Распределение случайной величины содержит всю информацию о ее статистических свойствах. Много ли нужно знать значений случайной величины, чтобы построить ее распределение? Для этого нужно исследовать ее генеральную совокупность .
Генеральная совокупность - множество всех значений, которые может принимать данная случайная величина.
Число единиц в генеральной совокупности называется ее объемом N . Эта величина может быть конечной и бесконечной. Например, если исследуется рост жителей некоторого города, то объем генеральной совокупности будет равен числу жителей города. Если выполняется любой физический эксперимент, то объем генеральной совокупности будет бесконечным, т.к. число всех возможных значений любого физического параметра равно бесконечности.
Исследование генеральной совокупности не всегда возможно и целесообразно. Оно невозможно, если объем генеральной совокупности бесконечен. Но и при конечных объемах полное исследование не всегда оправдано, поскольку требует больших затрат времени и труда, а абсолютная точность результатов обычно не требуется. Менее точные результаты, но со значительно меньшими затратами сил и средств можно получить при исследовании только части генеральной совокупности. Такие исследования называются выборочными.
Статистические исследования, проводимые только на части генеральной совокупности, называются выборочными, а исследуемая часть генеральной совокупности называется выборкой.
На рисунке 7.2 символически показаны генеральная совокупность и выборка в виде множества и его подмножества.
Рисунок 7.2 Генеральная совокупность и выборка
Работая с некоторым подмножеством данной генеральной совокупности, часто составляющим незначительную ее часть, мы получаем результаты, по точности вполне удовлетворительные для практических целей. Исследование большей части генеральной совокупности только увеличивает точность, но не изменяет сути результатов, если выборка взята правильно со статистической точки зрения.
Для того, чтобы выборка отражала свойства генеральной совокупности и результаты были достоверными, она должна быть репрезентативной (представительной).
У некоторых генеральных совокупностей любая их часть является репрезентативной в силу их природы. Однако в большинстве случаев необходимо принимать специальные меры для обеспечения репрезентативности выборок.
Одним из главных достижений современной математической статистики считается разработка теории и практики метода случай ных выборок, обеспечивающих репрезентативность отбора данных.
Выборочные исследования всегда проигрывают в точности по сравнению с исследованием всей генеральной совокупности. Однако с этим можно примириться, если величина погрешности будет известной. Очевидно, что чем больше объем выборки будет приближаться к объему генеральной совокупности, тем погрешность будет меньшей. Отсюда ясно, что проблемы статистического вывода становятся особенно актуальными при работе с малыми выборками (N ? 10-50).
Генеральная совокупность – множество тех людей, сведения о которых стремится получить социолог в своем исследовании. В зависимости от того, насколько широкой будет тема исследования, настолько же широка будет генеральная совокупность.
Выборочная совокупность – уменьшенная модель генеральной совокупности; те, кому социолог раздает анкеты, кого называют респондентами, кто, наконец, представляет собой объект социологического исследования.
Кого именно относить к генеральной совокупности, определяют цели исследования, а кого включать в выборочную совокупность решают математические методы. Если социолог намеревается взглянуть на афганскую войну глазами ее участников, в генеральную совокупность войдут все воины-афганцы, но опрашивать ему придется небольшую часть – выборочную совокупность. Для того чтобы выборка точно отражала генеральную совокупность, социолог придерживается правила: любой воин-афганец, независимо от места жительства, места работы, состояния здоровья и других обстоятельств, должен иметь одинаковую вероятность попасть в выборочную совокупность.
Как только социолог определился с тем, кого он хочет опросить, он определил основу выборки . После чего решается вопрос о типе выборки.
Выборки делятся на три больших класса:
а) сплошные (переписи, референдумы). Опрашиваются все единицы из генеральной совокупности;
б) случайные ;
в) неслучайные.
Случайный и неслучайный типы выборки в свою очередь подразделяются на несколько видов.
К случайным относят:
1) вероятностную;
2) систематическую;
3) районированную (стратифицированную);
4) гнездовую.
К неслучайным относят:
1) «стихийную»;
2) квотную;
3) метод «основного массива».
