تعريف أحادية الحد. الحد من أحادية الحد إلى النموذج القياسي، والأمثلة، والحلول

التعريف 3.3. أحادية الحد يسمى تعبيرًا هو حاصل ضرب الأعداد والمتغيرات والقوى مؤشر طبيعي.

على سبيل المثال، كل تعبير من التعبيرات،
,
هو أحادي الحد.

يقولون أن monomial لديه عرض قياسي ، إذا كان يحتوي على عامل عددي واحد فقط في المقام الأول، ويتم تمثيل كل منتج من المتغيرات المتماثلة فيه بدرجة. يسمى العامل العددي لأحادية الحد المكتوبة بالصورة القياسية معامل أحادي الحد . بقوة أحادية الحد ويسمى مجموع الأسس لجميع متغيراته.

التعريف 3.4. متعدد الحدود يسمى مجموع أحاديات الحد. تسمى أحاديات الحد التي يتكون منها كثير الحدودأعضاء كثير الحدود .

تسمى المصطلحات المشابهة - أحادية الحد في كثير الحدود شروط مماثلة من كثير الحدود .

التعريف 3.5. كثير الحدود من النموذج القياسي تسمى كثيرة الحدود حيث يتم كتابة جميع الحدود في شكل قياسي ويتم إعطاء مصطلحات مماثلة.درجة كثير الحدود من الشكل القياسي ويسمى بأعظم قوى أحاديات الحد المتضمنة فيه.

على سبيل المثال، هي كثيرة الحدود بالشكل القياسي من الدرجة الرابعة.

الإجراءات على أحاديات الحد ومتعددات الحدود

يمكن تحويل مجموع كثيرات الحدود والفرق بينها إلى كثيرة حدود بالشكل القياسي. عند إضافة كثيرتي الحدود، يتم كتابة جميع حدودهما ويتم إعطاء مصطلحات مماثلة. عند الطرح، يتم عكس علامات جميع حدود كثيرة الحدود التي يتم طرحها.

على سبيل المثال:

يمكن تقسيم شروط كثيرة الحدود إلى مجموعات ووضعها بين قوسين. وبما أن هذا تحويل مطابق معكوس لفتح القوسين، فقد تم إنشاء ما يلي قاعدة بين قوسين: إذا وضعت علامة الزائد قبل القوسين، فإن جميع المصطلحات التي بين القوسين تكتب مع علاماتها؛ إذا وضعت علامة الطرح قبل القوسين، فإن جميع الحدود التي بين القوسين تكتب بعلامة معاكسة.

على سبيل المثال،

قاعدة ضرب كثير الحدود في كثير الحدود: لضرب كثير الحدود في كثير الحدود، يكفي ضرب كل حد من كثير حدود واحد في كل حد من كثير حدود آخر وإضافة المنتجات الناتجة.

على سبيل المثال،

التعريف 3.6. كثيرة الحدود في متغير واحد درجات يسمى تعبيرا عن النموذج

أين
- أي أرقام يتم الاتصال بها معاملات متعددة الحدود ، و
,- عدد صحيح غير سالب.

لو
، ثم المعامل مُسَمًّى المعامل الرئيسي لكثير الحدود
، أحادية الحد
- له عضو كبير معامل – عضو حر .

إذا بدلا من متغير إلى كثير الحدود
استبدال العدد الحقيقي ، فإن النتيجة ستكون عددا حقيقيا
الذي يسمى قيمة كثير الحدود
في
.

التعريف 3.7. رقم مُسَمًّىجذر كثير الحدود
، لو
.

فكر في قسمة كثيرة الحدود على كثيرة الحدود، حيث
و - الأعداد الطبيعية. القسمة ممكنة إذا كانت درجة توزيع كثير الحدود
لا درجة أقلكثير الحدود المقسوم عليه
، إنه
.

تقسيم كثيرة الحدود
إلى كثير الحدود
,
، يعني العثور على اثنين من هذه الحدود
و
، ل

في هذه الحالة، كثير الحدود
درجات
مُسَمًّى حاصل كثير الحدود ,
– الباقي ,
.

ملاحظة 3.2. إذا كان المقسوم عليه
–ليست كثيرة الحدود صفر، ثم القسمة
على
,
، ممكن دائمًا، ويتم تحديد الحاصل والباقي بشكل فريد.

