የተቀረጹ እና የተከበቡ አራት ማዕዘኖች እና ንብረቶቻቸው - ለተዋሃዱ የስቴት ፈተና በሂሳብ ለማዘጋጀት የሚረዱ ቁሳቁሶች። ከሦስት ማዕዘኑ ቀጥ ያለ ባለ አራት ጎን የተቆረጠበት መስፈርት በተወሰነ ክበብ ውስጥ ተቀርጿል

የተቀረጹ እና ክብ ቅርጽ ያላቸው ፖሊጎኖች፣

§ 106. የተፃፉ እና የተገለጹ ኳድሪያጎን ንብረቶች።

ቲዎሪ 1. ድምር ተቃራኒ ማዕዘኖችሳይክል አራት ማዕዘን እኩል ነው። 180°.

ባለ አራት ጎን ABCD በክበብ ውስጥ ከመሃል O ጋር ይፃፍ (ምሥል 412)። መሆኑን ማረጋገጥ ያስፈልጋል / ኤ+ / C = 180 ° እና / ቢ + / D = 180 °.

/ A፣ በክበብ O ውስጥ እንደተፃፈው፣ 1/2 BCD ይለካል።
/ ሐ፣ በተመሳሳይ ክበብ ውስጥ እንደተፃፈው፣ 1/2 BAD ይለካል።

ስለዚህ፣ የማዕዘን A እና C ድምር የሚለካው በ arcs BCD እና BAD ግማሽ ድምር ነው፤ በድምሩ፣ እነዚህ ቅስቶች ክብ ይሠራሉ፣ ማለትም 360° አላቸው።
ከዚህ / ኤ+ / ሐ = 360 °: 2 = 180 °.

በተመሳሳይ ሁኔታም ተረጋግጧል / ቢ + / D = 180 °. ሆኖም, ይህ በሌላ መንገድ ሊታወቅ ይችላል. መጠኑን እናውቃለን ውስጣዊ ማዕዘኖች ኮንቬክስ አራት ማዕዘንከ 360 ° ጋር እኩል ነው. የ A እና C ድምር ከ 180 ዲግሪ ጋር እኩል ነው, ይህም ማለት የሌሎቹ የአራት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር 180 ° ይቀራል.

ቲዎሪ 2(ተገላቢጦሽ)። በአራት ማዕዘን ውስጥ የሁለት ተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር እኩል ነው። 180° , ከዚያ እንደዚህ ባለ አራት ማዕዘን ዙሪያ አንድ ክበብ ሊገለጽ ይችላል.

የአራት ማዕዘን ABCD ተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር ከ 180 ° ጋር እኩል ይሁን ፣ ማለትም
/ ኤ+ / C = 180 ° እና / ቢ + / D = 180 ° (ስዕል 412).

እንደዚህ ባለ አራት ማዕዘን ዙሪያ አንድ ክበብ ሊገለጽ እንደሚችል እናረጋግጥ.

ማረጋገጫ. በዚህ ባለ አራት ማእዘን 3 ጫፎች በኩል ክብ መሳል ይችላሉ ፣ ለምሳሌ በነጥቦች A ፣ B እና C። ነጥብ D የት ይገኛል?

ነጥብ D አንዱን ብቻ ሊይዝ ይችላል። የሚቀጥሉት ሶስትአቀማመጦች: በክበቡ ውስጥ መሆን, ከክበብ ውጭ, በክበቡ ዙሪያ ላይ መሆን.

አከርካሪው በክበቡ ውስጥ እንዳለ እና ቦታውን እንደያዘ እናስብ D" (ምስል 413) ከዚያም በአራት ማዕዘን ABCD" ውስጥ ይኖረናል.

/ ቢ + / መ = 2 መ.

የሚቀጥለው የጎን AD" ከክብ ጋር ወደ መገናኛው ነጥብ E እና ነጥቦችን E እና C በማገናኘት ፣ ሳይክሊክ ባለአራት ጎን ABCE እናገኛለን ፣ እሱም በቀጥታ ንድፈ ሀሳብ።

/ B+ / ኢ = 2 መ.

ከእነዚህ ሁለት እኩልነቶች ውስጥ የሚከተለው ነው-

/ መ = 2 መ - / B;
/ ኢ=2 መ - / B;

/ D" = / ኢ፣

ግን ይህ ሊሆን አይችልም, ምክንያቱም / D" ከሦስት ማዕዘኑ ሲዲ"ኢ ውጫዊ አንፃር ከማዕዘን ሠ በላይ መሆን አለበት።ስለዚህ ነጥብ D በክበቡ ውስጥ ሊኖር አይችልም።

እንዲሁም ቬርቴክስ D ከክበቡ ውጭ ቦታን መውሰድ እንደማይችል ተረጋግጧል (ምሥል 414).