Полный и точный перечень единиц выборочной совокупности образует основу выборки . Элементы, предназначенные для отбора, называются единицами отбора . Единицы отбора могут совпадать с единицами наблюдения, поскольку единицей наблюдения считается элемент генеральной совокупности, с которого непосредственно ведется сбор информации. Обычно единица наблюдения – это отдельный человек. Отбор из списка лучше всего производить, нумеруя единицы и используя таблицу случайных чисел, хотя часто используется квази-случайный метод, когда из перечня простого берется каждый n-й элемент.
Если основа выборки включает список единиц отбора, то структура выборки подразумевает их группирование по каким-то важным признакам, например, распределение индивидов по профессии, квалификации, полу или возрасту. Если в генеральной совокупности, к примеру, 30% молодежи, 50% людей среднего возраста и 20% пожилых, то и в выборочной совокупности должны соблюдаться те же самые процентные пропорции трех возрастов. К возрастам могут добавиться классы, пол, национальность и т.д. Для каждой устанавливаются процентные пропорции в генеральной и выборочной совокупности. Таким образом, структура выборки – процентные пропорции признаков объекта, на основании которых составляется выборочная совокупность.
Если тип выборки говорит о том, как попадают люди в выборочную совокупность, то объем выборки сообщает о том, какое их количество попало сюда.
Объем выборки – количество единиц выборочной совокупности. Поскольку выборочная совокупность – это часть генеральной совокупности, отобранной с помощью специальных методов, ее объем всегда меньше объема генеральной. Поэтому так важно, чтобы часть не искажала представления о целом, то есть репрезентировала его.
На достоверность данных влияют не количественные характеристики выборочной совокупности (ее объем), а качественные характеристики генеральной совокупности – степень ее однородности. Расхождение между генеральной и выборочной совокупностью называется ошибкой репрезентативности , допустимое отклонение – 5%.
Вот некоторые способы избежать ошибки:
каждая единица генеральной совокупности должна иметь равную вероятность попасть в выборку;
отбор желательно производить из однородных совокупностей;
надо знать характеристики генеральной совокупности;
при составлении выборочной совокупности надо учитывать случайные и систематические ошибки.
Если выборочная совокупность (выборка) составлена правильно, то социолог получает надежные результаты, характеризующие всю генеральную совокупность.
Каковы же основные методы выборки ?
Метод механической выборки , когда из общего списка генеральной совокупности через равные промежутки отбирается необходимое число респондентов (например, каждый 10-й).
Метод серийной выборки . При этом генеральная совокупность разбивается на однородные части и из каждой пропорционально отбираются единицы анализа (например, по 20% мужчин и женщин на предприятии).
Метод гнездовой выборки . В качестве единиц отбора выступают не отдельные респонденты, а группы с последующим сплошным исследованием в них. Данная выборка будет представительна, если состав групп схож (например, по одной группе студентов из каждого потока какого-нибудь факультета вуза).
Метод основного массива – опрос 60–70% генеральной совокупности.
Метод квотной выборки . Наиболее сложный метод, требующий определения не менее четырёх признаков, по которым проводится отбор респондентов. Применяется обычно при большой генеральной совокупности.
Всякое каким-то образом выделенное множество объектов, которые могут отличаться друг от друга значением некоторой определенной характеристики, называется генеральной совокупностью.
Число элементов генеральной совокупности называется ее объемом.
Часть генеральной совокупности, случайным образом отобранная для наблюдений, называется случайной выборкой или, для краткости, выборкой.
Число элементов выборки называется ее объемом.
Так, если из ста тысяч упаковок некоторого лекарства (генеральная совокупность) для контроля качества отобрано сто упаковок (выборка), то объем генеральной совокупности составляет 100000, а объем выборки – 100.
Свойства выборочной совокупности тем лучше отражают соответствующие свойства генеральной совокупности, чем больше объектов содержит эта выборочная совокупность (т.е. чем больше ее объем). Например, если интересует концентрация некоторого вещества в таблетках, выпускаемых при помощи аппарата определенной конструкции, то чем больше случайным образом отобранных таблеток мы исследуем, тем более достоверную информацию получим.
Поскольку мы рассчитываем с помощью статистических методов высказать определенное суждение о свойствах генеральной совокупности по свойствам выборки, то последняя должна быть репрезентативной (представительной), т.е. должна быть организована таким образом, чтобы, по возможности, отражать все интересующие нас свойства генеральной совокупности.
