от приблизително 1,5%. Ако проектирате тази игра, би било полезно да знаете това, за да можете да създадете система за точкуване по съответния начин. Сега разбираме защо във Farkle получавате толкова голям бонус, ако получите стрейт: това е доста рядка ситуация.

Резултатът е интересен и по друга причина. Примерът показва колко рядко за кратък период се получава резултат, който отговаря на вероятността. Разбира се, ако хвърляхме няколко хиляди зара, различни лицадоста често се появяват зарове. Но когато хвърлим само шест зара, почти никога не се случва всяко лице да излезе. Става ясно, че е глупаво да се очаква, че сега ще се появи линия, която все още не се е случила, защото „отдавна не сме хвърляли числото 6“. Слушай, твоят генератор на случайни числа е повреден.

Това ни води до общоприетото погрешно схващане, че всички резултати се случват с еднаква честота за кратък период от време. Ако хвърлим зарове няколко пъти, честотата на изпадане на всяка страна няма да е еднаква.

Ако някога сте работили върху онлайн игра с някакъв вид генератор на произволни числа, най-вероятно сте се сблъсквали със ситуация, при която играч пише на техническата поддръжка, оплаквайки се, че генераторът на произволни числа не показва произволни числа. Той стигна до това заключение, защото уби 4 чудовища подред и получи 4 абсолютно еднакви награди, а тези награди трябва да се появяват само 10% от времето, така че това очевидно почти никога не трябва да се случва.

Вие правите математическо изчисление. Вероятността е 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, тоест 1 резултат от 10 хиляди е доста рядък случай. Това е, което играчът се опитва да ви каже. Има ли проблем в този случай?

Всичко зависи от обстоятелствата. Колко играчи са в момента на вашия сървър? Да приемем, че имате доста популярна игра и 100 хиляди души я играят всеки ден. Колко играчи могат да убият четири чудовища подред? Вероятно всички, по няколко пъти на ден, но да приемем, че половината от тях просто се разменят различни обектина търгове, кореспондира на RP сървъри или извършва други игрови действия - по този начин само половината от тях ловуват чудовища. Каква е вероятността някой да получи същата награда? В тази ситуация можете да очаквате това да се случва поне няколко пъти на ден.

Между другото, ето защо изглежда, че на всеки няколко седмици някой печели от лотарията, дори ако този някой никога не сте били вие или някой, когото познавате. Ако достатъчно хора играят редовно, шансовете са някъде да има поне един късметлия. Но ако сами играете на лотарията, тогава е малко вероятно да спечелите, а по-скоро ще бъдете поканени да работите в Infinity Ward.

Карти и пристрастяване

Обсъждахме независими събития, като хвърляне на зар, и сега знаем много мощни инструментианализ на случайността в много игри. Изчисляването на вероятността е малко по-сложно, когато става въпрос за теглене на карти от тестето, тъй като всяка карта, която теглим, засяга тези, които остават в тестето.

Ако имате стандартна колода от 52 карти, вие премахвате 10 сърца от нея и искате да знаете вероятността следващата карта да бъде от същата боя - вероятността се е променила спрямо оригинала, защото вече сте премахнали една карта от боята сърца от тестето. Всяка карта, която премахнете, променя вероятността следващата карта да се появи в тестето. В такъв случай предишно събитиезасяга следното, така че наричаме това зависимо от вероятността.

Моля, обърнете внимание, че когато казвам „карти“, говоря за всяка механика на играта, при която имате набор от обекти и премахвате един от обектите, без да го замените. „Колоде карти“ в този случай е аналогично на торба с чипове, от която вземате един чип, или урна, от която се вземат цветни топки (никога не съм виждал игри с урна, от която се вземат цветни топки, но учителите на теорията на вероятностите според каква причина този пример е предпочитан).

Свойства на зависимостта

Бих искал да поясня, че кога ние говорим заотносно картите, предполагам, че вадите картите, гледате ги и ги махате от тестето. Всяко от тези действия е важно свойство. Ако имах тесте от, да речем, шест карти с числата от 1 до 6, щях да ги разбъркам и да изтегля една карта, след което да разбъркам всичките шест карти отново - това би било подобно на хвърляне на шестстранен зар, защото един резултат има няма ефект за следващите. И ако извадя карти и не ги заменя, тогава като извадя карта 1, увеличавам вероятността следващия път да изтегля карта с числото 6. Вероятността ще нараства, докато в крайна сметка премахна тази карта или разбъркайте колодата.

Фактът, че гледаме на карти, също е важен. Ако извадя карта от тестето и не я погледна, няма да имам Допълнителна информацияи всъщност вероятността няма да се промени. Това може да звучи контраинтуитивно. Как може просто обръщане на карта магическипромяна на вероятността? Но е възможно, защото можете да изчислите вероятността за неизвестни елементи само от това, което знаете.

Например, ако разбъркате стандартно тесте карти и разкриете 51 карти и нито една от тях не е дама купа, тогава можете да сте 100% сигурни, че останалата карта е дама купа. Ако разбъркате стандартно тесте карти и извадите 51 карти, без да ги гледате, вероятността оставащата карта да е дама купа все още е 1/52. Когато отваряте всяка карта, получавате повече информация.

