كيف يتم حل عدم المساواة. حل المتباينات الخطية

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

ماذا حدث "عدم المساواة التربيعية"؟لا شك!) إذا كنت تأخذ أيالمعادلة التربيعية واستبدال الإشارة الموجودة فيها "=" (يساوي) أي علامة متباينة ( > ≥ < ≤ ≠ )، نحصل على عدم المساواة التربيعية. على سبيل المثال:

1. × 2 -8س+12 ≥ 0

2. -س 2 +3x > 0

3. × 2 ≤ 4

حسنًا ، لقد فهمت ...)

ليس من قبيل الصدفة أنني قمت بربط المعادلات وعدم المساواة هنا. النقطة المهمة هي أن الخطوة الأولى في الحل أي عدم المساواة التربيعية - حل المعادلة التي يتكون منها هذا التباين.لهذا السبب - عدم القدرة على اتخاذ القرار المعادلات التربيعيةيؤدي تلقائيا إلى الفشل الكامل في عدم المساواة. هل التلميح واضح؟) إذا كان هناك أي شيء، فانظر إلى كيفية حل أي معادلات تربيعية. تم وصف كل شيء هناك بالتفصيل. وفي هذا الدرس سوف نتعامل مع عدم المساواة.

المتباينة الجاهزة للحل لها الشكل: على اليسار هو ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية الفأس 2 +بكس+ج، على اليمين - صفر.علامة عدم المساواة يمكن أن تكون أي شيء على الإطلاق. المثالين الأولين هنا مستعدون بالفعل لاتخاذ القرار.المثال الثالث لا يزال يحتاج إلى إعداد.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

على سبيل المثال، المتباينة هي التعبير \(x>5\).

أنواع عدم المساواة:

إذا كان \(a\) و \(b\) أرقامًا أو ، فسيتم استدعاء المتراجحة عددي. إنها في الواقع مجرد مقارنة رقمين. وتنقسم هذه التفاوتات إلى مخلصو غير مخلص.

على سبيل المثال:
\(-5<2\) - верное عدم المساواة العددية، لأن \(-5\) أقل حقًا من \(2\);

\(17+3\geq 115\) هي متباينة عددية غير صحيحة، نظرًا لأن \(17+3=20\)، و\(20\) أقل من \(115\) (وليس أكبر من أو يساوي) .

إذا كان \(a\) و\(b\) عبارة عن تعبيرات تحتوي على متغير، فلدينا عدم المساواة مع المتغير. تنقسم حالات عدم المساواة هذه إلى أنواع حسب المحتوى:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				متغير فقط للقوة الأولى
\(3x^2-x+5>0\)				يوجد متغير في القوة الثانية (المربع)، ولكن لا توجد قوى أعلى (الثالثة، الرابعة، الخ)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... وما إلى ذلك وهلم جرا.

ما هو الحل لعدم المساواة؟

إذا قمت باستبدال رقم بدلاً من متغير في متباينة، فسوف تتحول إلى متباينة رقمية.

إذا كانت قيمة معينة لـ x تحول المتباينة الأصلية إلى متباينة عددية حقيقية، فسيتم استدعاؤها حل عدم المساواة. إذا لم يكن الأمر كذلك، فإن هذه القيمة ليست حلا. و ل حل عدم المساواة- تحتاج إلى إيجاد جميع حلولها (أو إظهار عدم وجود أي منها).

على سبيل المثال،إذا عوضنا بالرقم \(7\) في المتراجحة الخطية \(x+6>10\)، فسنحصل على المتراجحة العددية الصحيحة: \(13>10\). وإذا عوضنا بـ \(2\)، فسيكون هناك متباينة عددية غير صحيحة \(8>10\). أي أن \(7\) هو حل للمتباينة الأصلية، لكن \(2\) ليس كذلك.

ومع ذلك، فإن المتراجحة \(x+6>10\) لها حلول أخرى. وبالفعل سنحصل على المتباينات العددية الصحيحة عند التعويض بـ \(5\) و\(12\) و\(138\)... وكيف يمكننا إيجاد الكل الحلول الممكنة؟ لهذا يستخدمون في حالتنا لدينا:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(س>4\)

أي أن أي عدد أكبر من أربعة مناسب لنا. الآن عليك أن تكتب الجواب. عادةً ما تتم كتابة حلول المتباينات عدديًا، بالإضافة إلى تمييزها على محور الأعداد بالتظليل. بالنسبة لحالتنا لدينا:

إجابة: \(x\in(4;+\infty)\)

متى تتغير علامة عدم المساواة؟

هناك فخ كبير في حالات عدم المساواة "يحب" الطلاب الوقوع فيه حقًا:

عند ضرب (أو قسمة) المتباينة في عدد سالب، يتم عكسها ("أكثر" بـ "أقل"، "أكثر أو يساوي" بـ "أقل من أو يساوي"، وهكذا)

