الرباعيات المنقوشة والمقيدة وخصائصها - مواد للتحضير لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات. معيار أن يتم قطع الشكل الرباعي بخط مستقيم من مثلث في دائرة معينة

المضلعات المنقوشة والدائرية،

§ 106. خصائص الرباعيات المدرجة والموصوفة.

النظرية 1. مجموع زوايا متقابلةرباعي دوري يساوي 180 درجة.

دع الشكل الرباعي ABCD يُدرج في دائرة مركزها O (الشكل 412). مطلوب إثبات ذلك / أ + / ج = 180 درجة و / ب + / د = 180 درجة.

/ A، كما هو مكتوب في الدائرة O، يبلغ قياسه 1/2 BCD.
/ C، كما هو مكتوب في نفس الدائرة، يبلغ قياسه 1/2 BAD.

وبالتالي، يتم قياس مجموع الزوايا A وC بنصف مجموع الأقواس BCD وBAD؛ في المجموع، تشكل هذه الأقواس دائرة، أي أن لها 360 درجة.
من هنا / أ + / ج = 360 درجة: 2 = 180 درجة.

وكذا ثبت ذلك / ب + / د = 180 درجة. ومع ذلك، يمكن استنتاج ذلك بطريقة أخرى. ونحن نعلم أن المبلغ زوايا داخلية رباعي محدبيساوي 360 درجة. مجموع الزاويتين A وC يساوي 180 درجة، مما يعني أن مجموع الزاويتين الأخريين في الشكل الرباعي يظل أيضًا 180 درجة.

النظرية 2(يعكس). إذا كان في شكل رباعي فإن مجموع زاويتين متقابلتين متساوي 180 درجة ، فيمكن وصف دائرة حول هذا الشكل الرباعي.

ليكن مجموع الزوايا المتقابلة للشكل الرباعي ABCD يساوي 180 درجة، أي
/ أ + / ج = 180 درجة و / ب + / د = 180 درجة (الرسم 412).

دعونا نثبت أنه يمكن وصف الدائرة حول هذا الشكل الرباعي.

دليل. من خلال أي من القمم الثلاثة لهذا الشكل الرباعي، يمكنك رسم دائرة، على سبيل المثال، من خلال النقاط A وB وC. أين تقع النقطة D؟

النقطة D يمكن أن تشغل واحدة فقط من الثلاثة القادمةالمواضع: أن يكون داخل الدائرة، أن يكون خارج الدائرة، أن يكون على محيط الدائرة.

لنفترض أن الرأس يقع داخل الدائرة ويأخذ الموضع D" (الشكل 413). ثم في الشكل الرباعي ABCD" سيكون لدينا:

/ ب + / د" = 2 د.

بمواصلة الجانب AD" إلى التقاطع مع الدائرة عند النقطة E ونقطتي التوصيل E و C، نحصل على الشكل الرباعي الدائري ABCE، والذي، من خلال النظرية المباشرة

/ ب+ / ه = 2 د.

ويترتب على هاتين المساويتين:

/ د" = 2 د - / ب؛
/ ه = 2 د - / ب؛

/ د" = / ه،

ولكن هذا لا يمكن أن يكون، لأنه / D"، كونها خارجية بالنسبة للمثلث CD"E، يجب أن تكون أكبر من الزاوية E. لذلك، لا يمكن أن تكون النقطة D داخل الدائرة.

وثبت أيضًا أن الرأس D لا يمكنه أن يأخذ الموضع D" خارج الدائرة (الشكل 414).

ويبقى أن ندرك أن الرأس D يجب أن يقع على محيط الدائرة، أي يتزامن مع النقطة E، مما يعني أنه يمكن وصف الدائرة حول الشكل الرباعي ABCD.

عواقب. 1. يمكن وصف الدائرة حول أي مستطيل.

2. حول شبه منحرف متساوي الساقينيمكن أن تصف دائرة.

وفي كلتا الحالتين، مجموع الزوايا المتقابلة هو 180 درجة.

النظرية 3.في الرباعي الموصوف المبالغ الجانبين المتقابلينمتساوون. دع الشكل الرباعي ABCD يوصف حول دائرة (شكل 415)، أي أن أضلاعه AB وBC وCD وDA مماسة لهذه الدائرة.

