В това видео Ще говоримотносно решаването на неравенства, които имат променлива. Те се наричат ​​неравенства с една променлива. Какво е решението на подобни неравенства? Това са стойностите на променливата, при които неравенството, което решаваме, става истинско числено неравенство. А решаването на неравенство с променлива означава намиране на всички негови решения или доказване, че няма такива. За да намерим тези решения, ние използваме свойствата на числените неравенства, които бяха обсъдени по-рано.

Простият пример, разгледан във видео урока, показва колко е важно да имате ясен алгоритъм за решаване, с други думи, да знаете правилата за решаване на неравенства.

Ето едно просто неравенство 2x + 5< 7. Представим себе, что алгоритма решения у нас нет. Значит, мы будем перебирать все числа и смотреть, какие из них нам подходят, то есть при каких значениях переменной х данное неравенство станет верным числовым неравенством. Просматривая видео, замечаем, что подстановка одних чисел дает нам верное числено неравенство, но заместването на други не дава това. Горният пример показва неефективността този методрешения.

Нека се обърнем към свойствата на числовите неравенства. Знаем, че едно и също число може да се добави към двете страни на неравенството. Това няма да промени неравенството. Знаем също, че и двете страни на неравенството могат да бъдат разделени или умножени по едно и също нещо положително число. Видео урокът показва как, използвайки тези свойства, можете да намерите решение на дадено неравенство. Оказа се, че х< 1. Это значит, что все числа х, меньше единицы, являются решением неравенства. Они образуют открытый промежуток от минус бесконечности до единицы (номер лъч). С други думи, имаме много решения на дадено неравенство. Окончателно решениенеравенствата могат да бъдат записани с помощта на тези форми.

Първо обозначение: x< 1 (х меньше единицы).

Втората форма на запис: x Є (-∞; 1) (x принадлежи на интервала от минус безкрайност до единица).

Въз основа на разгледаните по-горе свойства на числовите неравенства е възможно да се формулират правила, с помощта на които се решават неравенства с една променлива. Тези правила са формулирани в този видео урок.

Неравенства с единица променлива на формата ax + b > 0 или ax + b< 0 называются линейными неравенствами. Неравенства могут также быть нестрогими, то есть содержать знак ≥ или ≤.

3x - 5 ≥ 7x - 15.

За решаване на неравенството се прилагат вече познатите ни правила. Първо събираме термините, съдържащи променливата от лявата страна. При движение от дясната страна към лява страна, членът 7x, променя знака. Числени терминиСъбираме неравенствата от дясната страна, като отново не забравяме да променим знаците.

След това ще трябва да разделите двете страни на неравенството на отрицателно число-4. В резултат на това разделение се получава неравенство с противоположен смисъл. Моля, обърнете внимание, че по време на решаването ние постоянно използваме правилата за решаване на неравенства. Накрая се оказва, че x ≤ 2,5. Решението може да бъде написано с помощта на някоя от следните форми:

1. x ≤ 2,5 (x е по-малко или равно на 2,5);

2. x Є (-∞; 2,5] (x принадлежи на интервала от минус безкрайност до 2,5).

При изучаването на уравненията се разглежда концепцията за тяхната еквивалентност. Това понятие съществува и за неравенствата. Две неравенства с една променлива ще бъдат еквивалентни, ако решенията на тези неравенства съвпадат. Ако неравенствата нямат решения, те също са еквивалентни.

Наличието на еквивалентни неравенства ни позволява значително да опростим решението. В крайна сметка тогава неравенството може да бъде заменено с еквивалентно, но по-просто неравенство.

С помощта на такива еквивалентни трансформации е решен пример 2 от този видео урок.

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако си заинтересован тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Тип урок: урок за прилагане на знания, умения, способности в нова ситуация.

Цели на урока:

• образователен: в резултат на урока учениците обобщават и систематизират знанията по темата „Неравенства“, запознават се с нов начин за решаване на някои логаритмични неравенства.
• развиващи се: в резултат на урока учениците се научават да анализират, да подчертават основното, да доказват и опровергават логически заключения;
• образователен: в резултат на урока учениците развиват комуникативни умения и отговорно отношение към постигане на целта.

Оборудванекомпютър, мултимедиен проектор.

По време на часовете

I. Актуализиране на справочните знания

„Решаване на неравенства“ е много подходяща тема в математиката. Срещнахме неравенства в часовете по алгебра, започвайки от 8 клас. Разгледахме различни видове и различни начини за решаване на неравенства. Днес ще си припомним основните видове неравенства, ще назовем методите за решаването им и ще се запознаем с някои техники, които опростяват решенията им. Слайд 1

Да реши сложни неравенства, трябва да знаете добре решението на най-простите неравенства.

