Едно събитие е резултат от тест. Какво е събитие? Една топка се взема на случаен принцип от урната. Изваждането на топка от урна е изпитание. Появата на топка с определен цвят е събитие. В теорията на вероятностите едно събитие се разбира като нещо, за което след определен момент от време може да се каже едно и само едно от две неща. Да, случи се. Не, не се случи. Възможен резултат от експеримент се нарича елементарно събитие, а набор от такива резултати се нарича просто събитие.
Непредсказуемите събития се наричат случайни. Едно събитие се нарича случайно, ако при едни и същи условия то може или не може да се случи. При хвърляне на зара резултатът ще бъде шестица. Имам билет от лотарията. След публикуването на резултатите от лотарията събитието, което ме интересува - спечелването на хиляда рубли - или се случва, или не се случва. Пример.
Две събития, които при определени условия могат да се случат едновременно, се наричат съвместни, а тези, които не могат да се случат едновременно, се наричат несъвместими. Хвърля се монета. Появата на „герба“ изключва появата на надписа. Събитията „появи се герб“ и „появи се надпис“ са несъвместими. Пример.
Събитие, което винаги се случва, се нарича надеждно. Събитие, което не може да се случи, се нарича невъзможно. Да предположим например, че е изтеглена топка от урна, съдържаща само черни топки. Тогава появата на черната топка е надеждно събитие; появата на бяла топка е невъзможно събитие. Примери. Догодина няма да има сняг. При хвърляне на зара резултатът ще бъде седем. Това са невъзможни събития. Догодина ще има сняг. Когато хвърлите зара, ще получите число, по-малко от седем. Ежедневен изгрев. Това са надеждни събития.
Решаване на проблеми За всяко от описаните събития определете какво е: невъзможно, надеждно или случайно. 1. От 25 ученици в класа двама празнуват рожден ден на а) 30 януари; б) 30 февруари. 2. Учебникът по литература се отваря произволно и втората дума се намира на лявата страница. Тази дума започва: а) с буквата „К”; б) започващи с буквата “Ъ”.
3. Днес в Сочи барометърът показва нормално атмосферно налягане. В този случай: а) водата в тигана е кипнала при температура 80º C; б) когато температурата падне до -5º C, водата в локвата замръзва. 4. Хвърлят се два зара: а) първият зар показва 3 точки, а вторият - 5 точки; б) сумата от хвърлените точки на двата зара е 1; в) сумата от хвърлените точки на двата зара е 13; г) двата зара са получили 3 точки; д) сборът от точки на два зара е по-малък от 15. Решаване на задача
5. Отворихте книгата на произволна страница и прочетохте първото попаднало ви съществително. Оказа се, че: а) изписването на избраната дума съдържа гласна; б) изписването на избраната дума съдържа буквата „О”; в) в изписването на избраната дума няма гласни; г) в изписването на избраната дума има мек знак. Разрешаване на проблем
Събитията (феномените), които наблюдаваме, могат да бъдат разделени на следните три вида: надеждни, невъзможни и случайни.
Надежденте наричат събитие, което определено ще се случи, ако е изпълнен определен набор от условия S. Например, ако съдът съдържа вода при нормално атмосферно налягане и температура 20°, тогава събитието „водата в съда е в течност състояние” е надежден. В този пример даденото атмосферно налягане и температура на водата съставляват набор от условия S.
Невъзможенте наричат събитие, което със сигурност няма да се случи, ако е изпълнен набор от условия S. Например събитието „водата в съда е в твърдо състояние“ със сигурност няма да се случи, ако наборът от условия от предишния пример е изпълнен.
Случаеннаричаме събитие, което, когато набор от условия S е изпълнен, може да се случи или да не се случи. Например, ако се хвърли монета, тя може да падне така, че да има или герб, или надпис отгоре. Следователно събитието „при хвърляне на монета „гербът“ падна е случайно. Всяко случайно събитие, по-специално появата на „герб“, е следствие от действието на много случайни причини (в нашия пример: силата, с която е хвърлена монетата, формата на монетата и много други) . Невъзможно е да се вземе предвид влиянието на всички тези причини върху резултата, тъй като техният брой е много голям и законите на тяхното действие са неизвестни. Следователно теорията на вероятностите не си поставя задачата да предвиди дали едно събитие ще се случи или не - тя просто не може да направи това.
Ситуацията е различна, ако разглеждаме случайни събития, които могат да се наблюдават многократно, когато са изпълнени едни и същи условия S, т.е. ако говорим за масивни хомогенни случайни събития. Оказва се, че достатъчно голям брой хомогенни случайни събития, независимо от техния специфичен характер, са подчинени на определени модели, а именно вероятностни модели. Теорията на вероятностите се занимава с установяването на тези закономерности.