ቨርቴክስ ዲ በክበቡ ዙሪያ ላይ መተኛት እንዳለበት ማወቅ ይቀራል ፣ ማለትም ፣ ከ ነጥብ ኢ ጋር ይገጣጠማል ፣ ይህ ማለት አንድ ክበብ በአራት ጎን ABCD ዙሪያ ሊገለፅ ይችላል።

ውጤቶቹ። 1. አንድ ክበብ በማንኛውም አራት ማዕዘን ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል.

2. ዙሪያ isosceles trapezoidክብ መግለጽ ይችላል።

በሁለቱም ሁኔታዎች የተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር 180 ° ነው.

ቲዎሪ 3.በተገለፀው አራት ማዕዘን ውስጥ ድምር ተቃራኒ ጎኖችእኩል ናቸው. ባለአራት ጎን ABCD ስለ አንድ ክበብ ይገለጽ (ምሥል 415) ማለትም ጎኖቹ AB፣ BC፣ ሲዲ እና ዲኤ ለዚህ ክበብ የታጠቁ ናቸው።

AB + CD = AD + BC መሆኑን ለማረጋገጥ ያስፈልጋል። የጥንካሬ ነጥቦችን በ M ፣ N ፣ K ፣ P ፊደላት እንጥቀስ ። ከአንድ ነጥብ ወደ ክበብ በተሳሉ የታንጀሮች ባህሪዎች ላይ በመመስረት (§ 75) ፣ አለን።

AR = AK;
ቪአር = ቪኤም;
ዲኤን = ዲኬ;
CN = ሲ.ኤም.

እነዚህን እኩልነቶች በጊዜ ቃል እንጨምር። እናገኛለን፡-

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM፣

ማለትም AB + ሲዲ = AD + BC, ይህም መረጋገጥ ያስፈልገዋል.

መልመጃዎች.

1. በተቀረጸ አራት ማዕዘን ውስጥ ሁለት ተቃራኒ ማዕዘኖች በ 3: 5 ውስጥ,
እና ሌሎቹ ሁለቱ በ 4: 5 ጥምርታ ውስጥ ናቸው የእነዚህን ማዕዘኖች መጠን ይወስኑ.

2. በተገለፀው አራት ማዕዘን ውስጥ የሁለት ተቃራኒ ጎኖች ድምር 45 ሴ.ሜ ነው ቀሪዎቹ ሁለት ጎኖች በ 0.2: 0.3 ውስጥ ናቸው. የእነዚህን ጎኖች ርዝመት ይፈልጉ.

ሁሉም ጫፎች በክበቡ ላይ ከተኙ አንድ አራት ማዕዘን በክበብ ውስጥ ተቀርጿል.እንዲህ ዓይነቱ ክበብ በአራት ማዕዘን ዙሪያ የተከበበ ነው.

እያንዳንዱ አራት ማዕዘን በክበብ ዙሪያ ሊገለጽ እንደማይችል ሁሉ እያንዳንዱ አራት ማዕዘን በክበብ ውስጥ ሊቀረጽ አይችልም.

በክበብ ውስጥ የተቀረጸ ኮንቬክስ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ንብረቱ አለው ተቃራኒ ማዕዘኖቹ እስከ 180 ° ይጨምራሉ. ስለዚህ አራት ማዕዘን ABCD ከተሰጠ፣ በየትኛው አንግል ሀ ከ አንግል ሐ ተቃራኒ፣ እና አንግል B ከ አንግል D ተቃራኒ ከሆነ ∠A + ∠C = 180° እና ∠B + ∠D = 180°።

በአጠቃላይ አራት ማዕዘን አንድ ጥንድ ተቃራኒ ማዕዘኖች እስከ 180 ° ሲጨመሩ የሌሎቹ ጥንድ ተመሳሳይ መጠን ይጨምራሉ. ይህ በኮንቬክስ ኳድሪተራል ውስጥ የማዕዘኖቹ ድምር ሁልጊዜ ከ 360 ° ጋር እኩል ነው. በተራው, ይህ እውነታ ከዚህ እውነታ ይከተላል ኮንቬክስ ፖሊጎኖችየማዕዘን ድምር የሚወሰነው በቀመር 180 ° * (n - 2) ሲሆን n የማዕዘን (ወይም የጎን) ቁጥር ​​ነው።