ملاحظة 3.3. في حالة
أمام الجميع ، إنه

يقولون أنه كثير الحدود
منقسمة تماما(أو أسهم)إلى كثير الحدود
.

يتم إجراء تقسيم كثيرات الحدود بشكل مشابه لتقسيم الأعداد المكونة من أرقام متعددة: أولاً، يتم قسمة الحد الرئيسي لكثيرة الحدود المقسوم عليها على الحد الرئيسي لكثيرة الحدود المقسوم عليها، ثم حاصل قسمة هذه الحدود، والذي سيكون يتم ضرب الحد الرئيسي لكثيرة الحدود المقسوم عليه ويتم طرح المنتج الناتج من كثير الحدود المقسوم عليه. ونتيجة لذلك، يتم الحصول على كثير الحدود - تم العثور على الباقي الأول، الذي يتم تقسيمه على كثير الحدود المقسوم عليه بطريقة مماثلة، ويتم العثور على الحد الثاني من حاصل كثير الحدود. وتستمر هذه العملية حتى يتم الحصول على باقي صفر أو أن تكون درجة كثير الحدود المتبقي أقل من درجة كثير الحدود المقسوم عليه.

عند قسمة كثيرة الحدود على ذات الحدين، يمكنك استخدام مخطط هورنر.

مخطط هورنر

لنفترض أننا نريد تقسيم كثيرة الحدود

بواسطة ذات الحدين
. دعونا نشير إلى حاصل القسمة على أنها كثيرة الحدود

والباقي - . معنى ، معاملات متعددة الحدود
,
والباقي لنكتبها على الشكل التالي:

في هذا المخطط، كل من المعاملات
,
,
, …,تم الحصول عليها من التاريخ السابقخلاصة القول مضروبة في العدد وإضافة إلى النتيجة الناتجة الرقم المقابل في السطر العلوي فوق المعامل المطلوب. إذا أي درجة غائب في كثير الحدود، ثم المعامل المقابل يساوي الصفر. بعد تحديد المعاملات وفقا للمخطط المحدد، نكتب الحاصل

ونتيجة القسمة إذا
,

أو ،

لو
,

نظرية 3.1. من أجل جزء غير قابل للاختزال (

,

)كان جذر كثير الحدود
مع معاملات عدد صحيح، فمن الضروري أن الرقم كان مقسمًا للمصطلح الحر ، والرقم - مقسوم على المعامل الرئيسي .

نظرية 3.2. (نظرية بيزوت ) الباقي من تقسيم كثيرة الحدود
بواسطة ذات الحدين
يساوي قيمة كثير الحدود
في
، إنه
.

عند تقسيم كثير الحدود
بواسطة ذات الحدين
لدينا المساواة

وهذا صحيح، على وجه الخصوص، عندما
، إنه
.

مثال 3.2.قسمة على
.

حل.دعونا نطبق مخطط هورنر:

لذلك،

مثال 3.3.قسمة على
.

حل.دعونا نطبق مخطط هورنر:

لذلك،

,

مثال 3.4.قسمة على
.

حل.

ونتيجة لذلك نحصل

مثال 3.5.قسمة
على
.

حل.دعونا نقسم كثيرات الحدود حسب العمود:

ثم نحصل

.

في بعض الأحيان يكون من المفيد تمثيل كثيرة الحدود كمنتج متساوٍ لاثنين أو أكثر من كثيرات الحدود. يسمى هذا التحول في الهوية التخصيم كثير الحدود . دعونا نفكر في الطرق الرئيسية لهذا التحلل.

أخذ العامل المشترك من بين قوسين. من أجل تحليل كثيرة الحدود عن طريق إخراج العامل المشترك من الأقواس، يجب عليك:

1) أوجد العامل المشترك. للقيام بذلك، إذا كانت جميع معاملات كثيرة الحدود أعداد صحيحة، فإن القاسم المشترك المطلق الأكبر لجميع معاملات كثيرة الحدود يعتبر معامل العامل المشترك، ويتم أخذ كل متغير مدرج في جميع حدود كثيرة الحدود مع الأكبر الأس له في هذا كثير الحدود؛

2) أوجد حاصل القسمة نظرا متعدد الحدودبعامل مشترك

3) اكتب حاصل ضرب العامل العام والحاصل الناتج.

