توسيع وظيفة إلى سلسلة تايلور وماكلورين ولوران في موقع للتدريب على المهارات العملية. يسمح هذا التوسع المتسلسل للدالة لعلماء الرياضيات بتقدير القيمة التقريبية للدالة في مرحلة ما في مجال تعريفها. من الأسهل بكثير حساب قيمة الدالة هذه مقارنةً باستخدام جدول Bredis، الذي لا أهمية له في هذا القرن تكنولوجيا الكمبيوتر. إن توسيع الدالة إلى سلسلة تايلور يعني حساب المعاملات من قبل وظائف خطيةهذه السلسلة واكتب فيها الشكل الصحيح. يخلط الطلاب بين هاتين السلسلتين، ولا يفهمون ما هو حالة عامة، وما هي الحالة الخاصة بالثانية. نذكركم مرة واحدة وإلى الأبد بسلسلة ماكلورين - حالة خاصةمتسلسلة تايلور، أي هذه هي متسلسلة تايلور، ولكن عند النقطة x = 0. جميع الإدخالات الموجزة لتوسيع الدوال المعروفة، مثل e^x، وSin(x)، وCos(x) وغيرها، هي توسعات سلسلة تايلور، ولكن عند النقطة 0 للوسيطة. بالنسبة لوظائف الوسيطة المعقدة، تعد سلسلة لوران هي المشكلة الأكثر شيوعًا في TFCT، لأنها تمثل سلسلة لا نهائية ذات وجهين. إنه مجموع سلسلتين. نقترح عليك الاطلاع على مثال للتحليل مباشرة على الموقع؛ وهذا أمر سهل للغاية من خلال النقر على "مثال" مع أي رقم، ثم زر "الحل". إن هذا التوسيع للدالة إلى سلسلة يرتبط بسلسلة كبرى على وجه التحديد هو الذي يحد من الوظيفة الأصلية في منطقة معينة على طول المحور الإحداثي إذا كان المتغير ينتمي إلى منطقة الإحداثيات. تحليل المتجهاتتتم مقارنة تخصص آخر مثير للاهتمام في الرياضيات. وبما أن كل مصطلح يحتاج إلى دراسة، فإن العملية تتطلب الكثير من الوقت. يمكن ربط أي متسلسلة تايلور مع متسلسلة ماكلورين عن طريق استبدال x0 بصفر، لكن بالنسبة لمتسلسلة ماكلورين، لا يكون من الواضح في بعض الأحيان تمثيل متسلسلة تايلور في الاتجاه المعاكس. بغض النظر عن مقدار ما هو مطلوب للقيام به شكل نقيولكنها مثيرة للاهتمام لتطوير الذات بشكل عام. تتوافق كل سلسلة لوران مع سلسلة قوى لا نهائية ذات وجهين في أعداد صحيحة القوى ض-أبمعنى آخر، سلسلة من نفس نوع تايلور، ولكنها مختلفة قليلاً في حساب المعاملات. سنتحدث عن منطقة التقارب لمتسلسلة لوران بعد قليل، بعد عدة حسابات نظرية. كما هو الحال في القرن الماضي، لا يمكن تحقيق توسيع الدالة خطوة بخطوة إلى سلسلة ببساطة عن طريق تقليل الحدود إلى القاسم المشترك، لأن الوظائف في المقامات غير خطية. حساب تقريبي أهمية وظيفيةيتطلب تحديد المهام. فكر في حقيقة أنه عندما تكون وسيطة متسلسلة تايلور متغيرًا خطيًا، فإن التوسيع يحدث في عدة خطوات، لكن الصورة مختلفة تمامًا عندما تكون وسيطة الدالة التي يتم توسيعها دالة معقدة أو غير خطية، فإن عملية يعد تمثيل مثل هذه الوظيفة في سلسلة القوى أمرًا واضحًا، لأنه بهذه الطريقة، من السهل الحساب، وإن كانت قيمة تقريبية، في أي نقطة في منطقة التعريف، مع الحد الأدنى من الخطأ الذي ليس له تأثير يذكر على الحسابات الإضافية. وينطبق هذا أيضًا على سلسلة ماكلورين. عندما تحتاج إلى تقييم وظيفة في نقطة الصفر. ومع ذلك، فإن سلسلة لوران نفسها ممثلة هنا بتوسيع على المستوى بوحدات خيالية. كما أنها لن تكون بدون نجاح القرار الصحيحالمهام خلال عملية عامة. وهذا المنهج غير معروف في الرياضيات، لكنه موجود موضوعيا. ونتيجة لذلك، يمكنك التوصل إلى استنتاج ما يسمى بالمجموعات الفرعية النقطية، وفي توسيع دالة في سلسلة، تحتاج إلى استخدام الأساليب المعروفة لهذه العملية، مثل تطبيق نظرية المشتقات. مرة أخرىنحن مقتنعون بأن المعلم على حق، الذي وضع افتراضاته حول نتائج الحسابات ما بعد الحسابية. نلاحظ أن سلسلة تايلور، التي تم الحصول عليها وفقا لجميع شرائع الرياضيات، موجودة ويتم تعريفها على المحور