\(\blacktriangleright\) Ъгълът между права и равнина е ъгълът между правата и нейната проекция върху тази равнина (т.е. това е ъгълът \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).
\(\blacktriangleright\) За да намерите ъгъла между правата \(a\) и равнината \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\)), трябва:
Стъпка 1: от някаква точка \(A\in a\) начертайте перпендикуляр \(AO\) към равнината \(\phi\) (\(O\) е основата на перпендикуляра);
Стъпка 2: тогава \(BO\) е проекцията на наклонената \(AB\) върху равнината \(\phi\) ;
Стъпка 3: Тогава ъгълът между правата \(a\) и равнината \(\phi\) е равен на \(\angle ABO\) .
Задача 1 #2850
Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит
Правата \(l\) пресича равнината \(\alpha\) . На правата \(l\) е отбелязана отсечката \(AB=25\), като е известно, че проекцията на тази отсечка върху равнината \(\alpha\) е равна на \(24\) . Намерете синуса на ъгъла между правата \(l\) и равнината \(\alpha\)
Да погледнем снимката:
Нека \(A_1B_1=24\) е проекцията на \(AB\) върху равнината \(\alpha\), което означава \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) . Тъй като две прави, перпендикулярни на равнината, лежат в една и съща равнина, тогава \(A_1ABB_1\) – правоъгълен трапец. Нека направим \(AH\perp BB_1\) . Тогава \(AH=A_1B_1=24\) . Следователно, съгласно теоремата на Питагор \ Отбелязваме също, че ъгълът между права и равнина е ъгълът между правата и нейната проекция върху равнината, следователно желаният ъгъл е ъгълът между \(AB\) и \(A_1B_1 \) . Тъй като \(AH\паралел A_1B_1\) , тогава ъгълът между \(AB\) и \(A_1B_1\) е равен на ъгъла между \(AB\) и \(AH\) .
Тогава \[\sin\ъгъл BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0,28.\]
Отговор: 0,28
Задача 2 #2851
Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит
\(ABC\) – правилен триъгълниксъс страна \(3\) , \(O\) е точка, разположена извън равнината на триъгълника, и \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . Намерете ъгъла, образуван от правите \(OA, OB, OC\) с равнината на триъгълника. Дайте отговора си в градуси.
Нека начертаем перпендикуляр \(OH\) към равнината на триъгълника.
Нека помислим \(\триъгълник OAH, \триъгълник OBH, \триъгълник OCH\). Те са правоъгълни и равни по катет и хипотенуза. Следователно \(AH=BH=CH\) . Това означава, че \(H\) е точка, разположена на същото разстояние от върховете на триъгълника \(ABC\) . Следователно \(H\) е центърът на окръжността, описана около него. Тъй като \(\триъгълник ABC\) е правилен, тогава \(H\) е пресечната точка на медианите (те също са височини и ъглополовящи).
Тъй като ъгълът между права и равнина е ъгълът между правата и нейната проекция върху тази равнина, а \(AH\) е проекцията на \(AO\) върху равнината на триъгълника, тогава ъгълът между \( AO\) и равнината на триъгълника е равна на \( \ъгъл OAH\) .
Нека \(AA_1\) е медианата в \(\триъгълник ABC\) , следователно, \
Тъй като медианите са разделени от пресечната точка в съотношение \(2:1\) , като се брои от върха, тогава \ След това от правоъгълника \(\триъгълник OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]
Забележете, че от равенството на триъгълниците \(OAH, OBH, OCH\) следва, че \(\ъгъл OAH=\ъгъл OBH=\ъгъл OCH=60^\окръжност\).
Отговор: 60
Задача 3 #2852
Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит
Правата \(l\) е перпендикулярна на равнината \(\pi\) . Правата \(p\) не лежи в равнината \(\pi\) и не е успоредна на нея, нито е успоредна на правата \(l\). Намерете сумата от ъглите между правите \(p\) и \(l\) и между правата \(p\) и равнината \(\pi\) . Дайте отговора си в градуси.
От условието следва, че правата \(p\) пресича равнината \(\pi\) . Нека \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .
Тогава \(\angle POL\) е ъгълът между правите \(p\) и \(l\) .
Тъй като ъгълът между права и равнина е ъгълът между права и нейната проекция върху тази равнина, тогава \(\angle OPL\) е ъгълът между \(p\) и \(\pi\) . Обърнете внимание, че \(\triangle OPL\) е правоъгълник с \(\angle L=90^\circ\) . Тъй като сумата от острите ъгли правоъгълен триъгълнике равно на \(90^\circ\) , тогава \(\ъгъл POL+\ъгъл OPL=90^\circ\).
