Призма и параллелепипед
Понятие призмы и виды призм
Понятие параллелепипеда
Свойства параллелепипеда
Глоссарий
Литература
Понятие призмы и виды призм
Рассмотрим два равных многоугольника и , расположенных в параллельных плоскостях и так, чтобы отрезки 
, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1).
| |
Каждый из n четырехугольников
является параллелограммом, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны.
Многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов (1), называется призмой.
Многоугольники и называются основаниями, а параллелограммы (1) – боковыми гранями призмы. Отрезки называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов (1), следовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призму с основаниями и называют n – угольной призмой. На рисунке 2 изображены треугольная и шестиугольная призмы.
| |
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники. На рисунке 2 изображена правильная шестиугольная призма.
Понятие параллелепипеда
Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани – параллелограммы.
На рисунке 3 изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 4 – прямой параллелепипед.
| | |
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.
Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым параллелепипедом. У него все боковые грани прямоугольники, а основания параллелограммы. Если все грани параллелепипеда – прямоугольники, то его называют прямоугольным параллелепипедом. Длины трех его ребер, которые выходят из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны, называется кубом. Соотношение между различными видами параллелепипеда приведено в схеме:
Свойства параллелепипеда
У параллелепипеда:
1) противолежащие грани равны и параллельны;
2) все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
Доказательство:
1) Рассмотрим какие-нибудь две противоположные грани параллелепипеда, например, и (рис. 5).
| |
Поскольку все грани параллелепипеда – параллелограммы, то прямая AD параллельна прямой ВС, а прямая параллельна прямой . Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.
Из того, что грани параллелепипеда – параллелограммы, следует, что АВ, , CD и параллельны и равны. Отсюда сделаем вывод, что грань совмещается параллельным переносом вдоль ребра АВ с гранью . Следовательно, эти грани равны.
2) Возьмем две диагонали параллелепипеда (рис. 5), например, и , и проведем дополнительные прямые и . АВ и соответственно равны и параллельны ребру DC, поэтому они равны и параллельны между собою; вследствии этого фигура есть параллелограмм, в котором прямые и – диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам. Аналогично мы можем доказать, что две другие диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Точка пересечения каждой пары диагоналей лежит в середине диагонали . Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам. Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Доказательство:
Это выплывает из пространственной теоремы Пифагора. Если – диагональ прямоугольного параллелепипеда 
, то – ее проекции на три попарно перпендикулярные прямые (рис. 6). Следовательно, .
| |
Замечание: в прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.
Дополнительные соотношения между элементами призмы
Если в наклонной призме боковое ребро образует одинаковые углы со сторонами основания, которые выходят из вершины , то основание О высоты лежит на биссектрисе угла (рис. 7).
Доказательство: 
| |
Проведем и отрезки Согласно теореме о трех перпендикулярах, имеем и . Прямоугольные треугольники и равны, поскольку имеют общую гипотенузу и одинаковые углы (
по условию). Следовательно, и 
, отсюда Таким образом, точка О равноудалена от сторон угла и, следовательно, лежит на биссектрисе угла .
Цели:
- Образовательная - повторить весь пройденный материал по теме, обобщить и систематизировать знания учащихся, проверить умения учащихся в решении задач на применение теоретического материала.
- Развивающая - развивать математически грамотную устную и письменную речь, способствовать развитию логического мышления, умения самостоятельно работать (при подготовке к уроку) с различными источниками информации.
- Воспитательная - воспитывать чувство ответственности за свои знания, за своих товарищей, учиться поддерживать друг друга, формировать коммуникативные качества учащихся.
Форма организации учебной деятельности: фронтальная, парная, групповая, индивидуальная.
Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый.
Средства обучения: тела многогранников, карточки с задачами, листы с кроссвордом.
Ход урока
1. Мотивация и целеполагание.
1) Задание учащимся.
Назовите фигуры, которые изображены на доске.
2) На какие две группы их можно разделить?
Какую группу фигур мы изучали на последних уроках?
Сегодня на уроке наша цель - обобщить и систематизировать знания по теме: "Многогранники", закрепить умения решать задачи по этой теме.
2. Актуализация знаний.
Идёт работа в парах - разгадывание кроссворда (листы с кроссвордом на каждой парте).
