ЛОГАРИТМИЧНИ НЕРАВЕНСТВА В УПОТРЕБАТА
Сечин Михаил Александрович
Малка академиянауки за студенти от Република Казахстан "Iskatel"
MBOU "Sovetskaya Средно училище № 1", 11 клас, гр. съветски Съветски район
Гунко Людмила Дмитриевна, Учител по MBOU"Съветско средно училище № 1"
Съветски район
Цел на работата:изследване на механизма на решението логаритмични неравенства C3 използване на нестандартни методи, идентифициране интересни фактилогаритъм
Предмет на изследване:
3) Научете се да решавате конкретни логаритмични неравенства C3, като използвате нестандартни методи.
Резултати:
Съдържание
Въведение…………………………………………………………………………………….4
Глава 1. История на проблема……………………………………………………...5
Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства …………………………… 7
2.1. Еквивалентни преходи и обобщени интервален метод…………… 7
2.2. Метод на рационализация………………………………………………………………… 15
2.3. Нестандартно заместване……………….................................. ............ 22
2.4. Задачи с капани………………………………………………………27
Заключение………………………………………………………………………………… 30
Литература………………………………………………………………………. 31
Въведение
Аз съм в 11 клас и планирам да вляза в университет, където специализиран предмете математика. Ето защо работя много със задачи в част C. В задача C3 трябва да реша нестандартно неравенство или система от неравенства, обикновено свързани с логаритми. Когато се подготвях за изпита, се сблъсках с проблема с недостига на методи и техники за решаване на изпитни логаритмични неравенства, предлагани в C3. Методи, които се изучават в училищна програмапо тази тема, не дават база за решаване на задачи С3. Учителката по математика ми предложи да работя самостоятелно по задачи C3 под нейно ръководство. Освен това ме интересуваше въпросът: срещаме ли логаритми в живота си?
С оглед на това беше избрана темата:
„Логаритмични неравенства в Единния държавен изпит“
Цел на работата:изучаване на механизма за решаване на задачи С3 с помощта на нестандартни методи, идентифициране на интересни факти за логаритъма.
Предмет на изследване:
1) Намерете необходимата информацияО нестандартни методирешения на логаритмични неравенства.
2) Намерете допълнителна информацияотносно логаритмите.
3) Научете се да решавате специфични задачи C3 с помощта на нестандартни методи.
Резултати:
Практическо значениесе състои в разширяване на апарата за решаване на задачи C3. Този материалможе да се използва в някои уроци, за кръжоци и избираеми часове по математика.
Проектен продуктще бъде колекцията „C3 Logarithmic Inequalities with Solutions.“
Глава 1. Предистория
През 16-ти век броят на приблизителните изчисления се увеличава бързо, главно в астрономията. Подобряването на инструментите, изучаването на планетарните движения и друга работа изисква колосални, понякога многогодишни изчисления. Астрономията беше застрашена реална опасностда се удавя в неизпълнени изчисления. Възникнаха трудности в други области, например в застрахователния бизнес, бяха необходими таблици сложна лихваЗа различни значенияпроцента. Основната трудностпредставено умножение, деление многоцифрени числа, особено тригонометрични величини.
Откриването на логаритмите се основава на свойствата на прогресиите, които са добре известни до края на 16 век. За връзката между членовете геометрична прогресия q, q2, q3, ... и аритметична прогресияпоказателите им са 1, 2, 3,... Архимед говори в своя “Псалмит”. Друга предпоставка беше разширяването на понятието степен до отрицателни и дробни показатели. Много автори са посочили, че умножението, делението, степенуването и извличането на корен в геометричната прогресия съответстват в аритметиката - в същия ред - събиране, изваждане, умножение и деление.
Тук беше идеята за логаритъма като показател.
В историята на развитието на учението за логаритмите са преминали няколко етапа.