لماذا يحدث هذا؟ لفهم ذلك، دعونا ننظر إلى تحويلات المتباينة العددية \(3>1\). هذا صحيح، ثلاثة بالفعل أكثر من واحد. أولا دعونا نحاول ضربه بأي رقم موجب، عدد إيجابي، على سبيل المثال، اثنان:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

وكما نرى، تظل المتباينة صحيحة بعد الضرب. وبغض النظر عن العدد الموجب الذي نضربه، فسنحصل عليه دائمًا عدم المساواة الحقيقية. الآن دعونا نحاول الضرب رقم سلبيعلى سبيل المثال، ناقص ثلاثة:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

والنتيجة هي متباينة غير صحيحة، لأن سالب تسعة أقل من سالب ثلاثة! وهذا يعني أنه لكي تصبح المتباينة صحيحة (وبالتالي، كان تحويل الضرب بالسالب "قانونيًا")، فأنت بحاجة إلى عكس علامة المقارنة، مثل هذا: \(−9)<− 3\).
مع القسمة، سيتم الأمر بنفس الطريقة، يمكنك التحقق من ذلك بنفسك.

تنطبق القاعدة المذكورة أعلاه على جميع أنواع المتباينات، وليس فقط على المتباينات العددية.

مثال: حل المتراجحة \(2(x+1)-1).<7+8x\)
حل:

\(2س+2-1<7+8x\)	لننتقل \(8x\) إلى اليسار، و\(2\) و \(-1\) إلى اليمين، دون أن ننسى تغيير العلامات
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	دعونا نقسم طرفي المتراجحة على \(-6\)، دون أن ننسى التغيير من "أقل" إلى "أكثر"
	لنضع علامة على الفاصل الرقمي على المحور. عدم المساواة، لذلك "نستخرج" القيمة \(-1\) نفسها ولا نعتبرها إجابة
	لنكتب الإجابة على شكل فاصل زمني

إجابة: \(x\in(-1;\infty)\)

عدم المساواة والإعاقة

المتباينات، تمامًا مثل المعادلات، يمكن أن يكون لها قيود على قيم x. وبناء على ذلك، ينبغي استبعاد تلك القيم غير المقبولة وفقا لـ DZ من نطاق الحلول.

مثال: حل المتراجحة \(\sqrt(x+1)<3\)

حل: من الواضح أنه لكي يكون الجانب الأيسر أقل من \(3\)، يجب أن يكون التعبير الجذري أقل من \(9\) (بعد كل شيء، من \(9\) فقط \(3\)). نحن نحصل:

\(س+1<9\) \(|-1\)
\(س<8\)

الجميع؟ هل هناك أي قيمة لـ x أصغر من \(8\) تناسبنا؟ لا! لأنه إذا أخذنا، على سبيل المثال، القيمة \(-5\) التي يبدو أنها تناسب الشرط، فلن تكون حلاً للمتراجحة الأصلية، لأنها ستقودنا إلى حساب جذر عدد سالب.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

لذلك، يجب علينا أيضًا أن نأخذ في الاعتبار القيود المفروضة على قيمة X - فلا يمكن أن يكون هناك رقم سالب تحت الجذر. وبالتالي، لدينا المطلب الثاني لـ x:

\(س+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

ولكي يكون x هو الحل النهائي، يجب أن يلبي كلا الشرطين في وقت واحد: يجب أن يكون أقل من \(8\) (ليكون حلاً) وأكبر من \(-1\) (ليكون مقبولاً من حيث المبدأ). وبرسمها على خط الأعداد، نحصل على الإجابة النهائية:

إجابة: \(\يسار[-1;8\يمين)\)

لقد كان من الضروري مقارنة الكميات والكميات عند حل المسائل العملية منذ القدم. في الوقت نفسه، ظهرت كلمات مثل أكثر وأقل، أعلى وأقل، أخف وزنا وأثقل، أكثر هدوءا وأعلى صوتا، أرخص وأكثر تكلفة، وما إلى ذلك، مما يدل على نتائج مقارنة الكميات المتجانسة.

نشأت مفاهيم "أكثر وأقل" فيما يتعلق بإحصاء الأشياء وقياس الكميات ومقارنتها. على سبيل المثال، عرف علماء الرياضيات في اليونان القديمة أن ضلع أي مثلث أقل من مجموع الضلعين الآخرين وأن الضلع الأكبر يقع مقابل الزاوية الأكبر في المثلث. وقد أثبت أرخميدس أثناء حسابه للمحيط أن محيط أي دائرة يساوي ثلاثة أضعاف القطر مع زيادة أقل من سُبع القطر، ولكن أكثر من عشرة وسبعين مرة القطر.