По този начин предметът на теорията на вероятностите е изследването на вероятностните модели на масови хомогенни случайни събития.
Методите на теорията на вероятностите се използват широко в различни области на естествените науки и технологиите. Теорията на вероятностите също така служи за обосноваване на математическата и приложната статистика.
Видове случайни събития. Събитията се наричат несъвместими, ако настъпването на едно от тях изключва настъпването на други събития в същото изпитване.
Пример. Хвърля се монета. Появата на „герба“ изключва появата на надписа. Събитията „появи се герб“ и „появи се надпис“ са несъвместими.
Формират се няколко събития пълна група, ако поне един от тях се появи в резултат на теста. По-специално, ако събитията, които образуват пълна група, са непоследователни по двойки, тогава едно и само едно от тези събития ще се появи в резултат на опита. Този конкретен случай представлява най-голям интерес за нас, тъй като ще бъде използван по-нататък.
Пример 2. Закупени са два лотарийни билета за пари и дрехи. Едно и само едно от следните събития определено ще се случи: „печалбите паднаха на първия билет и не паднаха на втория“, „печалбите не паднаха на първия билет и паднаха на втория“, „печалбите паднаха и на двата билета“, отпадна „няма печалби и на двата билета“. Тези събития образуват пълна група от несъвместими по двойки събития.
Пример 3. Стрелецът е стрелял по целта. Едно от следните две събития определено ще се случи: удар, пропуск. Тези две несъвместими събития образуват пълна група.
Събитията се наричат еднакво възможно, ако има основание да се смята, че нито едно от тях не е по-възможно от другото.
Пример 4. Появата на „герб” и появата на надпис при хвърляне на монета са еднакво възможни събития. Всъщност се предполага, че монетата е изработена от хомогенен материал, има правилна цилиндрична форма и наличието на сечене не влияе върху загубата на една или друга страна на монетата.
Означавам се с главни букви от латинската азбука: A, B, C,.. A 1, A 2..
Противоположностите са два уникално възможни типа мутини, които образуват пълна група. Ако единият от двамата е от противоположния пол. събитията са обозначени с A, тогава друго обозначение е A`.
Пример 5. Попадение и пропуск при стрелба по мишена - противоположно поле. лични
Теорията на вероятностите, както всеки клон на математиката, оперира с определен набор от понятия. На повечето понятия от теорията на вероятностите е дадено определение, но някои се приемат като първични, недефинирани, като точка, права линия, равнина в геометрията. Основното понятие на теорията на вероятностите е събитие. Едно събитие се разбира като нещо, за което след определен момент от време може да се каже едно и само едно от две неща:
- · Да, случи се.
- · Не, не се случи.
Например, имам билет от лотарията. След публикуването на резултатите от лотарията събитието, което ме интересува - спечелването на хиляда рубли - или се случва, или не се случва. Всяко събитие възниква в резултат на тест (или опит). Тестът (или опитът) се отнася до онези условия, в резултат на които възниква събитие. Например хвърлянето на монета е изпитание, а появата на „герб“ върху нея е събитие. Едно събитие обикновено се обозначава с главни латински букви: A,B,C,…. Събитията в материалния свят могат да бъдат разделени на три категории – надеждни, невъзможни и случайни.
Определено събитие е събитие, за което се знае предварително, че ще се случи. Обозначава се с буквата W. По този начин е надеждно, че не повече от шест точки се появяват при хвърляне на обикновен зар, появата на бяла топка, когато се извади от урна, съдържаща само бели топки и т.н.
Невъзможно събитие е събитие, за което се знае предварително, че няма да се случи. Обозначава се с буквата E. Примери за невъзможни събития са теглене на повече от четири аса от обикновено тесте карти, теглене на червена топка от урна, съдържаща само бели и черни топки и т.н.
Случайно събитие е събитие, което може или не може да се случи в резултат на тест. Събития А и Б се наричат несъвместими, ако настъпването на едно от тях изключва възможността за настъпване на другото. По този начин появата на всеки възможен брой точки при хвърляне на зар (събитие A) е несъвместимо с появата на друго число (събитие B). Хвърлянето на четен брой точки е несъвместимо с хвърлянето на нечетен брой. Напротив, хвърлянето на четен брой точки (събитие A) и брой точки, кратен на три (събитие B) няма да бъде несъвместимо, тъй като хвърлянето на шест точки означава появата както на събитие A, така и на събитие B, така че настъпването на едното от тях не изключва настъпването на другото. Можете да извършвате операции върху събития. Обединението на две събития C=AUB е събитие C, което възниква тогава и само ако се случи поне едно от тези събития A и B. Пресечната точка на две събития D=A?? B е събитие, което се случва, ако и само ако се появят събития A и B.