Изчисляването на вероятността за зависими събития следва същите принципи като за независими събития, с изключение на това, че е малко по-сложно, защото вероятностите се променят, когато разкривате картите. Така че трябва да се размножавате много различни значения, вместо да умножите същата стойност. Това наистина означава, че трябва да комбинираме всички изчисления, които направихме, в една комбинация.

Пример

Разбърквате стандартно тесте от 52 карти и теглите две карти. Каква е вероятността да изтеглите чифт? Има няколко начина за изчисляване на тази вероятност, но може би най-простият е следният: каква е вероятността, ако изтеглите една карта, да не можете да изтеглите чифт? Тази вероятност е нула, така че няма значение коя първа карта ще изтеглите, стига да съвпада с втората. Няма значение коя карта ще изтеглим първа, все пак имаме шанс да изтеглим чифт. Следователно вероятността да изтеглите чифт след изтегляне на първата карта е 100%.

Каква е вероятността втората карта да съвпадне с първата? Остават 51 карти в тестето и 3 от тях съвпадат с първата карта (всъщност ще има 4 от 52, но вече сте премахнали една от съвпадащите карти, когато сте изтеглили първата карта), така че вероятността е 1/ 17. Така че следващия път, когато играете Texas Hold'em, човекът от другата страна на масата ви казва: „Страхотно, още един чифт? Чувствам се късметлия днес“, ще знаете, че има голяма вероятност той да блъфира.

Ами ако добавим два жокера, така че да имаме 54 карти в тестето и искаме да знаем каква е вероятността да изтеглим чифт? Първата карта може да е жокер и тогава в тестето ще има само една съвпадаща карта, а не три. Как да намерим вероятността в този случай? Ще разделим вероятностите и ще умножим всяка възможност.

Първата ни карта може да бъде жокер или друга карта. Вероятността да изтеглите жокер е 2/54, вероятността да изтеглите друга карта е 52/54. Ако първата карта е жокер (2/54), тогава вероятността втората карта да съвпадне с първата е 1/53. Умножаваме стойностите (можем да ги умножаваме, защото те са отделни събития и искаме и двете събития да се случат) и получаваме 1/1431 - по-малко от една десета от процента.

Ако първо изтеглите друга карта (52/54), вероятността за съвпадение на втората карта е 3/53. Умножаваме стойностите и получаваме 78/1431 (малко повече от 5,5%). Какво правим с тези два резултата? Те не се пресичат и ние искаме да знаем вероятността за всеки от тях, така че добавяме стойностите. Получаваме краен резултат от 79/1431 (все още около 5,5%).

Ако искахме да сме сигурни в точността на отговора, бихме могли да изчислим вероятността за всички останали възможни резултати: теглене на жокер и липса на втора карта или изтегляне на друга карта и липса на втора карта. Като сумираме тези вероятности и вероятността за печалба, ще получим точно 100%. Няма да давам математиката тук, но можете да опитате математиката, за да проверите отново.

Парадоксът на Монти Хол

Това ни води до един доста известен парадокс, който често обърква много хора - Парадоксът на Монти Хол. Парадоксът е кръстен на водещия на телевизионното шоу „Да сключим сделка“. За тези, които никога не са гледали това телевизионно шоу, това беше обратното на „Цената е правилна“.

В The Price Is Right домакинът (Боб Баркър беше домакин; кой е сега, Дрю Кери? Няма значение) е ваш приятел. Той иска да спечелите пари или страхотни награди. Опитва се да ви даде всяка възможност да спечелите, стига да можете да познаете колко всъщност струват артикулите, закупени от спонсорите.

Монти Хол се държеше различно. Беше като злия близнак на Боб Баркър. Целта му беше да те накара да изглеждаш като идиот по националната телевизия. Ако бяхте в шоуто, той беше ваш опонент, играехте срещу него и шансовете бяха в негова полза. Може би съм прекалено груб, но като гледам шоуто, в което е по-вероятно да попаднеш, ако носиш смешен костюм, точно до това стигнах.

Едно от най-известните мемета на шоуто беше следното: има три врати пред вас, врата номер 1, врата номер 2 и врата номер 3. Можете да изберете една врата безплатно. Зад един от тях има страхотна награда - например нова кола. Зад другите две врати няма награди, като и двете са без стойност. Те трябва да ви унижават, така че зад тях не стои нищо, а нещо глупаво, например коза или огромна туба паста за зъби - всичко друго, но не и нова кола.

Избирате една от вратите, Монти е на път да я отвори, за да ви уведоми дали сте спечелили или не... но изчакайте. Преди да разберем, нека да разгледаме една от тези врати, които не сте избрали. Монти знае зад коя врата е наградата и винаги може да отвори вратата, зад която няма награда. „Избирате ли врата номер 3? Тогава нека отворим врата номер 1, за да покажем, че зад нея няма награда." И сега, от щедрост, той ви предлага възможността да размените избраната врата номер 3 за това, което е зад врата номер 2.

В този момент възниква въпросът за вероятността: тази възможност увеличава ли вероятността ви да спечелите, или я намалява, или остава непроменена? Как смятате?

