Задачи на прямую и обратную пропорциональность. Сложные задачи на прямую и обратную пропорциональность

255.

256.

1) 12 кг ягод? 2) 3 кг ягод?

258.

259.

1) 10 маляров? 2) 1 маляр?

260.

261.

2) Трое пошли — 3 гвоздя нашли. Четверо пойдут — много ли найдут?

262.*

263.*

264.

265. Старинная задача .

266. 1)

267.

268.

269.

270.

271.

272. .

273.*

274.* Старинная задача.

275. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников

276.* Старинная задача .

277. 1) Старинная задача . Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом в 54 дня, а другая — из 30 человек — в 45 дней. Какая артель работает лучше?

2) Одна бригада, состоящая из 3 человек, может вырыть колодец за 12 дней, а другая — из 4 человек — за 10 дней. Какая бригада работает лучше?

Просмотр содержимого документа
«Задачи на прямую и обратную пропорциональность»

Задачи на прямую и обратную пропорциональность

255. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна?

256. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограммов сахарного песка надо взять на:

1) 12 кг ягод? 2) 3 кг ягод?

257. 1) В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько граммов соли содержится в 300 г раствора?

2) В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Сколько граммов соли содержится в 200 г раствора?

258. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч?

259. 5 маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор:

1) 10 маляров? 2) 1 маляр?

260. За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 ч?

261. 1) 3 петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят 5 петухов?

2) Трое пошли - 3 гвоздя нашли. Четверо пойдут - много ли найдут?

3) Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?

262.* Пруд зарастает лилиями, причем за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями

наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?

263.* Некоторый вид бактерий размножается со скоростью 1 деление в минуту (каждую минуту бактерии раздваиваются). Если посадить 1 бактерию в пустой сосуд, то он наполнится за 1 ч. За какое время наполнится пустой сосуд, если в него посадить 2 бактерии?

264. 8 м сукна стоят столько же, сколько стоят 63 м ситца. Сколько метров ситца можно купить вместо 12 м сукна?

265. Старинная задача . В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 ч. Нужно узнать, сколько косцов за 3 ч выпьют такой же бочонок кваса.

266. 1) Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 аршин сукна стоят 30 р. Сколько стоят 15 аршин этого сукна?

2) Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?

267. 1) Грузовой автомобиль со скоростью 60 км/ч проехал расстояние между городами за 8 ч. За сколько часов то же расстояние проедет легковой автомобиль со скоростью 80 км/ч?

2) Бригада из 4 человек выполнила задание за 10 дней. За сколько

дней выполнит такое же задание бригада из 5 человек?

268. 1) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал мост через реку за 40 с. На обратном пути он проехал мост за 30 с. Определите скорость автомобиля на обратном пути.

2) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал тоннель за 1 мин. За сколько минут он проехал бы этот тоннель со скоростью 50 км/ч?

269. Две шестеренки сцеплены зубьями. Первая, имеющая 60 зубьев, делает 50 оборотов в минуту. Сколько оборотов в минуту делает вторая, имеющая 40 зубьев?

270. За одно и то же время токарь обтачивает 6 деталей, а его ученик - 4 детали.

1) Сколько деталей обточит ученик за то же время, за которое токарь обточит 27 деталей?

2) Сколько времени потратит ученик на задание, которое токарь выполняет за 1 ч?

271. За одно и то же время пешеход прошел 6 км, а велосипедист проехал 18 км.

1) Сколько километров проедет велосипедист за то же время, за которое пешеход пройдет 10 км?

2) Сколько времени потратит велосипедист на тот путь, который пешеход пройдет за 2 ч?

272. Из «Арифметики» А.П. Киселева . 8 человек рабочих оканчивают некоторую работу в 18 дней; за сколько дней окончат ту же работу 9 человек, работая так же успешно, как и первые?

273.* а) 6 маляров выполнят работу за 5 дней. Сколько еще маляров надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу

б) Двое рабочих могут выполнить задание за 10 дней. Сколько еще рабочих надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу за 4 дня?

274.* Старинная задача. Десять работников должны кончить работу в 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то оказалось необходимым кончить работу через 3 дня. Сколько еще нужно нанять работников?

275. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий господин позвалплотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников

и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить, и ради того

спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней? И плотник, недоумевая, спрашивает

тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?

276.* Старинная задача . Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев; и захотели

людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить.

277. 1) Старинная задача . Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом в 54 дня, а другая - из 30 человек - в 45 дней. Какая артель работает лучше?

2) Одна бригада, состоящая из 3 человек, может вырыть колодец за 12 дней, а другая - из 4 человек - за 10 дней. Какая бригада работает лучше?

Задачи на прямую и обратную пропорциональность для трех и более величин

278.* 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

279.* 100 синиц за 100 дней съедают 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней?

280.* 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон.

а) Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?

б) Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?

в) За сколько дней 2 маляра покрасят 48 окон?

281.* а) 2 землекопа за 2 ч выкопают 2 м канавы. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы?

б) 10 насосов за 10 мин выкачивают Ют воды. За сколько минут 25 насосов выкачают 25 т воды?

282.* Курсы иностранного языка арендуют в школе помещения для занятий. В первом полугодии за аренду 4 классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 3360 р. в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во втором полугодии за 5 классных комнат по 5 дней в неделю при тех же условиях?

283.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некто имел 100 р. в купечестве 1 год и приобрел ими только 7 р. А когда отдал в купечество1000 р. на 5 лет, сколько ими приобретет?

284.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

285.* Старинная задача. Переписчик в течение 4 дней может переписать 40 листов, работая по 9 ч в день. Во сколько дней он перепишет 60 листов, работая по 12 ч в день?

286.* У хозяйки спросили:

Хорошо ли несутся Ваши куры?

Считайте сами, - был ответ, - полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца, а всего у меня 12 кур.

Сколько яиц несут куры в день?

287.* а) В первой бригаде землекопов 4 человека - они за 4 ч выкопали 4 м канавы. Во второй бригаде землекопов 5 человек - они за 5 ч выкопали 5 м канавы. Какая бригада работает лучше?

б) У первой хозяйки 3 курицы за 3 дня снесли 6 яиц, а у второй хозяйки 4 курицы за 4 дня снесли 8 яиц. У какой хозяйки лучше несутся куры?

288.* Старинные задачи, а) На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?

б) На напечатание книги, содержащей по 32 строки на странице и по 30 букв в строке, нужно 24 листа бумаги на каждый экземпляр. Сколько нужно листов бумаги, чтобы отпечатать эту книгу в том же самом формате, но чтоб на странице было 36 строк и в строке 32 буквы?

289.* Из «Арифметики» А.П. Киселева, а) Для освещения18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждойкомнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет горетьпо 3 лампы?

б) На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 ч ежедневно, израсходовано 120 л керосина. На сколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 ч в день?

290.* Старинная задача. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины,

20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?