العددي بأكمله، ومع ذلك، أعزائي مستخدمي خدمة الموقع، لا تنسوا نوع الوظيفة الأصلية، لأنها قد تتحول أنه من الضروري في البداية تحديد مجال تعريف الوظيفة، أي كتابة واستبعاد تلك النقاط التي لم يتم تعريف الوظيفة فيها في المنطقة من مزيد من الدراسة أرقام حقيقية. إذا جاز التعبير، سيظهر هذا كفاءتك في حل المشكلة. لن يكون إنشاء سلسلة Maclaurin بقيمة وسيطة صفرية استثناءً لما قيل. لم يتم إلغاء عملية العثور على مجال تعريف الدالة، ويجب عليك التعامل مع هذا الأمر بكل جدية عملية رياضية. وفي حالة احتواء متسلسلة لوران على الجزء الرئيسي، فإن المعلمة "a" ستسمى نقطة مفردة معزولة، وسيتم تمديد متسلسلة لوران على شكل حلقة - وهذا هو تقاطع مناطق التقاء أجزائها، وبالتالي سوف تتبع النظرية المقابلة. ولكن ليس كل شيء معقدًا كما قد يبدو للوهلة الأولى لطالب عديم الخبرة. بعد أن درست سلسلة تايلور، يمكنك بسهولة فهم سلسلة لوران - وهي حالة عامة لتوسيع مساحة الأرقام. لا يمكن تنفيذ أي توسيع متسلسل للدالة إلا عند نقطة في مجال تعريف الوظيفة. ينبغي أن تؤخذ في الاعتبار خصائص الوظائف مثل الدورية أو التفاضل اللانهائي. نقترح عليك أيضًا استخدام جدول توسعات سلسلة تايلور الجاهزة وظائف أولية، نظرًا لأنه يمكن تمثيل دالة واحدة بما يصل إلى العشرات من سلاسل القوى المختلفة، كما يمكن رؤيته من استخدام الآلة الحاسبة الخاصة بنا على الإنترنت. سلسلة على الانترنتيعد تحديد Maclaurin أمرًا سهلاً مثل قصف الكمثرى، إذا كنت تستخدم الخدمة الفريدة للموقع، فأنت تحتاج فقط إلى إدخال الوظيفة المكتوبة الصحيحة وستتلقى الإجابة المقدمة في غضون ثوانٍ، وسيتم ضمان أن تكون دقيقة وبمستوى قياسي شكل مكتوب. يمكنك نسخ النتيجة مباشرة إلى نسخة نظيفة لتقديمها إلى المعلم. سيكون من الصحيح أن نحدد أولاً تحليل الوظيفة المعنية في الحلقات، ثم نذكر بشكل لا لبس فيه أنها قابلة للتوسيع في سلسلة لوران في كل هذه الحلقات. من المهم عدم إغفال المحتويات القوى السلبيةأعضاء سلسلة لوران. ركز على هذا قدر الإمكان. الاستفادة من نظرية لوران بشأن توسيع الدالة في قوى الأعداد الصحيحة.
للطلاب الرياضيات العلياويجب أن يعلم أن مبلغاً معيناً سلسلة السلطة، التي تنتمي إلى فترة التقارب للمتسلسلة المعطاة لنا، تبين أنها عدد مستمر وغير محدود من المرات وظيفة متباينة. السؤال الذي يطرح نفسه: هل يمكن القول أن المعطى وظيفة تعسفية f(x) هو مجموع بعض متسلسلة القوى؟ بمعنى، تحت أي ظروف يمكن تصوير الدالة f(x)؟ سلسلة السلطة؟ تكمن أهمية هذا السؤال في حقيقة أنه من الممكن استبدال الدالة f(x) تقريبًا بمجموع الحدود القليلة الأولى لسلسلة القوى، أي متعددة الحدود. استبدال هذه الوظيفة تماما تعبير بسيط- متعدد الحدود - مناسب أيضًا عند حل مشكلات معينة، وهي: عند حل التكاملات، عند الحساب، وما إلى ذلك.
لقد ثبت أنه بالنسبة لدالة معينة f(x)، يمكن من خلالها حساب المشتقات حتى الترتيب (n+1)، بما في ذلك الأخير، في محيط (α - R; x 0 + R ) بعض النقطة x = α، صحيح أن الصيغة:
سميت هذه الصيغة على اسم العالم الشهير بروك تايلور. السلسلة التي تم الحصول عليها من السلسلة السابقة تسمى متسلسلة ماكلورين:
القاعدة التي تجعل من الممكن إجراء توسيع في سلسلة Maclaurin:
- تحديد مشتقات الأوامر الأولى والثانية والثالثة.
- احسب ما تساويه المشتقات عند x=0.
- اكتب متسلسلة ماكلورين لهذه الدالة، ثم حدد فترة تقاربها.
- تحديد الفاصل الزمني (-R;R)، حيث بقية صيغة ماكلورين
R n (x) -> 0 عند n -> ما لا نهاية. إذا كان أحدها موجودًا، فيجب أن تتطابق الدالة f(x) فيه مع مجموع متسلسلة ماكلورين.
دعونا الآن نتناول متسلسلة ماكلورين للدوال الفردية.
