като онтологична категория отразява степента на възможността за възникване на всяка единица при всякакви условия. За разлика от математическото и логическото тълкуване на това понятие, онтологичната математика не се свързва със задължението за количествено изразяване. Значението на В. се разкрива в контекста на разбирането на детерминизма и природата на развитието като цяло.
Страхотна дефиниция
Непълна дефиниция ↓
ВЕРОЯТНОСТ
концепция, характеризираща количества. мярката за възможността за настъпване на определено събитие в определено време условия. В научната знание има три интерпретации на V. Класическата концепция на V., възникнала от мат. анализ на хазарта и най-пълно разработен от Б. Паскал, Дж. Бернули и П. Лаплас, разглежда печалбата като съотношение на броя на благоприятните случаи към общия брой на всички еднакво възможни. Например, когато хвърляте зар, който има 6 страни, може да се очаква всяка от тях да се окаже със стойност 1/6, тъй като никоя страна няма предимства пред друга. Такава симетрия на експерименталните резултати се взема предвид специално при организирането на игри, но е сравнително рядко при изследване на обективни събития в науката и практиката. Класически Тълкуването на В. отстъпи място на статистиката. Концепции на В., които се основават на факт наблюдение на настъпването на определено събитие за дълъг период от време. опит при точно определени условия. Практиката потвърждава, че колкото по-често се случва дадено събитие, толкова по-голяма е степента на обективна възможност за неговото възникване или Б. Следователно статистически. Тълкуването на В. се основава на концепцията за отношението. честота, която може да се определи експериментално. V. като теоретична понятието никога не съвпада с емпирично определената честота, но в множествено число. В случаите той практически се различава малко от относителния. честота, установена в резултат на продължителността. наблюдения. Много статистици смятат V. за „двойно“ отнасяне. честотите, ръбовете се определят статистически. изследване на резултатите от наблюденията
или експерименти. По-малко реалистично беше определението на V. във връзка с границата. честоти на масови събития или групи, предложени от R. Mises. Като по-нататъшно развитие на честотния подход към V. се излага диспозиционна или предразполагаща интерпретация на V. (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Според това тълкуване V. характеризира свойството да генерира условия, напр. експеримент. инсталации за получаване на поредица от масивни случайни събития. Точно тази нагласа поражда физическите предразположения или предразположения, V. които могат да бъдат проверени с помощта на роднини. честота
Статистически Интерпретацията на В. доминира в научните изследвания. когнитивност, защото отразява специф. естеството на закономерностите, присъщи на масовите явления със случаен характер. В много физически, биологични, икономически, демографски. и други социални процеси, е необходимо да се вземе предвид действието на множество случайни фактори, които се характеризират със стабилна честота. Идентифициране на тези стабилни честоти и количества. оценката му с помощта на В. дава възможност да се разкрие необходимостта, която си проправя път чрез кумулативното действие на множество произшествия. Тук намира своето проявление диалектиката на превръщането на случайността в необходимост (вж. Ф. Енгелс, в книгата: К. Маркс и Ф. Енгелс, Съчинения, том 20, стр. 535-36).
Логическите или индуктивни разсъждения характеризират връзката между предпоставките и заключението на недемонстративните и по-специално индуктивните разсъждения. За разлика от дедукцията, предпоставките на индукцията не гарантират истинността на заключението, а само го правят повече или по-малко правдоподобно. Тази правдоподобност, с точно формулирани предпоставки, понякога може да бъде оценена с помощта на V. Стойността на това V. най-често се определя чрез сравнение. понятия (по-голямо, по-малко или равно), а понякога и по числов начин. Логично интерпретацията често се използва за анализ на индуктивните разсъждения и конструиране на различни системи от вероятностна логика (Р. Карнап, Р. Джефри). В семантиката логически понятия V. често се определя като степента, в която едно твърдение се потвърждава от други (например хипотеза от нейните емпирични данни).
Във връзка с развитието на теориите за вземане на решения и игри, т.нар персоналистична интерпретация на V. Въпреки че V. в същото време изразява степента на вяра на субекта и настъпването на определено събитие, самите V. трябва да бъдат избрани по такъв начин, че да бъдат изпълнени аксиомите на смятането на V. Следователно В. с такова тълкуване изразява не толкова степента на субективна, а по-скоро разумна вяра. Следователно решенията, взети въз основа на такива V., ще бъдат рационални, тъй като не отчитат психологически фактори. характеристики и наклонности на субекта.
