Инструкции
Ако оригиналният вектор е изобразен на чертежа в правоъгълна двумерна координатна система и там трябва да се изгради перпендикулярна, изхождайте от определението за перпендикулярност на векторите в равнина. Той гласи, че ъгълът между такава двойка насочени сегменти трябва да бъде равен на 90 °. Могат да бъдат конструирани безкраен брой такива вектори. Следователно, начертайте перпендикуляр на оригиналния вектор на всяко удобно място в равнината, поставете сегмент върху него, равен на дължината на дадена подредена двойка точки и задайте един от неговите краища като начало на перпендикулярния вектор. Направете това с помощта на транспортир и линийка.
Ако оригиналният вектор е даден от двумерни координати ā = (X₁;Y₁), приемете, че скаларното произведение на двойка перпендикулярни вектори трябва да е равно на нула. Това означава, че трябва да изберете за желания вектор ō = (X₂,Y₂) такива координати, че равенството (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 да се изпълни по следния начин: изберете произволно ненулева стойност за координатата X₂ и изчислете координатата Y₂, като използвате формулата Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Например за вектора ā = (15;5) ще има вектор ō, с абциса равна на единица и ордината равна на -(15*1)/5 = -3, т.е. ō = (1;-3).
За тримерна и всяка друга ортогонална координатна система е вярно същото необходимо и достатъчно условие за перпендикулярност на векторите - тяхното скаларно произведение трябва да е равно на нула. Следователно, ако началният насочен сегмент е даден с координати ā = (X₁,Y₁,Z₁), изберете за подредената двойка точки ō = (X₂,Y₂,Z₂), перпендикулярни на него, такива координати, които отговарят на условието (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Най-лесният начин е да присвоите единични стойности на X₂ и Y₂ и да изчислите Z₂ от опростеното равенство Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X1+Y1)/ Z1. Например, за вектора ā = (3,5,4) това ще приеме следната форма: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. След това вземете абсцисата и ординатата на перпендикулярен вектор като единица и в този случай ще бъде равно на -(3+5)/4 = -2.
източници:
- намерете вектора, ако е перпендикулярен
Те се наричат перпендикулярни вектор, ъгълът между които е 90º. Перпендикулярните вектори се конструират с помощта на инструменти за рисуване. Ако техните координати са известни, тогава перпендикулярността на векторите може да бъде проверена или намерена с помощта на аналитични методи.
Ще ви трябва
- - транспортир;
- - компас;
- - владетел.
Инструкции
Построете вектор, перпендикулярен на дадения. За да направите това, в точката, която е началото на вектора, възстановете перпендикуляр към него. Това може да стане с помощта на транспортир, като зададете ъгъл от 90º. Ако нямате транспортир, използвайте компас, за да го направите.
Задайте го на началната точка на вектора. Начертайте окръжност с произволен радиус. След това конструирайте две с центрове в точките, където първата окръжност пресича линията, върху която лежи векторът. Радиусите на тези кръгове трябва да са равни един на друг и по-големи от първия построен кръг. В точките на пресичане на окръжностите изградете права линия, която ще бъде перпендикулярна на оригиналния вектор в началото, и начертайте върху нея вектор, перпендикулярен на този.
Единичният вектор е: , където 
– векторен модул.
отговор: 
.
Забележка.Координатите на единичния вектор не трябва да са повече от едно.
6.3. Намерете косинусите на дължината и посоката на вектор 
. Сравнете с отговора в предходния параграф. Направете изводи.
Дължината на вектора е неговият модул:
И можем да намерим косинусите на посоката, използвайки формулата за един от начините за определяне на вектори:
От това виждаме, че насочващите косинуси са координатите на единичния вектор.
отговор: 
,
,
,
.
6.4. Намерете 
.
Необходимо е да се извършат действията за умножаване на вектор по число, добавяне и модул.
Умножаваме координатите на векторите по число член по член.
Събираме координатите на векторите член по член.
Намиране на модула на вектора.
отговор: 
6.5. Определете координатите на вектора 
, колинеарна на вектора 
, знаейки това 
и е насочена в посока, противоположна на вектора 
.
вектор 
колинеарен на вектора 
, което означава, че неговият единичен вектор е равен на единичния вектор 
само със знак минус, т.к насочени в обратна посока.