Например, при обследовании на предмет успеваемости по физиологии студентов медицинских университетов А, В и С, в которых обучаются 500, 200 и 300 студентов соответственно, выборку объемом 100 следует строить так, чтобы в нее входило 50 случайным образом выбранных студентов университета А, 20 студентов университета В и 30 студентов университета С. Пропорции в выборке должны соответствовать пропорциям генеральной совокупности.
Для обеспечения репрезентативности выборка должна быть достаточно объемной с тем, чтобы охватывать всю генеральную совокупность, и производиться беспристрастно по отношению к отдельным ее частям.
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.
На практике применяются различные способы отбора. Принудительно эти способы можно подразделить на два вида:
I. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части, сюда относятся:
а) простой случайный бесповторный отбор;
б) простой случайный повторный отбор.
II. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части, сюда относятся:
а) типический отбор;
б) механический отбор;
в) серийный отбор.
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка будет простой случайной бесповторной.
Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части.
Механическим называют отбор, при котором генеральная совокупность «механически» делится на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, и из каждой группы отбирается один объект.
Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию.
Генеральная совокупность – совокупность элементов, удовлетворяющих неким заданным условиям; именуется также изучаемой совокупностью. Генеральная совокупность (Universe) - все множество объектов (субъектов) исследования, из которого выбираются (могут выбираться) объекты (субъекты) для обследования (опроса).
ВЫБОРКА или выборочная совокупность (Sample) - это множество объектов (субъектов), отобранных специальным образом для обследования (опроса). Любые данные, полученные на основании выборочного обследования (опроса), имеют вероятностный характер. На практике это означает, что в ходе исследования определяется не конкретное значение, а интервал, в котором определяемое значение находится.
Характеристики выборки:
Качественная характеристика выборки – что именно мы выбираем и какие способы построения выборки мы для этого используем.
Количественная характеристика выборки – сколько случаев выбираем, другими словами объём выборки.
Необходимость выборки:
Объект исследования очень обширный. Например, потребители продукции глобальной компании – огромное количество территориально разбросанных рынков.
Существует необходимость в сборе первичной информации.
Объём выборки - число случаев, включённых в выборочную совокупность.
Зависимые и независимые выборки.
При сравнении двух (и более) выборок важным параметром является их зависимость. Если можно установить гомоморфную пару (то есть, когда одному случаю из выборки X соответствует один и только один случай из выборки Y и наоборот) для каждого случая в двух выборках (и это основание взаимосвязи является важным для измеряемого на выборках признака), такие выборки называются зависимыми .
В случае, если такая взаимосвязь между выборками отсутствует, то эти выборки считаются независимыми.
Типы выборки.
Выборки делятся на два типа:
Вероятностные;
Не вероятностные;
Репрезентативная выборка - выборочная совокупность, в которой основные характеристики совпадают с характеристиками генеральной совокупности. Только для этого типа выборки результаты обследования части единиц (объектов) можно распространять на всю генеральную совокупность. Необходимое условие для построения репрезентативной выборки - наличие информации о генеральной совокупности, т.е. либо полный список единиц (субъектов) генеральной совокупности, либо информация о структуре по характеристикам, существенно влияющим на отношение к предмету исследования.
17. Дискретный вариационный ряд, ранжирование, частота, частность.
Вариационным рядом (статистическим рядом) – называется последовательность вариант, записанных в порядке возрастания и соответствующих им весов.
Вариационный ряд может быть дискретным (выборка значений дискретной случайной величины) и непрерывным (интервальным) (выборка значений непрерывной случайной величины).
Дискретный вариационный ряд имеет вид:
Наблюдаемые значения случайной величины х1, х2, …, хk называются вариантами, а изменение этих значений называются варьированием.
Выборка (выборочная совокупность) – совокупность наблюдений, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.
Число наблюдений в совокупности называется ее объемом.
N – объем генеральной совокупности.
n – объем выборки(сумма всех частот ряда).
Частотой варианты хi называется число ni (i=1,…,k), показывающее, сколько раз эта варианта встречается в выборке.
Частостью
(относительной частотой, долей) варианты хi (i=1,…,k) называется отношение ее частоты ni к объему выборки n.
wi
=ni
/n
Ранжирование опытных данных - операция, заключающаяся в том, что результаты наблюдений над случайной величиной, т. е. наблюдаемые значения случайной величины, располагают в порядке неубывания.
Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная совокупность вариантов хi с соответствующими им частотами или частностями.
Статистическая совокупность - множество единиц, обладающих массовостью, типичностью, качественной однородностью и наличием вариации.
Статистическая совокупность состоит из материально существующих объектов (Работники, предприятия, страны, регионы), является объектом .
Единица совокупности — каждая конкретная единица статистической совокупности.
Одна и таже статистическая совокупность может быть однородна по одному признаку и неоднородна по другому.
Качественная однородность — сходство всех единиц совокупности по какому-либо признаку и несходство по всем остальным.
В статистической совокупности отличия одной единицы совокупности от другой чаще имеют количественную природу. Количественные изменения значений признака разных единиц совокупности называются вариацией.
Вариация признака — количественное изменение признака (для количественного признака) при переходе от одной единицы совокупности к другой.
Признак - это свойство, характерная черта или иная особенность единиц, объектов и явлений, которая может быть наблюдаема или измерена. Признаки делятся на количественные и качественные. Многообразие и изменчивость величины признака у отдельных единиц совокупности называется вариацией .
Атрибутивные (качественные) признаки не поддаются числовому выражению (состав населения по полу). Количественные признаки имеют числовое выражение (состав населения по возрасту).
Показатель — это обобщающая количественно качестванная характеристика какого-либо свойства единиц или совокупности в цельм в конкретных условиях времени и места.
Система показателей — это совокупность показателей всесторонне отражающих изучаемое явление.
Например, изучается зарплата:- Признак — оплата труда
- Статистическая совокупность — все работники
- Единица совокупности — каждый работник
- Качественная однородность — начисленная зарплата
- Вариация признака — ряд цифр
Генеральная совокупность и выборка из нее
Основу составляет множество данных, полученных в результате измерения одного или нескольких признаков. Реально наблюдаемая совокупность объектов, статистически представленная рядом наблюдений случайной величины , является выборкой , а гипотетически существующая (домысливаемая) — генеральной совокупностью . Генеральная совокупность может быть конечной (число наблюдений N = const ) или бесконечной (N = ∞ ), а выборка из генеральной совокупности — это всегда результат ограниченного ряда наблюдений. Число наблюдений , образующих выборку, называется объемом выборки . Если объем выборки достаточно велик (n → ∞ ) выборка считается большой , в противном случае она называется выборкой ограниченного объема . Выборка считается малой , если при измерении одномерной случайной величины объем выборки не превышает 30 (n <= 30 ), а при измерении одновременно нескольких (k ) признаков в многомерном пространстве отношение n к k не превышает 10 (n/k < 10) . Выборка образует вариационный ряд , если ее члены являются порядковыми статистиками , т. е. выборочные значения случайной величины Х упорядочены по возрастанию (ранжированы), значения же признака называются вариантами .
Пример . Практически одна и та же случайно отобранная совокупность объектов — коммерческих банков одного административного округа Москвы, может рассматриваться как выборка из генеральной совокупности всех коммерческих банков этого округа, и как выборка из генеральной совокупности всех коммерческих банков Москвы, а также как выборка из коммерческих банков страны и т.д.
Основные способы организации выборки
Достоверность статистических выводов и содержательная интерпретация результатов зависит от репрезентативности выборки, т.е. полноты и адекватности представления свойств генеральной совокупности, по отношению к которой эту выборку можно считать представительной. Изучение статистических свойств совокупности можно организовать двумя способами: с помощью сплошного и несплошного . Сплошное наблюдение предусматривает обследование всех единиц изучаемой совокупности , а несплошное (выборочное) наблюдение — только его части.