Коментирайте.
Ако правата \(p\) не пресича правата \(l\), тогава начертаваме права \(p"\успоредна p\), пресичаща \(l\). Тогава ъгълът между правата \(p\ ) и \(l\ ) ще бъде равен на ъгъла между \(p"\) и \(l\) . По същия начин ъгълът между \(p\) и \(\pi\) ще бъде равен на ъгъла между \(p"\) и \(\pi\). А за правата \(p"\) предишното решение вече е правилно.
Отговор: 90
Задача 4 #2905
Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. Точката \(N\) е средата на ръба \(BB_1\) , а точката \(M\) е средата на отсечката \(BD\) . Намерете \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) , където \(\alpha\) е ъгълът между правата, съдържаща \(MN\) и равнината \((A_1B_1C_1D_1)\) . Дайте отговора си в градуси.
\(NM\) – средна линияв триъгълника \(DBB_1\) , тогава \(NM \паралел B_1D\) и \(\alpha\) е равно на ъгъла между \(B_1D\) и равнината \((A_1B_1C_1D_1)\) .
Тъй като \(DD_1\) е перпендикулярен на равнината \(A_1B_1C_1D_1\) , тогава \(B_1D_1\) е проекцията на \(B_1D\) върху равнината \((A_1B_1C_1D_1)\) и ъгъла между \(B_1D\ ) и равнината \( (A_1B_1C_1D_1)\) е ъгълът между \(B_1D\) и \(B_1D_1\) .
Нека ръбът на куба е \(x\), тогава по Питагоровата теорема \ В триъгълника \(B_1D_1D\) тангенсът на ъгъла между \(B_1D\) и \(B_1D_1\) е равен на \(\mathrm(tg)\,\ъгъл DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\), където \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).
Отговор: 0,5
Задача 5 #2906
Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. Точката \(N\) е средата на ръба \(BB_1\) , а точката \(M\) разделя сегмента \(BD\) в съотношение \(1:2\) , броено от върха \(B\) . Намерете \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) , където \(\alpha\) е ъгълът между правата, съдържаща \(MN\) и равнината \((ABC)\) . Дайте отговора си в градуси.
Тъй като \(NB\) е част от \(BB_1\) и \(BB_1\perp (ABC)\) , тогава и \(NB\perp (ABC)\) . Следователно \(BM\) е проекцията на \(NM\) върху равнината \((ABC)\) . Това означава, че ъгълът \(\alpha\) е равен на \(\angle NMB\) .
Нека ръбът на куба е равен на \(x\). Тогава \(NB=0,5x\) . По Питагоровата теорема \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . Тъй като по условие \(BM:MD=1:2\) , тогава \(BM=\frac13BD\) , следователно \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .
След това от правоъгълника \(\триъгълник NBM\): \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\ъгъл NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\alpha=8.\]
Отговор: 8
Задача 6 #2907
Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит
На какво е равно \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\), ако \(\alpha\) е ъгълът на наклона на диагонала на куба към една от страните му?
Желаният ъгъл ще съвпадне с ъгъла между диагонала на куба и диагонала на което и да е от лицата му, т.к. V в този случайдиагоналът на куба ще бъде наклонен, диагоналът на лицето ще бъде проекцията на това наклонено лице върху равнината. Така желаният ъгъл ще бъде равен, например, на ъгъла \(C_1AC\) . Ако означим ръба на куба като \(x\), тогава \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\), тогава квадратът на котангенса на желания ъгъл: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]
Отговор: 2
Задача 7 #2849
Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит
\(\ъгъл BAH=\ъгъл CAH=30^\circ\) .
Според Питагоровата теорема \
следователно \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\]Тъй като \(OH\perp (ABC)\), тогава \(OH\) е перпендикулярна на всяка права линия от тази равнина, което означава, че \(\триъгълник OAH\) е правоъгълен. Тогава \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0,4.\]
Отговор: 0,4
За учениците от гимназията, които се подготвят за Единния държавен изпит по математика, ще бъде полезно да се научат да се справят със задачите от раздела „Геометрия в пространството“, в който трябва да намерят ъгъла между права линия и равнина. Миналият опит показва това подобни задачисъздават определени трудности за завършилите. В същото време знайте основна теорияи гимназистите с всякакво ниво на обучение трябва да разберат как да намерят ъгъла между права линия и равнина. Само в този случай те могат да разчитат на получаване на прилични точки.