Етап 1
Логаритмите са изобретени не по-късно от 1594 г. независимо от шотландския барон Напиер (1550-1617) и десет години по-късно от швейцарския механик Бюрги (1552-1632). И двамата искаха да дадат ново удобно средство аритметични изчисления, въпреки че подходиха към тази задача по различен начин. Напиер изрази кинематично логаритмичната функция и по този начин влезе в нова областтеория на функцията. Bürgi остана на базата на разглеждане на дискретни прогресии. Дефиницията на логаритъма и за двете обаче не е подобна на съвременната. Терминът "логаритъм" (логаритъм) принадлежи на Напиер. Възникна от комбинация гръцки думи: logos - "отношение" и ariqmo - "число", което означава "брой отношения". Първоначално Напиер използва различен термин: numeri artificiales - „изкуствени числа“, за разлика от numeri naturalts - „естествени числа“.
През 1615 г. в разговор с Хенри Бригс (1561-1631), професор по математика в Gresh College в Лондон, Напиер предлага да се приеме нула като логаритъм от едно и 100 като логаритъм от десет, или, което се равнява на едно и също нещо , просто 1. Така се появиха десетични логаритмии са отпечатани първите логаритмични таблици. По-късно таблиците на Бригс са допълнени от холандския книжар и ентусиаст по математика Адриан Флак (1600-1667). Напиер и Бригс, въпреки че стигнаха до логаритмите по-рано от всички останали, публикуваха своите таблици по-късно от останалите - през 1620 г. Знаците log и Log са въведени през 1624 г. от И. Кеплер. Терминът "натурален логаритъм" е въведен от Менголи през 1659 г. и последван от Н. Меркатор през 1668 г., а лондонският учител Джон Шпайдел публикува таблици с естествени логаритми на числа от 1 до 1000 под името "Нови логаритми".
Първите логаритмични таблици са публикувани на руски през 1703 г. Но във всички логаритмични таблици имаше изчислителни грешки. Първите таблици без грешки са публикувани през 1857 г. в Берлин, обработени от немския математик К. Бремикер (1804-1877).
Етап 2
По-нататъшното развитие на теорията на логаритмите е свързано с по-широко приложение аналитична геометрияи безкрайно малко смятане. По това време установяването на връзка между квадратура равностранна хиперболаИ натурален логаритъм. Теорията на логаритмите от този период е свързана с имената на редица математици.
немски математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в есе
"Logarithmotechnics" (1668) дава серия, даваща разширението на ln(x+1) в
степени на x:
Този израз точно съответства на неговия ход на мисли, въпреки че, разбира се, той не използва знаците d, ..., а по-тромава символика. С откриването на логаритмичните серии техниката за изчисляване на логаритмите се промени: те започнаха да се определят с помощта на безкрайни серии. В неговите лекции" Елементарна математикас най-висока точкавизия", прочетена през 1907-1908 г., Ф. Клайн предлага използването на формулата като отправна точка за изграждане на теорията на логаритмите.
Етап 3
Определение логаритмична функциякато обратна функция
експоненциален, логаритъм като степенен показател тази основа
не е формулиран веднага. Есе от Леонхард Ойлер (1707-1783)
„Въведение в анализа на безкрайно малките“ (1748) служи за по-нататъшно
развитие на теорията на логаритмичните функции. по този начин
Изминаха 134 години от първото въвеждане на логаритмите
(от 1614 г.), преди математиците да стигнат до определението
концепцията за логаритъм, която сега е в основата на училищния курс.
Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства
2.1. Еквивалентни преходи и обобщен метод на интервалите.
Еквивалентни преходи
, ако a > 1
, ако 0 <
а <
1
Обобщен методинтервали
Този методнай-универсален при решаване на неравенства от почти всякакъв вид. Диаграмата на решението изглежда така както следва:
1. Приведете неравенството във вид, в който е функцията от лявата страна 
, а отдясно 0.
2. Намерете домейна на функцията .
3. Намерете нулите на функцията , тоест решаване на уравнението 
(и решаването на уравнение обикновено е по-лесно от решаването на неравенство).