Существуют пять основных способов организации выборочного наблюдения:
1. простой случайный отбор , при котором объектов случайно извлекаются из генеральной совокупности объектов (например с помощью таблицы или датчика случайных чисел), причем каждая из возможных выборок имеют равную вероятность. Такие выборки называются собственно-случайными ;
2. простой отбор с помощью регулярной процедуры осуществляется с помощью механической составляющей (например, даты, дня недели, номера квартиры, буквы алфавита и др.) и полученные таким способом выборки называются механическими ;
3. стратифицированный отбор заключается в том, что генеральная совокупность объема подразделяется на подсовокупности или слои (страты) объема так что . Страты представляют собой однородные объекты с точки зрения статистических характеристик (например, население делится на страты по возрастным группам или социальной принадлежности; предприятия — по отраслям). В этом случае выборки называются стратифицированными (иначе, расслоенными, типическими, районированными );
4. методы серийного отбора используются для формирования серийных или гнездовых выборок . Они удобны в том случае, если необходимо обследовать сразу "блок" или серию объектов (например, партию товара, продукцию определенной серии или население при территориально-административном делении страны). Отбор серий можно осуществить собственно-случайным или механическим способом. При этом проводится сплошное обследование определенной партии товара, или целой территориальной единицы (жилого дома или квартала);
5. комбинированный (ступенчатый) отбор может сочетать в себе сразу несколько способов отбора (например, стратифицированный и случайный или случайный и механический); такая выборка называется комбинированной .
Виды отбора
По виду различаются индивидуальный, групповой и комбинированный отбор. При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности, при групповом отборе — качественно однородные группы (серии) единиц, а комбинированный отбор предполагает сочетание первого и второго видов.
По методу отбора различают повторную и бесповторную выборку.
Бесповторным называется отбор, при котором попавшая в выборку единица не возвращается в исходную совокупность и в дальнейшем выборе не участвует; при этом численность единиц генеральной совокупности N сокращается в процессе отбора. При повторном отборе попавшая в выборку единица после регистрации возвращается в генеральную совокупность и таким образом сохраняет равную возможность наряду с другими единицами быть использованной в дальнейшей процедуре отбора; при этом численность единиц генеральной совокупности N остается неизменной (метод в социально-экономических исследованиях применяется редко). Однако, при большом N (N → ∞) формулы для бесповторного отбора приближаются к аналогичным для повторного отбора и практически чаще используются последние (N = const ).
Основные характеристики параметров генеральной и выборочной совокупности
В основе статистических выводов проведенного исследования лежит распределение случайной величины , наблюдаемые же значения (х 1 , х 2 , … , х n) называются реализациями случайной величины Х (n — объем выборки). Распределение случайной величины в генеральной совокупности носит теоретический, идеальный характер, а ее выборочный аналог является эмпирическим распределением. Некоторые теоретические распределения заданы аналитически, т.е. их параметры определяют значение функции распределения в каждой точке пространства возможных значений случайной величины . Для выборки же функцию распределения определить трудно, а иногда невозможно, поэтому параметры оценивают по эмпирическим данным, а затем их подставляют в аналитическое выражение, описывающее теоретическое распределение. При этом предположение (или гипотеза ) о виде распределения может быть как статистически верным, так и ошибочным. Но в любом случае восстановленное по выборке эмпирическое распределение лишь грубо характеризует истинное. Важнейшими параметрами распределений являются математическое ожидание и дисперсия .
По своей природе распределения бывают непрерывными и дискретными . Наиболее известным непрерывным распределением является нормальное . Выборочными аналогами параметров идля него являются: среднее значение и эмпирическая дисперсия . Среди дискретных в социально-экономических исследованиях наиболее часто применяется альтернативное (дихотомическое) распределение. Параметр математического ожидания этого распределения выражает относительную величину (или долю ) единиц совокупности, которые обладают изучаемым признаком (она обозначена буквой ); доля совокупности, не обладающая этим признаком, обозначается буквой q (q = 1 — p) . Дисперсия же альтернативного распределения также имеет эмпирический аналог .
В зависимости от вида распределения и от способа отбора единиц совокупности по-разному вычисляются характеристики параметров распределения. Основные из них для теоретического и эмпирического распределений приведены в табл. 9.1.
Долей выборки k n называется отношение числа единиц выборочной совокупности к числу единиц генеральной совокупности:
k n = n/N .
Выборочная доля w — это отношение единиц, обладающих изучаемым признаком x к объему выборки n :
w = n n /n .
Пример. В партии товара, содержащей 1000 ед., при 5% выборке доля выборки k n в абсолютной величине составляет 50 ед. (n = N*0,05); если же в этой выборке обнаружено 2 бракованных изделия, то выборочная доля брака w составит 0,04 (w = 2/50 = 0,04 или 4%).