تجميع الأعضاء. عند تحليل كثيرة الحدود باستخدام طريقة التجميع، يتم تقسيم حدودها إلى مجموعتين أو أكثر بحيث يمكن تحويل كل واحدة منها إلى منتج، ويكون للنواتج الناتجة عامل مشترك. وبعد ذلك يتم استخدام طريقة وضع العامل المشترك بين قوسين للمصطلحات المحولة حديثا.

تطبيق صيغ الضرب المختصرة. في الحالات التي يتم فيها توسيع كثير الحدود إلى عوامل، لها شكل الجانب الأيمن من أي صيغة ضرب مختصرة؛ ويتم تحليلها باستخدام الصيغة المقابلة المكتوبة بترتيب مختلف.

يترك

، فإن ما يلي صحيح صيغ الضرب المختصرة:

ل :
لو غريب ( ):
نيوتن ذات الحدين: أين - عدد مجموعات بواسطة .

- إدخال أعضاء مساعدين جدد. تتمثل هذه الطريقة في استبدال كثيرة الحدود بكثيرة حدود أخرى تساويها بشكل مماثل، ولكنها تحتوي على عدد مختلف من الحدود، وذلك عن طريق إدخال حدين متقابلين أو استبدال أي حد بمجموع متساوٍ من أحاديات الحد المماثلة. يتم إجراء الاستبدال بطريقة يمكن من خلالها تطبيق طريقة تجميع المصطلحات على كثير الحدود الناتج.

مثال 3.6..

حل.تحتوي جميع حدود كثيرة الحدود على عامل مشترك
. لذلك،.

إجابة: .

مثال 3.7.

حل.نقوم بتجميع المصطلحات التي تحتوي على المعامل بشكل منفصل ، والمصطلحات التي تحتوي على . بين قوسين العوامل المشتركةالمجموعات فنحصل على:

.

إجابة:
.

مثال 3.8.عامل كثير الحدود
.

حل.وباستخدام صيغة الضرب المختصرة المناسبة نحصل على:

إجابة: .

مثال 3.9.عامل كثير الحدود
.

حل.باستخدام طريقة التجميع وصيغة الضرب المختصرة المقابلة نحصل على:

.

إجابة: .

مثال 3.10.عامل كثير الحدود
.

حل.سوف نستبدل على
، قم بتجميع المصطلحات، وتطبيق صيغ الضرب المختصرة:

.

إجابة:
.

مثال 3.11.عامل كثير الحدود

حل.لأن ،
,
، الذي - التي

درس حول موضوع: "الصيغة القياسية لمونومال. التعريف. أمثلة"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم. تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف السابع
الكتاب المدرسي الإلكتروني "الهندسة المفهومة" للصفوف 7-9
كتاب الوسائط المتعددة "الهندسة في 10 دقائق" للصفوف 7-9

أحادية الحد. تعريف

أحادية الحد- هذا التعبير الرياضي، وهو المنتج العامل الرئيسيومتغير واحد أو أكثر.

تشمل وحيدات الحد جميع الأعداد والمتغيرات وأسها الطبيعي:
42؛ 

3؛ 
0;  6 2 ;  2 3 ; 

ب 3 ؛ 

الفأس 4 ;  4x3 ;  5 أ 2 ؛ 

12xyz 3 .
في كثير من الأحيان يكون من الصعب تحديد ما إذا كان تعبير رياضي معين يشير إلى أحادية الحد أم لا. على سبيل المثال، $\frac(4a^3)(5)$. هل هذه أحادية الحد أم لا؟ للإجابة على هذا السؤال علينا تبسيط التعبير، أي. موجود في النموذج: $\frac(4)(5)*a^3$.
يمكننا أن نقول على وجه اليقين ذلك
هذا التعبير

- أحادية الحد
الشكل القياسي لمونوميال

عند الحساب، من المستحسن تقليل أحادي الحد إلى
عرض قياسي
. هذا هو التسجيل الأكثر إيجازًا ومفهومًا لمونوميال. الإجراء الخاص باختزال أحادي الحد إلى النموذج القياسي هو كما يلي: 1. اضرب معاملات وحيدة الحد (أو العوامل العددية) ثم ضع النتيجة الناتجة في المقام الأول.

2. حدد جميع القوى التي لها نفس قاعدة الحروف وقم بضربها.