የተቀረጸ ባለአራት ማዕዘን ንብረትን ማረጋገጥ ይችላሉ። በሚከተለው መንገድ. ባለአራት ጎን ABCD በክበብ O ውስጥ ይፃፍ። ያንን ∠B + ∠D = 180° ማረጋገጥ አለብን።

አንግል B በክበብ ውስጥ ተጽፏል. እንደሚታወቀው እንዲህ ዓይነቱ ማዕዘን ከግማሽ ጋር እኩል ነውየሚያርፍበት ቅስት. ውስጥ በዚህ ጉዳይ ላይአንግል B በ arc ADC ይደገፋል፣ ይህ ማለት ∠B = ½◡ADC ማለት ነው። (ቅስት በሚፈጥረው ራዲየስ መካከል ካለው አንግል ጋር እኩል ስለሆነ፣ ∠B = ½∠AOC፣ የውስጠኛው ክልል ነጥብ መ የያዘ መሆኑን መፃፍ እንችላለን።)

በሌላ በኩል፣ የኳድሪተራል ዲ አንግል በ arc ABC ላይ ያርፋል፣ ማለትም፣ ∠D = ½◡ABC።

የማዕዘኑ B እና D ጎኖች ክብውን በአንድ ነጥብ (A እና C) ስለሚያቆራኙት ክብውን በሁለት ቅስት ብቻ ይከፍሉታል - ◡ADC እና ◡ABC። ምክንያቱም ሙሉ ክብእስከ 360°፣ ከዚያም ◡ADC + ◡ABC = 360° ይጨምራል።

ስለዚህ የሚከተሉት እኩልነቶች ተገኝተዋል።

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

የማዕዘን ድምርን እንግለጽ፡-

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

½ ከቅንፍ እናስቀምጠው፡-

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

የአርኮችን ድምር በቁጥር እሴታቸው እንተካው፡-

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

የተቀረጸ ባለአራት ማዕዘን ተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር 180° መሆኑን አግኝተናል። መረጋገጥ ያለበት ይህ ነበር።

የተቀረጸ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ይህ ንብረት ያለው መሆኑ (የተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር 180° ነው) ማለት ተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር 180° የሆነ ባለአራት ጎን በክበብ ውስጥ ሊቀረጽ ይችላል ማለት አይደለም። ምንም እንኳን በእውነቱ ይህ እውነት ነው. ይህ እውነታተብሎ ይጠራል የተቀረጸ አራት ማዕዘን ሙከራእና እንደሚከተለው ተዘጋጅቷል-የኮንቬክስ ኳድሪተራል ተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር 180 ° ከሆነ, አንድ ክበብ በዙሪያው ሊገለጽ ይችላል (ወይም በክበብ ውስጥ የተቀረጸ).

ለተቀረጸው ባለአራት ጎን ፈተናውን በተቃርኖ ማረጋገጥ ይችላሉ። አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ABCD ተቃራኒ ማዕዘኖቹ B እና D እስከ 180 ° ሲደመር ይስጥ። በዚህ ሁኔታ, አንግል D በክበቡ ላይ አይተኛም. ከዚያም በክበቡ ላይ እንዲተኛ የክፍል ሲዲውን በያዘው መስመር ላይ አንድ ነጥብ ኢ ይውሰዱ። ውጤቱ ሳይክሊክ ባለአራት ጎን ABCE ነው። ይህ አራት ማዕዘን ቅርጽ B እና E ተቃራኒ ማዕዘኖች አሉት, ይህም ማለት እስከ 180 ° ይጨምራሉ. ይህ ከተቀረጸ ባለአራት ጎን ንብረት ይከተላል።

∠B + ∠D = 180° እና ∠B + ∠E = 180° ነው የሚሆነው። ነገር ግን፣ ባለ አራት ጎን ABCD አንግል D ከ triangle AED አንፃር ውጫዊ ነው፣ ስለዚህም ከዚህ ትሪያንግል E አንግል ይበልጣል። ስለዚህም ተቃርኖ ላይ ደርሰናል። ይህ ማለት የአንድ አራት ማዕዘን ተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር እስከ 180 ° ሲጨምር ሁልጊዜ በክበብ ውስጥ ሊፃፍ ይችላል.

ቲዎሪ 1. የሳይክል አራት ማዕዘን ተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር ነው። 180°.