Так как выборочная совокупность отлична от генеральной, то возникают ошибки выборки .
Таблица 9.1 Основные параметры генеральной и выборочной совокупностей
Ошибки выборки
При любом (сплошном и выборочном) могут встретиться ошибки двух видов: регистрации и репрезентативности. Ошибки регистрации могут иметь случайный и систематический характер. Случайные ошибки складываются из множества различных неконтролируемых причин, носят непреднамеренный характер и обычно по совокупности уравновешивают друг друга (например, изменения показателей прибора при температурных колебаниях в помещении).
Систематические ошибки тенденциозны, так как нарушают правила отбора объектов в выборку (например, отклонения в измерениях при изменении настройки измерительного прибора).
Пример. Для оценки социального положения населения в городе предусмотрено обследовать 25% семей. Если при этом выбор каждой четвертой квартиры основан на ее номере, то существует опасность отобрать все квартиры только одного типа (например, однокомнатные), что обеспечит систематическую ошибку и исказит результаты; выбор же номера квартиры по жребию более предпочтителен, так как ошибка будет случайной.
Ошибки репрезентативности присущи только выборочному наблюдению, их невозможно избежать и они возникают в результате того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Значения показателей, получаемых по выборке, отличаются от показателей этих же величин в генеральной совокупности (или получаемых при сплошном наблюдении).
Ошибка выборочного наблюдения есть разность между значением параметра в генеральной совокупности и ее выборочным значением. Для среднего значения количественного признака она равна: , а для доли (альтернативного признака) — .
Ошибки выборки свойственны только выборочным наблюдениям. Чем больше эти ошибки, тем больше эмпирическое распределение отличается от теоретического. Параметры эмпирического распределения и являются случайными величинами, следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами, могут принимать для разных выборок разные значения и поэтому принято вычислять среднюю ошибку .
Средняя ошибка выборки есть величина , выражающая среднее квадратическое отклонение выборочной средней от математического ожидания. Эта величина при соблюдении принципа случайного отбора зависит прежде всего от объема выборки и от степени варьирования признака: чем больше и чем меньше вариация признака (следовательно, и значение ), тем меньше величина средней ошибки выборки . Соотношение между дисперсиями генеральной и выборочной совокупностей выражается формулой:
т.е. при достаточно больших можно считать, что . Средняя ошибка выборки показывает возможные отклонения параметра выборочной совокупности от параметра генеральной. В табл. 9.2 приведены выражения для вычисления средней ошибки выборки при разных методах организации наблюдения.
Таблица 9.2 Средняя ошибка (m) выборочных средней и доли для разных видов выборки
Где - средняя из внутригрупповых выборочных дисперсий для непрерывного признака;
Средняя из внутригрупповых дисперсий доли;
— число отобранных серий, — общее число серий;
,
где — средняя -й серии;
— общая средняя по всей выборочной совокупности для непрерывного признака;
,
где — доля признака в -й серии;
— общая доля признака по всей выборочной совокупности.
Однако о величине средней ошибки можно судить лишь с определенной, вероятностью Р (Р ≤ 1). Ляпунов А.М. доказал, что распределение выборочных средних , a следовательно, и их отклонений от генеральной средней, при достаточно большом числе приближенно подчиняется нормальному закону распределения при условии, что генеральная совокупность обладает конечной средней и ограниченной дисперсией.
Математически это утверждение для средней выражается в виде:
а для доли выражение (1) примет вид:
где 
-
есть предельная ошибка выборки
, которая кратна величине средней ошибки выборки ,
а коэффициент кратности — есть критерий Стьюдента ("коэффициент доверия"), предложенный У.С. Госсетом (псевдоним "Student"); значения для разного объема выборки хранятся в специальной таблице.
Следовательно, выражение (3) может быть прочитано так: с вероятностью Р = 0,683 (68,3%) можно утверждать, что разность между выборочной и генеральной средней не превысит одной величины средней ошибки m (t = 1) , с вероятностью Р = 0,954 (95,4%) — что она не превысит величины двух средних ошибок m (t = 2) , с вероятностью Р = 0,997 (99,7%) — не превысит трех значений m (t = 3) . Таким образом, вероятность того, что эта разность превысит трехкратную величину средней ошибки определяет уровень ошибки и составляет не более 0,3% .