С епистемологични т.зр. разлика между статистически, логически. и персоналистичните интерпретации на В. е, че ако първото характеризира обективните свойства и връзки на масови явления от случаен характер, то последните две анализират характеристиките на субективното, познаващо. човешка дейност в условия на несигурност.
ВЕРОЯТНОСТ
едно от най-важните понятия на науката, характеризиращо специална системна визия за света, неговата структура, еволюция и познание. Спецификата на вероятностния възглед за света се разкрива чрез включването на понятията за случайност, независимост и йерархия (идеята за нивата в структурата и детерминацията на системите) сред основните понятия на съществуването.
Идеите за вероятността са възникнали в древни времена и са свързани с характеристиките на нашето знание, като е признато съществуването на вероятностно знание, което се различава от надеждното знание и от фалшивото знание. Въздействието на идеята за вероятността върху научното мислене и върху развитието на знанието е пряко свързано с развитието на теорията на вероятностите като математическа дисциплина. Произходът на математическата доктрина за вероятността датира от 17-ти век, когато развитието на ядрото от концепции позволява. количествени (числови) характеристики и изразяване на вероятностна идея.
Интензивни приложения на вероятността за развитието на познанието настъпват през 2-ра половина. 19 - ет. 1 20-ти век Вероятността е влязла в структурите на такива фундаментални науки за природата като класическата статистическа физика, генетика, квантова теория и кибернетика (теория на информацията). Съответно вероятността олицетворява този етап от развитието на науката, който сега се определя като некласическа наука. За да се разкрият новостта и особеностите на вероятностния начин на мислене, е необходимо да се изхожда от анализа на предмета на теорията на вероятностите и основите на нейните многобройни приложения. Теорията на вероятностите обикновено се определя като математическа дисциплина, която изучава моделите на масови случайни явления при определени условия. Случайността означава, че в рамките на масовия характер съществуването на всяко елементарно явление не зависи и не се определя от съществуването на други явления. В същото време самата масовост на явленията има стабилна структура и съдържа определени закономерности. Едно масово явление е доста строго разделено на подсистеми, а относителният брой на елементарните явления във всяка от подсистемите (относителна честота) е много стабилен. Тази стабилност се сравнява с вероятността. Едно масово явление като цяло се характеризира с разпределение на вероятностите, т.е. чрез определяне на подсистеми и съответните им вероятности. Езикът на теорията на вероятностите е езикът на вероятностните разпределения. Съответно теорията на вероятностите се определя като абстрактна наука за работа с разпределения.
Вероятността породи в науката идеи за статистически модели и статистически системи. Последните са системи, образувани от независими или квазинезависими единици; тяхната структура се характеризира с вероятностни разпределения. Но как е възможно да се формират системи от независими единици? Обикновено се приема, че за формирането на системи с интегрални характеристики е необходимо между техните елементи да съществуват достатъчно стабилни връзки, които цементират системите. Стабилността на статистическите системи се осигурява от наличието на външни условия, външна среда, външни, а не вътрешни сили. Самото определение на вероятността винаги се основава на определяне на условията за формиране на първоначалното масово явление. Друга важна идея, характеризираща вероятностната парадигма, е идеята за йерархия (подчинение). Тази идея изразява връзката между характеристиките на отделните елементи и интегралните характеристики на системите: последните, така да се каже, са изградени върху първите.
Значението на вероятностните методи в познанието се състои в това, че те позволяват да се изучават и теоретично изразяват моделите на структура и поведение на обекти и системи, които имат йерархична, „двустепенна“ структура.
Анализът на естеството на вероятността се основава на нейната честота, статистическа интерпретация. В същото време в продължение на много дълго време в науката доминира такова разбиране за вероятността, което се нарича логическа или индуктивна вероятност. Логическата вероятност се интересува от въпросите за валидността на отделна индивидуална преценка при определени условия. Възможно ли е да се оцени степента на потвърждение (надеждност, истинност) на индуктивно заключение (хипотетично заключение) в количествена форма? По време на развитието на теорията на вероятностите такива въпроси бяха многократно обсъждани и те започнаха да говорят за степените на потвърждение на хипотетичните заключения. Тази мярка за вероятност се определя от информацията, с която разполага дадено лице, неговия опит, възгледи за света и психологическа нагласа. Във всички подобни случаи величината на вероятността не подлежи на строги измервания и на практика е извън компетенциите на теорията на вероятностите като последователна математическа дисциплина.
