Представляются в виде рядов распределения и оформляются в виде .
Ряд распределния является одним из видов группировок.
Ряд распределения — представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.
В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения различают атрибутивные и вариационные ряды распределения:
- Атрибутивными — называют ряды распределения, построенные по качественными признакам.
- Ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака называются вариационными .
В первом столбце приводятся количественные значения варьирующегося признака, которые называются вариантами
и обозначаются . Дискретная варианта — выражается целым числом. Интервальная варианта находится в пределах от и до. В зависимости от типа варианты можно построить дискретный или интервальный вариационный ряд.
Во втором столбце содержится количество конкретных вариант
, выраженное через частоты или частости:
Частоты — это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака, которые обозначают . Сумма всех частот равна должна быть равна численности единиц всей совокупности.
Частости () — это частоты выраженные в процентах к итогу. Сумма всех частостей выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.
Графическое изображение рядов распределения
Наглядно ряды распределения представляются при помощи графических изображений.
Ряды распределения изображаются в виде:- Полигона
- Гистограммы
- Кумуляты
- Огивы
Полигон
При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака, а на вертикальной оси (ось ординат) — частоты или частости.
Полигон на рис. 6.1 построен по данным микропереписи населения России в 1994 г.
Условие
: Приводятся данные о распределении 25 работников одного из предприятий по тарифным разрядам:
4; 2; 4; 6; 5; 6; 4; 1; 3; 1; 2; 5; 2; 6; 3; 1; 2; 3; 4; 5; 4; 6; 2; 3; 4
Задача
: Построить дискретный вариационный ряд и изобразить его графически в виде полигона распределения.
Решение
:
В данном примере вариантами является тарифный разряд работника. Для определения частот необходимо рассчитать число работников, имеющих соответствующий тарифный разряд.
Полигон используется для дискретных вариационных рядов.
Для построения полигона распределения (рис 1) по оси абсцисс (X) откладываем количественные значения варьирующего признака — варианты, а по оси ординат — частоты или частости.
Если значения признака выражены в виде интервалов, то такой ряд называется интервальным.
Интервальные ряды
распределения изображают графически в виде гистограммы, кумуляты или огивы.
Статистическая таблица
Условие
: Приведены данные о размерах вкладов 20 физических лиц в одном банке (тыс.руб) 60; 25; 12; 10; 68; 35; 2; 17; 51; 9; 3; 130; 24; 85; 100; 152; 6; 18; 7; 42.
Задача
: Построить интервальный вариационный ряд с равными интервалами.
Решение
:
- Исходная совокупность состоит из 20 единиц (N = 20).
- По формуле Стерджесса определим необходимое количество используемых групп: n=1+3,322*lg20=5
- Вычислим величину равного интервала: i=(152 — 2) /5 = 30 тыс.руб
- Расчленим исходную совокупность на 5 групп с величиной интервала в 30 тыс.руб.
- Результаты группировки представим в таблице:
При такой записи непрерывного признака, когда одна и та же величина встречается дважды (как верхняя граница одного интервала и нижняя граница другого интервала), то эта величина относится к той группе, где эта величина выступает в роли верхней границы.
Гистограмма
Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).
На рис. 6.2. изображена гистограмма распределения населения России в 1997 г. по возрастным группам.
Условие : Приводится распределение 30 работников фирмы по размеру месячной заработной платы
Задача
: Изобразить интервальный вариационный ряд графически в виде гистограммы и кумуляты.
Решение
:
- Неизвестная граница открытого (первого) интервала определяется по величине второго интервала: 7000 — 5000 = 2000 руб. С той же величиной находим нижнюю границу первого интервала: 5000 — 2000 = 3000 руб.
- Для построения гистограммы в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываем отрезки, величины которых соответствуют интервалам варицонного ряда.