Задачи на совместную работу и производительность

Задачи этого типа содержат обычно сведения о выполнении несколь­кими субъектами (рабочими, механизмами, насосами и т.п.) некоторой работы, объём которой не указывается и не является искомым (например, перепечатка рукописи, изготовление деталей, рытьё тран­шей, заполнение через трубы водоёма и т.д.). Предполагается, что выполняемая работа проводится равномерно, т.е. с постоянной для каждо­го субъекта производительностью. Так как величина выполняемой работы (или объём заполняемого бассейна, например) нас не интересуют, то объём всей работы. или бассейна принимается за единицу. Время t , требующееся для выполнения всей работы, и Р - производитель ность труда, то есть величина работы, сделанной за единицу времени, связаны

соотношением P = 1 /t .Полезно знать стандартную схему решения типовых задач.

Пусть один рабочий выполняет некоторую работу за х часов, а другой - за у часов. Тогда за один час они выполнят соответственно 1/ x и 1/ y часть работы. Вместе за один час они выполнят 1/ x +1/ y часть работы. Следовательно, если они будут работать вместе, то вся работа будет выполнена за 1/ (1/ x + 1/ y )

Решение задач на совместную работу вызывает у учащихся трудности, поэтому при подготовке к экзамену можно начать с решения самых простых задач. Рассмотрим тип задач, при решении которых достаточно ввести только одну переменную.

Задача 1. Один штукатур может выполнить задание на 5 часов быстрее другого. Оба вместе они выполнят это задание за 6 часов. За сколько часов каждый из них выполнит задание?

Решение. Пусть первый штукатур выполняет задание за x часов, тогда второй штукатур выполнит это задание за x +5 часов. За 1 час совместной работы они выполнят 1/ x + 1/( x +5) задания. Составим уравнение

6×(1/ x + 1/( x +5))= 1 или x ² - 7 x -30 = 0. Решив данное уравнение,получим x = 10 и x = -3. По условию задачи x – величина положительная. Следовательно, первый штукатур может выполнить работу за 10 часов, а второй - за 15 часов.

Задача 2 . Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить работу каждый рабочий, если одному из них на выполнение всей работы потребовалось на 10 дней больше, чем другому?

Решение . Пусть первый рабочий тратит на всю работу x дней, тогда второй- (x -10) дней. За 1 день совместной работы они выполняют 1/ x + 1/( x -10) задания. Составим уравнение

12×(1/ x + 1/( x -10)= 1 или x ²- 34 x +120=0. Решив данное уравнение, получим x =30 и x = 4. Условию задачи удовлетворяет только x =30 .Поэтому первый рабочий может выполнить работу за 30 дней, а второй – за 20 дней.

Задача 3. За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано 2/3 поля. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором, если первым его можно вспахать на 5 дней быстрее,чем вторым?

Решение. Пусть первый трактор тратит на выполнение задания x дней, тогда второй – x + 5 дней. За 4 дня совместной работы оба трактора вспахали 4×(1/ x + 1/( x +5)) задания, то есть 2/3 поля. Составим уравнение 4×(1/ x + 1/ ( x +5)) = 2/3 или x ² -7 x -30 = 0. . Решив данное уравнение, получим x = 10 и x = -3. По условию задачи x – величина положительная. Следовательно, первый трактор может вспахать поле за 10 часов, а второй - за 15 часов.

Задача 4 . Маша может напечатать 10 страниц за 1 ч. Таня – 4 страницы за 0,5 , а Оля- 3 страницы за 20 минут. Как девочкам распределить 54 страницы текста между собой, .чтобы каждая работала в течение одного и того же времени?

Решение . По условию Таня печатает 4 страницы за 0,5ч, т.е. 8 страниц за 1ч., а Оля – 9 страниц за 1ч. Обозначив за Х часов- время, в течение которого девочки работали, получим уравнение

10Х +8Х+9Х =54, откуда Х= 2.

Значит, Таня должна напечатать 20 страниц, Таня-16 страниц, а Оля 18 страниц.

Задача 5. На двух множительных аппаратах, работающих одновременно, можно сделать копию рукописи за 20 мин. За какое время можно выполнить эту работу на каждом аппарате в отдельности, если известно, что при работе на первом для этого потребуется на 30 мин меньше, чем при работе на втором?

Решение. Пусть Х мин - время, которое требуется на выполнение копии на первом аппарате, тогда Х+30 мин- время работы на втором аппарате. Тогда 1/Х копии выполняет первый аппарат за 1 мин, а 1/ (Х+30) копии- второй аппарат.

Составим уравнение: 20× (1/Х + 1/(Х+30)) = 1, получим X ²-10 X -600= 0. Откуда Х =30 и Х = - 20. Условию задачи удовлетворяет Х= 30. Получили: 30 мин - время, за которое первый аппарат сделает копию, 60 мин- второй.

Задача 6. Фирма А может выполнить некоторый заказ на производство игрушек на 4 дня быстрее, чем фирма В. За какое время может выполнить этот заказ каждая фирма, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполняют заказ в 5 раз больший?

Решение. Обозначив за Х дней- время, необходимое фирме А на выполнение заказа, тогда Х + 4 дней - время для фирмы В. При составлении уравнения необходимо учесть, что за 24 дня совместной работы будет выполнено не 1 заказ, а 5 заказов. Получим, 24× (1/ X + 1/( X +4)) = 5.Откуда следует 5 Х²- 28Х-96 = 0. Решив квадратное уравнение получаем, Х = 8 и Х = - 12/5. Первая фирма может выполнить заказ за 8 дней, фирма В – за 12 дней.

При решении следующих задач необходимо вводить более одной переменной и решать уже системы уравнений.

Задача 7 . Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 ч больше, чем первому?

Решение. Пусть первый рабочий выполняет всю работу за х часов, а второй - за у часов. Из условия задачи имеем х = у -1. За 1 ч первый

рабочий выполнит 1/ x часть работы, а второй – 1/ y часть работы. Т .к. они работали вместе ¾ ч, то за это время они выполнили ¾ (1/ x + 1/ y )

часть работы. За 2и 1/4 ч работы второй выполнил 9/4× (1/ y ) часть работы. Т .к. вся работа выполнена, то составляем уравнение ¾ (1/ x +1/ y )+9/4×1/ y =1 или

¾ ×1/ x + 3 ×1/ y =1

Подставив значение x в это уравнение, получаем ¾× 1/ (y -1)+ 3×1/ y = 1. Сводим это уравнение к квадратному 4у 2 -19у + 12 = 0, которое имеет

решения у 1 = ч и у 2 = 4 ч. Первое решение не подходит (оба раб о чие только вместе работали ¾ ч!). Тогда у = 4 , а х = 3.

Ответ. 3 часа, 4 часа.

Задача 8. Бассейн может наполниться водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 мин, а второй - на 20 мин, то бассейн будет наполнен.

Если первый кран открыть на 5 мин, а второй - на 15 мин, то заполнится 3/5 бассейна.

За какое время из каждого крана в отдельно­сти может заполниться весь бассейн?