ويشترط إثبات أن AB + CD = AD + BC. دعونا نشير إلى نقاط التماس بالأحرف M، N، K، P. واستناداً إلى خصائص المماسات المرسومة للدائرة من نقطة واحدة (§ 75)، لدينا:

ع = أك؛
VR = VM؛
الاسم المميز = DK؛
CN = سم.

دعونا نضيف هذه المساواة مصطلحا بعد مصطلح. نحصل على:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM،

أي AB + CD = AD + BC، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

تمارين.

1. في الشكل الرباعي الدائري، هناك زاويتان متقابلتان بنسبة 3:5.
والاثنان الآخران بنسبة 4:5 حدد مقدار هذه الزوايا.

2. في الشكل الرباعي الموصوف، مجموع الضلعين المتقابلين هو 45 سم، والضلعان المتبقيان بنسبة 0.2: 0.3. أوجد طول هذه الجوانب.

يكون الشكل الرباعي داخل دائرة إذا كانت جميع رؤوسه تقع على الدائرة.مثل هذه الدائرة محاطة بشكل رباعي.

فكما لا يمكن وصف كل شكل رباعي حول دائرة، كذلك لا يمكن وصف كل شكل رباعي داخل دائرة.

الشكل الرباعي المحدب المدرج في دائرة له خاصية أن مجموع زواياه المقابلة يصل إلى 180 درجة. لذلك، إذا أعطيت ABCD رباعيًا، حيث الزاوية A معاكسة للزاوية C، والزاوية B معاكسة للزاوية D، فإن ∠A + ∠C = 180° و∠B + ∠D = 180°.

بشكل عام، إذا كان مجموع زوج من الزوايا المتقابلة في شكل رباعي يصل إلى 180 درجة، فإن مجموع الزوج الآخر يساوي نفس المقدار. وينتج هذا من حقيقة أن مجموع الزوايا في الشكل الرباعي المحدب يساوي دائمًا 360 درجة. وهذه الحقيقة تنبع بدورها من حقيقة ذلك مضلعات محدبةيتم تحديد مجموع الزوايا بالصيغة 180° * (n – 2)، حيث n هو عدد الزوايا (أو الجوانب).

يمكنك إثبات خاصية الشكل الرباعي المنقوش على النحو التالي. دع الشكل الرباعي ABCD يُدرج في الدائرة O. علينا إثبات أن ∠B + ∠D = 180°.

الزاوية B محصورة في دائرة. كما هو معروف، مثل هذه الزاوية يساوي النصفالقوس الذي تقع عليه. في في هذه الحالةالزاوية B مدعومة بقوس ADC، مما يعني ∠B = ½◡ADC. (بما أن القوس يساوي الزاوية بين نصف القطر الذي يشكله، يمكننا أن نكتب أن ∠B = ½∠AOC، المنطقة الداخلية التي تحتوي على النقطة D.)

وعلى الجانب الآخر، تقع الزاوية D في الشكل الرباعي على القوس ABC، أي ∠D = ½◡ABC.

نظرًا لأن جوانب الزاويتين B وD تتقاطعان مع الدائرة عند نفس النقاط (A وC)، فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين فقط - ◡ADC و◡ABC. لأن دائرة كاملةيضيف ما يصل إلى 360 درجة، ثم ◡ADC + ◡ABC = 360 درجة.

وبذلك تم الحصول على المساواة التالية:

∠B = ½◡ADC
∠د = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360 درجة

دعونا نعبر عن مجموع الزوايا:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

دعونا نضع ½ من بين قوسين:

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

لنستبدل مجموع الأقواس بقيمتها العددية:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

لقد وجدنا أن مجموع الزوايا المتقابلة في الشكل الرباعي المحيطي يساوي 180 درجة. وهذا ما كان بحاجة إلى إثباته.

حقيقة أن الشكل الرباعي المحيطي لديه هذه الخاصية (مجموع الزوايا المتقابلة هو 180 درجة) لا يعني أن أي شكل رباعي يبلغ مجموع زواياه المتقابلة 180 درجة يمكن إدراجه في دائرة. على الرغم من أن هذا صحيح في الواقع. هذه الحقيقةمُسَمًّى اختبار رباعي مكتوبويتم صياغته على النحو التالي: إذا كان مجموع الزوايا المتقابلة للشكل الرباعي المحدب هو 180 درجة، فيمكن وصف دائرة حوله (أو إدراجها في دائرة).