1. إذن، الأول سيكون f(x) = e x. بالطبع، من خلال خصائصها، تحتوي هذه الدالة على مشتقات ذات ترتيبات مختلفة جدًا، و f (k) (x) = e x ، حيث k يساوي الكل x = 0. نحصل على f (k) (0) = e 0 =1، k = 1,2... وبناء على ما سبق فإن المتسلسلة e x ستبدو بالشكل التالي:
2. متسلسلة ماكلورين للدالة f(x) = sin x. دعونا نوضح على الفور أن الدالة لجميع المجهولات سيكون لها مشتقات، بالإضافة إلى ذلك، f "(x) = cos x = sin(x+n/2)، f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2)، حيث k يساوي أي عدد طبيعي. أي أنه بعد إجراء حسابات بسيطة، يمكننا أن نستنتج أن المتسلسلة الخاصة بـ f(x) = sin x ستكون بالشكل التالي:
3. الآن دعونا نحاول النظر في الدالة f(x) = cos x. لجميع المجهولات لديها مشتقات ترتيب تعسفي، و |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
لذلك قمنا بإدراج أهم الدوال التي يمكن توسيعها في متسلسلة ماكلورين، إلا أنها تكملها متسلسلة تايلور لبعض الدوال. الآن سوف نقوم بإدراجهم. ومن الجدير بالذكر أيضًا أن متسلسلة تايلور وماكلورين تعد جزءًا مهمًا من العمل العملي على حل المتسلسلة في الرياضيات العليا. لذلك، سلسلة تايلور.
1. الأول سيكون سلسلة الدالة f(x) = ln(1+x). كما في الأمثلة السابقة، بالنسبة إلى f(x) = ln(1+x) يمكننا جمع المتسلسلة باستخدام الصيغة العامة لمتسلسلة ماكلورين. ومع ذلك، لهذه الوظيفة يمكن الحصول على سلسلة ماكلورين بشكل أكثر بساطة. بعد دمج سلسلة هندسية معينة، نحصل على متسلسلة f(x) = ln(1+x) لهذه العينة:
2. والثانية، والتي ستكون نهائية في مقالتنا، ستكون المتسلسلة f(x) = arctan x. بالنسبة لـ x التي تنتمي إلى الفاصل الزمني [-1;1] يكون التوسيع صالحًا:
هذا كل شيء. تتناول هذه المقالة سلسلة تايلور وماكلورين الأكثر استخدامًا في الرياضيات العليا، خاصة في جامعات الاقتصاد والتقنية.
إذا كانت الوظيفة و (خ)لديه على بعض الفاصل الزمني الذي يحتوي على هذه النقطة أ، مشتقات جميع الرتب، فيمكن تطبيق صيغة تايلور عليها:
أين ص ن- ما يسمى بالحد المتبقي أو بقية السلسلة، ويمكن تقديره باستخدام صيغة لاغرانج:
حيث يقع الرقم x بين Xو أ.
إذا كان لبعض القيمة س ص ن®0 في ن®¥، ففي النهاية تتحول صيغة تايلور إلى صيغة متقاربة لهذه القيمة سلسلة تايلور:
وبالتالي فإن الوظيفة و (خ)يمكن توسيعها إلى سلسلة تايلور عند النقطة المعنية X، لو:
1) لديها مشتقات من جميع الطلبات؛
2) تتقارب السلسلة المبنية عند هذه النقطة.
في أ=0 نحصل على سلسلة تسمى بالقرب من ماكلورين:
مثال 1 و(خ)= 2س.
حل. دعونا نجد قيم الدالة ومشتقاتها في X=0
و (خ) = 2س, و( 0) = 2 0 =1;
و ™ (خ) = 2س ln2, و ™ ( 0) = 2 0 ln2=ln2;
و ™ ™ (خ) = 2سرقم 2 2, و ™ ™ ( 0) = 2 0 قانون الجنسية 2 2= قانون الجنسية 2 2;
و(ن)(خ) = 2س ln ن 2, و (ن)( 0) = 2 0 ln ن 2=ln ن 2.
باستبدال قيم المشتقات التي تم الحصول عليها في صيغة سلسلة تايلور، نحصل على:
نصف قطر تقارب هذه المتسلسلة يساوي ما لا نهاية، وبالتالي فإن هذا التوسع صالح لـ -¥<س<+¥.
مثال 2 X+4) للوظيفة و(خ)=ه س.
حل. إيجاد مشتقات الدالة ه سوقيمها عند هذه النقطة X=-4.
و (خ)= ه س, و(-4) = ه -4 ;
و ™ (خ)= ه س, و ™ (-4) = ه -4 ;
و ™ ™ (خ)= ه س, و ™ ™ (-4) = ه -4 ;
و(ن)(خ)= ه س, و (ن)( -4) = ه -4 .
لذلك، فإن سلسلة تايلور المطلوبة للدالة لها الشكل:
هذا التوسع صالح أيضًا لـ -¥<س<+¥.
مثال 3 . قم بتوسيع وظيفة و (خ)=ln سفي سلسلة في القوى ( X- 1),
(أي في سلسلة تايلور في محيط النقطة X=1).
حل. أوجد مشتقات هذه الدالة.