Эти отрезки служат нижним основанием, а соответствующая частота (частость) — высотой образуемых прямоугольников. - Построим гистограмму:
Для построения кумуляты необходимо рассчитать накопленные частоты (частости). Они определяются путем последовательного суммирования частот (частостей) предшествующих интервалов и обозначаются S. Накопленные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значение признака не больше, чем рассматриваемое.
Кумулята
Распределение признака в вариационном ряду по накопленным частотам (частостям) изображается с помощью кумуляты.
Кумулята или кумулятивная кривая в отличие от полигона строится по накопленным частотам или частостям. При этом на оси абсцисс помещают значения признака, а на оси ординат — накопленные частоты или частости (рис. 6.3).
4. Рассчитаем накопленные частоты:
Наколенная частота первого интервала рассчитывается следующим образом: 0 + 4 = 4, для второго: 4 + 12 = 16; для третьего: 4 + 12 + 8 = 24 и т.д.
При построении кумуляты накопленная частота (частость) соответствующего интервала присваивается его верхней границе:
Огива
Огива строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что накопленные частоты помещают на оси абсцисс, а значения признака — на оси ординат.
Разновидностью кумуляты является кривая концентрации или график Лоренца. Для построения кривой концентрации на обе оси прямоугольной системы координат наносится масштабная шкала в процентах от 0 до 100. При этом на оси абсцисс указывают накопленные частости, а на оси ординат — накопленные значения доли (в процентах) по объему признака.
Равномерному распределению признака соответствует на графике диагональ квадрата (рис. 6.4). При неравномерном распределении график представляет собой вогнутую кривую в зависимости от уровня концентрации признака.
(определение вариационного ряда; составляющие вариационного ряда; три формы вариационного ряда; целесообразность построения интервального ряда; выводы, которые можно сделать по построенному ряду)
Вариационным рядом называется последовательность всех элементов выборки, расположенных в неубывающем порядке. Одинаковые элементы повторяются
Вариационные – это ряды, построенные по количественному признаку.
Вариационные ряды распределения состоят из двух элементов: вариантов и частот:
Варианты – это числовые значения количественного признака в вариационном ряду распределения. Они могут быть положительными и отрицательными, абсолютными и относительными. Так, при группировке предприятий по результатам хозяйственной деятельности варианты положительные – это прибыль, а отрицательные числа – это убыток.
Частоты – это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, т.е. это числа, показывающие, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот называется объемом совокупности и определяется числом элементов всей совокупности.
Частости – это частоты, выраженные в виде относительных величин (долях единиц или процентах). Сумма частостей равна единице или 100%. Замена частот частостями позволяет сопоставлять вариационные ряды с разным числом наблюдений.
Выделяют три формы вариационного ряда: ранжированный ряд, дискретный ряд и интервальный ряд.
Ранжированный ряд - это распределение отдельных единиц совокупности в порядке возрастания или убывания исследуемого признака. Ранжирование позволяет легко разделить количественные данные по группам, сразу обнаружить наименьшее и наибольшее значения признака, выделить значения, которые чаще всего повторяются.
Другие формы вариационного ряда - групповые таблицы, составленные по характеру вариации значений изучаемого признака. По характеру вариации различают дискретные (прерывные) и непрерывные признаки.
Дискретный ряд - это такой вариационный ряд, в основу построения которого положены признаки с прерывным изменением (дискретные признаки). К последним можно отнести тарифный разряд, количество детей в семье, число работников на предприятии и т.д. Эти признаки могут принимать только конечное число определенных значений.
Дискретный вариационный ряд представляет таблицу, которая состоит из двух граф. В первой графе указывается конкретное значение признака, а во второй - число единиц совокупности с определенным значением признака.
Если признак имеет непрерывное изменение (размер дохода, стаж работы, стоимость основных фондов предприятия и т.д., которые в определенных границах могут принимать любые значения), то для этого признака нужно строить интервальный вариационный ряд.
Групповая таблица здесь также имеет две графы. В первой указывается значение признака в интервале «от - до» (варианты), во второй - число единиц, входящих в интервал (частота).