اكتب بشكل رمزي العلاقات بين الأرقام والكميات باستخدام العلامتين > وb. السجلات التي يرتبط فيها رقمان بإحدى العلامات: > (أكبر من)، كما واجهت متباينات رقمية في الدرجات الأدنى. أنت تعلم أن عدم المساواة يمكن أن تكون صحيحة، أو يمكن أن تكون خاطئة. على سبيل المثال، \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) هي متباينة عددية صحيحة، و0.23 > 0.235 هي متباينة عددية غير صحيحة.

قد تكون المتباينات التي تنطوي على مجهولات صحيحة بالنسبة لبعض قيم المجهولات وكاذبة بالنسبة للآخرين. على سبيل المثال، المتراجحة 2x+1>5 صحيحة بالنسبة لـ x = 3، ولكنها خاطئة بالنسبة لـ x = -3. بالنسبة إلى عدم المساواة مع مجهول، يمكنك تعيين المهمة: حل عدم المساواة. يتم طرح وحل مشاكل حل عدم المساواة في الممارسة العملية بما لا يقل عن مشاكل حل المعادلات. على سبيل المثال، تتلخص العديد من المشكلات الاقتصادية في دراسة أنظمة عدم المساواة الخطية وحلها. في العديد من فروع الرياضيات، تعد المتباينات أكثر شيوعًا من المعادلات.

تعمل بعض المتباينات بمثابة الوسيلة المساعدة الوحيدة لإثبات أو دحض وجود كائن معين، على سبيل المثال، جذر المعادلة.

المتباينات العددية

يمكنك مقارنة الأعداد الصحيحة والكسور العشرية. تعرف على قواعد مقارنة الكسور العادية التي لها نفس المقامات لكن بسطها مختلف. بنفس البسط ولكن بمقامات مختلفة. ستتعلم هنا كيفية المقارنة بين أي رقمين من خلال إيجاد إشارة الفرق بينهما.

تستخدم مقارنة الأرقام على نطاق واسع في الممارسة العملية. على سبيل المثال، يقارن خبير اقتصادي المؤشرات المخططة بالمؤشرات الفعلية، ويقارن الطبيب درجة حرارة المريض بالمعدل الطبيعي، ويقارن الخباز أبعاد الجزء المشكل آليًا بالمعيار. وفي كل هذه الحالات، تتم مقارنة بعض الأرقام. نتيجة لمقارنة الأرقام، تنشأ عدم المساواة العددية.

تعريف.يكون الرقم a أكبر من الرقم b إذا كان الفرق a-b موجبًا. يكون الرقم a أقل من الرقم b إذا كان الفرق a-b سالبًا.

إذا كان أ أكبر من ب، يكتبون: أ > ب؛ إذا كانت a أقل من b، فإنهم يكتبون: a وبالتالي، فإن عدم المساواة a > b تعني أن الفرق a - b موجب، أي. أ - ب > 0. عدم المساواة أ لأي رقمين أ و ب، من العلاقات الثلاثة التالية أ > ب، أ = ب، أ لمقارنة الأرقام أ و ب يعني معرفة أي من العلامات >، = أو نظرية.إذا كان أ > ب و ب > ج، فإن أ > ج.

نظرية.إذا أضفت نفس العدد إلى طرفي المتراجحة، فلن تتغير إشارة المتراجحة.
عاقبة.يمكن نقل أي حد من جزء من المتراجحة إلى جزء آخر عن طريق تغيير إشارة هذا الحد إلى الطرف المقابل.

نظرية.إذا ضرب طرفا المتراجحة في نفس العدد الموجب، فإن إشارة المتراجحة لا تتغير. إذا ضرب طرفا المتراجحة في نفس العدد السالب، فإن إشارة المتراجحة ستتغير إلى العكس.
عاقبة.إذا كان طرفا المتراجحة مقسوما على نفس العدد الموجب، فإن إشارة المتراجحة لن تتغير. إذا كان طرفا المتراجحة مقسومين على نفس العدد السالب، فإن إشارة المتراجحة ستتغير إلى العكس.

هل تعرف أن المساواة العدديةيمكنك إضافة وضرب المصطلح حسب المصطلح. بعد ذلك، سوف تتعلم كيفية تنفيذ إجراءات مماثلة مع المتباينات. غالبًا ما يتم استخدام القدرة على إضافة وضرب أوجه عدم المساواة مصطلحًا بعد مصطلح في الممارسة العملية. تساعد هذه الإجراءات في حل مشكلات تقييم ومقارنة معاني التعبيرات.

عندما تقرر المهام المختلفةفي كثير من الأحيان يتعين عليك إضافة أو ضرب الجانبين الأيسر والأيمن من عدم المساواة مصطلحًا تلو الآخر. وفي الوقت نفسه، يقال أحيانًا إن أوجه عدم المساواة تتراكم أو تتضاعف. على سبيل المثال، إذا سار السائح أكثر من 20 كيلومترا في اليوم الأول، وأكثر من 25 كيلومترا في اليوم الثاني، فيمكننا القول أنه في يومين مشى أكثر من 45 كيلومترا. وبالمثل، إذا كان طول المستطيل أقل من 13 سم والعرض أقل من 5 سم، فيمكننا القول أن مساحة هذا المستطيل أقل من 65 سم2.