يمكنك إثبات اختبار الشكل الرباعي المدرج بالتناقض. افترض أن الشكل الرباعي ABCD الذي مجموع زاويتيه المتقابلتين B وD يساوي 180 درجة. في هذه الحالة، الزاوية D لا تقع على الدائرة. ثم خذ النقطة E على السطر الذي يحتوي على القطعة CD بحيث تقع على الدائرة. والنتيجة هي شكل رباعي دائري ABCE. هذا الشكل الرباعي له زاويتان متقابلتان B وE، مما يعني أن مجموع قياساتهما يساوي 180 درجة. وهذا يتبع من خاصية الشكل الرباعي المنقوش.

يتبين أن ∠B + ∠D = 180° و∠B + ∠E = 180°. ومع ذلك، فإن الزاوية D للشكل الرباعي ABCD بالنسبة للمثلث AED خارجية، وبالتالي أكبر من الزاوية E لهذا المثلث. وهكذا وصلنا إلى التناقض. هذا يعني أنه إذا كان مجموع الزوايا المتقابلة في الشكل الرباعي يصل إلى 180 درجة، فيمكن دائمًا إدراجه في دائرة.

النظرية 1. مجموع الزوايا المتقابلة في الشكل الرباعي الدائري هو 180 درجة.

دع الشكل الرباعي ABCD يُدرج في دائرة مركزها O (الشكل 412). مطلوب إثبات أن ∠A + ∠C = 180° و∠B + ∠D = 180°.

∠A، كما هو مكتوب في الدائرة O، يبلغ قياسه 1 / 2 \(\breve(BCD)\).

∠C، كما هو مدرج في نفس الدائرة، يبلغ قياسه 1 / 2 \(\breve(BAD)\).

وبالتالي، يتم قياس مجموع الزوايا A و C بنصف مجموع الأقواس BCD و BAD؛ في المجموع، تشكل هذه الأقواس دائرة، أي. لديك 360 درجة.

وبالتالي ∠A + ∠C = 360°: 2 = 180°.

وثبت بالمثل أن ∠B + ∠D = 180°. ومع ذلك، يمكن استنتاج ذلك بطريقة أخرى. نحن نعلم أن مجموع الزوايا الداخلية للشكل الرباعي المحدب هو 360 درجة. مجموع الزاويتين A وC يساوي 180 درجة، مما يعني أن مجموع الزاويتين الأخريين في الشكل الرباعي يظل أيضًا 180 درجة.

النظرية 2 (العكس). إذا كان في شكل رباعي فإن مجموع زاويتين متقابلتين متساوي 180 درجة ، فيمكن وصف دائرة حول هذا الشكل الرباعي.

ليكن مجموع الزوايا المتقابلة للشكل الرباعي ABCD يساوي 180 درجة، أي

∠A + ∠C = 180° و ∠B + ∠D = 180° (الشكل 412).

دعونا نثبت أنه يمكن وصف الدائرة حول هذا الشكل الرباعي.

دليل. من خلال أي من القمم الثلاثة لهذا الشكل الرباعي، يمكنك رسم دائرة، على سبيل المثال، من خلال النقاط A وB وC. أين تقع النقطة D؟

يمكن للنقطة D أن تشغل واحدًا مما يلي فقط ثلاث وظائف: أن يكون داخل الدائرة، أن يكون خارج الدائرة، أن يكون على محيط الدائرة.

لنفترض أن الرأس يقع داخل الدائرة ويأخذ الموضع D' (الشكل 413). ثم في الشكل الرباعي ABCD سيكون لدينا:

∠ب + ∠د' = 2 د.

بمواصلة الجانب AD’ حتى التقاطع مع الدائرة عند النقطة E ونقطتي التوصيل E و C، نحصل على الشكل الرباعي الدائري ABCE، والذي، من خلال النظرية المباشرة

∠ب + ∠ه = 2 د.