باستبدال هذه القيم في الصيغة، نحصل على سلسلة تايلور المطلوبة:
باستخدام اختبار دالمبيرت، يمكنك التحقق من أن المتسلسلة تتقارب عندما
½ X- 1½<1. Действительно,
تتقارب المتسلسلة إذا كانت ½ X- 1½<1, т.е. при 0<س<2. При X=2 نحصل على سلسلة متناوبة تفي بشروط معيار لايبنيز. في Xلم يتم تعريف الدالة =0. وبالتالي، فإن منطقة التقارب لمتسلسلة تايلور هي الفترة نصف المفتوحة (0;2).
دعونا نقدم التوسعات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة في سلسلة ماكلورين (أي في محيط النقطة X=0) لبعض الوظائف الأولية:
(2) 
,
(3) 
,
(يسمى التحلل الأخير سلسلة ذات الحدين)
مثال 4 . قم بتوسيع الوظيفة إلى سلسلة الطاقة
حل. وفي التوسعة (١) نستبدل Xعلى - X 2 نحصل على:
مثال 5
. قم بتوسيع الدالة في سلسلة Maclaurin 
حل. لدينا 
باستخدام الصيغة (4) يمكننا أن نكتب:
استبدال بدلا من ذلك Xفي الصيغة -X، نحصل على:
ومن هنا نجد:
بفتح الأقواس، وإعادة ترتيب حدود المتسلسلة وإحضار مصطلحات متشابهة، نحصل على
هذه السلسلة تتقارب في الفترة
(-1;1) حيث يتم الحصول عليها من سلسلتين تتقارب كل منهما في هذه الفترة.
تعليق .
يمكن أيضًا استخدام الصيغ (1) - (5) لتوسيع الوظائف المقابلة في سلسلة تايلور، أي. لتوسيع الوظائف في القوى الصحيحة الإيجابية ( ها). للقيام بذلك، من الضروري إجراء مثل هذه التحولات المتطابقة على وظيفة معينة من أجل الحصول على إحدى الوظائف (1) - (5)، والتي بدلا من ذلك Xالتكاليف ك( ها) m ، حيث k هو رقم ثابت، وm هو عدد صحيح موجب. غالبًا ما يكون من المناسب إجراء تغيير للمتغير ر=هاوقم بتوسيع الدالة الناتجة فيما يتعلق بـ t في سلسلة Maclaurin.
توضح هذه الطريقة النظرية الخاصة بتمديد سلسلة القوى للدالة. جوهر هذه النظرية هو أنه في جوار نفس النقطة لا يمكن الحصول على سلسلتين قوى مختلفتين تتقاربان في نفس الوظيفة، بغض النظر عن كيفية تنفيذ توسعها.
مثال 6 . قم بتوسيع الدالة في سلسلة تايلور في جوار نقطة ما X=3.
حل. يمكن حل هذه المشكلة كما في السابق باستخدام تعريف متسلسلة تايلور والتي نحتاج من أجلها إلى إيجاد مشتقات الدالة وقيمها عند X=3. ومع ذلك، سيكون من الأسهل استخدام التوسعة الحالية (5):
تتقارب السلسلة الناتجة عند 
أو -3<س- 3<3, 0<س< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
مثال 7
. اكتب متسلسلة تايلور بالقوى ( X-1) الوظائف 
.
حل.
تتقارب السلسلة عند 
أو -2< س 5 جنيهات إسترلينية.
16.1. توسيع الوظائف الأولية في سلسلة تايلور و
ماكلورين
دعونا نبين أنه إذا تم تعريف وظيفة تعسفية على مجموعة 
، بالقرب من النقطة 
له العديد من المشتقات وهو مجموع سلسلة القوى:
ثم يمكنك العثور على معاملات هذه السلسلة.
لنعوض في متسلسلة القوى 
. ثم 
.
دعونا نجد المشتقة الأولى للدالة 
:
في 
:
.
بالنسبة للمشتق الثاني نحصل على:
في 
:
.
الاستمرار في هذا الإجراء نبمجرد أن نحصل على: 
.
وهكذا حصلنا على متسلسلة قوى على الشكل:
,
الذي يسمى بجوار تايلورللوظيفة 
في محيط النقطة 
.
وهناك حالة خاصة من سلسلة تايلور سلسلة ماكلورينفي 
:
يتم الحصول على ما تبقى من سلسلة تايلور (ماكلورين) عن طريق التخلص من السلسلة الرئيسية نالأعضاء الأوائل ويشار إليه باسم 
. ثم الوظيفة 
يمكن كتابتها كمجموع نأول أعضاء السلسلة 
والباقي 
:,
.
والباقي عادة 
أعرب في صيغ مختلفة.
واحد منهم في شكل لاغرانج:
، أين 
.
.
لاحظ أنه في الممارسة العملية يتم استخدام سلسلة ماكلورين في كثير من الأحيان. وهكذا، من أجل كتابة الدالة 
في شكل مجموع متسلسلة القوى من الضروري:
1) أوجد معاملات متسلسلة ماكلورين (تايلور)؛
2) أوجد منطقة التقارب لمتسلسلة القوى الناتجة؛
3) أثبت أن هذه المتسلسلة متقاربة مع الدالة 
.
نظرية1
(شرط ضروري وكافي لتقارب متسلسلة ماكلورين). دع نصف قطر التقارب للسلسلة 
. لكي تتقارب هذه المتسلسلة في الفترة 
لتعمل 
، فمن الضروري والكافي لتحقيق الشرط: 
في الفاصل الزمني المحدد.