عند الحساب، من المستحسن تقليل أحادي الحد إلى
3. كرر النقطة 2 لجميع المتغيرات.
أمثلة.

1. قم بتقليل الحد المعطى $3x^2zy^3*5y^2z^4$ إلى النموذج القياسي.

حل.

1. اضرب معاملات أحادية الحد $15x^2y^3z * y^2z^4$.

2. الآن دعونا نعطيالنموذج القياسي هو مجموع أسس جميع المتغيرات المدرجة في سجله؛ إذا لم تكن هناك متغيرات في تدوين أحادية الحد وكانت مختلفة عن الصفر، فيؤخذ في الاعتبار درجتها يساوي الصفر; يعتبر الرقم صفر أحادي الحد ودرجته غير محددة.

يتيح لك تحديد درجة أحادية الحد إعطاء أمثلة. درجة أحادية الحد a تساوي واحدًا، لأن a هي 1. قوة وحيدة الحد 5 هي صفر، لأنها ليست صفرًا وترميزها لا يحتوي على متغيرات. والحاصل 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 هو أحادي الحد من الدرجة الثامنة، حيث أن مجموع أسس جميع المتغيرات a وx وy يساوي 2+1+3+2=8.

بالمناسبة، درجة أحادية الحد غير المكتوبة بالصورة القياسية تساوي درجة أحادية الحد المقابلة لها في الصورة القياسية. لتوضيح ذلك، دعونا نحسب درجة أحادية الحد 3 × 2 ص 3 × (−2) × 5 ص. هذه الوحدة في الصورة القياسية لها الشكل −6·x 8 ·y 4، ودرجتها هي 8+4=12. وبالتالي، فإن درجة أحادية الحد الأصلية هي 12.

معامل أحادي الحد

وحيدة الحد في الصورة القياسية، والتي تحتوي على متغير واحد على الأقل في تدوينها، هي منتج بعامل عددي واحد - معامل عددي. ويسمى هذا المعامل معامل أحادي الحد. دعونا نقوم بصياغة الحجج المذكورة أعلاه في شكل تعريف.

1. اضرب معاملات أحادية الحد $15x^2y^3z * y^2z^4$.

معامل أحادي الحدهو العامل العددي لأحادية الحد المكتوبة بالشكل القياسي.

الآن يمكننا إعطاء أمثلة على معاملات أحادية الحد المختلفة. الرقم 5 هو معامل وحيدة الحد 5·a 3 حسب التعريف، وبالمثل فإن وحيدة الحد (−2,3)·x·y·z لها معامل −2,3.

تستحق معاملات وحيدات الحد، التي تساوي 1 و−1، اهتمامًا خاصًا. النقطة هنا هي أنها عادة لا تكون موجودة بشكل واضح في التسجيل. يُعتقد أن معامل أحاديات الحد بالشكل القياسي، والتي ليس لها عامل عددي في تدوينها، يساوي واحد. على سبيل المثال، وحيدات الحد a، x·z 3، a·t·x، إلخ. معاملها 1، حيث يمكن اعتبار a 1·a، x·z 3 - كـ 1·x·z 3، إلخ.

وبالمثل، فإن معامل أحاديات الحد، التي لا تحتوي مدخلاتها في الصورة القياسية على عامل عددي وتبدأ بعلامة الطرح، يعتبر سالبًا واحدًا. على سبيل المثال، وحيدات الحد −x، −x 3 y z 3، إلخ. لها معامل −1، منذ −x=(−1) x، −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3إلخ.

بالمناسبة، غالبًا ما يشار إلى مفهوم معامل وحيدة الحد على أنه أحاديات الحد بالشكل القياسي، وهي أرقام بدون عوامل حروف. تعتبر معاملات هذه الأرقام الأحادية الحد هي هذه الأرقام. لذلك، على سبيل المثال، يعتبر معامل وحيدة الحد 7 يساوي 7.

مراجع.

• الجبر:كتاب مدرسي للصف السابع التعليم العام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ تم تحريره بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة 17. - م: التربية، 2008. - 240 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-019315-3.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف السابع. الساعة 2 بعد الظهر الجزء 1. الكتاب المدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية/ أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة 17، إضافة. - م: منيموسين، 2013. - 175 ص: مريض. ردمك 978-5-346-02432-3.
• غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.