Кроссворд.
- Высота боковой грани правильной пирамиды.
- Точка, не лежащая в плоскости основания пирамиды.
- Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к основанию.
- Многоугольники, из которых составлен многогранник.
- Не боковая грань.
- Другое название куба.
- Многогранник, состоящий из многоугольника, называемого основанием, точки, не лежащей в плоскости этого многоугольника, называемой вершиной, и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.
- Геометрическое тело, состоящее из четырёх одинаковых равносторонних треугольников.
- Высота многогранника - это:
- Параллелепипед, у которого боковое ребро не перпендикулярно к основанию называется:
- Как называется многогранник, у которого два равных основания и n боковых граней - параллелограммов?
- Назовите правильный многогранник, у которого больше всех граней.
- Как называется призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник?
Учащиеся проверяют, что в выделенных клетках получилось слово многогранники.
3. Систематизация и обобщение знаний. Творческие отчёты групп.
1 группа: "Пирамида".
Ребята представляют изготовленные ими модели пирамид: треугольная, правильная треугольная, четырёхугольная, правильная четырёхугольная, шестиугольная, усечённая. 1-й: Пирамида- это многогранник, состоящий из многоугольника, называемого основанием, точки, не лежащей в плоскости этого многоугольника, называемой вершиной, и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.
2-й: На рисунке представлена пирамида SABCD.(Рисунок заранее приготовлен на доске).
ABCD- основание;
S - вершина пирамиды;
AS, BS, CS, DS- боковые рёбра;
ASB, BSC, CSD, DSA -боковые грани
SO - высота.
Рассказ сопровождается показом по рисунку.
3-й: Я - пирамида треугольная, потому что в основании у меня лежит треугольник. (Держит в руках треугольную пирамиду). А если моя высота будет соединять вершину с центром правильного треугольника, то я буду правильной треугольной пирамидой (показывает соответствующую модель). Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой (показывает на модели).
4-й: Я - пирамида четырёхугольная, т.к. у меня в основании лежит четырёхугольник. А если моя высота будет соединять вершину пирамиды с центром квадрата, то я буду называться правильной четырёхугольной пирамидой (демонстрирует модель правильной четырёхугольной пирамиды) Это моя апофема (показывает на модели). Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти по формуле: S бок =, где k-апофема (формула записывается на доску рядом с рисунком пирамиды).
5-й: Я - пирамида усечённая, у меня два основания (показывает на модели)
6-й: В основании пирамиды может лежать любой n-угольник. Я, например, шестиугольная пирамида. Площадь полной поверхности любой пирамиды находится по формуле: S полн = S бок +S осн (формула записывается на доску).
Все шестеро ребят садятся на свои места, выходят двое других из этой же творческой группы.
1-й: У нас у пирамид есть очень известные предки - Египетские пирамиды. Египетские пирамиды, сооруженные в долине Нила 4,5-5 тысяч лет тому назад, имеют форму правильной четырехугольной пирамиды. Наиболее известная из них - пирамида Хеопса, свое название она получила по имени, захороненного в ней фараона Хеопса (он жил около 2551-2528 гг. до Р.Х.). Ее высота составляет 146,6 м, что примерно соответствует пятидесятиэтажному небоскребу. Сторона основания - 230 м, соответственно, площадь основания равна 230·230 = 52 900 м 2 .Свыше 400 человек - художников, архитекторов, каменотесов - выполняли подготовительные работы, около 100 000 человек трудились над сооружением огромной гробницы, непрерывно сменяясь каждые три месяца. Десять лет измученному народу пришлось строить дорогу, по которой тащили эти каменные глыбы. Сооружение самой пирамиды продолжалось в течение 20 лет. Корпус пирамиды состоит из 128 слоев камня. Каждый слой состоит из каменных блоков весом 7,5 т. Пирамида Хеопса - древнейшее и единственное сохранившееся до наших дней чудо света.
