Изображение на плоскости множества точек, заданного неравенством с двумя переменными Выполняла работу: Сурова Ксения
Цель: 1). Сформировать: - понятие того, что решением неравенства с двумя переменными является множество точек плоскости. - умение изображать на плоскости множество точек, заданных неравенством с двумя переменными. - учить пользоваться алгоритмом. 2). Развивать: умение анализировать предложенную ситуацию; графические навыки. 3). Воспитывать внимательность.
Ход: 1. Подготовка к восприятию нового материала: у-3х+4=0 . . х 2 +6х-8=0 х 2 +у-16=0 -Что является решением уравнения с двумя переменными? -Можно ли изобразить на координатной плоскости решение уравнения с двумя переменным? Что будет являться решением такого уравнения?
2. Изучение нового материала. Каждая линия разбивает координатную плоскость на две части (полуплоскости). 0 х у у-3х+4=0 -4 2-я полуплоскость 1-я полуплоскость Какому условию точки лежащие на прямой? f (х;у)=0 (уравнение прямой) Как вы думаете, а какому условию удовлетворяют точки не лежащие на прямой? Рассматриваем первый рисунок: Возьмём точки А(-4;-1), В(-2;4). С(0;2). Какой полуплоскости принадлежат данные точки? Подставим координаты точек в уравнение прямой и сравним полученные значения с нулём. А(-4;-1) -1-3(-4)+4= -1+12+4=15, 15 0, В(-2;4) 4-3(-2)+4=4+6+4=14, 14 0, С(0;2) 2-3 0+4=6, 6 0. Значение нашего многочлена f (х;у) в точках А,В,С принимает значение больше 0.
Как записать данное условие с помощью математической модели? у-3х+4 0 . Какой полуплоскости принадлежат точки Д(6;0), Е(0;-6), F (3;-3). Сравним значения многочлена у-3х+4 в этих точках с нулём. Д(6;0) 0-36+4=-18+4=-14, -14 0, Е(0;-6) -6-30+4= -2, -2 0, F (3;-3) -3-3 3+4= -3-9+4, -8 0. Какому условию удовлетворяют точки нижней полуплоскости у-3х+4 0 Вывод: Точки не лежащие на прямой удовлетворяют неравенству. f (х;у) 0 или f (х;у) 0.
3. Заполнить таблицу. Какому из условий удовлетворяют точки координатной плоскости: А(0;4), В(0;-4),О(0;0), С(-2;-2), Д(5;0), Е(4;8), F (0;-6), К(4;1), М(-2;1), N (8;-2) F (х;у)=0 F (х;у) 0 F (х;у) 0
Задать неравенством множество точек плоскости на рисунках: х у 0 4 2 у=х 2 -6х+8 у х 0 4 -4 4 -4 х 2 +у 2 =16 Подведём итог: Как же задать множество точек плоскости неравенством? Составил алгоритм своих действий. 1. Строим график функции f (х;у)=0 2. Берём контрольную точку. 3. Проверяем выполнение неравенства f (х;у) 0 или f (х;у) 0
6 3 0 у х у+2х-6=0 6 3 0 у х у+2х-6=0 4. Задать неравенством точек координатной плоскости В чём отличие этих двух случаев? Вывод: В первом случае точки прямой входят в указанное множество, поэтому данные точки задают множество, удовлетворяющее неравенству f (х;у) 0, во втором случае точки прямой не являются частью множества указанной полуплоскости, поэтому наше множество задаётся неравенством f (х;у) 0. И так, если знак неравенства нестрогий, то график уравнения изображаем сплошной линией; если знак неравенства строгий, то график уравнения изображаем пунктиром.
Самостоятельная работа. Вариант 1 Вариант 2 Отобразить на плоскости множество точек, заданных неравенством: А) у=2х-4 0 (2б) у-х -5 0 В) х 2 +4х+у 2 0 (3б) х 2 =у 2 -4у≤0 Задать множество точек координатной плоскости неравенством: (2б) Изобразить графически решение неравенства (3б) Как по вашему мнению можно задать данное множество:(Такой же рисунок без штриховки изображен на доске.)Какие линии изображены?(прямая окружность) Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Какой полуплоскости принадлежит заштрихованная часть и какому условию она удовлетворяет? у+х-4≥0 Окружность разбивает плоскость на две части: внутри окружности и вне её. Нас интересует внутренняя часть. Какому условию она удовлетворяет.(х+у) 2 +(у-2) 2 -9
То есть данное множество является результатом пересечения двух множеств. То есть решением системы неравенств: (х-2) 2 +(y-2) 2 -9 0 И так ми с вами задали некоторое множество системой неравенств. Подведём итог: Составим алгоритм построения множества точек плоскости, заданное системой неравенств: Строим график уравнения f 1 (х;у)=0 и f 2 (х;у)=0 Изображаем множество точек удовлетворяющее первому неравенству. Изображаем множество точек удовлетворяющее второму неравенству. Результат – пересечение множеств.