Решение. Пусть из первого крана можно заполнить бассейн за х мин, а из второго - за у 1 мин. Первый кран заполняет часть бассейна, а второй . За 10 мин из первого крана заполнится часть бассейна, а за 20 мин из второго крана - . Т .к. бассейн будет заполнен, то получаем первое уравнение: . Аналогично составляем второе уравнение (заполняется на весь бассейн, а только его объема). Для упрощения решения задачи введём новые переменные: Тогда имеем линейную систему уравнений:

10u + 20v =1 ,

,

решение которой будет u = v = . Отсюда получаем ответ: x = мин, y =50 мин.

Задача 9 . Двое выполняют работу. Сначала первый работал времени, за которое второй выполняет всю работу. Затем второй рабо­тал времени, за которое первый закончил бы оставшуюся работу. Оба они выполнили только всей работы. Сколько времени требуется каждому для выполнения этой работы, если известно, что при совместной работе они сделают её за 3 ч 36 мин?

Решение. Обозначим через х часов и у часов время, за которое вы­полняют всю работу первый и второй соответственно. Тогда и

Те части работы, которые они выполняют за 1ч. Работая (по усло­вию) времени, первый выполнит часть работы. Останется невыполненной часть работы, на которую первый затра­тил бы часов. По условию второй работает 1 /3 этого времени. Тогда он выполнит часть работы. Вдвоём они выполнили только всей работы. Следовательно, получаем уравнение . Работая совместно, за 1 час оба сделают + часть работы. Так как по условию задачи они сделают эту работу за 3 ч 36 мин (то есть з a 3 часа), то за 1 час они сделают всей работы. Отсюда 1/ x + 1/ y = 5/18. Обозначив в первом уравнении , получим квадратное уравнение

6 t 2 - 13 t + 6 = 0 , корни которого равны t 1 =2/3 , t 2 =3/2. Так как неизвестно, кто работает быстрее, то рассматриваем оба случая.

а) t = => у = х. Подставляем у во второе уравнение: Очевидно, что это не является решением

задачи, так как вместе они делают работу больше чем за З ч.

б) t =3/2 => y =3/2 x . Из второго уравнения имеем 1/ x +2/3× 1/ x =5/18.Отсюда х=6, у =9.

Задача10. В резервуар поступает вода из двух труб различных диа­метров. В первый день обе трубы, работая одновременно, подали 14 m 3 воды. Во второй день была включена лишь малая труба. Она подала 14 м 3 воды, проработав на 5 ч дольше, чем в первый день. В третий день работа продолжалась столько же времени, сколько во второй, но снача­ла работали обе трубы, подав 21 м 3 воды. А затем работала лишь боль­шая труба, подавшая еще 20 м 3 воды. Найти производительность каждой трубы.

Решение. В данной задаче нет абстрактного понятия "объем водо­ема", а указываются конкретные объемы воды, которые поступают по трубам. Однако методика решения задачи фактически остается прежней.

Пусть меньшая и большая трубы перекачивают за 1 час х и у м 3 во­ды. Работая вместе, обе трубы подают х + у м 3 воды.

Следовательно, в первый день трубы работали 14/(x + y ) часов. Во второй день малая труба работала на 5 часов больше, т. е. 5+14/(x + y ) . За это

время она подала 14 м 3 воды. Отсюда получаем первое уравнение 14 или 5+14/( x + y )=14/ x . В третий день обе трубы вместе работали21/(x + y ) часов, а затем большая труба работала 20/ x часов. Суммарное время труб совпадает со временем работы первой трубы во второй день, т. е.

5+14/( x + y ) =21/( x + y )+ 20/ x . Так как левые части уравнения равны, то имеем . Освободившись от знаменателей, получаем однородное уравнение 20 x 2 +27 xy -14 y 2 =0. Разделив уравнение на y 2 и обозначив x / y = t , имеем 20 t 2 +27 t -14=0. Из двух корней этого квадратного уравнения (t 1 = , t 2 = ) по смыслу задачи подходит только t = . Следовательно, x = y . Подставив x в первое уравнение, находим y =5. Тогда x =2.

Задача 11. Две бригады, работая совместно, вырыли траншею за два дня. После этого они начали рыть траншею той же глубины и ширины, но длиннее первой в 5 раз. Сначала работала только первая бригада, а затем только вторая бригада, выполнив в полтора раза меньший объем работы, чем первая бригада. Рытье второй траншеи было закончено за 21 день. За сколько дней вторая бригада смогла бы вырыть первую траншею, если известно, что объем работы, выполняемый первой брига­дой за один день, больше объема работы, выполняемого за один день второй бригадой?

Решение. Эту задачу удобнее решать, если привести выполняемую работу к одному масштабу. Если обе бригады вырыли, работая вместе, первую траншею за 2 дня, то, очевидно, вторую траншею (в пять раз длиннее) они вырыли бы за 10 дней. Пусть первая бригада вырыла бы эту траншею за х дней, а вторая - за у, т.е. за 1 день первая вырыла бы часть траншеи, вторая - за 1/ y , а вместе -1/ x +1/ y часть траншеи.

Тогда имеем . Бригады при рытье второй траншеи работали раздельно. Если вторая бригада выполнила объем работы m , то (по условию задачи) - первая бригада . Так как m + m = m равно объему всей работы, принимаемому за единицу, то m = . Следовательно, вторая бригада выкопала траншеи и затратила на это у дней. Первая бригада выкопала траншеи и затратила х дней. Отсюда имеем или х = 35- . Подставляя х в первое уравнение, приходим к квадратному уравнению 2у 2 - 95у +1050 = 0, корнями которого будут у 1 = и у 2 = 30. Тогда соответственно х 1 = и х 2 =15. Из условия задачи выбираем нужное: у = 30. Так как найденное значение относится ко второй траншее, то первую траншею (в пять раз короче) вторая бригада вырыла бы за 6 дней.

Задача 12. Три экскаватора участвовали в рытье котлована объемом 340 м 3 . За час первый экскаватор вынимает 40 м 3 фунта, второй - на с м 3 меньше первого, а третий - на 2с больше первого. Сначала работали одновременно первый и второй экскаваторы, и выкопали 140 м 3 грунта. Затем оставшуюся часть котлована выкопали, работая одновременно, первый и третий экскаваторы. Определить значения с (0<с<15), при котором котлован был выкопан за 4 ч, если работа велась без перерыва.

Решение. Так как первый экскаватор вынимает 40 м 3 грунта в час, то второй - (40-с) м 3 , а третий - (40+2с) м 3 фунта в час. Пусть пер­вый и второй экскаваторы вместе работали х часов. Тогда из условия задачи следует (40+40-с)х = 140 или (80-с)х = 140. Если первый и тре­тий экскаваторы работали вместе у часов, то имеем (40+40+2с)у = 340-140 или (80+2с)у - 200. Так как общее время работы равно 4 часам, то получаем для определения с следующее уравнение х + у = 4 или

Это уравнение равносильно квадратному уравнению с 2 -30с+ 200 = 0, решениями которого будут с 1 = 10 м 3 и с 2 = 20м 3 . По условию задачи подходит толь ко

с = 10 м 3 .