5 клас. Въведение във вероятността (4 часа)
(разработване на 4 урока по тази тема)
Учебни цели : - въведе определението за случайно, надеждно и невъзможно събитие;
Дайте първи идеи за решаване на комбинаторни задачи: използване на дърво с опции и използване на правилото за умножение.
Образователна цел: развитие на светогледа на учениците.
Цел за развитие : развитие на пространственото въображение, усъвършенстване на умението за работа с линийка.
Надеждни, невъзможни и случайни събития (2 часа)
Комбинаторни задачи (2 часа)
Надеждни, невъзможни и случайни събития.
Първи урок
Оборудване на урока: зарове, монети, табла.
Животът ни до голяма степен се състои от злополуки. Има такава наука като "теория на вероятностите". Използвайки неговия език, можете да опишете много явления и ситуации.
Дори примитивният лидер разбираше, че дузина ловци имат по-голяма „вероятност“ да ударят бизон с копие, отколкото един. Затова тогава са ловували колективно.
Такива древни командири като Александър Велики или Дмитрий Донской, подготвяйки се за битка, разчитаха не само на доблестта и изкуството на воините, но и на шанса.
Много хора обичат математиката заради вечните истини: два пъти две винаги е четири, сборът от четните числа е четен, площта на правоъгълника е равна на произведението на съседните му страни и т.н. Във всяка задача, която решите, всеки получава същия отговор - просто трябва да не правите грешки в решението.
Истинският живот не е толкова прост и еднозначен. Резултатът от много събития не може да се предвиди предварително. Невъзможно е например да се каже със сигурност от коя страна ще падне хвърлена монета, кога ще падне първият сняг през следващата година или колко хора в града ще искат да проведат телефонен разговор в рамките на следващия час. Такива непредвидими събития се наричат случаен .
Случайността обаче има и свои закони, които започват да се проявяват, когато случайните явления се повтарят многократно. Ако хвърлите монета 1000 пъти, тя ще излезе с глави приблизително половината от времето, което не е случаят с две или дори десет хвърляния. „Приблизително“ не означава половината. Това обикновено може да е или да не е така. Законът не казва нищо сигурно, но дава известна степен на увереност, че ще се случи някакво случайно събитие. Такива модели се изучават от специален клон на математиката - Теория на вероятностите . С негова помощ можете да предвидите с по-голяма степен на увереност (но все още не със сигурност) както датата на първия снеговалеж, така и броя на телефонните обаждания.
Теорията на вероятностите е неразривно свързана с нашето ежедневие. Това ни дава прекрасна възможност да установим експериментално много вероятностни закони, повтаряйки произволни експерименти много пъти. Материалите за тези експерименти най-често ще бъдат обикновена монета, зар, комплект домино, табла, рулетка или дори тесте карти. Всеки от тези елементи е свързан с игрите по един или друг начин. Факт е, че случаят се появява тук в най-честата си форма. И първите вероятностни задачи бяха свързани с оценка на шансовете на играчите да спечелят.
Съвременната теория на вероятностите се отдалечи от хазарта, но нейните опори все още остават най-простият и надежден източник на шанс. След като се упражнявате с рулетка и зарове, ще се научите да изчислявате вероятността от случайни събития в ситуации от реалния живот, което ще ви позволи да оцените шансовете си за успех, да тествате хипотези и да вземате оптимални решения не само в игри и лотарии.
Когато решавате вероятностни задачи, бъдете много внимателни, опитайте се да оправдаете всяка стъпка, която предприемате, защото никоя друга област на математиката не съдържа толкова много парадокси. Като теория на вероятностите. И може би основното обяснение за това е връзката му с реалния свят, в който живеем.
Много игри използват зар с различен брой точки, отбелязани от всяка страна от 1 до 6. Играчът хвърля зара, гледа колко точки се появяват (от страната, която е разположена отгоре) и прави съответния брой ходове : 1,2,3 ,4,5 или 6. Хвърлянето на зар може да се счита за опит, експеримент, тест, а полученият резултат може да се счита за събитие. Хората обикновено са много заинтересовани да познаят настъпването на това или онова събитие и да предскажат неговия резултат. Какви прогнози могат да направят, когато хвърлят заровете? Първа прогноза: ще се появи едно от числата 1,2,3,4,5 или 6. Мислите ли, че прогнозираното събитие ще се случи или не? Разбира се, определено ще дойде. Извиква се събитие, което със сигурност ще се случи в даден опит надеждно събитие.