Студентско съобщение

1. Видове неравенства и техните решения.

Тип неравенство	Решение
Линеен
Съдържащи четна степен
Съдържащ нечетна степен
Ирационално
Ирационално
Показателно
Логаритмичен
Тригонометричен	При решаване използват тригонометричен кръгили графика на съответната функция

Въпросученици: Какви трансформации се използват за решаване на неравенства?

Обаждат се студенти: повдигане на четна или нечетна степен, логаритъм, потенциране, прилагане на формули за редуциране на неравенството до по-опростен вид.

Въпрос:Какво може да се случи с набора от решения за неравенство по време на процеса на трансформация?

Студентите отбелязват, чече наборът от решения или не се променя, или се разширява (можете да получите странични решения), или се свива (можете да загубите решения).

Затова е важно да се знае кои трансформации на неравенства са еквивалентни и при какви условия.

Студентско съобщение

2. Еквивалентност на неравенствата.

Нека изброим някои трансформации на неравенства, които водят това неравенство до неравенство, еквивалентно на него в множеството на всички реални числа.

Нека наречем трансформации на неравенства, които редуцират първоначалното неравенство до неравенство, еквивалентно на него върху някакъв набор от числа

1. Повишаване на неравенството до четна степен; (на множество, където и двете функции са неотрицателни)
2. Потенциране на неравенството; (на множество, където и двете функции са положителни)
3. Умножение на двете страни на неравенството по функция; (на множеството, където функцията е положителна)
4. Прилагане на някои формули (логаритмични, тригонометрични и др.) (върху множество, където и двете части на приложената формула са дефинирани едновременно)

Предна работа

Въпросученици: Еквивалентни ли са неравенствата? Защо?

II. Учене на нов материал

Учител:В зависимост от тълкуването на неравенствата има

• алгебричен
• функционален
• графика
• геометричен

подходи за решаване на неравенства. При алгебричния подход се извършват еквивалентни общи или частични трансформации на неравенства. При функционалния подход се използват свойствата на функциите (монотонност, ограниченост и др.). Основата на геометричния подход е интерпретацията на неравенствата и техните решения на координатната линия, координатна равнинаили в космоса. В някои случаи алгебрични и функционални подходивзаимозаменяеми.

Между алгебрични методиразграничават се решенията на неравенствата:

• Намаляване на неравенството до еквивалентна системаили набор от системи
• Метод на замяна
• Разделяне на областта на дефиниране на неравенството на подмножества

Казват, че е по-добре да се реши едно неравенство, но по различни начини, отколкото няколко неравенства по един и същи начин. Търсене различни начинирешения, разглеждане на всички възможни случаи, Критична оценкатях, за да подчертае най-рационалното, красивото, е важен факторразвитие математическо мислене, водят далеч от шаблона. Затова днес ще се опитаме да потърсим най-рационалните начини за решаване на неравенства.

Логаритмичното неравенство може да се сведе до еквивалентен набор от системи от неравенства

Решете неравенството: (учениците работят в групи)

Отговор:

Учител:Оказва се, че това неравенство може да се реши по различен начин.

Познаване на свойствата на логаритъма, който log a b< 0, если a и b по различни страниот 1, log a b > 0, ако a и b са от една и съща страна на 1, можете да получите много интересен и неочакван начин за решаване на неравенството. За този метод е писано в статията "Някои полезни логаритмични отношения" в списание "Квант" № 10 за 1990 г.

04.03.2015 1800 529 Гудова Людмила Владимировна

Тип урок:интегриран урок за обобщаване и систематизиране на знания, умения и способности.

Цели на урока:

• Систематизиране на знанията, уменията и способностите при решаване на системи линейни неравенствас една променлива.
• Подобряване на изчислителните умения при устни и писмени изчисления, развиване на способността за прилагане на знанията на практика в нови условия и способността да коментирате своите действия.
• Възбуждане на интерес към предмета и при избора на професия, самостоятелност и способност за работа с зададен темп.
• развитие математическа речстуденти.

Задачи:

― систематизира знания и умения по тази тема;

― използвайки знанията и уменията на учениците, насочва дейността им към избор на ефективни начини за решаване на проблеми;

― да развият комуникативни умения, да развият умения за работа в малки групи (по двойки);

― да развиват организационни умения, да прилагат умения за саморегулация и самоконтрол;

― развиват логическо мислене, математическа реч;

― култивирайте познавателния интерес, насочвайте учениците да извършват широко търсене на информация, използвайки ресурси от Интернет;

― формират стабилни положителни мотиви.

По време на часовете

аз Организиране на времето.

План на урока

1. Организационен момент.

2. Устна работа.

3. Самостоятелна работа по двойки (взаимна оценка)

4. Физически упражнения.