В табл. 9.3 приведены формулы для вычисления предельной ошибки выборки.
Таблица 9.3 Предельная ошибка (D) выборки для средней и доли (р) для разных видов выборочного наблюдения
Распространение выборочных результатов на генеральную совокупность
Конечной целью выборочного наблюдения является характеристика генеральной совокупности. При малых объемах выборки эмпирические оценки параметров ( и ) могут существенно отклоняться от их истинных значений ( и ). Поэтому возникает необходимость установить границы, в пределах которых для выборочных значений параметров ( и ) лежат истинные значения ( и ).
Доверительным интервалом какого-либо параметра θгенеральной совокупности называется случайная область значений этого параметра, которая с вероятностью близкой к 1 (надежностью ) содержит истинное значение этого параметра.
Предельная ошибка выборки Δ позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы , которые равны:
Нижняя граница доверительного интервала получена путем вычитания предельной ошибки из выборочного среднего (доли), а верхняя — путем ее добавления.
Доверительный интервал для средней использует предельную ошибку выборки и для заданного уровня достоверности определяется по формуле:
Это означает, что с заданной вероятностью Р
, которая называется доверительным уровнем и однозначно определяется значением t
, можно утверждать, что истинное значение средней лежит в пределах от 
,а истинное значение доли — в пределах от
При расчете доверительного интервала для трех стандартных доверительных уровней Р = 95%, Р = 99% и Р = 99,9% значение выбирается по . Приложения в зависимости от числа степеней свободы . Если объем выборки достаточно велик, то соответствующие этим вероятностям значения t равны: 1,96, 2,58 и 3,29 . Таким образом, предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы:
Распространение результатов выборочного наблюдения на генеральную совокупность в социально-экономических исследованиях имеет свои особенности, так как требует полноты представительности всех ее типов и групп. Основой для возможности такого распространения является расчет относительной ошибки :
где Δ % - относительная предельная ошибка выборки; , .
Существуют два основных метода распространения выборочного наблюдения на генеральную совокупность: прямой пересчет и способ коэффициентов .
Сущность прямого пересчета заключается в умножении выборочного среднего значения!!\overline{x} на объем генеральной совокупности .
Пример . Пусть среднее число детей ясельного возраста в городе оценено выборочным методом и составило человека. Если в городе 1000 молодых семей, то число необходимых мест в муниципальных детских яслях получают умножением этой средней на численность генеральной совокупности N = 1000, т.е. составит 1200 мест.
Способ коэффициентов целесообразно использовать в случае, когда выборочное наблюдение проводится с целью уточнения данных сплошного наблюдения.
При этом используют формулу:
где все переменные — это численность совокупности:
Необходимый объем выборки
Таблица 9.4 Необходимый объем (n) выборки для разных видов организации выборочного наблюдения
При планировании выборочного наблюдения с заранее заданным значением допустимой ошибки выборки необходимо правильно оценить требуемый объем выборки . Этот объем может быть определен на основе допустимой ошибки при выборочном наблюдении исходя из заданной вероятности , гарантирующей допустимую величину уровня ошибки (с учетом способа организации наблюдения). Формулы для определения необходимой численности выборки n легко получить непосредственно из формул предельной ошибки выборки. Так, из выражения для предельной ошибки:
непосредственно определяется объем выборки n :
Эта формула показывает, что с уменьшением предельной ошибки выборки Δ существенно увеличивается требуемый объем выборки , который пропорционален дисперсии и квадрату критерия Стьюдента .
Для конкретного способа организации наблюдения требуемый объем выборки вычисляется согласно формулам, приведенным в табл. 9.4.
Практические примеры расчета
Пример 1. Вычисление среднего значения и доверительного интервала для непрерывного количественного признака.
Для оценки скорости расчета с кредиторами в банке проведена случайная выборка 10 платежных документов. Их значения оказались равными (в днях): 10; 3; 15; 15; 22; 7; 8; 1; 19; 20.
Необходимо с вероятностью Р = 0,954 определить предельную ошибку Δ выборочной средней и доверительные пределы среднего времени расчетов.
Решение. Среднее значение вычисляется по формуле из табл. 9.1 для выборочной совокупности
Дисперсия вычисляется по формуле из табл. 9.1.