Правилен отговор: възможността да изберете друга врата увеличава вероятността за печалба от 1/3 на 2/3. Това е нелогично. Ако не сте се сблъсквали с този парадокс преди, тогава най-вероятно си мислите: чакайте, как така, отваряйки една врата, сме променили магически вероятността? Както вече видяхме с картите, точно това се случва, когато получим повече информация. Очевидно, когато избирате за първи път, вероятността да спечелите е 1/3. Когато една врата се отвори, това изобщо не променя вероятността за печалба за първия избор: вероятността все още е 1/3. Но вероятността другата врата да е правилна вече е 2/3.

Нека погледнем този пример от друга гледна точка. Вие избирате врата. Вероятността за печалба е 1/3. Предлагам да смените другите две врати, което прави Монти Хол. Разбира се, той отваря една от вратите, за да покаже, че няма награда зад нея, но винаги може да направи това, така че това всъщност не променя нищо. Разбира се, ще искате да изберете различна врата.

Ако не разбирате напълно въпроса и се нуждаете от по-убедително обяснение, щракнете върху тази връзка, за да бъдете отведени до страхотно малко Flash приложение, което ще ви позволи да изследвате този парадокс по-подробно. Можете да играете като започнете с около 10 врати и след това постепенно да стигнете до игра с три врати. Има и симулатор, където можете да играете с произволен брой врати от 3 до 50 или да стартирате няколко хиляди симулации и да видите колко пъти бихте спечелили, ако играете.

Изберете една от три врати - вероятността да спечелите е 1/3. Сега имате две стратегии: да промените избора си след отваряне на грешната врата или не. Ако не промените избора си, тогава вероятността ще остане 1/3, тъй като изборът се случва само на първия етап и трябва да познаете веднага. Ако промените, тогава можете да спечелите, ако първо изберете грешната врата (след това отварят друга грешна, правилната остава - като промените решението си, вие го вземате). Вероятността да изберете грешна врата в началото е 2/3 - така се оказва, че променяйки решението си, вие удвоявате вероятността да спечелите.

Забележка от учителя висша математикаи специалистът по баланс на играта Максим Солдатов - Шрайбер, разбира се, я нямаше, но без нея можете да разберете това магическа трансформациядостатъчно трудно

И отново за парадокса на Монти Хол

Колкото до самото шоу: дори противниците на Монти Хол да не бяха добри в математиката, той беше добър в нея. Ето какво направи той, за да промени малко играта. Ако сте избрали врата, зад която има награда, която има 1/3 шанс да се случи, тя винаги ще ви предложи опцията да изберете друга врата. Ще изберете кола и след това ще я размените за коза и ще изглеждате доста глупаво - което е точно това, което искате, тъй като Хол е нещо като зъл човек.

Но ако изберете врата, зад която няма награда, той ще ви помоли да изберете друга само през половината време или просто ще ви покаже новата ви коза и вие ще напуснете сцената. Нека анализираме това нова игра, в който Monty Hall може да реши дали да ви предложи шанса да изберете друга врата или не.

Да предположим, че следва този алгоритъм: ако изберете врата с награда, той винаги ви предлага възможност да изберете друга врата, в противен случай е еднакво вероятно да ви предложи да изберете друга врата или да ви даде коза. Каква е вероятността да спечелите?

В един от три вариантаведнага избирате вратата, зад която се намира наградата, а водещият ви кани да изберете друга.

От останалите два варианта от три (първоначално избирате врата без награда), в половината от случаите водещият ще ви предложи да промените решението си, а в другата половина от случаите - не.

Половината от 2/3 е 1/3, тоест в един случай от три ще получите коза, в един случай от три ще изберете грешната врата и домакинът ще ви помоли да изберете друга, а в един случай от три ще изберете правилната врата, но той отново ще предложи друга.

Ако водещият предложи да изберем друга врата, вече знаем, че онзи един случай от три, когато ни дава коза и ние си тръгваме, не се е случил. Това полезна информация: това означава, че нашите шансове за победа са се променили. Два случая от три, когато имаме възможност да избираме: в единия случай това означава, че сме познали правилно, а в другия, че сме познали грешно, така че ако изобщо ни беше предложена възможност да избираме, тогава вероятността да спечелим е 1/2 и от математическа гледна точка няма значение дали ще останете при избора си или ще изберете друга врата.

Подобно на покера, това е психологическа игра, а не математическа. Защо Монти ти даде избор? Той мисли, че сте глупак, който не знае, че изборът на друга врата е „правилното“ решение и упорито ще държи на избора си (все пак психологически положението е по-сложно, когато сте избрали кола и след това сте я загубили)?

Или той, като реши, че си умна и ще избереш друга врата, ти предлага този шанс, защото знае, че първо си познал правилно и ще се закачиш? Или може би той е необичайно мил и ви подтиква да направите нещо, което ще ви бъде от полза, защото не е раздавал коли от известно време и продуцентите казват, че публиката се отегчава и би било по-добре скоро да раздаде голяма награда рейтингите падат?

По този начин Монти успява понякога да предлага избор, и то в същото време обща вероятностпечалбата остава равна на 1/3. Не забравяйте, че вероятността да загубите директно е 1/3. Вероятността веднага да познаете правилно е 1/3 и 50% от тези пъти ще спечелите (1/3 x 1/2 = 1/6).

Шансът да познаете грешно в началото, но след това да имате шанс да изберете друга врата е 1/3 и половината от тези пъти ще спечелите (също 1/6). Добавете две независими възможности за печалба и ще получите вероятност от 1/3, така че няма значение дали ще останете при избора си или ще изберете друга врата – общата ви вероятност да спечелите през цялата игра е 1/3.