Единичният вектор има дължина, равна на 1, което означава, че ако го умножите по 5, тогава неговата дължина ще бъде равна на пет.
Ние намираме 
отговор: 
6.6. Изчисляване на точкови произведения 
И 
. Перпендикулярни ли са векторите? 
И 
,
И 
помежду си?
Нека направим скаларното произведение на векторите.
Ако векторите са перпендикулярни, тяхното скаларно произведение е нула.
Виждаме, че в нашия случай векторите 
И 
перпендикулярен.
отговор: 
,
, векторите не са перпендикулярни.
Забележка.Геометричният смисъл на скаларното произведение е малко полезен на практика, но все пак съществува. Резултатът от такова действие може да бъде изобразен и изчислен геометрично.
6.7. Намерете работата, извършена от материална точка, към която е приложена сила 
, при преместването му от точка B в точка C.
Физическият смисъл на скаларното произведение е работа. Векторът на силата е тук 
, векторът на изместване е 
. И произведението на тези вектори ще бъде необходимата работа.
Намиране на работа
6.8. Намерете вътрешния ъгъл при връх А и външен ъгъл на върха В триъгълник ABC .
От дефиницията на скаларното произведение на векторите получаваме формулата за намиране на ъгъла: .
IN 
Ще търсим вътрешния ъгъл като ъгъла между векторите, излизащи от една точка.
За да намерите външния ъгъл, трябва да комбинирате векторите, така че да излизат от една точка. Картината обяснява това.
Заслужава да се отбележи, че 
, просто имат различни начални координати.
Намиране на необходимите вектори и ъгли
Отговор: вътрешен ъгъл при върха A = 
, външен ъгъл при върха B = 
.
6.9. Намерете проекциите на векторите: и
Нека си припомним векторните вектори: 
,
,
.
Проекцията се намира и от скаларното произведение
-проекция bна а.
По-рано получени вектори
,
,
Намиране на проекцията
Намиране на втората проекция
отговор: 
,
Забележка.Знакът минус при намиране на проекция означава, че проекцията не се спуска върху самия вектор, а в обратна посока, върху линията, на която лежи този вектор.
6.10. Изчислете 
.
Нека направим векторното произведение на векторите
Да намерим модула
Намираме синуса на ъгъла между векторите от дефиницията на векторното произведение на векторите
отговор: 
,
,
.
6.11. Намерете площта на триъгълник ABC и дължината на височината, спусната от точка С.
Геометричният смисъл на модула на векторния продукт е, че той е площта на успоредника, образуван от тези вектори. И площта на триъгълника е равна на половината от площта на успоредник.
Площта на триъгълник може да се намери и като произведение на височината и основата, разделено на две, от което може да се изведе формулата за намиране на височината.
Така намираме височината
отговор: 
,
.
6.12. Намерете единичния вектор, перпендикулярен на векторите 
И 
.
Резултатът от точковия продукт е вектор, който е перпендикулярен на двата оригинални. Единичен вектор е вектор, разделен на неговата дължина.
Преди това открихме:
,
отговор: 
.
6.13. Определете големината и косинусите на направлението на момента на силата 
, приложен към A спрямо точка C.
Физическото значение на векторното произведение е моментът на силата. Нека дадем илюстрация за тази задача.
Намиране на момент на сила
отговор: 
.
6.14. Лъжат ли векторите 
,
И 
в същата равнина? Могат ли тези вектори да формират основата на пространството? защо Ако могат, разширете вектора в тази основа 
.
За да се провери дали векторите лежат в една и съща равнина, е необходимо да се извърши смесено произведение на тези вектори.
Смесеният продукт не е равен на нула, следователно векторите не лежат в една и съща равнина (не са в една равнина) и могат да образуват основа. Да се разложим 
на тази база.
Нека разширим по основа, като решим уравнението
Отговор: Вектори 
,
И 
не лежат в една равнина. 
.
6.15. Намерете 
. Какъв е обемът на пирамидата с върхове A, B, C, D и нейната височина, спусната от точка A до основата BCD.
Ж 
Геометричният смисъл на смесения продукт е, че той е обемът на паралелепипеда, образуван от тези вектори.
Обемът на пирамидата е шест пъти по-малък от обема на паралелепипеда.