Втора прогноза : ще се появи числото 7. Мислите ли, че прогнозираното събитие ще се случи или не? Разбира се, че няма да стане, просто е невъзможно. Извиква се събитие, което не може да се случи в даден опит невъзможно събитие.
Трето предсказание : ще се появи числото 1. Смятате ли, че прогнозираното събитие се е случило или не? Не можем да отговорим на този въпрос с пълна сигурност, тъй като предвиденото събитие може да се случи или да не се случи. Извиква се събитие, което може или не може да се случи в даден опит случайно събитие.
Упражнение : Опишете събитията, разгледани в задачите по-долу. Като сигурно, невъзможно или случайно.
Да хвърлим монета. Появи се герб. (случаен)
Ловецът стрелял по вълка и го улучил. (случаен)
Ученикът всяка вечер излиза на разходка. Докато се разхождал в понеделник, той срещнал трима познати. (случаен)
Нека мислено проведем следния експеримент: обърнете чаша вода с главата надолу. Ако този експеримент се проведе не в космоса, а у дома или в класната стая, тогава водата ще се разлее. (надежден)
Произведени са три изстрела по целта.” Имаше пет удара" (невъзможно)
Хвърлете камъка нагоре. Камъкът остава да виси във въздуха. (невъзможен)
Пренареждаме произволно буквите на думата „антагонизъм“. Резултатът е думата „анахроизъм“. (невъзможен)
№959. Петя се сети за естествено число. Събитието е както следва:
а) предвидено е четно число; (произволно) б) нечетно число е предвидено; (случаен)
в) замислено е число, което не е нито четно, нито нечетно; (невъзможен)
г) замислено е число, което е четно или нечетно. (надежден)
№ 961. Петя и Толя сравняват рождените си дни. Събитието е както следва:
а) рождените им дни не съвпадат; (случаен) б) рождените им дни са еднакви; (случаен)
г) и двамата им рождени дни се падат на празници - Нова година (1 януари) и Ден на независимостта на Русия (12 юни). (случаен)
№ 962. При игра на табла се използват два зара. Броят на ходовете, които участникът в играта прави, се определя, като се съберат изпадналите числа от двете страни на кубчето, а при паднало „удвояване” (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6) ), тогава броят на ходовете се удвоява. Хвърляте зара и смятате колко хода трябва да направите. Събитието е както следва:
а) трябва да направите един ход; б) трябва да направите 7 хода;
в) трябва да направите 24 хода; г) трябва да направите 13 хода.
а) – невъзможен (може да се направи 1 ход, ако се хвърли комбинацията 1 + 0, но на зара няма число 0).
б) – случаен (ако се хвърлят 1 + 6 или 2 + 5).
в) – случаен (ако се появи комбинацията 6 +6).
г) – невъзможно (няма комбинации от числа от 1 до 6, чийто сбор е 13; това число не може да се получи дори при хвърляне на „удвоено“, тъй като е нечетно).
Проверете себе си. (математическа диктовка)
1) Посочете кои от следните събития са невъзможни, кои са надеждни, кои са случайни:
Футболната среща "Спартак" - "Динамо" ще завърши наравно. (случаен)
Ще спечелите, като участвате в печеливша лотария (надеждна)
Сняг ще вали в полунощ и слънцето ще грее 24 часа по-късно. (невъзможен)
Утре ще има контролно по математика. (случаен)
Ще бъдете избран за президент на Съединените щати. (невъзможен)
Вие ще бъдете избран за президент на Русия. (случаен)
2) Купихте телевизор в магазин, за който производителят предоставя две години гаранция. Кои от следните събития са невъзможни, кои са случайни, кои са надеждни:
Телевизорът няма да се счупи една година. (случаен)
Телевизорът няма да се счупи две години. (случаен)
Две години няма да плащате за ремонт на телевизора. (надежден)
Телевизорът ще се счупи на третата година. (случаен)
3) Автобус с 15 пътници трябва да направи 10 спирки. Кои от следните събития са невъзможни, кои са случайни, кои са надеждни:
Всички пътници ще слизат от автобуса на различни спирки. (невъзможен)
Всички пътници ще слизат на една и съща спирка. (случаен)
На всяка спирка поне някой ще слезе. (случаен)
Ще има спирка, от която никой не слиза. (случаен)
Четен брой пътници ще слизат на всички спирки. (невъзможен)
На всички спирки ще слизат нечетен брой пътници. (невъзможен)
Домашна работа : стр. 53 № 960, 963, 965 (сами измислете две надеждни, случайни и невъзможни събития).
Втори урок.