Вероятността не става по-голяма, отколкото в ситуацията, когато сте познали вратата и водещият просто ви е показал какво има зад нея, без да предлага да изберете друга. Целта на предложението не е да се промени вероятността, а да се направи процесът на вземане на решение по-забавен за гледане по телевизията.

Между другото, това е една от причините, поради които покерът може да бъде толкова интересен: в повечето формати, между рундовете, когато се правят залози (например флоп, търн и ривър в Texas Hold'em), картите се разкриват постепенно и ако в началото на играта имате един шанс за печалба, след това след всеки кръг на залагане, когато е отворен повече карти, тази вероятност се променя.

Парадоксът на момчето и момичето

Това ни води до друг добре познат парадокс, който по правило озадачава всички - парадоксът на момчето и момичето. Единственото нещо, за което пиша днес, което не е пряко свързано с игрите (въпреки че предполагам, че просто трябва да ви насърча да създадете подходяща игрова механика). Това е по-скоро пъзел, но интересен и за да го разрешите, трябва да разберете условната вероятност, за която говорихме по-горе.

Проблем: Имам приятел с две деца, поне едното от тях е момиче. Каква е вероятността второто дете също да е момиче? Да приемем, че във всяко семейство шансовете да има момиче и момче са 50/50 и това важи за всяко дете.

Всъщност някои мъже имат повече сперматозоиди с X хромозома или Y хромозома в спермата си, така че шансовете се променят леко. Ако знаете, че едно дете е момиче, вероятността да имате второ момиче е малко по-висока и има други състояния, като хермафродитизъм. Но за да разрешим този проблем, няма да вземем това предвид и да приемем, че раждането на дете е самостоятелно събитиеи раждането на момче и момиче е еднакво вероятно.

Тъй като говорим за шанс от 1/2, интуитивно очакваме, че отговорът най-вероятно ще бъде 1/2 или 1/4, или някакво друго число, което е кратно на две в знаменателя. Но отговорът е 1/3. Защо?

Трудността тук е, че информацията, която имаме, намалява броя на възможностите. Да предположим, че родителите са фенове на „Улица Сезам“ и независимо от пола на децата са ги кръстили A и B. При нормални условия има четири еднакво вероятни възможности: A и B са две момчета, A и B са две момичета, A е момче и B е момиче, A е момиче и B е момче. Тъй като знаем, че поне едно дете е момиче, можем да изключим възможността A и B да са две момчета. Това ни оставя три възможности - все още еднакво вероятни. Ако всички възможности са еднакво вероятни и има три от тях, тогава вероятността за всяка от тях е 1/3. Само в един от тези три варианта и двете деца са момичета, така че отговорът е 1/3.

И отново за парадокса на момче и момиче

Решението на проблема става още по-нелогично. Представете си, че моята приятелка има две деца и едното от тях е момиченце, родено във вторник. Да приемем, че при нормални условия дете може да се роди с еднаква вероятност във всеки от седемте дни от седмицата. Каква е вероятността второто дете също да е момиче?

Може би си мислите, че отговорът пак ще бъде 1/3: какво значение има вторник? Но дори и в този случай нашата интуиция ни подвежда. Отговорът е 13/27, което е не само неинтуитивно, но и много странно. Какво има в случая?

Всъщност вторник променя вероятността, защото не знаем кое дете е родено във вторник или може би и двете са родени във вторник. В този случай използваме същата логика: броим всичко възможни комбинации, когато поне едно дете е момиче, родено във вторник. Както в предишния пример, нека приемем, че децата са наречени A и B. Комбинациите изглеждат така:

• А е момиче, което е родено във вторник, Б е момче (в тази ситуация има 7 възможности, по една за всеки ден от седмицата, когато може да се роди момче).
• Б е момиче, родено във вторник, А е момче (също 7 възможности).
• A - момиче, което е родено във вторник, B - момиче, което е родено в друг ден от седмицата (6 възможности).
• B е момиче, което е родено във вторник, A е момиче, което не е родено във вторник (също 6 вероятности).
• A и B са две момичета, родени във вторник (1 възможност, трябва да обърнете внимание на това, за да не броите два пъти).

Събираме и получаваме 27 различни еднакво възможни комбинации от раждане на деца и дни с поне една възможност момиче да се роди във вторник. От тях има 13 възможности, когато се родят две момичета. Това също изглежда напълно нелогично - изглежда тази задачае изобретен само за да причини главоболие. Ако все още сте озадачени, уебсайтът на теоретика на игрите Jesper Juhl има добро обяснение на този проблем.

Ако в момента работите върху игра

Ако има случайност в играта, която проектирате, това е чудесен момент да я анализирате. Изберете елемент, който искате да анализирате. Първо се запитайте каква очаквате да бъде вероятността за даден елемент, каква трябва да бъде в контекста на играта.

Например, ако правите ролева игра и се чудите каква трябва да е вероятността играчът да победи чудовище в битка, запитайте се каква процентпечеленето изглежда правилно за вас. Обикновено при ролевите игри за конзола играчите се разстройват много, когато загубят, така че е най-добре да губят рядко – 10% от времето или по-малко. Ако сте RPG дизайнер, вероятно знаете по-добре от мен, но трябва да имате основна идея, каква трябва да е вероятността.