2-й: В конце 50-х годов учёных стала интересовать тайна пирамид. А началось всё с того, что чешский изобретатель Карл Дербал заинтересовался вопросом, почему случайно забредающие в пирамиду Хеопса животные и погибающие там, не найдя выхода, - не разлагаются, а превращаются в мумии? Все учёные вслед за ним стали исследовать эффект пирамид и установили множество реально существующих явлений. Так, например, растворимый кофе, постояв под пирамидой, приобретает вкус натурального, дешёвые сигареты облагораживаются настолько, что их не отличишь от самых изысканных. Продукты (рыба, мясо, молоко) не портятся, вода не зацветает, загрязнённые ювелирные изделия сами очищаются. Из истории известно, что дети фараонов полоскали зубы "пирамидной" водой, и у них не было кариеса. А жёны фараонов мыли голову этой водой, и волосы становились мягкими и шелковистыми. Так же считается, что, если мыть волосы пирамидной водой, то не будет седины.
2 группа: "Призма".
00111-й: В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Евклид даёт следующее определение призмы: "Призма есть телесная, т.е. пространственная фигура, заключённая между плоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные же - параллелограммы". Термин "призма" греческого происхождения и буквально означает "отпиленное тело".
2-й: На рисунке призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F.
(Рисунок призмы заранее приготовлен на доске)
ABCDEF - нижнее основание;
A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 -верхнее основание;
AA 1 ; BB 1 ;:;FF 1 - боковые рёбра;
AA 1 B 1 B; BB 1 C 1 C; :;FF 1 A 1 A-боковые грани;
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.
A 1 C; A 1 D; A 1 E- диагонали (все названные элементы показывает на рисунке).
3-й: Я - прямая призма (демонстрирует модель), т.к. моё боковое ребро перпендикулярно основанию (показывает). Моей высотой является боковое ребро. Площадь моей боковой поверхности можно найти по формуле:S бок =P осн *h (записывает формулу рядом с рисунком на доску).
4-й: Я призма наклонная (демонстрирует модель), т.к. моё боковое ребро не перпендикулярно основанию.
5-й: Я призма правильная, т.к. у меня не только боковое ребро перпендикулярно основанию, но и в основании лежит правильный многоугольник (показывает модель).
6-й: Призмы бывают треугольные, четырёхугольные, пятиугольные и т.д., смотря потому какой многоугольник лежит в основании. Четырёхугольная призма имеет особое название- параллелепипед. А площадь полной поверхности любой призмы вычисляется по формуле: S полн =S бок +2S осн (формула записывается на доску).
3 группа "Правильные многогранники".
1-й: Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой как правильные многогранники.
2-й: Многогранник называется правильным, если его грани равные между собой правильные многоугольники, и в каждой грани сходится одно и то же число рёбер.
3-й: Существует всего пять таких многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр (демонстрация моделей).
4-й: Интерес к многогранникам человек проявляет на протяжении всей своей сознательной жизни - и ребёнком, играющим кубиками, и зрелым человеком.
5-й: Пять правильных тел изучали Платон, Евклид, Гипсикл, Папп. Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. Пифагорейцы считали, что огонь состоит из мельчайших частиц имеющих форму тетраэдра. Их воззрения основывались на том, что поскольку среди выпуклых правильных тел тетраэдр обладает наименьшим числом граней и наиболее "острыми" многогранными углами при вершинах, то он обладает наибольшей проникающей способностью. Он настолько прост, что был известен ещё древним египтянам.
6-й: Наиболее неподвижной из стихий - земле - пифагорейцы ставили в соответствие самый устойчивый многогранник - куб. И.Кеплер (1571-1630) написал этюд "О снежинке", в котором высказал такое замечание: "Среди правильных тел самое первое, родитель и начало остальных - куб, а его, если позволительно так сказать супруга - октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней".
1-й: Пифагорейцы считали, что атомы воздуха имеют форму октаэдра, воды - икосаэдра, а атомы вселенной - додекаэдра.
2-й: Немало тел, имеющих форму правильных многогранников в природе. Так одноклеточные организмы - феодарии имеют форму икосаэдра. Из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объём и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.
3-й: Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так кристаллы поваренной соли NaCl имеют форму куба, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, бор - икосаэдра.
4-й: И конечно нельзя не сказать о пчёлах. Пчёлы строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников. Из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр именно у правильных шестиугольников. Стало быть, мудрые пчёлы экономят воск и время для постройки сот. Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет и заполняют пространство так, что не остаётся просветов.
4. Решение задач.