Проверка на домашните. (устно)
а) Обяснете какво представляват определени, случайни и невъзможни събития.
б) Посочете кое от следните събития е надеждно, кое е невъзможно, кое е случайно:
Няма да има лятна ваканция. (невъзможен)
Сандвичът ще падне с маслото надолу. (случаен)
Учебната година все някога ще свърши. (надежден)
Утре ще ме питат в час. (случаен)
Днес ще срещна черна котка. (случаен)
№ 960. Отворихте този учебник на произволна страница и избрахте първото появило се съществително. Събитието е както следва:
а) в изписването на избраната дума има гласна. ((надежден)
б) изписването на избраната дума съдържа буквата „о“. (случаен)
в) в изписването на избраната дума няма гласни. (невъзможен)
г) в изписването на избраната дума има мек знак. (случаен)
№ 963. Отново играете табла. Опишете следното събитие:
а) играчът трябва да направи не повече от два хода. (невъзможно - при комбинация от най-малките числа 1 + 1 играчът прави 4 хода; комбинация от 1 + 2 дава 3 хода; всички останали комбинации дават повече от 3 хода)
б) играчът трябва да направи повече от два хода. (надежден - всяка комбинация дава 3 или повече хода)
в) играчът трябва да направи не повече от 24 хода. (надеждно - комбинацията от най-големите числа 6 + 6 дава 24 хода, а всички останали дават по-малко от 24 хода)
г) играчът трябва да направи двуцифрен брой ходове. (на случаен принцип – например комбинацията 2 + 3 дава едноцифрен брой ходове: 5, а хвърлянето на две четворки дава двуцифрен брой ходове)
2. Разрешаване на проблеми.
№ 964. В торба има 10 топки: 3 сини, 3 бели и 4 червени. Опишете следното събитие:
а) От торбата са извадени 4 топки и всичките са сини; (невъзможен)
б) от торбата са извадени 4 топки и всичките са червени; (случаен)
в) 4 топки бяха извадени от торбата и всичките се оказаха с различни цветове; (невъзможен)
г) От торбата бяха извадени 4 топки, сред които нямаше черна топка. (надежден)
Задача 1. Кутията съдържа 10 червени, 1 зелена и 2 сини химикалки. Два обекта се изтеглят на случаен принцип от кутията. Кои от следните събития са невъзможни, кои са случайни, кои са сигурни:
а) две червени химикалки са извадени (произволно)
б) изваждат се две зелени дръжки; (невъзможен)
в) изваждат се две сини химикалки; (случаен)
г) изваждат се дръжки от два различни цвята; (случаен)
д) две дръжки се отстраняват; (надежден)
е) изваждат се два молива. (невъзможен)
Задача 2. Мечо Пух, Прасчо и всички - всички - всички сядат на кръглата маса да празнуват рождения му ден. При какъв брой всички - всички - всички събитието „Мечо Пух и Прасчо седят един до друг“ е надеждно и при какво число е случайно?
(ако има само 1 от всички - всички - всички, тогава събитието е надеждно, ако има повече от 1, тогава е случайно).
Задача 3. Сред 100 билета за благотворителна лотария печелившите са 20. Колко билета трябва да купите, за да направите събитието „няма да спечелите нищо“ невъзможно?
Задача 4. В класа има 10 момчета и 20 момичета. Кои от следните събития са невъзможни за този клас, кои са случайни, кои са надеждни
В класа има двама души, които са родени в различни месеци. (случаен)
В класа има двама души, родени в един и същи месец. (надежден)
В класа има две момчета, родени в един месец. (случаен)
В класа има две момичета, родени в един месец. (надежден)
Всички момчета са родени в различни месеци. (надежден)
Всички момичета са родени в различни месеци. (случаен)
Има момченце и момиченце родени в един месец. (случаен)
Има момче и момиче родени в различни месеци. (случаен)
Задача 5. В кутията има 3 червени, 3 жълти и 3 зелени топки. Изваждаме произволно 4 топки. Помислете за събитието „Сред изтеглените топки ще има топки от точно M цвята.“ За всяко M от 1 до 4 определете какво е събитието – невъзможно, надеждно или случайно и попълнете таблицата:
Самостоятелна работа.
азопция
а) числото на рождения ден на вашия приятел е по-малко от 32;
в) утре ще има контролно по математика;
г) Догодина първият сняг в Москва ще падне в неделя.
Хвърляне на зарове. Опишете събитието:
а) кубът, паднал, ще стои на ръба си;
б) ще се появи едно от числата: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
в) ще се появи числото 6;
г) ще се хвърли число, което е кратно на 7.