لاحظنا أن أي أحادي الحد يمكن أن يكون جلب إلى النموذج القياسي. في هذه المقالة سوف نفهم ما يسمى جلب أحادي الحد إلى النموذج القياسي، وما هي الإجراءات التي تسمح بتنفيذ هذه العملية، والنظر في حلول الأمثلة مع شرح مفصل.

التنقل في الصفحة.

ماذا يعني اختزال أحادي الحد إلى الشكل القياسي؟

من الملائم العمل مع أحاديات الحد عندما تكون مكتوبة في شكل قياسي. ومع ذلك، في كثير من الأحيان يتم تحديد أحاديات الحد في شكل مختلف عن النموذج القياسي. في هذه الحالات، يمكنك دائمًا الانتقال من أحادية الحد الأصلية إلى أحادية الحد للنموذج القياسي عن طريق إجراء تحويلات الهوية. تسمى عملية تنفيذ مثل هذه التحولات باختزال أحادية الحد إلى شكل قياسي.

دعونا نلخص الحجج المذكورة أعلاه. تقليل أحادية الحد إلى النموذج القياسي- وهذا يعني القيام بما يلي معه تحولات الهويةبحيث يأخذ الشكل القياسي .

كيفية إحضار monomial إلى النموذج القياسي؟

لقد حان الوقت لمعرفة كيفية تقليل أحاديات الحد إلى الشكل القياسي.

وكما هو معروف من التعريف، فإن وحيدات الحد ذات الشكل غير القياسي هي منتجات الأعداد والمتغيرات وقوىها، وربما تلك المتكررة. ويمكن أن تحتوي أحادية الشكل القياسي في تدوينها على رقم واحد فقط ومتغيرات غير متكررة أو قواها. الآن يبقى أن نفهم كيفية تحويل المنتجات من النوع الأول إلى النوع الثاني؟

للقيام بذلك تحتاج إلى استخدام ما يلي قاعدة اختزال أحادية الحد إلى الشكل القياسيتتكون من خطوتين:

• أولاً، يتم تنفيذ مجموعة من العوامل العددية، بالإضافة إلى المتغيرات المتطابقة وصلاحياتها؛
• ثانيا، يتم حساب منتج الأرقام وتطبيقه.

ونتيجة لتطبيق القاعدة المذكورة، سيتم تخفيض أي أحادية الحد إلى شكل قياسي.

أمثلة، حلول

كل ما تبقى هو معرفة كيفية تطبيق القاعدة من الفقرة السابقةعند حل الأمثلة

مثال.

اختزل أحادية الحد 3 × 2 × 2 إلى الشكل القياسي.

حل.

دعونا نجمع العوامل والعوامل العددية مع المتغير x. بعد التجميع، ستكون أحادية الحد الأصلية بالشكل (3·2)·(x·x 2) . حاصل ضرب الأعداد الموجودة بين القوسين الأولين يساوي 6، وقاعدة ضرب القوى به لنفس الأسبابيسمح بتمثيل التعبير الموجود بين القوسين الثانيين بالشكل x 1 +2=x 3. ونتيجة لذلك، نحصل على كثيرة الحدود من النموذج القياسي 6 × 3.

فيما يلي ملخص قصير للحل: 3 × 2 × 2 =(3 2) (س × 2)=6 × 3.

إجابة:

3 × 2 × 2 = 6 × 3.

لذا، لتحويل وحيدة الحد إلى صيغة قياسية، يجب أن تكون قادرًا على تجميع العوامل، وضرب الأرقام، والتعامل مع القوى.

لدمج المادة، دعونا نحل مثالًا آخر.

مثال.

قم بتقديم أحادية الحد في الصورة القياسية وحدد معاملها.

حل.

تحتوي أحادية الحد الأصلية على عامل عددي واحد في تدوينها -1، فلننقلها إلى البداية. بعد ذلك، نقوم بتجميع العوامل مع المتغير a بشكل منفصل، بشكل منفصل مع المتغير b، ولا يوجد ما يمكن تجميع المتغير به، فلنترك الأمر كما هو، لدينا . بعد إجراء العمليات على الدرجات بين قوسين، ستأخذ أحادية الحد الشكل القياسي الذي نحتاجه، والذي يمكننا من خلاله رؤية معامل أحادية الحد، الذي يساوي −1. يمكن استبدال علامة الطرح بعلامة الطرح: .