النظرية 2.إذا كانت المشتقات من أي ترتيب للوظيفة 
في فترة ما 
محدودة في القيمة المطلقة لنفس العدد م، إنه 
، ثم في هذه الفترة الدالة 
يمكن توسيعها إلى سلسلة ماكلورين.
مثال1
.
قم بالتوسيع في سلسلة تايلور حول النقطة 
وظيفة.
حل.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
منطقة التقارب 
.
مثال2
.
قم بتوسيع وظيفة 
في متسلسلة تايلور حول نقطة ما 
.
حل:
أوجد قيمة الدالة ومشتقاتها في 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
دعونا نضع هذه القيم على التوالي. نحصل على:
أو 
.
دعونا نجد منطقة التقارب لهذه السلسلة. وفقا لاختبار دالمبيرت، فإن المتسلسلة تتقارب إذا
.
لذلك، لأي 
وهذا الحد أقل من 1، وبالتالي فإن مدى تقارب المتسلسلة سيكون: 
.
دعونا نفكر في عدة أمثلة لتوسيع سلسلة ماكلورين للوظائف الأولية الأساسية. أذكر أن متسلسلة ماكلورين:
.
يتقارب على الفاصل الزمني 
لتعمل 
.
لاحظ أنه لتوسيع دالة إلى سلسلة فمن الضروري:
أ) أوجد معاملات متسلسلة ماكلورين لهذه الدالة؛
ب) حساب نصف قطر التقارب للسلسلة الناتجة؛
ج) إثبات أن المتسلسلة الناتجة تتقارب مع الدالة 
.
مثال 3.النظر في الوظيفة 
.
حل.
دعونا نحسب قيمة الدالة ومشتقاتها في 
.
ثم المعاملات العددية للسلسلة لها الشكل:
لأي شخص ن.لنعوض بالمعاملات الموجودة في متسلسلة ماكلورين ونحصل على: 
دعونا نجد نصف قطر التقارب للمتسلسلة الناتجة، وهي:
.
ولذلك فإن المتسلسلة تتقارب على الفترة 
.
هذه السلسلة تتقارب مع الوظيفة 
لأية قيم 
لأنه في أي فترة 
وظيفة 
ومشتقاته في القيمة المطلقة محدودة بالعدد 
.
مثال4
.
النظر في الوظيفة 
.
حل.
:
فمن السهل أن نرى أن المشتقات ذات الترتيب الزوجي 
، والمشتقات ذات ترتيب فردي. دعونا نستبدل المعاملات الموجودة في متسلسلة ماكلورين ونحصل على المفكوك:
دعونا نوجد فترة التقارب لهذه المتسلسلة. وفقًا لعلامة دالمبيرت:
لأي شخص 
. وبالتالي فإن المتسلسلة تتقارب على الفترة 
.
هذه السلسلة تتقارب مع الوظيفة 
لأن جميع مشتقاته تنحصر في الوحدة.
مثال5
.
.
حل.
دعونا نجد قيمة الدالة ومشتقاتها في 
:
وبالتالي فإن معاملات هذه السلسلة: 
و 
، لذلك:
على غرار الصف السابق، منطقة التقارب 
. تتقارب السلسلة إلى الوظيفة 
لأن جميع مشتقاته تنحصر في الوحدة.
يرجى ملاحظة أن الوظيفة 
التوسع الفردي والمتسلسل في القوى الفردية والوظيفة 
- حتى والتوسع في سلسلة في القوى حتى.
مثال6
.
سلسلة ذات الحدين: 
.
حل.
دعونا نجد قيمة الدالة ومشتقاتها في 
:
ومن هذا يتبين أن:
دعونا نستبدل قيم المعاملات هذه في متسلسلة ماكلورين ونحصل على توسيع هذه الدالة إلى متسلسلة قوى:
دعونا نجد نصف قطر التقارب لهذه السلسلة:
وبالتالي فإن المتسلسلة تتقارب على الفترة 
. عند نقاط الحد في 
و 
قد تتقارب السلسلة أو لا تتقارب اعتمادًا على الأس 
.
المتسلسلة المدروسة تتقارب على الفترة 
لتعمل 
، أي مجموع المتسلسلة 
في 
.
مثال7
.
دعونا نوسع الدالة في سلسلة ماكلورين 
.
حل.
لتوسيع هذه الدالة إلى سلسلة، نستخدم السلسلة ذات الحدين في 
. نحصل على: 
بناءً على خاصية متسلسلة القوى (يمكن تكامل متسلسلة القوى في منطقة تقاربها)، نجد تكامل الجانبين الأيسر والأيمن لهذه المتسلسلة:
فلنجد مساحة التقارب لهذه المتسلسلة: 
,
أي أن مساحة التقارب لهذه المتسلسلة هي الفترة 
. 
دعونا نحدد تقارب المتسلسلة عند طرفي الفترة. في 
. وهذه السلسلة هي سلسلة متناغمة، أي أنها متباعدة. في 
.
نحصل على سلسلة أرقام مع مصطلح مشترك 
.
