Да се рационално число m/n се записва като десетична дроб, трябва да се раздели числителя на знаменателя. В този случай частното се записва като крайна или безкрайна десетична дроб.
Записвам даден номеркато десетична дроб.
Решение. Разделете числителя на всяка дроб в колона по знаменателя: а)разделете 6 на 25; б)разделяне на 2 на 3; V)разделете 1 на 2 и след това добавете получената дроб към едно - цялата част от това смесено число.
Несъкратими обикновени дроби, чиито знаменатели не съдържат прости множители, различни от 2 И 5 , се записват като последна десетична дроб.
IN пример 1кога а)знаменател 25=5·5; кога V)знаменателят е 2, така че получаваме крайните десетични знаци 0,24 и 1,5. Кога б)знаменателят е 3, така че резултатът не може да бъде записан като краен десетичен знак.
Възможно ли е без дълго деление да се преобразува в десетична дроб такава обикновена дроб, чийто знаменател не съдържа други делители освен 2 и 5? Нека да го разберем! Каква дроб се нарича десетична и се записва без дробна черта? Отговор: дроб със знаменател 10; 100; 1000 и т.н. И всяко от тези числа е продукт равенброй двойки и петици. Всъщност: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 и т.н.
Следователно, знаменателят на нередуцируемото обикновена дробще трябва да бъдат представени като произведение от „двойки“ и „петици“ и след това умножени по 2 и (или) 5, така че „двойките“ и „петиците“ да станат равни. Тогава знаменателят на дробта ще бъде равен на 10 или 100 или 1000 и т.н. За да сме сигурни, че стойността на дробта не се променя, умножаваме числителя на дробта по същото число, с което сме умножили знаменателя.
Изразете следните обикновени дроби като десетични числа:
Решение. Всяка от тези дроби е несъкратима. Нека разширим знаменателя на всяка дроб на основни фактори.
20=2·2·5. Извод: липсва едно „А“.
8=2·2·2. Заключение: липсват три „А“.
25=5·5. Извод: липсват две „двойки“.
Коментирайте.На практика те често не използват факторизация на знаменателя, а просто задават въпроса: по колко трябва да се умножи знаменателят, така че резултатът да е единица с нули (10 или 100 или 1000 и т.н.). И след това числителят се умножава по същото число.
Така че, в случай а)(пример 2) от числото 20 можете да получите 100, като умножите по 5, следователно трябва да умножите числителя и знаменателя по 5.
Кога б)(пример 2) от числото 8 няма да се получи числото 100, а ще се получи числото 1000, като се умножи по 125. И числителят (3), и знаменателят (8) на дробта се умножават по 125.
Кога V)(пример 2) от 25 получавате 100, ако умножите по 4. Това означава, че числителят 8 трябва да се умножи по 4.
Нарича се безкрайна десетична дроб, в която една или повече цифри неизменно се повтарят в една и съща последователност периодиченкато десетичен знак. Наборът от повтарящи се цифри се нарича период на тази дроб. За краткост периодът на дроб се записва веднъж, ограден в скоби.
Кога б)(пример 1) има само една повтаряща се цифра и е равна на 6. Следователно нашият резултат 0,66... ще бъде записан така: 0,(6) . Те гласят: нула точка, шест в точка.
Ако има една или повече неповтарящи се цифри между десетичната запетая и първата точка, тогава това периодична дробнаречена смесена периодична дроб.
Несъкратима обикновена дроб, чийто знаменател е заедно с другимножител съдържа множител 2 или 5 , става смесенпериодична дроб.
Запишете числата като десетична дроб:
Всяко рационално число може да бъде записано като безкрайна периодична десетична дроб.
Запишете числата като безкрайна периодична дроб.
От многото дроби, които се срещат в аритметиката, тези, които имат 10, 100, 1000 в знаменателя - като цяло, всяка степен на десет - заслужават специално внимание. Тези дроби имат специално наименование и означение.