Обемът на пирамидата може да се намери и така:
Получаваме формулата за намиране на височината
Намиране на височината
Отговор: обем = 2,5, височина = 
.
6.16. Изчислете 
И 
.
– Каним ви сами да помислите върху тази задача.
- Да изпълним работата.
По-рано получени
отговор: 
.
6.17. Изчислете
Нека направим стъпките на части
3)
Нека обобщим получените стойности
отговор: 
.
6.18. Намерете вектор 
, знаейки, че е перпендикулярна на векторите 
И 
, и неговата проекция върху вектора 
е равно на 5.
Нека разделим тази задача на две подзадачи
1) Намерете вектор, перпендикулярен на векторите 
И 
произволна дължина.
Получаваме перпендикулярния вектор като резултат от векторното произведение
Преди това открихме:
Търсеният вектор се различава само по дължина от получения
2) Да намерим 
чрез уравнението
6.19. Намерете вектор 
, отговарящи на условията 
,
,
.
Нека разгледаме тези условия по-подробно.
Това е система от линейни уравнения. Нека съставим и решим тази система.
отговор: 
6.20. Определете координатите на вектор 
, компланарни с векторите 
И 
, и перпендикулярно на вектора 
.
В тази задача има две условия: компланарност на векторите и перпендикулярност;
1) Ако векторите са компланарни, тогава тяхното смесено произведение е равно на нула.
От тук получаваме някаква зависимост на координатите на вектора
Нека намерим вектора 
.
2) Ако векторите са перпендикулярни, то тяхното скаларно произведение е нула
Получихме втората зависимост на координатите на търсения вектор
За всякаква стойност 
векторът ще отговаря на условията. Да заместим 
.
отговор: 
.
Аналитична геометрия
В раздела на въпроса намерете вектор, перпендикулярен на два дадени вектора, дадени от автора Анна Афанасиеванай-добрият отговор е: Вектор, перпендикулярен на два неуспоредни вектора, се намира като техния векторен продукт xb, за да го намерите, трябва да съставите детерминанта, чийто първи ред ще се състои от единичните вектори I, j, k, вторият от координатите на вектор a, третият от координатите на вектор b . Детерминантата се счита за разширение по първия ред, във вашия случай получавате akhv=20i-10k или ahv=(20,0,-10).
Отговор от 22 отговора[гуру]
здравей Ето селекция от теми с отговори на вашия въпрос: намерете вектор, перпендикулярен на два дадени вектора
Отговор от протягам се[новак]
Вектор, перпендикулярен на два непаралелни вектора, се намира като техния векторен продукт xb, за да го намерите, трябва да съставите детерминанта, чийто първи ред ще се състои от единичните вектори I, j, k, вторият - от координатите на вектор a, третият - от координатите на вектор b. Детерминантата се счита за разширение по първия ред, във вашия случай получавате akhv=20i-10k или ahv=(20,0,-10).
Отговор от ХАЙКА[гуру]
Грубо го решете така; Но първо прочетете всичко сами!! !
Изчислете скаларното произведение на векторите d и r, ако d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Модулът на вектор a е 4, модулът на вектор b е 6. Ъгълът между векторите a и b е 60 градуса, векторът c е перпендикулярен на векторите a и b.
Точките E и F лежат съответно на страните AD и BC на успоредника ABCD, като AE = ED, BF: FC = 4: 3. а) Изразете вектора EF чрез вектори m = вектор AB и вектор n = вектор AD. b) Може ли векторът на равенство EF = x, умножен по вектора CD, да се запази за всяка стойност на x? .
Тази статия разкрива значението на перпендикулярността на два вектора върху равнина в тримерното пространство и намирането на координатите на вектор, перпендикулярен на един или цяла двойка вектори. Темата е приложима за задачи, включващи уравнения на прави и равнини.
Ще разгледаме необходимото и достатъчно условие за перпендикулярност на два вектора, ще решим метода за намиране на вектор, перпендикулярен на даден, и ще се докоснем до ситуации на намиране на вектор, който е перпендикулярен на два вектора.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Необходимо и достатъчно условие за перпендикулярност на два вектора
Нека приложим правилото за перпендикулярните вектори в равнината и в тримерното пространство.
Определение 1
При условие, че ъгълът между два ненулеви вектора е равен на 90 ° (π 2 радиана), се нарича перпендикулярен.