Една кутия съдържа 3 червени, 3 жълти и 3 зелени топки. Опишете събитието:
а) всички изтеглени топки са от един и същи цвят;
б) всички изтеглени топки са с различни цветове;
в) сред изтеглените топки има топки с различни цветове;
в) сред изтеглените топки има червена, жълта и зелена топка.
IIопция
Опишете въпросното събитие като надеждно, невъзможно или случайно:
а) сандвич, който падне от масата, ще падне с лицето надолу на пода;
б) сняг ще вали в Москва в полунощ, а след 24 часа ще грее слънце;
в) ще спечелите, като участвате в печеливша лотария;
г) догодина през май ще се чуе първият гръм на пролетта.
На картите са изписани всички двуцифрени числа. Една карта се избира на случаен принцип. Опишете събитието:
а) на картата имаше нула;
б) на картата имаше число, кратно на 5;
в) на картата имаше число, което беше кратно на 100;
г) на картата имаше число, по-голямо от 9 и по-малко от 100.
Кутията съдържа 10 червени, 1 зелена и 2 сини химикалки. Два обекта се изтеглят на случаен принцип от кутията. Опишете събитието:
а) извадени са две сини химикалки;
б) изваждат се две червени химикалки;
в) изваждат се две зелени дръжки;
г) зелената и черната дръжка се изваждат.
Домашна работа: 1). Измислете две надеждни, случайни и невъзможни събития.
2). Задача . В кутията има 3 червени, 3 жълти и 3 зелени топки. Изтегляме N топки на случаен принцип. Помислете за събитието „сред изтеглените топки ще има топки от точно три цвята“. За всяко N от 1 до 9 определете какво е събитието - невъзможно, надеждно или случайно и попълнете таблицата:
Комбинаторни задачи.
Първи урок
Проверка на домашните. (устно)
а) проверяваме проблемите, които учениците измислиха.
б) допълнителна задача.
Чета откъс от книгата на В. Левшин „Три дни в Карликания“.
„Първо под звуците на плавен валс числата образуваха група: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. След това младите скейтъри започнаха да сменят местата си, образувайки все повече и повече нови групи: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10 и т.н.
Това продължи, докато скейтърите се върнаха в изходната си позиция.
Колко пъти смениха местата си?
Днес в клас ще научим как да решаваме такива задачи. Те се наричат комбинативен.
3. Изучаване на нов материал.
Задача 1. Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 2, 3?
Решение: 11, 12, 13
31, 32, 33. Общо 9 числа.
При решаването на този проблем претърсихме всички възможни варианти или, както обикновено се казва в тези случаи. Всички възможни комбинации. Следователно такива проблеми се наричат комбинативен. В живота доста често трябва да изчислявате възможни (или невъзможни) варианти, така че е полезно да се запознаете с комбинаторни проблеми.
№ 967. Няколко държави решиха да използват символи за националното си знаме под формата на три хоризонтални ивици с еднаква ширина в различни цветове - бяло, синьо, червено. Колко държави могат да използват такива символи, при условие, че всяка държава има свое знаме?
Решение. Да приемем, че първата ивица е бяла. Тогава втората ивица може да бъде синя или червена, а третата ивица, съответно, червена или синя. Имаме две възможности: бяло, синьо, червено или бяло, червено, синьо.
Нека сега първата ивица е синя, тогава отново получаваме две опции: бяло, червено, синьо или синьо, червено, бяло.
Нека първата ивица е червена, тогава има още две опции: червено, бяло, синьо или червено, синьо, бяло.
Имаше общо 6 възможни варианта. Това знаме може да се използва от 6 държави.
Така че, когато решавахме този проблем, ние търсихме начин да изброим възможните опции. В много случаи се оказва полезно да се изгради картина - диаграма с изброени опции. Това, първо, е ясно, и второ, позволява ни да вземем предвид всичко и да не пропуснем нищо.
Тази диаграма се нарича още дърво на възможните опции.
Първа страница
Втора ивица
Трета лента
Получената комбинация
№ 968. Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 2, 4, 6, 8?
Решение. За двуцифрените числа, които ни интересуват, на първо място може да бъде всяка от дадените цифри, с изключение на 0. Ако поставим числото 2 на първо място, то всяка от дадените цифри може да бъде на второ място. Ще получите пет двуцифрени числа: 2.,22, 24, 26, 28. По същия начин ще има пет двуцифрени числа с първа цифра 4, пет двуцифрени числа с първа цифра 6 и пет двуцифрени числа цифрени числа с първа цифра 8.
Отговор: Ще има общо 20 числа.
Нека изградим дърво от възможни варианти за решаване на този проблем.