وعند النظر في هذه الأمثلة، تم استخدام ما يلي: نظريات جمع وضرب المتباينات:

نظرية.عند إضافة متباينات لنفس الإشارة، يتم الحصول على متباينة لنفس الإشارة: إذا كانت a > b و c > d، ثم a + c > b + d.

نظرية.عند ضرب المتباينات من نفس العلامة، التي يكون جانبها الأيمن والأيسر موجبًا، يتم الحصول على متباينة من نفس العلامة: إذا كانت a > b، c > d و a، b، c، d أرقامًا موجبة، ثم ac > bd.

المتباينات مع الإشارة > (أكبر من) و1/2، 3/4 ب، ج بالإضافة إلى العلامات عدم المساواة الصارمة> وبنفس الطريقة فإن المتراجحة \(a \geq b \) تعني أن الرقم a أكبر من أو يساوي b، أي أن a لا يقل عن b.

تسمى المتباينات التي تحتوي على علامة \(\geq \) أو علامة \(\leq \) غير صارمة. على سبيل المثال، \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) ليست متباينات صارمة.

جميع خصائص المتباينات الصارمة صالحة أيضًا للمتباينات غير الصارمة. علاوة على ذلك، إذا كانت العلامات > تعتبر معاكسة للمتباينات الصارمة، وأنت تعلم ذلك لحل المتسلسلة المشاكل التطبيقيةعليك إنشاء نموذج رياضي على شكل معادلة أو نظام معادلات. بعد ذلك، سوف تتعلم أن النماذج الرياضية لحل العديد من المسائل هي عدم المساواة مع المجهول. سنقدم مفهوم حل المتباينة ونوضح كيفية التحقق من ذلك رقم معينحل عدم المساواة محددة.

عدم المساواة في النموذج
\(ax > b، \quad ax حيث يوجد a وb أرقام معينة، وx غير معروف، ويسمى المتباينات الخطية مع مجهول واحد.

تعريف.حل المتباينة مع مجهول واحد هو قيمة المجهول الذي تصبح عنده هذه المتباينة متباينة عددية حقيقية. إن حل المتباينة يعني إيجاد جميع حلولها أو إثبات عدم وجود أي منها.

لقد قمت بحل المعادلات عن طريق اختصارها إلى أبسط المعادلات. وبالمثل، عند حل المتباينات، نحاول اختزالها، باستخدام الخصائص، إلى شكل متباينات بسيطة.

حل المتباينات من الدرجة الثانية بمتغير واحد

عدم المساواة في النموذج
\(ax^2+bx+c >0 \) و \(ax^2+bx+c حيث x متغير، a، b وc هي بعض الأرقام و \(a \neq 0 \)، تسمى متباينات من الدرجة الثانية بمتغير واحد.

حل عدم المساواة
\(ax^2+bx+c >0 \) أو \(ax^2+bx+c يمكن اعتبارها بمثابة فواصل زمنية تكون فيها الدالة \(y= ax^2+bx+c \) موجبة أو سالبة القيم للقيام بذلك، يكفي تحليل كيفية وضع الرسم البياني للدالة \(y= ax^2+bx+c\) في المستوى الإحداثي: حيث يتم توجيه فروع القطع المكافئ - لأعلى أو لأسفل، سواء يتقاطع القطع المكافئ مع المحور السيني، وإذا حدث ذلك، ففي أي نقطة.

خوارزمية حل متباينات الدرجة الثانية بمتغير واحد:
1) أوجد المميز ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية\(ax^2+bx+c\) ومعرفة ما إذا كان ثلاثي الحدود له جذور؛
2) إذا كان ثلاثي الحدود له جذور، فقم بوضع علامة عليها على المحور السيني ومن خلال النقاط المحددة ارسم قطعًا مكافئًا تخطيطيًا، يتم توجيه فروعه لأعلى لـ > 0 أو لأسفل لـ 0 أو في الأسفل لـ 3) ابحث عن الفواصل الزمنية على المحور السيني الذي تقع فيه النقاط المكافئة فوق المحور السيني (إذا حلت المتراجحة \(ax^2+bx+c >0\)) أو أسفل المحور السيني (إذا حلت المتراجحة عدم المساواة
\(ax^2+bx+c حل المتباينات باستخدام طريقة الفواصل

النظر في الوظيفة
و(س) = (س + 2)(س - 3)(س - 5)

مجال هذه الدالة هو مجموعة جميع الأرقام. أصفار الدالة هي الأرقام -2، 3، 5. وهي تقسم مجال تعريف الدالة إلى فترات \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) و \( (5; +\infty)\)

دعونا نتعرف على علامات هذه الدالة في كل فترة من الفترات المشار إليها.