Спасибо за внимание!!!
5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Как называется прямая, изображенная на рисунке?
Назовите координаты точек
А, В, C, D, О.
А(4), В(-4), С(5,5), D(-1,5), О(0)
Оx – ось абсцисс
Оy - ось ординат
Точка 0 – начало отсчета
3 – абсцисса точки М
4 - ордината точки М
Плоскость, с указанной на ней системой координат, называют координатной.
Числа, с помощью которых указывают, где находится некоторый объект, называют его координатами.
( от латинских слов ко – «совместно»
ординатус – «определенный»)
Прямоугольная система координат, состоящая из двух взаимно перпендикулярных осей с общим началом, изобретена в XVI в. Знаменитым французским математиком Рене Декартом.
Декартова система координат дала возможность объединить числовую и геометрическую линию математики.
Назовите координаты точек
А, В, С, D, Е, F
- A (3;1)
- B (2;-2)
- C (-2;4)
- D (-4;-2)
- E (0;2)
- F(-4;0)
Это нужно знать:
- Если точка лежит на оси ординат, ее абсцисса равна нулю.
2. Если точка лежит на оси абсцисс, ее ордината равна нулю.
Начертите в тетради координатные оси, взяв единичный отрезок 1 см.
Построй точки:
А (4;1), В (-1;4), С (3;-2),
D (-3;-1); К (0;3), N (-2;1)
F (-2,5;-4,5), S (0,5;-2,5)
Проверим себя
Запишите координаты точек B, A, R, S, I, K
- B (3;1)
- A(2:-5)
- R (0;-9)
- S (-3;-5)
- I (-2;3)
- K (-1;9)
Постройте фигуру, последовательно соединив отрезками точки с координатам и
(3; 7), (1; 5), (2; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 2),
(8; 4), (8;-1), (6; 0), (0;-3), (2;-6), (-2;-3), (-4;-2), (-5;-1), (-6; 1), (-6; 2), (-3; 5), (3; 7) Отдельно: (-3; 3) Отдельно: (-6; 1), (-4; 1) Отдельно: (-3; 5), (-2; 2), (-2; 0), (-4;-2) (за единичный отрезок примите 1 клетку тетради)
3. Изобразите на координатной оси множество точек х≤2. Изобразите на координатной плоскости множество точек 2 ≤ y ≤5." width="640"
- Изобразите на координатной оси множество точек y
- Изобразите на координатной оси множество точек х 3.
- Изобразите на координатной оси множество точек х≤2.
- Изобразите на координатной плоскости множество точек 2 ≤ y ≤5.
y
3" width="640"
Пусть задано уравнение с двумя переменными F(x; y) . Вы уже познакомились со способами решения таких уравнений аналитически. Множество решений таких уравнений можно представить и в виде графика.
Графиком уравнения F(x; y) называют множество точек координатной плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению.
Для построения графика уравнения с двумя переменными сначала выражают в уравнении переменную y через переменную x.
Наверняка вы уже умеете строить разнообразные графики уравнений с двумя переменными: ax + b = c – прямая, yx = k – гипербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – окружность, радиус которой равен R, а центр находится в точке O(a; b).
Пример 1.
Построить график уравнения x 2 – 9y 2 = 0.
Решение.
Разложим на множители левую часть уравнения.
(x – 3y)(x+ 3y) = 0, то есть y = x/3 или y = -x/3.
Ответ: рисунок 1.
Особое место занимает задание фигур на плоскости уравнениями, содержащими знак абсолютной величины, на которых мы подробно остановимся. Рассмотрим этапы построения графиков уравнений вида |y| = f(x) и |y| = |f(x)|.
Первое уравнение равносильно системе
{f(x) ≥ 0,
{y = f(x) или y = -f(x).
То есть его график состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.
Для построения графика второго уравнения строят графики двух функций: y = f(x) и y = -f(x).
Пример 2.
Построить график уравнения |y| = 2 + x.
Решение.
Заданное уравнение равносильно системе
{x + 2 ≥ 0,
{y = x + 2 или y = -x – 2.
Строим множество точек.
Ответ: рисунок 2.
Пример 3.
Построить график уравнения |y – x| = 1.
Решение.
Если y ≥ x, то y = x + 1, если y ≤ x, то y = x – 1.
Ответ: рисунок 3.
При построении графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, удобно и рационально использовать метод областей , основанный на разбиении координатной плоскости на части, в которых каждое подмодульное выражение сохраняет свой знак.
Пример 4.
Построить график уравнения x + |x| + y + |y| = 2.
Решение.
В данном примере знак каждого подмодульного выражения зависит от координатной четверти.