След това се запитайте дали вашите вероятности са зависими (като при картите) или независими (като при зарове). Анализирайте всички възможни резултати и техните вероятности. Уверете се, че сумата от всички вероятности е 100%. И, разбира се, сравнете получените резултати с вашите очаквания. Можете ли да хвърлите заровете или да изтеглите карти по начина, по който сте предвидили, или е ясно, че стойностите трябва да бъдат коригирани. И, разбира се, ако откриете някакви недостатъци, можете да използвате същите изчисления, за да определите колко да промените стойностите.

Домашна работа

Вашето домашно тази седмица ще ви помогне да усъвършенствате уменията си за вероятности. Ето две игри със зарове и игра на карти, които ще анализирате с помощта на вероятността, както и странна механика на играта, която някога разработих, която ще тества метода Монте Карло.

Игра #1 - Драконови кости

Това е игра със зарове, която моите колеги и аз веднъж измислихме (благодарение на Джеб Хевънс и Джеси Кинг) - тя специално взривява умовете на хората със своите вероятности. Това е проста казино игра, наречена Dragon Dice, и представлява състезание със зарове между играча и къщата.

Даден ви е нормален зар 1d6. Целта на играта е да хвърлите число, по-голямо от това на къщата. Том получава нестандартно 1d6 - същото като вашето, но на едно от лицата му вместо единица има изображение на дракон (по този начин казиното има драконов куб - 2-3-4-5-6 ). Ако къщата получи дракон, тя автоматично печели, а вие губите. Ако и двамата получат същия номер- теглене е и хвърляте заровете отново. Този, който хвърли най-голямото число, печели.

Разбира се, не всичко се развива изцяло в полза на играча, защото казиното има предимство под формата на ръба на дракона. Но дали това наистина е вярно? Това е, което трябва да изчислите. Но първо проверете интуицията си.

Да приемем, че шансовете са 2 към 1. Така че, ако спечелите, запазвате залога си и получавате удвоен залог. Например, ако заложите 1 долар и спечелите, вие запазвате този долар и получавате още 2 отгоре, за общо 3 долара. Ако загубите, губите само залога си. Бихте ли играли? Чувствате ли интуитивно, че вероятността е по-голяма от 2 към 1, или все още смятате, че е по-малка? С други думи, средно за 3 игри очаквате ли да спечелите повече от веднъж, по-малко или веднъж?

След като разгадаете интуицията си, използвайте математиката. Има само 36 възможни позиции и за двата зара, така че можете да ги преброите всички без проблем. Ако не сте сигурни за тази оферта 2 за 1, помислете за това: Да приемем, че сте играли играта 36 пъти (залагайки $1 всеки път). За всяка победа получавате 2 долара, за всяка загуба губите 1, а равенството не променя нищо. Изчислете всичките си вероятни печалби и загуби и решете дали ще загубите или ще спечелите няколко долара. След това се запитайте колко права е била вашата интуиция. И тогава осъзнай какъв злодей съм.

И, да, ако вече сте мислили по този въпрос - умишлено ви обърквам, като представям погрешно действителната механика на игрите със зарове, но съм сигурен, че можете да преодолеете това препятствие само с малко мисъл. Опитайте се да разрешите този проблем сами.

Игра No2 – Хвърляне за късмет

Това хазартв зарове, наречено „Хвърляне на късмета“ (също „Клетка за птици“, защото понякога заровете не се хвърлят, а се поставят в голяма телена клетка, напомняща на клетката от Бинго). Играта е проста и основно се свежда до следното: заложете, да речем, $1 на число от 1 до 6. След това хвърляте 3d6. За всеки зар, който извади вашето число, получавате $1 (и запазвате първоначалния си залог). Ако вашето число не се появи на нито един от заровете, казиното получава вашия долар, а вие не получавате нищо. Така че, ако заложите на 1 и получите 1 отстрани три пъти, получавате $3.

Интуитивно изглежда, че тази игра има равни шансове. Всеки зар е индивидуален шанс за печалба 1 към 6, така че над сумата от трите хвърляния вашият шанс за печалба е 3 към 6. Въпреки това, разбира се, не забравяйте, че добавяте три отделни зара и имате право само да добавете, ако говорим за отделни печеливши комбинации от един и същ зар. Нещо, което ще трябва да умножите.

След като изчислите всички възможни резултати (вероятно по-лесно да направите в Excel, отколкото на ръка, тъй като има 216 от тях), играта все още изглежда странно-четно на пръв поглед. Всъщност, казиното все още има по-голям шанс да спечели - колко повече? По-конкретно, колко пари средно очаквате да загубите всеки рунд на игра?

Всичко, което трябва да направите, е да съберете печалбите и загубите на всичките 216 резултата и след това да ги разделите на 216, което трябва да е доста просто. Но, както можете да видите, тук има няколко клопки, поради което казвам: ако смятате, че тази игра има равен шанс за победа, грешите.

Игра #3 - 5 Card Stud Poker

Ако вече сте загряли за предишните игри, нека проверим какво знаем за тях условна вероятност, използвайки тази игра на карти като пример. Нека си представим игра на покер с тесте от 52 карти. Нека си представим и 5 card stud, където всеки играч получава само 5 карти. Не можете да изхвърлите карта, не можете да изтеглите нова, няма споделено тесте - получавате само 5 карти.