Двойни цифри
Първа цифра
Втора цифра
Получени номера
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Решете следните задачи, като построите дърво от възможни варианти.
№ 971. Ръководството на определена държава реши да направи националния си флаг така: на едноцветен правоъгълен фон в един от ъглите е поставен кръг с различен цвят. Беше решено да се изберат цветове от три възможни: червено, жълто, зелено. Колко варианта на това знаме?
съществува? Фигурата показва някои от възможните опции.
Отговор: 24 варианта.
№ 973. а) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 1,3, 5,? (27 числа)
б) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 1,3,5, при условие че числата не трябва да се повтарят? (6 числа)
№ 979. Съвременните петобойци участват в състезания в пет спорта в рамките на два дни: прескачане на препятствия, фехтовка, плуване, стрелба и бягане.
а) Колко опции има за реда на завършване на видовете състезания? (120 опции)
б) Колко опции има за реда на събитията от състезанието, ако е известно, че трябва да се проведе последното събитие? (24 опции)
в) Колко варианта има за реда на състезателните дисциплини, ако се знае, че последната дисциплина трябва да е бягане, а първата трябва да е прескачане на препятствия? (6 опции)
№ 981. Две урни съдържат по пет топки в пет различни цвята: бяло, синьо, червено, жълто, зелено. От всяка урна се тегли по една топка.
а) колко различни комбинации от изтеглени топки има (комбинации като "бяло - червено" и "червено - бяло" се считат за еднакви)?
(15 комбинации)
б) Колко комбинации има, в които изтеглените топки са от един и същи цвят?
(5 комбинации)
в) колко комбинации има, в които изтеглените топки са с различни цветове?
(15 – 5 = 10 комбинации)
Домашна работа: стр. 54, No 969, 972, измислете сами комбинаторна задача.
№ 969. Няколко държави са решили да използват символи за националното си знаме под формата на три вертикални ивици с еднаква ширина в различни цветове: зелено, черно, жълто. Колко държави могат да използват такива символи, при условие, че всяка държава има свое знаме?
№ 972. а) Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 3, 5, 7, 9?
б) Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 3, 5, 7, 9, при условие че числата не трябва да се повтарят?
Втори урок
Проверка на домашните. а) № 969 и № 972а) и № 972б) - изградете дърво на възможните опции на дъската.
б) устно проверяваме изпълнените задачи.
Разрешаване на проблем.
И така, преди това научихме как да решаваме комбинаторни проблеми с помощта на дърво от опции. Това добър начин ли е? Вероятно да, но много тромаво. Нека се опитаме да решим по различен начин домашна задача № 972. Кой може да предположи как може да стане това?
Отговор: Към всеки от петте цвята тениски има 4 цвята бикини. Общо: 4 * 5 = 20 опции.
№ 980. Урните съдържат по пет топки в пет различни цвята: бяло, синьо, червено, жълто, зелено. От всяка урна се тегли по една топка. Опишете следното събитие като сигурно, случайно или невъзможно:
а) извадени топки с различни цветове; (случаен)
б) извадени топки от един и същи цвят; (случаен)
в) изтеглени са черни и бели топки; (невъзможен)
г) изтеглени са две топки, като и двете са оцветени в един от следните цветове: бяло, синьо, червено, жълто, зелено. (надежден)
№ 982. Група туристи планира поход по маршрута Антоново – Борисово – Власово – Грибово. От Антоново до Борисово можете да сплавате по реката или да се разходите. От Борисово до Власово можете да ходите или да карате велосипед. От Власово до Грибово можете да плувате по реката, да карате велосипеди или да ходите. От колко възможности за трекинг могат да избират туристите? Колко варианта за пешеходен туризъм могат да изберат туристите, при условие че трябва да използват велосипеди поне в една част от маршрута?
(12 опции за маршрут, 8 от които с велосипеди)
Самостоятелна работа.
1 вариант
а) Колко трицифрени числа могат да се съставят от цифрите: 0, 1, 3, 5, 7?
б) Колко трицифрени числа могат да се съставят от цифрите: 0, 1, 3, 5, 7, като числата не трябва да се повтарят?
Атос, Портос и Арамис имат само меч, кама и пистолет.
а) По колко начина могат да бъдат въоръжени мускетарите?
б) Колко опции за оръжие има, ако Арамис трябва да владее меч?
в) Колко опции за оръжие има, ако Арамис трябва да владее меча, а Портос трябва да владее пистолета?
Някъде Бог изпрати на Рейвън парче сирене, както и сирене фета, наденица, бял и черен хляб. Кацнала на смърч, враната беше готова да закуси, но започна да мисли: по колко начина могат да се направят сандвичи от тези продукти?