Десетична дроб е всяка числова дроб, чийто знаменател е степен на десет.
Примери за десетични дроби:
Защо изобщо беше необходимо да се отделят такива фракции? Защо им трябва собствена формазаписи? Има поне три причини за това:
- Десетични знацимного по-удобно за сравнение. Запомнете: за сравнение обикновени дробите трябва да се извадят един от друг и по-специално да се приведат дробите към общ знаменател. В десетичните числа не се изисква нищо подобно;
- Намалете изчисленията. Десетичните дроби се събират и умножават по собствени правила, и след малко обучение ще работите с тях много по-бързо, отколкото с обикновените;
- Лесно записване. За разлика от обикновените дроби, десетичните знаци се записват на един ред без загуба на яснота.
Повечето калкулатори също дават отговори в десетични знаци. В някои случаи различен формат на запис може да причини проблеми. Например, какво ще стане, ако поискате ресто в магазина в размер на 2/3 от рублата :)
Правила за писане на десетични дроби
Основното предимство на десетичните дроби е удобното и визуално записване. а именно:
Десетичната нотация е форма на запис на десетични дроби, където цяла частразделени от дроб с правилна точка или запетая. В този случай самият разделител (точка или запетая) се нарича десетична точка.
Например 0,3 (прочетете: „нула точка, 3 десети“); 7,25 (7 цяло, 25 стотни); 3,049 (3 цели, 49 хилядни). Всички примери са взети от предишната дефиниция.
В писмен вид запетая обикновено се използва като десетична точка. Тук и по-нататък в сайта също ще се използва запетаята.
За да напишете произволна десетична дроб в тази форма, трябва да следвате три прости стъпки:
- Изпишете отделно числителя;
- Преместете десетичната запетая наляво с толкова места, колкото нули има в знаменателя. Да приемем, че първоначално десетичната запетая е отдясно на всички цифри;
- Ако десетичната точка се е преместила и след нея има нули в края на записа, те трябва да бъдат задраскани.
Случва се във втората стъпка числителят да няма достатъчно цифри, за да завърши смяната. В този случай липсващите позиции се запълват с нули. И като цяло, вляво от всяко число можете да зададете произволен брой нули без вреда за вашето здраве. Грозно е, но понякога полезно.
На пръв поглед този алгоритъм може да изглежда доста сложен. Всъщност всичко е много, много просто - просто трябва да тренирате малко. Разгледайте примерите:
Задача. За всяка дроб посочете нейния десетичен запис:
Числителят на първата дроб е: 73. Изместваме десетичната запетая с една позиция (тъй като знаменателят е 10) - получаваме 7,3.
Числител на втората дроб: 9. Преместваме десетичната запетая с две позиции (тъй като знаменателят е 100) - получаваме 0,09. Трябваше да добавя една нула след десетичната запетая и още една преди нея, за да не оставя странен запис като „.09“.
Числителят на третата дроб е: 10029. Изместваме десетичната запетая с три позиции (тъй като знаменателят е 1000) - получаваме 10,029.
Числителят на последната дроб: 10500. Отново изместваме точката с три цифри - получаваме 10 500. В края на числото има допълнителни нули. Задраскайте ги и получаваме 10,5.
Обърнете внимание на последните два примера: числата 10.029 и 10.5. Според правилата нулите отдясно трябва да бъдат задраскани, както се прави в последен пример. Никога обаче не трябва да правите това с нули в число (които са заобиколени от други числа). Ето защо получихме 10,029 и 10,5, а не 1,29 и 1,5.
И така, разбрахме определението и формата на писане на десетични дроби. Сега нека разберем как да преобразуваме обикновени дроби в десетични - и обратно.