Учитель. Мы с вами очень подробно вспомнили теоретический материал
КУБ, ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД Параллелепипедом называется многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов. Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, грани которого – прямоугольники. Кубом называется многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов.
ПРИЗМА Призмой называется многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований и называемых боковыми гранями призмы. Призма называется прямой, если её боковые грани – прямоугольники. Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.
ПИРАМИДА Пирамидой называется многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину, называемых боковыми гранями пирамиды. Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник и все боковые ребра равны.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ Правильные многогранники были известны еще в древней Греции. Пифагор и его ученики считали, что все состоит из атомов, имеющих форму правильных многогранников. В частности, атомы огня имеют форму тетраэдра (его гранями являются четыре правильных треугольника (рис. а); земли - гексаэдра (куб – многогранник, гранями которого являются шесть квадратов, рис. б); воздуха – октаэдра (его гранями являются восемь правильных треугольников, рис. в); воды – икосаэдра (его гранями являются двадцать правильных треугольников, рис. г); вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додекаэдра (его гранями являются двенадцать правильных пятиугольников, рис. д). Названия многогранников тоже имеют древнегреческое происхождение. В переводе с греческого: "Тетра" - четыре; "Гекса" - шесть; "Окто" - восемь; "Икоси" - двадцать, "Додека" - двенадцать. "Эдра" - грань.
Упражнение 8 Окраска граней многогранника называется правильной, если соседние грани имеют разные цвета. Какое минимальное число красок потребуется для правильной окраски граней: Ответ: 4.а) тетраэдра; б) куба; в) октаэдра; г) икосаэдра; д) додекаэдра? Ответ: 3. Ответ: 2. Ответ: 4.
Призма и параллелепипед
Понятие призмы и виды призм
Понятие параллелепипеда
Свойства параллелепипеда
Дополнительные соотношения между элементами призмы
Глоссарий
Литература
Понятие призмы и виды призм
Рассмотрим два равных многоугольника и , расположенных в параллельных плоскостях и так, чтобы отрезки , соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1).
|
|
Каждый из n четырехугольников
является параллелограммом, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны.
Многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов (1), называется призмой.
Многоугольники и называются основаниями, а параллелограммы (1) - боковыми гранями призмы. Отрезки называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов (1), следовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призму с основаниями и называют n - угольной призмой. На рисунке 2 изображены треугольная и шестиугольная призмы.
|
|
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
Прямая призма называется правильной, если ее основания - правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани - равные прямоугольники. На рисунке 2 изображена правильная шестиугольная призма.
Понятие параллелепипеда
На рисунке 3 изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 4 - прямой параллелепипед.
|
|
|
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.
Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым параллелепипедом. У него все боковые грани прямоугольники, а основания параллелограммы. Если все грани параллелепипеда - прямоугольники, то его называют прямоугольным параллелепипедом. Длины трех его ребер, которые выходят из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны, называется кубом. Соотношение между различными видами параллелепипеда приведено в схеме:
Свойства параллелепипеда
Теорема:
У параллелепипеда:
1 ) противолежащие грани равны и параллельны;
2 ) все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
Доказательство:
1 ) Рассмотрим какие-нибудь две противоположные грани параллелепипеда, например, и (рис. 5).
|
|
Поскольку все грани параллелепипеда - параллелограммы, то прямая AD параллельна прямой ВС, а прямая параллельна прямой . Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.
Из того, что грани параллелепипеда - параллелограммы, следует, что АВ, , CD и параллельны и равны. Отсюда сделаем вывод, что грань совмещается параллельным переносом вдоль ребра АВ с гранью . Следовательно, эти грани равны.
2 ) Возьмем две диагонали параллелепипеда (рис. 5), например, и , и проведем дополнительные прямые и . АВ и соответственно равны и параллельны ребру DC, поэтому они равны и параллельны между собою; вследствии этого фигура есть параллелограмм, в котором прямые и - диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам. Аналогично мы можем доказать, что две другие диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Точка пересечения каждой пары диагоналей лежит в середине диагонали . Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам. Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
Теорема:
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Доказательство:
Это выплывает из пространственной теоремы Пифагора. Если - диагональ прямоугольного параллелепипеда , то - ее проекции на три попарно перпендикулярные прямые (рис. 6). Следовательно, .
|
|
Замечание: в прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.