Обективното, често срещано тълкуване на вероятността беше установено в науката със значителни трудности. Първоначално разбирането за природата на вероятността беше силно повлияно от тези философски и методологически възгледи, които бяха характерни за класическата наука. Исторически развитието на вероятностните методи във физиката се извършва под определящото влияние на идеите на механиката: статистическите системи се тълкуват просто като механични. Тъй като съответните проблеми не бяха решени със строги методи на механиката, възникнаха твърдения, че обръщането към вероятностните методи и статистическите закони е резултат от непълнотата на нашите знания. В историята на развитието на класическата статистическа физика са правени многобройни опити тя да се обоснове на базата на класическата механика, но всички те са се провалили. Основата на вероятността е, че тя изразява структурните характеристики на определен клас системи, различни от механичните системи: състоянието на елементите на тези системи се характеризира с нестабилност и специален (несвеждащ се до механиката) характер на взаимодействията.
Навлизането на вероятността в знанието води до отричане на концепцията за твърд детерминизъм, до отричане на основния модел на битието и знанието, разработен в процеса на формиране на класическата наука. Основните модели, представени от статистическите теории, са от различен, по-общ характер: те включват идеите за случайност и независимост. Идеята за вероятността е свързана с разкриването на вътрешната динамика на обектите и системите, които не могат да бъдат изцяло определени от външни условия и обстоятелства.
Концепцията за вероятностна визия за света, основана на абсолютизирането на идеите за независимост (както преди парадигмата на твърдата детерминация), сега разкри своите ограничения, което най-силно се отразява в прехода на съвременната наука към аналитични методи за изследване сложни системи и физичните и математически основи на явленията на самоорганизация.
Страхотна дефиниция
Непълна дефиниция ↓
Ясно е, че всяко събитие има различна степен на възможност за настъпване (реализиране). За да се сравнят количествено събитията едно с друго според степента на тяхната възможност, очевидно е необходимо да се свърже определено число с всяко събитие, което е толкова по-голямо, колкото по-вероятно е събитието. Това число се нарича вероятност за събитие.
Вероятност за събитие– е числена мярка за степента на обективна възможност за настъпване на това събитие.
Помислете за стохастичен експеримент и случайно събитие А, наблюдавано в този експеримент. Нека повторим този експеримент n пъти и нека m(A) е броят експерименти, в които е настъпило събитие А.
Отношение (1.1)
Наречен относителна честотасъбития А в поредицата от извършени експерименти.
Лесно е да проверите валидността на свойствата:
ако A и B са непоследователни (AB=), тогава ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)
Относителната честота се определя само след серия от експерименти и, най-общо казано, може да варира от серия на серия. Опитът обаче показва, че в много случаи, с увеличаване на броя на експериментите, относителната честота се доближава до определен брой. Този факт на стабилност на относителната честота е многократно проверен и може да се счита за експериментално установен.
Пример 1.19.. Ако хвърлите една монета, никой не може да предвиди от коя страна ще падне отгоре. Но ако хвърлите два тона монети, тогава всеки ще каже, че около един тон ще падне нагоре с герба, тоест относителната честота на падане на герба е приблизително 0,5.
Ако с увеличаване на броя на експериментите относителната честота на събитието ν(A) клони към определено фиксирано число, тогава се казва, че събитие А е статистически стабилнои това число се нарича вероятност за събитие А.
Вероятност за събитието Аизвиква се някакво фиксирано число P(A), към което относителната честота ν(A) на това събитие клони с увеличаване на броя на експериментите, т.е. 
Това определение се нарича статистическо определяне на вероятността .
Нека разгледаме определен стохастичен експеримент и нека пространството на неговите елементарни събития се състои от краен или безкраен (но изброим) набор от елементарни събития ω 1, ω 2, …, ω i, …. Да приемем, че на всяко елементарно събитие ω i е присвоено определено число - р i, характеризиращо степента на възможност за възникване на дадено елементарно събитие и удовлетворяващо следните свойства:
Това число p i се нарича вероятност за елементарно събитиеωi.
Нека сега А е случайно събитие, наблюдавано в този експеримент, и нека съответства на определено множество
В тази обстановка вероятност за събитие А наричаме сумата от вероятностите за елементарни събития в полза на A(включени в съответния комплект А):
(1.4)
Вероятността, въведена по този начин, има същите свойства като относителната честота, а именно:
И ако AB = (A и B са несъвместими),
тогава P(A+B) = P(A) + P(B)
Действително, съгласно (1.4)
В последното отношение се възползвахме от факта, че нито едно елементарно събитие не може да благоприятства две несъвместими събития едновременно.