التعبير (x + 2)(x - 3)(x - 5) هو حاصل ضرب ثلاثة عوامل. ويبين الجدول علامة كل عامل من هذه العوامل في الفترات قيد النظر:

بشكل عام، دع الدالة تُعطى بواسطة الصيغة
و(س) = (س-س 1)(س-س 2) ... (س-س ن)،
حيث x متغير، وx 1، x 2، ...، x n هي أرقام لا تساوي بعضها البعض. الأرقام x 1 , x 2 , ..., x n هي أصفار الدالة. في كل فترة من الفترات التي ينقسم فيها مجال التعريف إلى أصفار الدالة، يتم الحفاظ على إشارة الدالة، وعند المرور بالصفر تتغير علامتها.

يتم استخدام هذه الخاصية لحل عدم المساواة في النموذج
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) حيث x 1, x 2, ..., x n أرقام غير متساوية مع بعضها البعض

طريقة معتبرة يسمى حل المتباينات بالطريقة الفاصلة.

دعونا نعطي أمثلة على حل المتباينات باستخدام طريقة الفاصل.

حل عدم المساواة:

\(x(0.5-x)(x+4) من الواضح أن أصفار الدالة f(x) = x(0.5-x)(x+4) هي النقاط \(x=0, \; x= \ فارك(1)(2) ، \؛ x=-4 \)

نرسم أصفار الدالة على محور الأعداد ونحسب الإشارة في كل فترة:

نختار الفترات التي تكون فيها الدالة أقل من أو تساوي الصفر ونكتب الإجابة.

إجابة:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \يمين) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقوم بتقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تم جمعها من قبلنا معلومات شخصيةيسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بذلك عروض فريدة من نوعهاوالترقيات وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية مثل التدقيق وتحليل البيانات و دراسات مختلفةمن أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر، وفقا للقانون، الإجراء القضائي، الخامس محاكمةو/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

تعتبر عدم المساواة وأنظمة عدم المساواة أحد المواضيع التي يتم تناولها في هذا الكتاب المدرسة الثانويةفي الجبر. من حيث مستوى الصعوبة، فهو ليس الأصعب، لأنه يحتوي على قواعد بسيطة (المزيد عنها لاحقًا). كقاعدة عامة، يتعلم تلاميذ المدارس حل أنظمة عدم المساواة بسهولة تامة. ويرجع ذلك أيضًا إلى حقيقة أن المعلمين يقومون ببساطة "بتدريب" طلابهم على هذا الموضوع. ولا يمكنهم إلا أن يفعلوا ذلك، لأنه يتم دراسته في المستقبل باستخدام الآخرين الكميات الرياضيةويتم اختباره أيضًا في OGE وامتحان الدولة الموحدة. في الكتب المدرسيةتم تناول موضوع عدم المساواة وأنظمة عدم المساواة بتفصيل كبير، لذلك إذا كنت ستدرسه فمن الأفضل اللجوء إليهما. هذه المقالة تعيد سردها فقط مواد كبيرة، وقد يكون هناك بعض الإغفالات.

مفهوم نظام عدم المساواة

إذا لجأت إلى لغة علميةومن ثم يمكننا تحديد مفهوم "نظام عدم المساواة". هذا نموذج رياضي يمثل العديد من عدم المساواة. هذا النموذج يتطلب بالطبع حلاً، وسيكون هذا هو الجواب العام لجميع متباينات النظام المقترح في المهمة (عادةً ما يكون هذا مكتوبًا فيه، على سبيل المثال: "حل نظام المتباينات 4 x + 1 >" 2 و 30 - س > 6... "). ومع ذلك، قبل الانتقال إلى أنواع وطرق الحلول، عليك أن تفهم شيئا آخر.

أنظمة عدم المساواة وأنظمة المعادلات

في طور الدراسة موضوع جديدفي كثير من الأحيان ينشأ سوء الفهم. من ناحية، كل شيء واضح وتريد البدء في حل المهام في أقرب وقت ممكن، ولكن من ناحية أخرى، تظل بعض اللحظات في "الظل" وغير مفهومة بالكامل. كما أن بعض عناصر المعرفة المكتسبة بالفعل قد تتشابك مع عناصر جديدة. ونتيجة لهذا "التداخل" تحدث الأخطاء غالبًا.