Задача 10. Каждому из двух рабочих поручили обработать одинако­вое количество деталей. Первый начал работу сразу и выполнил ее за 8 ч. Второй же потратил сначала больше 2 ч на наладку приспособления, а затем с его помощью закончил работу на 3 ч раньше первого. Извест­но, что второй рабочий через час после начала своей работы обработал столько же деталей, сколько к этому моменту обработал первый. Во сколько раз приспособление увеличивает производительность станка (т.е. количество обрабатываемых деталей за час работы)?

Решение. Это пример задачи, в которой не все неизвестные надо находить.

Обозначим время наладки станка вторым рабочим через х (по условию х>2). Пусть необходимо было обработать каждому по n деталей.

Тогда первый рабочий в час обрабатывает деталей, а второй деталей. Оба рабочих одинаковое число деталей обработали через час после начала работы второго. Это означает, что Отсюда получаем уравнение для определения х: х 2 -4х + 3-0 корнями которого будут х 1 = 1 и х 2 = 3. Т. к.

х > 2 , то необходимое значение - это х = 3. Следовательно, второй рабочий обра­батывает в час деталей. Т. к. первый рабочий в час обрабатывает

деталей, то отсюда находим, что приспособление увеличивает производительность труда в = 4 раза.

Задача 1 3. Трое рабочих должны изготовить некоторое количество деталей. Сначала к работе приступил только один рабочий, а через некоторое время к нему присоединился второй. Когда 1/6 часть всех деталей была изготовлена, к работе приступил и третий рабочий. Работу они закончили одновременно, причем каждый изготовил одинаковое коли­чество деталей. Сколько времени работал третий рабочий, если извест­но, что он работал на два часа меньше второго и что первый и второй, работая вместе, могли бы изготовить все требуемое количество деталей на 9 часов раньше, чем это бы сделал бы третий, работая отдельно?

Решение. Пусть первый рабочий работал х часов, а третий - у часов. Тогда второй рабочий работал на 2 часа больше, т. е. у+2 часа. Каждый из них изготовил равное количество деталей, т. е. по 1/3 всех деталей. Следовательно, все детали первый изготовил бы за 3х часов, второй за 3(у+2) часов, а третий - за 3у часов. Поэтому первый изготовляет в час часть всех деталей, второй - и третий - .

Так как все трое за время совместной работы изготовили всех дета­лей, то получаем первое уравнение (все трое вместе работали у часов)

. (1)

Первый и второй, работая вместе, изготовили бы вместе все детали на 9 часов раньше, чем это сделал бы третий рабочий, работая один. Отсюда получаем второе уравнение

. (2)

Эти два уравнения легко приводятся к равносильной системе

Выражая из второго уравнения х и подставляя в первое уравнение, по­лучаем у 3 -5у 2 - 32у - 36 = 0. Это уравнение разлагается на множители (y - 9)(у + 2) 2 = 0.

Т. к. у > 0, то уравнение имеет только один нужный корень у = 9. Ответ: у = 9.

Задача 14. В котлован равномерно поступает вода, 10 одинаковых насосов, действуя одновременно, могут откачать воду из заполненного котлована за 12 часов, а 15 таких насосов - за 6 ч. За сколько времени могут откачать воду из заполненного котлована 25 таких насосов при совместной работе?

Решение. Пусть объем котлована V m 3 , а производительность ка­ждого насоса - х м 3 в час. Вода в котлован поступает непрерывно. Т. к. неизвестно количество ее поступления, то обозначим через у м 3 в час - объем поступления воды в котлован. Десять насосов за 12 часов отка­чают х = 120х воды. Это количество воды равно полному объему котлована и объему той воды, которая поступит в котлован за 12 часов. Весь этот объем равен V +12 y . Приравнивая эти объемы, составляем первое уравнение 120х = V + 12 y .

Аналогично составляется уравнение для 15 таких насосов: 15-6 x = V + 6 y или 90 x = V + 6 y . Из первого уравнения имеем V = 120х - 12у. Подставляя V во второе уравнение, получаем у = 5х.

Время, в течение которого будут действовать 25 таких насосов, неиз­вестно. Обозначим его через t . Тогда, учитывая условия задачи, по аналогии составляем последнее уравнение. Имеем 25 tx = V + ty . Под­ставляя в это уравнение у и V находим 25 tx = 120х -12 5х + t 5х или 20 tx = 60х. Отсюда получаем t = 3 часа. Ответ: за 3 часа.

Задача 15. Две бригады работали вместе 15 дней, а затем к ним присоединилась третья бригада, и через 5 дней после этого вся работа была закончена. Известно, что вторая бригада вырабатывает за день на 20% больше первой. Вторая и третья бригады вместе могли бы выпол­нить всю работу за того времени, которое требуется для выполнения всей работы первой и третьей бригадами при их совместной работе. За какое время могли бы выполнить всю работу все три бригады, работая совместно?

Решение. Пусть всю работу, работая отдельно, первая, вторая и третья бригады выполняют соответственно за х, у и z дней. Тогда в день они выполняют часть работы. Преобразуя первое условие задачи в уравнение, считая, что весь объём работы равен единице, получаем

15 или

(1)

20 .

Так как вторая бригада вырабатывает 120% того, что делает первая (на 20% больше), то имеем или . (2)

Вторая и третья бригады выполнили бы всю работу за 1/ дней, а первая и третья – за 1/ дней. По условию первая величина равна

(3)

Второй, то есть 1/ . Отсюда получаем третье уравнение .

В задаче требуется определить время выполнения всей работы тремя бригадами, работающими вместе, то есть величину 1/ .

Очевидно, что решать систему уравнений (1)-(3) удобнее, если вве­сти новые переменные: , Требуется найти величину

l /(u + v + w ) .Тогда имеем равносильную систему

Решая эту линейную систему, легко находим u = Тогда искомая величина равна 1/ Таким образом, работая вместе все три бригады выполнят всю работу за 16 дней.

Ответ: за 16 дней. Если бы производительность второй фабрики увеличилась в 2 раза, то она равнялась бы практически все типы встречаю­щихся задач на производительность.

Задачи

    Двое рабочих вместе могут выполнить некоторую работу за 10 дней. После 7 дней совместной работы один из них заболел, и другой окончил работу, проработав еще 9 дней. Во сколько дней ка ждый рабо­чий отдельно может выполнить всю работу?

    Некоторое число рабочих выполнили работу за несколько дней. Ес­ли число рабочих увеличи тся на 3, то работа будет сделана на 2 дня скорее, а если число рабочих увеличится на 12, то на 5 дней скорее. Определить число рабочих и время, необходимое для выполнения этой работы.

    Два насоса различной мощности, работая вместе, наполняют бас­сейн за 4 ч. Для заполнения половины бассейна первому насосу требуется времени на 4 ч больше, чем второму для заполнения трех четвертей бассейна. За какое время может наполнить бассейн каждый насос в отдельности?