Какво означава това и в какви ситуации е необходимо да знаете за тяхната перпендикулярност?
Установяването на перпендикулярност е възможно чрез чертежа. Когато начертавате вектор върху равнина от дадени точки, можете да измерите геометрично ъгъла между тях. Дори ако се установи перпендикулярността на векторите, тя няма да е съвсем точна. Най-често тези задачи не ви позволяват да направите това с помощта на транспортир, така че този метод е приложим само когато нищо друго не се знае за векторите.
Повечето случаи на доказване на перпендикулярността на два ненулеви вектора в равнина или в пространството се извършват с помощта необходимо и достатъчно условие за перпендикулярност на два вектора.
Теорема 1
Скаларното произведение на два ненулеви вектора a → и b → равно на нула за удовлетворяване на равенството a → , b → = 0 е достатъчно за тяхната перпендикулярност.
Доказателство 1
Нека дадените вектори a → и b → са перпендикулярни, тогава ще докажем равенството a ⇀ , b → = 0 .
От дефиницията на точково произведение на векторизнаем, че е равно произведението на дължините на дадени вектори и косинуса на ъгъла между тях. По условие a → и b → са перпендикулярни, което означава, че въз основа на определението ъгълът между тях е 90 °. Тогава имаме a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Втора част от доказателството
При условие, че a ⇀, b → = 0, докажете перпендикулярността на a → и b →.
Всъщност доказателството е обратното на предишното. Известно е, че a → и b → са различни от нула, което означава, че от равенството a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ намираме косинуса. Тогава получаваме cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Тъй като косинусът е нула, можем да заключим, че ъгълът a →, b → ^ на векторите a → и b → е равен на 90 °. По дефиниция това е необходимо и достатъчно свойство.
Условие за перпендикулярност на координатната равнина
Глава скаларно произведение в координатидемонстрира неравенството (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , валидно за вектори с координати a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y), в равнината и (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y за вектори a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) в пространството. Необходимото и достатъчно условие за перпендикулярност на два вектора в координатната равнина е a x · b x + a y · b y = 0, за тримерното пространство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Нека го приложим на практика и да разгледаме примери.
Пример 1
Проверете свойството перпендикулярност на два вектора a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
Решение
За да разрешите тази задача, трябва да намерите скаларното произведение. Ако според условието то е равно на нула, то те са перпендикулярни.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Условието е изпълнено, което означава, че дадените вектори са перпендикулярни на равнината.
отговор:да, дадените вектори a → и b → са перпендикулярни.
Пример 2
Дадени са координатни вектори i → , j → , k →. Проверете дали векторите i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → могат да бъдат перпендикулярни.
Решение
За да запомните как се определят векторните координати, трябва да прочетете статията за векторни координати в правоъгълна координатна система.Така откриваме, че дадените вектори i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → имат съответни координати (1, - 1, 0) и (1, 2, 2). Заменяме числовите стойности и получаваме: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Изразът не е равен на нула, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, което означава, че векторите i → - j → и i → + 2 j → + 2 k → не са перпендикулярни, тъй като условието не е изпълнено.
отговор:не, векторите i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не са перпендикулярни.
Пример 3
Дадени вектори a → = (1, 0, - 2) и b → = (λ, 5, 1). Намерете стойността на λ, при която тези вектори са перпендикулярни.
Решение
Използваме условието за перпендикулярност на два вектора в пространството в квадратна форма, след което получаваме
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
отговор:векторите са перпендикулярни при стойност λ = 2.
Има случаи, когато въпросът за перпендикулярността е невъзможен дори при необходимо и достатъчно условие. Като се имат предвид известните данни за трите страни на триъгълник на два вектора, е възможно да се намери ъгъл между векторитеи го проверете.
Пример 4
Даден е триъгълник A B C със страни A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm. Проверете векторите A B → и A C → за перпендикулярност.
Решение
Ако векторите A B → и A C → са перпендикулярни, триъгълникът A B C се счита за правоъгълен. След това прилагаме Питагоровата теорема, където B C е хипотенузата на триъгълника. Равенството B C 2 = A B 2 + A C 2 трябва да е вярно. От това следва, че 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Това означава, че A B и A C са катети на триъгълника A B C, следователно A B → и A C → са перпендикулярни.