4. Начертайте областта на дефиниция и нули на функцията върху числовата ос.
5. Определете знаците на функцията върху получените интервали.
6. Изберете интервали, в които функцията приема необходимите стойности и запишете отговора.
Пример 1.
Решение:
Да приложим интервалния метод
където
За тези стойности всички изрази под логаритмичните знаци са положителни.
отговор:
Пример 2.
Решение:
1-во начин . ADL се определя от неравенство х> 3. Вземане на логаритми за такива хв база 10, получаваме
Последното неравенство може да бъде разрешено чрез прилагане на правила за разширяване, т.е. сравнявайки факторите с нула. Въпреки това, в в този случайлесни за определяне интервали на постоянен знак на функция
следователно може да се приложи интервалният метод.
функция f(х) = 2х(х- 3,5)lgǀ х- 3ǀ е непрекъснат при х> 3 и изчезва в точки х 1 = 0, х 2 = 3,5, х 3 = 2, х 4 = 4. Така определяме интервалите на постоянен знак на функцията f(х):
отговор:
2-ри метод . Нека директно приложим идеите на интервалния метод към първоначалното неравенство.
За да направите това, припомнете си, че изразите аб- а c и ( а - 1)(b- 1) имат един знак. Тогава нашето неравенство при х> 3 е еквивалентно на неравенство
или
Последното неравенство се решава чрез интервалния метод
отговор:
Пример 3.
Решение:
Да приложим интервалния метод
отговор:
Пример 4.
Решение:
От 2 х 2 - 3х+ 3 > 0 за всички реални х, Това
За решаване на второто неравенство използваме интервалния метод
В първото неравенство правим замяната
тогава стигаме до неравенството 2y 2 - г - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те г, които удовлетворяват неравенството -0,5< г < 1.
Откъде, откога
получаваме неравенството
която се извършва при х, за което 2 х 2 - 3х - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Сега, като вземем предвид решението на второто неравенство на системата, най-накрая получаваме
отговор:
Пример 5.
Решение:
Неравенството е еквивалентно на набор от системи
или
Нека използваме метода на интервала или
отговор:
Пример 6.
Решение:
Неравенството е равно на система
Нека
Тогава г > 0,
и първото неравенство
системата приема формата
или, разгъване
квадратен тричленпо фактори,
Прилагайки интервалния метод към последното неравенство,
виждаме, че неговите решения отговарят на условието г> 0 ще бъде всичко г > 4.
Така първоначалното неравенство е еквивалентно на системата:
И така, решенията на неравенството са всички
2.2. Метод на рационализация.
Предишен методрационализирането на неравенството не беше решено, не беше известно. Това е "новото модерно" ефективен методрешения на експоненциални и логаритмични неравенства" (цитат от книгата на S.I. Kolesnikova)
И дори учителят да го познаваше, имаше страх - познаваше ли го? Единен държавен изпит експерт, защо не го дават в училище? Имаше ситуации, когато учителят каза на ученика: „Откъде го взе - 2?“
Сега методът се рекламира навсякъде. И за специалистите има насоки, свързани с този метод, и в „Най-пълните издания типични опции..." Решение C3 използва този метод.
ЧУДЕСЕН МЕТОД!
В други източници
Ако a >1 и b >1, след това log a b >0 и (a -1)(b -1)>0;
Ако a >1 и 0 ако 0<а<1 и b
>1, след това регистрирайте a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
ако 0<а<1 и 00 и (a -1)(b -1)>0. Извършеното разсъждение е просто, но значително опростява решението на логаритмичните неравенства. Пример 4.
log x (x 2 -3)<0
Решение:
Пример 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Решение: Пример 6.
За да решим това неравенство, вместо знаменателя записваме (x-1-1)(x-1), а вместо числителя записваме произведението (x-1)(x-3-9 + x). Пример 7.
Пример 8.