Частота (частота повторения) - число повторений отдельного варианта значений признака, обозначается fi , а сумма частот, равная объему исследуемой совокупности, обозначается
Где k - число вариантов значений признака
Очень часто таблица дополняется графой, в которой подсчитываются накопленные частоты S, которые показывают, какое количество единиц совокупности имеет значение признака не большее, чем данное значение.
Дискретный вариационный ряд распределения – это ряд, в котором группы составлены по признаку, изменяющемуся дискретно и принимающему только целые значения.
Интервальный вариационный ряд распределения – это ряд, в котором группировочный признак, составляющий основание группировки, может принимать в определенном интервале любые значения, в том числе и дробные.
Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или частостями попаданий в каждый из них значений величины.
Интервальный ряд распределения целесообразно строить, прежде всего, при непрерывной вариации признака, а также, если дискретная вариация проявляется в широких пределах, т.е. число вариантов дискретного признака достаточно велико.
По этому ряду уже можно сделать несколько выводов. Например, средний элемент вариационного ряда (медиана) может быть оценкой наиболее вероятного результата измерения. Первый и последний элемент вариационного ряда (т.е. минимальный и максимальный элемент выборки) показывают разброс элементов выборки. Иногда если первый или последний элемент сильно отличаются от остальных элементов выборки, то их исключают из результатов измерений, считая, что эти значения получены в результате какого-то грубого сбоя, например, техники.
Совокупность значений изученного в данном эксперименте или наблюдении параметра, проранжированных по величине (возрастания или убывания) называется вариационным рядом.
Предположим, что мы измерили артериальное давление у десяти пациентов с целью получить верхний порог АД: систолическое давление, т.е. только одно число.
Представим, что серия наблюдений (статистическая совокупность) артериального систолического давления в 10-ти наблюдениях имеет следующий вид (табл. 1):
Таблица 1
Составляющие вариационного ряда называются вариантами. Варианты представляют собой числовое значение изучаемого признака.
Построение из статистической совокупности наблюдений вариационного ряда - только первый шаг к осмыслению особенностей всей совокупности. Далее необходимо определить средний уровень изучаемого количественного признака (средний уровень белка крови, средний вес пациентов, среднее время наступления наркоза и т.д.)
Средний уровень измеряют с помощью критериев, которые носят название средних величин. Средняя величина - обобщающая числовая характеристика качественно однородных величин, характеризующая одним числом всю статистическую совокупность по одному признаку. Средняя величина выражает то общее, что характерно для признака в данной совокупности наблюдений.
Общеупотребительными являются три вида средних величин: мода (), медиана () и среднеарифметическая величина ().
Для определения любой средней величины необходимо использовать результаты индивидуальных наблюдений, записав их в виде вариационного ряда (табл. 2).
Мода - значение, наиболее часто встречающееся в серии наблюдений. В нашем примере мода = 120. Если в вариационном ряду нет повторяющихся значений, то говорят, что мода отсутствует. Если несколько значений повторяются одинаковое количество раз, то в качестве моды берут наименьшее из них.
Медиана - значение, делящее распределение на две равные части, центральное или срединное значение серии наблюдений, упорядоченных по возрастанию или убыванию. Так, если в вариационном ряду 5 значений, то его медиана равна третьему члену вариационного ряда, если в ряду четное количество членов, то медиана представляет собой среднее арифметическое двух его центральных наблюдений, т.е. если в ряду 10 наблюдений, то медиана равна среднему арифметическому 5 и 6 наблюдения. В нашем примере.
Заметим важную особенность моды и медианы: на их величины не оказывают влияние числовые значения крайних вариант.
Средняя арифметическая величина рассчитывается по формуле:
где - наблюденная величина в -том наблюдении, а - число наблюдений. Для нашего случая.
Средняя арифметическая величина обладает тремя свойствами:
Средняя занимает серединное положение в вариационном ряду. В строго симметричном ряду.
Средняя является обобщающей величиной и за средней не видны случайные колебания, различия в индивидуальных данных. Она отражает то типичное, что характерно для всей совокупности.
Сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю: . Отклонение вариант от средней обозначается.
Вариационный ряд состоит из вариант и соответствующих им частот. Из десяти полученных значений цифра 120 встретилась 6 раз, 115 - 3 раза, 125 - 1 раз. Частота () - абсолютная численность отдельных вариант в совокупности, указывающая, сколько раз встречается данная варианта в вариационном ряду.
Вариационный ряд может быть простым (частоты = 1) или сгруппированным укороченным, по 3-5 вариант. Простой ряд используется при малом числе наблюдений (), сгруппированный - при большом числе наблюдений ().
Статистические ряды распределения представляют собой простейший вид группировки.
Статистический ряд распределения - это упорядоченное количественное распределение единиц совокупности на однородные группы по варьирующему (атрибутивному или количественному) признаку.
В зависимости от признака, положенного в основу образования групп, различают атрибутивные и вариационные ряды распределения.
Атрибутивными называют ряды распределения, построенные по качественным признакам, т.е. признакам, не имеющим числового выражения. Примером атрибутивного ряда распределения является распределение экономически активного населения РФ по полу в 2010 г. (табл. 3.10).
Таблица 3.10. Распределение экономически активного населения РФ по полу в 2010 г.
Вариационными называются ряды распределения, построенные по количественному признаку, т.е. признаку, имеющему числовое выражение.
Вариационный ряд распределения состоит из двух элементов: вариантов и частот.
Вариантами называют отдельные значения признака, которые он принимает в вариационном ряду.
Частотами являются численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда. Частоты показывают, как часто встречаются те или иные значения признака в изучаемой совокупности. Сумма всех частот определяет численность всей совокупности, ее объем.
Частостями называют частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу. Соответственно сумма частостей равна 1, или 100%.
В зависимости от характера вариации признака различают дискретные и интервальные вариационные ряды распределения.
Дискретный вариационный ряд распределения - это ряд распределения, в котором группы составлены по признаку, изменяющемуся прерывно, т.е. через определенное число единиц, и принимающему только целые значения. Например, распределение числа построенных квартир в Российской Федерации по числу комнат в них I! 2010 г. (табл. 3.11).
Таблица 3.11. Распределение числа построенных квартир в Российской Федерации по числу комнат в них в 2010 г.
Интервальный вариационный ряд распределения - это ряд распределения, в котором группировочный признак, составляющий основание группировки, может принимать в интервале любые значения, отличающиеся друг от друга на сколь угодно малую величину.
Построение интервальных вариационных рядов целесообразно прежде всего при непрерывной вариации признака (табл. 3.12), а также если дискретная вариация признака проявляется в широких пределах (табл. 3.13), т.е. число вариантов дискретного признака достаточно велико.
Таблица 3.12. Распределение субъектов Южного федерального округа РФ по площади территории на 1 января 2011 г.
Таблица 3.13. Распределение субъектов Центрального федерального округа РФ по числу муниципальных учреждений образования на 1 января 2011 г.
Правила построения рядов распределения аналогичны правилам построения группировки.
Анализ рядов распределения наглядно можно проводить на основе их графического изображения. Для этой цели строят полигон, гистограмму, распределения.
Полигон используют при изображении дискретных вариационных рядов распределения. Для его построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс в одинаковом масштабе откладывают ранжированные значения варьирующего признака, а по оси ординат наносят шкалу для выражения величины частот. Полученные на пересечении оси абсцисс (X) и оси ординат (У) точки соединяют прямыми линиями, в результате чего получают ломаную линию, называемую полигоном частот.
Гистограмму применяют для изображения интервального вариационного ряда. При построении гистограммы на оси абсцисс откладывают величины интервалов, а частоты изображают прямоугольниками, построенными на соответствующих интервалах. Высота столбиков должна быть пропорциональна частотам.
Гистограмма может быть преобразована в полигон распределения, если середины верхних сторон прямоугольников соединить прямыми линиями.