Роял флъш е 10-J-Q-K-A в една ръка, има общо четири, така че има четири възможни начинивземете роял флъш. Изчислете вероятността да получите една такава комбинация.

Трябва да ви предупредя за едно нещо: не забравяйте, че можете да теглите тези пет карти в произволен ред. Тоест, първо можете да изтеглите асо или десетка, няма значение. Така че, докато правите математиката, имайте предвид, че всъщност има повече от четири начина да получите роял флъш, ако приемем, че картите са раздадени по ред.

Игра №4 - МВФ Лотария

Четвъртият проблем не може да бъде решен толкова лесно с методите, за които говорихме днес, но можете лесно да симулирате ситуацията с помощта на програмиране или Excel. На примера на този проблем можете да разработите метода Монте Карло.

По-рано споменах играта Chron X, върху която някога работих, и там имаше една много интересна карта - лотарията на МВФ. Ето как работи: използвахте го в игра. След края на рунда картите бяха преразпределени и имаше 10% шанс картата да излезе от игра и произволен играч да получи 5 единици от всеки тип ресурс, чийто жетон присъства на тази карта. Картата беше пусната в игра без нито един чип, но всеки път, когато оставаше в игра в началото на следващия рунд, получаваше един чип.

Така че имаше 10% шанс, че ако я поставите в игра, рундът ще приключи, картата ще напусне играта и никой няма да получи нищо. Ако това не се случи (90% шанс), има 10% шанс (всъщност 9%, тъй като е 10% от 90%) в следващия кръг тя да напусне играта и някой да получи 5 единици ресурси. Ако картата излезе от играта след един рунд (10% от наличните 81%, така че вероятността е 8,1%), някой ще получи 10 единици, друг рунд - 15, друг - 20 и т.н. Въпрос: Каква е общата очаквана стойност на броя ресурси, които ще получите от тази карта, когато тя най-накрая напусне играта?

Обикновено бихме се опитали да разрешим този проблем, като изчислим възможността за всеки резултат и умножим по броя на всички резултати. Има 10% шанс да получите 0 (0,1 * 0 = 0). 9%, че ще получите 5 единици ресурси (9% * 5 = 0,45 ресурси). 8,1% от това, което ще получите, е 10 (8,1%*10=0,81 ресурси - обща очаквана стойност). И така нататък. И тогава щяхме да обобщим всичко.

И сега проблемът е очевиден за вас: винаги има шанс картата да не напусне играта, тя може да остане в играта завинаги, за безкрайно числокръгове, така че няма начин да се изчисли всяка вероятност. Методите, които научихме днес, не ни позволяват да изчислим безкрайна рекурсия, така че ще трябва да я създадем изкуствено.

Ако сте достатъчно добър в програмирането, напишете програма, която ще симулира тази карта. Трябва да имате времеви цикъл, който довежда променливата до начална позиция нула, показва произволно число и с 10% шанс променливата да излезе от цикъла. В противен случай той добавя 5 към променливата и цикълът се повтаря. Когато най-накрая излезе от цикъла, увеличете общия брой пробни изпълнения с 1 и общия брой ресурси (с колко зависи от това къде свършва променливата). След това нулирайте променливата и започнете отново.

Стартирайте програмата няколко хиляди пъти. Накрая разделете общия брой ресурси на общия брой изпълнения - това ще бъде вашата очаквана стойност от Монте Карло. Стартирайте програмата няколко пъти, за да сте сигурни, че числата, които получавате, са приблизително еднакви. Ако разсейването е все още голямо, увеличете броя на повторенията във външния цикъл, докато започнете да получавате съвпадения. Можете да сте сигурни, че каквито и числа да получите в крайна сметка, ще бъдат приблизително верни.

Ако сте нов в програмирането (дори да сте), ето едно бързо упражнение, за да тествате уменията си за Excel. Ако сте дизайнер на игри, тези умения никога няма да са ви излишни.

Сега функциите if и rand ще ви бъдат много полезни. Rand не изисква стойности, той просто произвежда произволна десетично числоот 0 до 1. Обикновено го комбинираме с под и плюсове и минуси, за да симулираме хвърлянето на зарове, което споменах по-рано. В този случай обаче просто оставяме 10% шанс картата да напусне играта, така че можем просто да проверим дали стойността на ранда е по-малка от 0,1 и да не се тревожим повече за това.

Ако има три значения. По ред: условие, което е вярно или невярно, след това стойност, която се връща, ако условието е вярно, и стойност, която се връща, ако условието е невярно. Така следваща функцияще върне 5% от времето и 0 в останалите 90% от времето: =АКО(РАНД()<0.1,5,0) .

Има много начини да зададете тази команда, но бих използвал тази формула за клетката, която представлява първия кръг, да кажем, че това е клетка A1: =АКО(РАНД()<0.1,0,-1) .

Тук използвам отрицателна променлива, за да означава "тази карта не е напуснала играта и все още не е отказала ресурси." Така че, ако първият кръг приключи и картата напусне играта, A1 е 0; иначе е –1.