تتقارب المتسلسلة حسب اختبار لايبنتز. ومن ثم، فإن منطقة التقارب لهذه المتسلسلة هي الفترة
16.2. تطبيق متسلسلة القوى في الحسابات التقريبية نفي الحسابات التقريبية، تلعب متسلسلة القوى دورًا مهمًا للغاية. وبمساعدتهم، تم تجميع جداول الدوال المثلثية، وجداول اللوغاريتمات، وجداول قيم الدوال الأخرى، والتي تستخدم في مختلف مجالات المعرفة، على سبيل المثال، في نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي. بالإضافة إلى ذلك، فإن توسيع الدوال إلى متسلسلة قوى مفيد لدراستهم النظرية. المشكلة الأساسية عند استخدام متسلسلة القوى في الحسابات التقريبية هي مسألة تقدير الخطأ عند استبدال مجموع المتسلسلة بمجموع أولها
أعضاء.
دعونا نفكر في حالتين:
يتم توسيع الوظيفة إلى سلسلة تبادل الإشارات؛
يتم توسيع الوظيفة إلى سلسلة من العلامات الثابتة.
الحساب باستخدام المتسلسلة المتناوبة 
دع الوظيفة 
توسعت إلى سلسلة الطاقة المتناوبة. ثم عند حساب هذه الدالة لقيمة محددة ننحصل على سلسلة أرقام يمكننا تطبيق معيار لايبنيز عليها. ووفقاً لهذا المعيار، إذا تم استبدال مجموع السلسلة بمجموع أولها 
.
مثال8
.
حيث أن الخطأ المطلق لا يتجاوز الحد الأول من بقية هذه السلسلة، وهو: 
احسب
حل.
بدقة 0.0001. 
سوف نستخدم سلسلة ماكلورين ل
، استبدال قيمة الزاوية بالراديان:
إذا قارنا الحدين الأول والثاني من السلسلة بدقة معينة، فإن: .
الفصل الثالث من التوسعة: 
أقل من دقة الحساب المحددة. لذلك، لحساب
.
فيكفي أن نترك فترتين من المتسلسلة، أي 
.
مثال9
.
حيث أن الخطأ المطلق لا يتجاوز الحد الأول من بقية هذه السلسلة، وهو: 
هكذا
حل.
بدقة 0.001. 
سوف نستخدم صيغة المتسلسلة ذات الحدين. للقيام بذلك، دعونا نكتب 
.
في النموذج: 
,
في هذا التعبير 
دعونا نقارن كل حد من حدود السلسلة بالدقة المحددة. ومن الواضح أن 
. لذلك، لحساب
أو 
.
ويكفي أن نترك ثلاثة حدود من السلسلة.
مثال10
.
الحساب باستخدام سلسلة إيجابية 
احسب الرقم
حل.
بدقة 0.001. 
على التوالي لوظيفة 
دعونا نستبدل
دعونا نقدر الخطأ الذي ينشأ عند استبدال مجموع السلسلة بمجموع السلسلة الأولى 
أعضاء. دعونا نكتب عدم المساواة الواضحة:
هذا هو 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
وفقا للمشكلة، تحتاج إلى العثور عليها نبحيث يحمل عدم المساواة التالية: 
أو 
.
من السهل التحقق من ذلك عندما ن= 6:
.
لذلك، 
.
مثال11
.
حيث أن الخطأ المطلق لا يتجاوز الحد الأول من بقية هذه السلسلة، وهو: 
بدقة 0.0001.
حل.
لاحظ أنه لحساب اللوغاريتمات يمكن استخدام سلسلة للدالة 
لكن هذه المتسلسلة تتقارب ببطء شديد، ولتحقيق الدقة المعطاة سيكون من الضروري أخذ 9999 حدًا! لذلك، لحساب اللوغاريتمات، كقاعدة عامة، يتم استخدام سلسلة للوظيفة 
، والتي تتقارب على الفاصل الزمني 
.
دعونا نحسب 
باستخدام هذه السلسلة. يترك 
، ثم 
.
لذلك، 
,
من أجل الحساب 
بدقة معينة، خذ مجموع المصطلحات الأربعة الأولى: 
.
بقية السلسلة 
دعونا نتخلص منه. دعونا نقدر الخطأ. من الواضح أن 
أو 
.
وبالتالي، في السلسلة التي تم استخدامها في الحساب، كان يكفي أخذ الحدود الأربعة الأولى فقط بدلاً من 9999 في السلسلة للدالة 
.
أسئلة التشخيص الذاتي
1. ما هي سلسلة تايلور؟
2. ما الشكل الذي كانت عليه متسلسلة ماكلورين؟
3. قم بصياغة نظرية حول مفكوك دالة في متسلسلة تايلور.
4. اكتب توسيع سلسلة ماكلورين للوظائف الرئيسية.
5. حدد مناطق التقارب للسلسلة المدروسة.
6. كيفية تقدير الخطأ في الحسابات التقريبية باستخدام متسلسلة القوى؟
إذا كانت الدالة f(x) تحتوي على مشتقات لجميع الطلبات في فترة معينة تحتوي على النقطة a، فيمكن تطبيق صيغة تايلور عليها:
,
أين ص ن- ما يسمى بالحد المتبقي أو بقية السلسلة، ويمكن تقديره باستخدام صيغة لاغرانج:
حيث يقع الرقم x بين x و a.