Вариант 2
а) Колко трицифрени числа могат да се съставят от цифрите: 0, 2, 4, 6, 8?
б) Колко трицифрени числа могат да се съставят от цифрите: 0, 2, 4, 6, 8, като цифрите не трябва да се повтарят?
Граф Монте Кристо реши да подари на принцеса Хайде обеци, колие и гривна. Всяко бижу трябва да съдържа един от следните видове скъпоценни камъни: диаманти, рубини или гранати.
а) Колко възможности има за комбиниране на бижута със скъпоценни камъни?
б) Колко варианта за бижута има, ако обеците трябва да са диамантени?
в) Колко варианта за бижута има, ако обеците трябва да са с диамант, а гривната с гранат?
За закуска можете да изберете кифличка, сандвич или меденки с кафе или кефир. Колко опции за закуска можете да създадете?
Домашна работа : № 974, 975. (чрез съставяне на дърво с опции и използване на правилото за умножение)
№ 974 . а) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 0, 2, 4?
б) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 0, 2, 4, при условие че числата не трябва да се повтарят?
№ 975 . а) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 1,3, 5,7?
б) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 1,3, 5,7 при условието. Кои числа не трябва да се повтарят?
Номерата на задачите са взети от учебника
"Математика-5", I.I. Зубарева, А.Г. Мордкович, 2004.
Целта на урока:
- Въведете концепцията за надеждни, невъзможни и случайни събития.
- Развиване на знания и умения за определяне на вида на събитията.
- Развиват: компютърни умения; внимание; способност за анализиране, разсъждение, правене на заключения; умения за групова работа.
По време на часовете
1) Организационен момент.
Интерактивно упражнение: децата трябва да решават примери и да дешифрират думи; въз основа на резултатите те се разделят на групи (надеждни, невъзможни и произволни) и определят темата на урока.
1 карта.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 карти
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 карта
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Актуализиране на усвоените знания.
Игра „Пляскане“: четно число - пляскане, нечетно число - изправяне.
Задача: от дадената редица от числа 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... определете четно и нечетно.
3) Изучаване на нова тема.
На вашите маси има кубчета. Нека ги разгледаме по-отблизо. Какво виждаш?
Къде се използват зарове? как?
Работа в групи.
Провеждане на експеримент.
Какви прогнози можете да направите, когато хвърляте зар?
Първа прогноза: ще се появи едно от числата 1,2,3,4,5 или 6.
Извиква се събитие, което със сигурност ще се случи в даден опит надежден.
Втора прогноза: ще се появи числото 7.
Мислите ли, че прогнозираното събитие ще се случи или не?
Това е невъзможно!
Извиква се събитие, което не може да се случи в даден опит невъзможен.
Трета прогноза: ще се появи числото 1.
Ще се случи ли това събитие?
Извиква се събитие, което може или не може да се случи в даден опит случаен.
4) Затвърдяване на изучения материал.
I. Определете вида на събитието
-Утре ще вали червен сняг.
Утре ще вали обилен сняг.
Утре, въпреки че е юли, ще вали сняг.
Утре, въпреки че е юли, сняг няма да има.
Утре ще вали сняг и ще има виелица.
II. Добавете дума към това изречение по такъв начин, че събитието да стане невъзможно.
Коля получи А по история.
Саша не изпълни нито една задача на теста.
Оксана Михайловна (учител по история) ще обясни нова тема.
III. Дайте примери за невъзможни, случайни и надеждни събития.
IV. Работа по учебника (по групи).
Опишете събитията, обсъдени в задачите по-долу, като надеждни, невъзможни или случайни.
No 959. Петя измисли естествено число. Събитието е както следва:
а) предвидено е четно число;
б) предвидено е нечетно число;
в) замислено е число, което не е нито четно, нито нечетно;
г) замислено е число, което е четно или нечетно.
No 960. Отворихте този учебник на произволна страница и избрахте първото появило се съществително. Събитието е както следва:
а) в изписването на избраната дума има гласна;
б) изписването на избраната дума съдържа буквата „о“;
в) в изписването на избраната дума няма гласни;
г) в изписването на избраната дума има мек знак.
Решете № 961, № 964.
Обсъждане на решени задачи.
5) Отражение.
1. За какви събития научихте в урока?
2. Посочете кое от следните събития е сигурно, кое невъзможно и кое е случайно:
а) няма да има лятна ваканция;
б) сандвичът ще падне с маслото надолу;
в) учебната година ще свърши някога.
6) Домашна работа:
Измислете две надеждни, случайни и невъзможни събития.
Направете рисунка за един от тях.