2.3. Нестандартна замяна. Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
Пример 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Нека направим замяната y=3 x -1; тогава това неравенство ще приеме формата Log 4 log 0,25 защото log 0,25 Нека направим замяната t =log 4 y и получим неравенството t 2 -2t +≥0, чието решение са интервалите - По този начин, за да намерим стойностите на y, имаме набор от две прости неравенства Следователно първоначалното неравенство е еквивалентно на набор от две експоненциални неравенства, Решението на първото неравенство от това множество е интервалът 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Пример 8.
Решение:
Неравенството е равно на система Решението на второто неравенство, определящо ODZ, ще бъде множеството от тях х,
за което х > 0.
За да решим първото неравенство, правим заместването Тогава получаваме неравенството или Множеството от решения на последното неравенство се намира по метода интервали: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной х, получаваме или Много такива х, които удовлетворяват последното неравенство принадлежи на ОДЗ ( х> 0), следователно е решение на системата, а оттам и първоначалното неравенство. отговор: 2.4. Задачи с капани. Пример 1.
Решение. ODZ на неравенството е всички x, които отговарят на условието 0 Пример 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
отговор. (0; 0,5)U.
отговор :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , тогава пренаписваме последното неравенство като 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Решението на това множество са интервалите 0<у≤2 и 8≤у<+.
тоест агрегати 
. По този начин първоначалното неравенство е изпълнено за всички стойности на x от интервалите 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Следователно всички x са от интервала 0
Заключение
Не беше лесно да се намерят конкретни методи за решаване на проблеми с C3 от голямо изобилие от различни образователни източници. В хода на извършената работа успях да изучавам нестандартни методи за решаване на сложни логаритмични неравенства. Това са: еквивалентни преходи и обобщен метод на интервалите, метод на рационализация , нестандартна замяна , задачи с капани по ОДЗ. Тези методи не са включени в училищната програма.
Използвайки различни методи, реших 27 неравенства, предложени на Единния държавен изпит в част C, а именно C3. Тези неравенства с решения по методи формираха основата на колекцията „С3 Логаритмични неравенства с решения“, която стана проектен продукт на моята дейност. Хипотезата, която поставих в началото на проекта, беше потвърдена: проблемите на C3 могат да бъдат ефективно решени, ако знаете тези методи.
Освен това открих интересни факти за логаритмите. Беше ми интересно да правя това. Продуктите от моя проект ще бъдат полезни както за ученици, така и за учители.
Изводи:
Така целта на проекта е постигната и проблемът е решен. И получих най-пълния и разнообразен опит в проектните дейности на всички етапи на работа. По време на работата по проекта основното ми въздействие върху развитието беше върху умствената компетентност, дейности, свързани с логически мисловни операции, развитие на творческа компетентност, лична инициатива, отговорност, постоянство и активност.
Гаранция за успех при създаване на изследователски проект за Придобих: значителен училищен опит, умение да получавам информация от различни източници, да проверявам нейната достоверност и да я класирам по важност.
В допълнение към преките познания по математика, разширих практическите си умения в областта на компютърните науки, придобих нови знания и опит в областта на психологията, установих контакти със съученици и се научих да си сътруднича с възрастни. По време на дейностите по проекта бяха развити организационни, интелектуални и комуникативни общообразователни умения.
Литература
1. Корянов А. Г., Прокофиев А. А. Системи от неравенства с една променлива (стандартни задачи C3).
2. Малкова А. Г. Подготовка за Единния държавен изпит по математика.
3. Самарова С. С. Решаване на логаритмични неравенства.
4. Математика. Колекция от учебни работи под редакцията на A.L. Семенов и И.В. Ященко. -М .: МЦНМО, 2009. - 72 с.-
Мислите ли, че има още време до Единния държавен изпит и ще имате време да се подготвите? Може би това е така. Но във всеки случай, колкото по-рано студентът започне подготовка, толкова по-успешно преминава изпитите. Днес решихме да посветим статия на логаритмичните неравенства. Това е една от задачите, което означава възможност за получаване на допълнителен кредит.