قواعد لإدخال الوظائف:
إذا كان لبعض القيمة X ص ن→0 في ن→∞، ثم في النهاية تصبح صيغة تايلور متقاربة لهذه القيمة سلسلة تايلور:
,
وبالتالي، يمكن توسيع الدالة f(x) إلى سلسلة تايلور عند النقطة x قيد النظر إذا:
1) لديها مشتقات من جميع الطلبات؛
2) تتقارب السلسلة المبنية عند هذه النقطة.
عندما يكون a = 0 نحصل على سلسلة تسمى بالقرب من ماكلورين:
,
توسيع أبسط الدوال (الابتدائية) في سلسلة ماكلورين:
الدوال الأسية
، ص=∞
الدوال المثلثية 
، ص=∞ 
، ص=∞
، (-π/2< x < π/2), R=π/2
الدالة actgx لا تتوسع في قوى x، لأن ctg0=∞
الدوال الزائدية
الدوال اللوغاريتمية
, -1
سلسلة ذات الحدين
.
المثال رقم 1. قم بتوسيع الوظيفة إلى سلسلة الطاقة و(خ)= 2س.
حل. دعونا نجد قيم الدالة ومشتقاتها في X=0
و (خ) = 2س, و( 0)
= 2 0
=1;
و"(خ) = 2س ln2, و"( 0)
= 2 0
ln2=ln2;
و""(خ) = 2سرقم 2 2, و""( 0)
= 2 0
قانون الجنسية 2 2= قانون الجنسية 2 2;
…
و(ن)(خ) = 2س ln ن 2, و (ن)( 0)
= 2 0
ln ن 2=ln ن 2.
باستبدال قيم المشتقات التي تم الحصول عليها في صيغة سلسلة تايلور، نحصل على:
نصف قطر تقارب هذه المتسلسلة يساوي ما لا نهاية، وبالتالي فإن هذا التوسع صالح لـ -∞<س<+∞.
المثال رقم 2. اكتب متسلسلة تايلور بالقوى ( X+4) للوظيفة و(خ)=ه س.
حل. إيجاد مشتقات الدالة ه سوقيمها عند هذه النقطة X=-4.
و (خ)= ه س, و(-4)
= ه -4
;
و"(خ)= ه س, و"(-4)
= ه -4
;
و""(خ)= ه س, و""(-4)
= ه -4
;
…
و(ن)(خ)= ه س, و (ن)( -4)
= ه -4
.
لذلك، فإن سلسلة تايلور المطلوبة للدالة لها الشكل:
هذا التوسيع صالح أيضًا لـ -∞<س<+∞.
المثال رقم 3. قم بتوسيع وظيفة و (خ)=ln سفي سلسلة في القوى ( X- 1),
(أي في سلسلة تايلور في محيط النقطة X=1).
حل. أوجد مشتقات هذه الدالة.
و (س) = lnx،،،،،،
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) ن-1 (ن-1)!
باستبدال هذه القيم في الصيغة، نحصل على سلسلة تايلور المطلوبة:
باستخدام اختبار دالمبرت، يمكنك التحقق من أن المتسلسلة تتقارب عند ½x-1½<1 . Действительно,
تتقارب المتسلسلة إذا كانت ½ X- 1½<1, т.е. при 0<س<2. При X=2 نحصل على سلسلة متناوبة تفي بشروط معيار لايبنيز. عندما x=0 لم يتم تعريف الوظيفة. وبالتالي، فإن منطقة التقارب لمتسلسلة تايلور هي الفترة نصف المفتوحة (0;2).
المثال رقم 4. قم بتوسيع الوظيفة إلى سلسلة الطاقة. المثال رقم 5. قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة Maclaurin. تعليق
.
تعتمد هذه الطريقة على نظرية تفرد توسيع دالة في سلسلة القوى. جوهر هذه النظرية هو أنه في جوار نفس النقطة لا يمكن الحصول على سلسلتين قوى مختلفتين تتقاربان في نفس الوظيفة، بغض النظر عن كيفية تنفيذ توسعها. المثال رقم 5أ. قم بتوسيع الدالة في متسلسلة ماكلورين وحدد منطقة التقارب. يمكن اعتبار الكسر 3/(1-3x) مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي بمقام 3x، إذا كان |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
المثال رقم 6. قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة تايلور بالقرب من النقطة x = 3. المثال رقم 7. اكتب متسلسلة تايلور بالقوى (x -1) للدالة ln(x+2) . المثال رقم 8. قم بتوسيع الدالة f(x)=sin(πx/4) إلى سلسلة تايلور بالقرب من النقطة x =2. المثال رقم 1. احسب ln(3) لأقرب 0.01. المثال رقم 2. احسب إلى أقرب 0.0001. المثال رقم 3. احسب التكامل ∫ 0 1 4 sin (x) x لـ 10 -5 . المثال رقم 4. احسب التكامل ∫ 0 1 4 e x 2 بدقة 0.001.
حل. في التوسعة (1) نستبدل x بـ -x2 فنحصل على:
, -∞
حل. لدينا
باستخدام الصيغة (4) يمكننا أن نكتب:
بالتعويض -x بدلاً من x في الصيغة نحصل على:
من هنا نجد: ln(1+x)-ln(1-x) = -
بفتح الأقواس، وإعادة ترتيب حدود المتسلسلة وإحضار مصطلحات متشابهة، نحصل على
. وتتقارب هذه المتسلسلة في الفترة (-1;1) حيث أنها تتحصل من سلسلتين تتقارب كل منهما في هذه الفترة.