Основни нюанси
Подобно на други стереометрични Задачи за единен държавен изпит, задачи, в които трябва да намерите ъгли и разстояния между прави линии и равнини, могат да бъдат решени по два метода: геометричен и алгебричен. Студентите могат да изберат най-удобния за тях вариант. Според геометричен метод, трябва да се намери на права линия подходяща точка, спуснете перпендикуляр от него върху равнината и изградете проекция. След това завършилият ще трябва да приложи само основните теоретични знанияи решаване на планиметричната задача за изчисляване на ъгъла. Алгебричен методвключва въвеждането на координатна система за намиране на желаното количество. Необходимо е да се определят координатите на две точки на права линия, да се състави правилно уравнението на равнината и да се реши.
Ефективна подготовка с Школково
Да направи часовете лесни и равномерни трудни задачине предизвика никакви затруднения, изберете нашия образователен портал. Тук има всички необходими материали за успешно завършванесертификационен тест. Правилният основна информацияще намерите в раздел „Теоретична информация“. А за да се упражнявате да изпълнявате задачи, просто отидете в „Каталога“ на нашия математически портал. Този раздел съдържа голям избор от упражнения различни степенисложност. Нови задачи се появяват редовно в каталога.
Изпълнете задачи за намиране на ъгъла между права линия и равнина или върху, руски ученициможете онлайн, докато сте в Москва или друг град. Ако студентът желае, всяко упражнение може да бъде запазено в „Любими“. Това ще ви позволи бързо да го намерите, ако е необходимо, и да обсъдите напредъка на решението му с учителя.
Статията започва с дефиницията на ъгъла между права линия и равнина. Тази статия ще ви покаже как да намерите ъгъла между права линия и равнина, като използвате метода на координатите. Подробно ще бъдат разгледани решенията на примери и задачи.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Първо е необходимо да се повтори концепцията за права линия в пространството и концепцията за равнина. За да се определи ъгълът между права линия и равнина, няколко спомагателни определения. Нека разгледаме подробно тези определения.
Определение 1
Права и равнина се пресичатв случай, че имат такъв обща точка, тоест това е пресечната точка на права и равнина.
Права линия, пресичаща равнина, може да бъде перпендикулярна на равнината.
Определение 2
Правата е перпендикулярна на равнина, когато е перпендикулярна на всяка права, разположена в тази равнина.
Определение 3
Проекция на точка M върху равнинаγ е самата точка, ако лежи вътре за дадена равнина, или е пресечната точка на равнината с правата, перпендикулярна на равнинатаγ, минаваща през точка M, при условие че не принадлежи на равнината γ.
Определение 4
Проекция на права a върху равнинаγ е множеството от проекции на всички точки от дадена права върху равнината.
От това получаваме, че проекцията на права, перпендикулярна на равнината γ, има пресечна точка. Откриваме, че проекцията на права a е права, принадлежаща на равнината γ и минаваща през пресечната точка на права a и равнината. Нека погледнем фигурата по-долу.
включено в моментаимаме всичко необходимата информацияи данни за формулиране на определението за ъгъл между права линия и равнина
Определение 5
Ъгълът между права и равнинаъгълът между тази права линия и нейната проекция върху тази равнина се нарича и правата линия не е перпендикулярна на нея.
Определението за ъгъл, дадено по-горе, помага да се стигне до заключението, че ъгълът между права и равнина е ъгълът между две пресичащи се прави, тоест дадена права заедно с нейната проекция върху равнината. Това означава, че ъгълът между тях винаги ще бъде остър. Нека да разгледаме снимката по-долу.
Ъгълът, разположен между права линия и равнина, се счита за прав, тоест равен на 90 градуса, но ъгълът, разположен между успоредни прави линии, не е определен. Има случаи, когато стойността му се приема за нула.
Задачите, при които е необходимо да се намери ъгълът между права линия и равнина, имат много варианти на решение. Самото протичане на решението зависи от наличните данни за състоянието. Чести спътници на решението са знаци за сходство или равенство на фигури, косинуси, синуси, допирателни на ъгли. Намирането на ъгъла е възможно с помощта на метода на координатите. Нека го разгледаме по-подробно.
Ако в триизмерно пространствовъведени правоъгълна системакоординати O x y z, то в него е посочена права a, пресичаща равнината γ в точка M, и тя не е перпендикулярна на равнината. Необходимо е да се намери ъгълът α, разположен между дадена права и равнината.