10. Теплоход загружается подъемными кранами. Сначала в течение 2 ч работали четыре крана одинаковой мощности, затем к ним присоединились еще два крана, но меньшей мощности, и через 3 ч после этого погрузка была закончена. Если бы все краны начали работать одновременно, то погрузка была бы за оставшейся работы. Производительность третьей бригады равна полусумме производительностей первой и второй бригад. Во сколько раз производительность второй бригады больше производительности третьей бригады?

15. Две бригады штукатуров, работая совместно, оштукатурили жилой дом за 6 дней. В другой раз они оштукатурили клуб и выполнили втрое больший объем работы, чем на штукатурке жилого дома. В клубе сначала работала первая бригада, а затем ее сменила вторая бригада и довела работу до конца, причем первая бригада выполнила объем работы вдвое больший, чем вторая. Клуб они оштукатурили за 35 дней. За сколько дней первая бригада смогла бы оштука турить жилой дом, если известно, что вторая бригада потратила бы на это более 14 дней?

    Две бригады начали работу в 8 ч. Сделав вместе 72 детали, они стали работать раздельно. В 15 ч выяснилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала за 1 ч на одну деталь больше, а вторая бригада за 1 ч на одну деталь меньше, чем в первый день. Работу брига­ды начали вместе в 8 ч и, сделав 72 детали, снова стали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая, уже к 13 ч. Сколько деталей в час делала каждая бригада?

    Трое рабочих должны сделать 80 одинаковых деталей. Известно, что все трое вместе делают за час 20 деталей. К работе приступил сначала первый р абочий. Он сделал 20 деталей, затратив на их изготовление более 3 ч. Оставшуюся часть работы выполняли вместе второй и третий рабочие. На всю работу ушло 8 ч. Сколько часов потребовалось бы первому рабочему на изготовление всех 80 деталей?

    Бассейн заполняется водой через первую трубу на 5 ч быстрее, чем через вторую трубу, и на 30 ч быстрее, чем через третью трубу. Известно, что пр опускная способность третьей трубы в 2,5 раза меньше пропускной способности первой трубы и на 24 м 3 /ч меньше пропускной способности второй трубы. Найдите пропускную способность первой и третьей труб.

    Два экскаватора, из которых первый имеет меньшую производи­тельность, вырыли при с овместной работе котлован объемом 240 м 3 . Потом первый стал рыть второй котлован, а второй продолжал рыть первый. Через 7 ч после начала их работы объем первого котлована ока­зался на 480 м 3 больше объема второго котлована. На другой день вто­рой экскаватор увеличил свою производительность на 10 м 3 /ч, а первый уменьшил на 10 м 3 /ч. Сначала они вместе вырыли котлован в 240 м 3 , после чего первый стал рыть другой котлован, а второй продолжал рыть первый. Теперь объем первого котлована стал на 480 м 3 больше объема второго котлована уже через 5 ч после начала работы экскаваторов. Сколько грунта в час вынимали экскаваторы в первый день работы?

    Три автомашины перевозят зерно, загружаясь в каждом рейсе полностью. За один рейс первая и вторая машины перевозят вместе 6 т зерна, а первая и третья вместе за 2 рейса перевозят столько же зерна, сколько вторая за 3 рейса. Какое количество зерна перевозит за один рейс вторая автомашина, если известно, что некоторое количество зерна вторая и третья перевозят вместе, со вершая в 3 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы третьей автомашине для перевозки того же количества зерна?

    Два экскаватора разной конструкции должны проложить две траншеи одинакового попере чного сечения длиной в 960 ми 180 м. Вся работа продолжалась 22 дня, в течение которых первый экскаватор прокладывал большую траншею. Второй же экскаватор начал работать на 6 дней позже первого, отрыл меньшую траншею, 3 дня ремонтировался и затем помогал первому. Если бы не нужно было тратить времени на ре­монт, то работа была бы кончена за 21 день. Сколько метров траншеи может отрыть в день каждый экскаватор?

    Три бригады вспахали два поля общей площадью 120 га. Первое поле было вспахано за 3 дня, причем все три бригады работали вместе. Второе поле было вспахано за 6 дней первой и второй бр игадами. Если бы все три бригады проработали на втором поле 1 день, то оставшуюся часть второго поля первая бригада могла бы вспахать за 8 дней. Сколько гектаров в день вспахивала вторая бригада?

    К двум бассейнам подведены две трубы равного диаметра (к ка­ждому бассейну своя труба). Через первую трубу налили в первый бассейн определенный объем воды и сразу после этого во второй бассейн через вторую трубу налили такой же объем воды, причем на все это уш­ло 16 ч. Если бы через первую трубу вода текла столько времени, сколько через вторую, а через вторую - столько времени, сколько через пер­вую, то через первую трубу налили бы воды на 320 м 3 меньше, чем че­рез вторую. Если бы через первую проходило бы на 10 м 3 меньше, а через вторую - на 10 м 3 больше воды, то, чтобы налить в бассейн (сначала в первый, а потом во второй) первоначальные объемы воды, ушло бы 20 ч. Сколько времени лилась вода через каждую из труб?

    Две автоколонны, состоящие из одинакового числа машин, перевозят груз. В каждой из авт околонн машины имеют одинаковую грузоподъемность и во время рейсов загружаются полностью. Грузоподъемность машин в разных колоннах различна, и за 1 рейс первая автоколон­на перевозит на 40 т груза больше, чем вторая автоколонна. Если уменьшить число машин в первой автоколонне на 2, а во второй автоко­лонне - на 10, то первая автоколонна перевезет 90 т груза за 1 рейс, а вторая автоколонна перевезет 90 т груза за 3 рейса. Какова грузоподъ­емность машин второй автоколонны?

    Один рабочий может изготовить партию деталей за 12 ч. Работу начал один рабочий, через час к нему присоединился еще один, еще через час - третий и т. д., пока работа не была выполнена. Сколько времени проработал первый рабочий? (Производительность труда всех рабочих одинакова.)

    Бригада рабочих одинаковой квалификации должна была изготовить партию деталей. Снач ала к работе приступил один рабочий, через час к нему присоединился второй, еще через час - третий и т. д., до тех пор, пока к работе не приступила вся бригада. Если бы с самого начала работали все члены бригады, то работа была бы выполнена на 2 ч быстрее. Сколько рабочих в бригаде?

    Трое рабочих копали канаву. Сначала первый рабочий проработал половину времени, нео бходимого двум другим, для того чтобы вы­рыть всю канаву, затем второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву, и, наконец, третий рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате канава была вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, если бы с самого начала работали все трое рабочих одновременно?

Типы задач

Типы задач.

Изучение задач по теме «Натуральные числа»

На китобойное судно подняли 6 взрослых китов в среднем по 150 т каждый, и отпилили им головы. Какое расстояние заняли бы все 6 китовых туш без голов, если длина взрослого кита составляет 18 м, а длина головы - 1/3 всего кита?

Чтобы образовался 1 кг молока, через вымя коровы должно протечь 500 кг крови. Для получения от коровы за сутки 20 кг молока, сколько тонн крови протечет через ее вымя? Сколько раз за сутки пройдет кровь через вымя коровы, если у коровы 40 кг крови?