Средняя квадратическая погрешность дня.
Ошибка средней вычисляется по формуле:
т.е. среднее значение равно x ± m = 12,0 ± 2,3 дней .
Достоверность среднего составила
Предельную ошибку вычислим по формуле из табл. 9.3 для повторного отбора, так как численность генеральной совокупности неизвестна, и для Р = 0,954 уровня достоверности.
Таким образом, среднее значение равно `x ± D = `x ± 2m = 12,0 ± 4,6, т.е. его истинное значение лежит в пределах от 7,4 до16,6 дней.
Использование таблицы Стьюдента. Приложения позволяет заключить, что для n = 10 — 1 = 9 степеней свободы полученное значение достоверно с уровнем значимости a £ 0,001, т.е. полученное значение среднего достоверно отличается от 0.
Пример 2. Оценка вероятности (генеральной доли) р.
При механическом выборочном способе обследования социального положения 1000 семей выявлено, что доля малообеспеченных семей составила w = 0,3 (30%) (выборка была 2% , т.е. n/N = 0,02 ). Необходимо с уровнем достоверности р = 0,997 определить показатель р малообеспеченных семей во всем регионе.
Решение. По представленным значениям функции Ф(t) найдем для заданного уровня достоверности Р = 0,997 значение t = 3 (см. формулу 3). Предельную ошибку доли w определим по формуле из табл. 9.3 для бесповторного отбора (механическая выборка всегда является бесповторной):
Предельная относительная ошибка выборки в % составит:
Вероятность (генеральная доля) малообеспеченных семей в регионе составит р=w±Δ w , а доверительные пределы р вычисляются исходя из двойного неравенства:
w — Δ w ≤ p ≤ w — Δ w , т.е. истинное значение р лежит в пределах:
0,3 — 0,014 < p <0,3 + 0,014, а именно от 28,6% до 31,4%.
Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля малообеспеченных семей среди всех семей региона составляет от 28,6% до 31,4%.
Пример 3. Вычисление среднего значения и доверительного интервала для дискретного признака, заданного интервальным рядом.
В табл. 9.5. задано распределение заявок на изготовление заказов по срокам их выполнения предприятием.
Таблица 9.5 Распределение наблюдений по срокам появленияРешение. Средний срок выполнения заявок вычисляется по формуле:
Средний срок составит:
= (3*20 + 9*80 + 24*60 + 48*20 + 72*20)/200 = 23,1 мес.
Тот же ответ получим, если используем данные о р i из предпоследней колонки табл. 9.5, используя формулу:
Заметим, что середина интервала для последней градации находится путем искусственного ее дополнения шириной интервала предыдущей градации равной 60 — 36 = 24 мес.
Дисперсия вычисляется по формуле
где х i - середина интервального ряда.
Следовательно!!\sigma = \frac {20^2 + 14^2 + 1 + 25^2 + 49^2}{4}, а средняя квадратическая погрешность .
Ошибка средней вычисляется по формуле мес., т.е. среднее значение равно!!\overline{x} ± m = 23,1 ± 13,4.
Предельную ошибку вычислим по формуле из табл. 9.3 для повторного отбора, так как численность генеральной совокупности неизвестна, для 0,954 уровня достоверности:
Таким образом, среднее значение равно:
т.е. его истинное значение лежит в пределах от 0 до 50 мес.
Пример 4. Для определения скорости расчетов с кредиторами N = 500 предприятий корпорации в коммерческом банке необходимо провести выборочное исследование методом случайного бесповторного отбора. Определить необходимый объем выборки n, чтобы с вероятностью Р = 0,954 ошибка среднего значения выборки не превышала 3-х дней, если пробные оценки показали, что среднее квадратическое отклонение s составило 10 дней.
Решение . Для определения числа необходимых исследований n воспользуемся формулой для бесповторного отбора из табл. 9.4:
В ней значение t определяется из для уровня достоверности Р = 0,954. Оно равно 2. Среднее квадратическое значение s = 10, объем генеральной совокупности N = 500, а предельная ошибка среднего значения Δ x = 3. Подставляя эти значения в формулу, получим:
т.е. выборку достаточно составить из 41 предприятия, чтобы оценить требуемый параметр — скорость расчетов с кредиторами.