Преобразуване от дроби в десетични знаци
Нека разгледаме проста числова дроб от формата a /b. Можете да използвате основното свойство на дроб и да умножите числителя и знаменателя по такова число, че дъното да се окаже степен на десет. Но преди да го направите, прочетете следното:
Има знаменатели, които не могат да бъдат сведени до степен на десет. Научете се да разпознавате такива дроби, защото с тях не може да се работи с алгоритъма, описан по-долу.
Това е. Е, как разбирате дали знаменателят е намален на степен десет или не?
Отговорът е прост: разложете знаменателя на прости множители. Ако разширението съдържа само фактори 2 и 5, това число може да бъде намалено до степен десет. Ако има други числа (3, 7, 11 - каквито и да е), можете да забравите за степента на десет.
Задача. Проверете дали посочените дроби могат да бъдат представени като десетични числа:
Нека напишем и разложим знаменателите на тези дроби:
20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - присъстват само числата 2 и 5. Следователно дробта може да бъде представена като десетична дроб.
12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - има „забранен“ множител 3. Дробта не може да бъде представена като десетична.
640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Всичко е наред: няма нищо освен числата 2 и 5. Една дроб може да бъде представена като десетична дроб.
48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Факторът 3 „изплува“ отново. Той не може да бъде представен като десетична дроб.
И така, подредихме знаменателя - сега нека да разгледаме целия алгоритъм за преминаване към десетични дроби:
- Разложете на множители знаменателя на оригиналната дроб и се уверете, че тя обикновено може да бъде представена като десетична дроб. Тези. проверете дали в разширението присъстват само фактори 2 и 5. В противен случай алгоритъмът не работи;
- Пребройте колко двойки и петици присъстват в разширението (там няма да има други числа, помните ли?). Изберете допълнителен фактор, така че броят на двойките и петиците да е равен.
- Всъщност, умножете числителя и знаменателя на оригиналната дроб по този фактор - получаваме желаното представяне, т.е. знаменателят ще бъде степен на десет.
Разбира се, допълнителният фактор също ще бъде разложен само на двойки и петици. В същото време, за да не усложнявате живота си, трябва да изберете най-малкия множител от всички възможни.
И още нещо: ако първоначалната дроб съдържа цяло число, не забравяйте да преобразувате тази дроб в неправилна дроб - и едва тогава приложете описания алгоритъм.
Задача. Превеждане на данни числови дробидо десетичен знак:
Нека разложим на множители знаменателя на първата дроб: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Следователно дробта може да бъде представена като десетична дроб. Разширението съдържа две двойки и нито една петица, така че допълнителният фактор е 5 2 = 25. С него броят на двойките и петиците ще бъде равен. Ние имаме:
Сега нека разгледаме втората дроб. За да направите това, имайте предвид, че 24 = 3 8 = 3 2 3 - има тройка в разширението, така че дробта не може да бъде представена като десетична.
Последните две дроби имат знаменатели съответно 5 (просто число) и 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - навсякъде има само двойки и петици. Освен това в първия случай „за пълно щастие“ коефициент 2 не е достатъчен, а във втория - 5. Получаваме:
Преобразуване от десетични в обикновени дроби
Обратно преобразуване- от десетичната форма на нотация до обичайната - много по-лесно е. Тук няма ограничения или специални проверки, така че винаги можете да конвертирате десетична дроб в класическата „двуетажна“ дроб.
Алгоритъмът за превод е както следва:
- Задраскайте всички нули от лявата страна на десетичната запетая, както и десетичната точка. Това ще бъде числителят на желаната дроб. Основното нещо е да не прекалявате и да не зачертавате вътрешните нули, заобиколени от други числа;
- Пребройте колко знака след десетичната запетая има. Вземете числото 1 и добавете толкова нули вдясно, колкото символа преброите. Това ще бъде знаменателят;
- Всъщност, запишете дробта, чийто числител и знаменател току-що намерихме. Ако е възможно, намалете го. Ако първоначалната дроб съдържа цяло число, сега получаваме неправилна дроб, което е много удобно за по-нататъшни изчисления.