Знаете ли вече какво е логаритъм? Силно се надяваме. Но дори и да нямате отговор на този въпрос, това не е проблем. Разбирането какво е логаритъм е много просто.
Защо 4? Трябва да увеличите числото 3 до тази степен, за да получите 81. След като разберете принципа, можете да продължите към по-сложни изчисления.
Преминахте през неравенства преди няколко години. И оттогава постоянно ги срещате в математиката. Ако имате проблеми с решаването на неравенства, вижте съответния раздел.
Сега, след като се запознахме с понятията поотделно, нека да преминем към тяхното разглеждане като цяло.
Най-простото логаритмично неравенство.
Най-простите логаритмични неравенства не се ограничават до този пример; има още три, само с различни знаци. Защо е необходимо това? За да разберете по-добре как да решавате неравенства с логаритми. Сега нека дадем по-приложим пример, все още доста прост;
Как да се реши това? Всичко започва с ODZ. Струва си да знаете повече за това, ако искате винаги лесно да решавате всяко неравенство.
Какво е ODZ? ОДЗ за логаритмични неравенства
Съкращението означава обхвата на допустимите стойности. Тази формулировка често се среща в задачите за Единния държавен изпит. ODZ ще ви бъде полезен не само в случай на логаритмични неравенства.
Погледнете отново горния пример. Ще разгледаме ODZ въз основа на него, за да разберете принципа и решаването на логаритмични неравенства не повдига въпроси. От определението за логаритъм следва, че 2x+4 трябва да е по-голямо от нула. В нашия случай това означава следното.
Това число по дефиниция трябва да е положително. Решете представеното по-горе неравенство. Това може да се направи дори устно; тук е ясно, че X не може да бъде по-малко от 2. Решението на неравенството ще бъде дефинирането на диапазона от допустими стойности.
Сега нека преминем към решаването на най-простото логаритмично неравенство.
Изхвърляме самите логаритми от двете страни на неравенството. Какво ни остава като резултат? Просто неравенство.
Не е трудно да се реши. X трябва да е по-голямо от -0,5. Сега комбинираме двете получени стойности в система. по този начин
Това ще бъде обхватът на приемливите стойности за разглежданото логаритмично неравенство.
Защо изобщо имаме нужда от ODZ? Това е възможност да отсеете грешните и невъзможни отговори. Ако отговорът не е в обхвата на приемливите стойности, тогава отговорът просто няма смисъл. Това си струва да се помни дълго време, тъй като в Единния държавен изпит често има нужда да се търси ODZ и това се отнася не само за логаритмични неравенства.
Алгоритъм за решаване на логаритмично неравенство
Решението се състои от няколко етапа. Първо, трябва да намерите диапазона от приемливи стойности. Ще има две значения в ODZ, обсъдихме това по-горе. След това трябва да решите самото неравенство. Методите за решение са както следва:
- метод за заместване на множителя;
- разграждане;
- метод на рационализация.
В зависимост от ситуацията си струва да използвате един от горните методи. Да преминем директно към решението. Нека разкрием най-популярния метод, който е подходящ за решаване на задачи от Единния държавен изпит в почти всички случаи. След това ще разгледаме метода на разлагане. Може да помогне, ако попаднете на особено сложно неравенство. И така, алгоритъм за решаване на логаритмично неравенство.
Примери за решения :
Не напразно взехме точно това неравенство! Обърнете внимание на основата. Запомнете: ако е по-голямо от едно, знакът остава същият при намиране на диапазона от допустими стойности; в противен случай трябва да промените знака за неравенство.
В резултат на това получаваме неравенството:
Сега намаляваме лявата страна до формата на уравнението, равно на нула. Вместо знака “по-малко” поставяме “равно” и решаваме уравнението. Така ще намерим ODZ. Надяваме се, че няма да имате проблеми с решаването на такова просто уравнение. Отговорите са -4 и -2. Това не е всичко Трябва да покажете тези точки на графиката, като поставите „+“ и „-“. Какво трябва да се направи за това? Заместете числата от интервалите в израза. Когато стойностите са положителни, поставяме „+“ там.