Специално отбелязваме, че теорията на вероятностите не посочва методи за определяне на p i; те трябва да се търсят по практически причини или да се получат от съответен статистически експеримент.
Като пример, разгледайте класическата схема на теорията на вероятностите. За да направите това, разгледайте стохастичен експеримент, чието пространство от елементарни събития се състои от краен (n) брой елементи. Нека допълнително приемем, че всички тези елементарни събития са еднакво възможни, т.е. вероятностите за елементарни събития са равни на p(ω i)=p i =p. Следва, че
Пример 1.20. При хвърляне на симетрична монета, получаването на глави и опашки е еднакво възможно, техните вероятности са равни на 0,5.
Пример 1.21. При хвърляне на симетричен зар всички лица са еднакво възможни, техните вероятности са равни на 1/6.
Сега нека събитие А се предпочита от m елементарни събития, те обикновено се наричат резултати, благоприятни за събитие А. Тогава
Има класическо определение на вероятността: вероятността P(A) за събитие А е равна на съотношението на броя на резултатите, благоприятни за събитие А, към общия брой резултати
Пример 1.22. Урната съдържа m бели топки и n черни топки. Каква е вероятността да изтеглите бяла топка?
Решение. Общият брой на елементарните събития е m+n. Всички те са еднакво вероятни. Благоприятно събитие А, от което m. следователно 
.
Следните свойства следват от определението за вероятност:
Имот 1. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица.
Наистина, ако събитието е надеждно, тогава всеки елементарен резултат от теста е в полза на събитието. В такъв случай t=p,следователно,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Имот 2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.
Наистина, ако дадено събитие е невъзможно, тогава нито един от елементарните резултати от теста не благоприятства събитието. В такъв случай T= 0, следователно, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Имот 3.Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.
Наистина, само част от общия брой елементарни резултати на теста се благоприятства от случайно събитие. Тоест 0≤m≤n, което означава 0≤m/n≤1, следователно вероятността за всяко събитие удовлетворява двойното неравенство 0≤ P(A) ≤1. (1.8)
Сравнявайки дефинициите на вероятност (1.5) и относителна честота (1.1), заключаваме: дефиниция на вероятност не изисква извършване на тестовевсъщност; определението за относителна честота предполага, че действително са проведени тестове. С други думи, вероятността се изчислява преди експеримента, а относителната честота - след експеримента.
Въпреки това, изчисляването на вероятността изисква предварителна информация за броя или вероятностите на елементарни резултати, благоприятни за дадено събитие. При липса на такава предварителна информация се използват емпирични данни за определяне на вероятността, т.е. относителната честота на събитието се определя въз основа на резултатите от стохастичен експеримент.
Пример 1.23. Отдел технически контрол открит 3нестандартни части в партида от 80 произволно избрани части. Относителна честота на поява на нестандартни части r(A)= 3/80.
Пример 1.24. Според предназначението.произведени 24 стрелба, а бяха регистрирани 19 попадения. Относителна степен на попадение на целта. r(A)=19/24.
Дългосрочните наблюдения показват, че ако експериментите се провеждат при еднакви условия, във всеки от които броят на тестовете е достатъчно голям, тогава относителната честота проявява свойството на стабилност. Този имот е че в различни експерименти относителната честота се променя малко (колкото по-малко, толкова повече тестове се извършват), варирайки около определено постоянно число.Оказа се, че това постоянно число може да се приеме като приблизителна стойност на вероятността.
Връзката между относителната честота и вероятността ще бъде описана по-подробно и по-точно по-долу. Сега нека илюстрираме свойството стабилност с примери.
Пример 1.25. Според шведската статистика относителната честота на ражданията на момичета за 1935 г. по месеци се характеризира със следните числа (числата са подредени по месеци, започвайки с януари): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Относителната честота варира около числото 0,481, което може да се приеме като приблизителна стойност за вероятността да имате момичета.
Имайте предвид, че статистическите данни от различни страни дават приблизително една и съща стойност на относителната честота.
Пример 1.26.Многократно са провеждани експерименти с хвърляне на монети, при които е преброен броят на появяванията на „герба“. Резултатите от няколко експеримента са показани в таблицата.
И така, нека поговорим за тема, която интересува много хора. В тази статия ще отговоря на въпроса как да изчисля вероятността от събитие. Ще дам формули за такова изчисление и няколко примера, за да стане по-ясно как се прави това.