Один кубометр неочищенных сточных вод в среднем загрязняет 12,5 мЗ чистых. Вычислить, сколько кубометров неочищенных сточных вод достаточно для того, чтобы загрязнить водный бассейн, находящийся в вашем школьном саду.

Сложение и вычитание натуральных чисел

Задачи нацелены на повторение связи отношений «на... больше» и «на... меньше» с операциями сложения и вычитания.

Ученик токаря обточил 120 деталей за смену, а токарь на 36 деталей больше. Сколько деталей обточили вместе?

В коллекции имеется 128 марок. Из них 93 российские, а остальные иностранные. На сколько в коллекции российских марок больше, чем иностранных,

Задумали число, увеличили его на 45 и получили 66. найдите задуманное число.

Для решения этой задачи можно использовать схематический рисунок 4, помогающий наглядно представить взаимосвязь операций сложения и вычитания. Особенно эффективной помощь рисунка окажется при большем числе действий с неизвестной величиной.

Рис.4 Решение задачи графическим способом.

Задумали число, увеличили его на 120, результат уменьшили на 49. получили 200. найти задуманное число.

В трех классах 44 девочки - это на 8 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков в трех классах?

Покупатель из 50 руб. в уплату за купленный товар отдал 30 руб. и получил 2 руб. сдачи. Сколько денег у него осталось?

Умножение и деление натуральных чисел

Задачи предназначены для повторения связи отношений «больше в...» и «меньше в...» с операциями умножения и деления. В некоторых из них решение затруднено добавлением шагов, связанных с отношениями «больше на...» и «меньше на...».

Число 48 увеличьте на 3, полученный результат увеличьте в 3 раза. (Старинная задача.)

С завода отправили 9 подвод с посудой, на каждой по 2 ящика, и в каждом ящике по 45 дюжин тарелок. Сколько тарелок отправлено с завода?

Велосипедист в каждый из 10 дней проезжал по 36 км. Сколько километров в день ему надо проезжать, чтобы вернуться обратно за 9 дней?

Задачи на части

Для варенья на 2 части малины берут 3 части сахара. Сколько килограммов сахара следует взять на 2 кг 600 г ягод?

На первой полке стояло в 4 раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке,

Сумма двух чисел 230. Если первое из них уменьшить на 20, то числа станут равными.

Задачи на движение по реке

Для успешного усвоения этого материала следует усвоить, что скорости по течению и против течения - суть сумма и разность собственной скорости и скорости течения.

На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь - 2 ч. В каком направлении течет река?

Костер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, плыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения реки. Какое расстояние он проплыл за все время, если скорость течения реки 2 км/ч?

Моторная лодка проплыла 48 км по течению за 3 ч и против течения - за 4 ч. Найдите скорость течения.

Различные виды задач на движение

Традиционно трудными для учащихся являются задачи на движение. Для подведения их к понятию скорости удаления в задаче следует: найти расстояние между участниками движения в 3 действия, записать числовое выражение (например, 3-4 + 3-5), вынести общий множитель за скобки, задаться вопросом: что показывает сумма 4 + 5?

После этого нужно показать решение задачи в два действия с использованием скорости удаления. Аналогично вводится понятие -скорости сближения.

Два пешехода одновременно вышли в противоположных направлениях из одного пункта. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч? На сколько километров в час пешеходы удаляются друг от друга? (Эту величину называют скоростью удаления).

Из двух сел, расстояние между которыми 36 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Их скорости 4 км/ч и 5 км/ч. на сколько километров в час пешеходы сближаются друг с другом? (Эту величину называют скоростью сближения).

Задачи по теме «Рациональные числа»

Задачи на дроби являются древнейшими из дошедших до нас по письменным источникам; их решение было весьма сложной проблемой до тех пор, пока не изобрели обозначения для обыкновенных дробей, не разработали правила действий с ними. В Древнем Египте, например, существовали иероглифы только для

обозначения дробей с числителем 1. единственным исключением

2 была дробь з 9 для которой имелось соответствующее обозначение.

В заключение отметим, что при решении основных задач на дроби использование десятичных дробей не вносит ничего нового, так как десятичные дроби являются иной записью некоторых из обыкновенных дробей.

Задачи на дроби:

Задача 1. Было 600 рублей, 4 суммы истратили. Сколько денег истратили? Решение:

Чтобы найти 4 от 600 рублей, надо эту сумму разделить на 4:

600:4=150(руб.)

2 Задача 2. Было 1000 рублей, 5 этой суммы истратили. Сколько

денег истратили?

Решение:

Сначала найдем одну пятую от 1000 руб., а потом две пятых:

1)1000: 5 = 200 (руб.),

2) 200 2 = 400 (руб.)

Эти два действия можно объединить:

1000: 5-2 = 400 (руб.) 2

Чтобы найти 5 числа 1000, можно 1000 разделить на знаменатель

дроби и результат умножить на ее числитель.

Задачу 2 можно решить по правилу:

Если часть целого выражена дробью, то, чтобы найти эту часть,

можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить

на ее числитель.

Задача 3. Потратили 50 рублей это составило 6 первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму денег. Решение:

50 р. В 6 раз меньше первоначальной суммы, которая в 6 раз больше, чем 50 р. Чтобы найти эту сумму, надо 50 р. умножить на 6:

50 6 = 300 (р.).

2 Задача 4. Потратили 600 рублей, это составило 3

первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму денег.

Решение:

условию его две трети равны 600. Сначала найдем одну треть

первоначальной суммы, а потом и три третьих:

600: 2 - 300 (р.),

300 3 = 900 (р.).

Эти два действия можно объединить: 600: 2 3 = 900 (р.).

Чтобы найти число, 3 которого равны 600, можно 600 разделить на числитель дроби и результат умножить на ее знаменатель. Задачу 4 можно решить по правилу:

Если часть искомого целого выражена дробью, то чтобы найти это целое, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на ее знаменатель.

Задачи на сложение и вычитание обыкновенных дробей

Больше внимания уделим задачам, при решении которых вся величина принимается за единицу, причем сначала ее лучше

представлять как 2 у з и т.п. величины.

2 3_

Задача 1. Первый тракторист вспахал? поля, второй - ? поля.

Вместе они вспахали 10 га. Определите площадь поля.

Задача 2. На ветке сидели воробьи. Когда третья часть улетела,

то их осталось 6. Сколько воробьев было на ветке первоначально?

Для решения этой задачи целесообразно предложить учащимся

следующий чертеж:



Задача 3. До обеда токарь выполнил 8 задания, после обеда - 8 задания, после чего ему осталось выточить 24 детали. Сколько деталей он должен был выточить?

Задачи на умножение и деление обыкновенных дробей

Задача 1. Каждый день турист проходит з намеченного маршрута.

I Какую часть маршрута он пройдет за 2 дня; за 2 дня; за 4 дня?

2 Задача 2. Найдите 5 числа 60.

3_ 4

Задача 3. Что больше 5 от 45 м или 5 от 30 м?

Задача 4. Найдите число, 5 которого равны 60.