Първо трябва да приложите дефиницията на ъгъла между права линия и равнина, като използвате метода на координатите. Тогава получаваме следното.
В координатната система O x y z е посочена права линия a, която съответства на уравненията на правата линия в пространството и насочващият вектор на правата линия в пространството за равнината γ съответства на уравнението на равнината и нормалата вектор на равнината. Тогава a → = (a x , a y , a z) е насочващият вектор на дадената права a, а n → (n x , n y , n z) е нормалният вектор за равнината γ. Ако си представим, че имаме координатите на насочващия вектор на правата линия a и нормалния вектор на равнината γ, тогава техните уравнения са известни, тоест те са определени от условие, тогава е възможно да се определят векторите a → и n → въз основа на уравнението.
За да се изчисли ъгълът, е необходимо да се трансформира формулата, за да се получи стойността на този ъгъл, като се използват съществуващите координати на насочващия вектор на правата линия и нормалния вектор.
Необходимо е да се начертаят векторите a → и n →, като се започне от пресечната точка на правата a с равнината γ. Има 4 варианта за разположението на тези вектори спрямо дадени прави и равнини. Вижте снимката по-долу, която показва всичките 4 варианта.
Оттук намираме, че ъгълът между векторите a → и n → се обозначава с a → , n → ^ и е остър, тогава желаният ъгъл α, разположен между правата линия и равнината, се допълва, т.е. получаваме израз под формата a → , n → ^ = 90 ° - α. Когато по условие a →, n → ^ > 90 °, тогава имаме a →, n → ^ = 90 ° + α.
От тук имаме косинусите равни ъглиса равни, то последните равенства се записват под формата на система
cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°
Трябва да използвате формули за редукция, за да опростите изрази. Тогава получаваме равенствата тип cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°
След като извърши трансформациите, системата придобива тип гряхα = cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^
От тук получаваме синуса на ъгъла между правата и равнината равен на модулкосинус на ъгъла между насочващия вектор на правата и нормалния вектор на дадената равнина.
Разделът за намиране на ъгъла, образуван от два вектора, разкри, че този ъгъл приема стойността точков продуктвектори и произведението на тези дължини. Процесът на изчисляване на синуса на ъгъла, получен от пресичането на права линия и равнина, се извършва по формулата
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
Това означава, че формулата за изчисляване на ъгъла между права и равнина с координатите на насочващия вектор на правата и нормалния вектор на равнината след преобразуване е от вида
α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
Намирането на косинуса с известен синус е допустимо чрез прилагане на основния тригонометрична идентичност. Пресечната точка на права и равнина се образува остър ъгъл. Това предполага, че стойността му ще бъде положително число, а изчисляването му е направено от cos формулиα = 1 - sin α.
Нека разрешим няколко подобни примериза осигуряване на материала.
Пример 1
Намерете ъгъла, синуса и косинуса на ъгъла, образуван от правата x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 и равнината 2 x + z - 1 = 0.
Решение
За да се получат координатите на вектора на посоката, е необходимо да се вземе предвид канонични уравненияправо в космоса. Тогава получаваме, че a → = (3, - 2, 6) е векторът на посоката на правата x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6.
За да намерите координатите на нормалния вектор, е необходимо да вземете предвид общо уравнениеравнини, тъй като тяхното присъствие се определя от наличните коефициенти пред променливи на уравнението. Тогава намираме, че за равнината 2 x + z - 1 = 0 нормалният вектор има формата n → = (2, 0, 1).
Необходимо е да се премине към изчисляване на синуса на ъгъла между правата линия и равнината. За да направите това, е необходимо да замените координатите на векторите a → и b → в дадена формула. Получаваме израз на формата
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- 2 ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5
От тук намираме стойността на косинуса и стойността на самия ъгъл. Получаваме:
cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5
отговор: sin α = 12 7 5, cos α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.
Пример 2
Има пирамида, изградена с помощта на стойностите на векторите A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1. Намерете ъгъла между права A D и равнина A B C.
Решение
За да изчислите желания ъгъл, е необходимо да имате координатите на насочващия вектор на правата линия и нормалния вектор на равнината. за права линия A D насочващият вектор има координати A D → = 4, 1, 1.
Нормален вектор n → , самолет A B C е перпендикулярен на вектора A B → и A C → . Това означава, че нормалният вектор на равнината A B C може да се разглежда векторен продуктвектори A B → и A C → . Изчисляваме това с помощта на формулата и получаваме:
n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )
Необходимо е да замените координатите на векторите, за да изчислите желания ъгъл, образувана от кръстовищетоправа и равнина. получаваме израз от формата:
α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2
отговор: a r c sin 23 21 2 .