لذلك، قبل أن نبدأ في تحليل موضوعنا، يجب أن نتذكر الاختلافات بين المعادلات والمتباينات وأنظمتها. وللقيام بذلك، علينا أن نوضح مرة أخرى ما تمثله البيانات. المفاهيم الرياضية. المعادلة دائمًا مساواة، وهي دائمًا تساوي شيئًا ما (في الرياضيات يُشار إلى هذه الكلمة بالعلامة "="). عدم المساواة هو نموذج تكون فيه إحدى القيم إما أكبر أو أقل من قيمة أخرى، أو تحتوي على بيان بأنها ليست متماثلة. وبالتالي، في الحالة الأولى، من المناسب الحديث عن المساواة، وفي الثانية، بغض النظر عن مدى وضوح ذلك من الاسم نفسه، حول عدم المساواة في البيانات الأولية. أنظمة المعادلات والمتباينات لا تختلف عمليا عن بعضها البعض وطرق حلها هي نفسها. والفرق الوحيد هو أنه في الحالة الأولى يتم استخدام المتباينات، وفي الحالة الثانية يتم استخدام المتباينات.

أنواع عدم المساواة

هناك نوعان من المتباينات: عددية ومتباينة ذات متغير غير معروف. النوع الأول يمثل القيم المقدمة (الأرقام) غير المتساوية مع بعضها البعض، على سبيل المثال، 8 > 10. أما النوع الثاني فهو المتباينات التي تحتوي على متغير غير معروف (يشار إليه ببعض الحروف) الأبجدية اللاتينية، في أغلب الأحيان X). يجب العثور على هذا المتغير. اعتمادًا على عدد المتباينات، يميز النموذج الرياضي بين المتباينات ذات متباينة واحدة (تشكل نظامًا من المتباينات بمتغير واحد) أو عدة متغيرات (تشكل نظامًا من المتباينات بمتغيرات متعددة).

وينقسم النوعان الأخيران حسب درجة بنائهما ومستوى تعقيد الحل إلى بسيط ومعقد. وتسمى تلك البسيطة أيضًا بعدم المساواة الخطية. وهم بدورهم ينقسمون إلى صارمين وغير صارمين. "يقول" الصارمون على وجه التحديد أن الكمية الواحدة يجب بالضرورة أن تكون أقل أو أكثر، لذلك هذا موجود شكل نقيعدم المساواة. يمكن إعطاء عدة أمثلة: 8 x + 9 > 2، 100 - 3 x > 5، إلخ. تتضمن الأمثلة غير الصارمة أيضًا المساواة. أي أن إحدى القيم يمكن أن تكون أكبر من أو تساوي قيمة أخرى (علامة "≥") أو أقل من أو تساوي قيمة أخرى (علامة "≥"). حتى في المتباينات الخطية، لا يكون المتغير عند الجذر أو التربيع أو قابلاً للقسمة على أي شيء، ولهذا السبب يطلق عليه "بسيط". تتضمن المتغيرات المعقدة متغيرات غير معروفة تتطلب التنفيذ للعثور عليها. أكثر عمليات رياضية. غالبًا ما توجد في مربع أو مكعب أو تحت جذر، ويمكن أن تكون معيارية أو لوغاريتمية أو كسرية وما إلى ذلك. ولكن بما أن مهمتنا هي الحاجة إلى فهم حل أنظمة عدم المساواة، فسنتحدث عن نظام عدم المساواة الخطية . ومع ذلك، قبل ذلك، ينبغي أن يقال بضع كلمات عن خصائصها.

خصائص عدم المساواة

تشمل خصائص عدم المساواة ما يلي:

1. يتم عكس علامة المتباينة إذا تم استخدام عملية لتغيير ترتيب الجوانب (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2، ثم t 2 ≥ t 1).
2. يتيح لك كلا طرفي المتراجحة إضافة نفس الرقم إلى نفسه (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2، فإن t 1 + رقم ≥ t 2 + رقم).
3. تسمح متباينتان أو أكثر بإشارة في نفس الاتجاه بإضافة ضلعيهما الأيسر والأيمن (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2، t 3 ≥ t 4، ثم t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. يمكن ضرب كلا جزأي المتراجحة أو قسمتهما على نفس الرقم الموجب (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2 ورقم ≥ 0، فإن الرقم · t 1 ≥ رقم · t 2).
5. وجود اثنين أو أكثر من عدم المساواة مصطلحات إيجابيةوعلامة نفس الاتجاه، تسمح بضرب نفسها ببعضها البعض (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2، t 3 ≥ t 4، t 1، t 2، t 3، t 4 ≥ 0 ثم t 1 t 3 ≥ ر 2 ر 4).
6. يسمح كلا جزأي المتراجحة بأن يتم ضربهما أو قسمتهما على نفس الرقم السالب، ولكن في هذه الحالة تتغير علامة المتراجحة (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2 ورقم ≥ 0، فإن الرقم · t 1 ≥ رقم · ر 2).
7. جميع المتباينات لها خاصية العبور (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2 و t 2 ≥ t 3، فإن t 1 ≥ t 3).

والآن، وبعد دراسة المبادئ الأساسية للنظرية المتعلقة بالمتباينات، يمكننا أن ننتقل مباشرة إلى النظر في قواعد حل أنظمتها.