Какво е вероятност
Нека започнем с факта, че вероятността това или онова събитие да се случи е определена степен на увереност в евентуалното настъпване на някакъв резултат. За това изчисление е разработена формула за обща вероятност, която ви позволява да определите дали събитието, което ви интересува, ще се случи или не, чрез така наречените условни вероятности. Тази формула изглежда така: P = n/m, буквите могат да се променят, но това не засяга самата същност.
Примери за вероятност
Използвайки прост пример, нека анализираме тази формула и да я приложим. Да кажем, че имате определено събитие (P), нека това е хвърляне на зар, тоест равностранен зар. И трябва да изчислим каква е вероятността да получим 2 точки за него. За да направите това, имате нужда от броя на положителните събития (n), в нашия случай - загубата на 2 точки, за общия брой събития (m). Хвърляне на 2 точки може да се случи само в един случай, ако има 2 точки на зара, тъй като в противен случай сумата ще бъде по-голяма, следва, че n = 1. След това броим броя на хвърлянията на всички други числа на зар, на 1 зар - това са 1, 2, 3, 4, 5 и 6, следователно има 6 благоприятни случая, тоест m = 6. Сега, използвайки формулата, правим просто изчисление P = 1/ 6 и откриваме, че хвърлянето на 2 точки на зара е 1/6, тоест вероятността за събитието е много ниска.
Нека също да разгледаме пример с използване на цветни топки, които са в кутия: 50 бели, 40 черни и 30 зелени. Трябва да определите каква е вероятността да изтеглите зелена топка. И така, тъй като има 30 топки от този цвят, тоест може да има само 30 положителни събития (n = 30), броят на всички събития е 120, m = 120 (въз основа на общия брой на всички топки), използвайки формулата, изчисляваме, че вероятността да изтеглите зелена топка ще бъде равна на P = 30/120 = 0,25, тоест 25% от 100. По същия начин можете да изчислите вероятността да изтеглите топка от различен цвят (черно ще бъде 33%, бяло 42%).
Всъщност формули (1) и (2) са кратък запис на условна вероятност, базиран на таблица на непредвидените характеристики. Да се върнем към разгледания пример (фиг. 1). Да предположим, че научим, че едно семейство планира да закупи широкоекранен телевизор. Каква е вероятността това семейство наистина да си купи такъв телевизор?
Ориз. 1. Поведение при покупка на широкоекранен телевизор
В този случай трябва да изчислим условната вероятност P (завършена покупка | планирана покупка). Тъй като знаем, че семейството планира покупка, пробното пространство не се състои от всичките 1000 семейства, а само тези, които планират да купят широкоекранен телевизор. От 250 такива семейства 200 наистина са закупили този телевизор. Следователно вероятността едно семейство наистина да купи широкоекранен телевизор, ако е планирало да го направи, може да се изчисли по следната формула:
P (завършена покупка | планирана покупка) = брой семейства, които са планирали и закупили широкоекранен телевизор / брой семейства, планиращи да купят широкоекранен телевизор = 200 / 250 = 0,8
Формула (2) дава същия резултат:
къде е събитието Ае, че семейството планира да закупи широкоекранен телевизор и събитието IN- че тя наистина ще го купи. Замествайки реални данни във формулата, получаваме:
Дърво на решенията
На фиг. 1 семействата са разделени на четири категории: тези, които са планирали да купят широкоекранен телевизор и тези, които не са го направили, както и тези, които са закупили такъв телевизор и тези, които не са го направили. Подобна класификация може да се извърши с помощта на дърво на решенията (фиг. 2). Дървото, показано на фиг. 2 има два клона, съответстващи на семейства, които са планирали да закупят широкоекранен телевизор, и семейства, които не са го направили. Всеки от тези клонове се разделя на два допълнителни клона, съответстващи на домакинствата, които са закупили и не са закупили широкоекранен телевизор. Вероятностите, записани в края на двата основни клона, са безусловните вероятности за събития АИ а'. Вероятностите, записани в края на четирите допълнителни клона, са условните вероятности за всяка комбинация от събития АИ IN. Условните вероятности се изчисляват чрез разделяне на общата вероятност от събития на съответната безусловна вероятност за всяко от тях.