отговор: x не може да бъде по-голямо от -4 и по-малко от -2.
Намерихме диапазона от приемливи стойности само за лявата страна; сега трябва да намерим диапазона от приемливи стойности за дясната страна. Това е много по-лесно. Отговор: -2. Пресичаме двете получени области.
И едва сега започваме да се занимаваме със самото неравенство.
Нека го опростим, доколкото е възможно, за да е по-лесно за решаване.
Отново използваме интервалния метод в решението. Нека пропуснем изчисленията, всичко вече е ясно от предишния пример. отговор.
Но този метод е подходящ, ако логаритмичното неравенство има еднакви основи.
Решаването на логаритмични уравнения и неравенства с различни основи изисква първоначално редуциране до една и съща основа. След това използвайте метода, описан по-горе. Но има и по-сложен случай. Нека разгледаме един от най-сложните видове логаритмични неравенства.
Логаритмични неравенства с променлива основа
Как се решават неравенства с такива характеристики? Да, и такива хора могат да бъдат намерени в Единния държавен изпит. Решаването на неравенствата по следния начин също ще се отрази благотворно на учебния ви процес. Нека разгледаме въпроса в детайли. Да изоставим теорията и да преминем направо към практиката. За решаване на логаритмични неравенства е достатъчно да се запознаете с примера веднъж.
За да се реши логаритмично неравенство на представената форма, е необходимо да се намали дясната страна до логаритъм със същата основа. Принципът наподобява еквивалентни преходи. В резултат на това неравенството ще изглежда така.
Всъщност всичко, което остава, е да се създаде система от неравенства без логаритми. Използвайки метода на рационализация, преминаваме към еквивалентна система от неравенства. Ще разберете самото правило, когато замените подходящите стойности и проследите промените им. Системата ще има следните неравенства.
Когато използвате метода на рационализация при решаване на неравенства, трябва да запомните следното: едно трябва да се извади от основата, x, по дефиниция на логаритъма, се изважда от двете страни на неравенството (дясно от ляво), два израза се умножават и поставен под оригиналния знак по отношение на нула.
По-нататъшното решение се извършва с помощта на интервалния метод, тук всичко е просто. Важно е да разберете разликите в методите за решаване, тогава всичко ще започне да се получава лесно.
В логаритмичните неравенства има много нюанси. Най-простите от тях са доста лесни за решаване. Как можете да разрешите всеки от тях без проблеми? Вече сте получили всички отговори в тази статия. Сега ви предстои дълга практика. Постоянно практикувайте решаването на различни задачи на изпита и ще можете да получите най-висок резултат. Успех в нелеката задача!
Едно неравенство се нарича логаритмично, ако съдържа логаритмична функция.
Методите за решаване на логаритмични неравенства не се различават от, с изключение на две неща.
Първо, когато се преминава от логаритмично неравенство към неравенство на сублогаритмични функции, трябва следват знака на полученото неравенство. Подчинява се на следното правило.
Ако основата на логаритмичната функция е по-голяма от $1$, тогава при преминаване от логаритмично неравенство към неравенство на сублогаритмични функции знакът на неравенството се запазва, но ако е по-малък от $1$, тогава той се променя на противоположния .
Второ, решението на всяко неравенство е интервал и следователно в края на решаването на неравенството на сублогаритмичните функции е необходимо да се създаде система от две неравенства: първото неравенство на тази система ще бъде неравенството на сублогаритмичните функции, а вторият ще бъде интервалът от областта на дефиниране на логаритмичните функции, включени в логаритмичното неравенство.
Практикувайте.
Да решим неравенствата:
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
Основата на логаритъма е $2>1$, така че знакът не се променя. Използвайки определението за логаритъм, получаваме:
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \in )