5. Правене на упражнения в групи

6. Домашна работа.

7. Обобщение на урока.

азОрганизиране на времето.

Взаимни поздрави, записване на отсъстващите. Преди да преминем към темата на нашия урок, нека направим малко обучение. „Куфар“ - лист хартия е прикрепен към гърба на всеки, всеки има химикалки в ръцете си, всеки се приближава един до друг и го пише на човека добри качествакоето му хареса най-много...

Темата на нашия урокРешаване на неравенства и системи от неравенства.

Въпрос: Каква според вас е целта на нашия урок?

Отговор: подобряване на качеството на знанията, отстраняване на пропуските в знанията, подготовка за изпити.

Учител . браво момчета Целта на нашия урок: използването на знания и умения при обобщаване на темата "Решаване на неравенства и системи от неравенства “, в подготовка за изпити.

Опитайте се да формулирате задачи, с които ще постигнем тази цел.

Днес ти и аз необичаен урок. И за да разберем какво ще бъде обсъдено в нашия урок, ще изпълним устни работни задачи.

II. Устна работа.

1. Изчислете. Шифрованата дума е вид човешка дейност. (Презентация 1, слайд 2)

F. 12*5 = 60	R. (56 + 16) : 2 = 36	Е. 48: 6 + 35: 5 = 15
С. 36: 4 = 9	С. 15 * 4 - 38 = 22	S. 850: (350: 7) = 17
О. 8 * 9 = 72	I. 40 * (31 - 28) = 120	Ya 64: 2 - 16 = 16

За какво ще говорим в нашия урок? Коректно за професиите. Какво е професия? (Презентация 1, слайд 3)

Тази година завършваш училище и каква професия искаш да избереш? Нужна ли е математиката във вашата професия? Тогава нека продължим нашия урок.

2. Прочетете: (Презентация 1, слайд 4)

3 Игра „Решаване на неравенства“ (неравенствата са записани предварително отстрани на дъската).

Мини резюме.

Много добре! Но за добро майсторствоПрофесията изисква силни компютърни умения. Нека сега проверим колко добре мислите.

III. Самостоятелна работа (Работа по двойки, образувани от имената на плодове и зеленчуци).

Отворете тетрадките си. Запишете номера Работа в клас, тема на урока "Решаване на неравенства и системи от неравенства."

И така, запознаваме се с професиите. За да направим това, трябва да решим системи от неравенства.

Отваряме учебника на стр. 181 № 532 (а, б първи ученик; в, г - втори ученик, след което разменяме тетрадки и се оценяваме взаимно)

Много добре! Ще се запознаем с професията (икономист). (Презентация 1, слайд 14).

Какви професии искате да изберете? Защо? Що за професии са това?

IV. Физически упражнения.

Преди да започнете работа, трябва да направите някои физически упражнения. (Упражнения за облекчаване на напрежението в очите).

Физкултурна минута. „Ваксинация на доброто настроение“.

• 
  Обърнете се един към друг:
• 
  Прасчо (посочва носа)
• 
  Усмихнете се (разперете ръце встрани)
• 
  Шапка (съединете ръцете си над главата)
• 
  Ваксинация (гъделичкат се).

Ще разберем следващата професия, като решим друга система от неравенства. И за това трябва да се обединим в групи. (групите се формират по цвят на стикера)

Като група трябва да решите да определите при какви стойности на x изразът има смисъл.. Страница 182 № 537

Обобщение на урока. Отражение.

Домашна работа.

Изтегляне на материал

Вижте файла за изтегляне за пълния текст на материала.
Страницата съдържа само фрагмент от материала.

Този урок се изучава в 11 клас по програмата за основно ниво. Цел на урока: да се обобщят знанията по темата „Решаване на неравенства с една променлива“. Разглеждат се неравенства различни видове. Повтарят се методите за решаване на неравенства.

Изтегли:

Преглед:

Обобщение на отворения урок

„Решаване на неравенства с една променлива“

Клас: 11б

Ниво:

Цел на урока: да се обобщят знанията по темата „Решаване на неравенства с една променлива“.

Цели на урока:

образователен:

• обобщават и систематизират знанията, получени от изучаването на темата „Решаване на неравенства с една променлива“;
• разгледайте решаването на неравенства с една променлива от различни видове;
• обмисли общи методирешаване на неравенства с една променлива (метод на последователни опростявания, интервален метод, метод на заместване на променлива, функционален графичен метод);
• консолидират способността за прилагане на основни теореми за еквивалентност при решаване на неравенства с една променлива;
• допринасят за разширяване на знанията по изучаваната тема;

развитие:

• развитие логично мислене, памет, способност за разсъждение, търсене рационален начинразрешаване на проблема;
• развиване на умения за сравняване, обобщаване и анализ на изучаваните факти;
• развитие на самостоятелността на учениците в мисловната и учебната дейност;
• развитие на математическата реч;

повишаване:

• възпитаване на самоконтрол, отговорност и постоянство при постигане на целите;
• вдигам ниво образователна мотивацияизползване на компютърни технологии;
• възпитаване на колективизъм, взаимопомощ и отговорност към общия труд;
• възпитаване на точност при изпълнение на практически задачи;
• култивирайте вниманието, активността, самочувствието.