حل أنظمة عدم المساواة. معلومات عامة. حلول

وكما ذكرنا أعلاه فإن الحل هو قيم المتغير المناسبة لجميع متباينات النظام المعطى. حل أنظمة عدم المساواة هو التنفيذ عمليات رياضيةمما يؤدي في النهاية إلى حل النظام بأكمله أو إثبات عدم وجود حلول له. في هذه الحالة، يقال أن المتغير يشير إلى فارغ مجموعة رقمية(مكتوب هكذا: حرف يدل على متغير∈ (علامة "ينتمي") ø (علامة "مجموعة فارغة")، على سبيل المثال، x ∈ ø (اقرأ: "المتغير "x" ينتمي إلى مجموعة فارغة"). هناك عدة طرق لحل أنظمة المتباينات: طريقة بيانية، جبرية، تعويضية. ومن الجدير بالذكر أنها من بين تلك الطرق النماذج الرياضية، والتي لديها العديد من المتغيرات غير المعروفة. وفي حالة وجود واحد فقط، تكون طريقة الفاصل مناسبة.

الطريقة الرسومية

يسمح لك بحل نظام من المتباينات بعدة كميات غير معروفة (من اثنين فما فوق). بفضل هذه الطريقة، يمكن حل نظام من المتباينات الخطية بسهولة وسرعة، لذا فهي الطريقة الأكثر شيوعًا. ويفسر ذلك حقيقة أن رسم الرسم البياني يقلل من كمية العمليات الحسابية المكتوبة. يصبح من الممتع بشكل خاص أخذ استراحة قصيرة من القلم والتقاط قلم رصاص باستخدام المسطرة والبدء في المزيد من الإجراءات بمساعدتهم عندما يتم إنجاز الكثير من العمل وتريد القليل من التنوع. لكن هذه الطريقةبعض الأشخاص لا يحبون ذلك لأنه يتعين عليهم الابتعاد عن المهمة وتبديل مهامهم نشاط عقلىللرسم. ومع ذلك، هذه طريقة فعالة للغاية.

حل نظام من عدم المساواة باستخدام طريقة الرسم، من الضروري نقل جميع شروط كل متباينة إلى الجهه اليسرى. سيتم عكس العلامات، ويجب كتابة الصفر على اليمين، ثم يجب كتابة كل متباينة على حدة. ونتيجة لذلك، سيتم الحصول على الوظائف من عدم المساواة. بعد ذلك، يمكنك إخراج قلم رصاص ومسطرة: الآن تحتاج إلى رسم رسم بياني لكل دالة تم الحصول عليها. ستكون مجموعة الأرقام الكاملة التي ستكون في فترة تقاطعها بمثابة حل لنظام المتباينات.

الطريقة الجبرية

يسمح لك بحل نظام من عدم المساواة بمتغيرين غير معروفين. كما يجب أن يكون هناك عدم المساواة بنفس الإشارةالمتباينات (أي يجب أن تحتوي إما على علامة "أكبر من" فقط، أو علامة "أقل من" فقط، وما إلى ذلك). وعلى الرغم من قيودها، إلا أن هذه الطريقة أكثر تعقيدًا أيضًا. يتم تطبيقه على مرحلتين.

الأول يتضمن إجراءات للتخلص من أحد المتغيرات غير المعروفة. تحتاج أولا إلى تحديده، ثم التحقق من وجود أرقام أمام هذا المتغير. إذا لم تكن موجودة (سيبدو المتغير كحرف واحد)، فلن نغير أي شيء، إذا كانت موجودة (سيكون نوع المتغير، على سبيل المثال، 5y أو 12y)، فمن الضروري إجراء ذلك التأكد من أن الرقم الموجود أمام المتغير المحدد هو نفسه في كل متباينة. للقيام بذلك، عليك ضرب كل حد من المتباينات في المضاعف المشتركعلى سبيل المثال، إذا تم كتابة 3y في المتباينة الأولى، و5y في الثانية، فمن الضروري ضرب جميع حدود المتباينة الأولى في 5 والثانية في 3. والنتيجة هي 15y و15y على التوالي.

المرحلة الثانية من الحل. ومن الضروري نقل الطرف الأيسر من كل متباينة إلى طرفها الأيمن، مع تغيير إشارة كل حد إلى عكسها، وكتابة صفر على اليمين. ثم يأتي الجزء الممتع: التخلص من المتغير المحدد (المعروف أيضًا باسم "التخفيض") مع إضافة المتباينات. وينتج عن هذا عدم المساواة بمتغير واحد يحتاج إلى حل. بعد ذلك، عليك أن تفعل الشيء نفسه، فقط مع متغير آخر غير معروف. النتائج التي تم الحصول عليها ستكون حل النظام.