Ориз. 2. Дърво на решенията
Например, за да се изчисли вероятността едно семейство да закупи широкоекранен телевизор, ако е планирало да го направи, трябва да се определи вероятността от събитието планирана и завършена покупкаи след това го разделете на вероятността на събитието планирана покупка. Придвижвайки се по дървото на решенията, показано на фиг. 2, получаваме следния (подобен на предишния) отговор:
Статистическа независимост
В примера за закупуване на широкоекранен телевизор, вероятността произволно избрано семейство да закупи широкоекранен телевизор, като се има предвид, че са планирали да го направят, е 200/250 = 0,8. Спомнете си, че безусловната вероятност произволно избрано семейство да закупи широкоекранен телевизор е 300/1000 = 0,3. Това води до един много важен извод. Предварителна информация, че семейството е планирало покупка, влияе върху вероятността за самата покупка.С други думи, тези две събития зависят едно от друго. За разлика от този пример, има статистически независими събития, чиито вероятности не зависят едно от друго. Статистическата независимост се изразява чрез идентичността: P(A|B) = P(A), Където P(A|B)- вероятност за събитие Апри условие, че събитието се е случило IN, P(A)- безусловна вероятност за събитие А.
Моля, имайте предвид, че събитията АИ IN P(A|B) = P(A). Ако в таблица на непредвидените характеристики с размер 2 × 2, това условие е изпълнено за поне една комбинация от събития АИ IN, ще важи за всяка друга комбинация. В нашия пример събития планирана покупкаИ покупката е завършенане са статистически независими, тъй като информацията за едно събитие влияе върху вероятността от друго.
Нека разгледаме пример, който показва как да тестваме статистическата независимост на две събития. Нека попитаме 300 семейства, закупили широкоекранен телевизор, дали са доволни от покупката си (фиг. 3). Определете дали степента на удовлетворение от покупката и вида на телевизора са свързани.
Ориз. 3. Данни, характеризиращи степента на удовлетвореност на купувачите на широкоекранни телевизори
Съдейки по тези данни,
В същото време,
P (клиентът е доволен) = 240 / 300 = 0,80
Следователно вероятността клиентът да е доволен от покупката и семейството да е закупило HDTV са равни и тези събития са статистически независими, тъй като не са свързани по никакъв начин.
Правило за умножение на вероятностите
Формулата за изчисляване на условната вероятност ви позволява да определите вероятността от съвместно събитие А и Б. След разрешаване на формула (1)
спрямо съвместната вероятност P(A и B), получаваме общо правило за умножаване на вероятностите. Вероятност за събитие А и Бравна на вероятността от събитието Апри условие, че събитието се случи IN IN:
(3) P(A и B) = P(A|B) * P(B)
Да вземем за пример 80 семейства, закупили широкоекранен HDTV телевизор (фиг. 3). От таблицата се вижда, че 64 семейства са доволни от покупката, а 16 не са. Да предположим, че две семейства са произволно избрани измежду тях. Определете вероятността и двамата клиенти да бъдат доволни. Използвайки формула (3), получаваме:
P(A и B) = P(A|B) * P(B)
къде е събитието Ае, че второто семейство е доволно от покупката си и събитието IN- че първото семейство е доволно от покупката си. Вероятността първото семейство да е доволно от покупката си е 64/80. Въпреки това, вероятността второто семейство също да е доволно от покупката си зависи от отговора на първото семейство. Ако първото семейство не се върне в извадката след проучването (селекция без връщане), броят на респондентите се намалява до 79. Ако първото семейство е доволно от покупката си, вероятността второто семейство също да бъде доволно е 63 /79, тъй като в примерните семейства са останали само 63 доволни от покупката. По този начин, замествайки конкретни данни във формула (3), получаваме следния отговор:
P(A и B) = (63/79)(64/80) = 0,638.
Следователно вероятността и двете семейства да са доволни от покупките си е 63,8%.
Да предположим, че след проучването първото семейство се връща към извадката. Определете вероятността и двете семейства да бъдат доволни от покупката си. В този случай вероятността и двете семейства да са доволни от покупката си е една и съща, равна на 64/80. Следователно, P(A и B) = (64/80)(64/80) = 0,64. По този начин вероятността и двете семейства да са доволни от покупките си е 64,0%. Този пример показва, че изборът на второто семейство не зависи от избора на първото. По този начин, замествайки условната вероятност във формула (3) P(A|B)вероятност P(A), получаваме формула за умножаване на вероятностите за независими събития.
Правилото за умножаване на вероятностите за независими събития.Ако събития АИ INса статистически независими, вероятността от събитие А и Бравна на вероятността от събитието А, умножено по вероятността за събитието IN.