Задача. Преобразуване на десетични дроби в обикновени дроби: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.
Задраскайте нулите отляво и запетаите - получаваме следните числа(това ще бъдат числителите): 8; 3107; 225; 72008.
В първата и втората дроби има 3 знака след десетичната запетая, във втората - 2, а в третата - цели 4 знака след десетичната запетая. Получаваме знаменателите: 1000; 1000; 100; 10 000.
И накрая, нека комбинираме числителите и знаменателите в обикновени дроби:
Както може да се види от примерите, получената фракция много често може да бъде намалена. Позволете ми да отбележа още веднъж, че всяка десетична дроб може да бъде представена като обикновена дроб. Обратното преобразуване не винаги е възможно.
§ 114. Преобразуване на обикновена дроб в десетична.Преобразуването на обикновена дроб в десетична означава намиране на десетична дроб, която би била равна на дадената обикновена дроб. Когато преобразуваме обикновени дроби в десетични, ще срещнем два случая:
1), когато обикновените дроби могат да бъдат преобразувани в десетични точно;
2) когато обикновените дроби могат да се преобразуват само в десетични приблизително. Нека разгледаме тези случаи последователно.
1. Как да преобразуваме обикновена несъкратима дроб в десетична или, с други думи, как да заменим обикновена дроб с равен на нея десетичен дроб?
В случая, когато обикновените дроби могат да бъдат точнопреобразуван в десетичен знак, има два начинатакова лечение.
Нека си припомним как да заменим една дроб с друга, която е равна на първата, или как да преминем от една дроб към друга, без да променяме стойността на първата. Това направихме, когато сведохме дроби към общ знаменател ( §86). Когато редуцираме дроби до общ знаменател, ние го правим по следния начин: намираме общ знаменателза дадени дроби изчисляваме допълнителен коефициент за всяка дроб и след това умножаваме числителя и знаменателя на всяка дроб по този коефициент.
След като забелязахме това, нека вземем несъкратимата дроб 3/20 и се опитаме да я преобразуваме в десетична. Знаменателят на тази дроб е 20, но трябва да го доведете до друг знаменател, който ще бъде представен от единица с нули. Ще търсим най-малкия знаменател на единица, последвана от нули.
Първи начинпреобразуването на дроб в десетична се основава на разлагане на знаменателя на прости множители.
Трябва да разберете по какво число трябва да умножите 20, така че произведението да се изрази като единица, последвана от нули. За да разберете, първо трябва да запомните на какви прости множители се разлагат числата, представени от единица и нули. Това са разгражданията:
10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.
Виждаме, че числото, представено с единица с нули, се разлага само на две и пет и няма други фактори в разширението. В допълнение, двойки и петици са включени в разширението в същото число. И накрая, броят на тези и други фактори поотделно е равен на броя на нулите след тази в изображението на дадено число.
Сега нека видим как 20 се разлага на прости множители: 20 = 2 2 5. От това става ясно, че при разлагането на числото 20 има две двойки и една петица. Това означава, че ако добавим една петица към тези множители, ще получим число, представено от единица с нули. С други думи, за да може знаменателят да има число, представено с единица с нули вместо 20, трябва да умножите 20 по 5 и за да не се промени стойността на дробта, трябва да умножите числителя му по 5 , т.е.
По този начин, за да преобразувате обикновена дроб в десетична, трябва да разложите знаменателя на тази обикновена дроб на прости множители и след това да изравните броя на двойките и петиците в него, като въведете в него (и, разбира се, в числителя ) липсващите фактори в необходимия брой.
Нека приложим това заключение към някои дроби.
Преобразувайте 3/50 в десетичен знак. Знаменателят на тази дроб се разширява, както следва:
Това означава, че му липсва една двойка. Нека го добавим:
Преобразувайте 7/40 в десетичен знак.