يمكن أيضًا استخدام الصيغ (1) - (5) لتوسيع الوظائف المقابلة في سلسلة تايلور، أي. لتوسيع الوظائف في القوى الصحيحة الإيجابية ( ها). للقيام بذلك، من الضروري إجراء مثل هذه التحولات المتطابقة على وظيفة معينة من أجل الحصول على إحدى الوظائف (1) - (5)، والتي بدلا من ذلك Xالتكاليف ك( ها) m ، حيث k هو رقم ثابت، وm هو عدد صحيح موجب. غالبًا ما يكون من المناسب إجراء تغيير للمتغير ر=هاوقم بتوسيع الدالة الناتجة فيما يتعلق بـ t في سلسلة Maclaurin.
حل. أولا نجد 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
إلى الابتدائية:
بمنطقة التقارب |x|< 1/3.
حل. يمكن حل هذه المشكلة كما في السابق باستخدام تعريف متسلسلة تايلور والتي نحتاج من أجلها إلى إيجاد مشتقات الدالة وقيمها عند X=3. ومع ذلك، سيكون من الأسهل استخدام التوسعة الحالية (5):
=
تتقارب السلسلة الناتجة عند أو -3
حل.
تتقارب المتسلسلة عند , أو -2< x < 5.
حل. لنجعل الاستبدال t=x-2:
باستخدام التوسع (3)، الذي نستبدل فيه π / 4 t بدلاً من x، نحصل على:
تتقارب السلسلة الناتجة إلى الدالة المعطاة عند -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞الحسابات التقريبية باستخدام سلسلة الطاقة
تُستخدم متسلسلات القوى على نطاق واسع في الحسابات التقريبية. بمساعدتهم، يمكنك حساب قيم الجذور والدوال المثلثية ولوغاريتمات الأرقام والتكاملات المحددة بدقة معينة. تُستخدم السلسلة أيضًا عند دمج المعادلات التفاضلية.
النظر في توسيع وظيفة في سلسلة الطاقة:
من أجل حساب القيمة التقريبية للدالة عند نقطة معينة X، التي تنتمي إلى منطقة التقاء السلسلة المشار إليها، بقيت الأوائل في توسعتها نأعضاء ( ن– عدد منتهٍ)، ويتم تجاهل الشروط المتبقية:
لتقدير خطأ القيمة التقريبية التي تم الحصول عليها، من الضروري تقدير الباقي المهمل rn (x) . للقيام بذلك، استخدم التقنيات التالية:
حل. لنستخدم التوسيع حيث x=1/2 (انظر المثال 5 في الموضوع السابق):
دعونا نتحقق مما إذا كان بإمكاننا تجاهل الباقي بعد الحدود الثلاثة الأولى للمفكوك؛ وللقيام بذلك، سنقيمه باستخدام مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي:
حتى نتمكن من التخلص من هذا الباقي والحصول على
حل. دعونا نستخدم سلسلة ذات الحدين. بما أن 5 3 هو مكعب العدد الصحيح الأقرب إلى 130، فمن المستحسن تمثيل الرقم 130 بالشكل 130 = 5 3 +5. 
نظرًا لأن الفصل الرابع من السلسلة المتناوبة الناتجة التي تفي بمعيار لايبنيز أقل من الدقة المطلوبة:
، لذلك يمكن التخلص منه والمصطلحات التالية له.
لا يمكن حساب العديد من التكاملات المحددة أو غير الصحيحة الضرورية عمليًا باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز، لأن تطبيقها يرتبط بإيجاد مشتق عكسي، والذي غالبًا لا يكون له تعبير في الدوال الأولية. ويحدث أيضًا أن العثور على مشتق عكسي أمر ممكن، لكنه يتطلب عمالة كثيفة دون داع. ومع ذلك، إذا تم توسيع الدالة التكاملية إلى سلسلة قوى، وكانت حدود التكامل تنتمي إلى فترة تقارب هذه السلسلة، فمن الممكن إجراء حساب تقريبي للتكامل بدقة محددة مسبقًا.
حل. لا يمكن التعبير عن التكامل غير المحدد المقابل في وظائف أولية، أي. يمثل "تكاملاً غير دائم". لا يمكن تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز هنا. دعونا نحسب التكامل تقريبًا.
تقسيم مصطلح على المدى سلسلة للخطيئة سعلى س، نحصل على: 
وبتكامل هذه المتسلسلة حداً تلو الآخر (وهذا ممكن لأن حدود التكامل تنتمي إلى فترة تقارب هذه المتسلسلة)، نحصل على:
وبما أن السلسلة الناتجة تلبي شروط لايبنتز ويكفي أخذ مجموع الحدين الأولين للحصول على القيمة المطلوبة بدقة معينة.
وهكذا نجد 
.
حل.
. دعونا نتحقق مما إذا كان بإمكاننا التخلص من الباقي بعد الحد الثاني من السلسلة الناتجة.
0.0001<0.001. Следовательно, 
.