Основните методи за решаване на тригонометрични уравнения са: редуциране на уравненията до най-простите (с помощта на тригонометрични формули), въвеждане на нови променливи и факторизиране. Нека да разгледаме използването им с примери. Обърнете внимание на формата на писане на решения на тригонометрични уравнения.
Необходимо условие за успешно решаване на тригонометрични уравнения е познаването на тригонометричните формули (тема 13 от работа 6).
Примери.
1. Уравнения, сведени до най-простите.
1) Решете уравнението
Решение:
Отговор:
2) Намерете корените на уравнението
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, принадлежащ на сегмента.
Решение:
Отговор:
2. Уравнения, които се свеждат до квадратни.
1) Решете уравнението 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Решение:Използвайки формулата sin 2 x = 1 – cos 2 x, получаваме
Отговор:
2) Решете уравнението cos 2x = 1 + 4 cosx.
Решение:Използвайки формулата cos 2x = 2 cos 2 x – 1, получаваме
Отговор:
3) Решете уравнението tgx – 2ctgx + 1 = 0
Решение:
Отговор:
3. Хомогенни уравнения
1) Решете уравнението 2sinx – 3cosx = 0
Решение: Нека cosx = 0, тогава 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с факта, че sin 2 x + cos 2 x = 1. Това означава cosx ≠ 0 и можем да разделим уравнението на cosx. Получаваме
Отговор:
2) Решете уравнението 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Решение:
Използваме формулите 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получаваме
sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Нека cosx = 0, тогава sin 2 x = 0 и sinx = 0 – противоречие с факта, че sin 2 x + cos 2 x = 1.
Това означава cosx ≠ 0 и можем да разделим уравнението на cos 2 x .
Получаваме
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Нека означим tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
а) tgx = 4, x = arctan4 + 2 к, к
б) tgx = 2, x= arctan2 + 2 к, к .
Отговор: arctg4 + 2 к, арктан2 + 2 к, к
4. Уравнения на формата а sinx + b cosx = s, s≠ 0.
1) Решете уравнението.
Решение:
Отговор:
5. Уравнения, решени чрез факторизация.
1) Решете уравнението sin2x – sinx = 0.
Корен на уравнението f (х) = φ ( х) може да служи само като число 0. Нека проверим това:
cos 0 = 0 + 1 – равенството е вярно.
Числото 0 е единственият корен на това уравнение.
Отговор: 0.
Методи за решаване на тригонометрични уравнения.Решаването на тригонометрично уравнение се състои от два етапа: трансформация на уравнениеза да стане най-простотип (виж по-горе) и решениеполучената най-проста тригонометрично уравнение.Има седем основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.
1. Алгебричен метод.
(променлива замяна и метод на заместване).
2. Разлагане на множители.
Пример 1. Решете уравнението:грях х+cos х = 1 .
Решение. Нека преместим всички членове на уравнението вляво:
грях х+cos х – 1 = 0 ,
Нека трансформираме и разложим израза на множители
Лявата страна на уравнението:
Пример 2. Решете уравнението: cos 2 х+ грях х cos х = 1.
Решение: cos 2 х+ грях х cos х– грях 2 х– cos 2 х = 0 ,
грях х cos х– грях 2 х = 0 ,
грях х· (cos х– грях х ) = 0 ,
Пример 3. Решете уравнението:защото 2 х– защото 8 х+ cos 6 х = 1.
Решение: cos 2 х+ cos 6 х= 1 + cos 8 х,
2 cos 4 хзащото 2 х= 2cos² 4 х ,
Cos 4 х · (cos 2 х– cos 4 х) = 0 ,
Cos 4 х · 2 грях 3 хгрях х = 0 ,
1). защото 4 х= 0, 2). грях 3 х= 0, 3). грях х = 0 ,
3. Намаляване до хомогенно уравнение.Уравнението Наречен хомогенен от относно гряхИ cos , Ако всичко това термини от същата степен спрямо гряхИ cosсъщия ъгъл. За да решите хомогенно уравнение, трябва: А) преместете всичките си членове вляво; b) извадете всички общи множители извън скоби; V) приравнява всички множители и скоби към нула; Ж) скоби, равни на нула, дават хомогенно уравнение от по-малка степен, което трябва да се раздели на cos(или грях) в старша степен; д) реши полученото алгебрично уравнение затен . грях 2 х+ 4 грях х cos х+ 5cos 2 х = 2. Решение: 3sin 2 х+ 4 грях х cos х+ 5 cos 2 х= 2sin 2 х+ 2cos 2 х , грях 2 х+ 4 грях х cos х+ 3, защото 2 х = 0 , тен 2 х+ 4 тен х + 3 = 0 , оттук г 2 + 4г +3 = 0 , Корените на това уравнение са:г 1 = - 1, г 2 = - 3, следователно 1) тен х= –1, 2) тен х = –3, |
4. Преход към полуъгъл.