Дополнительные соотношения между элементами призмы
Если в наклонной призме боковое ребро образует одинаковые углы со сторонами основания, которые выходят из вершины , то основание О высоты лежит на биссектрисе угла (рис. 7).
Доказательство:
|
|
Проведем и отрезки Согласно теореме о трех перпендикулярах, имеем и . Прямоугольные треугольники и равны, поскольку имеют общую гипотенузу и одинаковые углы ( по условию). Следовательно, и , отсюда Таким образом, точка О равноудалена от сторон угла и, следовательно, лежит на биссектрисе угла .
Задачи
1. Ребро куба равно а.
Диагональ грани: d= a√2.
Диагональ куба: D= a√3.
Периметр основания: P= 4a.
2 . Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 8см. Высота призмы равняется 12см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат.
Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть , где - площадь основания призмы, - площадь боковой поверхности, содержащей основание, - площадь боковой поверхности, содержащей стороны равнобедренного треугольника. (Они равны, так как стороны основания равны в следствие того, что треугольник равнобедренный, а вторые стороны равны высоте призмы)
Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см. (основание треугольника одновременно является стороной грани).
Таким образом, зная высоту и основание равнобедренного треугольника можно найти его остальные стороны и площадь:
Катеты, соответственно равны (у нас высота, являющаяся в равнобедренном треугольнике одновременно и медианой , с каждым из катетов образует прямоугольный треугольник) по теореме Пифагора:
Таким образом:
3 . В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы.
Правильный четырехугольник - это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
Ответ: 22 см
4 . Рассмотрим правильную четырехугольную призму , диагональное сечение которой - квадрат. Через вершину и середины ребер АВ и ВС проведена плоскость. Найти площадь полученного сечения, если
Построение сечения видно на рисунке, где К и L - середины сторон АВ и ВС основания призмы, Е и F - точки пересечения прямой КL соответственно с продолжениями сторон DA и DC. Сечением является пятиугольник площадь которого можно найти. Можносначала вычислить площади треугольников и а потом от площади первого треугольника вычесть удвоенную площадь второго (поскольку треугольники и равны). Однако в данном случае проще воспользоваться формулой:
Проекция пятиугольника на плоскость основания призмы есть пятиугольник , площадь которого найдем, вычитая из площади квадрата площадь треугольника ВКL:
Пусть диагональ ВD основания пересекает отрезок КL в точке О. Так как и (согласно теореме о трех перпендикулярах), то - линейный угол двугранного угла КL.
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора имеем:
Значит, и
5 . Дана правильная призма: , . Найти высоту призмы.
Площадь основания
Периметр основания Р = 8 см.
Высота призмы
6 . Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a . Найдите полную поверхность параллелепипеда.
Пусть - данный параллелепипед с основаниями , и боковыми рёбрами , причём ABCD - квадрат со стороной a , вершина равноудалена от вершин A, B, C и D, а расстояние от вершины до плоскости основания ABCD равно b. Поскольку точка равноудалена от вершин квадрата ABCD, она лежит на перпендикуляре к плоскости ABCD, проходящем через центр O квадрата. Перпендикуляр, опущенный из точки O на сторону BC, проходит через её середину M. По теореме о трёх перпендикулярах , поэтому - высота грани . Из прямоугольного треугольника находим, что
Аналогично,
Если S - полная поверхность параллелепипеда , то
7 . Докажите, что если сечение параллелепипеда плоскостью является многоугольником с числом сторон, большим трёх, то у этого многоугольника есть параллельные стороны.
Доказательство
У параллелепипеда 3 пары параллельных граней. Если плоскость пересекает более трёх граней, то по крайней мере две стороны многоугольника сечения лежат в противоположных гранях параллелепипеда. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей эти две стороны параллельны.
8. В параллелепипеде грань ABCD - квадрат со стороной 5, ребро также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB и AD углы . Найдите диагональ .