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Ъгълът a между права линия l и равнина 6 може да се определи чрез допълнителния ъгъл p между дадена права линия l и перпендикуляр n към дадена равнина, изтеглен от всяка точка на правата линия (фиг. 144). Ъгъл P допълва желания ъгъл a до 90°. След като определихме истинската стойност на ъгъла P чрез завъртане на нивото на равнината на ъгъла, образуван от правата линия l и перпендикуляра и около правата линия, остава да го допълним до прав ъгъл. Този допълнителен ъгъл ще даде истинската стойност на ъгъла a между права линия l и равнина 0.
27. Определяне на ъгъл между две равнини.
Истинска стойност двустенен ъгъл- между две равнини Q и l. - може да се определи или чрез замяна на проекционната равнина, за да се трансформира ръбът на двустенен ъгъл в проектираща линия (задачи 1 и 2), или ако ръбът не е посочен, като ъгълът между два перпендикуляра n1 и n2, изтеглени към тези равнини от произволна точка M от пространство B равнина на тези перпендикуляри в точка M получаваме два равнинни ъгъла a и P, които са съответно равни на линейните ъгли на два съседни ъгли(двустен), образуван от равнините q и l. След като определихме истинската стойност на ъглите между перпендикуляра n1 и n2 чрез въртене около правата линия на нивото, по този начин определяме линеен ъгълдвустенен ъгъл, образуван от равнините q и l.
Извити линии. Специални точки на криви линии.
включено сложна рисункана крива, нейните специални точки, които включват точки на инфлексия, връщане, прекъсване и възлови точки, също са специални точки върху нейната проекция. Това се обяснява с факта, че сингулярни точкикривите са свързани с допирателни в тези точки.
Ако равнината на кривата заема изпъкнало положение (фиг. А),тогава една проекция на тази крива има формата на права линия.
За пространствена крива всички нейни проекции са криви линии (фиг. б).
За да се определи от чертежа коя крива е дадена (равнинна или пространствена), е необходимо да се установи дали всички точки на кривата принадлежат на една и съща равнина. Посочено на фиг. bкривата е пространствена, тъй като точката гкривата не принадлежи на равнината, определена от три други точки А, БИ дтази крива.
Окръжност - равнинна крива от втори ред, чиято ортогонална проекция може да бъде кръг и елипса
Цилиндричната спирална линия (спирала) е пространствена крива, представляваща траекторията на точка, извършваща спирално движение. 
29. Плоски и пространствени криви линии.
Вижте въпрос 28
30. Сложен чертеж на повърхността. Основни положения.
Повърхността е набор от последователни позиции на линии, движещи се в пространството. Тази линия може да бъде права или крива и се нарича образуващаповърхности. Ако генераторът е крива, тя може да има константа или променлив изглед. Образуващата се движи водачи,представляващи линии с различна посока от генераторите. Водещите линии определят закона за движение на генераторите. При преместване на образуващата по водачите, a рамкаповърхност (фиг. 84), която е набор от няколко последователни позиции на образуващите и водачите. Разглеждайки рамката, човек може да се убеди, че генераторите ли водачи Т може да се смени, но повърхността остава същата.
Всяка повърхност може да бъде получена по различни начини.
В зависимост от формата на генератора, всички повърхности могат да бъдат разделени на управляван,които имат генеративна права линия и неуправляван,които имат образуваща крива линия.
Развиваемите повърхнини включват повърхнините на всички полиедри, цилиндрични, конични и повърхнини на торса. Всички останали повърхности са неразвиваеми. Нелинейчатите повърхности могат да имат образуваща с постоянна форма (повърхности на въртене и тръбни повърхнини) и образуваща с променлива форма (повърхности на канала и рамката).
Повърхността в сложен чертеж се определя чрез проекции на геометричната част на нейната детерминанта, посочваща метода на конструиране на нейните съставни части. В чертежа на повърхнина за всяка точка от пространството въпросът за принадлежността й към дадена повърхнина е еднозначно разрешен. Графичното уточняване на елементите на повърхностната детерминанта осигурява обратимостта на чертежа, но не го прави визуален. За по-голяма яснота те прибягват до конструиране на проекции на доста плътна рамка от генератриси и до конструиране на контурни линии на повърхността (фиг. 86). При проектиране на повърхност Q върху равнината на проекцията, проектиращите лъчи докосват тази повърхност в точки, образуващи определена линия върху нея л, което се нарича контурлиния. Проекцията на контурната линия се нарича есеповърхности. В сложен чертеж всяка повърхност има: П 1 - хоризонтален контур, на P 2 - фронтален контур, на P 3 - профилен контур на повърхността. Скицата включва, в допълнение към проекциите на контурната линия, също и проекциите на линиите на изрязване.