(4) P(A и B) = P(A)P(B)
Ако това правило е вярно за събития АИ IN, което означава, че те са статистически независими. По този начин има два начина за определяне на статистическата независимост на две събития:
- събития АИ INса статистически независими един от друг тогава и само ако P(A|B) = P(A).
- събития АИ Бса статистически независими един от друг тогава и само ако P(A и B) = P(A)P(B).
Ако в таблица на непредвидените характеристики с размер 2 × 2, едно от тези условия е изпълнено за поне една комбинация от събития АИ Б, ще важи за всяка друга комбинация.
Безусловна вероятност за елементарно събитие
(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)
където събития B 1, B 2, ... B k са взаимно изключващи се и изчерпателни.
Нека илюстрираме приложението на тази формула, използвайки примера от фиг. 1. Използвайки формула (5), получаваме:
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)
Където P(A)- вероятността покупката да е планирана, P(B 1)- вероятността покупката да бъде направена, P(B 2)- вероятността покупката да не е завършена.
ТЕОРЕМА НА БАЙЕС
Условната вероятност за събитие взема предвид информацията, че е настъпило друго събитие. Този подход може да се използва както за прецизиране на вероятността, като се вземе предвид новополучената информация, така и за изчисляване на вероятността наблюдаваният ефект да е следствие от конкретна причина. Процедурата за прецизиране на тези вероятности се нарича теорема на Байс. За първи път е разработен от Томас Байс през 18 век.
Да приемем, че горепосочената компания проучва пазара за нов модел телевизор. В миналото 40% от телевизорите, създадени от компанията, са били успешни, докато 60% от моделите не са били признати. Преди да обявят пускането на нов модел, маркетинговите специалисти внимателно проучват пазара и записват търсенето. В миналото 80% от успешните модели се прогнозираха за успешни, докато 30% от успешните прогнози се оказаха грешни. Маркетинговият отдел даде благоприятна прогноза за новия модел. Каква е вероятността нов модел телевизор да се търси?
Теоремата на Bayes може да бъде извлечена от дефинициите на условната вероятност (1) и (2). За да изчислите вероятността P(B|A), вземете формула (2):
и заместваме вместо P(A и B) стойността от формула (3):
P(A и B) = P(A|B) * P(B)
Замествайки формула (5) вместо P(A), получаваме теоремата на Bayes:
където събития B 1, B 2, ... B k са взаимно изключващи се и изчерпателни.
Нека въведем следното обозначение: събитие S - Търси се телевизия, събитие S’ - Телевизията не е търсена, събитие F - благоприятна прогноза, събитие F’ - лоша прогноза. Да приемем, че P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Прилагайки теоремата на Бейс, получаваме:
Вероятността за търсене на нов модел телевизор при благоприятна прогноза е 0,64. Така вероятността от липса на търсене при благоприятна прогноза е 1–0,64=0,36. Процесът на изчисление е показан на фиг. 4.
Ориз. 4. (a) Изчисления, използващи формулата на Bayes за оценка на вероятността от търсене на телевизори; (b) Дърво на решения при проучване на търсенето на нов модел телевизор
Нека да разгледаме пример за използване на теоремата на Байс за медицинска диагностика. Вероятността човек да страда от определено заболяване е 0,03. Медицински тест може да провери дали това е вярно. Ако човек наистина е болен, вероятността за точна диагноза (да се каже, че човекът е болен, когато наистина е болен) е 0,9. Ако човек е здрав, вероятността от фалшиво положителна диагноза (да се каже, че човек е болен, когато е здрав) е 0,02. Да кажем, че медицинският тест дава положителен резултат. Каква е вероятността човек наистина да е болен? Каква е вероятността за точна диагноза?
Нека въведем следното обозначение: събитие D - човекът е болен, събитие D’ - човекът е здрав, събитие T - диагнозата е положителна, събитие T’ - диагноза отрицателна. От условията на задачата следва, че P(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Прилагайки формула (6), получаваме:
Вероятността при положителна диагноза човек наистина да е болен е 0,582 (виж също фиг. 5). Моля, имайте предвид, че знаменателят на формулата на Bayes е равен на вероятността за положителна диагноза, т.е. 0,0464.