Важно е да се научите как да намирате координатите на вектор, перпендикулярен на даден. Това е възможно както в равнината, така и в пространството, при условие че векторите са перпендикулярни.
Намиране на вектор, перпендикулярен на даден в равнина.
Ненулев вектор a → може да има безкраен брой перпендикулярни вектори в равнината. Нека изобразим това на координатна права.
Даден е ненулев вектор a → лежащ на правата a. Тогава дадено b →, разположено на произволна права, перпендикулярна на права a, става перпендикулярна на a →. Ако векторът i → е перпендикулярен на вектора j → или който и да е от векторите λ · j → с λ равно на всяко реално число, различно от нула, тогава намирането на координатите на вектора b → перпендикулярно на a → = (a x , a y ) се свежда до безкраен набор от решения. Но е необходимо да се намерят координатите на вектора, перпендикулярен на a → = (a x , a y) . За да направите това, е необходимо да запишете условието за перпендикулярност на векторите в следната форма: a x · b x + a y · b y = 0. Имаме b x и b y, които са желаните координати на перпендикулярния вектор. Когато a x ≠ 0, стойността на b y е различна от нула и b x може да се изчисли от неравенството a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. За a x = 0 и a y ≠ 0, присвояваме на b x всяка стойност, различна от нула, и намираме b y от израза b y = - a x · b x a y .
Пример 5
Даден е вектор с координати a → = (- 2 , 2) . Намерете вектор, перпендикулярен на това.
Решение
Нека означим желания вектор като b → (b x , b y) . Неговите координати могат да бъдат намерени от условието, че векторите a → и b → са перпендикулярни. Тогава получаваме: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Нека присвоим b y = 1 и заместим: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Следователно от формулата получаваме b x = - 2 - 2 = 1 2. Това означава, че векторът b → = (1 2 , 1) е вектор, перпендикулярен на a → .
отговор: b → = (1 2 , 1) .
Ако се повдигне въпросът за триизмерното пространство, проблемът се решава по същия принцип. За даден вектор a → = (a x, a y, a z) има безкраен брой перпендикулярни вектори. Ще фиксира това в триизмерна координатна равнина. Дадено е a → лежащо на правата a. Равнината, перпендикулярна на права a, се означава с α. В този случай всеки ненулев вектор b → от равнината α е перпендикулярен на a →.
Необходимо е да се намерят координатите на b → перпендикулярно на ненулевия вектор a → = (a x , a y , a z) .
Нека b → е дадено с координати b x , b y и b z . За да ги намерите, е необходимо да приложите дефиницията на условието за перпендикулярност на два вектора. Равенството a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 трябва да бъде изпълнено. От условието a → е ненулева, което означава, че една от координатите има стойност, различна от нула. Да приемем, че a x ≠ 0, (a y ≠ 0 или a z ≠ 0). Следователно имаме право да разделим цялото неравенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 на тази координата, получаваме израза b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Присвояваме произволна стойност на координатите b y и b x, изчисляваме стойността на b x въз основа на формулата b x = - a y · b y + a z · b z a x. Желаният перпендикулярен вектор ще има стойност a → = (a x, a y, a z).
Нека да разгледаме доказателството с пример.
Пример 6
Даден е вектор с координати a → = (1, 2, 3) . Намерете вектор, перпендикулярен на дадения.
Решение
Нека означим желания вектор с b → = (b x , b y , b z) . Въз основа на условието, че векторите са перпендикулярни, скаларното произведение трябва да е равно на нула.
a ⇀, b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Ако стойността на b y = 1, b z = 1, тогава b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. От това следва, че координатите на вектора b → (- 5 , 1 , 1) . Вектор b → е един от векторите, перпендикулярни на дадения.
отговор: b → = (- 5 , 1 , 1) .
Намиране на координатите на вектор, перпендикулярен на два дадени вектора
Трябва да намерим координатите на вектора в триизмерното пространство. Той е перпендикулярен на неколинеарните вектори a → (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) . При условие, че векторите a → и b → са колинеарни, ще бъде достатъчно да се намери вектор, перпендикулярен на a → или b → в задачата.
При решаването се използва концепцията за векторно произведение на вектори.