ويترتب على هاتين المساويتين:

∠د' = 2 د- ∠ب؛

∠ه = 2 د- ∠ب؛

لكن هذا لا يمكن أن يكون، لأن ∠D’، كونها خارجية بالنسبة للمثلث CD’E، يجب أن تكون أكبر من الزاوية E. لذلك، لا يمكن أن تكون النقطة D داخل الدائرة.

وثبت أيضًا أن الرأس D لا يمكنه أن يأخذ الموضع D" خارج الدائرة (الشكل 414).

ويبقى أن ندرك أن الرأس D يجب أن يقع على محيط الدائرة، أي يتزامن مع النقطة E، مما يعني أنه يمكن وصف الدائرة حول الشكل الرباعي ABCD.

عواقب.

1. يمكن وصف الدائرة حول أي مستطيل.

2. يمكن وصف الدائرة حول شبه منحرف متساوي الساقين.

وفي كلتا الحالتين، مجموع الزوايا المتقابلة هو 180 درجة.

النظرية 3. في الشكل الرباعي المحدد، مجموع الأضلاع المتقابلة متساوي. دع الشكل الرباعي ABCD يوصف حول دائرة (الشكل 415)، أي أن أضلاعه AB وBC وCD وDA مماسة لهذه الدائرة.

ويشترط إثبات أن AB + CD = AD + BC. دعونا نشير إلى نقاط التماس بالأحرف M، N، K، P. بناءً على خصائص المماسات المرسومة للدائرة من نقطة واحدة، لدينا:

دعونا نضيف هذه المساواة مصطلحا بعد مصطلح. نحصل على:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM،

أي AB + CD = AD + BC، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

مواد أخرى

الموضوع: "الدائرة الموصوفة حولها مضلع منتظم» تمت مناقشته بشيء من التفصيل في الداخل المنهج المدرسي. على الرغم من هذا، المهام المتعلقة هذا القسميسبب قياس التخطيط صعوبات معينة للعديد من طلاب المدارس الثانوية. وفي الوقت نفسه، فهم مبدأ الحل مشاكل امتحان الدولة الموحدةمع دائرة موصوفة حول مضلع، يجب على الخريجين الحاصلين على أي مستوى من التدريب.

كيف تستعد لامتحان الدولة الموحدة؟

بغرض مهام امتحان الدولة الموحدةحول موضوع "الدائرة المقيدة حول مضلع منتظم" لم تسبب أي صعوبات للطلاب، ادرس مع البوابة التعليمية "شكولكوفو". معنا يمكنك تكرار المادة النظريةفي المواضيع التي تسبب لك صعوبة. يتم تقديم النظريات والصيغ التي بدت في السابق معقدة للغاية بطريقة يسهل الوصول إليها ومفهومة.

لتحديث ذاكرتك بالتعريفات والمفاهيم الأساسية حول زوايا ومركز الدائرة المحددة حول المضلع، بالإضافة إلى النظريات المتعلقة بأطوال المقاطع، يحتاج الخريجون فقط إلى الانتقال إلى قسم "المساعدة النظرية". لقد قمنا هنا بنشر المواد التي جمعها موظفونا ذوو الخبرة خصيصًا للطلاب الذين يعانون من مستويات مختلفةتحضير.

لتعزيز المعلومات المستفادة، يمكن لطلاب المدارس الثانوية ممارسة التمارين. على البوابة التعليميةيقدم "Shkolkovo" في قسم "الكتالوج" قاعدة بيانات كبيرة من المهام ذات التعقيد المتفاوت للحد الأقصى إعداد فعالإلى امتحان الدولة الموحدة. تحتوي كل مهمة على الموقع على خوارزمية الحل والإجابة الصحيحة. يتم تحديث قاعدة بيانات تمارين شكولكوفو بانتظام واستكمالها.

يتدرب الطلاب من موسكو ودول أخرى على إكمال المهام على موقعنا المدن الروسيةيمكن القيام به عبر الإنترنت. إذا لزم الأمر، يمكن حفظ أي تمرين في قسم "المفضلة". في المستقبل، سيكون من الممكن العودة إلى هذه المهمة، على سبيل المثال، مناقشة الخوارزمية لحلها معلم المدرسةأو المعلم.