Задачи на совместную работу

Задача 1. На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит привезенного корма уткам и гусям вместе?

Задача 2. (Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого.) Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь?

Задача 3. Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады - за 18 дней; первая и третья бригады - за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?

Товарный поезд прошел 720 км со скоростью 80 км/ч. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч? Путь пропорционален скорости при постоянном времени движения,

80 80

значит, с уменьшением скорости в 60 раза путь уменьшится в 60 раза.

80 720-60

720: 60 = 80 = 540 (км).

Таким же приемом решается задача, если скорость не уменьшилась, а увеличилась, если величины не прямо, а обратно пропорциональны.

Задачи на пропорции.

Простые задачи на пропорции

Задача 1. За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их купили в 2 раза меньше?

Задача 2. За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, каждый из которых в 2 раза дороже?

Задача 3. Имеются деньги на покупку 30 карандашей. Сколько " тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?

Задача 4. Велосипедист за несколько часов проехал 36 км. Какое расстояние пройдет за то же время пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

Задача 5. Некоторое расстояние велосипедист проехал за 3 часа. За сколько часов это расстояние проедет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста? Перейдем к решению задач с помощью пропорций.

Задача 6. За 6 часов поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 часа, если его скорость была постоянна? Потребуется краткая запись условия задачи:



В процессе устного обсуждения выяснили, что время и путь уменьшились в одно и то же число раз, так как при постоянной скорости эти величины прямо пропорциональны.

Задача 7. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 40 км/ч?



Задача 8. За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 часа?

Задача 9. Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят 5 петухов?

Задача 10. Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?

Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за обратную пропорциональность: чем больше страниц прочитано, тем меньше осталось прочитать.

Но увеличение одной страницы и уменьшение другой происходит не в одно и то же число раз.

Сложные задачи на пропорции

Старинная задача. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, а глубина 18 дм?

Длина канала увеличится от увеличения числа человек в 26 раза, от

30 18-

увеличения числа дней в 40 раза и от уменьшения ширины в 12 раза.

П£ 39 80 20 12 18

х = 96: -: -

26 40 10 10 12

Окончательно имеем х = 320.

Нахождение процента от числа

Задача 11. Товар стоил 5000 р. Его цена повысилась на 20%. На сколько рублей повысилась цена? Какова новая цена товара?

Задача 12. Банк выплачивает доход из расчета 2% вложенной суммы в год. Сколько рублей оказывалось на счете через год, если на него положили: 100 р.; 200 р.; 1000 р.; 12000 р.?

Задача 13. Желая блеснуть знанием процентов, Вася сказал, что 60% книга он прочитал на прошлой неделе, а оставшиеся 50% на этой. Вася не напутал?

Задача 14. В школе 400 учащихся, 52% этого числа составляют девочки, Сколько мальчиков в школе?

Задача 15. Увеличьте число 200 на 10%. Полученное число уменьшите на 10%. Получится ли снова число 200? Почему?

Нахождение числа по его проценту

Задача 16. В магазин электротоваров привезли лампочки. Среди них оказалось 16 разбитых лампочек, что составило 2% их числа. Сколько лампочек привезли в магазин?

Задача 17. Найдите число, 110% которого равны 33.

Задача 18.60% класса пошли в кино, а остальные 12 человек на выставку. Сколько учащихся в классе?

Задача 19. Трава при сушке теряет 80% своей массы. Сколько тонн сена получится из 4 т свежей травы? Сколько тонн травы нужно накосить, чтобы насушить 4 т сена? 100 - 80 - 20 (%) - массы травы составляет масса сена; 4 0,2 = 0,8 (т) - сена получится из 4 т травы; 4: 0,2 = 20 (т) - травы надо накосить.

Нахождение процентного отношения

Задача 20. Из 16 кг свежих груш получили 4 кг сушеных. Какую часть массы свежих груш составляет масса сушеных? Выразите эту часть в процентах. Сколько процентов массы теряется при сушке?

Задача 21. Сколько процентов числа 50 составляет число 40? Сколько процентов числа 40 составляет число 50?

Задача 22. В месяце было 12 солнечных и 18 пасмурных дней. Сколько процентов месяца составляют солнечные дни? пасмурные дни?

Задача 23. Цена товара снизилась с 40 р. до 30 р. На сколько рублей снизилась цена? На сколько процентов снизилась цена?

Решение задач Подведение итогов занятия Ход занятия I. Организационный момент - страница №1/1

Задачи на прямую и обратную пропорциональность трех и более величин

Цель занятия: углубление знаний о способах решения задач на прямую и обратную пропорциональность

Задачи занятия:


  • Содействовать быстрой актуализации и практическому применению ранее полученных знаний, умений и способов действий в нестандартной ситуации

  • Создать условия для расширения кругозора учащихся при решении старинных практических задач
План занятия

  1. Организационный момент

  2. Устный счет

  3. Решение задач

  4. Подведение итогов занятия

Ход занятия

I. Организационный момент

1. Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

Мы в поход отправляемся смело

В мир загадок и сложных задач.

Не беда, что идти далеко,

Не боимся, что путь будет труден.

Достижения крупные людям

Никогда не давались легко.

2. Девизом сегодняшнего урока будут слова «Без муки нет науки».

3. А теперь разгадайте ребус


ПРОПОРЦИЯ
II. Устный счет

1 . к. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их:

а) в 2 раза больше? б) в 2 раза меньше?

2. За несколько одинаковых карандашей заплатили 80 к. Сколько нужно заплатить за такое же количество карандашей, каждый из которых:

а) в 2 раза дороже? б) в 2 раза дешевле?

3. Имеются деньги на покупку 30 карандашей.

а) Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?

б) Сколько ручек можно купить на те же деньги, если ручка дороже карандаша в 10 раз?

III. Решение задач

В давние времена для решения многих типов задач существовали специальные правила их решения. Знакомые нам задачи на прямую и обратную пропорциональность, в которых по трём значениям двух величин нужно найти четвёртое, назывались задачами на «тройное правило».

Если же для трёх величин, были даны пять значений, и требовалось найти шестое, то правило называлось «пятерным». Аналогично для четырёх величин существовало «семеричное правило». Задачи на применение этих правил назывались ещё задачами на «сложное тройное правило».

Попробуем!!!

Задача 1. Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?

Ответ у задачи получается ………?

Решение задачи разберём коллективно, записав кратко условие задачи:


Куриц

дней

яиц

3

3

3

12

12

х

В ходе диалога нужно выяснить:

Во сколько раз увеличилось число кур? (в 4 раза)

Как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось? (увеличилось в 4 раза)

Во сколько раз увеличилось число дней? (в 4 раза)

Как при этом изменилось число яиц? (увеличилось в 4 раза)

Х = 3*4*4 =48(яиц)

Задача 2 (Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона)
Исаак Ньютон - английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики. Первые математические открытия Ньютон сделал ещё в студенческие годы. В своей «Универсальной арифметике» Ньютон выразил убеждение, что «при изучении наук примеры полезнее, чем правила». Универсальная арифметика Ньютона стала самым распространенным в России учебником второй половины 18 века.

Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобиться писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

Учащиеся пытаются коллективно ставить вопросы и отвечать на них.

(количество писцов увеличивается от увеличения листов в раз и уменьшается

от увеличения дней работы (писцов)).

Рассмотрим более сложную задачу с четырьмя величинами.


Задача 3 (из «Арифметики» А.П. Киселёва).

Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120т фунтов керосина, причём в каждой комнате горело по 4 лампы. Hа сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?
Киселев Андрей Петрович - российский, советский педагог, законодатель школьной математики. «Арифметика» Киселёва - первый школьный учебник по арифметике, вышел в 1884 г. В 1938 г.Он был утвержден в качестве учебника арифметики для 5-6 классов средней школы. Учебник арифметики Киселёва выдержал 29 изданий до революции (более чем миллионный тираж) плюс ещё 10 млн экземпляров, отпечатанных при жизни Киселева. С 2002 года издательство Физматлит переиздаёт классические учебники А. П. Киселёва.

Записывается краткое условие задачи и даётся рассуждение, параллельно которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись Х = …..

Количество дней пользования керосином увеличивается от увеличения количества керосина в раз и от уменьшения ламп враза.

Количество дней пользования керосином уменьшается от увеличения комнат в 20 раза.

Х = 48 * * : = 60 (дней)

Окончательно имеет Х = 60. Это означает, что 125 фунтов керосина хватает на 60 дней.

Задача 4(Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого ). Некто имел 100 р . в купечестве 1 год и приобрел ими только 7 р. А когда отдал в купечество 1000 р. на 5 лет, сколько ими приобретет?
Леонтий Филиппович Магницкий - русский математик, педагог. Преподаватель, автор первой в России учебной энциклопедии по математике. Родился он в крестьянской семье, на берегу озера Селигер. «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого создавалась первоначально как учебник для будущих офицеров армии и флота. Магницкий в своем учебнике не только стремился доходчиво разъяснить математические правила, но и побудить у учеников интерес к учебе. Он постоянно на конкретных примерах из обыденной жизни, военной и морской практики подчеркивал важность знания математики.

Задача 5. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 часов в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширина и 12 м глубины в течении 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 30 землекопов, работая в течении 80 дней по 10 часов в день, если ширина должна быть 10 м, глубина 18 дм?


решение.

Х = 320

Задание 6: Прочитать тексты предложенных задач. Определите, является ли прямой пропорциональной или обратной пропорциональной зависимость между величинами. В столбце “П,О” представленной ниже таблицы поставьте букву «П», если зависимость прямая, букву “О”, если зависимость обратная и прочерк, если нет зависимости.


№

Тексты задач

П,О

+/-

1

8 однотипных деталей весят 28 кг. Сколько весят 27 таких же деталей?

2

В 300 кг сплава содержится 213 кг железа. Сколько железа содержится в 456 кг сплава?

3

Сколько весят 25 батонов белого хлеба? Если 16 батонов такого же белого хлеба весят 36 кг.

4

Для изготовления 24 КАМАЗов необходимо 156 т металла. Сколько металла необходимо для изготовления 36 таких же КАМАЗов?

5

7 маляров могли бы покрасить забор за 18 дней. За сколько дней покрасят тот же забор 12 маляров?

6

Сумма двух чисел, одно из которых на 5 больше другого равна 240. Найдите эти числа.

7

Для приготовления супа “Харчо” на 3 стакана риса берут 500 г бульона. Сколько надо взять риса на 600 г бульона?

8

Теплоход за 13 ч проплыл по реке 38,6 км. Какое расстояние он проплывет за 9 ч?

9

Для выживания 12 человек покупают 36 кг продуктов. Сколько необходимо продуктов для выживания 64 человек?

10

Строительные работы могут выполнить 20 рабочих за 13 дней. Сколько нужно рабочих, чтобы выполнить те же работы за 7 дней?

11

Для варки варенья из винограда на 16 кг ягод берут 6 кг сахарного песку. Сколько сахарного песку надо взять на 34 кг ягод?

12

В 1000 г раствора содержится 8 г соли. Сколько соли содержится в 300 г раствора?

Ответы: п п п п о н п п п о п п

Старинная задача 7. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?

Задачу 290 С.И. Шохор-Троцкий считал не удовлетворяющей жизненным условиям и не подходящей для школьной практики, он рассматривал ее в своей «Методике арифметики» (1935 г.) «для себя». Применим усовершенствованную нами «окончательную формулу». В сильном классе этот способ можно показать учащимся, но только при их активном участии в решении - в противном случае работа будет бессмысленной. Ниже записано краткое условие задачи и дано рассуждение, параллельно которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись, показанная справа.

Дл. Чел. Дн. Час. Шир. Гл.

96 26 40 12 20 12

х 39 80 10 10 18

Длина канала увеличится от

увеличения числа человек в 39 / 26 раза, х = 96· 39 / 26

от увеличения числа дней в 80 / 40 раза х = 96· 39 / 26 · 80 / 40

и от уменьшения ширины в 20 / 10 раза; х = 96· 39 / 26 · 80 / 40 .

Длина канала уменьшится от

уменьшения числа часов в 12 / 10 раза и х = 96· 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10

и от увеличения глубины в 18 / 12 раза: х = 96· 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10: 18 / 12 .

Окончательно имеем: х = 320. Это означает, что 39 землекопов могут вырыть канал длиной 320 м.
IV . Подведение итогов занятия. Рефлексия
Пусть каждый день и каждый час

Вам новое добудет.

Пусть добрым будет ум у вас,

А сердце умным будет.

Все задачи из данного раздела являются необяза­тельными в том смысле, что не нужно добиваться от всех учащихся умения их решать. Используйте их настолько, насколько это будет интересно вашим уча­щимся.


  1. Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

Учащиеся очень удивятся, когда узнают, что «оче­видный» ответ «12 яиц» неверен. Решение первой за­дачи из этого раздела лучше разобрать коллективно, быть может, после домашнего обдумывания, записав кратко условие задачи:

Кур Дней Яиц

3 33
12 12 х

В ходе диалога нужно выяснить, во сколько раз уве­личилось число кур (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось (увели­чилось в 4 раза); во сколько раз увеличилось число дней (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц (увели­чилось в 4 раза). Число яиц равно: х = 3 4 4 = 48.

2. Три маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?

3. Курсы иностранного языка арендуют в школе помещения для занятий. В первом полугодии за арен­ду четырех классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 336 р. в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во втором полугодии за 5 классных комнат по 5 дней в неделю при тех же условиях?

4. (Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона.) Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколь­ко понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

5. (Старинная задача.) На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?

Рассмотрим более сложные задачи с четырьмя и даже шестью величинами. Их можно задать в каче­стве необязательного домашнего задания наиболее сильным учащимся, которые любят распутывать го­ловоломные задачи.

6. (Из «Арифметики» АЛ. Киселева.) Для осве­щения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лам­пы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?

7. (Старинная задача.) Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины ка­нал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?