ባለ አራት ጎን ABCD በክበብ ውስጥ ከመሃል O ጋር ይፃፍ (ምሥል 412)። ∠A + ∠C = 180° እና ∠B + ∠D = 180° መሆኑን ማረጋገጥ ያስፈልጋል።

∠A፣ በክበብ O ላይ እንደተፃፈው፣ 1/2 \(\breve(BCD)\) ይለካል።

∠C፣ በተመሳሳይ ክበብ ውስጥ እንደተፃፈው፣ 1/2 \(\breve(BAD)\) ይለካል።

ስለዚህ፣ የማዕዘን A እና C ድምር የሚለካው በ arcs BCD እና BAD ግማሽ ድምር ነው፤ በድምሩ፣ እነዚህ ቅስቶች ክብ ይሠራሉ፣ ማለትም። 360 ° አላቸው.

ስለዚህም ∠A + ∠C = 360°፡ 2 = 180°።

በተመሳሳይ መልኩ ∠B + ∠D = 180 ° መሆኑ ተረጋግጧል። ሆኖም, ይህ በሌላ መንገድ ሊታወቅ ይችላል. የአንድ ኮንቬክስ አራት ማዕዘን ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር 360 ° መሆኑን እናውቃለን. የ A እና C ድምር ከ 180 ዲግሪ ጋር እኩል ነው, ይህም ማለት የሌሎቹ የአራት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር 180 ° ይቀራል.

ቲዎረም 2 (ውይይት). በአራት ማዕዘን ውስጥ የሁለት ተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር እኩል ነው። 180° , ከዚያ እንደዚህ ባለ አራት ማዕዘን ዙሪያ አንድ ክበብ ሊገለጽ ይችላል.

የአራት ማዕዘን ABCD ተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር ከ 180 ° ጋር እኩል ይሁን ፣ ማለትም

∠A + ∠C = 180 ° እና ∠B + ∠D = 180 ° (ምስል 412).

እንደዚህ ባለ አራት ማዕዘን ዙሪያ አንድ ክበብ ሊገለጽ እንደሚችል እናረጋግጥ.

ማረጋገጫ. በዚህ ባለ አራት ማእዘን 3 ጫፎች በኩል ክብ መሳል ይችላሉ ፣ ለምሳሌ በነጥቦች A ፣ B እና C። ነጥብ D የት ይገኛል?

ነጥብ D ከሚከተሉት አንዱን ብቻ ሊይዝ ይችላል። ሶስት አቀማመጦች: በክበቡ ውስጥ መሆን, ከክበቡ ውጭ መሆን, በክበቡ ዙሪያ መሆን.

አከርካሪው በክበቡ ውስጥ እንዳለ እና ቦታውን እንደያዘ እናስብ D' (ምስል 413). ከዚያም አራት ማዕዘን ABCD' ውስጥ ይኖረናል:

∠B + ∠D' = 2 መ.

የሚቀጥለው ጎን AD’ ከክብ ጋር ወደ መገናኛው ነጥብ E እና ነጥቦችን E እና C በማገናኘት ፣ ሳይክሊክ ባለአራት ጎን ABCE እናገኛለን ፣ በእሱም ፣ በቀጥታ ቲዎሪ

∠B + ∠E = 2 መ.

ከእነዚህ ሁለት እኩልነቶች ውስጥ የሚከተለው ነው-

∠ ዲ = 2 መ- ∠B;

∠ኢ = 2 መ- ∠B;

ነገር ግን ይህ ሊሆን አይችልም፣ ∠D'፣ ከሦስት ማዕዘኑ ሲዲኢኢ ውጫዊ አንፃር ሲታይ፣ ከማዕዘን E በላይ መሆን አለበት።ስለዚህ ነጥብ D በክበቡ ውስጥ መሆን አይችልም።

እንዲሁም ቬርቴክስ D ከክበቡ ውጭ ቦታን መውሰድ እንደማይችል ተረጋግጧል (ምሥል 414).

ቨርቴክስ ዲ በክበቡ ዙሪያ ላይ መተኛት እንዳለበት ማወቅ ይቀራል ፣ ማለትም ፣ ከ ነጥብ ኢ ጋር ይገጣጠማል ፣ ይህ ማለት አንድ ክበብ በአራት ጎን ABCD ዙሪያ ሊገለፅ ይችላል።

ውጤቶቹ።

1. አንድ ክበብ በማንኛውም አራት ማዕዘን ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል.

2. አንድ ክበብ በ isosceles trapezoid ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል.

በሁለቱም ሁኔታዎች የተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር 180 ° ነው.