Нека да разгледаме този метод с пример:
ПРИМЕР Решете уравнение: 3грях х– 5 cos х = 7.
Решение: 6 грях ( х/ 2) cos ( х/ 2) – 5 cos² ( х/ 2) + 5 sin² ( х/ 2) =
7 sin² ( х/ 2) + 7 cos² ( х/ 2) ,
2 sin² ( х/ 2) – 6 грях ( х/ 2) cos ( х/ 2) + 12 cos² ( х/ 2) = 0 ,
тен²( х/ 2) – 3 тен ( х/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Въвеждане на спомагателен ъгъл.
Разгледайте уравнение на формата:
агрях х + b cos х = ° С ,
Където а, b, ° С– коефициенти;х– неизвестен.
Сега коефициентите на уравнението имат свойствата на синус и косинус, именно: модул (абсолютна стойност) на всеки от които не повече от 1 бр. и сумата на техните квадрати е 1. Тогава можем да обозначим тях съответно как защото и грях (тук - т.нар спомагателен ъгъл), Ивземете нашето уравнение
Предмет:"Методи за решаване на тригонометрични уравнения."
Цели на урока:
образователен:
Развиват умения за разграничаване на видовете тригонометрични уравнения;
Задълбочаване на разбирането на методите за решаване на тригонометрични уравнения;
образователен:
Култивиране на познавателен интерес към образователния процес;
Формиране на умение за анализ на поставена задача;
развитие:
Да развиете умението да анализирате ситуацията и след това да изберете най-рационалния изход от нея.
Оборудване:плакат с основни тригонометрични формули, компютър, проектор, екран.
Нека започнем урока, като повторим основната техника за решаване на всяко уравнение: редуцирането му до стандартна форма. Чрез трансформации линейните уравнения се редуцират до формата ax = b, квадратните уравнения се редуцират до формата брадва 2+bx +c =0.В случай на тригонометрични уравнения е необходимо да се сведат до най-простите, от вида: sinx = a, cosx = a, tgx = a, които лесно могат да бъдат решени.
На първо място, разбира се, за това трябва да използвате основните тригонометрични формули, които са представени на плаката: формули за добавяне, формули за двоен ъгъл, намаляване на кратността на уравнението. Вече знаем как да решаваме такива уравнения. Нека повторим някои от тях:
В същото време има уравнения, чието решаване изисква познаване на някои специални техники.
Темата на нашия урок е да разгледаме тези техники и да систематизираме методите за решаване на тригонометрични уравнения.
Методи за решаване на тригонометрични уравнения.
1. Преобразуване в квадратно уравнение по отношение на някаква тригонометрична функция, последвано от промяна на променлива.
Нека разгледаме всеки от изброените методи с примери, но нека се спрем по-подробно на последните два, тъй като вече сме използвали първите два при решаването на уравнения.
1. Преобразуване в квадратно уравнение по отношение на някаква тригонометрична функция.
2. Решаване на уравнения по метода на факторизацията.
3. Решаване на еднородни уравнения.
Хомогенните уравнения от първа и втора степен са уравнения от вида:
съответно (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).
Когато решавате хомогенни уравнения, разделете двете страни на члена на уравнението на cosx за (1) уравнение и на cos 2 x за (2). Това деление е възможно, защото sinx и cosx не са равни на нула едновременно - те стават нула в различни точки. Нека разгледаме примери за решаване на хомогенни уравнения от първа и втора степен.
Нека запомним това уравнение: когато разглеждаме следващия метод - въвеждането на спомагателен аргумент, нека го решим по различен начин.
4. Въвеждане на спомагателен аргумент.
Нека разгледаме уравнението, вече решено с предишния метод:
Както виждате се получава същият резултат.
Нека да разгледаме друг пример:
В разгледаните примери като цяло беше ясно какво трябва да се раздели на първоначалното уравнение, за да се въведе спомагателен аргумент. Но може да се случи, че не е очевидно кой делител да изберете. За това има специална техника, която сега ще разгледаме в общи линии. Нека е дадено уравнение.