1) В первой координатной четверти x ≥ 0 и y ≥ 0. После раскрытия модуля заданное уравнение будет иметь вид:
2x + 2y = 2, а после упрощения x + y = 1.
2) Во второй четверти, где x < 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) В третьей четверти x < 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) В четвертой четверти, при x ≥ 0, а y < 0 получим, что x = 1.
График данного уравнения будем строить по четвертям.
Ответ: рисунок 4.
Пример 5.
Изобразить множество точек, у которых координаты удовлетворяют равенству |x – 1| + |y – 1| = 1.
Решение.
Нули подмодульных выражений x = 1 и y = 1 разбивают координатную плоскость на четыре области. Раскроем модули по областям. Оформим это в виде таблицы.
| Область |
Знак подмодульного выражения |
Полученное уравнение после раскрытия модуля |
| I | x ≥ 1 и y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | x < 1 и y ≥ 1 | -x + y = 1 |
| III | x < 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 и y < 1 | x – y = 1 |
Ответ: рисунок 5.
На координатной плоскости фигуры могут задаваться и неравенствами .
Графиком неравенства с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого неравенства.
Рассмотрим алгоритм построения модели решений неравенства с двумя переменными :
- Записать уравнение, соответствующее неравенству.
- Построить график уравнения из пункта 1.
- Выбрать произвольную точку в одной из полуплоскостей. Проверить, удовлетворяют ли координаты выбранной точки данному неравенству.
- Изобразить графически множество всех решений неравенства.
Рассмотрим, прежде всего, неравенство ax + bx + c > 0. Уравнение ax + bx + c = 0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них функция f(x) = ax + bx + c сохраняет знак. Для определения этого знака достаточно взять любую точку, принадлежащую полуплоскости, и вычислить значение функции в этой точке. Если знак функции совпадает со знаком неравенства, то эта полуплоскость и будет решением неравенства.
Рассмотрим примеры графического решения наиболее часто встречающихся неравенств с двумя переменными.
1) ax + bx + c ≥ 0. Рисунок 6 .
2)
|x| ≤ a, a > 0. Рисунок 7
.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Рисунок 8 .
4) y ≥ x 2 . Рисунок 9.
5)
xy ≤ 1. Рисунок 10.
Если у вас появились вопросы или вы хотите попрактиковаться изображать на плоскости модели множества всех решений неравенств с двумя переменными с помощью математического моделирования, вы можете провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после того, как . Для дальнейшей работы с преподавателем у вас будет возможность выбрать подходящий для вас
Остались вопросы? Не знаете, как изобразить фигуру на координатной плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
«Координатная прямая» - Скала Динозавр. На уроках какого предмета вы встречались с координатной прямой? Что напоминает вам координатная прямая? Что называется координатами точки на плоскости? Что такое координатная прямая? Оренбургский государственный степной заповедник создан в 1989 году. Координаты на прямой и плоскости.
«Прямоугольная система координат» - Две взаимно перпендикулярные прямые, Алгоритм отыскания координаты точки М (x1, y1), заданной в прямоугольной системе координат. Название; Обозначение. Единицей длины. Однозначно определяет положение каждой точки на плоскости. Тема: Прямоугольная система координат на плоскости. Делит плоскость на четыре части.
«Системы координат» - Системы координат. Аффинная (косоугольная) система координат. Мировые линии наблюдателей Риндлера (голубые дуги гипербол) в декартовых координатах. Точка в цилиндрических координатах. Полярная система координат. Прямоугольная (Декартова) система координат. В элементарной геометрии координаты - величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве.
«Координатная плоскость с координатами» - Карточка 2. Сколько га вспахал третий? 4. 24 человека за 6 дней пропололи участок клубники. 5. Решите уравнение: 0,9(4у-2)=0,5(3у-4)+4,4. 5.Решите уравнение: 0,2(5у-2)=0,3(2у-1)-0,9. 2.Найдите площадь прямоугольника, ширина которого 5,5м, а длина на 1,5 больше ширины. 2.Три тракториста вспахали 405 га земли.
«Координаты на плоскости» - Отметим на координатной плоскости т.А(3;5), В(-2;8), С(-4;-3), Е(5;-5). Цели: 8,150. Ход урока. Вычислите: Система координат. Через отмеченные точки проведём прямые, параллельные осям. Игра Морской Бой. Х - абсцисса У - ордината. Рене Декарт Готфрид Вильгельм Лейбниц. Постройте треугольник. Алгоритм построения: Построим координатную плоскость.
«Декартовы координаты» - Декарт. Линия времени. Декарт впервые ввёл координатную систему. Определение координат точек. Система географических координат. Гиппарх. Путешествие на остров "Координат". Координатная система нашла свое применение во многих сферах жизнедеятельности человека. Рене Декарт (1596-1650). Определение координат острова.
Всего в теме 19 презентаций