Ако събитията H 1, H 2, ..., H n образуват пълна група, тогава за изчисляване на вероятността за произволно събитие можете да използвате формулата за обща вероятност:
P(A) = P(A/H 1) P(H 1)+P(A/H 2) P(H 2)
Според което вероятността за настъпване на събитие А може да бъде представена като сума от продуктите на условните вероятности на събитие А, при условие че настъпят събития H i, от безусловните вероятности на тези събития H i. Тези събития H i се наричат хипотези.
От формулата за обща вероятност следва формулата на Байс:
Вероятностите P(H i) на хипотезите H i се наричат априорни вероятности - вероятности преди провеждането на експерименти.
Вероятностите P(A/H i) се наричат постериорни вероятности - вероятностите на хипотези H i, прецизирани в резултат на опит.
Цел на услугата. Онлайн калкулаторът е предназначен да изчислява общата вероятност с целия процес на решение, написан във формат Word (вижте примери за решаване на проблеми).
Пример №1. Магазинът получава крушки от два завода, като първият е с дял от 25%. Известно е, че процентът на дефектите в тези фабрики е равен съответно на 5% и 10% от всички произведени продукти. Продавачът взима една електрическа крушка на случаен принцип. Каква е вероятността той да е дефектен?
Решение:Нека обозначим с A събитието - „крушката се оказва дефектна“. Възможни са следните хипотези за произхода на тази електрическа крушка: H 1- „електрическата крушка идва от първата фабрика.“ H 2- „електрическата крушка идва от второто растение.“ Тъй като делът на първото растение е 25%, вероятностите на тези хипотези са съответно равни 
; 
.
Условната вероятност, че дефектна електрическа крушка е произведена от първия завод е 
, второто растение - p(A/H 2)=
намираме необходимата вероятност продавачът да е взел дефектна електрическа крушка, използвайки формулата за пълна вероятност
0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0,0875
Отговор: p(A)= 0,0875.
Пример №2. Магазинът получи две равни количества от продукта със същото име. Известно е, че 25% от първата партида и 40% от втората партида са първокласни стоки. Каква е вероятността произволно избрана единица стока да не е от първи клас?
Решение:
Нека обозначим с А събитието - „продуктът ще бъде първокласен“. Възможни са следните хипотези за произхода на този продукт: H 1- „продукт от първата партида.“ H 2- „продукт от втора партида.“ Тъй като делът на първата партида е 25%, вероятностите на тези хипотези са съответно равни ; 
.
Условната вероятност продуктът от първата партида да е 
, от втората партида - 
желаната вероятност произволно избрана единица стока да бъде първокласна
p(A) = P(H 1) p(A/H 1)+P(H 2) (A/H 2)= 0,25·0,5+0,4·0,5=0,125+0,2=0,325
Тогава вероятността произволно избрана единица стока да не е от първи клас ще бъде равна на: 1- 0,325 = 0,675
Отговор:
.
Пример №3. Известно е, че 5% от мъжете и 1% от жените са далтонисти. Избраният на случаен принцип се оказва, че не е далтонист. Каква е вероятността това да е мъж (да приемем, че има равен брой мъже и жени).
Решение.
Събитие А - избраният на случаен принцип човек се оказва не далтонист.
Нека намерим вероятността това събитие да се случи.
P(A) = P(A|H=мъжки) + P(A|H=женски) = 0,95*0,5 + 0,99*0,5 = 0,475 + 0,495 = 0,97
Тогава вероятността това да е мъж е: p = P(A|H=man) / P(A) = 0,475/0,97 = 0,4897
Пример №4. В спортната олимпиада участват 4 студенти от първа година, 6 студенти от втора година и 5 студенти от трета година, съответно 0,9; 0,7 и 0,8.
а) Намерете вероятността за печалба от произволно избран участник.
б) При условията на тази задача един ученик спечели олимпиадата. Към коя група най-вероятно принадлежи?
Решение.
Събитие А - победа на произволно избран участник.
Тук P(H1) = 4/(4+6+5) = 0,267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0,4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0,333,
P(A|H1) = 0,9, P(A|H2) = 0,7, P(A|H3) = 0,8
а) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0,267*0,9 + 0,4*0,7 + 0,333*0,8 = 0,787
б) Решението може да се получи с помощта на този калкулатор.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
От p1, p2, p3 изберете максималния.
Пример №5. Фирмата разполага с три еднотипни машини. Единият осигурява 20% от общото производство, вторият – 30%, третият – 50%. В този случай първата машина произвежда 5% дефекти, втората 4%, третата - 2%. Намерете вероятността произволно избран дефектен продукт да бъде произведен от първата машина.