Знаменателят на тази дроб се разлага по следния начин: 40 = 2 2 2 5, т.е. липсват две петици. Нека ги въведем в числителя и знаменателя като фактори:
От изложеното не е трудно да се заключи кои обикновени дроби се преобразуват точно в десетични. Съвсем очевидно е, че несъкратима обикновена дроб, чийто знаменател не съдържа други прости множители освен 2 и 5, се преобразува точно в десетична дроб. Десетична дроб, която се получава чрез обръщане на някаква обикновена дроб, ще има толкова знака след десетичната запетая, колкото пъти знаменателят на обикновената дроб след редуцирането й включва числено преобладаващия фактор 2 или 5.
Ако вземем дробта 9/40, тогава, първо, тя ще се превърне в десетична, тъй като нейният знаменател включва множителите 2 2 2 5, и второ, получената десетична дроб ще има 3 знака след десетичната запетая, тъй като числено доминиращият фактор 2 влиза в експанзия три пъти. Наистина:
Втори начин(чрез разделяне на числителя на знаменателя).
Да предположим, че искате да преобразувате 3/4 в десетична дроб. Знаем, че 3/4 е частното от 3, делено на 4. Можем да намерим това частно, като разделим 3 на 4. Нека направим това:
Така че 3/4 = 0,75.
Друг пример: конвертирайте 5/8 в десетична дроб.
Така че 5/8 = 0,625.
И така, за да преобразувате дроб в десетичен знак, просто трябва да разделите числителя на дробта на знаменателя.
2. Нека сега разгледаме втория от случаите, посочени в началото на параграфа, т.е. случаят, когато обикновена дроб не може да бъде преобразувана в точен десетичен знак.
Обикновена несъкратима дроб, чийто знаменател съдържа прости множители, различни от 2 и 5, не може да бъде преобразувана точно в десетична дроб. Всъщност, например дробта 8/15 не може да бъде преобразувана в десетична, тъй като нейният знаменател 15 се разлага на два фактора: 3 и 5.
Не можем да премахнем тройката от знаменателя и не можем да изберем цяло число, така че след умножаване на дадения знаменател по него, продуктът да се изрази като единица, последвана от нули.
В такива случаи можем само да говорим приближениеобикновени дроби до десетични.
Как се прави? Това става чрез разделяне на числителя на обикновена дроб на знаменателя, т.е. в този случай се използва вторият метод за преобразуване на обикновена дроб в десетична. Това означава, че този метод се използва както за прецизно, така и за приблизително боравене.
Ако една дроб се преобразува точно в десетична дроб, тогава делението произвежда крайна десетична дроб.
Ако една обикновена дроб не се преобразува в точна десетична дроб, тогава делението произвежда безкрайна десетична дроб.
Тъй като не можем да изпълним безкраен процесделение, тогава трябва да спрем деленето на някакъв десетичен знак, тоест да направим приблизително деление. Можем например да спрем делението на първия знак след десетичната запетая, тоест да се ограничим до десети; ако е необходимо, можем да спрем на втория десетичен знак, получавайки стотни и т.н. В тези случаи казваме, че закръгляме безкрайна десетична дроб. Закръгляването се извършва с точността, необходима за решаването на този проблем.
§ 115. Концепцията за периодична дроб.
Постоянна десетична дроб, в която една или повече цифри неизменно се повтарят в една и съща последователност, се нарича периодична десетична дроб. Например:
0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...
Извиква се набор от повтарящи се числа Периодтази фракция. Периодът на първата от записаните по-горе дроби е 3, периодът на втората дроб е 12, периодът на третата дроб е 234. Това означава, че периодът може да се състои от няколко цифри - една, две, три и т.н. Първият набор от повтарящи се цифри се нарича първи период, вторият съвкупността - втори период и т.н., т.е.