طريقة الاستبدال

يسمح لك بحل نظام من عدم المساواة إذا كان من الممكن إدخال متغير جديد. عادةً، يتم استخدام هذه الطريقة عندما يتم رفع المتغير المجهول في أحد حدود المتراجحة إلى القوة الرابعة، ويتم تربيعه في الحد الآخر. وبالتالي، تهدف هذه الطريقة إلى تقليل درجة عدم المساواة في النظام. يتم حل متباينة العينة x 4 - x 2 - 1 ≥ 0 بهذه الطريقة. تم تقديم متغير جديد، على سبيل المثال t. يكتبون: "Let t = x 2"، ثم تتم إعادة كتابة النموذج بشكل جديد. في حالتنا، نحصل على t 2 - t - 1 ≥0. يجب حل هذه المتباينة باستخدام طريقة الفاصل الزمني (سنتحدث عن ذلك لاحقًا)، ثم العودة إلى المتغير X، ثم فعل الشيء نفسه مع المتباينة الأخرى. الإجابات المستلمة ستكون حل النظام.

طريقة الفاصل

هذه هي أبسط طريقة لحل أنظمة عدم المساواة، وهي في نفس الوقت عالمية وواسعة الانتشار. يتم استخدامه في المدارس الثانوية وحتى في المدارس العليا. يكمن جوهرها في حقيقة أن الطالب يبحث عن فترات عدم المساواة على خط الأعداد، والذي يتم رسمه في دفتر ملاحظات (هذا ليس رسمًا بيانيًا، ولكنه مجرد خط عادي به أرقام). حيثما تتقاطع فترات عدم المساواة، يتم العثور على حل النظام. لاستخدام طريقة الفاصل الزمني، عليك اتباع الخطوات التالية:

1. يتم نقل جميع حدود كل متباينة إلى الجانب الأيسر مع تغيير الإشارة إلى العكس (يتم كتابة الصفر على اليمين).
2. تتم كتابة المتباينات بشكل منفصل ويتم تحديد حل كل منها.
3. تم العثور على تقاطعات المتباينات على خط الأعداد. جميع الأرقام الموجودة في هذه التقاطعات ستكون حلاً.

ما هي الطريقة التي يجب أن أستخدمها؟

من الواضح أنه يبدو الأسهل والأكثر ملاءمة، ولكن هناك حالات تتطلب فيها المهام طريقة معينة. غالبًا ما يقولون أنك بحاجة إلى الحل إما باستخدام الرسم البياني أو طريقة الفاصل الزمني. نادرًا ما يتم استخدام الطريقة الجبرية والاستبدال أو لا يتم استخدامها على الإطلاق، لأنها معقدة ومربكة للغاية، بالإضافة إلى أنها تستخدم أكثر لحل أنظمة المعادلات بدلاً من عدم المساواة، لذلك يجب عليك اللجوء إلى رسم الرسوم البيانية والفواصل الزمنية. إنها توفر الوضوح الذي لا يمكن إلا أن يساهم في التنفيذ الفعال والسريع للعمليات الرياضية.

إذا لم ينجح شيء ما

أثناء دراسة موضوع معين في الجبر، من الطبيعي أن تنشأ مشاكل في فهمه. وهذا أمر طبيعي، لأن دماغنا مصمم بطريقة تجعله غير قادر على فهم المواد المعقدة دفعة واحدة. غالبًا ما تحتاج إلى إعادة قراءة فقرة ما، أو طلب المساعدة من أحد المعلمين، أو التدرب على حل مشكلة ما. المهام النموذجية. في حالتنا، تبدو على سبيل المثال كما يلي: "حل نظام المتباينات 3 x + 1 ≥ 0 و2 x - 1 > 3". وبالتالي، فإن الرغبة الشخصية والمساعدة من الغرباء والممارسة تساعد في فهم أي موضوع معقد.

حلالا؟

يعد كتاب الحلول أيضًا مناسبًا جدًا، ولكن ليس لنسخ الواجبات المنزلية، بل للمساعدة الذاتية. يمكنك العثور فيها على أنظمة عدم المساواة مع الحلول، والنظر إليها (كقوالب)، وحاول أن تفهم بالضبط كيف تعامل مؤلف الحل مع المهمة، ثم حاول أن تفعل الشيء نفسه بنفسك.

الاستنتاجات

الجبر هو واحد من أكثر مواضيع معقدةفي المدرسة. حسنا، ماذا يمكنك أن تفعل؟ لقد كانت الرياضيات دائمًا على هذا النحو: بالنسبة للبعض فهي سهلة، ولكنها صعبة بالنسبة للبعض الآخر. ولكن في أي حال، ينبغي أن نتذكر ذلك برنامج التعليم العاملقد تم تصميمه بطريقة يمكن لأي طالب التعامل معها. بالإضافة إلى ذلك، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار العدد الهائل من المساعدين. وقد ذكر البعض منهم أعلاه.