Концепцията за проекция на фигура върху равнина
За да въведете концепцията за ъгъл между линия и равнина, първо трябва да разберете такава концепция като проекцията на произволна фигура върху равнина.
Определение 1
Нека ни е дадена произволна точка $A$. Точка $A_1$ се нарича проекция на точка $A$ върху равнината $\alpha $, ако тя е основа на перпендикуляр, прекаран от точка $A$ към равнината $\alpha $ (фиг. 1).
Фигура 1. Проекция на точка върху равнина
Определение 2
Нека ни е дадена произволна фигура $F$. Фигурата $F_1$ се нарича проекцията на фигурата $F$ върху равнината $\alpha $, съставена от проекциите на всички точки на фигурата $F$ върху равнината $\alpha $ (фиг. 2).
Фигура 2. Проекция на фигура върху равнина
Теорема 1
Проекция, която не е перпендикулярна на равнината на права линия, е права линия.
Доказателство.
Нека ни е дадена равнина $\alpha $ и права $d$, пресичаща я, а не перпендикулярна на нея. Нека изберем точка $M$ на правата $d$ и да начертаем нейната проекция $H$ върху равнината $\alpha $. През правата $(MH)$ начертаваме равнината $\beta $. Очевидно тази равнина ще бъде перпендикулярна на равнината $\alpha $. Нека се пресичат по права $m$. Нека помислим произволна точка$M_1$ на правата $d$ и прекарайте през нея права $(M_1H_1$), успоредна на правата $(MH)$ (фиг. 3).
Фигура 3.
Тъй като равнината $\beta $ е перпендикулярна на равнината $\alpha $, то $M_1H_1$ е перпендикулярна на правата $m$, т.е. точката $H_1$ е проекцията на точката $M_1$ върху равнина $\alpha $. Поради произволността на избора на точка $M_1$, всички точки от правата $d$ се проектират върху правата $m$.
Разсъждение по подобен начин. IN обратен ред, ще получим, че всяка точка от правата $m$ е проекция на някаква точка от правата $d$.
Това означава, че права $d$ се проектира върху права $m$.
Теоремата е доказана.
Концепцията за ъгъла между права линия и равнина
Определение 3
Ъгълът между права линия, пресичаща равнина, и нейната проекция върху тази равнина се нарича ъгъл между правата и равнината (фиг. 4).
Фигура 4. Ъгъл между права линия и равнина
Нека направим няколко бележки тук.
Бележка 1
Ако правата е перпендикулярна на равнината. Тогава ъгълът между правата и равнината е $90^\circ$.
Бележка 2
Ако правата е успоредна или лежи в равнина. Тогава ъгълът между правата и равнината е $0^\circ$.
Примерни проблеми
Пример 1
Нека са ни дадени успоредник $ABCD$ и точка $M$, която не лежи в равнината на успоредника. Докажете, че триъгълниците $AMB$ и $MBC$ са правоъгълни, ако точката $B$ е проекцията на точката $M$ върху равнината на успоредника.
Доказателство.
Нека изобразим състоянието на проблема на фигурата (фиг. 5).
Фигура 5.
Тъй като точка $B$ е проекцията на точка $M$ върху равнината $(ABC)$, тогава правата $(MB)$ е перпендикулярна на равнината $(ABC)$. Със забележка 1 намираме, че ъгълът между правата $(MB)$ и равнината $(ABC)$ е равен на $90^\circ$. Следователно
\[\ъгъл MBC=MBA=(90)^0\]
Това означава, че триъгълниците $AMB$ и $MBC$ са правоъгълни триъгълници.
Пример 2
Дадена е равнина $\alpha $. Под ъгъл $\varphi $ към тази равнина е начертан сегмент, чието начало лежи в тази равнина. Проекцията на този сегмент е половината от размера на самия сегмент. Намерете стойността на $\varphi$.
Решение.
Разгледайте фигура 6.
Фигура 6.
По условие имаме
Тъй като триъгълникът $BCD$ е правоъгълен, тогава по дефиницията на косинус
\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]