Периодичните фракции могат да бъдат чисти или смесени. Периодична дроб се нарича чиста, ако нейният период започва веднага след десетичната запетая. Това означава, че записаните по-горе периодични дроби ще бъдат чисти. Напротив, периодична дроб се нарича смесена, ако има една или повече неповтарящи се цифри между десетичната запетая и първата точка, например:
2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160
За да съкратите буквата, можете да напишете номерата на периодите веднъж в скоби и да не поставяте многоточие след скобите, т.е. вместо 0.33... можете да напишете 0,(3); вместо 2.515151... можете да напишете 2,(51); вместо 0,2333... можете да напишете 0,2(3); вместо 0,8333... можете да напишете 0,8(3).
Периодичните дроби се четат така:
0,(3) - 0 цели числа, 3 в период.
7,2(3) - 7 цели числа, 2 преди точката, 3 в точката.
5.00(17) - 5 цели числа, две нули преди точката, 17 в точката.
Как възникват периодичните дроби? Вече видяхме, че при преобразуване на дроби в десетични може да има два случая.
Първо, знаменателят на обикновения несъкратима дробне съдържа други множители освен 2 и 5; в този случай обикновената дроб става крайна десетична дроб.
второ,знаменателят на обикновена несъкратима дроб съдържа всякакви прости множители, различни от 2 и 5; в този случай обикновената дроб не се превръща в крайна десетична дроб. В това последният случайКогато се опитвате да преобразувате дроб в десетична чрез разделяне на числителя на знаменателя, резултатът е безкрайна дроб, които винаги ще бъдат периодични.
За да видим това, нека разгледаме един пример. Нека се опитаме да преобразуваме дробта 18/7 в десетичен знак.
Ние, разбира се, знаем предварително, че дроб с такъв знаменател не може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб и говорим само за приблизително преобразуване. Разделете числителя 18 на знаменателя 7.
Имаме осем знака след десетичната запетая в частното. Няма нужда да продължавате разделението, защото така или иначе няма да свърши. Но от това става ясно, че делението може да се продължи безкрайно и така да се получат нови числа в частното. Тези нови числа ще възникнат, защото винаги ще имаме остатъци; но никой остатък не може да бъде по-голям от делителя, който за нас е 7.
Да видим какви салда имаме: 4; 5; 1; 3; 2; b, т.е. това бяха числа, по-малки от 7. Очевидно не може да има повече от шест от тях и при по-нататъшно продължаване на делението те ще трябва да се повторят, а след тях ще се повторят числата на частното. Горният пример потвърждава тази идея: десетичните знаци в частното са в следния ред: 571428, след което отново се появяват числата 57. Това означава, че първият период е приключил и започва вторият.
По този начин, безкрайна десетична дроб, получена чрез обръщане на обикновена дроб, винаги ще бъде периодична.
Ако при решаването на задача се срещне периодична дроб, тогава тя се взема с точността, изисквана от условията на проблема (до десета, до стотна, до хилядна и т.н.).
§ 116. Сътрудничествос обикновени и десетични дроби.
При решаване различни задачиЩе срещнем случаи, в които проблемът включва както обикновени, така и десетични дроби.
В тези случаи можете да отидете по различни начини.
1. Преобразувайте всички дроби в десетични знаци.Това е удобно, защото изчисленията с десетични дроби са по-лесни, отколкото с обикновени дроби. Например,
Нека преобразуваме дробите 3/4 и 1 1/5 в десетични знаци:
2. Преобразувайте всички дроби в обикновени дроби.Най-често това се прави в случаите, когато има обикновени дроби, които не се превръщат в крайни десетични знаци.
Например, 
Нека преобразуваме десетичните дроби в обикновени дроби:
3. Изчисленията се извършват без преобразуване на някои дроби в други.
Това е особено полезно, когато примерът включва само умножение и деление. Например,
Нека пренапишем примера така:
4. В някои случаи преобразувайте всички дроби в десетични знаци(дори тези, които се превръщат в периодични) и намират приблизителен резултат. Например,
Нека преобразуваме 2/3 в десетична дроб, като се ограничим до хилядни.