Треугольник - равносторонний, т.к. = AB и . Поэтому . Аналогично, . Боковые рёбра треугольной пирамиды с вершиной равны между собой, значит, высота этой пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания ABD , а т.к. треугольник ABD прямоугольный, то точка O - середина его гипотенузы BD, т.е. центр квадрата ABCD. Из прямоугольного треугольника находим, что
Поскольку , точка равноудалена от вершин C и D, поэтому её ортогональная проекция K на плоскость основания ABCD также равноудалена от C и D, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD. Поскольку || и =, четырёхугольник - прямоугольник, поэтому OK==5. Продолжим отрезок KO до пересечения с отрезком AB в точке M. Тогда M - середина AB и MK=MO+OK=. Из прямоугольных треугольников MKB и находим, что:
9 . На ребре AD и диагонали параллелепипеда взяты соответственно точки M и N, причём прямая MN параллельна плоскости и AM:AD = 1:5. Найдите отношение .
Пусть P - центр параллелограмма ABCD. Плоскости и пересекаются по прямой , поэтому прямые и пересекаются в некоторой точке Q, причём
По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскости α и пересекаются по прямой, проходящей через точку E параллельно . Ясно, что точка пересечения этой прямой с прямой и есть точка N (прямая MN лежит в плоскости, параллельной плоскости ). Рассмотрим параллелограмм . Так как
10 . Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.
Пусть O - общая середина отрезков , и . Тогда AB||и AD||. Значит, плоскости ABD и параллельны. Аналогично, плоскость параллельна плоскости . В плоскостях ABD и возьмём соответственно точки C и так, что ABCD и - параллелограммы. Так как CD||AB , AB|| и ||, то CD||. Поэтому плоскости и также параллельны. Шестигранник , образован пересечением трёх пар параллельных плоскостей. Следовательно, это параллелепипед.
Тесты
1. Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 3 см и 4 см.
Варианты ответов:
Длина диагонали параллелепипеда равна корню из суммы квадратов его измерений и составит
2. Сосчитайте сколько у прямоугольного параллелепипеда рёбер
Варианты ответов:
3. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов …, , называется:
А) параллелепипед;
Б) призма;
В) пирамида;
Г) многогранник;
4. Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется…
А ) высотой призмы;
Б) ребром призмы;
В) медианой призмы;
Г) диагональю призмы;
Д) стороной призмы.
А) равнобедренные треугольники;
Б) не правильные многоугольники;
В) параллелограммы;
Г) окружности;
Д ) правильные многоугольники.
6. У параллелепипеда все грани...
А ) параллелограммы;
Б) треугольники;
В) трапеции;
Г) шестиугольники;
Д) квадраты.
7. В прямоугольном параллелепипеде все ли диагонали равны?
Б ) да.
8. У параллелепипеда противолежащие грани равны и …
А ) параллельны;
Б) лежат в одной плоскости;
В) перпендикулярны;
Г) лежат в разных плоскостях;
Д) образуют между собой угол
9. У параллелепипеда все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней …
А) в отношении 1:2;
Б) в отношении 1:3;
В ) пополам;
Г) в отношении 1:5;
10. Чему равен квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда?
А ) сумме квадратов трех его измерений;
Б) сумме ребер;
В) сумме трех его измерений;
Г) сумме квадратов ребер;
Д) корню из суммы трех его измерений.
Глоссарий
Ø Многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов …, , называется призмой.
Ø Многоугольники и называются основаниями, а параллелограммы …, - боковыми гранями.
Ø Призму с основаниями и называют n - угольной призмой.
Ø Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае - наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Ø Прямая призма называется правильной, если ее основания - правильные многоугольники.
Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани - параллелограммы.
Ø Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.
Ø Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым параллелепипедом.
Ø У параллелепипеда все боковые грани прямоугольники, а основания параллелограммы. Если все грани параллелепипеда - прямоугольники, то его называют прямоугольным параллелепипедом.
Ø Длины трех его ребер, которые выходят из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Ø Прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны, называется кубом.
Литература
1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Учеб. для 10 - 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1992 - 207с.
2. Геометрія: Підруч. для учнів 10 - 11 кл. з поглибл. вивч. математики в серед. загально-освіт. закладах /Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, В. М. Владіміров, Н. Г. Владімірова. - 2-ге вид. - К.: Освіта, 2003. - 239 с.
3. Лосєва Н. М. Геометричні тіла: Навчальний посібник. - Донецьк: ДонНУ, 2006. - 240 с.
4. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 - 11 кл. общеобразоват. учреждений. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 383 с.