Тип урок: урок за повторение и обобщение

Оборудване: две ученически дъски, интерактивна дъска, проектор, компютър.

Софтуер: Microsoft Word, Microsoft PowerPoint, 1C Mathematical Constructor 4.0, презентация към урока.

Учебник: Алгебра и нач математически анализ. 11 клас. В 2 ч. Учебник за студенти образователни институции (основно ниво на) / [А. Г. Мордкович и др.] ; редактиран от А. Г. Мордкович. – 4-то изд., изтрито. – М.: Мнемозина, 2013.

План на урока:

1) Организиране на времето

2) повторение теоретична информацияпо изучаваната тема

3) проверка домашна работа, работа с карти

4) приложение теоретични знанияна практика (устно и писмено решаване на задачи по изучаваната тема)

5) самостоятелна работа

6) отражение

7) обобщаване на урока

8) записване на домашни

По време на часовете.

1. Организиране на времето.

Поздравяване на учениците, проверка на готовността за урока, Въведениеучител, име на темата, цели на урока, запис на номера и темата на урока в тетрадки (слайд 1)

Момчета, има много различни неравенства, показани на дъската. Какви неравенства виждате? (Тригонометричен, ирационален, степенен, линеен, квадратичен, логаритмичен, експоненциален, дробно рационален.)

Какво е общото между тези неравенства? (Всички неравенства включват една променлива.)

Започвайки от осми клас, вие се научавате как да решавате такива неравенства. Днес в урока ще говорим за еквивалентността на неравенствата, използването на теореми за еквивалентност при решаването им, а също така ще си припомним основните методи за решаване на неравенства с една променлива. До края на урока нека всеки от вас отговори на въпроса: „Колко добре познавам този или онзи метод за решаване на неравенства в една променлива?“

Запишете датата и темата на урока „Решаване на неравенства с една променлива“ в тетрадката.

1. Повторение на теоретична информация по изучаваната тема.

Учителят раздава карти с индивидуални задачи различни ниватрудности.

Решете неравенство (ниво 1)	Решете неравенство (ниво 2)
№ 57.16а (домашна работа)	№ 57.24а (домашна работа)

Отговорете на въпроса: „Какво се нарича решение на неравенство?“ (Решение на f(x) > g(x) е всяка стойност на x, която превръща неравенството в истинско числово неравенство.) Разгледайте пример. Посочете други конкретни решения на това неравенство и числа, които не са решение. намирам общо решениеот това неравенство. Какво е общото решение на неравенство в една променлива? (слайд 2)

Следващият въпрос: „Какви неравенства се наричат ​​еквивалентни?“ (Неравенствата f(x) > g(x) и p(x) > h(x) са еквивалентни, ако решенията им съвпадат.) Еквивалентни ли са неравенствата: x 2 ≥ 0 и |x| ≥ 0; ? (Всички неравенства, чието решение е набор от реални числа, са еквивалентни. Всички неравенства, чието решение е празен комплект– са еквивалентни.) (слайд 3) Използва се инструментът „перде“.

Теоремите за еквивалентност помагат да се получи неравенство, еквивалентно на даденото. Нека ги повторим и използваме устно за решаване на неравенства. (слайд 5-10)

Използва се инструментът за завеси.

Ние знаем и преди многократно сме използвали четири метода за решаване на неравенства. Назовете ги. (Метод на последователни опростявания, интервален метод, метод на заместване на променливи, функционален графичен метод.)

На екрана виждате четири неравенства. Свържете всяко неравенство със съответния му метод за решаване. (слайд 11)

1. Проверка на домашните. Учениците обясняват своето решение.

№ 57.16а (домашна работа) Нека решим експоненциално неравенствометод за заместване на променливи. Позволявам . Решаваме с помощта на интервалния метод. t≥3, Отговор:
Отговор:	x=1,5 x ∈ (0;1) ∪ (1; ∞ ) х=1 Отговор: x ∈ (1; 1,5) ∪ (2; ∞)
No 57.23b Изпълнение дадено числопредоставена на допълнителна дъска. Решаваме неравенството графично. Нека изградим графика експоненциална функция y=. Нека начертаем функцията y=. Наблюдавайки поведението на графиките, откриваме, че решението на неравенството е интервалът )