За следващата клетка, представляваща втория кръг: =АКО(A1>-1, A1, АКО(RAND()<0.1,5,-1)) . Така че, ако първият рунд приключи и картата веднага напусна играта, A1 е 0 (броят ресурси) и тази клетка просто ще копира тази стойност. В противен случай A1 е -1 (картата все още не е напуснала играта) и тази клетка продължава да се движи на случаен принцип: 10% от времето ще върне 5 единици ресурси, през останалото време стойността й ще бъде равна на -1. Ако приложим тази формула към допълнителни клетки, получаваме допълнителни рундове и каквато и клетка да завършите, ще ви даде крайния резултат (или -1, ако картата никога не е напускала играта след всички рундове, които сте изиграли).

Вземете този ред клетки, който представлява единствения кръг с тази карта, и копирайте и поставете няколкостотин (или хиляди) реда. Може да не сме в състояние да направим безкраен тест за Excel (има ограничен брой клетки в таблица), но поне можем да покрием повечето случаи. След това изберете една клетка, в която ще поставите средната стойност на резултатите от всички рундове - Excel услужливо предоставя функция за средно () за това.

В Windows можете поне да натиснете F9, за да преизчислите всички произволни числа. Както преди, направете това няколко пъти и вижте дали получавате същите стойности. Ако разпространението е твърде голямо, удвоете броя на изпълненията и опитайте отново.

Нерешени проблеми

Ако случайно имате диплома по теория на вероятностите и горните задачи ви се струват твърде лесни, ето две задачи, по които си блъскам главата от години, но за съжаление не съм достатъчно добър в математиката, за да ги реша.

Нерешен проблем №1: Лотария на МВФ

Първата нерешена задача е предишната домашна работа. Мога лесно да приложа метода Монте Карло (използвайки C++ или Excel) и да бъда уверен в отговора на въпроса „колко ресурси ще получи играчът“, но не знам как точно да дам точен доказуем отговор математически (това е безкрайна серия).

Нерешен проблем №2: Поредици от фигури

Този проблем (той също надхвърля задачите, които се решават в този блог) ми беше даден от приятел геймър преди повече от десет години. Докато играеше блекджек във Вегас, той забеляза едно интересно нещо: когато извади карти от обувка с 8 тестета, той видя десет фигури в един ред (фигурата или картата с лице е 10, жокер, поп или дама, така че има 16 в общо в стандартни 52 тестета карти или 128 в обувка от 416 карти).

Каква е вероятността тази обувка да съдържа поне една последователност от десет или повече фигури? Да приемем, че са разбъркани справедливо, в произволен ред. Или, ако предпочитате, каква е вероятността последователност от десет или повече цифри да не се среща никъде?

Можем да опростим задачата. Ето поредица от 416 части. Всяка част е 0 или 1. Има 128 единици и 288 нули, разпръснати на случаен принцип в последователността. Колко начина има за произволно разпръскване на 128 единици с 288 нули и колко пъти по тези начини ще се появи поне една група от десет или повече единици?

Всеки път, когато се заемех с решаването на този проблем, ми се струваше лесно и очевидно, но щом навлязох в детайлите, изведнъж се разпадаше и изглеждаше просто невъзможно.

Така че не бързайте да изричате отговора: седнете, помислете внимателно, проучете условията, опитайте се да включите реални числа, защото всички хора, с които говорих за този проблем (включително няколко студенти, работещи в тази област), реагираха за същото: „Напълно очевидно е... о, не, чакай, изобщо не е очевидно.“ Това е случаят, когато нямам метод за изчисляване на всички опции. Бих могъл, разбира се, да форсирам проблема чрез компютърен алгоритъм, но би било много по-интересно да знам математическото решение.

Това е съотношението на броя на онези наблюдения, при които се е случило въпросното събитие, към общия брой наблюдения. Тази интерпретация е приемлива в случай на достатъчно голям брой наблюдения или експерименти. Например, ако около половината от хората, които срещате на улицата, са жени, тогава можете да кажете, че вероятността лицето, което срещате на улицата, да е жена, е 1/2. С други думи, оценка на вероятността за събитие може да бъде честотата на неговото появяване в дълга поредица от независими повторения на случаен експеримент.

Вероятност в математиката

В съвременния математически подход класическата (т.е. не квантовата) вероятност се дава от аксиоматиката на Колмогоров. Вероятността е мярка П, което е дефинирано на множеството х, наречено вероятностно пространство. Тази мярка трябва да има следните свойства:

От тези условия следва, че вероятностната мярка Псъщо има имота адитивност: ако се задава А 1 и А 2 не се пресичат, тогава . За да докажете, трябва да поставите всичко А 3 , А 4 , ... равно на празното множество и прилагане на свойството на изброима адитивност.

Вероятностната мярка може да не е дефинирана за всички подмножества на набора х. Достатъчно е да го дефинираме върху сигма алгебра, състояща се от някои подмножества на множеството х. В този случай случайните събития се определят като измерими подмножества от пространството х, тоест като елементи на сигма алгебрата.

Смисъл на вероятността

Когато установим, че причините за действително възникване на някакъв възможен факт надделяват над противоположните причини, ние вземаме предвид този факт вероятно, в противен случай - невероятен. Това преобладаване на положителните основи над отрицателните и обратното може да представлява неопределен набор от степени, в резултат на което вероятност(И невероятност) Случва се Повече ▼или по-малко .