Векторно произведение на вектори a → и b → е вектор, който е едновременно перпендикулярен на a → и b →. За решаването на този проблем се използва векторното произведение a → × b →. За триизмерното пространство има формата a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Нека разгледаме векторното произведение по-подробно, използвайки примерна задача.
Пример 7
Дадени са векторите b → = (0, 2, 3) и a → = (2, 1, 0). Намерете едновременно координатите на всеки вектор, перпендикулярен на данните.
Решение
За да решите, трябва да намерите векторното произведение на векторите. (Моля, вижте параграф изчисляване на детерминанта на матрицаза намиране на вектора). Получаваме:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
отговор: (3 , - 6 , 4) - координати на вектор, който е едновременно перпендикулярен на дадените a → и b → .
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
ом За да направим това, първо въвеждаме концепцията за сегмент.
Определение 1
Отсечка ще наричаме част от права, която е ограничена с точки от двете страни.
Определение 2
Краищата на сегмента са точките, които го ограничават.
За да въведем определението за вектор, ние наричаме един от краищата на отсечката неговото начало.
Определение 3
Вектор (насочена отсечка) ще наричаме отсечка, в която е посочено коя гранична точка е нейното начало и коя е нейният край.
Забележка: \overline(AB) е вектор AB, който започва в точка A и завършва в точка B.
В противен случай, с една малка буква: \overline(a) (фиг. 1).
Определение 4
Ще наричаме нулев вектор всяка точка, която принадлежи на равнината.
Символ: \overline(0) .
Нека сега въведем директно определението за колинеарни вектори.
Ще въведем и дефиницията на скаларното произведение, което ще ни трябва по-късно.
Определение 6
Скаларното произведение на два дадени вектора е скалар (или число), което е равно на произведението на дължините на тези два вектора с косинуса на ъгъла между тези вектори.
Математически може да изглежда така:
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
Точковият продукт може да се намери и с помощта на координатите на векторите, както следва
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
Признак за перпендикулярност чрез пропорционалност
Теорема 1
За да бъдат ненулевите вектори перпендикулярни един на друг, е необходимо и достатъчно тяхното скаларно произведение на тези вектори да е равно на нула.
Доказателство.
Необходимост: Нека ни бъдат дадени вектори \overline(α) и \overline(β), които имат съответно координати (α_1,α_2,α_3) и (β_1,β_2,β_3), и те са перпендикулярни един на друг. Тогава трябва да докажем следното равенство
Тъй като векторите \overline(α) и \overline(β) са перпендикулярни, ъгълът между тях е 90^0. Нека намерим скаларното произведение на тези вектори, използвайки формулата от Определение 6.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
Достатъчност: Нека равенството е вярно \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Нека докажем, че векторите \overline(α) и \overline(β) ще бъдат перпендикулярни един на друг.
По дефиниция 6 равенството ще бъде вярно
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
Следователно векторите \overline(α) и \overline(β) ще бъдат перпендикулярни един на друг.
Теоремата е доказана.
Пример 1
Докажете, че векторите с координати (1,-5,2) и (2,1,3/2) са перпендикулярни.
Доказателство.
Нека намерим скаларното произведение за тези вектори, използвайки формулата, дадена по-горе
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
Това означава, че според теорема 1 тези вектори са перпендикулярни.
Намиране на перпендикулярен вектор към два дадени вектора с помощта на кръстосаното произведение
Нека първо въведем концепцията за векторно произведение.
Определение 7
Векторното произведение на два вектора ще бъде вектор, който ще бъде перпендикулярен на двата дадени вектора, и неговата дължина ще бъде равна на произведението на дължините на тези вектори със синуса на ъгъла между тези вектори, а също и този вектор с два началните имат същата ориентация като декартовата координатна система.
Обозначение: \overline(α)x\overline(β)x.
За да намерим векторното произведение, ще използваме формулата
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
Тъй като векторът на кръстосаното произведение на два вектора е перпендикулярен на двата от тези вектори, той ще бъде векторът. Тоест, за да намерите вектор, перпендикулярен на два вектора, просто трябва да намерите тяхното векторно произведение.
Пример 2
Намерете вектор, перпендикулярен на вектори с координати \overline(α)=(1,2,3) и \overline(β)=(-1,0,3)
Нека намерим векторното произведение на тези вектори.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x