ቲዎረም 3. በተከበበው አራት ማዕዘን ውስጥ, የተቃራኒው ጎኖች ድምር እኩል ናቸው. ባለአራት ጎን ABCD ስለ አንድ ክበብ ይገለጽ (ምሥል 415) ማለትም ጎኖቹ AB፣ BC፣ ሲዲ እና ዲኤ ለዚህ ክበብ የታጠቁ ናቸው።

AB + CD = AD + BC መሆኑን ለማረጋገጥ ያስፈልጋል። የጥንካሬ ነጥቦችን በ M ፣ N ፣ K ፣ P ፊደላት እንጥቀስ ። ከአንድ ነጥብ ወደ ክበብ በተሳሉ የታንጀሮች ባህሪዎች ላይ በመመስረት ፣ እኛ አለን ።

እነዚህን እኩልነቶች በጊዜ ቃል እንጨምር። እናገኛለን፡-

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM፣

ማለትም AB + ሲዲ = AD + BC, ይህም መረጋገጥ ያስፈልገዋል.

ሌሎች ቁሳቁሶች

ርዕስ፡ “ዙሪያ ላይ ተብራርቷል። መደበኛ ፖሊጎን» ውስጥ በዝርዝር ተብራርቷል። የትምህርት ቤት ሥርዓተ-ትምህርት. ይህ ቢሆንም, ጋር የተያያዙ ተግባራት ይህ ክፍልፕላኒሜትሪ ለብዙ የሁለተኛ ደረጃ ተማሪዎች የተወሰኑ ችግሮች ያስከትላል። በተመሳሳይ ጊዜ የመፍትሄውን መርህ ይረዱ የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ችግሮችበፖሊጎን ዙሪያ ከተገለጸው ክበብ ጋር፣ የስልጠና ደረጃ ያላቸው ተመራቂዎች የግድ መሆን አለባቸው።

ለተዋሃደ የስቴት ፈተና እንዴት መዘጋጀት ይቻላል?

ስለዚህ የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ምደባዎችበርዕሱ ላይ “በመደበኛ ፖሊጎን የተከበበ ክበብ” ለተማሪዎች ምንም ችግር አላመጣም ፣ ከ “ሽኮልኮቮ” የትምህርት ፖርታል ጋር አብረው አጥኑ ። ከእኛ ጋር መድገም ይችላሉ የንድፈ ሐሳብ ቁሳቁስአስቸጋሪ በሚሰጡዎት ርዕሶች ላይ. ከዚህ ቀደም በጣም የተወሳሰቡ የሚመስሉ ንድፈ ሐሳቦች እና ቀመሮች የሚቀርቡት ተደራሽ እና ለመረዳት በሚያስችል መንገድ ነው።

ስለ ፖሊጎን ስለተከበበው የክበብ ማዕዘኖች እና መሃከል እንዲሁም ከክፍል ርዝማኔ ጋር የተያያዙ ንድፈ ሃሳቦችን ለማስታወስ መሰረታዊ ትርጓሜዎችን እና ፅንሰ-ሀሳቦችን ለማደስ ተመራቂዎች ወደ “ቲዎሬቲካል እገዛ” ክፍል ብቻ መሄድ አለባቸው። እዚህ ጋር በተለይ ለተማሪዎች በልዩ ልምድ ባላቸው ሰራተኞቻችን የተጠናቀረ ጽሑፍ አዘጋጅተናል የተለያዩ ደረጃዎችአዘገጃጀት.

የተማረውን መረጃ ለማጠናከር የሁለተኛ ደረጃ ተማሪዎች የአካል ብቃት እንቅስቃሴዎችን ማድረግ ይችላሉ። በርቷል የትምህርት ፖርታልበ "ካታሎግ" ክፍል ውስጥ "Shkolkovo" ለከፍተኛው የተለያየ ውስብስብነት ያላቸው ተግባራት ትልቅ የውሂብ ጎታ ያቀርባል. ውጤታማ ዝግጅትወደ የተዋሃደ የስቴት ፈተና. በጣቢያው ላይ ያለው እያንዳንዱ ተግባር የመፍትሄ አልጎሪዝም እና ትክክለኛው መልስ ይዟል. የ Shkolkovo የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ዳታቤዝ በመደበኛነት ዘምኗል እና ይሟላል።

ከሞስኮ እና ከሌሎች አገሮች የመጡ ተማሪዎች በድረ-ገፃችን ላይ ስራዎችን ማጠናቀቅን ይለማመዳሉ የሩሲያ ከተሞችበመስመር ላይ ማድረግ ይቻላል. አስፈላጊ ከሆነ ማንኛውም ልምምድ በ "ተወዳጆች" ክፍል ውስጥ ሊቀመጥ ይችላል. ለወደፊቱ, ወደዚህ ተግባር መመለስ እና ለምሳሌ, እሱን ለመፍታት ስልተ ቀመር መወያየት ይቻላል የትምህርት ቤት መምህርወይም ሞግዚት.