Сложните отделни факти не позволяват точно изчисляване на степента на тяхната вероятност, но дори и тук е важно да се установят някои големи подразделения. Така, например, в правната област, когато един личен факт, предмет на съдене, се установява въз основа на свидетелски показания, той винаги остава, строго погледнато, само вероятен и е необходимо да се знае колко значителна е тази вероятност; в римското право тук е прието четворно деление: probatio plena(където вероятността практически се превръща в надеждност), Освен това - probatio минус plena, тогава - пробатио semiplena majorи накрая probatio semiplena minor .

В допълнение към въпроса за вероятността на случая, може да възникне въпросът, както в областта на правото, така и в областта на морала (с определена етична гледна точка), колко вероятно е даден конкретен факт да представлява нарушение на общия закон. Този въпрос, който служи като основен мотив в религиозната юриспруденция на Талмуда, също породи много сложни систематични конструкции и огромна литература, догматична и полемична, в римокатолическото морално богословие (особено от края на 16 век) ( виж Пробабилизъм).

Концепцията за вероятност позволява определен цифров израз, когато се прилага само към такива факти, които са част от определени хомогенни серии. Така че (в най-простия пример), когато някой хвърли монета сто пъти подред, тук намираме една обща или голяма серия (сумата от всички падания на монетата), състояща се от две частни или по-малки, в този случай числено равен, серия (пада "глави" и пада "опашки"); Вероятността този път монетата да попадне на глави, т.е. този нов член на общата серия да принадлежи към тази от двете по-малки серии, е равна на частта, изразяваща числовата връзка между тази малка серия и по-голямата, а именно 1/2, тоест една и съща вероятност принадлежи към едната или другата от две определени серии. В по-малко прости примери заключението не може да бъде изведено директно от данните на самия проблем, а изисква предварителна индукция. Така, например, въпросът е: каква е вероятността дадено новородено да доживее до 80 години? Тук трябва да има обща или голяма поредица от определен брой хора, родени при подобни условия и умиращи на различна възраст (този брой трябва да е достатъчно голям, за да елиминира случайните отклонения, и достатъчно малък, за да поддържа хомогенността на поредицата, за за човек, роден например в Санкт Петербург в богато, културно семейство, цялото милионно население на града, значителна част от което се състои от хора от различни групи, които могат да умрат преждевременно - войници, журналисти, работници в опасни професии - представлява група, твърде разнородна за реално определяне на вероятността) ; нека тази обща серия се състои от десет хиляди човешки живота; включва по-малки серии, представящи броя на хората, оцелели до определена възраст; една от тези по-малки серии представлява броя на хората, които живеят до 80-годишна възраст. Но е невъзможно да се определи броят на тази по-малка серия (както всички останали) априори; това се прави чисто индуктивно, чрез статистика. Да предположим, че статистически изследвания са установили, че от 10 000 жители на Санкт Петербург от средната класа само 45 живеят до 80 години; Така тази по-малка серия е свързана с по-голямата, тъй като 45 е към 10 000, а вероятността даден човек да принадлежи към тази по-малка серия, тоест да доживее до 80 години, се изразява като част от 0,0045. Изследването на вероятностите от математическа гледна точка представлява специална дисциплина - теория на вероятностите.

Вижте също

Бележки

Литература

• Алфред Рени. Писма за вероятността / прев. от унгарски Д. Саас и А. Крамли, изд. Б. В. Гнеденко. М.: Мир. 1970 г
• Гнеденко Б.В.Курс по теория на вероятностите. М., 2007. 42 с.
• Купцов В.И.Детерминизъм и вероятност. М., 1976. 256 с.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Синоними:

Антоними:

Вижте какво е „Вероятност“ в други речници:

Общонаучно-философски. категория, обозначаваща количествената степен на възможност за възникване на масови случайни събития при фиксирани условия на наблюдение, характеризираща стабилността на техните относителни честоти. В логиката семантична степен... ... Философска енциклопедия

ВЕРОЯТНОСТ, число в диапазона от нула до едно включително, представляващо възможността дадено събитие да се случи. Вероятността за събитие се определя като съотношението на броя на шансовете, че дадено събитие може да се случи, към общия брой възможни... ... Научно-технически енциклопедичен речник

По всяка вероятност.. Речник на руските синоними и подобни изрази. под. изд. Н. Абрамова, М.: Руски речници, 1999. вероятност възможност, вероятност, шанс, обективна възможност, маза, допустимост, риск. Мравка. невъзможност...... Речник на синонимите

вероятност- Мярка, че дадено събитие е вероятно да се случи. Забележка Математическата дефиниция на вероятността е: „реално число между 0 и 1, което е свързано със случайно събитие“. Числото може да отразява относителната честота в серия от наблюдения... ... Ръководство за технически преводач

Вероятност- „математична, числена характеристика на степента на възможност за възникване на всяко събитие при определени специфични условия, което може да се повтори неограничен брой пъти.“ Въз основа на тази класика...... Икономически и математически речник

- (вероятност) Възможността за настъпване на събитие или определен резултат. Може да се представи под формата на скала с деления от 0 до 1. Ако вероятността за събитие е нула, то е невъзможно да се случи. С вероятност 1, началото на... Речник на бизнес термините