При построении гистограммы распределения вариационного ряда с неравными интервалами по оси ординат наносят не частоты, а плотность распределения признака в соответствующих интервалах. Плотность распределения - это частота, рассчитанная на единицу ширины интервала,
т.е. сколько единиц в каждой группе приходится па единицу величины интервала.
Для графического изображения вариационных рядов распределения может использоваться кумулятивная кривая. С помощью кумуляты изображают ряд накопленных частот. Накопленные частоты определяют путем последовательного суммирования частот по группам.
При построении кумуляты интервального вариационного ряда по оси абсцисс (X) откладывают варианты ряда, а по оси ординат (У) накопленные частоты, которые наносят на поле графика в виде перпендикуляров к оси абсцисс в верхних границах интервалов. Затем эти перпендикуляры соединяют и получают ломаную линию, т.е. кумуляту.
Если при графическом изображении вариационного ряда распределения в виде кумуляты оси X и У поменять местами, то получается огива.
Ряды, построенные по количественному признаку , называются вариационным .
Ряды распределений состоят из вариантов (значений признака) и частот (численности групп). Частоты, выраженные в виде относительных величин (долей, процентов) называются частостями . Сумма всех частот называется объёмом ряда распределения.
По виду ряды распределения делятся на дискретные (построены по прерывным значениям признака) и интервальные (построены на непрерывных значениях признака).
Вариационный ряд представляет собой две колонки (или строки); в одной из которых приводятся отдельные значения варьирующего признака, именуемые вариантами и обозначаемые Х; а в другой – абсолютные числа, показывающие сколько раз (как часто) встречается каждый вариант. Показатели второй колонки называются частотами и условно обозначают через f. Еще раз заметим, что во второй колонке могут использоваться и относительные показатели, характеризующие долю частоты отдельных вариантов в общей сумме частот. Эти относительные показатели именуются частостями и условно обозначают через ω Сумма всех частостей в этом случае равна единице. Однако частоты можно выражать и в процентах, и тогда сумма всех частостей дает 100%.
Если варианты вариационного ряда выражены в виде дискретных величин, то такой вариационный ряд именуют дискретным.
Для непрерывных признаков вариационные ряды строятся как интервальные , то есть значения признака в них выражаются «от… до …». При этом минимальны значения признака в таком интервале именуют нижней границей интервала, а максимальное – верхней границей.
Интервальные вариационные ряды строят и для дискретных признаков, варьирующих в большом диапазоне. Интервальные ряды могут быть с равными и неравными интервалами.
Рассмотрим как определяется величина равных интервалов. Введем следующие обозначения:
i – величина интервала;
- максимальное значение признака у единиц совокупности;
– минимальное значение признака у единиц совокупности;
n – число выделяемых групп.
, если n известно.
Если число выделяемых групп трудно заранее определить, то для расчета оптимальной величины интервала при достаточном объеме совокупности может быть рекомендована формула, предложенная Стерджессом в 1926 году:
n = 1+ 3.322 lg N, где N – число единиц в совокупности.
Величина неравных интервалов определяется в каждом отдельном случае с учетом особенностей объекта изучения.
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот (или относительных частот).
Статистическое распределение выборки можно задать в виде таблицы, в первой графе которой располагаются варианты, а во второй - соответствующие этим вариантам частоты ni , или относительные частоты Pi .
Статистическое распределение выборки
Интервальными называются вариационные ряды, в которых значения признаков, положенных в основу их образования, выражены в определенных пределах (интервалах). Частоты в этом случае относятся, не к отдельным значениям признака, а ко всему интервалу.
Интервальные ряды распределения строятся по непрерывным количественным признакам, а также по дискретным признакам, варьирующим в значительных пределах.
Интервальный ряд можно представить статистическим распределением выборки с указанием интервалов и соответствующих им частот. При этом в качестве частоты интервала принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал.
При группировке по количественным непрерывным признакам важное значение имеет определение размера интервала.
Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда.
Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.